中考数学中考数学圆的基本题目型聚焦三轮冲刺 9页

‎2013中考总结复习冲刺练：圆的基本题型聚焦 ‎　　‎ 纵观近几年全国各地中考题，圆的有关概念以及性质等一般以填空题，选择题的形式考查并占有一定的分值；一般在10分－15分左右，圆的有关性质，如垂径定理，圆周角，切线的判定与性质等综合性问题的运用一般以计算证明的形式考查；利用圆的知识与其他知识点如代数函数，方程等相结合作为中考压轴题将会占有非常重要的地位，另外与圆有关的实际应用题，阅读理解题，探索存在性问题仍是热门考题，应引起读者的注意.下面究近年来圆的有关热点题型，举例解析如下，以抛砖引玉. 　　一、圆的性质的考查 ‎　　基础知识链接：（1）垂径定理；（2）同圆或等圆中的圆心角、弦、弧之间的关系.‎ ‎　　【例1】（江苏镇江）如图，为⊙O直径，为弦，且，垂足为．‎ ‎　　（1）的平分线交⊙O于，连结．求证：为弧ADB的中点；‎ A B D E O C H ‎　　（2）如果⊙O的半径为，，‎ ‎　　①求到弦的距离；‎ ‎　　②填空：此时圆周上存在 个点到直线的距离为．‎ ‎　　【解析】（1），‎ ‎　　又，．‎ ‎　　．‎ ‎　　又，．‎ ‎　　为弧ADB的中点．‎ ‎　　（2）①，为⊙O的直径，，‎ ‎　　．‎ ‎　　又，．‎ ‎　　，‎ ‎　　．‎ ‎　　作于，则．‎ ‎　　②3.‎ ‎　　【点评】 本题综合考查了利用垂径定理和勾股定理及锐角三角函数求解问题的能力.运用垂径定理时，需添加辅助线构造与定理相关的“基本图形”. 　　几何上把圆心到弦的距离叫做弦心距,本题的弦心距就是指线段OD的长.在圆中解有关弦心距半径有关问题时,常常添加的辅助线是连半径或作出弦心距,把垂径定理和勾股定理结合起来解题.如图,⊙O的半径为,弦心距为,弦长之间的关系为.根据此公式,在、、三个量中,知道任何两个量就可以求出第三个量.平时在解题过程中要善于发现并运用这个基本图形.‎ ‎　　【例2】 （安徽芜湖）如图，已知点E是圆O上的点，‎ ‎ B、C分别是劣弧的三等分点， ，‎ 则的度数为 ．‎ ‎【解析】由B、C分别是劣弧的三等分点知，圆心角∠AOB=∠BOC=∠COD,‎ 又，所以∠AOD=138º.‎ ‎　　根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。从而有＝69º.‎ ‎　　点评　本题根据同圆或等圆中的圆心角、圆周角的关系。‎ ‎　　二、直线与圆的位置关系的考查 ‎　　基础知识链接：1、直线与圆的位置关系有三种:‎ ‎　　⑴如果一条直线与一个圆没有公共点,那么就说这条直线与这个圆相离.‎ ‎　　⑵如果一条直线与一个圆只有一个公共点,那么就说这条直线与这个圆相切,此时这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做切点.‎ ‎　　⑶如果一条直线与一个圆有两个公共点,那么就说这条直线与这个圆相交,此时这条直线叫做圆的割线,这两个公共点叫做交点.‎ ‎　　2、直线与圆的位置关系的判定；‎ ‎　　3、圆的切线的性质与判定。‎ ‎　　【例3】（甘肃兰州）如图，四边形内接于⊙O，是⊙O的直径，‎ ‎，垂足为，平分．‎ D E C B O A ‎　　（1）求证：是⊙O的切线；‎ ‎　　（2）若，求的长．‎ ‎　　【解析】（1）证明：连接，平分，．‎ ‎　　．．‎ ‎　　．‎ ‎　　D E C B O A ，．‎ ‎　　．是⊙O的切线．‎ ‎　　（2）是直径，．‎ ‎　　，．‎ ‎　　平分，．‎ ‎　　．‎ ‎　　在中，．‎ ‎　　在中，．‎ ‎　　的长是‎1cm，的长是‎4cm．‎ ‎　　【点评】证明圆的切线，过切点的这条半径为必作辅助线.即经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.‎ ‎　　【例4】（广东茂名）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC，点D在弧BC上运动，过点D作DE∥BC，DE交AB的延长线于点E，连结AD、BD．‎ ‎　　（1）求证：∠ADB=∠E；‎ ‎　　（2）当点D运动到什么位置时，DE是⊙O的切线？请说明理由．‎ ‎　　（3）当AB=5，BC=6时，求⊙O的半径．（4分）‎ ‎　　【解析】（1）在△ABC中，∵AB=AC，‎ ‎　　∴∠ABC=∠C．‎ ‎　　∵DE∥BC，∴∠ABC=∠E，‎ ‎　　∴∠E=∠C．‎ ‎　　又∵∠ADB=∠C， ‎ ‎　　∴∠ADB=∠E．‎ ‎　　（2）当点D是弧BC的中点时，DE是⊙O的切线．‎ 理由是：当点D是弧BC的中点时，则有AD⊥BC，且AD过圆心O．‎ ‎　　又∵DE∥BC，∴ AD⊥ED． ‎ ‎　　∴ DE是⊙O的切线．‎ ‎　　（3）连结BO、AO，并延长AO交BC于点F， ‎ ‎　　则AF⊥BC，且BF=BC=3．‎ ‎　　又∵AB=5，∴AF=4．‎ ‎　　设⊙O的半径为，在Rt△OBF中，OF=4－，OB=，BF=3， ‎ ‎　　　∴　＝3＋（4－）‎ ‎　　解得＝，∴⊙O的半径是．‎ ‎　　【点评】 本题综合运用了等腰三角形的性质，圆的切线判定，解题最关键是抓住题中所给的已知条件，构造直角三角形，探索出不同的结论. 　　三、圆与圆的位置关系的考查 ‎　　基础知识链接：　如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,如图(1)、(2)、(3)所示．其中(1)又叫做外离,(2)、(3)又叫做内含．(3)中两圆的圆心相同,这两个圆还可以叫做同心圆．‎ ‎　　如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,如图(4)、(5)所示．其中(4)又叫做外切,(5)又叫做内切．‎ ‎　　如果两个圆只有两个公共点,那么就说这两个圆相交,如图(6)所示．‎ ‎　　【例5】　（甘肃兰州）．如图是北京奥运会自行车比赛项目标志，‎ 则图中两轮所在圆的位置关系是（　　）‎ ‎　　A．内含　　　B．相交　　　C．相切　　D．外离 ‎　　【解析】　图中的两圆没有公共点，且一个圆上的所有点都在另一个圆的外部，故两圆外离，选D.‎ ‎　　【点评】　圆与圆的位置关系有五种:外离、外切、相交、内切、内含．其关系可以用圆与圆的公共点的个数及点与圆的位置关系来判定, 也可以用数量关系来表示圆与圆的位置关系：‎ ‎　　如果设两圆的半径为 、,两圆的圆心距为d,则圆与圆的位置关系与数量关系如下表 ‎　　【例6】（赤峰市）如图（1），两半径为的等圆⊙O1和⊙O2相交于两点，且⊙O2过点．过点作直线垂直于，分别交⊙O1和⊙O2于两点，连结．‎ ‎　　（1）猜想点与⊙O1有什么位置关系，并给出证明；‎ ‎　　（2）猜想的形状，并给出证明；‎ ‎　　（3）如图（2），若过的点所在的直线不垂直于，且点在点的两侧，那么（2）中的结论是否成立，若成立请给出证明．‎ O2‎ O1‎ N M B A 图（1）‎ O2‎ O1‎ N M B A 图（2）‎ O2‎ O1‎ N M B A 图（1）‎ ‎　　【解析】解：（1）在上 ‎　　证明：∵⊙O2过点，．‎ ‎　　又⊙O1的半径也是，点在⊙O1上．‎ ‎　　（2）是等边三角形 ‎　　证明：，．‎ ‎　　O2‎ O1‎ N M B A 图（2）‎ 是⊙O2的直径，是⊙O1的直径，‎ ‎　　即，在上，在上．‎ ‎　　连结，则是的中位线．‎ ‎　　．‎ ‎　　，则是等边三角形．‎ ‎　　（3）仍然成立．‎ ‎　　证明：由（2）得在⊙O1中弧MN所对的圆周角为．‎ ‎　　在⊙O2中弧MN所对的圆周角为．当点在点的两侧时，‎ ‎　　在⊙O1中弧MN所对的圆周角，在⊙O2中弧MN所对的圆周角，‎ ‎　　是等边三角形．‎ ‎　　注：（2），（3）是中学生猜想为等腰三角形证明正确给一半分．‎ ‎　　【点评】相交两圆的连心线垂直平分公共弦，又且⊙O2过点，构建对称性知，⊙O1过O2，再证△NAB是等腰三角形；（2）1是的基础上发散探究，具有一定的开放性．‎ ‎　　四、圆与多边形的计算考查 ‎　　基础知识链接：圆与正多边形的关系的计算；‎ ‎　　2、弧长、扇形面积、圆锥侧面积全面积的计算.‎ ‎　　【例7】（赣州）小芳随机地向如图所示的圆形簸箕内撒了几把豆子，则豆子落到圆内接正方形（阴影部分）区域的概率是 ‎ ‎　　【解析】设圆的半径为1，则圆的面积为，易算得正方形的边长为，正方形面积为2，则豆子落到圆内接正方形（阴影部分）区域的概率是. 　　【点评】本题考查的是几何概率，解题的关键是圆与圆内接正方形的面积，根据古典概型，可转化为面积之比.‎ ‎　　【例8】（桂林）两同心圆，大圆半径为３，小圆半径为１，‎ 则阴影部分面积为　　‎ ‎　　【解析】根据大、小圆的半径，可求得圆环的面积为8，图中的阴影面积为圆环面积的一半4.‎ ‎　　【点评】有关面积计算问题，不难发现，一些不规则的图形可转化为规则的图形计算，本题就较好的体现了转化方法和整体思想.‎ ‎　　五、圆的综合性问题的考查 ‎　　基础知识链接：圆的有关知识与三角函数、一次函数、二次函数等综合应用。‎ ‎　　【例8】（怀化）如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与轴、轴分别相交于两点．‎ ‎　　（1）求出直线AB的函数解析式；‎ ‎　　（2）若有一抛物线的对称轴平行于轴且经过点M，顶点C在⊙M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的函数解析式；‎ ‎　　（3）设（2）中的抛物线交轴于D、E两点，在抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　　【解析】（1）设AB的函数表达式为 ‎　　∵∴∴ ‎ ‎　　∴直线AB的函数表达式为． ‎ ‎　　（2）设抛物线的对称轴与⊙M相交于一点，依题意知这一点就是抛物线的顶点C。又设对称轴与轴相交于点N，在直角三角形AOB中，‎ 因为⊙M经过O、A、B三点，且⊙M的直径，∴半径MA=5，∴N为AO的中点AN=NO=4，∴MN=3∴CN=MC-MN=5-3=2，∴C点的坐标为（-4，2）．‎ ‎　　设所求的抛物线为 则 ‎　　∴所求抛物线为 ‎　　（3）令得D、E两点的坐标为D（-6，0）、E（-2，0），所以DE=4．‎ 又AC=直角三角形的面积 假设抛物线上存在点．‎ 当故满足条件的存在．它们是．‎ ‎　　【点评】 本题是一次函数、二次函数与圆的综合性问题，解题的关键是抓住图形中的点的坐标，运用待定系数数的方法求出解析式；问题（3）结论一定，探究结论成立的探究，具有一定的开放性、探究性. ‎