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  • 2021-05-10 发布

‎2013中考数学压轴题动态几何题型精选解析(三)

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‎2013中考数学压轴题动态几何题型精选解析(三)‎ 例题 如图1,在直角坐标系中,已知点A(0,2)、点B(﹣2,0),过点B和线段OA的中点C作直线BC,以线段BC为边向上作正方形BCDE.‎ ‎(1)填空:点D的坐标为   ,点E的坐标为   .‎ ‎(2)若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A、D、E三点,求该抛物线的解析式. ‎(3)若正方形和抛物线均以每秒个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移,直至正方形的顶点E落在y轴上时,正方形和抛物线均停止运动.‎ ‎①在运动过程中,设正方形落在y轴右侧部分的面积为s,求s关于平移时间t(秒)的函数关系式,并写出相应自变量t的取值范围.‎ ‎②运动停止时,求抛物线的顶点坐标. 思路分析: ‎ ‎(1)构造全等三角形,由全等三角形对应线段之间的相等关系,求出点D、点E的坐标;‎ ‎(2)利用待定系数法求出抛物线的解析式;‎ ‎(3)本问非常复杂,须小心思考与计算:‎ ‎①为求s的表达式,需要识别正方形(与抛物线)的运动过程.正方形的平移,从开始到结束,总共历时秒,期间可以划分成三个阶段:当0<t≤时,对应图(3)a;当<t≤1时,对应图(3)b;当1<t≤时,对应图(3)c.每个阶段的表达式不同,请对照图形认真思考;‎ ‎②当运动停止时,点E到达y轴,点E(﹣3,2)运动到点E′(0,),可知整条抛物线向右平移了3个单位,向上平移了个单位.由此得到平移之后的抛物线解析式,进而求出其顶点坐标.‎ 解:(1)由题意可知:OB=2,OC=1.‎ 如图(1)所示,过D点作DH⊥y轴于H,过E点作EG⊥x轴于G.‎ 易证△CDH≌△BCO,∴DH=OC=1,CH=OB=2,∴D(﹣1,3);‎ 同理△EBG≌△BCO,∴BG=OC=1,EG=OB=2,∴E(﹣3,2).‎ ‎∴D(﹣1,3)、E(﹣3,2).‎ ‎(2)抛物线经过(0,2)、(﹣1,3)、(﹣3,2),‎ 则 解得 ‎ ‎∴.‎ ‎(3)①当点D运动到y轴上时,t=.‎ 当0<t≤时,如图(3)a所示.‎ 设D′C′交y轴于点F ‎∵tan∠BCO==2,又∵∠BCO=∠FCC′‎ ‎∴tan∠FCC′=2,即=2‎ ‎∵CC′=5t,∴FC′=25t. ‎∴S△CC′F=CC′•FC′=t×t=5t2‎ 当点B运动到点C时,t=1.‎ 当<t≤1时,如图(3)b所示.‎ 设D′E′交y轴于点G,过G作GH⊥B′C′于H.‎ 在Rt△BOC中,BC=‎ ‎∴GH=,∴CH=GH=‎ ‎∵CC′=t,∴HC′=t﹣,∴GD′=t﹣‎ ‎∴S梯形CC′D′G=(t﹣+t) =5t﹣‎ 当点E运动到y轴上时,t=.‎ 当1<t≤时,如图(3)c所示 设D′E′、E′B′分别交y轴于点M、N ‎∵CC′=t,B′C′=,‎ ‎∴CB′=t﹣,∴B′N=2CB′=t﹣‎ ‎∵B′E′=,∴E′N=B′E′﹣B′N=﹣t ‎∴E′M=E′N=(﹣t)‎ ‎∴S△MNE′=(﹣t)•(﹣t)=5t2﹣15t+‎ ‎∴S五边形B′C′D′MN=S正方形B′C′D′E′﹣S△MNE′=(5t2﹣15t+)=﹣5t2+15t﹣‎ 综上所述,S与x的函数关系式为:‎ 当0<t≤时,S=5t2‎ 当<t≤1时,S=5t 当1<t≤时,S=﹣5t2+15t ‎②当点E运动到点E′时,运动停止.如图(3)d所示 ‎∵∠CB′E′=∠BOC=90°,∠BCO=∠B′CE′‎ ‎∴△BOC∽△E′B′C ‎∴‎ ‎∵OB=2,B′E′=BC=‎ ‎∴‎ ‎∴CE′=‎ ‎∴OE′=OC+CE′=1+=‎ ‎∴E′(0,)‎ 由点E(﹣3,2)运动到点E′(0,),可知整条抛物线向右平移了3个单位,向上平移了个单位.‎ ‎∵= ‎∴原抛物线顶点坐标为(,)‎ ‎∴运动停止时,抛物线的顶点坐标为(,).‎ 点评: 本题是非常典型的动面型综合题,全面考查了初中数学代数几何的多个重要知识点,包括:二次函数的图象与性质、待定系数法求解析式、抛物线与几何变换(平移)、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质等.难点在于第(3)问,识别正方形和抛物线平移过程的不同阶段是关键所在.作为中考压轴题,本题涉及考点众多,计算复杂,因而难度很大,对考生综合能力要求很高,具有很好的区分度.‎