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- 2021-05-10 发布
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2013中考数学压轴题动态几何题型精选解析(三)
例题 如图1,在直角坐标系中,已知点A(0,2)、点B(﹣2,0),过点B和线段OA的中点C作直线BC,以线段BC为边向上作正方形BCDE.
(1)填空:点D的坐标为 ,点E的坐标为 .
(2)若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A、D、E三点,求该抛物线的解析式.
(3)若正方形和抛物线均以每秒个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移,直至正方形的顶点E落在y轴上时,正方形和抛物线均停止运动.
①在运动过程中,设正方形落在y轴右侧部分的面积为s,求s关于平移时间t(秒)的函数关系式,并写出相应自变量t的取值范围.
②运动停止时,求抛物线的顶点坐标.
思路分析:
(1)构造全等三角形,由全等三角形对应线段之间的相等关系,求出点D、点E的坐标;
(2)利用待定系数法求出抛物线的解析式;
(3)本问非常复杂,须小心思考与计算:
①为求s的表达式,需要识别正方形(与抛物线)的运动过程.正方形的平移,从开始到结束,总共历时秒,期间可以划分成三个阶段:当0<t≤时,对应图(3)a;当<t≤1时,对应图(3)b;当1<t≤时,对应图(3)c.每个阶段的表达式不同,请对照图形认真思考;
②当运动停止时,点E到达y轴,点E(﹣3,2)运动到点E′(0,),可知整条抛物线向右平移了3个单位,向上平移了个单位.由此得到平移之后的抛物线解析式,进而求出其顶点坐标.
解:(1)由题意可知:OB=2,OC=1.
如图(1)所示,过D点作DH⊥y轴于H,过E点作EG⊥x轴于G.
易证△CDH≌△BCO,∴DH=OC=1,CH=OB=2,∴D(﹣1,3);
同理△EBG≌△BCO,∴BG=OC=1,EG=OB=2,∴E(﹣3,2).
∴D(﹣1,3)、E(﹣3,2).
(2)抛物线经过(0,2)、(﹣1,3)、(﹣3,2),
则
解得
∴.
(3)①当点D运动到y轴上时,t=.
当0<t≤时,如图(3)a所示.
设D′C′交y轴于点F
∵tan∠BCO==2,又∵∠BCO=∠FCC′
∴tan∠FCC′=2,即=2
∵CC′=5t,∴FC′=25t.
∴S△CC′F=CC′•FC′=t×t=5t2
当点B运动到点C时,t=1.
当<t≤1时,如图(3)b所示.
设D′E′交y轴于点G,过G作GH⊥B′C′于H.
在Rt△BOC中,BC=
∴GH=,∴CH=GH=
∵CC′=t,∴HC′=t﹣,∴GD′=t﹣
∴S梯形CC′D′G=(t﹣+t) =5t﹣
当点E运动到y轴上时,t=.
当1<t≤时,如图(3)c所示
设D′E′、E′B′分别交y轴于点M、N
∵CC′=t,B′C′=,
∴CB′=t﹣,∴B′N=2CB′=t﹣
∵B′E′=,∴E′N=B′E′﹣B′N=﹣t
∴E′M=E′N=(﹣t)
∴S△MNE′=(﹣t)•(﹣t)=5t2﹣15t+
∴S五边形B′C′D′MN=S正方形B′C′D′E′﹣S△MNE′=(5t2﹣15t+)=﹣5t2+15t﹣
综上所述,S与x的函数关系式为:
当0<t≤时,S=5t2
当<t≤1时,S=5t
当1<t≤时,S=﹣5t2+15t
②当点E运动到点E′时,运动停止.如图(3)d所示
∵∠CB′E′=∠BOC=90°,∠BCO=∠B′CE′
∴△BOC∽△E′B′C
∴
∵OB=2,B′E′=BC=
∴
∴CE′=
∴OE′=OC+CE′=1+=
∴E′(0,)
由点E(﹣3,2)运动到点E′(0,),可知整条抛物线向右平移了3个单位,向上平移了个单位.
∵=
∴原抛物线顶点坐标为(,)
∴运动停止时,抛物线的顶点坐标为(,).
点评: 本题是非常典型的动面型综合题,全面考查了初中数学代数几何的多个重要知识点,包括:二次函数的图象与性质、待定系数法求解析式、抛物线与几何变换(平移)、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质等.难点在于第(3)问,识别正方形和抛物线平移过程的不同阶段是关键所在.作为中考压轴题,本题涉及考点众多,计算复杂,因而难度很大,对考生综合能力要求很高,具有很好的区分度.