2020年浙江省温州市中考数学试卷(含解析） 24页

‎2020年浙江省温州市中考数学试卷 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）‎ ‎1．（4分）数1，0，‎-‎‎2‎‎3‎，﹣2中最大的是（　　）‎ A．1 B．0 C．‎-‎‎2‎‎3‎ D．﹣2‎ ‎2．（4分）原子钟是以原子的规则振动为基础的各种守时装置的统称，其中氢脉泽钟的精度达到了1700000年误差不超过1秒．数据1700000用科学记数法表示为（　　）‎ A．17×105 B．1.7×106 C．0.17×107 D．1.7×107‎ ‎3．（4分）某物体如图所示，它的主视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（4分）一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中4个白球，2个红球，1个黄球．从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为（　　）‎ A．‎4‎‎7‎ B．‎3‎‎7‎ C．‎2‎‎7‎ D．‎‎1‎‎7‎ ‎5．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作▱BCDE，则∠E的度数为（　　）‎ A．40° B．50° C．60° D．70°‎ ‎6．（4分）山茶花是温州市的市花、品种多样，“金心大红”是其中的一种．某兴趣小组对30株“金心大红”的花径进行测量、记录，统计如下表：‎ 第24页（共24页）‎ 株数（株）‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎2‎ 花径（cm）‎ ‎6.5‎ ‎6.6‎ ‎6.7‎ ‎6.8‎ 这批“金心大红”花径的众数为（　　）‎ A．6.5cm B．6.6cm C．6.7cm D．6.8cm ‎7．（4分）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（　　）‎ A．1 B．2 C．‎2‎ D．‎‎3‎ ‎8．（4分）如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（　　）‎ A．（1.5+150tanα）米 B．（1.5‎+‎‎150‎tanα）米 ‎ C．（1.5+150sinα）米 D．（1.5‎+‎‎150‎sinα）米 ‎9．（4分）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则（　　）‎ A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2‎ ‎10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（　　）‎ 第24页（共24页）‎ A．14 B．15 C．8‎3‎ D．6‎‎5‎ 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎11．（5分）分解因式：m2﹣25＝　 　．‎ ‎12．（5分）不等式组x-3＜0，‎x+4‎‎2‎‎≥1‎的解为　 　．‎ ‎13．（5分）若扇形的圆心角为45°，半径为3，则该扇形的弧长为　 　．‎ ‎14．（5分）某养猪场对200头生猪的质量进行统计，得到频数直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示，其中质量在77.5kg及以上的生猪有　 　头．‎ ‎15．（5分）点P，Q，R在反比例函数y‎=‎kx（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S1+S3＝27，则S2的 值为　 　．‎ 第24页（共24页）‎ ‎16．（5分）如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥l，BF⊥l，点N，A，B在同一直线上．在F点观测A点后，沿FN方向走到M点，观测C点发现∠1＝∠2．测得EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，∠ANE＝45°，则场地的边AB为　 　米，BC为　 　米．‎ 三、解答题（本题有8小题，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）‎ ‎17．（10分）（1）计算：‎4‎‎-‎|﹣2|+（‎6‎）0﹣（﹣1）．‎ ‎（2）化简：（x﹣1）2﹣x（x+7）．‎ ‎18．（8分）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．‎ ‎（1）求证：△ABC≌△DCE．‎ ‎（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．‎ ‎19．（8分）A，B两家酒店规模相当，去年下半年的月盈利折线统计图如图所示．‎ ‎（1）要评价这两家酒店7～12月的月盈利的平均水平，你选择什么统计量？求出这个统计量．‎ ‎（2）已知A，B两家酒店7～12月的月盈利的方差分别为1.073（平方万元），0.54（平方万元）．根据所给的方差和你在（1）中所求的统计量，结合折线统计图，你认为去年下半年哪家酒店经营状况较好？请简述理由．‎ 第24页（共24页）‎ ‎20．（8分）如图，在6×4的方格纸ABCD中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点A，B，C，D重合．‎ ‎（1）在图1中画格点线段EF，GH各一条，使点E，F，G，H分别落在边AB，BC，CD，DA上，且EF＝GH，EF不平行GH．‎ ‎（2）在图2中画格点线段MN，PQ各一条，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且PQ‎=‎‎5‎MN．‎ ‎21．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．‎ ‎（1）求a，b的值．‎ ‎（2）若（5，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2＝12﹣y1，求m的值．‎ ‎22．（10分）如图，C，D为⊙O上两点，且在直径AB两侧，连结CD交AB于点E，G是AC上一点，∠ADC＝∠G．‎ ‎（1）求证：∠1＝∠2．‎ ‎（2）点C关于DG的对称点为F，连结CF．当点F落在直径AB上时，CF＝10，tan∠1‎=‎‎2‎‎5‎，求⊙O的半径．‎ 第24页（共24页）‎ ‎23．（12分）某经销商3月份用18000元购进一批T恤衫售完后，4月份用39000元购进一批相同的T恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元．‎ ‎（1）4月份进了这批T恤衫多少件？‎ ‎（2）4月份，经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价180元．甲店按标价卖出a件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出a件，然后将b件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．‎ ‎①用含a的代数式表示b．‎ ‎②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值．‎ ‎24．（14分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DE，BF分别平分∠ADC，∠ABC，并交线段AB，CD于点E，F（点E，B不重合）．在线段BF上取点M，N（点M在BN之间），使BM＝2FN．当点P从点D匀速运动到点E时，点Q恰好从点M匀速运动到点N．记QN＝x，PD＝y，已知y‎=-‎‎6‎‎5‎x+12，当Q为BF中点时，y‎=‎‎24‎‎5‎．‎ ‎（1）判断DE与BF的位置关系，并说明理由．‎ ‎（2）求DE，BF的长．‎ ‎（3）若AD＝6．‎ ‎①当DP＝DF时，通过计算比较BE与BQ的大小关系．‎ ‎②连结PQ，当PQ所在直线经过四边形ABCD的一个顶点时，求所有满足条件的x的值．‎ 第24页（共24页）‎ ‎2020年浙江省温州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）‎ ‎1．（4分）数1，0，‎-‎‎2‎‎3‎，﹣2中最大的是（　　）‎ A．1 B．0 C．‎-‎‎2‎‎3‎ D．﹣2‎ ‎【解答】解：﹣2‎＜-‎2‎‎3‎＜‎0＜1，‎ 所以最大的是1．‎ 故选：A．‎ ‎2．（4分）原子钟是以原子的规则振动为基础的各种守时装置的统称，其中氢脉泽钟的精度达到了1700000年误差不超过1秒．数据1700000用科学记数法表示为（　　）‎ A．17×105 B．1.7×106 C．0.17×107 D．1.7×107‎ ‎【解答】解：1700000＝1.7×106，‎ 故选：B．‎ ‎3．（4分）某物体如图所示，它的主视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：根据主视图就是从正面看物体所得到的图形可知：选项A所表示的图形符合题意，‎ 故选：A．‎ ‎4．（4分）一个不透明的布袋里装有7个只有颜色不同的球，其中4个白球，2个红球，1个黄球．从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为（　　）‎ A．‎4‎‎7‎ B．‎3‎‎7‎ C．‎2‎‎7‎ D．‎‎1‎‎7‎ 第24页（共24页）‎ ‎【解答】解：从布袋里任意摸出1个球，是红球的概率‎=‎‎2‎‎7‎．‎ 故选：C．‎ ‎5．（4分）如图，在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，点D在AC边上，以CB，CD为边作▱BCDE，则∠E的度数为（　　）‎ A．40° B．50° C．60° D．70°‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝40°，AB＝AC，‎ ‎∴∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70°，‎ ‎∵四边形BCDE是平行四边形，‎ ‎∴∠E＝70°．‎ 故选：D．‎ ‎6．（4分）山茶花是温州市的市花、品种多样，“金心大红”是其中的一种．某兴趣小组对30株“金心大红”的花径进行测量、记录，统计如下表：‎ 株数（株）‎ ‎7‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎2‎ 花径（cm）‎ ‎6.5‎ ‎6.6‎ ‎6.7‎ ‎6.8‎ 这批“金心大红”花径的众数为（　　）‎ A．6.5cm B．6.6cm C．6.7cm D．6.8cm ‎【解答】解：由表格中的数据可得，‎ 这批“金心大红”花径的众数为6.7，‎ 故选：C．‎ ‎7．（4分）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为1，则BD的长为（　　）‎ A．1 B．2 C．‎2‎ D．‎‎3‎ 第24页（共24页）‎ ‎【解答】解：连接OB，‎ ‎∵四边形OABC是菱形，‎ ‎∴OA＝AB，‎ ‎∵OA＝OB，‎ ‎∴OA＝AB＝OB，‎ ‎∴∠AOB＝60°，‎ ‎∵BD是⊙O的切线，‎ ‎∴∠DBO＝90°，‎ ‎∵OB＝1，‎ ‎∴BD‎=‎‎3‎OB‎=‎‎3‎，‎ 故选：D．‎ ‎8．（4分）如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（　　）‎ A．（1.5+150tanα）米 B．（1.5‎+‎‎150‎tanα）米 ‎ C．（1.5+150sinα）米 D．（1.5‎+‎‎150‎sinα）米 ‎【解答】解：过点A作AE⊥BC，E为垂足，如图所示：‎ 则四边形ADCE为矩形，AE＝150，‎ ‎∴CE＝AD＝1.5，‎ 在△ABE中，∵tanα‎=BEAE=‎BE‎150‎，‎ ‎∴BE＝150tanα，‎ ‎∴BC＝CE+BE＝（1.5+150tanα）（m），‎ 第24页（共24页）‎ 故选：A．‎ ‎9．（4分）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则（　　）‎ A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2‎ ‎【解答】解：抛物线的对称轴为直线x‎=-‎-12‎‎2×(-3)‎=-‎2，‎ ‎∵a＝﹣3＜0，‎ ‎∴x＝﹣2时，函数值最大，‎ 又∵﹣3到﹣2的距离比1到﹣2的距离小，‎ ‎∴y3＜y1＜y2．‎ 故选：B．‎ ‎10．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（　　）‎ A．14 B．15 C．8‎3‎ D．6‎‎5‎ ‎【解答】解：如图，连接EC，CH．设AB交CR于J．‎ 第24页（共24页）‎ ‎∵四边形ACDE，四边形BCJHD都是正方形，‎ ‎∴∠ACE＝∠BCH＝45°，‎ ‎∵∠ACB＝90°，∠BCI＝90°，‎ ‎∴∠ACE+∠ACB+∠BCH＝180°，∠ACB+∠BCI＝90°‎ ‎∴B，C，H共线，A，C，I共线，‎ ‎∵DE∥AI∥BH，‎ ‎∴∠CEP＝∠CHQ，‎ ‎∵∠ECP＝∠QCH，‎ ‎∴△ECP∽△HCQ，‎ ‎∴PCCQ‎=CECH=EPHQ=‎‎1‎‎2‎，‎ ‎∵PQ＝15，‎ ‎∴PC＝5，CQ＝10，‎ ‎∵EC：CH＝1：2，‎ ‎∴AC：BC＝1：2，设AC＝a，BC＝2a，‎ ‎∵PQ⊥CRCR⊥AB，‎ ‎∴CQ∥AB，‎ ‎∵AC∥BQ，CQ∥AB，‎ ‎∴四边形ABQC是平行四边形，‎ ‎∴AB＝CQ＝10，‎ ‎∵AC2+BC2＝AB2，‎ ‎∴5a2＝100，‎ ‎∴a＝2‎2‎（负根已经舍弃），‎ ‎∴AC＝2‎5‎，BC＝4‎5‎，‎ 第24页（共24页）‎ ‎∵‎1‎‎2‎•AC•BC‎=‎‎1‎‎2‎•AB•CJ，‎ ‎∴CJ‎=‎2‎5‎×4‎‎5‎‎10‎=‎4，‎ ‎∵JR＝AF＝AB＝10，‎ ‎∴CR＝CJ+JR＝14，‎ 故选：A．‎ 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）‎ ‎11．（5分）分解因式：m2﹣25＝　（m+5）（m﹣5）　．‎ ‎【解答】解：原式＝（m﹣5）（m+5），‎ 故答案为：（m﹣5）（m+5）．‎ ‎12．（5分）不等式组x-3＜0，‎x+4‎‎2‎‎≥1‎的解为　﹣2≤x＜3　．‎ ‎【解答】解：x-3＜0①‎x+4‎‎2‎‎≥1②‎，‎ 解①得x＜3；‎ 解②得x≥﹣2．‎ 故不等式组的解集为﹣2≤x＜3．‎ 故答案为：﹣2≤x＜3．‎ ‎13．（5分）若扇形的圆心角为45°，半径为3，则该扇形的弧长为　‎3‎‎4‎π　．‎ ‎【解答】解：根据弧长公式：l‎=‎45⋅π×3‎‎180‎=‎‎3‎‎4‎π，‎ 故答案为：‎3‎‎4‎π．‎ ‎14．（5分）某养猪场对200头生猪的质量进行统计，得到频数直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示，其中质量在77.5kg及以上的生猪有　140　头．‎ 第24页（共24页）‎ ‎【解答】解：由直方图可得，‎ 质量在77.5kg及以上的生猪：90+30+20＝140（头），‎ 故答案为：140．‎ ‎15．（5分）点P，Q，R在反比例函数y‎=‎kx（常数k＞0，x＞0）图象上的位置如图所示，分别过这三个点作x轴、y轴的平行线．图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1，S2，S3．若OE＝ED＝DC，S1+S3＝27，则S2的 值为　‎27‎‎5‎　．‎ ‎【解答】解：∵CD＝DE＝OE，‎ ‎∴可以假设CD＝DE＝OE＝a，‎ 则P（k‎3a，3a），Q（k‎2a，2a），R（ka，a），‎ ‎∴CP‎=‎‎3k‎3a，DQ‎=‎k‎2a，ER‎=‎ka，‎ ‎∴OG＝AG，OF＝2FG，OF‎=‎‎2‎‎3‎GA，‎ ‎∴S1‎=‎‎2‎‎3‎S3＝2S2，‎ ‎∵S1+S3＝27，‎ ‎∴S3‎=‎‎81‎‎5‎，S1‎=‎‎54‎‎5‎，S2‎=‎‎27‎‎5‎，‎ 第24页（共24页）‎ 故答案为‎27‎‎5‎．‎ ‎16．（5分）如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥l，BF⊥l，点N，A，B在同一直线上．在F点观测A点后，沿FN方向走到M点，观测C点发现∠1＝∠2．测得EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，∠ANE＝45°，则场地的边AB为　15‎2‎　米，BC为　20‎2‎　米．‎ ‎【解答】解：∵AE⊥l，BF⊥l，‎ ‎∵∠ANE＝45°，‎ ‎∴△ANE和△BNF是等腰直角三角形，‎ ‎∴AE＝EN，BF＝FN，‎ ‎∴EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，‎ ‎∴AE＝EN＝15+2+8＝25（米），BF＝FN＝2+8＝10（米），‎ ‎∴AN＝25‎2‎，BN＝10‎2‎，‎ ‎∴AB＝AN﹣BN＝15‎2‎（米）；‎ 过C作CH⊥l于H，过B作PQ∥l交AE于P，交CH于Q，‎ ‎∴AE∥CH，‎ ‎∴四边形PEHQ和四边形PEFB是矩形，‎ ‎∴PE＝BF＝QH＝10，PB＝EF＝15，BQ＝FH，‎ ‎∵∠1＝∠2，∠AEF＝∠CHM＝90°，‎ ‎∴△AEF∽△CHM，‎ ‎∴CHHM‎=AEEF=‎25‎‎15‎=‎‎5‎‎3‎，‎ ‎∴设MH＝3x，CH＝5x，‎ ‎∴CQ＝5x﹣10，BQ＝FH＝3x+2，‎ 第24页（共24页）‎ ‎∵∠APB＝∠ABC＝∠CQB＝90°，‎ ‎∴∠ABP+∠PAB＝∠ABP+∠CBQ＝90°，‎ ‎∴∠PAB＝∠CBQ，‎ ‎∴△APB∽△BQC，‎ ‎∴APBQ‎=‎PBCQ，‎ ‎∴‎15‎‎3x+2‎‎=‎‎15‎‎5x-10‎，‎ ‎∴x＝6，‎ ‎∴BQ＝CQ＝20，‎ ‎∴BC＝20‎2‎，‎ 故答案为：15‎2‎，20‎2‎．‎ 三、解答题（本题有8小题，共80分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）‎ ‎17．（10分）（1）计算：‎4‎‎-‎|﹣2|+（‎6‎）0﹣（﹣1）．‎ ‎（2）化简：（x﹣1）2﹣x（x+7）．‎ ‎【解答】解：（1）原式＝2﹣2+1+1‎ ‎＝2；‎ ‎（2）（x﹣1）2﹣x（x+7）‎ ‎＝x2﹣2x+1﹣x2﹣7x ‎＝﹣9x+1．‎ ‎18．（8分）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．‎ ‎（1）求证：△ABC≌△DCE．‎ 第24页（共24页）‎ ‎（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．‎ ‎【解答】证明：（1）∵AB∥DE，‎ ‎∴∠BAC＝∠D，‎ 又∵∠B＝∠DCE＝90°，AC＝DE，‎ ‎∴△ABC≌△DCE（AAS）；‎ ‎（2）∵△ABC≌△DCE，‎ ‎∴CE＝BC＝5，‎ ‎∵∠ACE＝90°，‎ ‎∴AE‎=AC‎2‎+CE‎2‎=‎25+144‎=‎13．‎ ‎19．（8分）A，B两家酒店规模相当，去年下半年的月盈利折线统计图如图所示．‎ ‎（1）要评价这两家酒店7～12月的月盈利的平均水平，你选择什么统计量？求出这个统计量．‎ ‎（2）已知A，B两家酒店7～12月的月盈利的方差分别为1.073（平方万元），0.54（平方万元）．根据所给的方差和你在（1）中所求的统计量，结合折线统计图，你认为去年下半年哪家酒店经营状况较好？请简述理由．‎ ‎【解答】解：（1）选择两家酒店月盈利的平均值；‎ xA‎=‎1+1.6+2.2+2.7+3.5+4‎‎6‎=‎‎2.5，‎ xB‎=‎2+3+1.7+1.8+1.7+3.6‎‎6‎=‎‎2.3；‎ ‎（2）平均数，方差反映酒店的经营业绩，A酒店的经营状况较好．‎ 第24页（共24页）‎ 理由：A酒店盈利的平均数为2.5，B酒店盈利的平均数为2.3．A酒店盈利的方差为1.073，B酒店盈利的方差为0.54，无论是盈利的平均数还是盈利的方差，都是A酒店比较大，故A酒店的经营状况较好．‎ ‎20．（8分）如图，在6×4的方格纸ABCD中，请按要求画格点线段（端点在格点上），且线段的端点均不与点A，B，C，D重合．‎ ‎（1）在图1中画格点线段EF，GH各一条，使点E，F，G，H分别落在边AB，BC，CD，DA上，且EF＝GH，EF不平行GH．‎ ‎（2）在图2中画格点线段MN，PQ各一条，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且PQ‎=‎‎5‎MN．‎ ‎【解答】解：（1）如图1，线段EF和线段GH即为所求；‎ ‎（2）如图2，线段MN和线段PQ即为所求．‎ ‎21．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．‎ ‎（1）求a，b的值．‎ ‎（2）若（5，y1），（m，y2）是抛物线上不同的两点，且y2＝12﹣y1，求m的值．‎ ‎【解答】解：（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1得，‎-2=a+b+1‎‎13=4a-2b+1‎，‎ 第24页（共24页）‎ 解得：a=1‎b=-4‎；‎ ‎（2）由（1）得函数解析式为y＝x2﹣4x+1，‎ 把x＝5代入y＝x2﹣4x+1得，y1＝6，‎ ‎∴y2＝12﹣y1＝6，‎ ‎∵y1＝y2，‎ ‎∴对称轴为x＝2，‎ ‎∴m＝4﹣5＝﹣1．‎ ‎22．（10分）如图，C，D为⊙O上两点，且在直径AB两侧，连结CD交AB于点E，G是AC上一点，∠ADC＝∠G．‎ ‎（1）求证：∠1＝∠2．‎ ‎（2）点C关于DG的对称点为F，连结CF．当点F落在直径AB上时，CF＝10，tan∠1‎=‎‎2‎‎5‎，求⊙O的半径．‎ ‎【解答】解：（1）∵∠ADC＝∠G，‎ ‎∴AC‎=‎AD，‎ ‎∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴BC‎=‎BD，‎ ‎∴∠1＝∠2；‎ ‎（2）如图，连接DF，‎ ‎∵AC‎=‎AD，AB是⊙O的直径，‎ ‎∴AB⊥CD，CE＝DE，‎ 第24页（共24页）‎ ‎∴FD＝FC＝10，‎ ‎∵点C，F关于DG对称，‎ ‎∴DC＝DF＝10，‎ ‎∴DE＝5，‎ ‎∵tan∠1‎=‎‎2‎‎5‎，‎ ‎∴EB＝DE•tan∠1＝2，‎ ‎∵∠1＝∠2，‎ ‎∴tan∠2‎=‎‎2‎‎5‎，‎ ‎∴AE‎=DEtan∠2‎=‎‎25‎‎2‎，‎ ‎∴AB＝AE+EB‎=‎‎29‎‎2‎，‎ ‎∴⊙O的半径为‎29‎‎4‎．‎ ‎23．（12分）某经销商3月份用18000元购进一批T恤衫售完后，4月份用39000元购进一批相同的T恤衫，数量是3月份的2倍，但每件进价涨了10元．‎ ‎（1）4月份进了这批T恤衫多少件？‎ ‎（2）4月份，经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价180元．甲店按标价卖出a件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出a件，然后将b件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．‎ ‎①用含a的代数式表示b．‎ ‎②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）设3月份购进x件T恤衫，‎ ‎18000‎x‎+10=‎‎39000‎‎2x‎，‎ 解得，x＝150，‎ 经检验，x＝150是原分式方程的解，‎ 则2x＝300，‎ 答：4月份进了这批T恤衫300件；‎ ‎（2）①每件T恤衫的进价为：39000÷300＝130（元），‎ ‎（180﹣130）a+（180×0.8﹣130）（150﹣a）＝（180﹣130）a+（180×0.9﹣130）b+（180×0.7﹣130）（150﹣a﹣b）‎ 第24页（共24页）‎ 化简，得 b‎=‎‎150-a‎2‎；‎ ‎②设乙店的利润为w元，‎ w＝（180﹣130）a+（180×0.9﹣130）b+（180×0.7﹣130）（150﹣a﹣b）＝54a+36b﹣600＝54a+36‎×‎150-a‎2‎-‎600＝36a+2100，‎ ‎∵乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，‎ ‎∴a≤b，‎ 即a‎≤‎‎150-a‎2‎，‎ 解得，a≤50，‎ ‎∴当a＝50时，w取得最大值，此时w＝3900，‎ 答：乙店利润的最大值是3900元．‎ ‎24．（14分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DE，BF分别平分∠ADC，∠ABC，并交线段AB，CD于点E，F（点E，B不重合）．在线段BF上取点M，N（点M在BN之间），使BM＝2FN．当点P从点D匀速运动到点E时，点Q恰好从点M匀速运动到点N．记QN＝x，PD＝y，已知y‎=-‎‎6‎‎5‎x+12，当Q为BF中点时，y‎=‎‎24‎‎5‎．‎ ‎（1）判断DE与BF的位置关系，并说明理由．‎ ‎（2）求DE，BF的长．‎ ‎（3）若AD＝6．‎ ‎①当DP＝DF时，通过计算比较BE与BQ的大小关系．‎ ‎②连结PQ，当PQ所在直线经过四边形ABCD的一个顶点时，求所有满足条件的x的值．‎ ‎【解答】解：（1）DE与BF的位置关系为：DE∥BF，理由如下：‎ 如图1所示：‎ ‎∵∠A＝∠C＝90°，‎ 第24页（共24页）‎ ‎∴∠ADC+∠ABC＝360°﹣（∠A+∠C）＝180°，‎ ‎∵DE、BF分别平分∠ADC、∠ABC，‎ ‎∴∠ADE‎=‎‎1‎‎2‎∠ADC，∠ABF‎=‎‎1‎‎2‎∠ABC，‎ ‎∴∠ADE+∠ABF‎=‎1‎‎2‎×‎180°＝90°，‎ ‎∵∠ADE+∠AED＝90°，‎ ‎∴∠AED＝∠ABF，‎ ‎∴DE∥BF；‎ ‎（2）令x＝0，得y＝12，‎ ‎∴DE＝12，‎ 令y＝0，得x＝10，‎ ‎∴MN＝10，‎ 把y‎=‎‎24‎‎5‎代入y‎=-‎‎6‎‎5‎x+12，‎ 解得：x＝6，即NQ＝6，‎ ‎∴QM＝10﹣6＝4，‎ ‎∵Q是BF中点，‎ ‎∴FQ＝QB，‎ ‎∵BM＝2FN，‎ ‎∴FN+6＝4+2FN，‎ 解得：FN＝2，‎ ‎∴BM＝4，‎ ‎∴BF＝FN+MN+MB＝16；‎ ‎（3）①连接EM并延长交BC于点H，如图2所示：‎ ‎∵FM＝2+10＝12＝DE，DE∥BF，‎ ‎∴四边形DFME是平行四边形，‎ ‎∴DF＝EM，‎ ‎∵AD＝6，DE＝12，∠A＝90°，‎ ‎∴∠DEA＝30°，‎ ‎∴∠DEA＝∠FBE＝∠FBC＝30°，‎ ‎∴∠ADE＝60°，‎ 第24页（共24页）‎ ‎∴∠ADE＝∠CDE＝∠FME＝60°，‎ ‎∴∠DFM＝∠DEM＝120°，‎ ‎∴∠MEB＝180°﹣120°﹣30°＝30°，‎ ‎∴∠MEB＝∠FBE＝30°，‎ ‎∴∠EHB＝180°﹣30°﹣30°﹣30°＝90°，DF＝EM＝BM＝4，‎ ‎∴MH‎=‎‎1‎‎2‎BM＝2，‎ ‎∴EH＝4+2＝6，‎ 由勾股定理得：HB‎=BM‎2‎-MH‎2‎=‎4‎‎2‎‎-‎‎2‎‎2‎=‎2‎3‎，‎ ‎∴BE‎=EH‎2‎-HB‎2‎=‎6‎‎2‎‎+(2‎‎3‎‎)‎‎2‎=‎4‎3‎，‎ 当DP＝DF时，‎-‎‎6‎‎5‎x+12＝4，‎ 解得：x‎=‎‎20‎‎3‎，‎ ‎∴BQ＝14﹣x＝14‎-‎20‎‎3‎=‎‎22‎‎3‎，‎ ‎∵‎22‎‎3‎‎＞‎4‎3‎，‎ ‎∴BQ＞BE；‎ ‎②（Ⅰ）当PQ经过点D时，如图3所示：‎ y＝0，‎ 则x＝10；‎ ‎（Ⅱ）当PQ经过点C时，如图4所示：‎ ‎∵BF＝16，∠FCB＝90°，∠CBF＝30°，‎ ‎∴CF‎=‎‎1‎‎2‎BF＝8，‎ ‎∴CD＝8+4＝12，‎ ‎∵FQ∥DP，‎ ‎∴△CFQ∽△CDP，‎ ‎∴FQDP‎=‎CFCD，‎ ‎∴‎2+x‎-‎6‎‎5‎x+12‎‎=‎‎8‎‎12‎，‎ 解得：x‎=‎‎10‎‎3‎；‎ 第24页（共24页）‎ ‎（Ⅲ）当PQ经过点A时，如图5所示：‎ ‎∵PE∥BQ，‎ ‎∴△APE∽△AQB，‎ ‎∴PEBQ‎=‎AEAB，‎ 由勾股定理得：AE‎=DE‎2‎-AD‎2‎=‎1‎2‎‎2‎-‎‎6‎‎2‎=‎6‎3‎，‎ ‎∴AB＝6‎3‎‎+‎4‎3‎‎=‎10‎3‎，‎ ‎∴‎12-(-‎6‎‎5‎x+12)‎‎14-x‎=‎‎6‎‎3‎‎10‎‎3‎，‎ 解得：x‎=‎‎14‎‎3‎，‎ 由图可知，PQ不可能过点B；‎ 综上所述，当x＝10或x‎=‎‎10‎‎3‎或x‎=‎‎14‎‎3‎时，PQ所在的直线经过四边形ABCD的一个顶点．‎ 第24页（共24页）‎ 第24页（共24页）‎