上海中考数学卷题思路解析 4页

‎2018上海中考数学卷25题思路解析 如图，在⊙O中AB是直径，AB=2，点C，点D是圆上的两点，连结BD，AC交于E，OD⊥AC垂足为F.‎ （1） 如图11，若AC=DB，求弦AC的长.‎ （2） 如图12，E是DB的中点，求∠ABD的余切.‎ （3） 连结CB，DC，DA若CB是⊙O内接正n边形的一边，DC是是⊙O内接正（n+4）边形的一边，求三角形ADC的面积.‎ （1） ‎∵AC=DB，‎ ‎ ∴弧ADC=弧BCD，‎ ‎∴弧AD=弧BC，‎ 则∠A=∠B；‎ 又∵∠AOD=2∠B ‎∴∠AOD=2∠A，‎ 则∠AOD+∠A=3∠A；‎ 又∵OD⊥AC ‎∴∠AFO=900，‎ ‎∴∠AOD+∠A=900，‎ ‎∴3∠A=900，‎ ‎∠A=300；‎ 在Rt△AFO中，AO=1，‎ AF=AO×cos∠A=1×cos300=；‎ 又∵OD⊥AC ‎ ∴AC=2 AF =‎ ‎（2）连结CB，OE，‎ ‎ ∵AB为直径，‎ ‎ ∴3∠C=900，‎ ‎ 又∵∠DFE=900；‎ 易证得△BCE≌△DFE，‎ ‎ ∴BC=DF；‎ ‎ 又∵是△ABC的中位线，‎ ‎∴BC=2OF，‎ 则DO=3OF，‎ 又∵DO=1‎ ‎∴OF=，DF=‎ 由垂径定理推论，OE⊥BD ‎∴在Rt△DEO中，‎ 易证得Rt△DFE∽Rt△EFO，‎ ‎∴EF2=OF×DF=，‎ 则EF=；‎ 又∵∠ABD=∠D，‎ cot∠ABD=cot∠D==‎ ‎（3）‎ 为了方便研究问题，我们省略线段BD，标注了α，β，α 在Rt△AFO中，‎ α+∠AOF=900；‎ ‎∠AOF=1800-α-β ‎∴β+α=900‎ 连结OC，‎ 根据⊙O内接正n边形的中心角公式，‎ α= ，β= ；‎ ‎∴+·=90‎ 解得，n=4 ，n=-2（舍去）；‎ 此时得α=900 ，β=450 ，‎ ‎∴∠AOF=450 ，‎ 为解题方便最好重新画图如下，‎ 用割补法，S△ADC = S四AOCD-S△AOC ‎ 易证得△AOD≌△COD，‎ ‎∴S四AOCD=2S△ODC ，‎ S△ODC=OD·FC，‎ 而FC=OC·sin450=，‎ ‎∴S△ODC=·1·=，‎ 则S四AOCD=2S△ODC ‎∵S△AOC=·1·1=‎ ‎∴S△ADC = S四AOCD-S△AOC=‎