2017年上海市静安区中考数学一模试卷39882 23页

‎2017年上海市静安区中考数学一模试卷 ‎　‎ 一、选择题（每小题4分，共24分）‎ ‎1．（4分）a（a＞0）等于（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎2．（4分）下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（　　）‎ A．x2+y2+2x+2y B．x2+y2+2xy﹣2 C．x2﹣y2+4x+4y D．x2﹣y2+4y﹣4‎ ‎3．（4分）在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，=，要使DE∥BC，还需满足下列条件中的（　　）‎ A．= B．= C．= D．=‎ ‎4．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=m，∠A=α，那么AC的长为（　　）‎ A．m•sinα B．m•cosα C．m•tanα D．m•cotα ‎5．（4分）如果锐角α的正弦值为，那么下列结论中正确的是（　　）‎ A．α=30° B．α=45° C．30°＜α＜45° D．45°＜α＜60°‎ ‎6．（4分）将抛物线y=ax2﹣1平移后与抛物线y=a（x﹣1）2重合，抛物线y=ax2﹣1上的点A（2，3）同时平移到A′，那么点A′的坐标为（　　）‎ A．（3，4） B．（1，2） C．（3，2） D．（1，4）‎ ‎　‎ 二．填空题（每个小题4分，共48分）‎ ‎7．（4分）16的平方根是　 　．‎ ‎8．（4分）如果代数式有意义，那么x的取值范围为　 　．‎ ‎9．（4分）方程+=1的根为　 　．‎ ‎10．（4分）如果一次函数y=（m﹣3）x+m﹣2的图象一定经过第三、第四象限，那么常数m的取值范围为　 　．‎ ‎11．（4分）二次函数y=x2﹣8x+10的图象的顶点坐标是　 　．‎ ‎12．（4分）如果点A（﹣1，4）、B（m，4）在抛物线y=a（x﹣1）2+h上，那么m的值为　 　．‎ ‎13．（4分）如果△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF相似比为1：4，那么△ABC与△DEF的面积比为　 　．‎ ‎14．（4分）在△ABC中，如果AB=AC=10，cosB=，那么△ABC的重心到底边的距离为　 　．‎ ‎15．（4分）已知平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点，DE与AC相交于点F，设=，=，那么=　 　 （用，的式子表示）‎ ‎16．（4分）在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，△ADE∽△ABC，如果AB=4，BC=5，AC=6，AD=3，那么△ADE的周长为　 　．‎ ‎17．（4分）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，∠BDC=∠CED，如果DE=4，CD=6，那么AD：AE等于　 　．‎ ‎18．（4分）一张直角三角形纸片ABC，∠C=90°，AB=24，tanB=（如图），将它折叠使直角顶点C与斜边AB的中点重合，那么折痕的长为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共78分）‎ ‎19．（10分）计算：．‎ ‎20．（10分）解方程组：．‎ ‎21．（10分）已知：如图，第一象限内的点A，B在反比例函数的图象上，点C在y轴上，BC∥x轴，点A的坐标为（2，4），且cot∠ACB=‎ 求：（1）反比例函数的解析式；‎ ‎（2）点C的坐标；‎ ‎（3）∠ABC的余弦值．‎ ‎22．（10分）将笔记本电脑放置在水平桌面上，显示屏OB与底板OA夹角为115°（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，在底板下面垫入散热架O′AC后，电脑转到AO′B′的位置（如图3），侧面示意图为图4，已知OA=0B=20cm，B′O′⊥OA，垂足为C．‎ ‎（1）求点O′的高度O′C；（精确到0.1cm）‎ ‎（2）显示屏的顶部B′比原来升高了多少？（精确到0.1cm）‎ ‎（3）如图4，要使显示屏O′B′与原来的位置OB平行，显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？‎ 参考数据：（sin65°=0.906，cos65°=0.423，tan65°=2.146．cot65°=0.446）‎ ‎23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA•BD=BC•BE ‎（1）求证：DE•AB=AC•BE；‎ ‎（2）如果AC2=AD•AB，求证：AE=AC．‎ ‎24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的正半轴相交于点A，与y轴相交于点B，点C在线段OA上，点D在此抛物线上，CD⊥x轴，且∠DCB=∠DAB，AB与CD相交于点E．‎ ‎（1）求证：△BDE∽△CAE；‎ ‎（2）已知OC=2，tan∠DAC=3，求此抛物线的表达式．‎ ‎25．（14分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，AC=BC，点E在DC的延长线上，∠BEC=∠ACB，已知BC=9，cos∠ABC=．‎ ‎（1）求证：BC2=CD•BE；‎ ‎（2）设AD=x，CE=y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；‎ ‎（3）如果△DBC∽△DEB，求CE的长．‎ ‎　‎ ‎2017年上海市静安区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题4分，共24分）‎ ‎1．（4分）（2017•静安区一模）a（a＞0）等于（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，分数指数幂，可得答案．‎ ‎【解答】解：a===，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了负整数指数幂，利用负整数指数幂、分数指数幂是解题关键．‎ ‎　‎ ‎2．（4分）（2017•静安区一模）下列多项式中，在实数范围不能分解因式的是（　　）‎ A．x2+y2+2x+2y B．x2+y2+2xy﹣2 C．x2﹣y2+4x+4y D．x2﹣y2+4y﹣4‎ ‎【分析】各项利用平方差公式及完全平方公式判断即可．‎ ‎【解答】解：A、原式不能分解；‎ B、原式=（x+y）2﹣2=（x+y+）（x+y﹣）；‎ C、原式=（x+y）（x﹣y）+4（x+y）=（x+y）（x﹣y+4）；‎ D、原式=x2﹣（y﹣2）2=（x+y﹣2）（x﹣y+2），‎ 故选A ‎【点评】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（4分）（2017•静安区一模）在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，=，要使DE∥BC，还需满足下列条件中的（　　）‎ A．= B．= C．= D．=‎ ‎【分析】先求出比例式，再根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC，根据相似推出∠ADE=∠B，根据平行线的判定得出即可 ‎【解答】解：‎ 只有选项D正确，‎ 理由是：∵AD=2，BD=4，=，‎ ‎∴==，‎ ‎∵∠DAE=∠BAC，‎ ‎∴△ADE∽△ABC，‎ ‎∴∠ADE=∠B，‎ ‎∴DE∥BC，‎ 根据选项A、B、C的条件都不能推出DE∥BC，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．（4分）（2017•静安区一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=m，∠A=α，那么AC的长为（　　）‎ A．m•sinα B．m•cosα C．m•tanα D．m•cotα ‎【分析】根据余角函数是邻边比斜边，可得答案．‎ ‎【解答】解：由题意，得 cosA=，‎ AC=AB•cosA=m•cosα，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，利用余角函数的定义是解题关键．‎ ‎　‎ ‎5．（4分）（2017•静安区一模）如果锐角α的正弦值为，那么下列结论中正确的是（　　）‎ A．α=30° B．α=45° C．30°＜α＜45° D．45°＜α＜60°‎ ‎【分析】正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），可得答案．‎ ‎【解答】解：由＜＜，得 ‎30°＜α＜45°，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了锐角三角形的增减性，当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．也考查了互余两角的三角函数之间的关系．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）（2017•静安区一模）将抛物线y=ax2﹣1平移后与抛物线y=a（x﹣1）2重合，抛物线y=ax2﹣1上的点A（2，3）同时平移到A′，那么点A′的坐标为（　　）‎ A．（3，4） B．（1，2） C．（3，2） D．（1，4）‎ ‎【分析】根据两个抛物线的平移规律得到点A的平移规律，易得点A′的坐标．‎ ‎【解答】解：∵抛物线y=ax2﹣1的顶点坐标是（0，﹣1），抛物线y=a（x﹣1）2的顶点坐标是（1，0），‎ ‎∴将抛物线y=ax2﹣1向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到抛物线y=a（x﹣1）2，‎ ‎∴将点A（2，3）向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到点A′的坐标为（3，4），‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．‎ ‎　‎ 二．填空题（每个小题4分，共48分）‎ ‎7．（4分）（2017•恩施州）16的平方根是　±4　．‎ ‎【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．‎ ‎【解答】解：∵（±4）2=16，‎ ‎∴16的平方根是±4．‎ 故答案为：±4．‎ ‎【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．‎ ‎　‎ ‎8．（4分）（2017•静安区一模）如果代数式有意义，那么x的取值范围为　x＞﹣2　．‎ ‎【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．‎ ‎【解答】解：由题意得，x+2＞0，‎ 解得，x＞﹣2，‎ 故答案为：x＞﹣2．‎ ‎【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．（4分）（2017•静安区一模）方程+=1的根为　x=2　．‎ ‎【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．‎ ‎【解答】解：去分母得：x﹣5+2x+2=x2﹣1，‎ 整理得：x2﹣3x+2=0，即（x﹣2）（x﹣1）=0，‎ 解得：x=1或x=2，‎ 经检验x=1是增根，分式方程的解为x=2，‎ 故答案为：x=2‎ ‎【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．‎ ‎　‎ ‎10．（4分）（2017•静安区一模）如果一次函数y=（m﹣3）x+m﹣2的图象一定经过第三、第四象限，那么常数m的取值范围为　m＜2　．‎ ‎【分析】根据一次函数的性质，一次函数y=（m﹣3）x+m﹣2的图象一定经过第三、第四象限，那么图象一定与y轴的负半轴有交点，即可解答．‎ ‎【解答】解：∵一次函数y=（m﹣3）x+m﹣2的图象一定经过第三、第四象限，‎ ‎∴图象一定与y轴的负半轴有交点，‎ ‎∴m﹣2＜0，‎ ‎∴m＜2，‎ 故答案为：m＜2．‎ ‎【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0，b＜0时，函数的图象经过一、三、四象限是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎11．（4分）（2017•静安区一模）二次函数y=x2﹣8x+10的图象的顶点坐标是　（4，﹣6）　．‎ ‎【分析】将二次函数化为顶点式后即可确定其顶点坐标．‎ ‎【解答】解：∵y=2x2﹣8x+10=2（x﹣4）2﹣6，‎ ‎∴顶点坐标为（4，﹣6），‎ 故答案为：（4，﹣6）．‎ ‎【点评】此题考查二次函数的性质，将解析式化为顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）（2017•静安区一模）如果点A（﹣1，4）、B（m，4）在抛物线y=a（x﹣1）2+h上，那么m的值为　3　．‎ ‎【分析】根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得答案．‎ ‎【解答】解：由点A（﹣1，4）、B（m，4）在抛物线y=a（x﹣1）2+h上，得 ‎（﹣1，4）与（m，4）关于对称轴x=1对称，‎ m﹣1=1﹣（﹣1），‎ 解得m=3，‎ 故答案为：3．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用函数值相等两点关于对称轴对称得出m﹣1=1﹣（﹣1）是解题关键．‎ ‎　‎ ‎13．（4分）（2017•静安区一模）如果△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF相似比为1：4，那么△ABC与△DEF的面积比为　1：16　．‎ ‎【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF相似比为1：4，‎ ‎∴△ABC与△DEF的面积比=（）2=1：16．‎ 故答案为：1：16．‎ ‎【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）（2017•静安区一模）在△ABC中，如果AB=AC=10，cosB=，那么△ABC的重心到底边的距离为　2　．‎ ‎【分析】‎ 根据等腰三角形的三线合一，知三角形的重心在BC边的高上．根据勾股定理求得该高，再根据三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，求得G到BC的距离．‎ ‎【解答】解：∵AB=AC=10，‎ ‎∴△ABC是等腰三角形 ‎∴三角形的重心G在BC边的高 ‎∵cosB=，‎ ‎∴在BC边的高=6，‎ 根据三角形的重心性质 ‎∴G到BC的距离是2．‎ 故答案为：2‎ ‎【点评】本题考查了三角形的重心，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）（2017•静安区一模）已知平行四边形ABCD中，点E是边BC的中点，DE与AC相交于点F，设=，=，那么=　﹣　 （用，的式子表示）‎ ‎【分析】根据平行四边形的性质及中点的定义得BC∥AD、BC=AD=2EC，再证△ADF∽△CEF得=，根据==﹣=﹣（）可得答案．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，点E是边BC的中点，‎ ‎∴BC∥AD，BC=AD=2EC，‎ ‎∴△ADF∽△CEF，，‎ ‎∴==2，‎ 则=，‎ ‎∴=‎ ‎=﹣‎ ‎=﹣（）‎ ‎=﹣（+）‎ ‎=﹣，‎ 故答案为：﹣．‎ ‎【点评】本题主要考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质及向量的基本运算，熟练掌握向量的运算法则是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．（4分）（2017•静安区一模）在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，△ADE∽△ABC，如果AB=4，BC=5，AC=6，AD=3，那么△ADE的周长为　　．‎ ‎【分析】根据题意画出图形，根据相似三角形的性质求出DE及AE的长，进而可得出结论．‎ ‎【解答】解：如图，∵△ADE∽△ABC，‎ ‎∴==，即==，解得DE=，AE=，‎ ‎∴△ADE的周长=AD+AE+DE=3++=；‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎17．（4分）（2017•静安区一模）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，∠BDC=∠CED，如果DE=4，CD=6，那么AD：AE等于　3：2　．‎ ‎【分析】由DE∥BC，推出∠EDC=∠BCD，=，由△BDC∽△CED，推出===，由此即可解决问题．‎ ‎【解答】解：∵DE∥BC，‎ ‎∴∠EDC=∠BCD，=‎ ‎∵∠BDC=∠DEC，‎ ‎∴△BDC∽△CED，‎ ‎∴===，‎ ‎∴=．‎ 故答案为3：2．‎ ‎【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的性质，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎18．（4分）（2017•静安区一模）一张直角三角形纸片ABC，∠C=90°，AB=24，tanB=（如图），将它折叠使直角顶点C与斜边AB的中点重合，那么折痕的长为　13　．‎ ‎【分析】根据直角三角形的性质求出CD，得到∠DCB=∠B，根据垂直的定义、等量代换得到∠OEC=∠B，根据正切的定义、勾股定理计算即可．‎ ‎【解答】解：∵CD是斜边AB上的中线，‎ ‎∴DC=DB=AB=12，‎ ‎∴∠DCB=∠B，‎ 由题意得，EF是CD的垂直平分线，‎ ‎∴∠OEC+∠OCE=90°，又∠DCB+∠OCE=90°，‎ ‎∴∠OEC=∠B，‎ 设CF=2x，则CE=3x，‎ 由勾股定理得，EF=x，‎ ‎×2x×3x=×x×6，‎ 解得，x=，‎ ‎∴EF=×=13，‎ 故答案为：13．‎ ‎【点评】本题考查的是翻转变换的性质，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（共78分）‎ ‎19．（10分）（2017•静安区一模）计算：．‎ ‎【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．‎ ‎【解答】解：原式=‎ ‎=‎ ‎=．‎ ‎【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．‎ ‎　‎ ‎20．（10分）（2017•静安区一模）解方程组：．‎ ‎【分析】由②得出x﹣3y=±2，由①得出x（x﹣y+2）=0，组成四个方程组，求出方程组的解即可．‎ ‎【解答】解：‎ 由②得：（x﹣3y）2=4，‎ x﹣3y=±2，‎ 由①得：x（x﹣y+2）=0，‎ x=0，x﹣y+2=0，‎ 原方程组可以化为：，，，，‎ 解得，原方程组的解为：，，，．‎ ‎【点评】本题考查了解高次方程组，能把高次方程组转化二元一次方程组是解此题的关键．‎ ‎　‎ ‎21．（10分）（2017•静安区一模）已知：如图，第一象限内的点A，B在反比例函数的图象上，点C在y轴上，BC∥x轴，点A的坐标为（2，4），且cot∠ACB=‎ 求：（1）反比例函数的解析式；‎ ‎（2）点C的坐标；‎ ‎（3）∠ABC的余弦值．‎ ‎【分析】（1）待定系数法求解可得；‎ ‎（2）作AE⊥x轴于点E，AE与BC交于点F，则CF=2，根据cot∠ACB==得AF=3，即可知EF，从而得出答案；‎ ‎（3）先求出点B的坐标．继而由勾股定理得出AB的长，最后由三角函数可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）设反比例函数解析式为y=，‎ 将点A（2，4）代入，得：k=8，‎ ‎∴反比例函数的解析式y=；‎ ‎（2）过点A作AE⊥x轴于点E，AE与BC交于点F，则CF=2，‎ ‎∵cot∠ACB==，‎ ‎∴AF=3，‎ ‎∴EF=1，‎ ‎∴点C的坐标为（0，1）；‎ ‎（3）当y=1时，由1=可得x=8，‎ ‎∴点B的坐标为（1，8），‎ ‎∴BF=BC﹣CF=6，‎ ‎∴AB==3，‎ ‎∴cos∠ABC===．‎ ‎【点评】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）（2017•河南模拟）将笔记本电脑放置在水平桌面上，显示屏OB与底板OA夹角为115°（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，在底板下面垫入散热架O′AC后，电脑转到AO′B′的位置（如图3），侧面示意图为图4，已知OA=0B=20cm，B′O′⊥OA，垂足为C．‎ ‎（1）求点O′的高度O′C；（精确到0.1cm）‎ ‎（2）显示屏的顶部B′比原来升高了多少？（精确到0.1cm）‎ ‎（3）如图4，要使显示屏O′B′与原来的位置OB平行，显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？‎ 参考数据：（sin65°=0.906，cos65°=0.423，tan65°=2.146．cot65°=0.446）‎ ‎【分析】（1）解直角三角形即可得到结论；‎ ‎（2）如图2，过B作BD⊥AO交AO的延长线于D，根据三角函数的定义即可得到结论；‎ ‎（3）如图4，过O′作EF∥OB交AC于E，根据平行线的性质得到∠FEA=∠BOA=115°，于是得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵B′O′⊥OA，垂足为C，∠AO′B=115°，‎ ‎∴∠AO′C=65°，‎ ‎∵cos∠CO′A=，‎ ‎∴O′C=O′A•cos∠CO′A=20•cos65°=8.46≈8.5（cm）；‎ ‎（2）如图2，过B作BD⊥AO交AO的延长线于D，‎ ‎∵∠AOB=115°，‎ ‎∴∠BOD=65°，‎ ‎∵sin∠BOD=，‎ ‎∴BD=OB•sin∠BOD=20×sin65°=18.12，‎ ‎∴O′B′+O′C﹣BD=20+8.46﹣18.12=10.34≈10.3（cm），‎ ‎∴显示屏的顶部B′比原来升高了10.3cm；‎ ‎（3）如图4，过O′作EF∥OB交AC于E，‎ ‎∴∠FEA=∠BOA=115°，‎ ‎∠FO′B′=∠EO′C=∠FEA﹣∠O′CA=115°﹣90°=25°，‎ ‎∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转25度．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的应用，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎23．（12分）（2017•静安区一模）已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA•BD=BC•BE ‎（1）求证：DE•AB=AC•BE；‎ ‎（2）如果AC2=AD•AB，求证：AE=AC．‎ ‎【分析】（1）由BA•BD=BC•BE得，结合∠B=∠B，证△ABC∽△EBD得 ‎，即可得证；‎ ‎（2）先根据AC2=AD•AB证△ADC∽△ACB得∠ACD=∠B，再由证△BAE∽△BCD得∠BAE=∠BCD，根据∠AEC=∠B+∠BAE，∠ACE=∠ACD+∠BCD可得∠AEC=∠ACE，即可得证．‎ ‎【解答】证明：（1）∵BA•BD=BC•BE，‎ ‎∴，‎ 又∵∠B=∠B，‎ ‎∴△ABC∽△EBD，‎ ‎∴，‎ ‎∴DE•AB=AC•BE；‎ ‎（2）∵AC2=AD•AB，‎ ‎∴，‎ ‎∵∠DAC=∠CAB，‎ ‎∴△ADC∽△ACB，‎ ‎∴∠ACD=∠B，‎ ‎∵，∠B=∠B，‎ ‎∴△BAE∽△BCD，‎ ‎∴∠BAE=∠BCD，‎ ‎∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠ACE=∠ACD+∠BCD，‎ ‎∴∠AEC=∠ACE，‎ ‎∴AE=AC．‎ ‎【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎24．（12分）（2017•静安区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+‎ ‎4与x轴的正半轴相交于点A，与y轴相交于点B，点C在线段OA上，点D在此抛物线上，CD⊥x轴，且∠DCB=∠DAB，AB与CD相交于点E．‎ ‎（1）求证：△BDE∽△CAE；‎ ‎（2）已知OC=2，tan∠DAC=3，求此抛物线的表达式．‎ ‎【分析】（1）根据相似三角形的判定定理得到△BEC∽△DEA，根据相似三角形的性质定理得到=，根据相似三角形的判定定理证明即可；‎ ‎（2）设AC=m，根据正切的定义得到DC=3m，根据相似三角形的性质得到∠DBA=∠DCA=90°，根据勾股定理列出算式，求出m的值，利用待定系数法求出抛物线的解析式．‎ ‎【解答】（1）证明：∵∠DCB=∠DAB，∠BEC=∠DEA，‎ ‎∴△BEC∽△DEA，‎ ‎∴=，又∠BED=∠CEA，‎ ‎∴△BDE∽△CAE；‎ ‎（2）解：∵抛物线y=ax2+bx+4与y轴相交于点B，‎ ‎∴点B的坐标为（0，4），即OB=4，‎ ‎∵tan∠DAC=3，‎ ‎∴=3，‎ 设AC=m，则DC=3m，OA=m+2，‎ 则点A的坐标为（m+2，0），点D的坐标为（2，3m），‎ ‎∵△BDE∽△CAE，‎ ‎∴∠DBA=∠DCA=90°，‎ ‎∴BD2+BA2=AD2，即22+（3m﹣4）2+（m+2）2+42=m2+（3m）2，‎ 解得，m=2，‎ 则点A的坐标为（4，0），点D的坐标为（2，6），‎ ‎∴，‎ 解得，，‎ ‎∴抛物线的表达式为y=﹣x2+3x+4．‎ ‎【点评】本题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的性质、待定系数法求函数解析式的一般步骤、掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎25．（14分）（2017•静安区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，AC=BC，点E在DC的延长线上，∠BEC=∠ACB，已知BC=9，cos∠ABC=．‎ ‎（1）求证：BC2=CD•BE；‎ ‎（2）设AD=x，CE=y，求y与x之间的函数解析式，并写出定义域；‎ ‎（3）如果△DBC∽△DEB，求CE的长．‎ ‎【分析】（1）只要证明△DAC∽△CEB，得到=，再根据题意AC=BC，即可证明．‎ ‎（2）过点C作CF⊥AB于F，AG⊥BC于G，DH⊥BC于H．由△CEB∽△DAC，得=，由此即可解决问题．‎ ‎（3）首先证明四边形ABCD是等腰梯形，再证明△ABG≌△DCH，推出CH=BG=2，推出x=GH=BC﹣BG﹣CH=9﹣2﹣2=5，再利用（2）中即可即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）∵∠DCB=∠ACD+∠ACB，∠DCB=∠EBC+∠BEC，∠ACB=∠BEC，‎ ‎∴∠ACD=∠EBC，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠DAC=∠ACB=∠CEB，‎ ‎∴△DAC∽△CEB，‎ ‎∴=，‎ ‎∴BC•AC=CD•BE，‎ ‎∵AC=BC，‎ ‎∴BC2=CD•BE．‎ ‎（2）过点C作CF⊥AB于F，AG⊥BC于G，DH⊥BC于H．‎ 在Rt△CBF中，BF=BC•cos∠ABC=9×=3，‎ ‎∴AB=6，‎ 在Rt△ABG中，BG=AB•cos∠ABC=6×=2，‎ ‎∵AD∥BC，DH=AG，‎ ‎∴DH2=AG2=AB2﹣BG2=62﹣22=32，‎ ‎∵AG∥DH，‎ ‎∴GH=AD=x，‎ ‎∴CH=BC﹣BG﹣GH=7﹣x，‎ ‎∴CD===，‎ ‎∵△CEB∽△DAC，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴y=，‎ ‎∴y=（x＞0且x≠9）．‎ ‎（3）∵△DBC∽△DEB，∠CDB=∠BDE，∠CBD＜∠DBC，‎ ‎∴∠DBC=∠DEB=∠ACB，‎ ‎∴OB=OC，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AC=BD，‎ ‎∴四边形ABCD是等腰梯形，‎ ‎∴AB=CD，∠ABC=∠DCB，‎ ‎∵∠AGB=∠DHC=90°，‎ ‎∴△ABG≌△DCH，‎ ‎∴CH=BG=2，‎ ‎∴x=GH=BC﹣BG﹣CH=9﹣2﹣2=5．‎ ‎∴CE=y=．‎ ‎【点评】本题考查相似三角形综合题、锐角三角函数、勾股定理、等腰梯形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．‎ ‎　‎