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  • 2021-05-10 发布

2017年上海市静安区中考数学一模试卷39882

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‎2017年上海市静安区中考数学一模试卷 ‎ ‎ 一、选择题(每小题4分,共24分)‎ ‎1.(4分)a(a>0)等于(  )‎ A. B.﹣ C. D.﹣‎ ‎2.(4分)下列多项式中,在实数范围不能分解因式的是(  )‎ A.x2+y2+2x+2y B.x2+y2+2xy﹣2 C.x2﹣y2+4x+4y D.x2﹣y2+4y﹣4‎ ‎3.(4分)在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,=,要使DE∥BC,还需满足下列条件中的(  )‎ A.= B.= C.= D.=‎ ‎4.(4分)在Rt△ABC中,∠C=90°,如果AB=m,∠A=α,那么AC的长为(  )‎ A.m•sinα B.m•cosα C.m•tanα D.m•cotα ‎5.(4分)如果锐角α的正弦值为,那么下列结论中正确的是(  )‎ A.α=30° B.α=45° C.30°<α<45° D.45°<α<60°‎ ‎6.(4分)将抛物线y=ax2﹣1平移后与抛物线y=a(x﹣1)2重合,抛物线y=ax2﹣1上的点A(2,3)同时平移到A′,那么点A′的坐标为(  )‎ A.(3,4) B.(1,2) C.(3,2) D.(1,4)‎ ‎ ‎ 二.填空题(每个小题4分,共48分)‎ ‎7.(4分)16的平方根是   .‎ ‎8.(4分)如果代数式有意义,那么x的取值范围为   .‎ ‎9.(4分)方程+=1的根为   .‎ ‎10.(4分)如果一次函数y=(m﹣3)x+m﹣2的图象一定经过第三、第四象限,那么常数m的取值范围为   .‎ ‎11.(4分)二次函数y=x2﹣8x+10的图象的顶点坐标是   .‎ ‎12.(4分)如果点A(﹣1,4)、B(m,4)在抛物线y=a(x﹣1)2+h上,那么m的值为   .‎ ‎13.(4分)如果△ABC∽△DEF,且△ABC与△DEF相似比为1:4,那么△ABC与△DEF的面积比为   .‎ ‎14.(4分)在△ABC中,如果AB=AC=10,cosB=,那么△ABC的重心到底边的距离为   .‎ ‎15.(4分)已知平行四边形ABCD中,点E是边BC的中点,DE与AC相交于点F,设=,=,那么=    (用,的式子表示)‎ ‎16.(4分)在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,△ADE∽△ABC,如果AB=4,BC=5,AC=6,AD=3,那么△ADE的周长为   .‎ ‎17.(4分)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC,∠BDC=∠CED,如果DE=4,CD=6,那么AD:AE等于   .‎ ‎18.(4分)一张直角三角形纸片ABC,∠C=90°,AB=24,tanB=(如图),将它折叠使直角顶点C与斜边AB的中点重合,那么折痕的长为   .‎ ‎ ‎ 三、解答题(共78分)‎ ‎19.(10分)计算:.‎ ‎20.(10分)解方程组:.‎ ‎21.(10分)已知:如图,第一象限内的点A,B在反比例函数的图象上,点C在y轴上,BC∥x轴,点A的坐标为(2,4),且cot∠ACB=‎ 求:(1)反比例函数的解析式;‎ ‎(2)点C的坐标;‎ ‎(3)∠ABC的余弦值.‎ ‎22.(10分)将笔记本电脑放置在水平桌面上,显示屏OB与底板OA夹角为115°(如图1),侧面示意图为图2;使用时为了散热,在底板下面垫入散热架O′AC后,电脑转到AO′B′的位置(如图3),侧面示意图为图4,已知OA=0B=20cm,B′O′⊥OA,垂足为C.‎ ‎(1)求点O′的高度O′C;(精确到0.1cm)‎ ‎(2)显示屏的顶部B′比原来升高了多少?(精确到0.1cm)‎ ‎(3)如图4,要使显示屏O′B′与原来的位置OB平行,显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度?‎ 参考数据:(sin65°=0.906,cos65°=0.423,tan65°=2.146.cot65°=0.446)‎ ‎23.(12分)已知:如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,BA•BD=BC•BE ‎(1)求证:DE•AB=AC•BE;‎ ‎(2)如果AC2=AD•AB,求证:AE=AC.‎ ‎24.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+4与x轴的正半轴相交于点A,与y轴相交于点B,点C在线段OA上,点D在此抛物线上,CD⊥x轴,且∠DCB=∠DAB,AB与CD相交于点E.‎ ‎(1)求证:△BDE∽△CAE;‎ ‎(2)已知OC=2,tan∠DAC=3,求此抛物线的表达式.‎ ‎25.(14分)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC与BD相交于点O,AC=BC,点E在DC的延长线上,∠BEC=∠ACB,已知BC=9,cos∠ABC=.‎ ‎(1)求证:BC2=CD•BE;‎ ‎(2)设AD=x,CE=y,求y与x之间的函数解析式,并写出定义域;‎ ‎(3)如果△DBC∽△DEB,求CE的长.‎ ‎ ‎ ‎2017年上海市静安区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(每小题4分,共24分)‎ ‎1.(4分)(2017•静安区一模)a(a>0)等于(  )‎ A. B.﹣ C. D.﹣‎ ‎【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数,分数指数幂,可得答案.‎ ‎【解答】解:a===,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查了负整数指数幂,利用负整数指数幂、分数指数幂是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎2.(4分)(2017•静安区一模)下列多项式中,在实数范围不能分解因式的是(  )‎ A.x2+y2+2x+2y B.x2+y2+2xy﹣2 C.x2﹣y2+4x+4y D.x2﹣y2+4y﹣4‎ ‎【分析】各项利用平方差公式及完全平方公式判断即可.‎ ‎【解答】解:A、原式不能分解;‎ B、原式=(x+y)2﹣2=(x+y+)(x+y﹣);‎ C、原式=(x+y)(x﹣y)+4(x+y)=(x+y)(x﹣y+4);‎ D、原式=x2﹣(y﹣2)2=(x+y﹣2)(x﹣y+2),‎ 故选A ‎【点评】此题考查了实数范围内分解因式,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎3.(4分)(2017•静安区一模)在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,=,要使DE∥BC,还需满足下列条件中的(  )‎ A.= B.= C.= D.=‎ ‎【分析】先求出比例式,再根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC,根据相似推出∠ADE=∠B,根据平行线的判定得出即可 ‎【解答】解:‎ 只有选项D正确,‎ 理由是:∵AD=2,BD=4,=,‎ ‎∴==,‎ ‎∵∠DAE=∠BAC,‎ ‎∴△ADE∽△ABC,‎ ‎∴∠ADE=∠B,‎ ‎∴DE∥BC,‎ 根据选项A、B、C的条件都不能推出DE∥BC,‎ 故选D.‎ ‎【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理,相似三角形的性质和判定的应用,能灵活运用定理进行推理是解此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎4.(4分)(2017•静安区一模)在Rt△ABC中,∠C=90°,如果AB=m,∠A=α,那么AC的长为(  )‎ A.m•sinα B.m•cosα C.m•tanα D.m•cotα ‎【分析】根据余角函数是邻边比斜边,可得答案.‎ ‎【解答】解:由题意,得 cosA=,‎ AC=AB•cosA=m•cosα,‎ 故选:B.‎ ‎【点评】本题考查了锐角三角函数的定义,利用余角函数的定义是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎5.(4分)(2017•静安区一模)如果锐角α的正弦值为,那么下列结论中正确的是(  )‎ A.α=30° B.α=45° C.30°<α<45° D.45°<α<60°‎ ‎【分析】正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小),可得答案.‎ ‎【解答】解:由<<,得 ‎30°<α<45°,‎ 故选:C.‎ ‎【点评】本题考查了锐角三角形的增减性,当角度在0°~90°间变化时,①正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小);②余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大);③正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小).也考查了互余两角的三角函数之间的关系.‎ ‎ ‎ ‎6.(4分)(2017•静安区一模)将抛物线y=ax2﹣1平移后与抛物线y=a(x﹣1)2重合,抛物线y=ax2﹣1上的点A(2,3)同时平移到A′,那么点A′的坐标为(  )‎ A.(3,4) B.(1,2) C.(3,2) D.(1,4)‎ ‎【分析】根据两个抛物线的平移规律得到点A的平移规律,易得点A′的坐标.‎ ‎【解答】解:∵抛物线y=ax2﹣1的顶点坐标是(0,﹣1),抛物线y=a(x﹣1)2的顶点坐标是(1,0),‎ ‎∴将抛物线y=ax2﹣1向右平移1个单位,再向上平移1个单位得到抛物线y=a(x﹣1)2,‎ ‎∴将点A(2,3)向右平移1个单位,再向上平移1个单位得到点A′的坐标为(3,4),‎ 故选:A.‎ ‎【点评】此题主要考查了函数图象的平移,要求熟练掌握平移的规律:左加右减,上加下减.并用规律求函数解析式.‎ ‎ ‎ 二.填空题(每个小题4分,共48分)‎ ‎7.(4分)(2017•恩施州)16的平方根是 ±4 .‎ ‎【分析】根据平方根的定义,求数a的平方根,也就是求一个数x,使得x2=a,则x就是a的平方根,由此即可解决问题.‎ ‎【解答】解:∵(±4)2=16,‎ ‎∴16的平方根是±4.‎ 故答案为:±4.‎ ‎【点评】本题考查了平方根的定义.注意一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0的平方根是0;负数没有平方根.‎ ‎ ‎ ‎8.(4分)(2017•静安区一模)如果代数式有意义,那么x的取值范围为 x>﹣2 .‎ ‎【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式,解不等式即可.‎ ‎【解答】解:由题意得,x+2>0,‎ 解得,x>﹣2,‎ 故答案为:x>﹣2.‎ ‎【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件,掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎9.(4分)(2017•静安区一模)方程+=1的根为 x=2 .‎ ‎【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.‎ ‎【解答】解:去分母得:x﹣5+2x+2=x2﹣1,‎ 整理得:x2﹣3x+2=0,即(x﹣2)(x﹣1)=0,‎ 解得:x=1或x=2,‎ 经检验x=1是增根,分式方程的解为x=2,‎ 故答案为:x=2‎ ‎【点评】此题考查了解分式方程,利用了转化的思想,解分式方程注意要检验.‎ ‎ ‎ ‎10.(4分)(2017•静安区一模)如果一次函数y=(m﹣3)x+m﹣2的图象一定经过第三、第四象限,那么常数m的取值范围为 m<2 .‎ ‎【分析】根据一次函数的性质,一次函数y=(m﹣3)x+m﹣2的图象一定经过第三、第四象限,那么图象一定与y轴的负半轴有交点,即可解答.‎ ‎【解答】解:∵一次函数y=(m﹣3)x+m﹣2的图象一定经过第三、第四象限,‎ ‎∴图象一定与y轴的负半轴有交点,‎ ‎∴m﹣2<0,‎ ‎∴m<2,‎ 故答案为:m<2.‎ ‎【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系,熟知一次函数y=kx+b(k≠0)中,当k>0,b<0时,函数的图象经过一、三、四象限是解答此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎11.(4分)(2017•静安区一模)二次函数y=x2﹣8x+10的图象的顶点坐标是 (4,﹣6) .‎ ‎【分析】将二次函数化为顶点式后即可确定其顶点坐标.‎ ‎【解答】解:∵y=2x2﹣8x+10=2(x﹣4)2﹣6,‎ ‎∴顶点坐标为(4,﹣6),‎ 故答案为:(4,﹣6).‎ ‎【点评】此题考查二次函数的性质,将解析式化为顶点式y=a(x﹣h)2+k,顶点坐标是(h,k),对称轴是x=h.‎ ‎ ‎ ‎12.(4分)(2017•静安区一模)如果点A(﹣1,4)、B(m,4)在抛物线y=a(x﹣1)2+h上,那么m的值为 3 .‎ ‎【分析】根据函数值相等两点关于对称轴对称,可得答案.‎ ‎【解答】解:由点A(﹣1,4)、B(m,4)在抛物线y=a(x﹣1)2+h上,得 ‎(﹣1,4)与(m,4)关于对称轴x=1对称,‎ m﹣1=1﹣(﹣1),‎ 解得m=3,‎ 故答案为:3.‎ ‎【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征,利用函数值相等两点关于对称轴对称得出m﹣1=1﹣(﹣1)是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎13.(4分)(2017•静安区一模)如果△ABC∽△DEF,且△ABC与△DEF相似比为1:4,那么△ABC与△DEF的面积比为 1:16 .‎ ‎【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论.‎ ‎【解答】解:∵△ABC∽△DEF,且△ABC与△DEF相似比为1:4,‎ ‎∴△ABC与△DEF的面积比=()2=1:16.‎ 故答案为:1:16.‎ ‎【点评】本题考查的是相似三角形的性质,熟知相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎14.(4分)(2017•静安区一模)在△ABC中,如果AB=AC=10,cosB=,那么△ABC的重心到底边的距离为 2 .‎ ‎【分析】‎ 根据等腰三角形的三线合一,知三角形的重心在BC边的高上.根据勾股定理求得该高,再根据三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍,求得G到BC的距离.‎ ‎【解答】解:∵AB=AC=10,‎ ‎∴△ABC是等腰三角形 ‎∴三角形的重心G在BC边的高 ‎∵cosB=,‎ ‎∴在BC边的高=6,‎ 根据三角形的重心性质 ‎∴G到BC的距离是2.‎ 故答案为:2‎ ‎【点评】本题考查了三角形的重心,熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎15.(4分)(2017•静安区一模)已知平行四边形ABCD中,点E是边BC的中点,DE与AC相交于点F,设=,=,那么= ﹣  (用,的式子表示)‎ ‎【分析】根据平行四边形的性质及中点的定义得BC∥AD、BC=AD=2EC,再证△ADF∽△CEF得=,根据==﹣=﹣()可得答案.‎ ‎【解答】解:∵四边形ABCD是平行四边形,点E是边BC的中点,‎ ‎∴BC∥AD,BC=AD=2EC,‎ ‎∴△ADF∽△CEF,,‎ ‎∴==2,‎ 则=,‎ ‎∴=‎ ‎=﹣‎ ‎=﹣()‎ ‎=﹣(+)‎ ‎=﹣,‎ 故答案为:﹣.‎ ‎【点评】本题主要考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质及向量的基本运算,熟练掌握向量的运算法则是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎16.(4分)(2017•静安区一模)在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,△ADE∽△ABC,如果AB=4,BC=5,AC=6,AD=3,那么△ADE的周长为  .‎ ‎【分析】根据题意画出图形,根据相似三角形的性质求出DE及AE的长,进而可得出结论.‎ ‎【解答】解:如图,∵△ADE∽△ABC,‎ ‎∴==,即==,解得DE=,AE=,‎ ‎∴△ADE的周长=AD+AE+DE=3++=;‎ 故答案为:.‎ ‎【点评】本题考查的是相似三角形的性质,熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎17.(4分)(2017•静安区一模)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,DE∥BC,∠BDC=∠CED,如果DE=4,CD=6,那么AD:AE等于 3:2 .‎ ‎【分析】由DE∥BC,推出∠EDC=∠BCD,=,由△BDC∽△CED,推出===,由此即可解决问题.‎ ‎【解答】解:∵DE∥BC,‎ ‎∴∠EDC=∠BCD,=‎ ‎∵∠BDC=∠DEC,‎ ‎∴△BDC∽△CED,‎ ‎∴===,‎ ‎∴=.‎ 故答案为3:2.‎ ‎【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识,解题的关键是灵活运用相似三角形的性质,属于中考常考题型.‎ ‎ ‎ ‎18.(4分)(2017•静安区一模)一张直角三角形纸片ABC,∠C=90°,AB=24,tanB=(如图),将它折叠使直角顶点C与斜边AB的中点重合,那么折痕的长为 13 .‎ ‎【分析】根据直角三角形的性质求出CD,得到∠DCB=∠B,根据垂直的定义、等量代换得到∠OEC=∠B,根据正切的定义、勾股定理计算即可.‎ ‎【解答】解:∵CD是斜边AB上的中线,‎ ‎∴DC=DB=AB=12,‎ ‎∴∠DCB=∠B,‎ 由题意得,EF是CD的垂直平分线,‎ ‎∴∠OEC+∠OCE=90°,又∠DCB+∠OCE=90°,‎ ‎∴∠OEC=∠B,‎ 设CF=2x,则CE=3x,‎ 由勾股定理得,EF=x,‎ ‎×2x×3x=×x×6,‎ 解得,x=,‎ ‎∴EF=×=13,‎ 故答案为:13.‎ ‎【点评】本题考查的是翻转变换的性质,掌握翻转变换是一种对称变换,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等是解题的关键.‎ ‎ ‎ 三、解答题(共78分)‎ ‎19.(10分)(2017•静安区一模)计算:.‎ ‎【分析】根据特殊角三角函数值,可得答案.‎ ‎【解答】解:原式=‎ ‎=‎ ‎=.‎ ‎【点评】本题考查了特殊角三角函数值,熟记特殊角三角函数值是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎20.(10分)(2017•静安区一模)解方程组:.‎ ‎【分析】由②得出x﹣3y=±2,由①得出x(x﹣y+2)=0,组成四个方程组,求出方程组的解即可.‎ ‎【解答】解:‎ 由②得:(x﹣3y)2=4,‎ x﹣3y=±2,‎ 由①得:x(x﹣y+2)=0,‎ x=0,x﹣y+2=0,‎ 原方程组可以化为:,,,,‎ 解得,原方程组的解为:,,,.‎ ‎【点评】本题考查了解高次方程组,能把高次方程组转化二元一次方程组是解此题的关键.‎ ‎ ‎ ‎21.(10分)(2017•静安区一模)已知:如图,第一象限内的点A,B在反比例函数的图象上,点C在y轴上,BC∥x轴,点A的坐标为(2,4),且cot∠ACB=‎ 求:(1)反比例函数的解析式;‎ ‎(2)点C的坐标;‎ ‎(3)∠ABC的余弦值.‎ ‎【分析】(1)待定系数法求解可得;‎ ‎(2)作AE⊥x轴于点E,AE与BC交于点F,则CF=2,根据cot∠ACB==得AF=3,即可知EF,从而得出答案;‎ ‎(3)先求出点B的坐标.继而由勾股定理得出AB的长,最后由三角函数可得答案.‎ ‎【解答】解:(1)设反比例函数解析式为y=,‎ 将点A(2,4)代入,得:k=8,‎ ‎∴反比例函数的解析式y=;‎ ‎(2)过点A作AE⊥x轴于点E,AE与BC交于点F,则CF=2,‎ ‎∵cot∠ACB==,‎ ‎∴AF=3,‎ ‎∴EF=1,‎ ‎∴点C的坐标为(0,1);‎ ‎(3)当y=1时,由1=可得x=8,‎ ‎∴点B的坐标为(1,8),‎ ‎∴BF=BC﹣CF=6,‎ ‎∴AB==3,‎ ‎∴cos∠ABC===.‎ ‎【点评】本题主要考查反比例函数的应用,熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎22.(10分)(2017•河南模拟)将笔记本电脑放置在水平桌面上,显示屏OB与底板OA夹角为115°(如图1),侧面示意图为图2;使用时为了散热,在底板下面垫入散热架O′AC后,电脑转到AO′B′的位置(如图3),侧面示意图为图4,已知OA=0B=20cm,B′O′⊥OA,垂足为C.‎ ‎(1)求点O′的高度O′C;(精确到0.1cm)‎ ‎(2)显示屏的顶部B′比原来升高了多少?(精确到0.1cm)‎ ‎(3)如图4,要使显示屏O′B′与原来的位置OB平行,显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度?‎ 参考数据:(sin65°=0.906,cos65°=0.423,tan65°=2.146.cot65°=0.446)‎ ‎【分析】(1)解直角三角形即可得到结论;‎ ‎(2)如图2,过B作BD⊥AO交AO的延长线于D,根据三角函数的定义即可得到结论;‎ ‎(3)如图4,过O′作EF∥OB交AC于E,根据平行线的性质得到∠FEA=∠BOA=115°,于是得到结论.‎ ‎【解答】解:(1)∵B′O′⊥OA,垂足为C,∠AO′B=115°,‎ ‎∴∠AO′C=65°,‎ ‎∵cos∠CO′A=,‎ ‎∴O′C=O′A•cos∠CO′A=20•cos65°=8.46≈8.5(cm);‎ ‎(2)如图2,过B作BD⊥AO交AO的延长线于D,‎ ‎∵∠AOB=115°,‎ ‎∴∠BOD=65°,‎ ‎∵sin∠BOD=,‎ ‎∴BD=OB•sin∠BOD=20×sin65°=18.12,‎ ‎∴O′B′+O′C﹣BD=20+8.46﹣18.12=10.34≈10.3(cm),‎ ‎∴显示屏的顶部B′比原来升高了10.3cm;‎ ‎(3)如图4,过O′作EF∥OB交AC于E,‎ ‎∴∠FEA=∠BOA=115°,‎ ‎∠FO′B′=∠EO′C=∠FEA﹣∠O′CA=115°﹣90°=25°,‎ ‎∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转25度.‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的应用,平行线的性质,正确的作出辅助线是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎23.(12分)(2017•静安区一模)已知:如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,BA•BD=BC•BE ‎(1)求证:DE•AB=AC•BE;‎ ‎(2)如果AC2=AD•AB,求证:AE=AC.‎ ‎【分析】(1)由BA•BD=BC•BE得,结合∠B=∠B,证△ABC∽△EBD得 ‎,即可得证;‎ ‎(2)先根据AC2=AD•AB证△ADC∽△ACB得∠ACD=∠B,再由证△BAE∽△BCD得∠BAE=∠BCD,根据∠AEC=∠B+∠BAE,∠ACE=∠ACD+∠BCD可得∠AEC=∠ACE,即可得证.‎ ‎【解答】证明:(1)∵BA•BD=BC•BE,‎ ‎∴,‎ 又∵∠B=∠B,‎ ‎∴△ABC∽△EBD,‎ ‎∴,‎ ‎∴DE•AB=AC•BE;‎ ‎(2)∵AC2=AD•AB,‎ ‎∴,‎ ‎∵∠DAC=∠CAB,‎ ‎∴△ADC∽△ACB,‎ ‎∴∠ACD=∠B,‎ ‎∵,∠B=∠B,‎ ‎∴△BAE∽△BCD,‎ ‎∴∠BAE=∠BCD,‎ ‎∵∠AEC=∠B+∠BAE,∠ACE=∠ACD+∠BCD,‎ ‎∴∠AEC=∠ACE,‎ ‎∴AE=AC.‎ ‎【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质,熟练掌握两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎24.(12分)(2017•静安区一模)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+‎ ‎4与x轴的正半轴相交于点A,与y轴相交于点B,点C在线段OA上,点D在此抛物线上,CD⊥x轴,且∠DCB=∠DAB,AB与CD相交于点E.‎ ‎(1)求证:△BDE∽△CAE;‎ ‎(2)已知OC=2,tan∠DAC=3,求此抛物线的表达式.‎ ‎【分析】(1)根据相似三角形的判定定理得到△BEC∽△DEA,根据相似三角形的性质定理得到=,根据相似三角形的判定定理证明即可;‎ ‎(2)设AC=m,根据正切的定义得到DC=3m,根据相似三角形的性质得到∠DBA=∠DCA=90°,根据勾股定理列出算式,求出m的值,利用待定系数法求出抛物线的解析式.‎ ‎【解答】(1)证明:∵∠DCB=∠DAB,∠BEC=∠DEA,‎ ‎∴△BEC∽△DEA,‎ ‎∴=,又∠BED=∠CEA,‎ ‎∴△BDE∽△CAE;‎ ‎(2)解:∵抛物线y=ax2+bx+4与y轴相交于点B,‎ ‎∴点B的坐标为(0,4),即OB=4,‎ ‎∵tan∠DAC=3,‎ ‎∴=3,‎ 设AC=m,则DC=3m,OA=m+2,‎ 则点A的坐标为(m+2,0),点D的坐标为(2,3m),‎ ‎∵△BDE∽△CAE,‎ ‎∴∠DBA=∠DCA=90°,‎ ‎∴BD2+BA2=AD2,即22+(3m﹣4)2+(m+2)2+42=m2+(3m)2,‎ 解得,m=2,‎ 则点A的坐标为(4,0),点D的坐标为(2,6),‎ ‎∴,‎ 解得,,‎ ‎∴抛物线的表达式为y=﹣x2+3x+4.‎ ‎【点评】本题考查的是二次函数的应用,掌握二次函数的性质、待定系数法求函数解析式的一般步骤、掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎25.(14分)(2017•静安区一模)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC与BD相交于点O,AC=BC,点E在DC的延长线上,∠BEC=∠ACB,已知BC=9,cos∠ABC=.‎ ‎(1)求证:BC2=CD•BE;‎ ‎(2)设AD=x,CE=y,求y与x之间的函数解析式,并写出定义域;‎ ‎(3)如果△DBC∽△DEB,求CE的长.‎ ‎【分析】(1)只要证明△DAC∽△CEB,得到=,再根据题意AC=BC,即可证明.‎ ‎(2)过点C作CF⊥AB于F,AG⊥BC于G,DH⊥BC于H.由△CEB∽△DAC,得=,由此即可解决问题.‎ ‎(3)首先证明四边形ABCD是等腰梯形,再证明△ABG≌△DCH,推出CH=BG=2,推出x=GH=BC﹣BG﹣CH=9﹣2﹣2=5,再利用(2)中即可即可解决问题.‎ ‎【解答】解:(1)∵∠DCB=∠ACD+∠ACB,∠DCB=∠EBC+∠BEC,∠ACB=∠BEC,‎ ‎∴∠ACD=∠EBC,‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴∠DAC=∠ACB=∠CEB,‎ ‎∴△DAC∽△CEB,‎ ‎∴=,‎ ‎∴BC•AC=CD•BE,‎ ‎∵AC=BC,‎ ‎∴BC2=CD•BE.‎ ‎(2)过点C作CF⊥AB于F,AG⊥BC于G,DH⊥BC于H.‎ 在Rt△CBF中,BF=BC•cos∠ABC=9×=3,‎ ‎∴AB=6,‎ 在Rt△ABG中,BG=AB•cos∠ABC=6×=2,‎ ‎∵AD∥BC,DH=AG,‎ ‎∴DH2=AG2=AB2﹣BG2=62﹣22=32,‎ ‎∵AG∥DH,‎ ‎∴GH=AD=x,‎ ‎∴CH=BC﹣BG﹣GH=7﹣x,‎ ‎∴CD===,‎ ‎∵△CEB∽△DAC,‎ ‎∴=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴y=,‎ ‎∴y=(x>0且x≠9).‎ ‎(3)∵△DBC∽△DEB,∠CDB=∠BDE,∠CBD<∠DBC,‎ ‎∴∠DBC=∠DEB=∠ACB,‎ ‎∴OB=OC,‎ ‎∵AD∥BC,‎ ‎∴=,‎ ‎∴AC=BD,‎ ‎∴四边形ABCD是等腰梯形,‎ ‎∴AB=CD,∠ABC=∠DCB,‎ ‎∵∠AGB=∠DHC=90°,‎ ‎∴△ABG≌△DCH,‎ ‎∴CH=BG=2,‎ ‎∴x=GH=BC﹣BG﹣CH=9﹣2﹣2=5.‎ ‎∴CE=y=.‎ ‎【点评】本题考查相似三角形综合题、锐角三角函数、勾股定理、等腰梯形的判定和性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会添加常用辅助线,属于中考压轴题.‎ ‎ ‎