历年中考题旨试点及常见题型解析 84页

历年中考数学复习知识点 第一章 实数 考点一、实数的概念及分类 （3分）‎ ‎1、实数的分类 ‎ 正有理数 ‎ 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 ‎ 正无理数 ‎ 无理数 无限不循环小数 ‎ 负无理数 ‎2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：‎ ‎（1）开方开不尽的数，如等；‎ ‎（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等；‎ ‎（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；‎ ‎（4）某些三角函数，如sin60o等 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 （3分）‎ ‎1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0，a=—b，反之亦成立。‎ ‎2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。‎ ‎3、倒数 如果a与b互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。‎ 考点三、平方根、算数平方根和立方根 （3—10分）‎ ‎1、平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。‎ 一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。‎ 正数a的平方根记做“”。‎ ‎2、算术平方根 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。‎ 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。‎ ‎ （0） ‎ ‎ ；注意的双重非负性：‎ ‎-（<0） 0‎ ‎3、立方根 如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。‎ 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。‎ 注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。‎ 考点四、科学记数法和近似数 （3—6分）‎ ‎1、有效数字 一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。‎ ‎2、科学记数法 把一个数写做的形式，其中，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。‎ 考点五、实数大小的比较 （3分）‎ ‎1、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。‎ 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。‎ ‎2、实数大小比较的几种常用方法 ‎（1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。‎ ‎（2）求差比较：设a、b是实数，‎ ‎ ‎ ‎（3）求商比较法：设a、b是两正实数，‎ ‎（4）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。‎ ‎（5）平方法：设a、b是两负实数，则。‎ 考点六、实数的运算 （做题的基础，分值相当大）‎ ‎1、加法交换律 ‎ ‎2、加法结合律 ‎ ‎3、乘法交换律 ‎ ‎4、乘法结合律 ‎ ‎5、乘法对加法的分配律 ‎ ‎6、实数的运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。‎ ‎ ‎ 第二章 代数式 考点一、整式的有关概念 （3分）‎ ‎1、代数式 用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。‎ ‎2、单项式 只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。‎ 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如，这种表示就是错误的，应写成。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。如是6次单项式。‎ 考点二、多项式 （11分）‎ ‎1、多项式 几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。‎ 单项式和多项式统称整式。‎ 用数值代替代数式中的字母，按照代数式指明的运算，计算出结果，叫做代数式的值。‎ 注意：（1）求代数式的值，一般是先将代数式化简，然后再将字母的取值代入。‎ ‎ （2）求代数式的值，有时求不出其字母的值，需要利用技巧，“整体”代入。‎ ‎2、同类项 所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。‎ ‎3、去括号法则 ‎（1）括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号一起去掉，括号里各项都不变号。‎ ‎（2）括号前是“﹣”，把括号和它前面的“﹣”号一起去掉，括号里各项都变号。‎ ‎4、整式的运算法则 整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。‎ 整式的乘法：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 整式的除法：‎ 注意：（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。‎ ‎（2）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同。‎ ‎（3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。‎ ‎（4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。‎ ‎（5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。‎ ‎（6）‎ ‎（7）多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，单项式除以多项式是不能这么计算的。‎ 考点三、因式分解 （11分）‎ ‎1、因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。‎ ‎2、因式分解的常用方法 ‎（1）提公因式法：‎ ‎（2）运用公式法： ‎ ‎（3）分组分解法：‎ ‎（4）十字相乘法：‎ ‎3、因式分解的一般步骤：‎ ‎（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。‎ ‎（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式 ‎（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。‎ 考点四、分式 （8~10分）‎ ‎1、分式的概念 一般地，用A、B表示两个整式，A÷B就可以表示成的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式。其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。‎ ‎2、分式的性质 ‎（1）分式的基本性质：‎ 分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。‎ ‎（2）分式的变号法则：‎ 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。‎ ‎3、分式的运算法则 ‎ ‎ 考点五、二次根式 （初中数学基础，分值很大）‎ ‎1、二次根式 式子叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数。‎ ‎2、最简二次根式 若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式。‎ 化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：‎ ‎（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。‎ ‎（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。‎ ‎3、同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。‎ ‎4、二次根式的性质 ‎（1）‎ ‎ ‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎（3） （4）‎ ‎5、二次根式混合运算 二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。‎ 第三章 方程（组）‎ 考点一、一元一次方程的概念 （6分）‎ ‎1、方程：含有未知数的等式叫做方程。‎ ‎2、方程的解：能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解。‎ ‎3、等式的性质 ‎（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。‎ ‎（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。‎ ‎4、一元一次方程 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程叫做一元一次方程的标准形式，a是未知数x的系数，b是常数项。‎ 考点二、一元二次方程 （6分）‎ ‎1、一元二次方程 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。‎ ‎2、一元二次方程的一般形式 ‎，它的特征是：等式左边十一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。‎ 考点三、一元二次方程的解法 （10分）‎ ‎1、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根。‎ ‎2、配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。‎ ‎3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。‎ 一元二次方程的求根公式：‎ ‎4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。‎ 考点四、一元二次方程根的判别式 （3分）‎ 根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 考点五、一元二次方程根与系数的关系 （3分）‎ 如果方程的两个实数根是，那么，。也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。‎ 考点六、分式方程 （8分）‎ ‎1、分式方程 分母里含有未知数的方程叫做分式方程。‎ ‎2、分式方程的一般方法 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是：‎ ‎（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 ‎（2）解所得的整式方程 ‎（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。‎ ‎3、分式方程的特殊解法 换元法：‎ 换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。‎ 考点七、二元一次方程组 （8~10分）‎ ‎1、二元一次方程 含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是（‎ ‎2、二元一次方程的解 使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。‎ ‎3、二元一次方程组 两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。‎ ‎4二元一次方程组的解 使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。‎ ‎5、二元一次方正组的解法 ‎（1）代入法（2）加减法 ‎6、三元一次方程 把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程。‎ ‎7、三元一次方程组 由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组。‎ 第四章 不等式（组）‎ 考点一、不等式的概念 （3分）‎ ‎ 1、不等式 用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。‎ ‎2、不等式的解集 对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。‎ 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。‎ 求不等式的解集的过程，叫做解不等式。‎ ‎3、用数轴表示不等式的方法 考点二、不等式基本性质 （3~5分）‎ ‎ 1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。‎ ‎2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。‎ ‎3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。‎ 考试题型：‎ 考点三、一元一次不等式 （6~8分）‎ ‎ 1、一元一次不等式的概念 一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。‎ ‎2、一元一次不等式的解法 解一元一次不等式的一般步骤：‎ ‎（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1‎ 考点四、一元一次不等式组 （8分）‎ ‎ 1、一元一次不等式组的概念 几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。‎ 几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。‎ 求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。‎ 当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。‎ ‎2、一元一次不等式组的解法 ‎（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集 ‎（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。‎ 第五章 统计初步与概率初步 考点一、平均数 （3分）‎ ‎ 1、平均数的概念 ‎（1）平均数：一般地，如果有n个数那么，叫做这n个数的平均数，读作“x拔”。‎ ‎（2）加权平均数：如果n个数中，出现次，出现次，…，出现次（这里），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为，这样求得的平均数叫做加权平均数，其中叫做权。‎ ‎2、平均数的计算方法 ‎（1）定义法 当所给数据比较分散时，一般选用定义公式：‎ ‎（2）加权平均数法：‎ 当所给数据重复出现时，一般选用加权平均数公式：，其中。‎ ‎（3）新数据法：‎ 当所给数据都在某一常数a的上下波动时，一般选用简化公式：。‎ 其中，常数a通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，，，…，。是新数据的平均数（通常把叫做原数据，叫做新数据）。‎ 考点二、统计学中的几个基本概念 （4分）‎ ‎ 1、总体：所有考察对象的全体叫做总体。‎ ‎2、个体：总体中每一个考察对象叫做个体。‎ ‎3、样本：从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。‎ ‎4、样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量。‎ ‎5、样本平均数：样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。‎ ‎6、总体平均数：总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。‎ 考点三、众数、中位数 （3~5分）‎ ‎ 1、众数 在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。‎ ‎2、中位数 将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。‎ 考点四、方差 （3分）‎ ‎ 1、方差的概念 在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。通常用“”表示，即： ‎ ‎2、方差的计算 ‎（1）基本公式：‎ ‎（2）简化计算公式（Ⅰ）：‎ ‎，也可写成 此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方。‎ ‎（3）简化计算公式（Ⅱ）：‎ 当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组新数据，，…，，那么，‎ 此公式的记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方。‎ ‎（4）新数据法：‎ 原数据的方差与新数据，，…，的方差相等，也就是说，根据方差的基本公式，求得的方差就等于原数据的方差。‎ ‎3、标准差 方差的算数平方根叫做这组数据的标准差，用“s”表示，即 考点五、频率分布 （6分）‎ ‎ 1、频率分布的意义 在许多问题中，只知道平均数和方差还不够，还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小，这就需要研究如何对一组数据进行整理，以便得到它的频率分布。‎ ‎2、研究频率分布的一般步骤及有关概念 ‎（1）研究样本的频率分布的一般步骤是：‎ ‎①计算极差（最大值与最小值的差）‎ ‎②决定组距与组数 ‎③决定分点 ‎④列频率分布表 ‎⑤画频率分布直方图 ‎（2）频率分布的有关概念 ‎①极差：最大值与最小值的差 ‎②频数：落在各个小组内的数据的个数 ‎③频率：每一小组的频数与数据总数（样本容量n）的比值叫做这一小组的频率。‎ 考点六、确定事件和随机事件 （3分）‎ ‎ 1、确定事件 必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。‎ 不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。‎ ‎2、随机事件：‎ 在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。‎ 考点七、随机事件发生的可能性 （3分）‎ 一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。‎ 对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小。要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样。所谓判断事件可能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题。‎ 考点八、概率的意义与表示方法 （5~6分）‎ ‎ 1、概率的意义 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率。‎ ‎2、事件和概率的表示方法 一般地，事件用英文大写字母A，B，C，…，表示事件A的概率p，可记为P（A）=P 考点九、确定事件和随机事件的概率之间的关系 （3分）‎ ‎ 1、确定事件概率 ‎（1）当A是必然发生的事件时，P（A）=1‎ ‎（2）当A是不可能发生的事件时，P（A）=0‎ ‎2、确定事件和随机事件的概率之间的关系 事件发生的可能性越来越小 ‎0 1概率的值 不可能发生 必然发生 事件发生的可能性越来越大 考点十、古典概型 （3分）‎ ‎ 1、古典概型的定义 某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；②在一次试验中，各种结果发生的可能性相等。我们把具有这两个特点的试验称为古典概型。‎ ‎2、古典概型的概率的求法 一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m中结果，那么事件A发生的概率为P（A）=‎ 考点十一、列表法求概率 （10分）‎ ‎ 1、列表法 用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。‎ ‎2、列表法的应用场合 当一次试验要设计两个因素， 并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。‎ 考点十二、树状图法求概率 （10分）‎ ‎ 1、树状图法 就是通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。‎ ‎2、运用树状图法求概率的条件 当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。‎ 考点十三、利用频率估计概率（8分）‎ ‎ 1、利用频率估计概率 在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率。‎ ‎2、在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验。‎ ‎3、随机数 在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作。把这些随机产生的数据称为随机数。‎ 第六章 一次函数与反比例函数 考点一、平面直角坐标系 （3分）‎ ‎ 1、平面直角坐标系 在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。‎ 其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；两轴的交点O（即公共的原点）叫做直角坐标系的原点；建立了直角坐标系的平面，叫做坐标平面。‎ 为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。‎ 注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。‎ ‎2、点的坐标的概念 点的坐标用（a，b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平面内点的坐标是有序实数对，当时，（a，b）和（b，a）是两个不同点的坐标。‎ 考点二、不同位置的点的坐标的特征 （3分）‎ ‎ 1、各象限内点的坐标的特征 ‎ 点P(x,y)在第一象限；点P(x,y)在第二象限；‎ 点P(x,y)在第三象限；点P(x,y)在第四象限。‎ ‎2、坐标轴上的点的特征 点P(x,y)在x轴上，x为任意实数；点P(x,y)在y轴上，y为任意实数；‎ 点P(x,y)既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为（0，0）‎ ‎3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上x与y相等 点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数 ‎4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。‎ 位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。‎ ‎5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征 点P与点p’关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数 点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数 点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数 ‎6、点到坐标轴及原点的距离 点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：‎ ‎（1）点P(x,y)到x轴的距离等于；（2）点P(x,y)到y轴的距离等于 ‎（3）点P(x,y)到原点的距离等于 考点三、函数及其相关概念 （3~8分）‎ ‎ 1、变量与常量 在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。‎ 一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。‎ ‎2、函数解析式 用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。‎ 使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。‎ ‎3、函数的三种表示法及其优缺点 ‎（1）解析法 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。‎ ‎（2）列表法 把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。‎ ‎（3）图像法 用图像表示函数关系的方法叫做图像法。‎ ‎4、由函数解析式画其图像的一般步骤 ‎（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值 ‎（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点 ‎（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。‎ 考点四、正比例函数和一次函数 （3~10分）‎ ‎ 1、正比例函数和一次函数的概念 一般地，如果（k，b是常数，k0），那么y叫做x的一次函数。‎ 特别地，当一次函数中的b为0时，（k为常数，k0）。这时，y叫做x的正比例函数。‎ ‎2、一次函数的图像 所有一次函数的图像都是一条直线 ‎3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：‎ 一次函数的图像是经过点（0，b）的直线；正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线 k的符号 b的符号 函数图像 图像特征 k>0‎ b>0‎ ‎ y ‎ 0 x 图像经过一、二、三象限，y随x的增大而增大。‎ b<0‎ ‎ y ‎ 0 x 图像经过一、三、四象限，y随x的增大而增大。‎ K<0‎ b>0‎ ‎ ‎ ‎ 0 x ‎ 图像经过一、二、四象限，y随x的增大而减小 b<0‎ ‎ y ‎ 0 x ‎ 图像经过二、三、四象限，y随x的增大而减小。‎ 注：当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。‎ ‎4、正比例函数的性质 一般地，正比例函数有下列性质：‎ ‎（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大；‎ ‎（2）当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。‎ ‎5、一次函数的性质 一般地，一次函数有下列性质：‎ ‎（1）当k>0时，y随x的增大而增大；（2）当k<0时，y随x的增大而减小 ‎6、正比例函数和一次函数解析式的确定 确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b。解这类问题的一般方法是待定系数法。‎ 考点五、反比例函数 （3~10分）‎ ‎ 1、反比例函数的概念 一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成的形式。自变量x的取值范围是x0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。‎ ‎2、反比例函数的图像 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。‎ ‎3、反比例函数的性质 反比例函数 k的符号 k>0‎ k<0‎ 图像 ‎ y ‎ O x ‎ y ‎ O x 性质 ‎①x的取值范围是x0，‎ ‎ y的取值范围是y0‎ ‎②当k>0时，函数图像的两个分支分别 在第一、三象限。在每个象限内，y 随x 的增大而减小。‎ ‎①x的取值范围是x0，‎ ‎ y的取值范围是y0；‎ ‎②当k<0时，函数图像的两个分支分别 在第二、四象限。在每个象限内，y 随x 的增大而增大。‎ ‎4、反比例函数解析式的确定 确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。‎ ‎5、反比例函数中反比例系数的几何意义 如下图，过反比例函数图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=。‎ ‎。‎ 第七章 二次函数 考点一、二次函数的概念和图像 （3~8分）‎ ‎ 1、二次函数的概念 一般地，如果，那么y叫做x 的二次函数。‎ 叫做二次函数的一般式。‎ ‎2、二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。‎ 抛物线的主要特征：‎ ‎①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。‎ ‎3、二次函数图像的画法 五点法：‎ ‎（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴 ‎（2）求抛物线与坐标轴的交点：‎ 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。‎ 当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。‎ 考点二、二次函数的解析式 （10~16分）‎ 二次函数的解析式有三种形式：‎ ‎（1）一般式：‎ ‎（2）顶点式：‎ ‎（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。‎ 考点三、二次函数的最值 （10分）‎ 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。‎ 如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，。‎ 考点四、二次函数的性质 （6~14分）‎ ‎ 1、二次函数的性质 函数 二次函数 图像 a>0‎ a<0‎ ‎ y ‎ 0 x ‎ y ‎ 0 x ‎ 性质 ‎（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；‎ ‎（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；‎ ‎（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；‎ ‎（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；‎ ‎（3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而增大，简记左减右增；‎ ‎（4）抛物线有最低点，当x=时，y有最小值，‎ ‎（3）在对称轴的左侧，即当x<时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而减小，简记左增右减；‎ ‎（4）抛物线有最高点，当x=时，y有最大值，‎ ‎2、二次函数中，的含义：‎ 表示开口方向：>0时，抛物线开口向上 ‎ <0时，抛物线开口向下 与对称轴有关：对称轴为x=‎ 表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，）‎ ‎3、二次函数与一元二次方程的关系 一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。‎ 因此一元二次方程中的，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点。‎ 当>0时，图像与x轴有两个交点；‎ 当=0时，图像与x轴有一个交点；‎ 当<0时，图像与x轴没有交点。‎ 补充：‎ ‎1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）‎ ‎ y 如图：点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2）‎ 则AB间的距离，即线段AB的长度为 A ‎ 0 x ‎ B ‎2、函数平移规律（中考试题中，只占3分，但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）‎ 左加右减、上加下减 第八章 图形的初步认识 考点一、直线、射线和线段 （3分）‎ ‎ 1、几何图形 从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。‎ 立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。‎ 平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。‎ ‎2、点、线、面、体 ‎（1）几何图形的组成 点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。‎ 线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。‎ 面：包围着体的是面，分为平面和曲面。‎ 体：几何体也简称体。‎ ‎（2）点动成线，线动成面，面动成体。‎ ‎3、直线的概念 一根拉得很紧的线，就给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的。‎ ‎4、射线的概念 直线上一点和它一旁的部分叫做射线。这个点叫做射线的端点。‎ ‎5、线段的概念 直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。这两个点叫做线段的端点。‎ ‎6、点、直线、射线和线段的表示 在几何里，我们常用字母表示图形。‎ 一个点可以用一个大写字母表示。‎ 一条直线可以用一个小写字母表示。‎ 一条射线可以用端点和射线上另一点来表示。‎ 一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示。‎ 注意：‎ ‎（1）表示点、直线、射线、线段时，都要在字母前面注明点、直线、射线、线段。‎ ‎（2）直线和射线无长度，线段有长度。‎ ‎（3）直线无端点，射线有一个端点，线段有两个端点。‎ ‎（4）点和直线的位置关系有线面两种：‎ ‎①点在直线上，或者说直线经过这个点。‎ ‎②点在直线外，或者说直线不经过这个点。‎ ‎7、直线的性质 ‎（1）直线公理：经过两个点有一条直线，并且只有一条直线。它可以简单地说成：过两点有且只有一条直线。‎ ‎（2）过一点的直线有无数条。‎ ‎（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。‎ ‎（4）直线上有无穷多个点。‎ ‎（5）两条不同的直线至多有一个公共点。‎ ‎8、线段的性质 ‎（1）线段公理：所有连接两点的线中，线段最短。也可简单说成：两点之间线段最短。‎ ‎（2）连接两点的线段的长度，叫做这两点的距离。‎ ‎（3）线段的中点到两端点的距离相等。‎ ‎（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。‎ ‎9、线段垂直平分线的性质定理及逆定理 垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。‎ 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。‎ 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。‎ 考点二、角 （3分）‎ ‎1、角的相关概念 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。‎ 当角的两边在一条直线上时，组成的角叫做平角。‎ 平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做锐角；大于直角且小于平角的角叫做钝角。‎ 如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角。‎ 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角。‎ ‎2、角的表示 角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，具体的有一下四种表示方法：‎ ‎①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。‎ ‎②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。‎ ‎③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C等。‎ ‎④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。‎ 注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。‎ ‎3、角的度量 角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”。‎ 把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1’”。‎ 把1’ 的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1””。‎ ‎1°=60’=60”‎ ‎4、角的性质 ‎（1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。‎ ‎（2）角的大小可以度量，可以比较 ‎（3）角可以参与运算。‎ ‎5、角的平分线及其性质 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。‎ 角的平分线有下面的性质定理：‎ ‎（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。‎ ‎（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。‎ 考点三、相交线 （3分）‎ ‎1、相交线中的角 两条直线相交，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角。我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做临补角。‎ 临补角互补，对顶角相等。‎ 直线AB，CD与EF相交（或者说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截），构成八个角。其中∠1与∠5这两个角分别在AB，CD的上方，并且在EF的同侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角；∠3与∠5这两个角都在AB，CD之间，并且在EF的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；∠3与∠6在直线AB，CD之间，并侧在EF的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角。‎ ‎2、垂线 两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。‎ 直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。‎ 垂线的性质：‎ 性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。‎ 性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。‎ 考点四、平行线 （3~8分）‎ ‎ 1、平行线的概念 在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表示，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”。‎ 同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。‎ 注意：‎ ‎（1）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。‎ ‎（2）当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。‎ ‎2、平行线公理及其推论 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。‎ 推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。‎ ‎3、平行线的判定 平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。简称：同位角相等，两直线平行。‎ 平行线的两条判定定理：‎ ‎（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。简称：内错角相等，两直线平行。‎ ‎（2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。简称：同旁内角互补，两直线平行。‎ 补充平行线的判定方法：‎ ‎（1）平行于同一条直线的两直线平行。（2）垂直于同一条直线的两直线平行。（3）平行线的定义。‎ ‎4、平行线的性质 ‎（1）两直线平行，同位角相等。（2）两直线平行，内错角相等。（3）两直线平行，同旁内角互补。‎ 考点五、命题、定理、证明 （3~8分）‎ ‎ 1、命题的概念 判断一件事情的语句，叫做命题。‎ 理解：命题的定义包括两层含义：‎ ‎（1）命题必须是个完整的句子；‎ ‎（2）这个句子必须对某件事情做出判断。‎ ‎2、命题的分类（按正确、错误与否分）‎ ‎ 真命题（正确的命题）‎ 命题 ‎ 假命题（错误的命题）‎ 所谓正确的命题就是：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。‎ 所谓错误的命题就是：如果题设成立，不能证明结论总是成立的命题。‎ ‎3、公理 人们在长期实践中总结出来的得到人们公认的真命题，叫做公理。‎ ‎4、定理 用推理的方法判断为正确的命题叫做定理。‎ ‎5、证明 判断一个命题的正确性的推理过程叫做证明。‎ ‎6、证明的一般步骤 ‎（1）根据题意，画出图形。‎ ‎（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。‎ ‎（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。‎ 考点六、投影与视图 （3分）‎ ‎ 1、投影 投影的定义：用光线照射物体，在地面上或墙壁上得到的影子，叫做物体的投影。‎ 平行投影：由平行光线（如太阳光线）形成的投影称为平行投影。‎ 中心投影：由同一点发出的光线所形成的投影称为中心投影。‎ ‎2、视图 当我们从某一角度观察一个实物时，所看到的图像叫做物体的一个视图。物体的三视图特指主视图、俯视图、左视图。‎ 主视图：在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图。‎ 俯视图：在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图。‎ 左视图：在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做左视图，有时也叫做侧视图。‎ 第九章 三角形 考点一、三角形 （3~8分）‎ ‎ 1、三角形的概念 由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。‎ ‎2、三角形中的主要线段 ‎（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。‎ ‎（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。‎ ‎（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。‎ ‎3、三角形的稳定性 三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。‎ ‎4、三角形的特性与表示 三角形有下面三个特性：‎ ‎（1）三角形有三条线段 ‎（2）三条线段不在同一直线上 三角形是封闭图形 ‎（3）首尾顺次相接 三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。‎ ‎5、三角形的分类 三角形按边的关系分类如下：‎ ‎ 不等边三角形 三角形 底和腰不相等的等腰三角形 ‎ 等腰三角形 ‎ 等边三角形 三角形按角的关系分类如下：‎ ‎ 直角三角形（有一个角为直角的三角形）‎ 三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）‎ ‎ 斜三角形 ‎ 钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）‎ 把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。‎ ‎6、三角形的三边关系定理及推论 ‎（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。‎ 推论：三角形的两边之差小于第三边。‎ ‎（2）三角形三边关系定理及推论的作用：‎ ‎①判断三条已知线段能否组成三角形 ‎②当已知两边时，可确定第三边的范围。‎ ‎③证明线段不等关系。‎ ‎7、三角形的内角和定理及推论 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。‎ 推论：‎ ‎①直角三角形的两个锐角互余。‎ ‎②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。‎ ‎③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。‎ 注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。‎ ‎8、三角形的面积：三角形的面积=×底×高 考点二、全等三角形 （3~8分）‎ ‎ 1、全等三角形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形。‎ 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。‎ ‎2、全等三角形的表示和性质 全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。‎ 注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。‎ ‎3、三角形全等的判定 三角形全等的判定定理：‎ ‎（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）‎ ‎（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）‎ ‎（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。‎ 直角三角形全等的判定：‎ 对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）‎ ‎4、全等变换 只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。‎ 全等变换包括一下三种：‎ ‎（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。‎ ‎（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。‎ ‎（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。‎ 考点三、等腰三角形 （8~10分）‎ ‎ 1、等腰三角形的性质 ‎（1）等腰三角形的性质定理及推论：‎ 定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）‎ 推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。‎ 推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。‎ ‎（2）等腰三角形的其他性质：‎ ‎①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°‎ ‎②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。‎ ‎③等腰三角形的三边关系：设腰长为a，底边长为b，则r点P在⊙O外。‎ 考点八、过三点的圆 （3分）‎ ‎ 1、过三点的圆：不在同一直线上的三个点确定一个圆。‎ ‎2、三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。‎ ‎3、三角形的外心：三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。‎ ‎4、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）： 圆内接四边形对角互补。‎ 考点九、反证法 （3分）‎ 先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。‎ 考点十、直线与圆的位置关系 （3~5分）‎ 直线和圆有三种位置关系，具体如下：‎ ‎（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；‎ ‎（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，‎ ‎（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。‎ 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：‎ 直线l与⊙O相交dr；‎ 考点十一、切线的判定和性质 （3~8分）‎ ‎ 1、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。‎ ‎2、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。‎ 考点十二、切线长定理 （3分）‎ ‎ 1、切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。‎ ‎2、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。‎ 考点十三、三角形的内切圆 （3~8分）‎ ‎ 1、三角形的内切圆：与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。‎ ‎2、三角形的内心：三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。‎ 考点十四、圆和圆的位置关系 （3分）‎ ‎ 1、圆和圆的位置关系 如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。‎ 如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。‎ 如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。‎ ‎2、圆心距 两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。‎ ‎3、圆和圆位置关系的性质与判定 设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么 两圆外离d>R+r 两圆外切d=R+r 两圆相交R-rr）‎ 两圆内含dr）‎ ‎4、两圆相切、相交的重要性质 如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。‎ 考点十五、正多边形和圆 （3分）‎ ‎ 1、正多边形的定义 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。‎ ‎2、正多边形和圆的关系 只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。‎ 考点十六、与正多边形有关的概念 （3分）‎ ‎ 1、正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。‎ ‎2、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。‎ ‎3、正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。‎ ‎4、中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。‎ 考点十七、正多边形的对称性 （3分）‎ ‎ 1、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。‎ ‎2、正多边形的中心对称性 边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。‎ ‎3、正多边形的画法 先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。‎ 考点十八、弧长和扇形面积 （3~8分）‎ ‎ 1、弧长公式：n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为 ‎2、扇形面积公式：（其中n是扇形的圆心角度数，R是扇形的半径，l是扇形的弧长。）‎ ‎3、圆锥的侧面积：（其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的地面半径。）‎ 补充：（此处为大纲要求外的知识，但对开发学生智力，改善学生数学思维模式有很大帮助）‎ ‎1、相交弦定理 ‎⊙O中，弦AB与弦CD相交与点E，则AEBE=CEDE ‎2、弦切角定理 弦切角：圆的切线与经过切点的弦所夹的角，叫做弦切角。‎ 弦切角定理：弦切角等于弦与切线夹的弧所对的圆周角。‎ 即：∠BAC=∠ADC ‎3、切割线定理 PA为⊙O切线，PBC为⊙O割线，‎ 则 第十三章 图形的变换 考点一、平移 （3~5分）‎ ‎ 1、定义 把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。‎ ‎2、性质 ‎（1）平移不改变图形的大小和形状，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动 ‎（2）连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等。‎ 考点二、轴对称 （3~5分）‎ ‎ 1、定义 把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，该直线叫做对称轴。‎ ‎2、性质 ‎（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形。‎ ‎（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。‎ ‎（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。‎ ‎3、判定 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。‎ ‎4、轴对称图形 把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。‎ 考点三、旋转 （3~8分）‎ ‎ 1、定义 把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。‎ ‎2、性质 ‎（1）对应点到旋转中心的距离相等。‎ ‎（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。‎ 考点四、中心对称 （3分）‎ ‎ 1、定义 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。‎ ‎2、性质 ‎（1）关于中心对称的两个图形是全等形。‎ ‎（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。‎ ‎（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。‎ ‎3、判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。‎ ‎4、中心对称图形 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。‎ 考点五、坐标系中对称点的特征 （3分）‎ ‎ 1、关于原点对称的点的特征 两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P’（-x，-y）‎ ‎2、关于x轴对称的点的特征 两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P’（x，-y）‎ ‎3、关于y轴对称的点的特征 两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P’（-x，y）‎ 第十四章 图形的相似 考点一、比例线段 （3分）‎ ‎ 1、比例线段的相关概念 如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是，或写成a：b=m：n 在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项。‎ 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段若四条a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项，线段的d叫做a，b，c的第四比例项。‎ 如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项。‎ ‎2、比例的性质 ‎（1）基本性质：①a：b=c：dad=bc；②a：b=b：c ‎（2）更比性质（交换比例的内项或外项）‎ ‎ （交换内项）‎ ‎ （交换外项） （同时交换内项和外项）‎ ‎（3）反比性质（交换比的前项、后项）：‎ ‎（4）合比性质：‎ ‎（5）等比性质：‎ ‎3、黄金分割 把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB0.618AB 考点二、平行线分线段成比例定理 （3~5分）‎ 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。‎ 推论：‎ ‎（1）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。‎ 逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。‎ ‎（2）平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。‎ 考点三、相似三角形 （3~8分）‎ ‎ 1、相似三角形的概念 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。‎ ‎2、相似三角形的基本定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。‎ 用数学语言表述如下：‎ ‎∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC 相似三角形的等价关系：‎ ‎（1）反身性：对于任一△ABC，都有△ABC∽△ABC；‎ ‎（2）对称性：若△ABC∽△A’B’C’，则△A’B’C’∽△ABC ‎（3）传递性：若△ABC∽△A’B’C’，并且△A’B’C’∽△A’’B’’C’’，则△ABC∽△A’’B’’C’’。‎ ‎3、三角形相似的判定 ‎（1）三角形相似的判定方法 ‎①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似 ‎②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 ‎③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。‎ ‎④判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。‎ ‎⑤判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似 ‎（2）直角三角形相似的判定方法 ‎①以上各种判定方法均适用 ‎②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似 ‎③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。‎ ‎4、相似三角形的性质 ‎（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例 ‎（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 ‎（3）相似三角形周长的比等于相似比 ‎（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。‎ ‎5、相似多边形 ‎（1）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）‎ ‎（2）相似多边形的性质 ‎①相似多边形的对应角相等，对应边成比例 ‎②相似多边形周长的比、对应对角线的比都等于相似比 ‎③相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比 ‎④相似多边形面积的比等于相似比的平方 ‎6、位似图形 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，此时的相似比叫做位似比。‎ 性质：每一组对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比都等于位似比。‎ 由一个图形得到它的位似图形的变换叫做位似变换。利用位似变换可以把一个图形放大或缩小。‎ 例年中考数学总复习经典例题讲解 实数部分 一、实数与数轴 ‎1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。‎ ‎2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。实数和数轴上的点是一一对应的关系。‎ 二、实数大小的比较 ‎1、在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。‎ ‎2、正数大于0；负数小于0；正数大于一切负数；两个负数绝对值大的反而小。‎ 三、实数的运算 ‎1、加法：‎ ‎（1）同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加；‎ ‎（2）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。可使用加法交换律、结合律。‎ ‎2、减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。‎ ‎3、乘法：‎ ‎（1）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。‎ ‎（2）n个实数相乘，有一个因数为0，积就为0；若n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，积为负。‎ ‎（3）乘法可使用乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。‎ ‎4、除法：‎ ‎（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。‎ ‎（2）除以一个数等于乘以这个数的倒数。‎ ‎（3）0除以任何数都等于0，0不能做被除数。‎ ‎5、乘方与开方：乘方与开方互为逆运算。‎ ‎6、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算。无论何种运算，都要注意先定符号后运算。‎ 四、有效数字和科学记数法 ‎1、科学记数法：设N＞0，则N= a×（其中1≤a＜10，n为整数）。‎ ‎2、有效数字：一个近似数，从左边第一个不是0的数，到精确到的数位为止，所有的数字，叫做这个数的有效数字。精确度的形式有两种：（1）精确到那一位；（2）保留几个有效数字。‎ ‎ ‎ 代数部分 第二章：代数式 基础知识点：‎ 一、代数式 ‎1、代数式：用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫代数式。单独一个数或者一个字母也是代数式。‎ ‎2、代数式的值：用数值代替代数里的字母，计算后得到的结果叫做代数式的值。‎ ‎3、代数式的分类：‎ 二、整式的有关概念及运算 ‎1、概念 ‎（1）单项式：像x、7、，这种数与字母的积叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。‎ 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数叫做这个单项式的次数。‎ 单项式的系数：单项式中的数字因数叫单项式的系数。‎ ‎（2）多项式：几个单项式的和叫做多项式。‎ 多项式的项：多项式中每一个单项式都叫多项式的项。一个多项式含有几项，就叫几项式。‎ 多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。不含字母的项叫常数项。‎ 升（降）幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小（大）到大（小）的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升（降）幂排列。‎ ‎（3）同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。‎ ‎2、运算 ‎（1）整式的加减：‎ 合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的指数不变。‎ ‎ 去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不变；括号前面是“–”号，把括号和它前面的“–”号去掉，括号里的各项都变号。‎ ‎ 添括号法则：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变；括号前面是“–”号，括到括号里的各项都变号。‎ ‎ 整式的加减实际上就是合并同类项，在运算时，如果遇到括号，先去括号，再合并同类项。‎ ‎ （2）整式的乘除：‎ ‎ 幂的运算法则：其中m、n都是正整数 同底数幂相乘：；同底数幂相除：；幂的乘方：‎ 积的乘方：。‎ ‎ 单项式乘以单项式：用它们系数的积作为积的系数，对于相同的字母，用它们的指数的和作为这个字母的指数；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。‎ ‎ 单项式乘以多项式：就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。‎ ‎ 多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。‎ ‎ 单项除单项式：把系数，同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有字母，则连同它的指数作为商的一个因式。‎ ‎ 多项式除以单项式：把这个多项式的每一项除以这个单项，再把所得的商相加。‎ ‎ 乘法公式： 平方差公式：；‎ 完全平方公式：，‎ 三、因式分解 ‎ 1、因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。‎ ‎ 2、常用的因式分解方法：‎ ‎ （1）提取公因式法：‎ ‎ （2）运用公式法：‎ 平方差公式：；完全平方公式：‎ ‎（3）十字相乘法：‎ ‎（4）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。‎ ‎（5）运用求根公式法：若的两个根是、，则有：‎ ‎3、因式分解的一般步骤：‎ ‎（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；‎ ‎（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；‎ ‎（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。‎ ‎（4）最后考虑用分组分解法。‎ 四、分式 ‎ 1、分式定义：形如的式子叫分式，其中A、B是整式，且B中含有字母。‎ ‎ （1）分式无意义：B=0时，分式无意义； B≠0时，分式有意义。‎ ‎ （2）分式的值为0：A=0，B≠0时，分式的值等于0。‎ ‎ （3）分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去叫做分式的约分。方法是把分子、分母因式分解，再约去公因式。‎ ‎ （4）最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。分式运算的最终结果若是分式，一定要化为最简分式。‎ ‎ （5）通分：把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母分式的过程，叫做分式的通分。‎ ‎ （6）最简公分母：各分式的分母所有因式的最高次幂的积。‎ ‎ （7）有理式：整式和分式统称有理式。‎ ‎ 2、分式的基本性质：‎ ‎ （1）；（2）‎ ‎ （3）分式的变号法则：分式的分子，分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。‎ ‎ 3、分式的运算：‎ ‎ （1）加、减：同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分成同分母的分式再相加减。‎ ‎ （2）乘：先对各分式的分子、分母因式分解，约分后再分子乘以分子，分母乘以分母。‎ ‎ （3）除：除以一个分式等于乘上它的倒数式。‎ ‎ （4）乘方：分式的乘方就是把分子、分母分别乘方。‎ 五、二次根式 ‎ 1、二次根式的概念：式子叫做二次根式。‎ ‎ （1）最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含能开得尽方的因式的二次根式叫最简二次根式。‎ ‎ （2）同类二次根式：化为最简二次根式之后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式。‎ ‎ （3）分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化。‎ ‎ （4）有理化因式：把两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式（常用的有理化因式有：与；与）‎ ‎ 2、二次根式的性质：‎ ‎ （1） ； （2）；‎ ‎（3）（a≥0，b≥0）； （4）‎ ‎ 3、运算：‎ ‎ （1）二次根式的加减：将各二次根式化为最简二次根式后，合并同类二次根式。‎ ‎ （2）二次根式的乘法：（a≥0，b≥0）。‎ ‎ （3）二次根式的除法：‎ ‎ 二次根式运算的最终结果如果是根式，要化成最简二次根式。‎ 例题：‎ 一、因式分解：‎ ‎ 1、提公因式法：‎ 例1、‎ 分析：先提公因式，后用平方差公式解：略 ‎[规律总结]因式分解本着先提取，后公式等，但应把第一个因式都分解到不能再分解为止，往往需要对分解后的每一个因式进行最后的审查，如果还能分解，应继续分解。‎ ‎2、十字相乘法：‎ 例2、（1）；（2）‎ 分析：可看成是和(x+y)的二次三项式，先用十字相乘法，初步分解。解：略 ‎[规律总结]应用十字相乘法时，注意某一项可是单项的一字母，也可是某个多项式或整式，有时还需要连续用十字相乘法。‎ ‎3、分组分解法：‎ 例3、‎ 分析：先分组，第一项和第二项一组，第三、第四项一组，后提取，再公式。解：略 ‎[规律总结]对多项式适当分组转化成基本方法因式分组，分组的目的是为了用提公因式，十字相乘法或公式法解题。‎ 二、式的运算 ‎1、巧用公式 ‎ 例5、计算：‎ 分析：运用平方差公式因式分解，使分式运算简单化。解：略 ‎[规律总结]抓住三个乘法公式的特征，灵活运用，特别要掌握公式的几种变形，公式的逆用，掌握运用公式的技巧，使运算简便准确。‎ ‎2、化简求值：‎ 一定要先化到最简再代入求值，注意去括号的法则。‎ ‎3、分式的计算：‎ 化简分式计算过程中：（1）除法转化为乘法时，要倒转分子、分母；（2）注意负号 ‎4、根式计算 ‎ 二次根式的性质和运算是中考必考内容，特别是二次根式的化简、求值及性质的运用是中考的主要考查内容。‎ 代数部分 第三章：方程和方程组 基础知识点： ‎ ‎ 一、方程有关概念 ‎ 1、方程：含有未知数的等式叫做方程。‎ ‎ 2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根。‎ ‎ 3、解方程：求方程的解或方判断方程无解的过程叫做解方程。‎ ‎4、方程的增根：在方程变形时，产生的不适合原方程的根叫做原方程的增根。‎ ‎ 二、一元方程 ‎ 1、一元一次方程 ‎ （1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）‎ ‎ （2）一玩一次方程的最简形式：ax=b（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）‎ ‎ （3）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1。‎ ‎ （4）一元一次方程有唯一的一个解。‎ ‎ 2、一元二次方程 ‎ （1）一元二次方程的一般形式：（其中x是未知数，a、b、c是已知数，a≠0）‎ ‎ （2）一元二次方程的解法： 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法 ‎ （3）一元二次方程解法的选择顺序是：先特殊后一般，如没有要求，一般不用配方法。‎ ‎ （4）一元二次方程的根的判别式： ‎ ‎ 当Δ＞0时方程有两个不相等的实数根；‎ ‎ 当Δ=0时方程有两个相等的实数根；‎ ‎ 当Δ< 0时方程没有实数根，无解；‎ ‎ 当Δ≥0时方程有两个实数根 ‎ （5）一元二次方程根与系数的关系：‎ ‎ 若是一元二次方程的两个根，那么：，‎ ‎（6）以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是： ‎ ‎ 三、分式方程 ‎ （1）定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。‎ ‎ （2）分式方程的解法：‎ ‎ 一般解法：去分母法，方程两边都乘以最简公分母。‎ ‎ 特殊方法：换元法。‎ ‎（3）检验方法：一般把求得的未知数的值代入最简公分母，使最简公分母不为0的就是原方程的根；使得最简公分母为0的就是原方程的增根，增根必须舍去，也可以把求得的未知数的值代入原方程检验。‎ ‎ 四、方程组 ‎ 1、方程组的解：方程组中各方程的公共解叫做方程组的解。‎ ‎ 2、解方程组：求方程组的解或判断方程组无解的过程叫做解方程组 ‎ 3、一次方程组：‎ ‎ （1）二元一次方程组：‎ ‎ 一般形式：（不全为0）‎ ‎ 解法：代入消远法和加减消元法 ‎ 解的个数：有唯一的解，或无解，当两个方程相同时有无数的解。‎ ‎ （2）三元一次方程组：‎ ‎ 解法：代入消元法和加减消元法 ‎ 4、二元二次方程组：‎ ‎ （1）定义：由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组以及由两个二元二次方程组成的方程组叫做二元二次方程组。‎ ‎ （2）解法：消元，转化为解一元二次方程，或者降次，转化为二元一次方程组。‎ 考点与命题趋向分析 例题： ‎ ‎ 一、一元二次方程的解法 ‎1：（1）用直接开方法解；（2）用公式法；（3）用因式分解法 ‎[规律总结]如果一元二次方程形如，就可以用直接开方法来解；利用公式法可以解任何一个有解的一元二次方程，运用公式法解一元二次方程时，一定要把方程化成一般形式。‎ ‎2：（1）；先化为一般形式，再用公式法解；（2）直接可以十字相乘法因式分解后可求解。‎ ‎ [规律总结]对于带字母系数的方程解法和一般的方程没有什么区别，在用公式法时要注意判断△的正负。‎ 二、分式方程的解法：‎ 分析：（1）用去分母的方法；（2）用换元法 解：略 ‎[规律总结]一般的分式方程用去分母法来解，一些具有特殊关系如：有平方关系，倒数关系等的分式方程，可采用换元法来解。‎ 三、根的判别式及根与系数的关系 ‎1[规律总结]对于根的判别式的三种情况要很熟练，还有要特别留意二次项系数不能为0‎ ‎2 [规律总结]此类题目可以先解出第一方程的两个解，但有时这样又太复杂，用根与系数的关系就比较简单。‎ 三、方程组 ‎1分析：（1）用加减消元法消x较简单；（2）应该先用加减消元法消去y，变成二元一次方程组，较易求解。‎ ‎[规律总结]加减消元法是最常用的消元方法，消元时那个未知数的系数最简单就先消那个未知数。‎ ‎2 分析：（1）可用代入消远法，也可用根与系数的关系来求解；（2）要先把第一个方程因式分解化成两个二元一次方程，再与第二个方程分别组成两个方程组来解。解：略 ‎[规律总结]对于一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般用代入消元法，对于两个二元二次方程组成的方程组，一定要先把其中一个方程因式分解化为两个一次方程再和第二个方程组成两个方程组来求解。‎ 代数部分 第四章：列方程（组）解应用题 知识点：‎ 一、列方程（组）解应用题的一般步骤 ‎ 1、审题：‎ ‎ 2、设未知数；‎ ‎ 3、找出相等关系，列方程（组）；‎ ‎ 4、解方程（组）；‎ ‎5、检验，作答；‎ 二、列方程（组）解应用题常见类型题及其等量关系；‎ ‎ 1、工程问题 ‎ （1）基本工作量的关系：工作量=工作效率×工作时间 ‎ （2）常见的等量关系：甲的工作量+乙的工作量=甲、乙合作的工作总量 ‎（3）注意：工程问题常把总工程看作“1”，水池注水问题属于工程问题 ‎ 2、行程问题 ‎ （1）基本量之间的关系：路程=速度×时间 ‎ （2）常见等量关系：‎ ‎ 相遇问题：甲走的路程+乙走的路程=全路程 ‎ 追及问题（设甲速度快）：‎ ‎ 同时不同地：甲的时间=乙的时间；甲走的路程–乙走的路程=原来甲、乙相距路程 同地不同时：甲的时间=乙的时间–时间差；甲的路程=乙的路程 ‎ 3、水中航行问题：‎ 顺流速度=船在静水中的速度+水流速度；‎ 逆流速度=船在静水中的速度–水流速度 ‎4、增长率问题：‎ 常见等量关系：增长后的量=原来的量+增长的量；增长的量=原来的量×（1+增长率）；‎ ‎5、数字问题：‎ 基本量之间的关系：三位数=个位上的数+十位上的数×10+百位上的数×100‎ 三、列方程解应用题的常用方法 ‎1、译式法：‎ 就是将题目中的关键性语言或数量及各数量间的关系译成代数式，然后根据代数之间的内在联系找出等量关系。‎ ‎2、线示法：‎ 就是用同一直线上的线段表示应用题中的数量关系，然后根据线段长度的内在联系，找出等量关系。‎ ‎3、列表法：‎ 就是把已知条件和所求的未知量纳入表格，从而找出各种量之间的关系。‎ ‎4、图示法：‎ 就是利用图表示题中的数量关系，它可以使量与量之间的关系更为直观，这种方法能帮助我们更好地理解题意。‎ 代数部分 第五章：不等式及不等式组 知识点：‎ 一、不等式与不等式的性质 ‎1、不等式：表示不等关系的式子。（表示不等关系的常用符号：≠，＜，＞）。‎ ‎ 2、不等式的性质：‎ ‎ （l）不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号方向不改变，如a＞ b， c为实数a＋c＞b＋c ‎（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，如a＞b， c＞‎0ac＞bc。‎ ‎（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变，如a＞b，c＜‎0ac＜bc.‎ 注：在不等式的两边都乘以（或除以）一个实数时，一定要养成好的习惯、就是先确定该数的数性（正数，零，负数）再确定不等号方向是否改变，不能像应用等式的性质那样随便，以防出错。‎ ‎ 3、任意两个实数a，b的大小关系（三种）：‎ ‎（1）a – b ＞‎0 a＞b ‎ （2）a – b=0a=b ‎（3）a–b＜‎0a＜b ‎ 4、（1）a＞b＞0‎ ‎ （2）a＞b＞0‎ ‎ 二、不等式（组）的解、解集、解不等式 ‎ 1、能使一个不等式（组）成立的未知数的一个值叫做这个不等式（组）的一个解。‎ ‎ 不等式的所有解的集合，叫做这个不等式的解集。‎ ‎ 不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做不等式组的解集。‎ ‎2．求不等式（组）的解集的过程叫做解不等式（组）。‎ ‎ 三、不等式（组）的类型及解法 ‎ 1、一元一次不等式：‎ ‎（l）概念：含有一个未知数并且含未知数的项的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式。‎ ‎（2）解法：‎ 与解一元一次方程类似，但要特别注意当不等式的两边同乘以（或除以）一个负数时，不等号方向要改变。‎ ‎2、一元一次不等式组：‎ ‎（l）概念：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。‎ ‎（2）解法：先求出各不等式的解集，再确定解集的公共部分。‎ 注：求不等式组的解集一般借助数轴求解较方便。‎ 例题分析：‎ 方法1：利用不等式的基本性质 ‎ 1、判断正误：‎ ‎ （1）若a＞b，c为实数，则＞；‎ ‎ （2）若＞，则a＞b ‎ 分析：在（l）中，若c=0，则=； 在（2）中，因为”＞”，所以。C≠0，否则应有= 故a＞b 解：略 ‎［规律总结］将不等式正确变形的关键是牢记不等式的三条基本性质，不等式的两边都乘以或除以含有字母的式子时，要对字母进行讨论。‎ ‎ 方法2：特殊值法 ‎ 例2、若a＜b＜0，那么下列各式成立的是（ ）‎ ‎ A、 B、ab＜‎0 C、 D、‎ ‎ 分析：使用直接解法解答常常费时间，又因为答案在一般情况下成立，当然特殊情况也成立，因此采用特殊值法。‎ ‎ 解：根据a＜b＜0的条件，可取a= –2，b= –l，代入检验，易知，所以选D ‎[规律总结］此种方法常用于解选择题，学生知识有限，不能直接解答时使用特殊值法，既快，又能找到符合条件的答案。‎ ‎ 方法3：类比法 ‎ 例3、解下列一元一次不等式，并把解集在数轴上表示出来。‎ ‎ （1）8–2（x＋2）＜4x–2； （2）‎ ‎ 分析：解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，主要步骤有去分母，去括号、移项、合并同类项，把系数化成1，需要注意的是，不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号要改变方向。解：略 ‎[规律总结］解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤类似，但要注意当不等式的两边都乘以或除以同一个负数时，不等号的方向必须改变，类比法解题，使学生容易理解新知识和掌握新知识。‎ ‎ 方法4：数形结合法 ‎ 例4、求不等式组：的非负整数解 分析：‎ 要求一个不等式组的非负整数解，就应先求出不等式组的解集，再从解集中找出其中的非负整数解。解：略 ‎ 方法5：逆向思考法 ‎ 例5、已知关于x的不等式的解集是x＞3，求a的值。‎ ‎ 分析：因为关于x的不等式的解集为x＞3，与原不等式的不等号同向，所以有a – 2 >0，即原不等式的解集为，解此方程求出a的值。解：略 ‎[规律总结]此题先解字母不等式，后着眼已知的解集，探求成立的条件，此种类型题都采用逆向思考法来解。‎ 代数部分 第六章：函数及其图像 知识点：‎ 一、平面直角坐标系 ‎1、平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴，构成平面直角坐标系。在平面直角坐标系内的点和有序实数对之间建立了—一对应的关系。‎ ‎ 2、不同位置点的坐标的特征：‎ ‎ （1）各象限内点的坐标有如下特征：‎ ‎ 点P（x, y）在第一象限x ＞0，y＞0；‎ ‎ 点P（x, y）在第二象限x＜0，y＞0；‎ ‎ 点P（x, y）在第三象限x＜0，y＜0；‎ ‎ 点P（x, y）在第四象限x＞0，y＜0。‎ ‎ （2）坐标轴上的点有如下特征：‎ ‎ 点P（x, y）在x轴上y为0，x为任意实数。‎ ‎ 点P（x，y）在y轴上x为0，y为任意实数。‎ ‎ 3．点P（x, y）坐标的几何意义：‎ ‎ （1）点P（x, y）到x轴的距离是| y |；‎ ‎ （2）点P（x, y）到y袖的距离是| x |；‎ ‎ （3）点P（x, y）到原点的距离是 ‎ 4．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特征：‎ ‎ （1）点P（a, b）关于x轴的对称点是；‎ ‎ （2）点P（a, b）关于x轴的对称点是；‎ ‎（3）点P（a, b）关于原点的对称点是；‎ ‎ 二、函数的概念 ‎ 1、常量和变量：在某一变化过程中可以取不同数值的量叫做变量；保持数值不变的量叫做常量。‎ ‎ 2、函数：一般地，设在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。‎ ‎ （1）自变量取值范围的确是： ‎ ‎ ①解析式是只含有一个自变量的整式的函数，自变量取值范围是全体实数。‎ ‎ ②解析式是只含有一个自变量的分式的函数，自变量取值范围是使分母不为0的实数。‎ ‎ ③解析式是只含有一个自变量的偶次根式的函数，自变量取值范围是使被开方数非负的实数。‎ ‎ 注意：在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，还必须使实际问题有意义。‎ ‎ （2）函数值：给自变量在取值范围内的一个值所求得的函数的对应值。‎ ‎ （3）函数的表示方法：①解析法；②列表法；③图像法 ‎ （4）由函数的解析式作函数的图像，一般步骤是：①列表；②描点；③连线 ‎ 三、几种特殊的函数 ‎ 1、一次函数 ‎ ‎ 直线位置与k，b的关系：‎ ‎ （1）k＞0直线向上的方向与x轴的正方向所形成的夹角为锐角；‎ ‎ （2）k＜0直线向上的方向与x轴的正方向所形成的夹角为钝角；‎ ‎（3）b＞0直线与y轴交点在x轴的上方；‎ ‎（4）b＝0直线过原点；‎ ‎（5）b＜0直线与y轴交点在x轴的下方；‎ ‎2、二次函数 ‎ ‎ 抛物线位置与a，b，c的关系：‎ ‎ （1）a决定抛物线的开口方向 ‎ （2）c决定抛物线与y轴交点的位置：‎ ‎ c>0图像与y轴交点在x轴上方；c=0图像过原点；c<0图像与y轴交点在x轴下方；‎ ‎ （3）a，b决定抛物线对称轴的位置：a，b同号，对称轴在y轴左侧；b＝0，对称轴是y轴； a，b异号。对称轴在y轴右侧；‎ ‎3、反比例函数：‎ ‎ ‎ ‎ 4、正比例函数与反比例函数的对照表：‎ 代数部分 第七章：统计初步 知识点：‎ 一、总体和样本：‎ 在统计时，我们把所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一考察对象叫做个体。从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量。‎ ‎ 二、反映数据集中趋势的特征数 ‎ 1、平均数 ‎ （1）的平均数， ‎ ‎ （2）加权平均数：如果n个数据中，出现次，出现次，……，出现次（这里），则 ‎ （3）平均数的简化计算：‎ 当一组数据中各数据的数值较大，并且都与常数a接近时，设的平均数为则：。‎ ‎2、中位数：将一组数据接从小到大的顺序排列，处在最中间位置上的数据叫做这组数据的中位数，如果数据的个数为偶数中位数就是处在中间位置上两个数据的平均数。‎ ‎3、众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。一组数据的众数可能不止一个。‎ ‎ 三、反映数据波动大小的特征数：‎ ‎ 1、方差：‎ ‎ （l）的方差， ‎ ‎ （2）简化计算公式：（为较小的整数时用这个公式要比较方便）‎ ‎ （3）记的方差为，设a为常数，的方差为，则=。‎ ‎ 注：当各数据较大而常数a较接近时，用该法计算方差较简便。‎ ‎ 2、标准差：方差（）的算术平方根叫做标准差（S）。‎ 注：通常由方差求标准差。‎ ‎ 四、频率分布 ‎ 1、有关概念 ‎ （1）分组：将一组数据按照统一的标准分成若干组称为分组，当数据在100个以内时，通常分成5－12组。‎ ‎ （2）频数：每个小组内的数据的个数叫做该组的频数。各个小组的频数之和等于数据总数n。‎ ‎ （3）频率：每个小组的频数与数据总数n的比值叫做这一小组的频率，各小组频率之和为l。‎ ‎ （4）频率分布表：将一组数据的分组及各组相应的频数、频率所列成的表格叫做频率分布表。‎ ‎ （5）频率分布直方图：将频率分布表中的结果，绘制成的，以数据的各分点为横坐标，以频率除以组距为纵坐标的直方图，叫做频率分布直方图。‎ ‎ 图中每个小长方形的高等于该组的频率除以组距。‎ ‎ 每个小长方形的面积等于该组的频率。‎ ‎ 所有小长方形的面积之和等于各组频率之和等于1。‎ 样本的频率分布反映样本中各数据的个数分别占样本容量n的比例的大小，总体分布反映总体中各组数据的个数分别在总体中所占比例的大小，一般是用样本的频率分布去估计总体的频率分布。‎ ‎ 2、研究频率分布的方法；得到一数据的频率分布和方法，通常是先整理数据，后画出频率分布直方图，其步骤是：‎ ‎（1）计算最大值与最小值的差；‎ ‎（2）决定组距与组数；‎ ‎（3）决定分点；‎ ‎（4）列领率分布表；‎ ‎（5）绘频率分布直方图。‎ ‎［规律总结］求平均数有三种方法，即当所给数据比较分散时，一般用平均数的概念来求；著所给数据较大且都在某一数a上下波动时，通常采用简化公式；若所给教据重复出现时，通常采用加权平均数公式来计算。‎ ‎ ‎ ‎[规律总结］明确方差或标准差是衡量一组数据的波动的大小的，恰当选用方差的三个计算公式，应抓住三个公式的特征，根据题中数据的特点选用计算公式。‎ ‎ ‎ ‎ [规律总结］要掌握获得一组数据的频率分布的五大步骤，掌握整理数据的步骤和方法。会对数据进行合理的分组。‎ 几何部分 第一章：线段、角、相交线、平行线 知识点：‎ 一、直线：直线是几何中不加定义的基本概念，直线的两大特征是“直”和“向两方无限延伸”。‎ 二、直线的性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，直线的这条性质是以公理的形式给出的，可简述为：过两点有且只有一条直线，两直线相交，只有一个交点。‎ ‎ 三、射线：‎ ‎1、射线的定义：直线上一点和它们的一旁的部分叫做射线。‎ ‎2．射线的特征：“向一方无限延伸，它有一个端点。”‎ ‎ 四、线段：‎ ‎1、线段的定义：直线上两点和它之间的部分叫做线段，这两点叫做线段的端点。‎ ‎2、线段的性质（公理）：所有连接两点的线中，线段最短。‎ ‎ 五、线段的中点： ‎ ‎ 1、定义如图1一1中，点B把线段AC分成两条相等的线段，点B叫做线段图1－1AC的中点。‎ ‎ 2、表示法：‎ ‎∵AB＝BC ‎∴点 B为 AC的中点 ‎ 或∵ AB＝ MAC ‎ ∴点 B为AC的中点，或∵AC＝2AB，∴点B为AC的中点 ‎ 反之也成立 ‎∵点 B为AC的中点，∴AB＝BC ‎ 或∵点B为AC的中点， ∴AB= AC 或∵点B为AC的中点， ∴AC=2BC 六、角 ‎1、角的两种定义：一种是有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。‎ 要弄清定义中的两个重点 ‎①角是由两条射线组成的图形；‎ ②这两条射线必须有一个公共端点。另一种是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。可以看出在起始位置的射线与终止位置的射线就形成了一个角。‎ ‎ 2．角的平分线定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，‎ 这条射线叫做这个角的平分线。表示法有三种：如图1—2‎ ‎ （1）∠AOC＝∠BOC ‎ ‎（2）∠AOB＝2∠AOC＝ 2∠COB ‎（3）∠AOC＝∠COB=∠AOB ‎ 七、角的度量：度量角的大小，可用“度”作为度量单位。把一个圆周分成360等份，每一份叫做一度的角。‎ ‎1度=60分；1分=60秒。‎ ‎ 八、角的分类：‎ ‎ （1）锐角：小于直角的角叫做锐角 ‎ （2）直角：平角的一半叫做直角 ‎ （3）钝角：大于直角而小于平角的角 ‎ （4）平角：把一条射线，绕着它的端点顺着一个方向旋转，当终止位置和起始位置成一直线时，所成的角叫做平角。‎ ‎ （5）周角：把一条射线，绕着它的端点顺着一个方向旋转，当终边和始边重合时，所成的角叫做周角。‎ ‎（6）周角、平角、直角的关系是： l周角=2平角=4直角=360°‎ ‎ 九、相关的角：‎ ‎ 1、对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。‎ ‎ 2、互为补角：如果两个角的和是一个平角，这两个角做互为补角。‎ ‎ 3、互为余角：如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角。‎ ‎ 4、邻补角：有公共顶点，一条公共边，另两条边互为反向延长线的两个角做互为邻补角。‎ 注意：‎ 互余、互补是指两个角的数量关系，与两个角的位置无关，而互为邻补角则要求两个角有特殊的位置关系。‎ ‎ 十、角的性质 ‎1、对顶角相等。‎ ‎2、同角或等角的余角相等。‎ ‎3、同角或等角的补角相等。‎ ‎ 十一、相交线 ‎1、斜线：两条直线相交不成直角时，其中一条直线叫做另一条直线的斜线。它们的交点叫做斜足。‎ ‎2、两条直线互相垂直：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。‎ ‎3、垂线：当两条直线互相垂直时，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。‎ ‎ 4、垂线的性质 ‎ （l）过一点有且只有一条直线与己知直线垂直。‎ ‎（2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。简单说：垂线段最短。‎ ‎ 十二、距离 ‎1、两点的距离：连结两点的线段的长度叫做两点的距离。‎ ‎2、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。‎ ‎3、两条平行线的距离：两条直线平行，从一条直线上的任意一点向另一条直线引垂线，垂线段的长度，叫做两条平行线的距离。‎ 说明：点到直线的距离和平行线的距离实际上是两个特殊点之间的距离，它们与点到直线的垂线段是分不开的。‎ ‎ 十三、平行线 ‎1、定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。‎ ‎2、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。‎ ‎ 3、平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。‎ 说明：也可以说两条射线或两条线段平行，这实际上是指它们所在的直线平行。‎ ‎ 4、平行线的判定：‎ ‎ （1）同位角相等，两直线平行。‎ ‎ （2）内错角相等，两直线平行。‎ ‎（3）同旁内角互补，两直线平行。‎ ‎ 5、平行线的性质 ‎ （1）两直线平行，同位角相等。‎ ‎（2）两直线平行，内错角相等。‎ ‎ （3）两直线平行，同旁内角互补。‎ 说明：要证明两条直线平行，用判定公理（或定理）在已知条件中有两条直线平行时，则应用性质定理。‎ ‎ 6、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。‎ ‎ 注意：当角的两边平行且方向相同（或相反）时，这两个角相等。当角的两边平行且一边方向相同另一方向相反时，这两个角互补。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 几何部分 第二章：三角形 知识点：‎ ‎ 一、关于三角形的一些概念 ‎ 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。‎ 组成三角形的线段叫三角形的边；相邻两边的公共端点叫三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫三角形的内角，简称三角形的角。‎ ‎ 1、三角形的角平分线。‎ 三角形的角平分线是一条线段（顶点与内角平分线和对边交线间的距离）‎ ‎ 2、三角形的中线 三角形的中线也是一条线段（顶点到对边中点间的距离）‎ ‎ 3．三角形的高 ‎ 三角形的高线也是一条线段（顶点到对边的距离）‎ ‎ 注意：三角形的中线和角平分线都在三角形内。‎ ‎ 如图 2－l， AD、 BE、 CF都是么ABC的角平分线，它们都在△ABC内 ‎ 如图2－2，AD、BE、CF都是△ABC的中线，它们都在△ABC内 ‎ ‎ 而图2－3，说明高线不一定在 △ABC内，‎ ‎ ‎ ‎ 图2—3—（1） 图2—3—（2） 图2－3一（3）‎ 图2－3—（1），中三条高线都在△ ABC内，‎ ‎ 图2－3－（2），中高线CD在△ABC内，而高线AC与BC是三角形的边；‎ 图2－3一（3），中高线BE在△ABC内，而高线AD、CF在△ABC外。‎ ‎ 4、三角形三条边的关系 ‎ 三角形三边都不相等，叫不等边三角形；有两条边相等的叫等腰三角形；三边都相等的则叫等边三角形。‎ ‎ 等腰三角形中，相等的两条边叫腰，另一边叫底边，腰和底边的夹角叫底角，两腰的夹角叫项角。‎ ‎ 三角形按边相等关系来分类：‎ ‎ 三角形 ‎ 用集合表示，见图2－4‎ 三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。‎ ‎ 推论三角形两边的差小于第三边。‎ ‎ 不符合定理的三条线段，不能组成三角形的三边。‎ 例如三条线段长分别为5，6，1人因为5＋6＜12，所以这三条线段，不能作为三角形的三边。‎ ‎ 三、三角形的内角和 ‎ 定理三角形三个内角的和等于180°‎ ‎ 由定理可知，三角形的二个角已知，那么第三角可以由定理求得。‎ ‎ 如已知△ABC的两个角为∠A＝90°，∠B＝40°，则∠C＝180°–90°–40°＝50°‎ 由定理可以知道，三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角。‎ ‎ 推论1：直角三角形的两个锐角互余。‎ ‎ 三角形按角分类：‎ ‎ ‎ ‎ 用集合表示，见图 ‎ ‎ ‎ 三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角。‎ ‎ 推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。‎ ‎ 推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。‎ ‎ 例如图2—6中 ‎ ∠1 ＞∠3；∠1=∠3＋∠4；∠5＞∠3＋∠8；∠5＝∠3＋∠7＋∠8；‎ ‎∠2＞∠8；∠2＝∠7＋∠8；∠4＞∠9；∠4＝∠9＋∠10等等。‎ ‎ 四、全等三角形 ‎ 能够完全重合的两个图形叫全等形。‎ ‎ 两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。‎ ‎ 全等用符号“≌”表示 ‎ △ABC≌△A `B`C`表示 A和 A`， B和B`， C和C`是对应点。‎ ‎ 全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。‎ ‎ ‎ ‎ 如图2—7，△ABC≌△A `B`C`，则有A、B、C的对应点A`、B`、C`；AB、BC、CA的对应边是A`B`、B`C`、C`A`。‎ ‎ ∠A，∠B，∠C的对应角是∠A`、∠B`、∠C`。‎ ‎∴AB＝A`B`，BC＝B`C`，CA＝C`A`；∠A＝∠A`，∠ B＝∠B`，∠C＝∠C`‎ ‎ 五、全等三角形的判定 ‎ 1、边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）‎ ‎ 注意：一定要是两边夹角，而不能是边边角。‎ ‎ 2、角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角“或“ASA”）‎ ‎ 3、推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边’域“AAS”）‎ ‎ 4、边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）‎ ‎ 由边边边公理可知，三角形的重要性质：三角形的稳定性。‎ ‎ 除了上面的判定定理外，“边边角”或“角角角”都不能保证两个三角形全等。‎ ‎5、直角三角形全等的判定：斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边，直角边”或“HL”）‎ ‎ 六、角的平分线 ‎ 定理1、在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。‎ ‎ 定理2、一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。‎ ‎ 由定理1、2可知：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。‎ ‎ 可以证明三角形内存在一个点，它到三角形的三边的距离相等这个点就是三角形的三条角平分线的交点（交于一点）‎ ‎ ‎ ‎ 命题：‎ ‎ 在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互为逆命题，如果把其中的一个做原命题，那么另一个叫它的逆命题。‎ ‎ 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫互逆定理，其中一个叫另一个的逆定理。‎ ‎ 例如：“两直线平行，同位角相等”和“同位角相等，两直线平行”是互逆定理。‎ 一个定理不一定有逆定理，例如定理：“对顶角相等”就没逆定理，因为“相等的角是对顶角”这是一个假命颗。‎ 七、基本作图 限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作网＿‎ 最基本、最常用的尺规作图．通常称为基本作图，例如做一条线段等于己知线段。‎ ‎1、作一个角等于已知角：作法是使三角形全等（SSS），从而得到对应角相等；‎ ‎2、平分已知角：作法仍是使三角形全等（SSS）．从而得到对应角相等。‎ ‎3、经过一点作已知直线的垂线：‎ ‎（1）若点在已知直线上，可看作是平分已知角平角；‎ ‎（2）若点在已知直线外，‎ 可用类似平分已知角的方法去做：已知点 C为圆心，适当长为半径作弧交已知真线于A、B两点，再以A、B为圆心，用相同的长为半径分别作弧交于D点，连结CD即为所求垂线。‎ ‎4、作线段的垂直平分线：‎ 线段的垂直平分线也叫中垂线。‎ 做法的实质仍是全等三角形（SSS）。‎ 也可以用这个方法作线段的中点。‎ 八、作图题举例 重要解决求作三角形的问题 ‎1、已知两边一夹角，求作三角形 2、已知底边上的高，求作等腰三角形 ‎ 九、等腰三角形的性质定理 ‎ 等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）‎ ‎ 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，就是说：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。‎ ‎ 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°‎ 例如：等腰三角形底边中线上的任一点到两腰的距离相等，因为等腰三角形底边中线就是顶角的角平分线、而角平分线上的点到角的两边距离相等n ‎ 十、等腰三角形的判定 ‎ 定理：如果一个三角形有两个角相，那这两个角所对的两条边也相等。（简写成“等角对等动”）。‎ ‎ 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形 ‎ 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 ‎ 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于3O°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。‎ ‎ 十一、线段的垂直平分线 ‎ 定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 ‎ 逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。‎ 就是说：线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合。‎ ‎ 十二、轴对称和轴对称图形 ‎ 把一个图形沿着某一条直线折叠二如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线轴对称，两个图形中的对应点叫关于这条直线的对称点，这条直线叫对称轴。‎ 两个图形关于直线对称也叫轴对称。‎ ‎ 定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形。‎ ‎ 定理2：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。‎ ‎ 定理3：两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长相交。那么交点在对称轴上。‎ ‎ 逆定理：如果两个图形的对应点连线被一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。‎ ‎ 如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是对称轴。‎ 例如：等腰三角形顶角的分角线就具有上面所述的特点，所以等腰三角形顶角的分角线是等腰三角形的一条对称轴，而等腰三角形是轴对称图形。‎ ‎ 十三、勾股定理 ‎ 勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方：‎ ‎ 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有下面关系： ‎ 那么这个三角形是直角三角形 几何部分 第三章：四边形 知识点：‎ 一、多边形 ‎ 1、多边形：由一些线段首尾顺次连结组成的图形，叫做多边形。‎ ‎ 2、多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边。‎ ‎ 3、多边形的顶点：多边形每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点。‎ ‎ 4、多边形的对角线：连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。‎ ‎ 5、多边形的周长：多边形各边的长度和叫做多边形的周长。‎ ‎ 6、凸多边形：把多边形的任何一条边向两方延长，如果多边形的其他各边都在延长线所得直线的问旁，这样的多边形叫凸多边形。‎ ‎ 说明：一个多边形至少要有三条边，有三条边的叫做三角形；有四条边的叫做四边形；有几条边的叫做几边形。今后所说的多边形，如果不特别声明，都是指凸多边形。‎ ‎ 7、多边形的角：多边形相邻两边所组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角。‎ ‎ 8、多边形的外角：多边形的角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做多边形的外角。‎ ‎ 注意：多边形的外角也就是与它有公共顶点的内角的邻补角。‎ ‎ 9、n边形的对角线共有条。‎ ‎ 说明：利用上述公式，可以由一个多边形的边数计算出它的对角线的条数，也可以由一个多边形的对角线的条数求出它的边数。‎ ‎ 10、多边形内角和定理：n边形内角和等于（n－2）180°。‎ ‎ 11、多边形内角和定理的推论：n边形的外角和等于360°。‎ ‎ 说明：多边形的外角和是一个常数（与边数无关），利用它解决有关计算题比利用多边形内角和公式及对角线求法公式简单。无论用哪个公式解决有关计算，都要与解方程联系起 来，掌握计算方法。‎ ‎ 二、平行四边形 ‎ 1、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。‎ ‎ 2、平行四边形性质定理1：平行四边形的对角相等。‎ ‎ 3、平行四边形性质定理2：平行四边形的对边相等。‎ ‎ 4、平行四边形性质定理2推论：夹在平行线间的平行线段相等。‎ ‎ 5、平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分。‎ ‎ 6、平行四边形判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。‎ ‎ 7、平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。‎ ‎ 8、平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。‎ ‎ 9、平行四边形判定定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。‎ ‎ 说明：（1）平行四边形的定义、性质和判定是研究特殊平行四边形的基础。同时又是证明线段相等，角相等或两条直线互相平行的重要方法。‎ ‎（2）平行四边形的定义即是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法。‎ ‎ 三、矩形 ‎ 矩形是特殊的平行四边形，从运动变化的观点来看，当平行四边形的一个内角变为90°时，其它的边、角位置也都随之变化。因此矩形的性质是在平行四边形的基础上扩充的。‎ ‎ 1、矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做短形（通常也叫做长方形）‎ ‎ 2、矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角。‎ ‎ 3．矩形性质定理2：矩形的对角线相等。‎ ‎ 4、矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。‎ ‎ 说明：因为四边形的内角和等于360度，已知有三个角都是直角，那么第四个角必定是直角。‎ ‎ 5、矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。‎ ‎ 说明：要判定四边形是矩形的方法是：‎ ‎ 法一：先证明出是平行四边形，再证出有一个直角（这是用定义证明） ‎ 法二：先证明出是平行四边形，再证出对角线相等（这是判定定理1）‎ 法三：只需证出三个角都是直角。（这是判定定理2）‎ ‎ 四、菱形 ‎ 菱形也是特殊的平行四边形，当平行四边形的两个邻边发生变化时，即当两个邻边相等时，平行四边形变成了菱形。‎ ‎ 1、菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。‎ ‎ 2、菱形的性质1：菱形的四条边相等。‎ ‎ 3、菱形的性质2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。‎ ‎ 4、菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形。‎ ‎ 5、菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。‎ ‎ 说明：要判定四边形是菱形的方法是：‎ ‎ 法一：先证出四边形是平行四边形，再证出有一组邻边相等。（这就是定义证明）。‎ ‎ 法二：先证出四边形是平行四边形，再证出对角线互相垂直。（这是判定定理2）‎ 法三：只需证出四边都相等。（这是判定定理1）‎ ‎ （五）正方形 ‎ 正方形是特殊的平行四边形，当邻边和内角同时运动时，又能使平行四边形的一个内角为直角且邻边相等，这样就形成了正方形。‎ ‎ 1、正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。‎ ‎ 2、正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等。‎ ‎ 3、正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。‎ ‎ 4、正方形判定定理互：两条对角线互相垂直的矩形是正方形。‎ ‎ 5、正方形判定定理2：两条对角线相等的菱形是正方形。‎ ‎ 注意：要判定四边形是正方形的方法有 ‎ 方法一：第一步证出有一组邻边相等； 第二步证出有一个角是直角；第三步证出是平行四边形。（这是用定义证明）‎ ‎ 方法二：第一步证出对角线互相垂直；第二步证出是矩形。（这是判定定理1）‎ ‎ 方法三：第一步证出对角线相等；第二步证出是菱形。（这是判定定理2）‎ ‎ 六、梯形 ‎ 1、梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。‎ ‎ 2、梯形的底：梯形中平行的两边叫做梯形的底（通常把较短的底叫做上底，较长的边叫做下底）‎ ‎ 3、梯形的腰：梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。‎ ‎ 4、梯形的高：梯形有两底的距离叫做梯形的高。‎ ‎ 5、直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。‎ ‎ 6、等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。‎ ‎ 7、等腰梯形性质定理1：等腰梯形在同一底上的两个角相等。‎ ‎ 8、等腰梯形性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等。‎ ‎ 9、等腰梯形的判定定理l。：在同一个底上钩两个角相等的梯形是等腰梯形。‎ ‎ 10、等腰梯形的判定定理2：对角线相等的梯形是等腰梯形。‎ 研究等腰梯形常用的方法有：化为一个等腰三角形和一个平行四边形；或两个全等的直角三角形和一矩形；或作对角线的平行线交下底的延长线于一点；或延长两腰交于一点。‎ ‎ 七、中位线 ‎ 1、三角形的中位线连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。‎ ‎ 说明：三角形的中位线与三角形的中线不同。‎ ‎ 2、梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形中位线。‎ ‎ 3、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。‎ ‎ 4、梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。‎ 八、多边形的面积 说明：多边形的面积常用的求法有：‎ ‎（1）将任意一个平面图形划分为若干部分再通过求部分的面积的和，求出原来图形的面积这种方法叫做分割法。如图3－l，作六边形的最长的一条对角线，从其它各顶点向这条对角线引垂线，把六边形分成四个直角三角形和两个直角梯形，计算它们的面积再相加。‎ ‎ （2）将一个平面图形的某一部分割下来移放在另一个适当的位置上，从而改变原来图形的形状。利用计算变形后的图形的面积来求原图形的面积的这种方法。叫做割补法。——‎ ‎ （3）将一个平面图形通过拼补某一图形，使它变为另一个图形，利用新的图形减去所补充图形的面积，来求出原来图形面积的这种方法叫做拼凑法。‎ ‎ 注意：两个图形全等，它们的面积相等。等底等高的三角面积相等。一个图形的面积等于它的各部分面积的和。‎ 几何部分 第四章：相似形 知识点：‎ 一、比例线段 ‎1、比：选用同一长度单位量得两条线段。a、b的长度分别是m、n，‎ 那么就说这两条线段的比是a：b＝m：n（或）‎ ‎ 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。a叫做比的前项，b叫做比的后项。‎ ‎ 说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。‎ ‎ 3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 ‎ 4、比例外项：在比例（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。‎ ‎ 5、比例内项：在比例（或a：b＝c：d）中b、c叫做比例内项。‎ ‎ 6、第四比例项：在比例（或a：b＝c：d）中，d叫a、b、c的第四比例项。‎ ‎7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 ‎（或a:b=b:c时，我们把b叫做a和d的比例中项。）‎ ‎8、比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，‎ 那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。‎ ‎ 9、比例的基本性质：如果a：b＝c：d那么ad＝bc逆命题也成立，即如果ad＝bc，那么a：b＝c：d ‎ 10、比例的基本性质推论：如果a：b=b：d那么b2=ad，逆定理是如果b2=ad那么a：b=b：c。说明：两个论是比积相等的式子叫做等积式。比例的基本性质及推例式与等积式互化的理论依据。‎ ‎ 11、合比性质：如果，那么 ‎ 12．等比性质：如果，（），那么 ‎ 说明：应用等比性质解题时常采用设已知条件为k ，这种方法思路单一，方法简单不易出错。‎ ‎ 13、黄金分割把一条线段分成两条线段，使较长的线段是原线段与较小的线段的比例中项，叫做把这条线段黄金分割。‎ ‎ 说明：把一条线段黄金分割的点，叫做这条线段的黄金分割点，在线段AB上截取这条线段的倍得到点C，则点C就是AB的黄金分割点。‎ ‎ 二、平行线分线段成比例 ‎ 1、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。‎ ‎ 格式：如果直线L1∥L2∥L3， AB＝ BC，‎ ‎ 那么：A1B1＝B1C1，如图4－l 说明：由此定理可知推论1和推论2‎ ‎ 推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰。‎ ‎ 格式：如果梯形ABCD，AD∥BC，AE＝EB，EF∥AD，那么DF=FC ‎ 推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。 ‎ 格式，如果△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，那么AE＝EC，如图4—3‎ ‎2、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。‎ 说明：平行线等分线段定理是平行线分线段成比问定理的特殊情况。‎ ‎3．平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形一边的直线截其它两边，所得的对应线段成比例。‎ ‎ 说明1：平行线分线段成比例定理可用形象的语言来表达。如图4—4‎ ‎ 说明2：图4－4的三种图形中这些成比例线段的位置关系依然存在。‎ ‎ 4‎ ‎、三角形一边的平行线的判定定理。如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。‎ ‎ 5、三角形一边的平行线的判定定理：平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。‎ ‎ 6、线段的内分点：在一条线段上的一个点，将线段分成两条线段，这个点叫做这条线段的内分点。‎ ‎ 7、线段的外分点：在一条线段的延长线上的点，有时也叫做这条线段的外分点。‎ 说明：外分点分线段所得的两条线段，也就是这个点分别和线段的两个端点确定的线段。‎ 三、相似三角形 ‎ 1、相似三角形：两个对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。‎ ‎ 说明：证两个三角形相似时和证两个三角形全等一样，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，这样便于找出相似三角形的对应角和对应边。‎ ‎ 2、相似比：相似三角形对应边的比k，叫做相似比（或叫做相似系数）。‎ ‎ 3、相似三角形的基本定理：平分于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。‎ ‎ 说明：这个定理反映了相似三角形的存在性，所以有的书把它叫做相似三角形的存在定理，它是证明三角形相似的判定定理的理论基础。‎ ‎ 4、三角形相似的判定定理：‎ ‎ （1）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么就两个三角形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。‎ ‎ （2）判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。‎ ‎ （3）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似。‎ ‎ （4）直角三角形相似的判定定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。‎ ‎ 说明：以上四个判定定理不难证明，以下判定三角形相似的命题是正确的，在解题时，也可以用它们来判定两个三角形的相似。‎ ‎ 第一：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似。‎ ‎ 第二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。‎ ‎ 第三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。‎ ‎ 第四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。‎ 第五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例，那么这两个三角形．相似。‎ ‎ 5、相似三角形的性质：‎ ‎ （1）相似三角形性质1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。‎ ‎ （2）相似三角形性质2：相似三角形周长的比等于相似比。‎ ‎ 说明：以上两个性质简单记为：相似三角形对应线段的比等于相似比。‎ ‎ （3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。‎ ‎ 说明：两个三角形相似，根据定义可知它们具有对应角相等、对应边成比例这个性质。‎ ‎ 6、介绍有特点的两个三角形 ‎ （1）共边三角形指有一条公共边的两个三角形叫做共边三角形。‎ ‎ （2）共角三角形有一个角相等或互补的两个三角形叫做共角三角形，如图4－6‎ ‎ （3）公边共角有一个公共角，而且还有一条公共边的两个三角形叫做公边共角三角形。‎ 说明：具有公边共角的两个三角形相似，则公边的平方等于叠在一条直线上的两边的乘积：‎ 如图4—7若△ACD∽△ABC，则AC2＝AD·AB 第五章：解直角三角形 知识点：‎ ‎ 一、锐角三角函数：‎ 在直角三角形ABC中，∠C是直角，如图5－1‎ ‎ 1、正弦：把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 ‎ 2、余弦：把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作 ‎ 3、正切：把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作 ‎ ‎ 4、余切：把锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作 ‎ 说明：由定义可以看出tanA·cotA＝l（或写成）‎ ‎ 5、锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数 ‎ 说明：锐角三角函数都不能取负值。 0＜ sinA＜ l； 0＜cosA＜1；‎ ‎ 6、锐角的正弦和余弦之间的关系任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 即sinA＝cos（90°一 A）＝cosB；cosA＝sin（90°一A）＝sinB ‎ 7、锐角的正切和余切之间的关系任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 即tanA＝cot（90°一 A）＝cotB；cotA＝tan（90°－A）＝ tanB ‎ 说明：式中的90°一A = B 。‎ ‎ 8、三角函数值的变化规律 ‎ （1）当角度在0°— 90°间变化时，正弦值（正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）‎ ‎ （2）当角度在0°—90°间变化时，余弦值（余切值）随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。‎ ‎ 9、同角三角函数关系公式 ‎ （1）；（2）；（3） tanA＝ ‎ ‎10．一些特殊角的三角函数值 二、解直角三角形 由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。‎ 若直角三角形ABC中，∠C＝90°，那么A、B、C，a，b，c中除∠C＝90°外，其余5个元素之间有关系：‎ ‎ （l）；（2）∠A十∠B＝90°；‎ ‎ （3）；；；‎ ‎ 所以，只要知道其中的2个元素（至少有一个是边），就可以求出其余3个未知数。‎ ‎ 例如Rt△ABC中，∠C＝90°，且∠A＝30°，a＝5，‎ ‎ 则由：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 几何部分 ‎ 第六章：圆 知识点：‎ 一、圆 ‎ 1、圆的有关性质 ‎ 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆，固定的端点O叫圆心，线段OA叫半径。‎ ‎ 由圆的意义可知：‎ ‎ 圆上各点到定点（圆心O）的距离等于定长的点都在圆上。‎ ‎ 就是说：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，圆的内部可以看作是到圆。心的距离小于半径的点的集合。‎ ‎ 圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧。‎ ‎ 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆，大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧。由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。‎ ‎ 圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆。‎ ‎ 能够重合的两个圆叫等圆。‎ ‎ 同圆或等圆的半径相等。‎ 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。‎ ‎ 二、过三点的圆 ‎ l、过三点的圆 ‎ 过三点的圆的作法：利用中垂线找圆心 ‎ 定理不在同一直线上的三个点确定一个圆。‎ ‎ 经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心叫外心，这个三角形叫圆的内接三角形。‎ ‎ 2、反证法 ‎ 反证法的三个步骤：‎ ‎ ①假设命题的结论不成立；‎ ‎ ②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；‎ ‎ ③由矛盾得出假设不正确，从而肯定命题的结论正确。‎ ‎ 例如：求证三角形中最多只有一个角是钝角。‎ ‎ 证明：设有两个以上是钝角 ‎ 则两个钝角之和＞180°‎ ‎ 与三角形内角和等于180°矛盾。‎ ‎∴不可能有二个以上是钝角。‎ 即最多只能有一个是钝角。‎ ‎ 三、垂直于弦的直径 ‎ 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。‎ ‎ 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。‎ ‎ 推理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧。‎ ‎ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。‎ ‎ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一个条弧。‎ 推理2：圆两条平行弦所夹的弧相等。‎ ‎ 四、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 ‎ 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。‎ ‎ 实际上，圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。‎ ‎ 顶点是圆心的角叫圆心角，从圆心到弦的距离叫弦心距。‎ ‎ 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。‎ 推理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。‎ ‎ 五、圆周角 ‎ 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。‎ ‎ 推理1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。‎ ‎ 推理2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。‎ ‎ 推理3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。‎ ‎ 由于以上的定理、推理，所添加辅助线往往是添加能构成直径上的圆周角的辅助线。‎ ‎ ‎ 六、圆的内接四边形 ‎ 多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫圆内接多边形，这个圆叫这个多边形的外接圆 ‎ 定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。‎ ‎ 例如图6—1，连EF后，可得：‎ ‎ ∠DEF＝∠B ‎ ∠DEF＋∠A＝180°‎ ‎∴∠A＋∠B＝18ry ‎∴BC∥DA ‎ 七、直线和圆的位置关系 ‎ 1、直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫圆的割线 ‎ 直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点。‎ ‎ 直线和圆没有公共点时，叫直线和圆相离。‎ ‎ 2、若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则：‎ ‎ 直线和圆相交d＜r；直线和圆相切d＝r；直线和圆相离d＞r；直线和圆相交d＜r ‎ 例如：图6－2中，直线与圆O相割，有：r＞d ‎ 图6－3中，直线与圆O相切，r＝d ‎ 图6－4中，直线与圆O相离，r＜d 八、切线的判定和性质 ‎ 切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。‎ ‎ 切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径 推理1：经过圆心且垂直干切线的直线必经过切点。‎ 推理2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。‎ ‎ 例如图6－5中，O为圆心，AC是切线，D为切点。‎ ‎ ∠B＝90°‎ ‎ 则有BC是切线 ‎ OD是半径 ‎ OD⊥AC ‎ ‎ 九、三角形的内切圆 ‎ 要求会作图，使它和己知三角形的各边都相切 ‎ ∵分角线上的点到角的两边距离相等。‎ ‎∴两条分角线的交点就是圆心。‎ ‎ 这样作出的圆是三角形的内切圆，其圆心叫内心，三角形叫圆的外切三角形。‎ 和多边形各边都相切的圆叫多边形的内切圆，多边形叫圆的外切多边形。‎ ‎ 十、切线长定理 ‎ 经过圆外一点可作圆的两条切线。在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫这点到圆的切线长。‎ ‎ 切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角，如图6－6‎ ‎ B、C为切点，O为圆心。‎ AB＝AC，∠1＝∠2‎ ‎ 十一、弦切角 ‎ 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角。‎ ‎ 弦切角定理弦切角等于它所央的弧对的圆周角。‎ ‎ ‎ 推理如果两个弦切角所央的弧相等，那么这两个弦切角也相等。‎ 例如图6－7，AB为切线，‎ 则有：∠C＝∠BAE，∠BAE＝∠D ‎∴∠C＝∠D 十二、和圆有关的比例线段 ‎ 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。‎ ‎ 推理：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。‎ ‎ 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。‎ ‎ 推理：从圆外一点引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等，如图6－8，若F为切点 ‎ 则有：AF2=AH·AC，AG·AB＝AF2‎ ‎ EM·MD=BM·MG CN·NH=DN·NE ‎ 十三、圆和圆的位置关系如图6－9‎ ‎ 若连心线长为d，两圆的半径分别为R，r，则：‎ ‎ 1、两圆外离d ＞R＋r；‎ ‎ 2、两圆外切d = R＋r；‎ ‎ 3、两圆相交R－r＜d＜R＋r（R＞r）‎ ‎ 4、两圆内切d = R－r；（R＞r）‎ ‎ 5、两圆内含d＜R－r。（R＞r）‎ ‎ 定理相交两圆的连心线垂直平分丙两圆的公共弦。‎ ‎ 如图6－10，O1，O2为圆心，‎ 则有：AB⊥O1O2，且AB被O1O2平分 ‎ 十四、两圆的公切线 ‎ 和两个圆都相切的直线叫两圆的公切线，两圆在公切线同旁时，叫外公切线，在公切线两旁时，叫内公切线，公切线上两个切点的距离叫公切线的长。‎ ‎ 如图6－11，若 A、B、C、D为切点，则AB为内公切线长，CD为外公切线长 ‎ 内外公切线中的重要直角三角形，如图6－12，OO1A为直角三角形。‎ ‎ d2=（R－r）2＋e2为外公切线长，‎ ‎ 又如图 6－13， OO1C为直角三角形。‎ ‎ d2＝（R十r）2＋ e’2为内公切线长。‎ ‎ 十五、相切在作图中的应用 ‎ 生活、生产中常常需要由一条线（线段或孤）平滑地渡到另一条线上，通常称为圆弧连接，简称连接，连接时，线段与圆弧，圆弧与圆弧在连接外相切，如图 6－ 14‎ ‎ 十六、正多边形和圆 ‎ 各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。‎ ‎ 定理：把圆分成n（n＞3）等分：‎ ‎ （l）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形；‎ ‎ （2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。‎ ‎ 定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。‎ ‎ 正多边形的外接（或内切）圆的圆心叫正多边形的中心。外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距。‎ ‎ 正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，叫正多边形的中心角。‎ ‎ 正n边形的每个中心角等于 ‎ 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。‎ ‎ 若n为偶数，则正n边形又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。‎ 边数相同的正多边形相似，所以周长的比等于边长的比，面积的比等于边长平方的比。‎ ‎ 十七、正多边形的有关计算 ‎ 正n边形的每个内角都等于 定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的计算。‎ ‎ 十八、画正多边形 ‎ 1、用量角器等分圆 ‎ 2、用尺规等分圆 ‎ 正三、正六、正八、正四及其倍数（正多边形）。‎ 正五边形的近似作法；‎ ‎ 二十、圆周长、弧长 7. 圆周长C＝2πR；2、弧长 ‎ 二十一、圆扇形，弓形的面积 ‎ l、圆面积：； ‎ ‎2、扇形面积：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。‎ ‎ 在半径为R的圆中，圆心角为n°的扇形面积S扇形的计算公式为：‎ ‎ 注意：因为扇形的弧长。所以扇形的面积公式又可写为 ‎ （3）弓形的面积 ‎ 由弦及其所对的弧组成的圆形叫做弓形。‎ 弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的基础上求得。如果弓形的弧是劣弧，则弓形面积等于扇形面积减去三角形面积。若弓形的弧是优弧，则弓形面积等于扇形面积加上三角形面积。‎ ‎ 二十二、圆柱和圆锥的侧面展开图 ‎ 1、圆柱的侧面展开图 ‎ 圆柱可以看作是由一个矩形旋转得到的，如把矩形ABCD绕边AB旋转一周得到的图形是一个圆柱。（图6一16）‎ ‎ AB叫圆柱的轴，圆柱侧面上平行轴的线段CD， C’D’，…都叫圆柱的母线。‎ ‎ 圆柱的母线长都相等，等于圆柱的高。‎ ‎ 圆柱的两个底面是平行的。‎ ‎ 圆柱的侧面展开图是一个长方形，如图6－17，其中AB=高，AC=底面圆周长。‎ ‎ ∴S侧面=2πRh ‎ 圆柱的轴截面是长方形一边长为h，一边长为2R ‎ R是圆柱底半径，h是圆柱的高。见图6－8‎ ‎ （2）圆锥的侧面展开图 ‎ 圆锥可以看作由一个直角三角形旋转得到。‎ ‎ 如图6－19，把Rt△OAS绕直线SO旋转一周得到的图形就是圆锥。‎ ‎ 旋转轴SO叫圆锥的轴，连通过底面圆的圆心，且垂直底面。‎ ‎ 连结圆锥顶点和底面圆的任意一点的SA、SA’、…都叫圆锥的母线，母线长都相等。‎ ‎ 圆锥的侧面展开图如图6一19是一个扇形SAB 半径是母线长，AB是2πR。（底面的周长），‎ 所以圆锥侧面积为 S侧面=πRL 二、热门考点 知识点1：一元二次方程的基本概念 ‎1．一元二次方程3x2+5x-2=0的常数项是-2.‎ ‎2．一元二次方程3x2+4x-2=0的一次项系数为4，常数项是-2.‎ ‎3．一元二次方程3x2-5x-7=0的二次项系数为3，常数项是-7.‎ ‎4．把方程3x(x-1)-2=-4x化为一般式为3x2-x-2=0.‎ 知识点2：直角坐标系与点的位置 ‎1．直角坐标系中，点A（3，0）在y轴上。‎ ‎2．直角坐标系中，x轴上的任意点的横坐标为0.‎ ‎3．直角坐标系中，点A（1，1）在第一象限.‎ ‎4．直角坐标系中，点A（-2，3）在第四象限.‎ ‎5．直角坐标系中，点A（-2，1）在第二象限.‎ 知识点3：已知自变量的值求函数值 ‎1．当x=2时,函数y=的值为1.‎ ‎2．当x=3时,函数y=的值为1.‎ ‎3．当x=-1时,函数y=的值为1.‎ 知识点4：基本函数的概念及性质 ‎1．函数y=-8x是一次函数.‎ ‎2．函数y=4x+1是正比例函数.‎ ‎3．函数是反比例函数.‎ ‎4．抛物线y=-3(x-2)2-5的开口向下.‎ ‎5．抛物线y=4(x-3)2-10的对称轴是x=3.‎ ‎6．抛物线的顶点坐标是(1,2).‎ ‎7．反比例函数的图象在第一、三象限.‎ 知识点5：数据的平均数中位数与众数 ‎1．数据13,10,12,8,7的平均数是10.‎ ‎2．数据3,4,2,4,4的众数是4.‎ ‎3．数据1，2，3，4，5的中位数是3.‎ 知识点6：特殊三角函数值 ‎1．cos30°= . ‎ ‎2．sin260°+ cos260°= 1.‎ ‎3．2sin30°+ tan45°= 2.‎ ‎4．tan45°= 1.‎ ‎5．cos60°+ sin30°= 1. ‎ 知识点7：圆的基本性质 ‎1．半圆或直径所对的圆周角是直角.‎ ‎2．任意一个三角形一定有一个外接圆.‎ ‎3．在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆.‎ ‎4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等.‎ ‎5．同弧所对的圆周角等于圆心角的一半.‎ ‎6．同圆或等圆的半径相等.‎ ‎7．过三个点一定可以作一个圆.‎ ‎8．长度相等的两条弧是等弧.‎ ‎9．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等.‎ ‎10．经过圆心平分弦的直径垂直于弦。‎ 知识点8：直线与圆的位置关系 ‎1．直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切.‎ ‎2．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心.‎ ‎3．弦切角等于所夹的弧所对的圆心角.‎ ‎4．三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心.‎ ‎5．垂直于半径的直线必为圆的切线.‎ ‎6．过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线.‎ ‎7．垂直于半径的直线是圆的切线.‎ ‎8．圆的切线垂直于过切点的半径.‎ 知识点9：圆与圆的位置关系 ‎1．两个圆有且只有一个公共点时,叫做这两个圆外切.‎ ‎2．相交两圆的连心线垂直平分公共弦.‎ ‎3．两个圆有两个公共点时,叫做这两个圆相交.‎ ‎4．两个圆内切时,这两个圆的公切线只有一条.‎ ‎5．相切两圆的连心线必过切点.‎ 知识点10：正多边形基本性质 ‎1．正六边形的中心角为60°.‎ ‎2．矩形是正多边形.‎ ‎3．正多边形都是轴对称图形.‎ ‎4．正多边形都是中心对称图形.‎ 知识点11：一元二次方程的解 ‎1．方程的根为 .‎ A．x=2 B．x=‎-2 C．x1=2,x2=-2 D．x=4‎ ‎2．方程x2-1=0的两根为 .‎ A．x=1 B．x=‎-1 C．x1=1,x2=-1 D．x=2‎ ‎3．方程（x-3）（x+4）=0的两根为 .‎ A.x1=-3,x2=4 B.x1=-3,x2=‎-4 C.x1=3,x2=4 D.x1=3,x2=-4‎ ‎4．方程x(x-2)=0的两根为 .‎ A．x1=0,x2=2 B．x1=1,x2=‎2 C．x1=0,x2=-2 D．x1=1,x2=-2‎ ‎5．方程x2-9=0的两根为 .‎ A．x=3 B．x=‎-3 C．x1=3,x2=-3 D．x1=+,x2=-‎ 知识点12：方程解的情况及换元法 ‎1．一元二次方程的根的情况是 .‎ A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 ‎2．不解方程,判别方程3x2-5x+3=0的根的情况是 .‎ A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 ‎ C.只有一个实数根 D. 没有实数根 ‎3．不解方程,判别方程3x2+4x+2=0的根的情况是 .‎ A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 ‎ C.只有一个实数根 D. 没有实数根 ‎4．不解方程,判别方程4x2+4x-1=0的根的情况是 .‎ A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 ‎ C.只有一个实数根 D.没有实数根 ‎5．不解方程,判别方程5x2-7x+5=0的根的情况是 .‎ A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 ‎ C.只有一个实数根 D. 没有实数根 ‎6．不解方程,判别方程5x2+7x=-5的根的情况是 .‎ A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 ‎ C.只有一个实数根 D. 没有实数根 ‎7．不解方程,判别方程x2+4x+2=0的根的情况是 .‎ A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 ‎ C.只有一个实数根 D. 没有实数根 ‎8. 不解方程,判断方程5y+1=2y的根的情况是 ‎ A.有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D. 没有实数根 ‎9. 用 换 元 法 解方 程 时, 令 = y,于是原方程变为 .‎ A.y-5y+4=0 B.y-5y-4=‎0 C.y-4y-5=0 D.y+4y-5=0‎ ‎10. 用换元法解方程时,令= y ,于是原方程变为 .‎ A.5y-4y+1=0 B.5y-4y-1=‎0 C.-5y-4y-1=0 D. -5y-4y-1=0‎ ‎11. 用换元法解方程()2-5()+6=0时，设=y，则原方程化为关于y的方程是 .‎ A.y2+5y+6=0 B.y2-5y+6=‎0 C.y2+5y-6=0 D.y2-5y-6=0‎ 知识点13：自变量的取值范围 ‎1．函数中，自变量x的取值范围是 . ‎ A.x≠2 B.x≤‎-2 C.x≥-2 D.x≠-2‎ ‎2．函数y=的自变量的取值范围是 .‎ A.x>3 B. x≥‎3 C. x≠3 D. x为任意实数 ‎3．函数y=的自变量的取值范围是 . ‎ A.x≥-1 B. x>‎-1 C. x≠1 D. x≠-1‎ ‎4．函数y=的自变量的取值范围是 .‎ A.x≥1 B.x≤‎1 C.x≠1 D.x为任意实数 ‎5．函数y=的自变量的取值范围是 .‎ A.x>5 B.x≥‎5 C.x≠5 D.x为任意实数 知识点14：基本函数的概念 ‎1．下列函数中,正比例函数是 .‎ ‎ A. y=-8x B.y=-8x+‎1 C.y=8x2+1 D.y=‎ ‎2．下列函数中,反比例函数是 .‎ A. y=8x2 B.y=8x+‎1 C.y=-8x D.y=-‎ ‎3．下列函数：①y=8x2；②y=8x+1；③y=-8x；④y=-.其中,一次函数有 个 .‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 知识点15：圆的基本性质 ‎1．如图，四边形ABCD内接于⊙O,已知∠C=80°,则∠A 的度数是 . ‎ A. 50° B. 80° ‎ C. 90° D. 100°‎ ‎2．已知：如图，⊙O中, 圆周角∠BAD=50°,则圆周角∠BCD的度数是 .‎ A.100° B.130° C.80° D.50°‎ ‎3．已知：如图，⊙O中, 圆心角∠BOD=100°,则圆周角∠BCD的度数是 .‎ A.100° B.130° C.80° D.50°‎ ‎4．已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，则下列结论中正确的是 .‎ A.∠A+∠C=180° B.∠A+∠C=90°‎ C.∠A+∠B=180° D.∠A+∠B=90‎ ‎5．半径为‎5cm的圆中,有一条长为‎6cm的弦,则圆心到此弦的距离为 . ‎ A‎.3cm B‎.4cm C‎.5cm D‎.6cm ‎6．已知：如图，圆周角∠BAD=50°,则圆心角∠BOD的度数是 . ‎ A.100° B.130° C.80° D.50‎ ‎7．已知：如图，⊙O中,弧AB的度数为100°,则圆周角∠ACB的度数是 .‎ A.100° B.130° C.200° D.50‎ ‎8. 已知：如图，⊙O中, 圆周角∠BCD=130°,则圆心角∠BOD的度数是 .‎ A.100° B.130° C.80° D.50°‎ ‎9. 在⊙O中,弦AB的长为‎8cm,圆心O到AB的距离为‎3cm,则⊙O的半径为 cm.‎ A.3 B‎.4 C.5 D. 10‎ ‎10. 已知：如图，⊙O中,弧AB的度数为100°,则圆周角∠ACB的度数是 .‎ A.100° B.130° C.200° D.50°‎ ‎12．在半径为‎5cm的圆中,有一条弦长为‎6cm,则圆心到此弦的距离为 .‎ A. ‎3cm B. ‎4 cm C‎.5 cm D‎.6 cm 知识点16：点、直线和圆的位置关系 ‎1．已知⊙O的半径为10㎝,如果一条直线和圆心O的距离为10㎝,那么这条直线和这个圆的位置关系为 .‎ A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相离 ‎2．已知圆的半径为‎6.5cm,直线l和圆心的距离为‎7cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 .‎ A.相切 B.相离 C.相交 D. 相离或相交 ‎3．已知圆O的半径为‎6.5cm,PO=‎6cm,那么点P和这个圆的位置关系是 ‎ A.点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D.不能确定 ‎4．已知圆的半径为‎6.5cm,直线l和圆心的距离为‎4.5cm,那么这条直线和这个圆的公共点的个数是 . ‎ A.0个 B.1个 C.2个 D.不能确定 ‎5．一个圆的周长为a cm,面积为a cm2，如果一条直线到圆心的距离为πcm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 .‎ A.相切 B.相离 C.相交 D. 不能确定 ‎6．已知圆的半径为‎6.5cm,直线l和圆心的距离为‎6cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 .‎ A.相切 B.相离 C.相交 D.不能确定 ‎7. 已知圆的半径为‎6.5cm,直线l和圆心的距离为‎4cm,那么这条直线和这个圆的位置关系是 .‎ A.相切 B.相离 C.相交 D. 相离或相交 ‎8. 已知⊙O的半径为‎7cm,PO=‎14cm,则PO的中点和这个圆的位置关系是 .‎ A.点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D.不能确定 知识点17：圆与圆的位置关系 ‎1．⊙O1和⊙O2的半径分别为‎3cm和‎4cm，若O1O2=‎10cm，则这两圆的位置关系是 .‎ A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 ‎2．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为‎3cm和‎4cm,若O1O2=‎9cm,则这两个圆的位置关系是 .‎ A.内切 B. 外切 C. 相交 D. 外离 ‎3．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为‎3cm和‎5cm,若O1O2=‎1cm,则这两个圆的位置关系是 .‎ A.外切 B.相交 C. 内切 D. 内含 ‎4．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为‎3cm和‎4cm,若O1O2==‎7cm,则这两个圆的位置关系是 .‎ A.外离 B. 外切 C.相交 D.内切 ‎5．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为‎3cm和‎4cm，两圆的一条外公切线长4，则两圆的位置关系是 .‎ A.外切 B. 内切 C.内含 D. 相交 ‎6．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为‎2cm和‎6cm,若O1O2=‎6cm,则这两个圆的位置关系是 .‎ A.外切 B.相交 C. 内切 D. 内含 知识点18：公切线问题 ‎1．如果两圆外离，则公切线的条数为 .‎ A. 1条 B.2条 C.3条 D.4条 ‎2．如果两圆外切，它们的公切线的条数为 .‎ A. 1条 B. 2条 C.3条 D.4条 ‎3．如果两圆相交，那么它们的公切线的条数为 .‎ A. 1条 B. 2条 C.3条 D.4条 ‎4．如果两圆内切，它们的公切线的条数为 .‎ A. 1条 B. 2条 C.3条 D.4条 ‎5. 已知⊙O1、⊙O2的半径分别为‎3cm和‎4cm,若O1O2=‎9cm,则这两个圆的公切线有 条.‎ A.1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 ‎6．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为‎3cm和‎4cm,若O1O2=‎7cm,则这两个圆的公切线有 条.‎ A.1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 知识点19：正多边形和圆 ‎1．如果⊙O的周长为10πcm，那么它的半径为 .‎ A. ‎5cm B.cm C‎.10cm D.5πcm ‎2．正三角形外接圆的半径为2,那么它内切圆的半径为 .‎ A. 2 B. C.1 D.‎ ‎3．已知,正方形的边长为2,那么这个正方形内切圆的半径为 .‎ A. 2 B. ‎1 C. D.‎ ‎4．扇形的面积为,半径为2,那么这个扇形的圆心角为= .‎ A.30° B.60° C.90° D. 120°‎ ‎5．已知,正六边形的半径为R,那么这个正六边形的边长为 .‎ A.R B.R C.R D.‎ ‎6．圆的周长为C,那么这个圆的面积S= .‎ A. B. C. D.‎ ‎7．正三角形内切圆与外接圆的半径之比为 .‎ A.1:2 B.1: C.:2 D.1:‎ ‎8. 圆的周长为C,那么这个圆的半径R= .‎ A.2 B. C. D. ‎ ‎9.已知,正方形的边长为2,那么这个正方形外接圆的半径为 .‎ A.2 B‎.4 C.2 D.2‎ ‎10．已知,正三角形的半径为3,那么这个正三角形的边长为 .‎ A. 3 B. C.3 D.3‎ 知识点20：函数图像问题 ‎1．已知：关于x的一元二次方程的一个根为，且二次函数的对称轴是直线x=2，则抛物线的顶点坐标是 .‎ A. (2，-3) B. (2，1) C. (2，3) D. (3，2)‎ ‎2．若抛物线的解析式为y=2(x-3)2+2,则它的顶点坐标是 .‎ A.(-3,2) B.(-3,-2) C.(3,2) D.(3,-2) ‎ ‎3．一次函数y=x+1的图象在 . ‎ A.第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 ‎ C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限 ‎4．函数y=2x+1的图象不经过 . ‎ A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎5．反比例函数y=的图象在 . ‎ A.第一、二象限 B. 第三、四象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限 ‎6．反比例函数y=-的图象不经过 . ‎ A第一、二象限 B. 第三、四象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限 ‎7．若抛物线的解析式为y=2(x-3)2+2,则它的顶点坐标是 .‎ A.(-3,2) B.(-3,-2) C.(3,2) D.(3,-2)‎ ‎8．一次函数y=-x+1的图象在 . ‎ A．第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限 ‎ C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限 ‎9．一次函数y=-2x+1的图象经过 . ‎ A．第一、二、三象限 B.第二、三、四象限 ‎ C.第一、三、四象限 D.第一、二、四象限 ‎10. 已知抛物线y=ax2+bx+c（a>0且a、b、c为常数）的对称轴为x=1，且函数图象上有三点A(-1,y1)、B(,y2)、C(2,y3)，则y1、y2、y3的大小关系是 .‎ A.y30，化简二次根式的正确结果为 . ‎ A. B. C.- D.-‎ ‎2.化简二次根式的结果是 .‎ A. B.- C. D.‎ ‎3.若aa，化简二次根式a2的结果是 .‎ A. B. C. D.‎ ‎10．化简二次根式的结果是 . ‎ A. B.- C. D. ‎ ‎11．若ab<0，化简二次根式的结果是 .‎ A.b B.-b C. b D. -b 知识点23：方程的根 ‎1．当m= 时，分式方程会产生增根.‎ A.1 B‎.2 C.-1 D.2‎ ‎2．分式方程的解为 .‎ A.x=-2或x=0 B.x=‎-2 C.x=0 D.方程无实数根 ‎3．用换元法解方程，设=y，则原方程化为关于y的方程 .‎ A.y+2y-5=0 B.y+2y-7=‎0 C.y+2y-3=0 D.y+2y-9=0‎ ‎4．已知方程(a-1)x2+2ax+a2+5=0有一个根是x=-3，则a的值为 .‎ A.-4 B. ‎1 C.-4或1 D.4或-1‎ ‎5．关于x的方程有增根,则实数a为 .‎ A.a=1 B.a=‎-1 C.a=±1 D.a= 2‎ ‎6．二次项系数为1的一元二次方程的两个根分别为--、-，则这个方程是 .‎ A.x+2x-1=0 B.x+2x+1=0‎ C.x-2x-1=0 D.x-2x+1=0‎ ‎7．已知关于x的一元二次方程(k-3)x2-2kx+k+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 .‎ A.k>- B.k>-且k≠‎3 C.k<- D.k>且k≠3‎ 知识点24：求点的坐标 ‎1．已知点P的坐标为(2,2)，PQ‖x轴，且PQ=2，则Q点的坐标是 .‎ A.(4,2) B.(0,2)或(4,2) C.(0,2) D.(2,0)或(2,4)‎ ‎2．如果点P到x轴的距离为3,到y轴的距离为4,且点P在第四象限内,则P点的坐标为 .‎ A.(3,-4) B.(-3,4) C.4,-3) D.(-4,3) ‎ ‎3．过点P(1,-2)作x轴的平行线l1,过点Q(-4,3)作y轴的平行线l2, l1、l2相交于点A，则点A的坐标是 .‎ A.(1,3) B.(-4,-2) C.(3,1) D.(-2,-4)‎ 知识点25：基本函数图像与性质 ‎1．若点A(-1,y1)、B(-,y2)、C(,y3)在反比例函数y=(k<0)的图象上，则下列各式中不正确的是 .‎ A.y32 B.m<‎2 C.m<0 D.m>0‎ ‎3．已知:如图,过原点O的直线交反比例函数y= 的图象于A、B两点,AC⊥x轴,AD⊥y轴,△ABC的面积为S,则 .‎ A.S=2 B.24‎ ‎4．已知点(x1,y1)、(x2,y2)在反比例函数y=-的图象上, 下列的说法中:‎ ‎①图象在第二、四象限;②y随x的增大而增大;③当01 B. k<‎1 C. 00;②‎2a+b<0;③a>;④c<1.其中正确的结论是 .‎ A.①②③ B.①③④ ‎ C.①②④ D.②③④‎ ‎2. 已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①abc>0； ②;③a>; ④b>1.其中正确的结论是 .‎ A.①② B.②③ C.③④ D.②④‎ ‎3. 已知：如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=-1，则下列结论正确的个数是 .‎ ‎①abc>0 ②a+b+c>0 ③c>a ④‎2c>b A.①②③④ B.①③④ C.①②④ D.①②③‎ ‎4. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于点（-2，0），（x1，0），且10.其中正确结论的个数为 . ‎ A1个 B2个 C3个 D4个 ‎5. 已知:如图所示,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=-1，且过点(1,-2),则下列结论正确的个数是 . ‎ ‎①abc>0 ②>-1 ③b<-1 ④‎5a-2b<0‎ A.①②③④ B.①③④ C.①②④ D.①②③‎ ‎6. 已知:如图所示,抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①a<-1;②-1b>c B.a>c>b ‎ C.a>b=c D.a、b、c的大小关系不能确定 ‎8. 如图，抛物线y=ax2+bx+c图象与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,则下列结论中: ①‎2a+b<0; ②a<-1;③a+b+c>0; ④0-1 ③0‎2a+;④‎3a+c<0.其中正确的个数是 .‎ A.1个 B. 2个 C.3个 D.4个 知识点35：多项选择问题 1． 已知：如图,△ABC中，∠A=60º，BC为定长，以BC为直径的⊙‎ 2． O分别交AB、AC于点D、E,连结DE、OE.下列结论: ‎ ‎①BC＝2DE；②D点到OE的距离不变；③BD+CE＝2DE；④OE为△ADE外接圆的切线.其中正确的结论是 . ‎ A.①② B.③④ C.①②③ D.①②④‎ ‎2.已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD⊥BC,CE⊥AB ,D、E分别为垂足，AD交CE于H点，交⊙O于N，OM⊥BC，M为垂足，BO延长交⊙O于F点，下列结论：其中正确的有 .‎ ‎①∠BAO=∠CAH； ②DN=DH;‎ ‎③四边形AHCF为平行四边形；④CH•EH=OM•HN. ‎ A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④‎ ‎3.已知:如图,P为⊙O外一点,PA、PB切⊙O于A、B两点，OP交⊙O于点C,连结BO交延长分别交⊙O及切线PA于D、E两点,连结AD、BC.下列结论：①AD∥PO；②ΔADE∽ΔPCB;‎ ‎③tan∠EAD=；④BD2=2AD•OP.其中正确的有 . ‎ A.①②④ B.③④ C.①③④ D.①④‎ ‎4.已知:如图, PA、PB为⊙O的两条切线，A、B为切点，直线PO交⊙O于C、D两点，交AB于E，AF为⊙O的直径，连结EF、PF，下列结论：①∠ABP=∠AOP；②BC弧=DF弧 ;③PC•PD=PE•PO;④∠OFE=∠OPF.其中正确的有 . ‎ A.①②③④ B.①②③ C.①③④ D.①②④‎ ‎5.已知:如图,∠ACB=90º,以AC为直径的⊙O交AB于D点，过D作⊙O的切线交BC于E点，EF⊥AB于F点，连OE交DC于P，则下列结论:其中正确的有 .‎ ‎①BC=2DE； ②OE∥AB;‎ ‎③DE=PD； ④AC•DF=DE•CD. ‎ A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.①②③④‎ ‎6.已知：如图，M为⊙O上的一点,⊙M与⊙O相交于A、B两点，P为⊙O上任意一点，直线PA、PB分别交⊙M于C、D两点，直线CD交⊙O于E、F两点，连结PE、PF、BC，下列结论：其中正确的有 .‎ ‎①PE=PF； ②PE2=PA·PC; ③EA·EB=EC·ED；‎ ‎④（其中R、r分别为⊙O、⊙M的半径）. ‎ A.①②③ B.①②④ C.②④ D.①②③④‎ ‎7.已知：如图，⊙O1、⊙O2相交于A、B两点，PA切⊙O1于A，交⊙O2于P，PB的延长线交⊙O1于C，CA的延长线交⊙O2于D，E为⊙O1上一点，AE=AC，EB延长线交⊙O2于F，连结AF、DF、PD,下列结论： ‎ ‎①PA=PD；②∠CAE=∠APD; ③DF∥AP；‎ ‎④AF2=PB•EF.其中正确的有 . ‎ A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ ‎ ‎8.已知:如图,⊙O1、⊙O2内切于点A，P为两圆外公切线上的一点,⊙O2的割线PBC切⊙O1于D点,AD延长交⊙O2于E点,连结AB、AC、O1D、O2E,下列结论：①PA=PD；②BE弧=CE弧;③PD2=PB•PC;④O1D‖O2E.其中正确的有 . ‎ A.①②④ B.②③④ C.①③④ D.①②③④‎ ‎9.已知:如图, P为⊙O外一点，割线PBC过圆心O,交⊙O于B、C两点，PA切⊙O于A点，CD⊥PA，D为垂足，CD交⊙O于F，AE⊥BC于E，连结PF交⊙O于M，CM延长交PA于N，‎ 下列结论：‎ ‎①AB =AF；②FD弧=BE弧 ;③DF•DC=OE•PE；‎ ‎④PN=AN.其中正确的有 . ‎ A.①②③④ B.②③④ C.①③④ D. ①②④‎ ‎10.已知：如图，⊙O1、⊙O2内切于点P, ⊙O1的弦AB切⊙O2于C点,PC的延长线交⊙O1于D点,PA、PB分别交⊙O2于E、F两点,‎ 下列结论：其中正确的有 .‎ ‎①CE=CF； ②△APC∽△CPF;‎ ‎③PC•PD=PA•PB； ④DE为⊙O2的切线. ‎ A.①②③ B.②③④ ‎ C.①③④ D.①②③④‎ 知识点36：因式分解 ‎1.分解因式：x2-x-4y2+2y= .‎ ‎2.分解因式：x3-xy2+2xy-x= .‎ ‎3.分解因式：x2-bx-a2+ab= .‎ ‎4.分解因式：x2-4y2-3x+6y= . ‎ ‎5.分解因式：-x3-2x2-x+4xy2= .‎ ‎6.分解因式：‎9a2-4b2‎-6a+1= .‎ ‎7.分解因式：x2-ax-y2+ay= .‎ ‎8.分解因式：x3-y3-x2y+xy2= .‎ ‎9.分解因式：‎4a2-b2‎-4a+1= .‎ 知识点37：找规律问题 ‎1. 阳阳和明明玩上楼梯游戏，规定一步只能上一级或二级台阶，玩着玩着两人发现：当楼梯的台级数为一级、二级、三级、……逐步增加时，楼梯的上法依次为：1，2，3，5，8，13，21，……（这就是著名的斐波拉契数列）.请你仔细观察这列数的规律后回答：上10级台阶共有 种上法. ‎ ‎2.把若干个棱长为a的立方体摆成如图形状：从上向下数,摆一层有1个立方体,摆二层共有4个立方体, 摆三层共有10个立方体，那么摆五层共有 个立方体. ‎ ‎3.下面由“*”拼出的一列形如正方形的图案，每条边上（包括两个顶点）有n（n>1）个“*”,每个图形“*”的总数是S：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ n=2,S=4 n=3,S=8 n=4,S=12 n=5,S=16 ‎ 通过观察规律可以推断出：当n=8时，S= . ‎ ‎4.下面由火柴杆拼出的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：‎ ‎ ……‎ n=1 n=2 n=3 n=4 …… ‎ 通过观察发现：第n个图形中，火柴杆有 根. ‎ ‎5.已知P为△ABC的边BC上一点，△ABC的面积为a，‎ B1、C1分别为AB、AC的中点，则△PB‎1C1的面积为，‎ B2、C2分别为BB1、CC1的中点，则△PB‎2C2的面积为，‎ B3、C3分别为B1B2、C‎1C2的中点，则△PB‎3C3的面积为，‎ 按此规律……可知：△PB‎5C5的面积为 . ‎ ‎6. 如图,用火柴棒按平行四边形、等腰梯形间隔方式搭图形. 按照这样的规律搭下去……‎ 若图形中平行四边形、等腰梯形共11个，需要 根火柴棒.(平行四边形每边为一根火柴棒,等腰梯形上底,两腰为一根火柴棒,下底为两根火柴棒)‎ ‎7.如图的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，‎ 称为杨辉三角形.根据图中的数构成的规律可得：‎ 图中a所表示的数是 . ‎ ‎8. 在同一平面内：两条直线相交有个交点，三条直线两两相交最多有个交点，四条直线两两相交最多有个交点，…… ‎ 那么8条直线两两相交最多有 个交点. ‎ ‎9.观察下列等式：13+23=32；13+23+33=62；13+23+33+43=102……；‎ 根据前面各式规律可得：13+23+33+43+53+63+73+83= . ‎ 知识点38：已知结论寻求条件问题 ‎1. 如图, AC为⊙O的直径，PA是⊙O的切线，切点为A，PBC是⊙O的割线，∠BAC的平分线交BC于D点，PF交AC于F点，交AB于E点，要使AE=AF，则PF应满足的条件是 . （只需填一个条件）‎ ‎2.已知:如图,AB为⊙O的直径,P为AB延长线上的一点,PC切⊙O于C,要使得AC=PC,‎ 则图中的线段应满足的条件是 .‎ ‎3.已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，过A作⊙O的切线交CB的延长线于P，若它的边满足条件 ,则有ΔABP∽ΔCDA.‎ ‎4.已知: ΔABC中，D为BC上的一点，过A点的⊙O切BC于D点,交AB、AC于E、F两点，要使BC‖EF，‎ 则AD必满足条件 .‎ ‎5.已知:如图，AB为⊙O的直径，D为弧AC上一点，DE⊥AB于E，DE、DB分别交弦AC于F、G两点，要使得DE=DG，则图中的弧必满足的条件是 . ‎ ‎6.已知：如图，Rt△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC 于D点，E为AC上一点，要使得AE=CE，请补充条件 ‎ ‎(填入一个即可).‎ ‎7.已知:如图,圆内接四边形ABCD,对角线ACBD相交于E点，要使得BC2=CE•CA，则四边形ABCD的边应满足的条件是 . ‎ ‎8.已知,ΔABC内接于⊙O,要使∠BAC的外角平分线与⊙O相切，则ΔABC的边必满足的条件是 .‎ ‎9.已知: 如图，ΔABC内接于⊙O，D为劣弧AB上一点，E是BC延长线上一点，AE交⊙O于F，为使ΔADB∽ΔACE，应补充的一个条件是 ，或 .‎ ‎10.已知：如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O交BC于D，DE⊥AC，E为垂足，要使得DE为⊙O的切线，则△ABC的边必满足的条件是 .‎ 知识点39：阴影部分面积问题 ‎1. 如图,梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，以AB为直径的⊙‎ O切CD于E点，交BC于F，若AB=‎4cm，AD=‎1cm， 则图中阴影部分的面积是 cm2.（不用近似值）‎ ‎2.已知：如图，平行四边形 ABCD，AB⊥AC，AE⊥BC，以AE为直径作⊙O,以A为圆心，AE为半径作弧交AB于F点，交AD于G点，若BE=2，CE=6，则图中阴 影部分的面积为 . ‎ ‎3.已知:如图, ⊙O1与⊙O2内含，直线O1O2分别交⊙O1和⊙O2于A、B和C、D点，⊙O1的弦BE切⊙O2于F点，若AC=‎1cm，CD=‎6cm，DB=‎3cm，则弧CF、AE与线段AC弧、EF弧围成的阴影部分的面积 是 cm2. ‎ ‎4.已知:如图,AB为⊙O 的直径,以AO、BO为直径作⊙O1、⊙O2，⊙O的弦 MN与⊙O1、⊙O2相切于C、D两点，AB=4，则图中阴影部分的面积是 .‎ ‎5.已知：如图，等边△ABC内接于⊙O1，以AB为直径作⊙O2，AB=2，则图中阴影部分的面积为 . ‎ ‎6.已知：如图，边长为12的等边三角形，形内有4个等圆，则图中阴影部分的面积为 . ‎ ‎7.已知：如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=2，BC=4，∠A=90°，以A为圆心，AB为半径作扇形ABD，以BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 .‎ ‎8.已知：如图， ABCD，AB⊥AC，AE⊥BC，以AE为直径作⊙O,以A为圆心，AE为半径作弧交AB于F点，交AD于G点，若BE=6，CE=2，则图中阴影部分的面积为 .‎ ‎9.已知:如图,⊙O 的半径为‎1cm,AO交⊙O于C,AO=‎2cm,AB与⊙O相切于B点，弦CD‖AB,则图中阴影部分的面积是 .‎ ‎10.已知：如图，以⊙O的半径OA为直径作⊙O1，O1B⊥OA交⊙O于B，OB交⊙O1于C，OA=4，则图中阴影部分的面积为 .‎