北京市中考数学一模分类汇编几何综合学生版 15页

‎2012年北京市中考数学一模分类汇编——几何综合 ‎ 等边三角形、等腰三角形+旋转变换 ‎1. （燕山）已知：如图，点P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边向线段AB的同侧作正△APC和正△BPD，AD和BC交于点M. ‎ ‎（1）当△APC和△BPD面积之和最小时，直接写出AP : PB的值和∠AMC的度数； ‎ ‎（2）将点P在线段AB上随意固定，再把△BPD按顺时针方向绕点P旋转一个角度α，当α<60°时，旋转过程中，∠AMC的度数是否发生变化？证明你的结论. ‎ ‎ C ‎ M D A P B ‎（3）在第（2）小题给出的旋转过程中，若限定60°<α<120°，∠AMC的大小是否会发生变化？若变化，请写出∠AMC的度数变化范围；若不变化，请写出∠AMC的度数.‎ ‎2. （东城） 已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ,连结QE并延长交BP于点F.‎ ‎（1）如图1，若AB=，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF的长（直接写出结果）；‎ ‎（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；‎ ‎（3）若AB=，设BP=，以QF为边的等边三角形的面积y，求y关于的函数关系式．‎ ‎ ‎ ‎3．（顺义）问题：如图1， 在Rt△中，，，点是射线CB上任意一点，△ADE是等边三角形，且点D在的内部，连接BE．探究线段BE与DE之间的数量关系．‎ 请你完成下列探究过程：‎ 先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.‎ ‎（1） 当点D与点C重合时（如图2），请你补全图形．由的度数为 ，点E落在 ，容易得出BE与DE之间的数量关系为 ；‎ ‎（2） 当点D在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段BE与DE之间的数量关系是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．‎ 图1‎ ‎4.（延庆）如图1，已知：已知：等边△ABC，点D是边BC上一点（点D不与点B、点C重合），求证：BD+DC > AD 下面的证法供你参考：‎ 把绕点A瞬时间针旋转得到，连接ED，‎ 则有,DC=EB ‎∵AD=AE,‎ ‎∴是等边三角形 ‎∴AD=DE 在中，BD+EB > DE 即：BD+DC>AD 实践探索：‎ ‎（1）请你仿照上面的思路，探索解决下面的问题：‎ 图3‎ 如图2，点D是等腰直角三角形△ABC边上的点（点D不与B、C重合），‎ 求证：BD+DC>AD 图2‎ ‎（2）如果点D运动到等腰直角三角形△ABC外或内时，BD、DC和AD之间又存在怎样的数量关系？ 直接写出结论.‎ 间接利用旋转变换添加辅助线 ‎5．（密云）已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N． ‎ ‎（1）如图1，当绕点旋转到时，有．当 绕点旋转到时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；‎ ‎（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．‎ ‎6．（平谷）如图，已知四边形ABCD是正方形，对角线ACBD相交于O.‎ （1） 如图1，设 E、F分别是AD、AB上的点，且 ‎∠EOF=90°，线段AF、BF和EF之间存在一定的数量关系．‎ 请你用等式直接写出这个数量关系；‎ ‎（2）如图2，设 E、F分别是AB上不同的两个点，且∠EOF=45°，请你用等式表示线段AE、BF和EF之间的数量关系，并证明.‎ ‎7．（怀柔）探究：（1）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果： ‎ ‎（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD”，则（1）问中结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，说明理由；‎ ‎（3）在（2）问中，若将△AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，‎ 如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明..‎ 与中点有关的问题 ‎8．（丰台）已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，联结EC，取EC的中点M，联结BM和DM．‎ ‎（1）如图1，如果点D、E分别在边AC、AB上，那么BM、DM的数量关系与位置关系是 ； ‎ ‎（2）将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由． ‎ ‎ ‎ ‎9．（石景山）（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=2BC，M是AB的中点．直接写出∠BMD与∠ADM的倍数关系； ‎ ‎（2）如图2，若四边形ABCD是平行四边形， AB=2BC，M是AB的中点，过C作CE⊥AD与AD所在直线交于点E．‎ ‎①若∠A为锐角，则∠BME与∠AEM有怎样的倍数关系，并证明你的结论；‎ 图1 图2‎ ‎②当时，上述结论成立； 当 时，上述结论不成立．‎ ‎10．（海淀）在□ABCD中，∠A =∠DBC, 过点D作DE=DF, 且∠EDF=∠ABD , 连接EF、 EC, N、P分别为EC、BC的中点，连接NP．‎ ‎（1）如图1，若点E在DP上, EF与DC交于点M, 试探究线段NP与线段NM的数量关系及∠ABD与∠MNP满足的等量关系，请直接写出你的结论；‎ M B D C F E A N P P N A E F C D B ‎（2）如图2，若点M在线段EF上, 当点M在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M的位置，并证明（1）中的结论.‎ ‎ 图1 图2 ‎ 轴对称+中点+旋转思想添辅助线 ‎11．（西城）已知：在如图1所示的锐角三角形ABC中，CH⊥AB于点H，点B关于直线CH的对称点为D，AC边上一点E满足∠EDA=∠A，直线DE交直线CH于点F．‎ ‎ (1) 求证：BF∥AC；‎ ‎ (2) 若AC边的中点为M，求证：；‎ ‎ (3) 当AB=BC时（如图2），在未添加辅助线和其它字母的条件下，找出图2中所有与BE相等的线段，并证明你的结论．‎ ‎ 图1 图2‎ 轴对称思想添辅助线 ‎12.（门头沟）已知：在△ABC中，BC=‎2AC，∠DBC=∠ACB，BD=BC，CD交线段AB于点E．（1）如图l，当∠ACB=90°时，直接写出线段DE、CE之间的数量关系；（2）如图2，当∠ACB=120°时，求证：DE=3CE；‎ ‎（3）如图3，在（2）的条件下，点F是BC边的中点，连接DF，DF与AB交于G，△DKG和△DBG关于直线DG对称（点B的对称点是点K），延长DK交AB于点H．若BH=10，求CE的长.‎ ‎ ‎ ‎13．（昌平） 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，直线MN经过点O，设锐角∠DOC=∠，将△DOC以直线MN为对称轴翻折得到△D’OC’，直线A D’、B C’相交于点P．‎ ‎（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，请猜想A D’、B C’的数量关系以及∠APB与∠α的大小关系；‎ ‎（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，（1）中的结论还成立吗？‎ ‎（3）当四边形ABCD是等腰梯形时，如图3，∠APB与∠α有怎样的等量关系？请证明．‎ ‎14.（朝阳） 阅读下面材料：‎ 问题：如图①，在△ABC中， D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，DC=2．求BD的长．‎ 小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决．‎ ‎（1）请你回答：图中BD的长为 ；‎ ‎（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD和AB的长．‎ ‎ ‎ 图① 图②‎ 几何探究与函数关系式问题 B C A D ‎15．（通州）已知四边形ABCD，点E是射线BC上的一个动点（点E不与B、C两点重合），线段BE的垂直平分线交射线AC于点P，联结DP，PE.‎ ‎（1）若四边形ABCD是正方形，猜想PD与PE的关系，‎ 并证明你的结论.‎ A D B C ‎（2）若四边形ABCD是矩形，（1）中的PD与PE的关系还成立吗？‎ ‎ （填：成立或不成立）.‎ ‎（3）若四边形ABCD是矩形，AB=6，cos∠ACD= ，‎ 设AP=x，△PCE的面积为y,当AP>AC时，求y与x之间的函数关系式.‎ 几何最值问题 ‎16．（房山）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=，以点B为圆心，以为半径作圆. ‎ ‎⑴设点P为☉B上的一个动点，线段CP绕着点C顺时针旋转90°，得到线段CD，联结DA，DB，PB，如图2．求证：AD=BP；‎ ‎⑵在⑴的条件下，若∠CPB=135°，则BD=___________；‎ ‎⑶在⑴的条件下，当∠PBC=_______° 时，BD有最大值，且最大值为_____；‎ ‎ 当∠PBC=_________° 时，BD有最小值，且最小值为_____．‎ 旋转变换中不变量+辅助圆的构造 ‎17.（朝阳） 在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF．‎ ‎（1）如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；‎ ‎（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：‎ ‎① ∠PEF的大小是否发生变化？请说明理由；‎ ‎② 直接写出从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长．‎ 备用图 相似列方程几何计算 ‎18.（大兴）已知：如图，N、M是以O为圆心，1为半径的圆上的两点，B是上一动点（B不与点M、N重合），∠MON=90°，BA⊥OM于点A，BC⊥ON于点C，点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点，GF与CE相交于点P，DE与AG相交于点Q．‎ ‎（1）四边形EPGQ （填“是”或者“不是”）平行四边形；‎ ‎（2）若四边形EPGQ是矩形，求OA的值；‎ ‎（3）连结PQ，求的值．‎ 李铮铮老师 联系电话13522236597‎ 邮编100043 北京市石景山区实验中学 邮件lizhengzheng523@126.com