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  • 2021-05-10 发布

中考数学一轮复习 方程与不等式 一元二次方程及其应用

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第7讲 一元二次方程及其应用 第二章 方程与不等式 知识盘点 1 、一元二次方程定义及一般形式 2 、一元二次方程的常用解法 3 、配方法的步骤及求根公式 4 .一元二次方程的根的判别式 5 .一元二次方程的根与系数的关系 6 .一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程 ( 组 ) 解应用题的步骤一样. 1 . 使用一元二次方程的根的判 别 式及根与系数的关系 时 , 必 须 将一元二次方程 转 化 为 一般式 ax 2 + bx + c = 0 , 以便确定 a , b , c 的 值. 2 . 正确理解 “ 方程有 实 根 ” 的含 义. 若有一个 实 数根 则 原方程 为 一元一次方程;若有两个 实 数根 则 原方程 为 一元二次方程. 在解 题时 , 要特 别 注意 “ 方程有 实 数根 ”“ 有两个 实 数根 ” 等关 键 文字 , 挖掘出它 们 的 隐 含条件 , 以免陷入关 键 字的 “ 陷阱 ” . 难点与易错点 1 . ( 2015 · 兰州 ) 一元二次方程 x 2 - 8x - 1 = 0 配方后可变形为 ( ) A . ( x + 4) 2 = 17 B . ( x + 4) 2 = 15 C . ( x - 4) 2 = 17 D . ( x - 4) 2 = 15 2 . ( 2015 · 广安 ) 一个等腰三角形的两条边长分别是方程 x 2 - 7x + 10 = 0 的两根 , 则该等腰三角形的周长是 ( ) A . 12 B . 9 C . 13 D . 12 或 9 C A 夯实基础 3 . ( 2015 · 眉山 ) 下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是 ( ) A . ( x - 1) 2 = 0 B . x 2 + 2 x - 19 = 0 C . x 2 + 4 = 0 D . x 2 + x + 1 = 0 4 . ( 2015 · 枣庄 ) 已知关于 x 的一元二次方程 x 2 + mx + n = 0 的两个实数根分别为 x 1 =- 2 , x 2 = 4 , 则 m + n 的值是 ( ) A . - 10 B . 10 C .- 6 D . 2 B A 5 . ( 2015 · 哈尔滨 ) 今年我市计划扩大城区绿地面积 , 现有一块长方形绿地 , 它的短边长为 60 m , 若将短边增大到与长边相等 ( 长边不变 ) , 使扩大后的绿地的形状是正方形 , 则扩大后的绿地面积比原来增加 1600 m 2 . 设扩大后的正方形绿地边长为 x m , 下面所列方程正确的是 ( ) A . x ( x - 60) = 1600 B . x ( x + 60) = 1600 C . 60( x + 60) = 1600 D . 60( x - 60) = 1600 A 典例探究 【 点评 】  解一元二次方程要根据方程的特点 选择 合适的方法解 题 , 但一般 顺 序 为 :直接开平方法 → 因式分解法 → 公式法. 【 例 2 】   ( 2015 · 成都 ) 关于 x 的一元二次方程 kx 2 + 2x + 1 = 0 有两个不相等的实数根 , 则 k 的取值范围是 ( ) A . k >- 1 B . k ≥ - 1 C . k ≠ 0 D . k < 1 且 k ≠ 0 【 点评 】   对 于一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0( a ≠ 0) 的根的情况的描述 , 必 须 借助根的判 别 式 , Δ ≥ 0 方程有两个 实 数根 , Δ > 0 方程有两个不相等的 实 数根 , Δ = 0 方程有两个相等的 实 数根 , Δ < 0 方程没有 实 数根 , 反之亦然.另外 , 切 记 不要忽略一元二次方程二次 项 系数不 为 零 这 一 隐 含条件. D [ 对应训练 ] 2 . (1)( 2015 · 凉山州 ) 关于 x 的一元二次方程 (m - 2)x 2 + 2x + 1 = 0 有实数根 , 则 m 的取值范围是 ( ) A . m ≤ 3 B . m < 3 C . m < 3 且 m ≠ 2 D . m ≤ 3 且 m ≠ 2 (2) ( 2015 · 泰州 ) 已知:关于 x 的方程 x 2 + 2mx + m 2 - 1 = 0. ① 不解方程 , 判别方程根的情况; ② 若方程有一个根为 3 , 求 m 的值. 解: ①∵ a = 1 , b = 2m , c = m 2 - 1 , ∵ Δ = b 2 - 4ac = ( 2m ) 2 - 4 × 1 × ( m 2 - 1 ) = 4 > 0 , ∴ 方程 x 2 + 2mx + m 2 - 1 = 0 有两个不相等的实数根; ②∵ x 2 + 2mx + m 2 - 1 = 0 有一个根是 3 , ∴ 3 2 + 2m × 3 + m 2 - 1 = 0 , 解得 , m =- 4 或 m =- 2 D 【 例 3 】   (1)( 2015 · 金华 ) 一元二次方程 x 2 + 4x - 3 = 0 的两根为 x 1 , x 2 , 则 x 1 ·x 2 的值是 ( ) A . 4 B .- 4 C . 3 D .- 3 (2) ( 2015 · 潜江 ) 已知关于 x 的一元二次方程 x 2 - 4x + m = 0. ① 若方程有实数根 , 求实数 m 的取值范围; ② 若方程两实数根为 x 1 , x 2 , 且满足 5x 1 + 2x 2 = 2 , 求实数 m 的值. 解: ①∵ 方程有实数根 , ∴ Δ = ( - 4 ) 2 - 4m = 16 - 4m ≥ 0 , ∴ m ≤ 4 ; ②∵ x 1 + x 2 = 4 , ∴ 5x 1 + 2x 2 = 2 ( x 1 + x 2 ) + 3x 1 = 2 × 4 + 3x 1 = 2 , ∴ x 1 =- 2 , 把 x 1 =- 2 代入 x 2 - 4x + m = 0 得: ( - 2 ) 2 - 4 × ( - 2 ) + m = 0 , 解得: m =- 12 D C 100 + 200x 【 点评 】   (1) 现实 生活中存在大量的 实际应 用 问题 , 需要用一元二次方程的知 识 去解决 , 解决 这类问题 的关 键 是在充分理解 题 意的基 础 上 , 寻 求 问题 中的等量关系 , 从而建立方程. (2) 解出方程的根要 结 合方程和 具体 实际选择 合适的根 , 舍去不合 题 意的根. 20