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- 2021-05-10 发布
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第7讲 一元二次方程及其应用
第二章 方程与不等式
知识盘点
1
、一元二次方程定义及一般形式
2
、一元二次方程的常用解法
3
、配方法的步骤及求根公式
4
.一元二次方程的根的判别式
5
.一元二次方程的根与系数的关系
6
.一元二次方程的应用
列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程
(
组
)
解应用题的步骤一样.
1
.
使用一元二次方程的根的判
别
式及根与系数的关系
时
,
必
须
将一元二次方程
转
化
为
一般式
ax
2
+
bx
+
c
=
0
,
以便确定
a
,
b
,
c
的
值.
2
.
正确理解
“
方程有
实
根
”
的含
义.
若有一个
实
数根
则
原方程
为
一元一次方程;若有两个
实
数根
则
原方程
为
一元二次方程.
在解
题时
,
要特
别
注意
“
方程有
实
数根
”“
有两个
实
数根
”
等关
键
文字
,
挖掘出它
们
的
隐
含条件
,
以免陷入关
键
字的
“
陷阱
”
.
难点与易错点
1
.
(
2015
·
兰州
)
一元二次方程
x
2
-
8x
-
1
=
0
配方后可变形为
( )
A
.
(
x
+
4)
2
=
17
B
.
(
x
+
4)
2
=
15
C
.
(
x
-
4)
2
=
17
D
.
(
x
-
4)
2
=
15
2
.
(
2015
·
广安
)
一个等腰三角形的两条边长分别是方程
x
2
-
7x
+
10
=
0
的两根
,
则该等腰三角形的周长是
( )
A
.
12
B
.
9
C
.
13
D
.
12
或
9
C
A
夯实基础
3
.
(
2015
·
眉山
)
下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是
( )
A
.
(
x
-
1)
2
=
0
B
.
x
2
+
2
x
-
19
=
0
C
.
x
2
+
4
=
0
D
.
x
2
+
x
+
1
=
0
4
.
(
2015
·
枣庄
)
已知关于
x
的一元二次方程
x
2
+
mx
+
n
=
0
的两个实数根分别为
x
1
=-
2
,
x
2
=
4
,
则
m
+
n
的值是
( )
A
.
-
10
B
.
10
C
.-
6
D
.
2
B
A
5
.
(
2015
·
哈尔滨
)
今年我市计划扩大城区绿地面积
,
现有一块长方形绿地
,
它的短边长为
60
m
,
若将短边增大到与长边相等
(
长边不变
)
,
使扩大后的绿地的形状是正方形
,
则扩大后的绿地面积比原来增加
1600
m
2
.
设扩大后的正方形绿地边长为
x
m
,
下面所列方程正确的是
( )
A
.
x
(
x
-
60)
=
1600
B
.
x
(
x
+
60)
=
1600
C
.
60(
x
+
60)
=
1600
D
.
60(
x
-
60)
=
1600
A
典例探究
【
点评
】
解一元二次方程要根据方程的特点
选择
合适的方法解
题
,
但一般
顺
序
为
:直接开平方法
→
因式分解法
→
公式法.
【
例
2
】
(
2015
·
成都
)
关于
x
的一元二次方程
kx
2
+
2x
+
1
=
0
有两个不相等的实数根
,
则
k
的取值范围是
( )
A
.
k
>-
1
B
.
k
≥
-
1
C
.
k
≠
0
D
.
k
<
1
且
k
≠
0
【
点评
】
对
于一元二次方程
ax
2
+
bx
+
c
=
0(
a
≠
0)
的根的情况的描述
,
必
须
借助根的判
别
式
,
Δ
≥
0
方程有两个
实
数根
,
Δ
>
0
方程有两个不相等的
实
数根
,
Δ
=
0
方程有两个相等的
实
数根
,
Δ
<
0
方程没有
实
数根
,
反之亦然.另外
,
切
记
不要忽略一元二次方程二次
项
系数不
为
零
这
一
隐
含条件.
D
[
对应训练
]
2
.
(1)(
2015
·
凉山州
)
关于
x
的一元二次方程
(m
-
2)x
2
+
2x
+
1
=
0
有实数根
,
则
m
的取值范围是
( )
A
.
m
≤
3 B
.
m
<
3
C
.
m
<
3
且
m
≠
2 D
.
m
≤
3
且
m
≠
2
(2)
(
2015
·
泰州
)
已知:关于
x
的方程
x
2
+
2mx
+
m
2
-
1
=
0.
①
不解方程
,
判别方程根的情况;
②
若方程有一个根为
3
,
求
m
的值.
解:
①∵
a
=
1
,
b
=
2m
,
c
=
m
2
-
1
,
∵
Δ
=
b
2
-
4ac
=
(
2m
)
2
-
4
×
1
×
(
m
2
-
1
)
=
4
>
0
,
∴
方程
x
2
+
2mx
+
m
2
-
1
=
0
有两个不相等的实数根;
②∵
x
2
+
2mx
+
m
2
-
1
=
0
有一个根是
3
,
∴
3
2
+
2m
×
3
+
m
2
-
1
=
0
,
解得
,
m
=-
4
或
m
=-
2
D
【
例
3
】
(1)(
2015
·
金华
)
一元二次方程
x
2
+
4x
-
3
=
0
的两根为
x
1
,
x
2
,
则
x
1
·x
2
的值是
( )
A
.
4 B
.-
4 C
.
3 D
.-
3
(2)
(
2015
·
潜江
)
已知关于
x
的一元二次方程
x
2
-
4x
+
m
=
0.
①
若方程有实数根
,
求实数
m
的取值范围;
②
若方程两实数根为
x
1
,
x
2
,
且满足
5x
1
+
2x
2
=
2
,
求实数
m
的值.
解:
①∵
方程有实数根
,
∴
Δ
=
(
-
4
)
2
-
4m
=
16
-
4m
≥
0
,
∴
m
≤
4
;
②∵
x
1
+
x
2
=
4
,
∴
5x
1
+
2x
2
=
2
(
x
1
+
x
2
)
+
3x
1
=
2
×
4
+
3x
1
=
2
,
∴
x
1
=-
2
,
把
x
1
=-
2
代入
x
2
-
4x
+
m
=
0
得:
(
-
2
)
2
-
4
×
(
-
2
)
+
m
=
0
,
解得:
m
=-
12
D
C
100
+
200x
【
点评
】
(1)
现实
生活中存在大量的
实际应
用
问题
,
需要用一元二次方程的知
识
去解决
,
解决
这类问题
的关
键
是在充分理解
题
意的基
础
上
,
寻
求
问题
中的等量关系
,
从而建立方程.
(2)
解出方程的根要
结
合方程和
具体
实际选择
合适的根
,
舍去不合
题
意的根.
20