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- 2021-05-10 发布
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2017年河北省中考数学试卷
一、选择题(本大题共16小题,共42分。1~10小题各3分,11~16小题各2分,小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(3分)下列运算结果为正数的是( )
A.(﹣3)2 B.﹣3÷2 C.0×(﹣2017) D.2﹣3
2.(3分)把0.0813写成a×10n(1≤a<10,n为整数)的形式,则a为( )
A.1 B.﹣2 C.0.813 D.8.13
3.(3分)用量角器测得∠MON的度数,下列操作正确的是( )
A. B. C. D.
4.(3分)=( )
A. B. C. D.
5.(3分)图1和图2中所有的小正方形都全等,将图1的正方形放在图2中
①②③④的某一位置,使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形,这个位置是( )
A.① B.② C.③ D.④
6.(3分)如图为张小亮的答卷,他的得分应是( )
A.100分 B.80分 C.60分 D.40分
7.(3分)若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′,则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比( )
A.增加了10% B.减少了10% C.增加了(1+10%) D.没有改变
8.(3分)如图是由相同的小正方体木块粘在一起的几何体,它的主视图是( )
A. B. C. D.
9.(3分)求证:菱形的两条对角线互相垂直.
已知:如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O.
求证:AC⊥BD.
以下是排乱的证明过程:
①又BO=DO;
②∴AO⊥BD,即AC⊥BD;
③∵四边形ABCD是菱形;
④∴AB=AD.
证明步骤正确的顺序是( )
A.③→②→①→④ B.③→④→①→② C.①→②→④→③ D.①→④→③→②
10.(3分)如图,码头A在码头B的正西方向,甲、乙两船分别从A,B同时出发,并以等速驶向某海域,甲的航向是北偏东35°,为避免行进中甲、乙相撞,则乙的航向不能是( )
A.北偏东55° B.北偏西55° C.北偏东35° D.北偏西35°
11.(2分)如图是边长为10cm的正方形铁片,过两个顶点剪掉一个三角形,以下四种剪法中,裁剪线长度所标的数据(单位:cm)不正确的是( )
A. B. C. D.
12.(2分)如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话,根据对话内容,下列选项错误的是( )
A.4+4﹣=6 B.4+40+40=6 C.4+=6 D.4﹣1÷+4=6
13.(2分)若= +,则 中的数是( )
A.﹣1 B.﹣2 C.﹣3 D.任意实数
14.(2分)甲、乙两组各有12名学生,组长绘制了本组5月份家庭用水量的统计图表,如图,
甲组12户家庭用水量统计表
用水量(吨)
4
5
6
9
户数
4
5
2
1
比较5月份两组家庭用水量的中位数,下列说法正确的是( )
A.甲组比乙组大 B.甲、乙两组相同
C.乙组比甲组大 D.无法判断
15.(2分)如图,若抛物线y=﹣x2+3与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k,则反比例函数y=(x>0)的图象是( )
A. B. C. D.
16.(2分)已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1,把正方形放在正六边形中,使OK边与AB边重合,如图所示,按下列步骤操作:
将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转,使KM边与BC边重合,完成第一次旋转;再绕点C顺时针旋转,使MN边与CD边重合,完成第二次旋转;…在这样连续6次旋转的过程中,点B,M间的距离可能是( )
A.1.4 B.1.1 C.0.8 D.0.5
二、填空题(本大题共3小题,共10分。17~18小题各3分;19小题有2个空,每空2分。把答案写在题中横线上)
17.(3分)如图,A,B两点被池塘隔开,不能直接测量其距离.于是,小明在岸边选一点C,连接CA,CB,分别延长到点M,N,使AM=AC,BN=BC,测得MN=200m,则A,B间的距离为 m.
18.(3分)如图,依据尺规作图的痕迹,计算∠α= °.
19.(4分)对于实数p,q,我们用符号min{p,q}表示p,q两数中较小的数,如min{1,2}=1,因此,min{﹣,﹣}= ;若min{(x﹣1)2,x2}=1,则x= .
三、解答题(本大题共7小题,共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
20.(8分)在一条不完整的数轴上从左到右有点A,B,C,其中AB=2,BC=1,如图所示,设点A,B,C所对应数的和是p.
(1)若以B为原点,写出点A,C所对应的数,并计算p的值;若以C为原点,p又是多少?
(2)若原点O在图中数轴上点C的右边,且CO=28,求p.
21.(9分)编号为1~5号的5名学生进行定点投篮,规定每人投5次,每命中1次记1分,没有命中记0分,如图是根据他们各自的累积得分绘制的条形统计图.之后来了第6号学生也按同样记分规定投了5次,其命中率为40%.
(1)求第6号学生的积分,并将图增补为这6名学生积分的条形统计图;
(2)在这6名学生中,随机选一名学生,求选上命中率高于50%的学生的概率;
(3)最后,又来了第7号学生,也按同样记分规定投了5次,这时7名学生积分的众数仍是前6名学生积分的众数,求这个众数,以及第7号学生的积分.
22.(9分)发现 任意五个连续整数的平方和是5的倍数.
验证 (1)(﹣1)2+02+12+22+32的结果是5的几倍?
(2)设五个连续整数的中间一个为n,写出它们的平方和,并说明是5的倍数.
延伸 任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢?请写出理由.
23.(9分)如图,AB=16,O为AB中点,点C在线段OB上(不与点O,B重合),将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD,AP,BQ分别切优弧于点P,Q,且点P,Q在AB异侧,连接OP.
(1)求证:AP=BQ;
(2)当BQ=4时,求的长(结果保留π);
(3)若△APO的外心在扇形COD的内部,求OC的取值范围.
24.(10分)如图,直角坐标系xOy中,A(0,5),直线x=﹣5与x轴交于点D,直线y=﹣x﹣与x轴及直线x=﹣5分别交于点C,E,点B,E关于x轴对称,连接AB.
(1)求点C,E的坐标及直线AB的解析式;
(2)设面积的和S=S△CDE+S四边形ABDO,求S的值;
(3)在求(2)中S时,嘉琪有个想法:“将△CDE沿x轴翻折到△CDB的位置,而△CDB与四边形ABDO拼接后可看成△AOC,这样求S便转化为直接求△AOC的面积不更快捷吗?”但大家经反复演算,发现S△AOC≠S,请通过计算解释他的想法错在哪里.
25.(11分)平面内,如图,在▱ABCD中,AB=10,AD=15,tanA=,点P为AD边上任意点,连接PB,将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ.
(1)当∠DPQ=10°时,求∠APB的大小;
(2)当tan∠ABP:tanA=3:2时,求点Q与点B间的距离(结果保留根号);
(3)若点Q恰好落在▱ABCD的边所在的直线上,直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积.(结果保留π)
26.(12分)某厂按用户的月需求量x(件)完成一种产品的生产,其中x>0,每件的售价为18万元,每件的成本y(万元)是基础价与浮动价的和,其中基础价保持不变,浮动价与月需求量x(件)成反比,经市场调研发现,月需求量x与月份n(n为整数,1≤n≤12),符合关系式x=2n2﹣2kn+9(k+3)(k为常数),且得到了表中的数据.
月份n(月)
1
2
成本y(万元/件)
11
12
需求量x(件/月)
120
100
(1)求y与x满足的关系式,请说明一件产品的利润能否是12万元;
(2)求k,并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损;
(3)在这一年12个月中,若第m个月和第(m+1)个月的利润相差最大,求m.
2017年河北省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共16小题,共42分。1~10小题各3分,11~16小题各2分,小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(3分)(2017•河北)下列运算结果为正数的是( )
A.(﹣3)2 B.﹣3÷2 C.0×(﹣2017) D.2﹣3
【解答】解:A、原式=9,符合题意;
B、原式=﹣1.5,不符合题意;
C、原式=0,不符合题意,
D、原式=﹣1,不符合题意,
故选A
2.(3分)(2017•河北)把0.0813写成a×10n(1≤a<10,n为整数)的形式,则a为( )
A.1 B.﹣2 C.0.813 D.8.13
【解答】解:把0.0813写成a×10n(1≤a<10,n为整数)的形式,则a为8.13,
故选:D.
3.(3分)(2017•河北)用量角器测得∠MON的度数,下列操作正确的是( )
A. B.
C. D.
【解答】解:量角器的圆心一定要与O重合,
故选C.
4.(3分)(2017•河北)=( )
A. B. C. D.
【解答】解:=.
故选:B.
5.(3分)(2017•河北)图1和图2中所有的小正方形都全等,将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置,使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形,这个位置是( )
A.① B.② C.③ D.④
【解答】解:当正方形放在③的位置,即是中心对称图形.
故选:C.
6.(3分)(2017•河北)如图为张小亮的答卷,他的得分应是( )
A.100分 B.80分 C.60分 D.40分
【解答】解:﹣1的绝对值为1,
2的倒数为,
﹣2的相反数为2,
1的立方根为1,
﹣1和7的平均数为3,
故小亮得了80分,
故选B.
7.(3分)(2017•河北)若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′,则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比( )
A.增加了10% B.减少了10% C.增加了(1+10%) D.没有改变
【解答】解:∵△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′,
∴△ABC与△A′B′C′的三边对应成比例,
∴△ABC∽△A′B′C′,
∴∠B′=∠B.
故选D.
8.(3分)(2017•河北)如图是由相同的小正方体木块粘在一起的几何体,它的主视图是( )
A. B. C. D.
【解答】解:从正面看第一层是三个小正方形,第二层左边两个小正方形,
故选:A.
9.(3分)(2017•河北)求证:菱形的两条对角线互相垂直.
已知:如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O.
求证:AC⊥BD.
以下是排乱的证明过程:
①又BO=DO;
②∴AO⊥BD,即AC⊥BD;
③∵四边形ABCD是菱形;
④∴AB=AD.
证明步骤正确的顺序是( )
A.③→②→①→④ B.③→④→①→② C.①→②→④→③ D.①→④→③→②
【解答】证明:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,
∵对角线AC,BD交于点O,
∴BO=DO,
∴AO⊥BD,
即AC⊥BD,
∴证明步骤正确的顺序是③→④→①→②,
故选B.
10.(3分)(2017•河北)如图,码头A在码头B的正西方向,甲、乙两船分别从A,B同时出发,并以等速驶向某海域,甲的航向是北偏东35°,为避免行进中甲、乙相撞,则乙的航向不能是( )
A.北偏东55° B.北偏西55° C.北偏东35° D.北偏西35°
【解答】解:∵甲的航向是北偏东35°,为避免行进中甲、乙相撞,
∴乙的航向不能是北偏西35°,
故选D.
11.(2分)(2017•河北)如图是边长为10cm的正方形铁片,过两个顶点剪掉一个三角形,以下四种剪法中,裁剪线长度所标的数据(单位:cm)不正确的是( )
A. B. C. D.
【解答】解:选项A不正确.理由正方形的边长为10,所以对角线=10≈14,
因为15>14,所以这个图形不可能存在.
故选A.
12.(2分)(2017•河北)如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话,根据对话内容,下列选项错误的是( )
A.4+4﹣=6 B.4+40+40=6 C.4+=6 D.4﹣1÷+4=6
【解答】解:∵4+4﹣=6,
∴选项A不符合题意;
∵4+40+40=6,
∴选项B不符合题意;
∵4+=6,
∴选项C不符合题意;
∵4﹣1÷+4=4,
∴选项D符合题意.
故选:D.
13.(2分)(2017•河北)若= +,则 中的数是( )
A.﹣1 B.﹣2 C.﹣3 D.任意实数
【解答】解:∵= +,
∴﹣====﹣2,
故____中的数是﹣2.
故选:B.
14.(2分)(2017•河北)甲、乙两组各有12名学生,组长绘制了本组5月份家庭用水量的统计图表,如图,
甲组12户家庭用水量统计表
用水量(吨)
4
5
6
9
户数
4
5
2
1
比较5月份两组家庭用水量的中位数,下列说法正确的是( )
A.甲组比乙组大 B.甲、乙两组相同
C.乙组比甲组大 D.无法判断
【解答】解:由统计表知甲组的中位数为=5(吨),
乙组的4吨和6吨的有12×=3(户),7吨的有12×=2户,
则5吨的有12﹣(3+3+2)=4户,
∴乙组的中位数为=5(吨),
则甲组和乙组的中位数相等,
故选:B.
15.(2分)(2017•河北)如图,若抛物线y=﹣x2+3与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)的个数为k,则反比例函数y=(x>0)的图象是( )
A. B. C. D.
【解答】解:抛物线y=﹣x2+3,当y=0时,x=±;
当x=0时,y=3,
则抛物线y=﹣x2+3与x轴围成封闭区域(边界除外)内整点(点的横、纵坐标都是整数)为(﹣1,1),(0,1),(0,2),(1,1);共有4个,
∴k=4;
故选:D.
16.(2分)(2017•河北)已知正方形MNOK和正六边形ABCDEF边长均为1,把正方形放在正六边形中,使OK边与AB边重合,如图所示,按下列步骤操作:
将正方形在正六边形中绕点B顺时针旋转,使KM边与BC边重合,完成第一次旋转;再绕点C顺时针旋转,使MN边与CD边重合,完成第二次旋转;…在这样连续6次旋转的过程中,点B,M间的距离可能是( )
A.1.4 B.1.1 C.0.8 D.0.5
【解答】解:如图,在这样连续6次旋转的过程中,点M的运动轨迹是图中的红线,
观察图象可知点B,M间的距离大于等于2﹣小于等于1,
故选C.
二、填空题(本大题共3小题,共10分。17~18小题各3分;19小题有2个空,每空2分。把答案写在题中横线上)
17.(3分)(2017•河北)如图,A,B两点被池塘隔开,不能直接测量其距离.于是,小明在岸边选一点C,连接CA,CB,分别延长到点M,N,使AM=AC,BN=BC,测得MN=200m,则A,B间的距离为 100 m.
【解答】解:∵AM=AC,BN=BC,
∴AB是△ABC的中位线,
∴AB=MN=100m,
故答案为:100.
18.(3分)(2017•河北)如图,依据尺规作图的痕迹,计算∠α= 56 °.
【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠DAC=∠ACB=68°.
∵由作法可知,AF是∠DAC的平分线,
∴∠EAF=∠DAC=34°.
∵由作法可知,EF是线段AC的垂直平分线,
∴∠AEF=90°,
∴∠AFE=90°﹣34°=56°,
∴∠α=56°.
故答案为:56.
19.(4分)(2017•河北)对于实数p,q,我们用符号min{p,q}表示p,q两数中较小的数,如min{1,2}=1,因此,min{﹣,﹣}= ﹣ ;若min{(x﹣1)2,x2}=1,则x= 2或﹣1 .
【解答】解:min{﹣,﹣}=﹣,
∵min{(x﹣1)2,x2}=1,
当x=0.5时,x2=(x﹣1)2,不可能得出,最小值为1,
∴当x>0.5时,(x﹣1)2<x2,
则(x﹣1)2=1,
x﹣1=±1,
x﹣1=1,x﹣1=﹣1,
解得:x1=2,x2=0(不合题意,舍去),
当x<0.5时,(x﹣1)2>x2,
则x2=1,
解得:x1=1(不合题意,舍去),x2=﹣1,
故答案为:;2或﹣1.
三、解答题(本大题共7小题,共68分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
20.(8分)(2017•河北)在一条不完整的数轴上从左到右有点A,B,C,其中AB=2,BC=1,如图所示,设点A,B,C所对应数的和是p.
(1)若以B为原点,写出点A,C所对应的数,并计算p的值;若以C为原点,p又是多少?
(2)若原点O在图中数轴上点C的右边,且CO=28,求p.
【解答】解:(1)若以B为原点,则C表示1,A表示﹣2,
∴p=1+0﹣2=﹣1;
若以C为原点,则A表示﹣3,B表示﹣1,
∴p=﹣3﹣1+0=﹣4;
(2)若原点O在图中数轴上点C的右边,且CO=28,则C表示﹣28,B表示﹣29,A表示﹣31,
∴p=﹣31﹣29﹣28=﹣88.
21.(9分)(2017•河北)编号为1~5号的5名学生进行定点投篮,规定每人投5次,每命中1次记1分,没有命中记0分,如图是根据他们各自的累积得分绘制的条形统计图.之后来了第6号学生也按同样记分规定投了5次,其命中率为40%.
(1)求第6号学生的积分,并将图增补为这6名学生积分的条形统计图;
(2)在这6名学生中,随机选一名学生,求选上命中率高于50%的学生的概率;
(3)最后,又来了第7号学生,也按同样记分规定投了5次,这时7名学生积分的众数仍是前6名学生积分的众数,求这个众数,以及第7号学生的积分.
【解答】解:(1)第6名学生命中的个数为5×40%=2,
则第6号学生的积分为2分,
补全条形统计图如下:
(2)这6名学生中,命中次数多于5×50%=2.5次的有2、3、4、5号这4名学生,
∴选上命中率高于50%的学生的概率为=;
(3)由于前6名学生积分的众数为3分,
∴第7号学生的积分为3分或0分.
22.(9分)(2017•河北)发现 任意五个连续整数的平方和是5的倍数.
验证 (1)(﹣1)2+02+12+22+32的结果是5的几倍?
(2)设五个连续整数的中间一个为n,写出它们的平方和,并说明是5的倍数.
延伸 任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢?请写出理由.
【解答】解:发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数.
验证(1)(﹣1)2+02+12+22+32=1+0+1+4+9=15,15÷5=3,
即(﹣1)2+02+12+22+32的结果是5的3倍;
(2)设五个连续整数的中间一个为n,则其余的4个整数分别是n﹣2,n﹣1,n+1,n+2,
它们的平方和为:(n﹣2)2+(n﹣1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2
=n2﹣4n+4+n2﹣2n+1+n2+n2+2n+1+n2+4n+4
=5n2+10,
∵5n2+10=5(n2+2),
又n是整数,
∴n2+2是整数,
∴五个连续整数的平方和是5的倍数;
延伸设三个连续整数的中间一个为n,则其余的2个整数是n﹣1,n+1,
它们的平方和为:(n﹣1)2+n2+(n+1)2
=n2﹣2n+1+n2+n2+2n+1
=3n2+2,
∵n是整数,
∴n2是整数,
∴任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2.
23.(9分)(2017•河北)如图,AB=16,O为AB中点,点C在线段OB上(不与点O,B重合),将OC绕点O逆时针旋转270°后得到扇形COD,AP,BQ分别切优弧于点P,Q,且点P,Q在AB异侧,连接OP.
(1)求证:AP=BQ;
(2)当BQ=4时,求的长(结果保留π);
(3)若△APO的外心在扇形COD的内部,求OC的取值范围.
【解答】(1)证明:连接OQ.
∵AP、BQ是⊙O的切线,
∴OP⊥AP,OQ⊥BQ,
∴∠APO=∠BQO=90°,
在Rt△APO和Rt△BQO中,
,
∴Rt△APO≌Rt△BQO,
∴AP=BQ.
(2)∵Rt△APO≌Rt△BQO,
∴∠AOP=∠BOQ,
∴P、O、Q三点共线,
∵在Rt△BOQ中,cosB===,
∴∠B=30°,∠BOQ=60°,
∴OQ=OB=4,
∵∠COD=90°,
∴∠QOD=90°+60°=150°,
∴优弧的长==π,
(3)∵△APO的外心是OA的中点,OA=8,
∴△APO的外心在扇形COD的内部时,OC的取值范围为4<OC<8.
24.(10分)(2017•河北)如图,直角坐标系xOy中,A(0,5),直线x=﹣5与x轴交于点D,直线y=﹣x﹣
与x轴及直线x=﹣5分别交于点C,E,点B,E关于x轴对称,连接AB.
(1)求点C,E的坐标及直线AB的解析式;
(2)设面积的和S=S△CDE+S四边形ABDO,求S的值;
(3)在求(2)中S时,嘉琪有个想法:“将△CDE沿x轴翻折到△CDB的位置,而△CDB与四边形ABDO拼接后可看成△AOC,这样求S便转化为直接求△AOC的面积不更快捷吗?”但大家经反复演算,发现S△AOC≠S,请通过计算解释他的想法错在哪里.
【解答】解:(1)在直线y=﹣x﹣中,
令y=0,则有0=﹣x﹣,
∴x=﹣13,
∴C(﹣13,0),
令x=﹣5,则有y=﹣×(﹣5)﹣=﹣3,
∴E(﹣5,﹣3),
∵点B,E关于x轴对称,
∴B(﹣5,3),
∵A(0,5),
∴设直线AB的解析式为y=kx+5,
∴﹣5k+5=3,
∴k=,
∴直线AB的解析式为y=x+5;
(2)由(1)知,E(﹣5,﹣3),
∴DE=3,
∵C(﹣13,0),
∴CD=﹣5﹣(﹣13)=8,
∴S△CDE=CD×DE=12,
由题意知,OA=5,OD=5,BD=3,
∴S四边形ABDO=(BD+OA)×OD=20,
∴S=S△CDE+S四边形ABDO=12+20=32,
(3)由(2)知,S=32,
在△AOC中,OA=5,OC=13,
∴S△AOC=OA×OC==32.5,
∴S≠S△AOC,
理由:由(1)知,直线AB的解析式为y=x+5,
令y=0,则0=x+5,
∴x=﹣≠﹣13,
∴点C不在直线AB上,
即:点A,B,C不在同一条直线上,
∴S△AOC≠S.
25.(11分)(2017•河北)平面内,如图,在▱ABCD中,AB=10,AD=15,tanA=,点P为AD边上任意点,连接PB,将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ.
(1)当∠DPQ=10°时,求∠APB的大小;
(2)当tan∠ABP:tanA=3:2时,求点Q与点B间的距离(结果保留根号);
(3)若点Q恰好落在▱ABCD的边所在的直线上,直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积.(结果保留π)
【解答】解:(1)如图1中,
①当点Q在平行四边形ABCD内时,∠AP′B=180°﹣∠Q′P′B﹣∠Q′P′D=180°﹣90°﹣10°=80°,
②当点Q在平行四边形ABCD外时,∠APB=180°﹣(∠QPB﹣∠QPD)=180°﹣(90°﹣10°)=100°,
综上所述,当∠DPQ=10°时,∠APB的值为80°或100°.
(2)如图2中,连接BQ,作PE⊥AB于E.
∵tan∠ABP:tanA=3:2,tanA=,
∴tan∠ABP=2,
在Rt△APE中,tanA==,设PE=4k,则AE=3k,
在Rt△PBE中,tan∠ABP==2,
∴EB=2k,
∴AB=5k=10,
∴k=2,
∴PE=8,EB=4,
∴PB==4,
∵△BPQ是等腰直角三角形,
∴BQ=PB=4.
(3)①如图3中,当点Q落在直线BC上时,作BE⊥AD于E,PF⊥BC于F.则四边形BEPF是矩形.
在Rt△AEB中,∵tanA==,∵AB=10,
∴BE=8,AE=6,
∴PF=BE=8,
∵△BPQ是等腰直角三角形,PF⊥BQ,
∴PF=BF=FQ=8,
∴PB=PQ=8,
∴PB旋转到PQ所扫过的面积==32π.
②如图4中,当点Q落在CD上时,作BE⊥AD于E,QF⊥AD交AD的延长线于F.设PE=x.
易证△PBE≌△QPF,
∴PE=QF=x,EB=PF=8,
∴DF=AE+PE+PF﹣AD=x﹣1,
∵CD∥AB,
∴∠FDQ=∠A,
∴tan∠FDQ=tanA==,
∴=,
∴x=4,
∴PE=4,=4,
在Rt△PEB中,PB=,=4,
∴PB旋转到PQ所扫过的面积==20π
③如图5中,
当点Q落在AD上时,易知PB=PQ=8,
∴PB旋转到PQ所扫过的面积==16π,
综上所述,PB旋转到PQ所扫过的面积为32π或20π或16π.
26.(12分)(2017•河北)某厂按用户的月需求量x(件)完成一种产品的生产,其中x>0,每件的售价为18万元,每件的成本y(万元)是基础价与浮动价的和,其中基础价保持不变,浮动价与月需求量x(件)成反比,经市场调研发现,月需求量x与月份n(n为整数,1≤n≤12),符合关系式x=2n2﹣2kn+9(k+3)(k为常数),且得到了表中的数据.
月份n(月)
1
2
成本y(万元/件)
11
12
需求量x(件/月)
120
100
(1)求y与x满足的关系式,请说明一件产品的利润能否是12万元;
(2)求k,并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损;
(3)在这一年12个月中,若第m个月和第(m+1)个月的利润相差最大,求m.
【解答】解:(1)由题意,设y=a+,
由表中数据可得:,
解得:,
∴y=6+,
由题意,若12=18﹣(6+),则=0,
∵x>0,
∴>0,
∴不可能;
(2)将n=1、x=120代入x=2n2﹣2kn+9(k+3),得:120=2﹣2k+9k+27,
解得:k=13,
∴x=2n2﹣26n+144,
将n=2、x=100代入x=2n2﹣26n+144也符合,
∴k=13;
由题意,得:18=6+,
解得:x=50,
∴50=2n2﹣26n+144,即n2﹣13n+47=0,
∵△=(﹣13)2﹣4×1×47<0,
∴方程无实数根,
∴不存在;
(3)第m个月的利润为W,
W=x(18﹣y)=18x﹣x(6+)
=12(x﹣50)
=24(m2﹣13m+47),
∴第(m+1)个月的利润为W′=24[(m+1)2﹣13(m+1)+47]=24(m2﹣11m+35),
若W≥W′,W﹣W′=48(6﹣m),m取最小1,W﹣W′取得最大值240;
若W<W′,W′﹣W=48(m﹣6),由m+1≤12知m取最大11,W′﹣W取得最大值240;
∴m=1或11.