中考翻折问题答案解析 41页

翻折问题---解答题综合 ‎1．△AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，A（0，﹣3），B（﹣2，0），O是坐标原点．‎ ‎（1）将△AOB先作其关于x轴的对称图形，再把新图形向右平移3个单位，在图中画出两次变换后所得的图形△AO1B1；‎ ‎（2）若点M（x，y）在△AOB上，则它随上述两次变换后得到点M1，则点M1的坐标是　　　　　　．‎ ‎2．（1）数学课上，老师出了一道题，如图①，Rt△ABC中，∠C=90°，，求证：∠B=30°，请你完成证明过程．‎ ‎（2）如图②，四边形ABCD是一张边长为2的正方形纸片，E、F分别为AB、CD的中点，沿过点D的折痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，折痕交AE于点G，请运用（1）中的结论求∠ADG的度数和AG的长．‎ ‎（3）若矩形纸片ABCD按如图③所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O（如图④），当AB=6，求EF的长．‎ ‎3．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是射线CB上的一个动点，把△DCE沿DE折叠，点C的对应点为C′．‎ ‎（1）若点C′刚好落在对角线BD上时，BC′=　　　　　　； ‎ ‎（2）若点C′刚好落在线段AB的垂直平分线上时，求CE的长；‎ ‎（3）若点C′刚好落在线段AD的垂直平分线上时，求CE的长．‎ ‎4．如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠（AP＞AM），点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处．‎ ‎（1）判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？（不需说明理由）‎ ‎（2）如果AM=1，sin∠DMF=，求AB的长．‎ ‎5．如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作分、FG∥CD，交AE于点G连接DG．‎ ‎（1）求证：四边形DEFG为菱形；‎ ‎（2）若CD=8，CF=4，求的值．‎ ‎6．如图1，一张菱形纸片EHGF，点A、D、C、B分别是EF、EH、HG、GF边上的点，连接AD、DC、CB、AB、DB，且AD=，AB=；如图2，若将△FAB、△AED、△DHC、△CGB分别沿AB、AD、DC、CB对折，点E、F都落在DB上的点P处，点H、G都落在DB上的点Q处．‎ ‎（1）求证：四边形ADCB是矩形；‎ ‎（2）求菱形纸片EHGF的面积和边长．‎ ‎7．（1）操作发现：‎ 如图①，在Rt△ABC中，∠C=2∠B=90°，点D是BC上一点，沿AD折叠△ADC，使得点C恰好落在AB上的点E处．请写出AB、AC、CD之间的关系　　　　　　；‎ ‎（2）问题解决：‎ 如图②，若（1）中∠C≠90°，其他条件不变，请猜想AB、AC、CD之间的关系，并证明你的结论；‎ ‎（3）类比探究：‎ 如图③，在四边形ABCD中，∠B=120°，∠D=90°，AB=BC，AD=DC，连接AC，点E是CD上一点，沿AE折叠，使得点D正好落在AC上的F处，若BC=，直接写出DE的长．‎ ‎8．如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，联结BP、BH．‎ ‎（1）求证：∠APB=∠BPH；‎ ‎（2）求证：AP+HC=PH；‎ ‎（3）当AP=1时，求PH的长．‎ ‎9．如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在AD边上一点E处，折痕的两端点分别在边AB，BC上（含端点），且AB=6，BC=10，设AE=x．‎ ‎（1）当BF的最小值等于　　　　　　时，才能使点B落在AD上一点E处；‎ ‎（2）当点F与点C重合时，求AE的长；‎ ‎（3）当AE=3时，点F离点B有多远？‎ ‎10．如图，三角形纸片中，AB=8cm，BC=6cm，AC=5cm．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，求△ADE的周长．‎ ‎11．【问题提出】如果我们身边没有量角器和三角板，如何作15°大小的角呢？‎ ‎【实践操作】如图．‎ 第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开，得到AD∥EF∥BC．‎ 第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM．折痕BM 与折痕EF相交于点P．连接线段BN，PA，得到PA=PB=PN．‎ ‎【问题解决】‎ ‎（1）求∠NBC的度数；‎ ‎（2）通过以上折纸操作，还得到了哪些不同角度的角？请你至少再写出两个（除∠NBC的度数以外）．‎ ‎（3）你能继续折出15°大小的角了吗？说说你是怎么做的．‎ ‎12．已知矩形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，点E、F分别在边AD、BC上，连接B、E，D、F．分别把Rt△BAE和Rt△DCF沿 BE，DF折叠成如图所示位置．‎ ‎（1）若得到四边形 BFDE是菱形，求AE的长．‎ ‎（2）若折叠后点A′和点C′恰好落在对角线BD上，求AE的长．‎ ‎13．如图1，矩形纸片ABCD的边长AB=4cm，AD=2cm．同学小明现将该矩形纸片沿EF折痕，使点A与点C重合，折痕后在其一面着色（如图2），观察图形对比前后变化，回答下列问题：‎ ‎（1）GF　　　　　　FD：（直接填写=、＞、＜）‎ ‎（2）判断△CEF的形状，并说明理由；‎ ‎（3）小明通过此操作有以下两个结论：‎ ‎①四边形EBCF的面积为4cm2‎ ‎②整个着色部分的面积为5.5cm2‎ 运用所学知识，请论证小明的结论是否正确．‎ ‎14．操作：准备一张长方形纸，按下图操作：‎ ‎（1）把矩形ABCD对折，得折痕MN；‎ ‎（2）把A折向MN，得Rt△AEB；‎ ‎（3）沿线段EA折叠，得到另一条折痕EF，展开后可得到△EBF．‎ 探究：△EBF的形状，并说明理由．‎ ‎15． 1）如图1，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点A′的位置，若∠A=40°，求∠1+∠2的度数；‎ ‎（2）通过（1）的计算你发现∠1+∠2与∠A有什么数量关系？请写出这个数量关系，并说明这个数量关系的正确性；‎ ‎（3）将图1中△ABC纸片的三个内角都进行同样的折叠．‎ ‎ ①如果折叠后三个顶点A、B、C重合于一点O时，如图2，则图中∠α+∠β+∠γ=　　　　　　；∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=　　　　　　；‎ ‎ ②如果折叠后三个顶点A、B、C不重合，如图3，则①中的关于“∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6”的结论是否仍然成立？请说明你的理由．‎ ‎16．如图，长方形纸片ABCD，点E、F分别在边AB、CD上，连接EF，将∠BEF对折，点B落在直线EF上的B′处，得到折痕EC，将点A落在直线EF上的点A′处，得到折痕EN．‎ ‎（1）若∠BEB′=110°，则∠BEC=　　　　　　°，∠AEN=　　　　　　°，∠BEC+∠AEN=　　　　　　°．‎ ‎（2）若∠BEB′=m°，则（1）中∠BEC+∠AEN的值是否改变？请说明你的理由．‎ ‎（3）将∠ECF对折，点E刚好落在F处，且折痕与B′C重合，求∠DNA′．‎ ‎17．如图△ABC中，∠B=60°，∠C=78°，点D在AB边上，点E在AC边上，且DE∥BC，将△ADE沿DE折叠，点A对应点为F点．‎ ‎（1）若点A落在BC边上（如图1），求证：△BDF是等边三角形；‎ ‎（2）若点A落在三角形外（如图2），且CF∥AB，求△CEF各内角的度数．‎ ‎18．如图1，四边形OABC中，OA=a，OC=3，BC=2，∠AOC=∠BCO=90°，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与 OC所成的角设为θ，将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处（如图1）．‎ ‎（1）若折叠后点D恰为AB的中点（如图2），则θ=　　　　　　；‎ ‎（2）若θ=45°，四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠后，点B落在点四边形OABC的边AB上的E处（如图3），求a的值．‎ ‎19．在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D、E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′．‎ ‎（1）如图（1），如果点B′和顶点A重合，求CE的长；‎ ‎（2）如图（2），如果点B′和落在AC的中点上，求CE的长．‎ ‎20．把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF．‎ ‎（1）连接BE，求证：四边形BFDE是菱形；‎ ‎（2）若AB=8cm，BC=16cm，求线段DF和EF的长．‎ ‎21．如图，矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿线段AB向点B运动，连接DP，把∠A沿DP折叠，使点A落在点A′处．求出当△BPA′为直角三角形时，点P运动的时间．‎ ‎22．在矩形ABCD中，=a，点G，H分别在边AB，DC上，且HA=HG，点E为AB边上的一个动点，连接HE，把△AHE沿直线HE翻折得到△FHE．如图1，当DH=DA时，‎ ‎（1）填空：∠HGA=　　　　　　度；‎ ‎（2）若EF∥HG，求∠AHE的度数，并求此时a的最小值；‎ ‎23．如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，点B落在A1处．剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，点B1落在A2处．剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．‎ 小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．‎ ‎（1）情形二中，∠B与∠C的等量关系　　　　　　．‎ ‎（2）若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C的等量关系　　　　　　．‎ ‎（3）如果一个三角形的最小角是4°，直接写出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．‎ 答：　　　　　　．‎ ‎24．在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合（如图），（1）求证：四边形BEDF是菱形；‎ ‎（2）求折痕EF的长．‎ ‎25．如图1，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK，KB交MN于O．‎ ‎（1）若∠1=80°，求∠MKN的度数；‎ ‎（2）当B与D重合时，画出图形，并求出∠KON的度数；‎ ‎（3）△MNK的面积能否小于2？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由．‎ ‎26．七年级科技兴趣小组在“快乐星期四”举行折纸比赛，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条的反面）：‎ 如果由信纸折成的长方形纸条（图①）长为26厘米，回答下列问题：‎ ‎（1）如果长方形纸条的宽为2厘米，并且开始折叠时起点M与点A的距离为3厘米，那么在图②中，BM=　　　　　　厘米；在图④中，BM=　　　　　　厘米．‎ ‎（2）如果信纸折成的长方形纸条宽为2cm，为了保证能折成图④形状（即纸条两端均刚好到达点P），纸条长至少多少厘米？纸条长最小时，长方形纸条面积是多少？‎ ‎（3）如果不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是对称图形，假设长方形纸条的宽为x厘米，试求在开始折叠时（图①）起点M与点A的距离（用含x的代数式表示）．（温馨提示：别忘了用草稿纸来折一折哦！）‎ ‎27．将四张形状，大小相同的长方形纸片分别折叠成如图所示的图形，请仔细观察重叠部分的图形特征，并解决下列问题：‎ ‎（1）观察图①，②，③，④，∠1和∠2有怎样的关系？并说明你的依据．‎ ‎（2）猜想图③中重叠部分图形△MBD的形状（按边），验证你的猜想．‎ ‎（3）若图④中∠1=60°，猜想重叠部分图形△MEF的形状（按边），验证你的猜想．‎ ‎28．如图，长方形纸片ABCD中，AB=10，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点在边BC上．‎ ‎（1）如图（1），当折痕的另一端F在AB边上且AE=5时，求AF的长；‎ ‎（2）如图（2），当折痕的另一端F在AD边上且BG=13时，求AF的长．‎ ‎29．矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的B′处，再沿B′G折叠四边形，使B′D边与B′F重合，且B′D′过点F．已知AB=4，AD=1‎ ‎（1）试探索EF与B′G的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）若四边形EFGB′是菱形，求∠BFE的度数；‎ ‎（3）若点D′与点F重合，求此时图形重叠部分的面积．‎ ‎30．（1）操作发现：‎ 如图①，在Rt△ABC中，∠C=2∠B=90°，点D是BC上一点，沿AD折叠△ADC，使得点C恰好落在AB上的点E处，请写出AB、AC、CD之间的关系　　　　　　‎ ‎（2）问题解决：‎ 如图②，若（1）中∠C≠90°，其他条件不变，请猜想AB、AC、CD之间的关系，并证明你的结论；‎ ‎（3）类比探究：‎ 如图③，在四边形ABCD中，∠B=120°，∠D=90°，AB=BC，AD=DC，连接AC，点E是CD上一点，沿AE折叠，使得点D正好落在AC上的点F处，若BC=3，直接写出DE的长．‎ ‎　‎ 翻折问题---解答题综合 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．解答题（共30小题）‎ ‎1．（2016•安徽模拟）△AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，A（0，﹣3），B（﹣2，0），O是坐标原点．‎ ‎（1）将△AOB先作其关于x轴的对称图形，再把新图形向右平移3个单位，在图中画出两次变换后所得的图形△AO1B1；‎ ‎（2）若点M（x，y）在△AOB上，则它随上述两次变换后得到点M1，则点M1的坐标是　（x+3，﹣y）　．‎ ‎【分析】（1）首先确定A、B、C三点关于x轴的对称点位置，再向右平移3个单位找到对应点位置，然后再连接即可；‎ ‎（2）根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标相反可得点M（x，y）关于x轴的对称图形上的点的坐标为（x，﹣y），再向右平移3个单位，点的横坐标+3，纵坐标不变．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示：‎ ‎（2）点M（x，y）关于x轴的对称图形上的点的坐标为（x，﹣y），再向右平移3个单位得到点M1的坐标是（x+3，﹣y）．‎ 故答案为：（x+3，﹣y）．‎ ‎【点评】此题主要考查了作图﹣﹣平移变换和轴对称变换，关键是掌握点的坐标的变化规律．‎ ‎　‎ ‎2．（2016•贵阳模拟）（1）数学课上，老师出了一道题，如图①，Rt△ABC中，∠C=90°，，求证：∠B=30°，请你完成证明过程．‎ ‎（2）如图②，四边形ABCD是一张边长为2的正方形纸片，E、F分别为AB、CD的中点，沿过点D的折痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，折痕交AE于点G，请运用（1）中的结论求∠ADG的度数和AG的长．‎ ‎（3）若矩形纸片ABCD按如图③所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O（如图④），当AB=6，求EF的长．‎ ‎【分析】（1）Rt△ABC中，根据sinB═=，即可证明∠B=30°；‎ ‎（2）求出∠FA′D的度数，利用翻折变换的性质可求出∠ADG的度数，在Rt△A'FD中求出A'F，得出A'E，在Rt△A'EG中可求出A'G，利用翻折变换的性质可得出AG的长度．‎ ‎（3）先判断出AD=AC，得出∠ACD=30°，∠DAC=60°，从而求出AD的长度，根据翻折变换的性质可得出∠DAF=∠FAO=30°，在Rt△ADF中求出DF，继而得出FO，同理可求出EO，再由EF=EO+FO，即可得出答案．‎ ‎【解答】（1）证明：Rt△ABC中，∠C=90°，，‎ ‎∵sinB==，‎ ‎∴∠B=30°；‎ ‎（2）解：∵正方形边长为2，E、F为AB、CD的中点，‎ ‎∴EA=FD=×边长=1，‎ ‎∵沿过点D的抓痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，‎ ‎∴A′D=AD=2，‎ ‎∴=，‎ ‎∴∠FA′D=30°，‎ 可得∠FDA′=90°﹣30°=60°，‎ ‎∵A沿GD折叠落在A′处，‎ ‎∴∠ADG=∠A′DG，AG=A′G，‎ ‎∴∠ADG===15°，‎ ‎∵A′D=2，FD=1，‎ ‎∴A′F==，‎ ‎∴EA′=EF﹣A′F=2﹣，‎ ‎∵∠EA′G+∠DA′F=180°﹣∠GA′D=90°，‎ ‎∴∠EA′G=90°﹣∠DA′F=90°﹣30°=60°，‎ ‎∴∠EGA′=90°﹣∠EA′G=90°﹣60°=30°，‎ 则A′G=AG=2EA′=2（2﹣）；‎ ‎（3）解：∵折叠后B、D两点恰好重合于一点O，‎ ‎∴AO=AD=CB=CO，‎ ‎∴DA=，‎ ‎∵∠D=90°，‎ ‎∴∠DCA=30°，‎ ‎∵AB=CD=6，‎ 在Rt△ACD中，=tan30°，‎ 则AD=DC•tan30°=6×=2，‎ ‎∵∠DAF=∠FAO=∠DAO==30°，‎ ‎∴=tan30°=，‎ ‎∴DF=AD=2，‎ ‎∴DF=FO=2，‎ 同理EO=2，‎ ‎∴EF=EO+FO=4．‎ ‎【点评】本题考查了翻折变换的知识，涉及了含30°角的直角三角形的性质、平行四边形的性质，综合考察的知识点较多，注意将所学知识融会贯通．‎ ‎　‎ ‎3．（2016•贵阳模拟）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是射线CB上的一个动点，把△DCE沿DE折叠，点C的对应点为C′．‎ ‎（1）若点C′刚好落在对角线BD上时，BC′=　4　； ‎ ‎（2）若点C′刚好落在线段AB的垂直平分线上时，求CE的长；‎ ‎（3）若点C′刚好落在线段AD的垂直平分线上时，求CE的长．‎ ‎【分析】（1）根据点B，C′，D在同一直线上得出BC′=BD﹣DC′=BD﹣DC求出即可；‎ ‎（2）利用垂直平分线的性质得出CC′=DC′=DC，则△DC′C是等边三角形，进而利用勾股定理得出答案；‎ ‎（3）利用①当点C′在矩形内部时，②当点C′在矩形外部时，分别求出即可．‎ ‎【解答】解：（1）如图1，∵点B，C′，D在同一直线上，‎ ‎∴BC′=BD﹣DC′=BD﹣DC=10﹣6=4；‎ 故答案为：4；‎ ‎（2）如图2，连接CC′，‎ ‎∵点C′在AB的垂直平分线上，‎ ‎∴点C′在DC的垂直平分线上，‎ ‎∴CC′=DC′=DC，则△DC′C是等边三角形，‎ 设CE=x，易得DE=2x，‎ 由勾股定理得：（2x）2﹣x2=62，‎ 解得：x=2，‎ 即CE的长为2；‎ ‎（3）作AD的垂直平分线，交AD于点M，交BC于点N，分两种情况讨论：‎ ‎①当点C′在矩形内部时，如图3，‎ ‎∵点C′在AD的垂直平分线上，‎ ‎∴DM=4，‎ ‎∵DC′=6，‎ 由勾股定理得：MC′=2，‎ ‎∴NC′=6﹣2，‎ 设EC=y，则C′E=y，NE=4﹣y，‎ 故NC′2+NE2=C′E2，‎ 即（6﹣2）2+（4﹣y）2=y2，‎ 解得：y=9﹣3，‎ 即CE=9﹣3；‎ ‎②当点C′在矩形外部时，如图4，‎ ‎∵点C′在AD的垂直平分线上，‎ ‎∴DM=4，‎ ‎∵DC′=6，‎ 由勾股定理得：MC′=2，‎ ‎∴NC′=6+2，‎ 设EC=z，则C′E=a，NE=z﹣4‎ 故NC′2+NE2=C′E2，‎ 即（6+2）2+（z﹣4）2=z2，‎ 解得：z=9+3，‎ 即CE=9+3，‎ 综上所述：CE的长为9±3．‎ ‎【点评】此题主要考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识；利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键．‎ ‎　‎ ‎4．（2015•南充）如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠（AP＞AM），点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处．‎ ‎（1）判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？（不需说明理由）‎ ‎（2）如果AM=1，sin∠DMF=，求AB的长．‎ ‎【分析】（1）由矩形的性质得∠A=∠B=∠C=90°，由折叠的性质和等角的余角相等，可得∠BPQ=∠AMP=∠DQC，所以△AMP∽△BPQ∽△CQD；‎ ‎（2）先证明MD=MQ，然后根据sin∠DMF==，设DF=3x，MD=5x，表示出AP、BP、BQ，再根据△AMP∽△BPQ，列出比例式解方程求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）△AMP∽△BPQ∽△CQD，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠A=∠B=∠C=90°，‎ 根据折叠的性质可知：∠APM=∠EPM，∠EPQ=∠BPQ，‎ ‎∴∠APM+∠BPQ=∠EPM+∠EPQ=90°，‎ ‎∵∠APM+∠AMP=90°，‎ ‎∴∠BPQ=∠AMP，‎ ‎∴△AMP∽△BPQ，‎ 同理：△BPQ∽△CQD，‎ 根据相似的传递性，△AMP∽△CQD；‎ ‎（2）∵AD∥BC，‎ ‎∴∠DQC=∠MDQ，‎ 根据折叠的性质可知：∠DQC=∠DQM，‎ ‎∴∠MDQ=∠DQM，‎ ‎∴MD=MQ，‎ ‎∵AM=ME，BQ=EQ，‎ ‎∴BQ=MQ﹣ME=MD﹣AM，‎ ‎∵sin∠DMF==，‎ ‎∴设DF=3x，MD=5x，‎ ‎∴BP=PA=PE=，BQ=5x﹣1，‎ ‎∵△AMP∽△BPQ，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 解得：x=（舍）或x=2，‎ ‎∴AB=6．‎ ‎【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、翻折的性质以及锐角三角函数的综合运用，在求AB长的问题中，关键是恰当的设出未知数表示出一对相似三角形的对应边列比例式．‎ ‎　‎ ‎5．（2015•漳州）如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作分、FG∥CD，交AE于点G连接DG．‎ ‎（1）求证：四边形DEFG为菱形；‎ ‎（2）若CD=8，CF=4，求的值．‎ ‎【分析】（1）根据折叠的性质，易知DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，由FG∥CD，可得∠1=∠3，易证FG=FE，故由四边相等证明四边形DEFG为菱形；‎ ‎（2）在Rt△EFC中，用勾股定理列方程即可CD、CE，从而求出的值．‎ ‎【解答】（1）证明：由折叠的性质可知：DG=FG，ED=EF，∠1=∠2，‎ ‎∵FG∥CD，‎ ‎∴∠2=∠3，‎ ‎∴FG=FE，‎ ‎∴DG=GF=EF=DE，‎ ‎∴四边形DEFG为菱形；‎ ‎（2）解：设DE=x，根据折叠的性质，EF=DE=x，EC=8﹣x，‎ 在Rt△EFC中，FC2+EC2=EF2，‎ 即42+（8﹣x）2=x2，‎ 解得：x=5，CE=8﹣x=3，‎ ‎∴=．‎ ‎【点评】本题主要考查了折叠的性质、菱形的判定以及勾股定理，熟知折叠的性质和菱形的判定方法是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（2015•江西校级模拟）如图1，一张菱形纸片EHGF，点A、D、C、B分别是EF、EH、HG、GF边上的点，连接AD、DC、CB、AB、DB，且AD=，AB=；如图2，若将△FAB、△AED、△DHC、△CGB分别沿AB、AD、DC、CB对折，点E、F都落在DB上的点P处，点H、G都落在DB上的点Q处．‎ ‎（1）求证：四边形ADCB是矩形；‎ ‎（2）求菱形纸片EHGF的面积和边长．‎ ‎【分析】（1）由对折可知∠EAB=∠PAB，∠FAD=∠PAD，利用等角关系可求出∠BAD=90°，同理可求出∠ADC=∠ABC=90°．即可得出四边形ADCB是矩形．‎ ‎（2）由对折可知S菱形EHGF=2S矩形ADCB即可求出EHGF的面积，由对折可得出点A，C为中点，连接AC，得FG=AC=BD．利用勾股定理就可得出边长．‎ ‎【解答】（1）证明：由对折可知∠EAB=∠PAB，∠FAD=∠PAD，‎ ‎∴2（∠PAB+∠PAD）=180°，‎ 即∠BAD=∠PAB+∠PAD=90°．‎ 同理可得，∠ADC=∠ABC=90°．‎ ‎∴四边形ADCB是矩形．‎ ‎（2）解：由对折可知：△AEB≌△APB，△AFD≌△APD，△CGD≌△CQD，△CHB≌△CQB．‎ ‎∴S菱形EHGF=2S矩形ADCB=．‎ 又∵AE=AP=AF，‎ ‎∴A为EF的中点．同理有C为GH的中点．即AF=CG，‎ 且AF∥CG，如图2，连接AC，‎ ‎∴四边形ACGF为平行四边形，得FG=AC=BD．‎ ‎∴．‎ ‎【点评】本题主要考查了翻折变换，勾股定理，菱形的性质及矩形的判定，解题的关键是折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．‎ ‎　‎ ‎7．（2015•平顶山二模）（1）操作发现：‎ 如图①，在Rt△ABC中，∠C=2∠B=90°，点D是BC上一点，沿AD折叠△ADC，使得点C恰好落在AB上的点E处．请写出AB、AC、CD之间的关系　AB=AC+CD　；‎ ‎（2）问题解决：‎ 如图②，若（1）中∠C≠90°，其他条件不变，请猜想AB、AC、CD之间的关系，并证明你的结论；‎ ‎（3）类比探究：‎ 如图③，在四边形ABCD中，∠B=120°，∠D=90°，AB=BC，AD=DC，连接AC，点E是CD上一点，沿AE折叠，使得点D正好落在AC上的F处，若BC=，直接写出DE的长．‎ ‎【分析】（1）如图①，设CD=t，由∠C=2∠B=90°易得△ABC为等腰直角三角形，则AC=BC，AB=AC，再根据折叠的性质得DC=DE，∠AED=∠C=90°，又可判断△BDE为等腰直角三角形，所以BD=DE，则BD=t，AC=BC=t+t=（+1）t，AB=•（+1）t=（2+）t，从而得到AB=AC+CD；‎ ‎（2）如图②，根据折叠的性质得DC=DE，∠AED=∠C，AE=AC，而∠C=2∠B，则∠AED=2∠B，根据三角形外角性质得∠AED=∠B+∠BDE，所以∠B=∠BDE，则EB=ED，所以ED=CD，于是得到AB=AE+BE=AC+CD；‎ ‎（3）作BH⊥AC于H，如图③，设DE=x，利用（1）的结论得AC=（2+）x，根据等腰三角形的性质由BA=BC，∠CBA=120°得到∠BCA=∠BAC=30°，且CH=AH=AC=x，在Rt△BCH中，利用30度的余弦得cos30°==，即x=（2+2），然后解方程求出x即可．‎ ‎【解答】解：（1）如图①，设CD=t，‎ ‎∵∠C=2∠B=90°，‎ ‎∴∠B=45°，∠BAC=45°，‎ ‎∴△ABC为等腰直角三角形，‎ ‎∴AC=BC，AB=AC，‎ ‎∵AD折叠△ADC，使得点C恰好落在AB上的点E处，‎ ‎∴DC=DE，∠AED=∠C=90°，‎ ‎∴△BDE为等腰直角三角形，‎ ‎∴BD=DE，‎ ‎∴BD=t，‎ ‎∴AC=BC=t+t=（+1）t，‎ ‎∴AB=•（+1）t=（2+）t，‎ ‎∴AB=AC+CD；‎ 故答案为AB=AC+CD；‎ ‎（2）AB=AC+CD．理由如下：如图②，‎ ‎∵AD折叠△ADC，使得点C恰好落在AB上的点E处，‎ ‎∴DC=DE，∠AED=∠C，AE=AC，‎ ‎∵∠C=2∠B，‎ ‎∴∠AED=2∠B，‎ 而∠AED=∠B+∠BDE，‎ ‎∴∠B=∠BDE，‎ ‎∴EB=ED，‎ ‎∴ED=CD，‎ ‎∴AB=AE+BE=AC+CD；‎ ‎（3）作BH⊥AC于H，如图③，‎ 设DE=x，由（1）的结论得AC=（2+）x，‎ ‎∵BA=BC，∠CBA=120°，‎ ‎∴∠BCA=∠BAC=30°，‎ ‎∵BH⊥AC，‎ ‎∴CH=AH=AC=x，‎ 在Rt△BCH中，cos30°==，‎ ‎∴x=（2+2），‎ 解得x=，‎ 即DE的长为．‎ ‎【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了等腰三角形的性质和解直角三角形．‎ ‎　‎ ‎8．（2015•潍坊校级一模）如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，联结BP、BH．‎ ‎（1）求证：∠APB=∠BPH；‎ ‎（2）求证：AP+HC=PH；‎ ‎（3）当AP=1时，求PH的长．‎ ‎【分析】（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案；‎ ‎（2）首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出AP+HC=PH；‎ ‎（3）设QH=HC=x，则DH=4﹣x．在Rt△PDH中，根据勾股定理列出关于x的方程求解即可．‎ ‎【解答】（1）证明：∵PE=BE，‎ ‎∴∠EPB=∠EBP，‎ 又∵∠EPH=∠EBC=90°，‎ ‎∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP．‎ 即∠BPH=∠PBC．‎ 又∵四边形ABCD为正方形 ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴∠APB=∠PBC．‎ ‎∴∠APB=∠BPH．‎ ‎（2）证明：过B作BQ⊥PH，垂足为Q，‎ 由（1）知，∠APB=∠BPH，‎ 在△ABP与△QBP中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABP≌△QBP（AAS），‎ ‎∴AP=QP，BA=BQ．‎ 又∵AB=BC，‎ ‎∴BC=BQ．‎ 又∵∠C=∠BQH=90°，‎ ‎∴△BCH和△BQH是直角三角形，‎ 在Rt△BCH与Rt△BQH中，‎ ‎∴Rt△BCH≌Rt△BQH（HL），‎ ‎∴CH=QH，‎ ‎∴AP+HC=PH．‎ ‎（3）解：由（2）知，AP=PQ=1，‎ ‎∴PD=3．‎ 设QH=HC=x，则DH=4﹣x．‎ 在Rt△PDH中，PD2+DH2=PH2，‎ 即32+（4﹣x）2=（x+1）2，‎ 解得x=2.4，‎ ‎∴PH=3.4．‎ ‎【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，熟练利用全等三角形的判定得出对应相等关系是解题关键．‎ ‎　‎ ‎9．（2015•江西样卷）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点B落在AD边上一点E处，折痕的两端点分别在边AB，BC上（含端点），且AB=6，BC=10，设AE=x．‎ ‎（1）当BF的最小值等于　6　时，才能使点B落在AD上一点E处；‎ ‎（2）当点F与点C重合时，求AE的长；‎ ‎（3）当AE=3时，点F离点B有多远？‎ ‎【分析】（1）当点G与点A重合时，BF的值最小，即可求出BF的最小值等于6；‎ ‎（2）在RT△CDE中运用勾股定理求出DE，再利用AE=AD﹣DE即可求出答案；‎ ‎（3）作FH⊥AD于点H，设AG=x，利用勾股定理可先求出AG，可得EG，利用△AEG∽△HFE，由=可求出EF，即得出BF的值．‎ ‎【解答】解：（1）点G与点A重合时，如图1所示，四边形ABFE是正方形，此时BF的值最小，即BF=AB=6．当BF的最小值等于6时，才能使B点落在AD上一点E处；‎ 故答案为：6．‎ ‎（2）如图2所示，‎ ‎∵在Rt△CDE中，CE=BC=10，CD=6，‎ ‎∴DE===8，‎ ‎∴AE=AD﹣DE=10﹣8=2，‎ ‎（3）如图3所示，作FH⊥AD于点H，‎ AE=3，设AG=y，则BG=EG=6﹣y，‎ 根据勾股定理得：‎ ‎（6﹣y）2=y2+9，‎ 解得：y=，‎ ‎∴EG=BG=，‎ 又△AEG∽△HFE，‎ ‎∴=，‎ ‎∴，‎ ‎∴EF=，‎ ‎∴BF=EF=．‎ ‎【点评】本题主要考查了翻折变换，解题的关键是折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．‎ ‎　‎ ‎10．（2015秋•苍溪县期末）如图，三角形纸片中，AB=8cm，BC=6cm，AC=5cm．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，求△ADE的周长．‎ ‎【分析】根据翻折变换的性质可得DE=CD，BE=BC，然后求出AE，再根据三角形的周长列式求解即可．‎ ‎【解答】解：∵BC沿BD折叠点C落在AB边上的点E处，‎ ‎∴DE=CD，BE=BC，‎ ‎∵AB=8cm，BC=6cm，‎ ‎∴AE=AB﹣BE=AB﹣BC=8﹣6=2cm，‎ ‎∴△ADE的周长=AD+DE+AE，‎ ‎=AD+CD+AE，‎ ‎=AC+AE，‎ ‎=5+2，‎ ‎=7cm．‎ ‎【点评】本题考查了翻折变换的性质，熟记翻折前后两个图形能够完全重合得到相等的线段是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎11．（2015春•无棣县期末）【问题提出】如果我们身边没有量角器和三角板，如何作15°大小的角呢？‎ ‎【实践操作】如图．‎ 第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开，得到AD∥EF∥BC．‎ 第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM．折痕BM 与折痕EF相交于点P．连接线段BN，PA，得到PA=PB=PN．‎ ‎【问题解决】‎ ‎（1）求∠NBC的度数；‎ ‎（2）通过以上折纸操作，还得到了哪些不同角度的角？请你至少再写出两个（除∠NBC的度数以外）．‎ ‎（3）你能继续折出15°大小的角了吗？说说你是怎么做的．‎ ‎【分析】（1）根据折叠性质由对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合得到点P为BM的中点，即BP=PM，再根据矩形性质得∠BAM=90°，∠ABC=90°，则根据直角三角形斜边上的中线性质得PA=PB=PM，再根据折叠性质由折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM．折痕BM得到PA=PB=PM=PN，∠1=∠2，∠BNM=∠BAM=90°，利用等要三角形的性质得∠2=∠4，利用平行线的性质由EF∥BC得到∠4=∠3，则∠2=∠3，易得∠1=∠2=∠3=∠ABC=30°；‎ ‎（2）利用互余得到∠BMN=60°，根据折叠性质易得∠AMN=120°；‎ ‎（3）把30度的角对折即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，‎ ‎∴点P为BM的中点，即BP=PM，‎ ‎∵四边形ABCD为矩形，‎ ‎∴∠BAM=90°，∠ABC=90°，‎ ‎∴PA=PB=PM，‎ ‎∵折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM．折痕BM，‎ ‎∴PA=PB=PM=PN，∠1=∠2，∠BNM=∠BAM=90°，‎ ‎∴∠2=∠4，‎ ‎∵EF∥BC，‎ ‎∴∠4=∠3，‎ ‎∴∠2=∠3，‎ ‎∴∠1=∠2=∠3=∠ABC=30°，‎ 即∠NBC=30°；‎ ‎（2）通过以上折纸操作，还得到了∠BMN=60°，∠AMN=120°等；‎ ‎（3）折叠纸片，使点A落在BM上，则可得到15°的角．‎ ‎【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和直角三角形斜边上的中线性质．‎ ‎　‎ ‎12．（2015春•大同期末）已知矩形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，点E、F分别在边AD、BC上，连接B、E，D、F．分别把Rt△BAE和Rt△DCF沿 BE，DF折叠成如图所示位置．‎ ‎（1）若得到四边形 BFDE是菱形，求AE的长．‎ ‎（2）若折叠后点A′和点C′恰好落在对角线BD上，求AE的长．‎ ‎【分析】（1）由矩形的性质得出∠A=90°，设AE=xcm，则ED=（4﹣x）cm，由菱形的性质得出EB=ED=4﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可；‎ ‎（2）由勾股定理求出BD，由折叠的性质得出A′E=AE，∠EA′B=∠A=90°，A′B=AB=3cm，求出A′D，设AE=A′E=x，则ED=（4﹣x）cm，在Rt△EA′D中，由勾股定理得出方程，解方程即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠A=90°，‎ 设AE=xcm，则ED=（4﹣x）cm，‎ ‎∵四边形EBFD是菱形，‎ ‎∴EB=ED=4﹣x，‎ 由勾股定理得：AB2+AE2=BE2，‎ 即32+x2=（4﹣x）2，‎ 解得：x=，‎ ‎∴AE=cm；‎ ‎（2）根据勾股定理得：BD==5cm，‎ 由折叠的性质得：A′E=AE，∠EA′B=∠A=90°，A′B=AB=3cm，‎ ‎∴∠EA′D=90°，A′D=5﹣3=2（cm），‎ 设AE=A′E=x，则ED=（4﹣x）cm，‎ 在Rt△EA′D中，A′E2+A′D2=ED2，‎ 即x2+22=（4﹣x）2，‎ 解得：x=，‎ ‎∴AE=cm．‎ ‎【点评】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理、菱形的性质；熟练掌握翻折变换和矩形、菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎13．（2015春•廊坊期末）如图1，矩形纸片ABCD的边长AB=4cm，AD=2cm．同学小明现将该矩形纸片沿EF折痕，使点A与点C重合，折痕后在其一面着色（如图2），观察图形对比前后变化，回答下列问题：‎ ‎（1）GF　=　FD：（直接填写=、＞、＜）‎ ‎（2）判断△CEF的形状，并说明理由；‎ ‎（3）小明通过此操作有以下两个结论：‎ ‎①四边形EBCF的面积为4cm2‎ ‎②整个着色部分的面积为5.5cm2‎ 运用所学知识，请论证小明的结论是否正确．‎ ‎【分析】（1）根据翻折的性质解答；‎ ‎（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠AEF=∠CFE，再根据翻折的性质可得∠AEF=∠FEC，从而得到∠CFE=∠FEC，根据等角对等边可得CE=CF，从而得解；‎ ‎（3）①根据翻折的性质可得AE=EC，然后求出AE=CF，再根据图形的面积公式列式计算即可得解；‎ ‎②设GF=x，表示出CF，然后在Rt△CFG中，利用勾股定理列式求出GF，根据三角形的面积公式求出SGFC，然后计算即可得解．‎ ‎【解答】解：（1）由翻折的性质，GD=FD；‎ ‎（2）△CEF是等腰三角形．‎ ‎∵矩形ABCD，‎ ‎∴AB∥CD，‎ ‎∴∠AEF=∠CFE，‎ 由翻折的性质，∠AEF=∠FEC，‎ ‎∴∠CFE=∠FEC，‎ ‎∴CF=CE，‎ 故△CEF为等腰三角形；‎ ‎（3）①由翻折的性质，AE=EC，‎ ‎∵EC=CF，‎ ‎∴AE=CF，‎ ‎∴S四边形EBCF=（EB+CF）•BC=AB•BC=×4×2×=4cm2；‎ ‎②设GF=x，则CF=4﹣x，‎ ‎∵∠G=90°，‎ ‎∴x2+22=（4﹣x）2，‎ 解得x=1.5，‎ ‎∴SGFC=×1.5×2=1.5，‎ S着色部分=1.5+4=5.5；‎ 综上所述，小明的结论正确．‎ ‎【点评】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，以及勾股定理的应用，熟记翻折前后的两个图形能够完全重合是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．（2015春•娄底期末）操作：准备一张长方形纸，按下图操作：‎ ‎（1）把矩形ABCD对折，得折痕MN；‎ ‎（2）把A折向MN，得Rt△AEB；‎ ‎（3）沿线段EA折叠，得到另一条折痕EF，展开后可得到△EBF．‎ 探究：△EBF的形状，并说明理由．‎ ‎【分析】由（1）得出M、N分别是AB、DC的中点，由（2）得出BE=2AP，再由（3）得出BF=2AP，证出BE=BF，因此∠1=∠2，由角的关系求出∠1=60°，即可证出△EBF为等边三角形．‎ ‎【解答】解：△EBF是等边三角形；理由如下：如图所示：由操作（1）得：M、N分别是AB、DC的中点，‎ ‎∴在Rt△ABE中，P为BE的中点，AP是斜边上的中线，‎ ‎∴AP=BP=BE，即BE=2AP，‎ 在△EBF中，A是EF的中点，‎ ‎∴AP=BF，即BF=2AP，‎ ‎∴BE=BF，‎ ‎∴∠1=∠2，‎ 又∵∠2=∠3，2∠1+∠3=180°，‎ ‎∴3∠1=180°，‎ ‎∴∠1=60°，‎ ‎∴△EBF为等边三角形．‎ ‎【点评】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、直角三角形斜边上的中线性质、等边三角形的判定；熟练掌握翻折变换和矩形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．（2015秋•兴化市校级期末）（1）如图1，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点A′的位置，若∠A=40°，求∠1+∠2的度数；‎ ‎（2）通过（1）的计算你发现∠1+∠2与∠A有什么数量关系？请写出这个数量关系，并说明这个数量关系的正确性；‎ ‎（3）将图1中△ABC纸片的三个内角都进行同样的折叠．‎ ‎ ①如果折叠后三个顶点A、B、C重合于一点O时，如图2，则图中∠α+∠β+∠γ=　180°　；∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=　360°　；‎ ‎ ②如果折叠后三个顶点A、B、C不重合，如图3，则①中的关于“∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6”的结论是否仍然成立？请说明你的理由．‎ ‎【分析】（1）根据将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点A′的位置，若∠A=40°，可以求得∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE，进而可以求得∠1+∠2的度数；‎ ‎（2）先写出数量关系，然后说明理由，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点A′的位置，可以得到折叠后的各个角的关系，从而可以解答本题；‎ ‎（3）根据第二问的推导，可以进行这一问结论的推导，从而可以解答本题．‎ ‎【解答】解：（1）∵∠A=40°，‎ ‎∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE=140°，‎ ‎∴∠1+∠2=360°﹣（∠AED+∠ADE）﹣（∠A′ED+∠A′DE）=80°，‎ 即∠1+∠2的度数是80°；‎ ‎（2）∠1+∠2=2∠A，‎ 理由：∵将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点A′的位置，‎ ‎∴∠AED+∠ADE=∠A′ED+∠A′DE，∠A=∠A′，‎ ‎∴∠1+∠2‎ ‎=360°﹣（∠AED+∠ADE）﹣（∠A′ED+∠A′DE）‎ ‎=360°﹣（180°﹣∠A）﹣（180°﹣∠A′）‎ ‎=360°﹣180°+∠A﹣180°+∠A′‎ ‎=2∠A，‎ 即∠1+∠2=2∠A；‎ ‎（3）①由题意可得，∠α+∠β+∠γ=360°﹣180°=180°，‎ ‎∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2∠A+2∠B+2∠C=2（∠A+∠B+∠C）=2×180°=360°，‎ 故答案为：180°，360°；‎ ‎②如果折叠后三个顶点A、B、C不重合，如图3，则①中的关于“∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6”的结论仍然成立；‎ 理由：∵∠1+∠2=2∠A，∠3+∠4=2∠B，∠5+∠6=2∠C，‎ ‎∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6‎ ‎=2∠A+2∠B+2∠C ‎=2（∠A+∠B+∠C）‎ ‎=360°，‎ 即如果折叠后三个顶点A、B、C不重合，如图3，则①中的关于“∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6”的结论仍然成立．‎ ‎【点评】本题考查翻折问题、角的计算，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．‎ ‎　‎ ‎16．（2015秋•海珠区期末）如图，长方形纸片ABCD，点E、F分别在边AB、CD上，连接EF，将∠BEF对折，点B落在直线EF上的B′处，得到折痕EC，将点A落在直线EF上的点A′处，得到折痕EN．‎ ‎（1）若∠BEB′=110°，则∠BEC=　55　°，∠AEN=　35　°，∠BEC+∠AEN=　90　°．‎ ‎（2）若∠BEB′=m°，则（1）中∠BEC+∠AEN的值是否改变？请说明你的理由．‎ ‎（3）将∠ECF对折，点E刚好落在F处，且折痕与B′C重合，求∠DNA′．‎ ‎【分析】（1）根据折叠的性质可求出∠BEC和∠AEN的度数，然后求出两角之和；‎ ‎（2）不变．根据折叠的性质可得∠BEC=∠B'EC，根据∠BEB′=m°，可得∠BEC=∠B'EC=∠BEB′=m°，然后求出∠AEN，最后求和进行判断；‎ ‎（3）根据折叠的性质可得∠B'CF=∠B'CE，∠B'CE=∠BCE，进而得出∠B'CF=∠B'CE=∠BCE，求出其度数，在Rt△BCE中，可知∠BEC与∠BCE互余，然后求出∠BEC的度数，最后根据平角的性质和折叠的性质求解．‎ ‎【解答】解：（1）由折叠的性质可得，∠BEC=∠B'EC，∠AEN=∠A'EN，‎ ‎∵∠BEB′=110°，‎ ‎∴∠AEA'=180°﹣110°=70°，‎ ‎∴∠BEC=∠B'EC=∠BEB′=55°，∠AEN=∠A'EN=∠AEA'=35°．‎ ‎∴∠BEC+∠AEN=55°+35°=90°；‎ ‎（2）不变．‎ 由折叠的性质可得：∠BEC=∠B'EC，∠AEN=∠A'EN，‎ ‎∵∠BEB′=m°，‎ ‎∴∠AEA'=180°﹣m°，‎ 可得∠BEC=∠B'EC=∠BEB′=m°，∠AEN=∠A'EN=∠AEA'=（180°﹣m°），‎ ‎∴∠BEC+∠AEN=m°+（180°﹣m°）=90°，‎ 故∠BEC+∠AEN的值不变；‎ ‎（3）由折叠的性质可得：∠B'CF=∠B'CE，∠B'CE=∠BCE，‎ ‎∴∠B'CF=∠B'CE=∠BCE=×90°=30°，‎ 在Rt△BCE中，‎ ‎∵∠BEC与∠BCE互余，‎ ‎∴∠BEC=90°﹣∠BCE=90°﹣30°=60°，‎ ‎∴∠B'EC=∠BEC=60°，‎ ‎∴∠AEA'=180°﹣∠BEC﹣∠B'EC=180°﹣60°﹣60°=60°，‎ ‎∴∠AEN=∠AEA'=30°，‎ ‎∴∠ANE=90°﹣∠AEN=90°﹣30°=60°，‎ ‎∴∠ANE=∠A'NE=60°，‎ ‎∴∠DNA'=180°﹣∠ANE﹣∠A'NE=180°﹣60°﹣60°=60°．‎ 故答案为：55，35，90．‎ ‎【点评】本题考查了翻折变换，涉及了折叠的性质、余角和补角的知识，根据条件求出各角的度数是解答本题的关键．‎ ‎　‎ ‎17．（2015秋•香洲区期末）如图△ABC中，∠B=60°，∠C=78°，点D在AB边上，点E在AC边上，且DE∥BC，将△ADE沿DE折叠，点A对应点为F点．‎ ‎（1）若点A落在BC边上（如图1），求证：△BDF是等边三角形；‎ ‎（2）若点A落在三角形外（如图2），且CF∥AB，求△CEF各内角的度数．‎ ‎【分析】（1）利用平行线的性质得出∠ADE=60°，再利用翻折变换的性质得出∠ADE=∠EDF=60°，进而得出∠BDF=60°即可得出答案；‎ ‎（2）利用平行线的性质结合（1）中所求得出∠2，∠5+∠6的度数即可得出答案．‎ ‎【解答】（1）证明：如图1，∵∠B=60°，DE∥BC，‎ ‎∴∠ADE=60°，‎ ‎∵△ADE沿DE折叠，点A对应点为F点，‎ ‎∴∠ADE=∠EDF=60°，‎ ‎∴∠BDF=60°，‎ ‎∴△BDF是等边三角形；‎ ‎（2）解：如图2，由（1）得：∠1=60°，‎ ‎∵CF∥AB，‎ ‎∴∠2+∠3=60°，∠B=∠6=60°，‎ ‎∵∠B=60°，∠C=78°，‎ ‎∴∠A=∠3=42°，‎ ‎∴∠2=60°﹣42°=18°，‎ ‎∴∠5+∠6=60°+78°=138°，‎ ‎∴∠4=∠180°﹣18°﹣138°=24°．‎ ‎【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及平行线的性质和等边三角形的判定以及三角形内角和定理等知识，正确利用翻折变换的性质得出∠ADE=∠EDF是解题关键．‎ ‎　‎ ‎18．（2015秋•南京校级期中）如图1，四边形OABC中，OA=a，OC=3，BC=2，∠AOC=∠BCO=90°，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与 OC所成的角设为θ，将四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处（如图1）．‎ ‎（1）若折叠后点D恰为AB的中点（如图2），则θ=　30°　；‎ ‎（2）若θ=45°，四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠后，点B落在点四边形OABC的边AB上的E处（如图3），求a的值．‎ ‎【分析】（1）延长ND交OA的延长线于M，根据折叠性质得∠CON=∠DON=θ，∠ODN=∠C=90°，由点D为AB的中点得到D点为MN的中点，所以OD垂直平分MN，则OM=ON，根据等腰三角形的性质得∠MOD=∠NOD=θ，则∠θ+∠θ+∠θ=90°，计算得到∠θ=30°；‎ ‎（2）作ED⊥OA于D，根据折叠性质得AB⊥直线l，OD=OC=3，DE=BC=2，由于θ=45°，AB⊥直线l，即直线l平分∠AOC，则∠A=45°，所以△ADE为等腰直角三角形，则AD=DE=2，所以OA=OD+AD=3+2=5，即a=5．‎ ‎【解答】解：（1）如图2，延长ND交OA的延长线于M，‎ ‎∵四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠，点C落在点D处，‎ ‎∴∠CON=∠DON=θ，∠ODN=∠C=90°，‎ ‎∵点D为AB的中点，‎ ‎∴D点为MN的中点，‎ ‎∴OD垂直平分MN，‎ ‎∴OM=ON，‎ ‎∴∠MOD=∠NOD=θ，‎ ‎∴∠θ+∠θ+∠θ=90°，‎ ‎∴∠θ=30°；‎ 故答案为30°；‎ ‎（2）如图3，作ED⊥OA于D，‎ ‎∵四边形OABC的直角∠OCB沿直线l折叠后，点B落在点四边形OABC的边AB上的E处，‎ ‎∴AB⊥直线l，OD=OC=3，DE=BC=2，‎ ‎∵θ=45°，AB⊥直线l，‎ 即直线l平分∠AOC，‎ ‎∴∠A=45°，‎ ‎∴△ADE为等腰直角三角形，‎ ‎∴AD=DE=2，‎ ‎∴OA=OD+AD=3+2=5，‎ ‎∴a=5．‎ ‎【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了线段垂直平分线的性质．‎ ‎　‎ ‎19．（2015春•昆明校级期中）在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D、E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′．‎ ‎（1）如图（1），如果点B′和顶点A重合，求CE的长；‎ ‎（2）如图（2），如果点B′和落在AC的中点上，求CE的长．‎ ‎【分析】（1）如图（1），设CE=x，则BE=8﹣x；根据勾股定理列出关于x的方程，解方程即可解决问题．‎ ‎（2）如图（2），首先求出CB′=3；类比（1）中的解法，设出未知数，列出方程即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）如图（1），设CE=x，则BE=8﹣x；‎ 由题意得：AE=BE=8﹣x，‎ 由勾股定理得：x2+62=（8﹣x）2，‎ 解得：x=，‎ 即CE的长为：．‎ ‎（2）如图（2），‎ ‎∵点B′落在AC的中点，‎ ‎∴CB′=AC=3；‎ 设CE=x，类比（1）中的解法，可列出方程：x2+32=（8﹣x）2‎ 解得：x=．‎ 即CE的长为：．‎ ‎【点评】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质，找出图形中隐含的等量关系；借助勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．‎ ‎　‎ ‎20．（2015春•盐都区期中）把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF．‎ ‎（1）连接BE，求证：四边形BFDE是菱形；‎ ‎（2）若AB=8cm，BC=16cm，求线段DF和EF的长．‎ ‎【分析】（1）证得DE=DF，得四边形BFDE是平行四边形，根据折叠的性质知：BF=DF，得四边形BFDE是菱形；‎ ‎（2）在Rt△DCF中，利用勾股定理可求得DF的长；连接BD，得BD=8cm，利用S菱形BFDE=EF•BD，易得EF的长．‎ ‎【解答】解：（1）由折叠的性质可得∠BFE=∠DFE，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠BFE=∠DEF，‎ ‎∴∠DFE=∠DEF，‎ ‎∴DE=DF，‎ ‎∴四边形BFDE是平行四边形，‎ 由折叠知，BF=DF．‎ ‎∴四边形BFDE是菱形；‎ ‎（3）在Rt△DCF中，设DF=x，则BF=x，CF=16﹣x，‎ 由勾股定理得：x2=（16﹣x）2+82，‎ 解得x=10，‎ DF=10cm，‎ 连接BD．‎ 在Rt△BCD中，BD==8，‎ ‎∵S菱形BFDE=EF•BD=BF•DC，‎ ‎∴EF×8=10×8‎ 解得EF=4cm．‎ ‎【点评】本题主要考查了勾股定理、平行四边形的判定、菱形的判定和性质，解题的关键是作好辅助线找到相关的三角形．‎ ‎　‎ ‎21．（2015春•无锡校级期中）如图，矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿线段AB向点B运动，连接DP，把∠A沿DP折叠，使点A落在点A′处．求出当△BPA′为直角三角形时，点P运动的时间．‎ ‎【分析】分三种情况进行讨论，当A′、P、B分别为直角顶点时，求出AP的长即可．‎ ‎【解答】解：（1）当∠B A′P=90°时，由折叠得，∠P A′D=∠A=90°，‎ ‎∴∠B A′D=∠B A′P+∠P A′D=180°，‎ ‎∴点B、A′、D在一直线上，‎ 设AP=x cm，‎ ‎∴A′P=x，B P=8﹣x，A′B=10﹣6=4，‎ 在Rt△A′PB中，‎ x2+42=（8﹣x）2，‎ 解之得：x=3，‎ ‎∴点P的运动时间为3÷1=3s；‎ ‎（2）当∠A′P B=90°时，‎ ‎∴∠A′P A=90°，‎ 又∵∠DA′P=∠A=90°，‎ ‎∴四边形APA′D是矩形，‎ 根据折叠的性质，A′P=AP，‎ ‎∴四边形APA′D是正方形，‎ ‎∴AP=AD=6，‎ ‎∴点P的运动时间为6÷1=6s；‎ ‎（3）当∠A′B P=90°时，不存在．‎ 综上所述，符合要求的点P的运动时间为3s或6s．‎ ‎【点评】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解．‎ ‎　‎ ‎22．（2015春•无锡校级期中）在矩形ABCD中，=a，点G，H分别在边AB，DC上，且HA=HG，点E为AB边上的一个动点，连接HE，把△AHE沿直线HE翻折得到△FHE．如图1，当DH=DA时，‎ ‎（1）填空：∠HGA=　45　度；‎ ‎（2）若EF∥HG，求∠AHE的度数，并求此时a的最小值；‎ ‎【分析】（1）根据矩形的性质和已知条件得出∠HAE=45°，再根据HA=HG，得出∠HAE=∠HGA，从而得出答案；‎ ‎（2）先分两种情况讨论：第一种情况，根据（1）得出∠AHG=90°，再根据折叠的性质得出∠HAE=∠F=45°，∠AHE=∠FHE，再根据EF∥HG，得出∠AHF=∠AHG﹣∠FHG，即可得出∠AHE=22.5°，此时，当B与G重合时，a的值最小，求出最小值；第二种情况：根据已知得出∠AEH+∠FEH=45°，由折叠的性质求出∠AHE的度数，此时，当B与E重合时，a的值最小，设DH=DA=x，则AH=GH=x，在Rt△AHG中，∠AHG=90°，根据勾股定理得：AG=AH=2x，再根据∠AEH=∠FEH，∠GHE=∠FEH，求出∠AEH=∠GHE，得出AB=AE=2x+x，从而求出a的最小值．‎ ‎【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠ADH=90°，‎ ‎∵DH=DA，‎ ‎∴∠DAH=∠DHA=45°，‎ ‎∴∠HAE=45°，‎ ‎∵HA=HG，‎ ‎∴∠HAE=∠HGA=45°；‎ 故答案为：45．‎ ‎（2）分两种情况讨论：‎ 第一种情况：‎ ‎∵∠HAG=∠HGA=45°；‎ ‎∴∠AHG=90°，‎ 由折叠可知：∠HAE=∠F=45°，∠AHE=∠FHE，‎ ‎∵EF∥HG，‎ ‎∴∠FHG=∠F=45°，‎ ‎∴∠AHF=∠AHG﹣∠FHG=45°，‎ 即∠AHE+∠FHE=45°，‎ ‎∴∠AHE=22.5°，‎ 此时，当B与G重合时，H为DC中点，DA=DH=DC=AB，此时=a=2，所以a的最小值是2；‎ 第二种情况：‎ ‎∵EF∥HG，‎ ‎∴∠HGA=∠FEA=45°，‎ 即∠AEH+∠FEH=45°，‎ 由折叠可知：∠AEH=∠FEH，‎ ‎∴∠AEH=∠FEH=22.5°，‎ ‎∵EF∥HG，‎ ‎∴∠GHE=∠FEH=22.5°，‎ ‎∴∠AHE=90°+22.5°=112.5°，‎ 此时，当B与E重合时，a的值最小，‎ 设DH=DA=x，则AH=GH=x，‎ 在Rt△AHG中，∠AHG=90°，由勾股定理得：‎ AG=AH=2x，‎ ‎∵∠AEH=∠FEH，∠GHE=∠FEH，‎ ‎∴∠AEH=∠GHE，‎ ‎∴GH=GE=x，‎ ‎∴AB=AE=2x+x，‎ ‎∴a的最小值是=2+．‎ ‎【点评】此题考查了四边形的综合，用到的知识点是矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识点，能够全面的思考问题，分类讨论求出∠AHE的度数，并求此时a的最小值是本题的难点．‎ ‎　‎ ‎23．（2015春•北京校级期中）如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，点B落在A1处．剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，点B1落在A2处．剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．‎ 小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．‎ ‎（1）情形二中，∠B与∠C的等量关系　∠B=2∠C　．‎ ‎（2）若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C的等量关系　∠B=n∠C　．‎ ‎（3）如果一个三角形的最小角是4°，直接写出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．‎ 答：　4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°　．‎ ‎【分析】（1）在小丽展示的情形二中，如图3，根据三角形的外角定理、折叠的性质推知∠B=2∠C；‎ ‎（2）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；根据四边形的外角定理知∠BAC+2∠B﹣2C=180°①，根据三角形ABC的内角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180°②，由①②可以求得∠B=3∠C；利用数学归纳法，根据小丽展示的三种情形得出结论：∠B=n∠C；‎ ‎（3）利用（2）的结论知∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数可以是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．‎ ‎【解答】解：（1）∠B=2∠C；‎ 理由如下：‎ ‎∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，‎ ‎∴∠B=∠AA1B1；‎ 又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，‎ ‎∴∠A1B1C=∠C；‎ ‎∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C（外角定理），‎ ‎∴∠B=2∠C，‎ 故答案为：∠B=2∠C；‎ ‎（2）如图所示，‎ 在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角．‎ 证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1 B1C=∠A1A2B2，‎ ‎∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；‎ ‎∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1﹣∠A1 B1C=∠BAC+2∠B﹣2∠C=180°，‎ 根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，‎ ‎∴∠B=3∠C；‎ 由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；‎ 由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；‎ 由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；‎ 故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C；‎ 故答案为：∠B=n∠C；‎ ‎（3）由（2）知设∠A=4°，∵∠C是好角，∴∠B=4n°；‎ ‎∵∠A是好角，∴∠C=m∠B=4mn°，其中m、n为正整数得4+4n+4mn=180‎ ‎∴如果一个三角形的最小角是4°，三角形另外两个角的度数是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．‎ 故答案为：4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．‎ ‎【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题）．解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质．难度较大．‎ ‎　‎ ‎24．（2015春•宝应县期中）在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合（如图），（1）求证：四边形BEDF是菱形；‎ ‎（2）求折痕EF的长．‎ ‎【分析】（1）EF与BD相交于点O，根据折叠的性质得到ED=EB，FD=FB，EF⊥BD，则∠EDB=∠EBD，由DC∥AB得∠EBD=∠CDB，则∠EDO=∠FDO，而DO⊥EF，可得△DEF为等腰三角形，得到DE=EB=BF=FD，于是可判断四边形DEBF为菱形；‎ ‎（2）先利用勾股定理计算出BD=10，设BE=x，则DE=x，AE=8﹣x，在Rt△ABE中根据勾股定理得到62+（8﹣x）2=x2，可解得x=，然后根据菱形的面积公式计算EF的长．‎ ‎【解答】解：（1）EF与BD相交于点O，如图 ‎∵矩形ABCD纸片折叠，使点D与点B重合，‎ ‎∴EF垂直平分BD，‎ ‎∴ED=EB，FD=FB，EF⊥BD，‎ ‎∴∠EDB=∠EBD，‎ ‎∵DC∥AB，‎ ‎∴∠ABD=∠CDB，‎ ‎∴∠EDO=∠FDO，‎ 而DO⊥EF，‎ ‎∴△DEF为等腰三角形，‎ ‎∴DF=DE，‎ ‎∴DE=EB=BF=FD，‎ ‎∴四边形DEBF为菱形；‎ ‎（2）在Rt△ABD中，BD==10，‎ 设BE=x，则DE=x，AE=8﹣x，‎ 在Rt△ABE中，AB2+AE2=DE2，即62+（8﹣x）2=x2，解得x=，‎ 即BE=，‎ ‎∵S菱形DEBF=S三角形DEB ‎∴×EF•DB=DE•AB，‎ ‎∴×EF×10=6×，‎ ‎∴EF=．‎ ‎【点评】本题考查折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等；对应点的连线段被折痕垂直平分．也考查了矩形的性质、菱形的判定方法以及勾股定理．‎ ‎　‎ ‎25．（2015秋•福州校级期中）如图1，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK，KB交MN于O．‎ ‎（1）若∠1=80°，求∠MKN的度数；‎ ‎（2）当B与D重合时，画出图形，并求出∠KON的度数；‎ ‎（3）△MNK的面积能否小于2？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由．‎ ‎【分析】（1）由平行线的性质可知∠KNM=∠1，由翻折的性质可知：KMN=∠1=80°，最后依据三角形的内角和定理可求得∠MKN的值；‎ ‎（2）先根据题意画出图形，然后由翻折的性质可知DO=BO．接下来依据AAS证明△DON≌△BOM（AAS），由全等三角形的性质可知DN=BM，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形DMBN是平行四边形，然后根据DM=BM可知平行四边形DMBN是菱形，故此BD⊥MN从而得到∠KON=90°；‎ ‎（3）过M点作ME⊥DN，垂足为E，先证明KN=KM，然后利用矩形的面积公式计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AM∥DN．‎ ‎∴∠KNM=∠1．‎ ‎∵∠1=80°，‎ ‎∴∠KNM=∠KMN=∠1=80°．‎ ‎∴∠MKN=20°．‎ ‎（2）当B与D重合时，如图所示，K、B、D三点重合，连接NB．‎ ‎∵B、D关于MN对称，‎ ‎∴DO=BO．‎ 在△DON和△BOM中，‎ ‎，‎ ‎∴△DON≌△BOM（AAS）．‎ ‎∴DN=BM．‎ ‎∵DC∥AB，‎ ‎∴四边形DMBN是平行四边形．‎ ‎∵DM=BM，‎ ‎∴平行四边形DMBN是菱形．‎ ‎∴BD⊥MN．‎ ‎∴∠DON=90°即∠KON=90°．‎ ‎（3）不能．‎ 过M点作ME⊥DN，垂足为E，则ME=AD=2．‎ ‎∵∠KNM=∠KMN，‎ ‎∴MK=NK，‎ 又∵MK≥ME，‎ ‎∴NK≥2．‎ ‎∴△MNK的面积=NK•ME≥2‎ ‎∴△MNK的面积不可能小于2．‎ ‎【点评】本题主要考查的是翻折的性质、菱形的判定，证得四边形DMBN是菱形是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎26．（2015秋•义乌市校级期中）七年级科技兴趣小组在“快乐星期四”举行折纸比赛，折叠过程是这样的（阴影部分表示纸条的反面）：‎ 如果由信纸折成的长方形纸条（图①）长为26厘米，回答下列问题：‎ ‎（1）如果长方形纸条的宽为2厘米，并且开始折叠时起点M与点A的距离为3厘米，那么在图②中，BM=　23　厘米；在图④中，BM=　15　厘米．‎ ‎（2）如果信纸折成的长方形纸条宽为2cm，为了保证能折成图④形状（即纸条两端均刚好到达点P），纸条长至少多少厘米？纸条长最小时，长方形纸条面积是多少？‎ ‎（3）如果不但要折成图④的形状，而且为了美观，希望纸条两端超出点P的长度相等，即最终图形是对称图形，假设长方形纸条的宽为x厘米，试求在开始折叠时（图①）起点M与点A的距离（用含x的代数式表示）．（温馨提示：别忘了用草稿纸来折一折哦！）‎ ‎【分析】（1）观察图形，可知在图②中，BM=纸条的长﹣AM，由折叠的性质可得，在图④中，BM=纸条的长﹣3﹣4个宽；‎ ‎（2）根据折叠的性质知，纸条长至少是宽的5倍，进一步求得纸条长和面积即可；‎ ‎（3）根据轴对称的性质，由图可得AP=BM=，继而可求得在开始折叠时起点M与点A的距离．‎ ‎【解答】解：（1）∵长方形纸条的宽为2厘米，并且开始折叠时起点M与点A的距离为3厘米，‎ ‎∴在图②中，BM=26﹣3=23厘米，在图④中，BM=26﹣3﹣2×4=15厘米；‎ ‎（2）纸条长至少是宽的5倍即为5×2=10厘米，面积10×2=20平方厘米；‎ ‎（3）∵图④为轴对称图形，‎ ‎∴AM=AP+PM=+x=13﹣x，‎ 即点M与点A的距离是（13﹣x）厘米．‎ ‎【点评】此题考查了翻折变换，折叠的性质，注意掌握数形结合思想的应用．实际动手操作，更能够清楚地发现中间的长度和宽之间的关系．‎ ‎　‎ ‎27．（2015秋•潍城区期中）将四张形状，大小相同的长方形纸片分别折叠成如图所示的图形，请仔细观察重叠部分的图形特征，并解决下列问题：‎ ‎（1）观察图①，②，③，④，∠1和∠2有怎样的关系？并说明你的依据．‎ ‎（2）猜想图③中重叠部分图形△MBD的形状（按边），验证你的猜想．‎ ‎（3）若图④中∠1=60°，猜想重叠部分图形△MEF的形状（按边），验证你的猜想．‎ ‎【分析】（1）由折叠的性质容易得出结论；‎ ‎（2）由折叠的性质得出∠1=∠2，由平行线的性质得出∠MDB=∠1，得出∠MDB=∠2，由等角对等边得出MB=MD即可；‎ ‎（3）由折叠的性质得出∠2=∠1=60°，由（2）得出△MEF是等腰三角形，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）图①，②，③，④中∠1=∠2；理由如下：‎ 由折叠的性质得：∠1=∠2；‎ ‎（2）△MBD是等腰三角形；理由如下：‎ 由折叠的性质得：∠1=∠2，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠MDB=∠1，‎ ‎∴∠MDB=∠2，‎ ‎∴MB=MD，‎ ‎∴△MBD是等腰三角形；‎ ‎（3）△MEF是等边三角形，理由如下：‎ 由折叠的性质得：∠2=∠1=60°，‎ 由（2）得：△MEF是等腰三角形，‎ 故△MEF是等边三角形．‎ ‎【点评】本题考查了翻折变换的性质、等腰三角形的判定、平行线的性质、等边三角形的判定；熟练掌握翻折变换的性质，弄清角之间的数量关系是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎28．（2015秋•东台市期中）如图，长方形纸片ABCD中，AB=10，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点在边BC上．‎ ‎（1）如图（1），当折痕的另一端F在AB边上且AE=5时，求AF的长；‎ ‎（2）如图（2），当折痕的另一端F在AD边上且BG=13时，求AF的长．‎ ‎【分析】（1）设AF=x，则BF=10﹣x，由折叠的性质得出EF=BF=10﹣x，在Rt△AEF中，由勾股定理得出方程，解方程即可；‎ ‎（2）由折叠的性质得出HF=AF，EG=BG=13，EE=AB=10，∠BGF=∠EGF，证出∠EFG=∠EGF，得出EF=EG=13，在Rt△EFH中，由勾股定理求出HF，即可得出AF的长．‎ ‎【解答】（1）解：设AF=x，则BF=10﹣x，‎ 由折叠的性质得：EF=BF=10﹣x，‎ 在Rt△AEF中，由勾股定理得：AF2+AE2=EF2，‎ 即x2+52=（10﹣x）2，‎ 解得：x=，‎ 即AF的长为；‎ ‎（2）解：由折叠的性质得：HF=AF，EG=BG=13，HE=AB=10，∠BGF=∠EGF，∠FHE=∠B=90°，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠EFG=∠BGF，‎ ‎∴∠EFG=∠EGF，‎ ‎∴EF=EG=13，‎ 在Rt△EFH中，‎ 由勾股定理得：HF2+HE2=EF2，‎ ‎∴HF==，‎ ‎∴AF=‎ ‎【点评】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、勾股定理、等腰三角形的判定；熟练掌握翻折变换的性质，运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎29．（2015春•宜兴市校级月考）矩形ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的B′处，再沿B′G折叠四边形，使B′D边与B′F重合，且B′D′过点F．已知AB=4，AD=1‎ ‎（1）试探索EF与B′G的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）若四边形EFGB′是菱形，求∠BFE的度数；‎ ‎（3）若点D′与点F重合，求此时图形重叠部分的面积．‎ ‎【分析】（1）矩形的性质，翻折的性质，平行线的判定即可得出EF与B′G的位置关系；‎ ‎（2）根据菱形的性质和三角形内角和等于180°，可求∠BFE的度数；‎ ‎（3）先根据勾股定理求出BF=FB′=B′D的长．再根据重合部分面积=（矩形面积﹣2个三角形的面积）÷2求解．‎ ‎【解答】解：（1）因为是矩形，‎ ‎∴∠BFB′=∠FB′D，2个角都有平分线，‎ ‎∴∠EFB′=∠FB′G，‎ ‎∴EF∥B′G；‎ ‎（2）∵是菱形，有对称性，‎ ‎∴∠EFB′=∠B′FG，‎ 又∵∠EFB=∠EFB′，且这3个角加起来180度，‎ ‎∴都是60度；‎ ‎（3）由条件可得四边形AEFB与四边形CGB'D是一样的，BF=FB′=B′D．‎ 设长度都是x，有x2=（13﹣2x）2+42，‎ 解得x=5．‎ 重叠部分的面积=（52﹣6×2）÷2=20．‎ ‎【点评】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），同时考查了矩形的性质，菱形的性质和三角形内角和，勾股定理的知识，综合性较强，有一定的难度．‎ ‎　‎ ‎30．（2015秋•杭州校级月考）（1）操作发现：‎ 如图①，在Rt△ABC中，∠C=2∠B=90°，点D是BC上一点，沿AD折叠△ADC，使得点C恰好落在AB上的点E处，请写出AB、AC、CD之间的关系　AB=AC+DC　‎ ‎（2）问题解决：‎ 如图②，若（1）中∠C≠90°，其他条件不变，请猜想AB、AC、CD之间的关系，并证明你的结论；‎ ‎（3）类比探究：‎ 如图③，在四边形ABCD中，∠B=120°，∠D=90°，AB=BC，AD=DC，连接AC，点E是CD上一点，沿AE折叠，使得点D正好落在AC上的点F处，若BC=3，直接写出DE的长．‎ ‎【分析】（1）由翻折的性质可知：AE=AC，DE=DC，然后证明△BED为等腰直角三角形，从而得到BE=ED，故此可证得AB=AC+CD；‎ ‎（2）由翻折的性质得到AE=AC，DE=DC，∠C=∠AED，由三角形外角的性质可证明∠B=∠EDB，从而得到BE=ED，于是可证明AB=AC+CD；‎ ‎（3）过点B作BH⊥AC，垂足为H，由特殊锐角三角函数值可知CH的长，从而得到AC的长，然后求得AD的长，最后根据AC=AD+DE求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵∠C=2∠B=90°，‎ ‎∴∠B=45°．‎ 由翻折的性质可知：AE=AC，DE=DC，∠C=∠AED=90°．‎ ‎∵∠B=45°，∠BED=90°，‎ ‎∴∠EDB=45°．‎ ‎∴∠B=∠EDB=45°．‎ ‎∴BE=ED．‎ ‎∴BE=DC．‎ ‎∴AB=AC+DC．‎ 故答案为：AB=AC+DC．‎ ‎（2）由翻折的性质可知：AE=AC，DE=DC，∠C=∠AED．‎ ‎∵∠B+∠EDB=∠AED，∠C=2∠B，‎ ‎∴∠B=∠BDE．‎ ‎∴BE=ED．‎ ‎∴BE=DC．‎ ‎∴AB=AC+DC．‎ ‎（3）如图所示：过点B作BH⊥AC，垂足为H．‎ ‎∵∠B=120°，AB=BC，‎ ‎∴∠BCA=∠BAC=30°．‎ ‎∴CH=BC×=．‎ ‎∵AB=BC，BH⊥AC，‎ ‎∴CH=HA．‎ ‎∴AC=3．‎ 在Rt△ACD中，AD==．‎ ‎∵AC=AD+ED，‎ ‎∴ED=AC﹣AD=3﹣=．‎ ‎【点评】本题主要考查的是翻折的性质、三角形外角的性质、等腰三角形三线合一的性质、特殊锐角三角函数值的应用，证得BE=ED是解题的关键．‎ ‎　‎