中考数学真题分类解析汇编一元二次方程及其应用 19页

一元二次方程及其应用 一、选择题 ‎1. （ 2014•广东，第8题3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 根的判别式．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 先根据判别式的意义得到△=（﹣3）2﹣4m＞0，然后解不等式即可．‎ 解答：‎ 解：根据题意得△=（﹣3）2﹣4m＞0，‎ 解得m＜．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．‎ ‎　‎ ‎2. （ 2014•广西玉林市、防城港市，第9题3分）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？则正确的是结论是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ m=0时成立 B．‎ m=2时成立 C．‎ m=0或2时成立 D．‎ 不存在 考点：‎ 根与系数的关系．‎ 分析：‎ 先由一元二次方程根与系数的关系得出，x1+x2=m，x1x2=m﹣2．假设存在实数m使+=0成立，则=0，求出m=0，再用判别式进行检验即可．‎ 解答：‎ 解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，‎ ‎∴x1+x2=m，x1x2=m﹣2．‎ 假设存在实数m使+=0成立，则=0，‎ ‎∴=0，‎ ‎∴m=0．‎ 当m=0时，方程x2﹣mx+m﹣2=0即为x2﹣2=0，此时△=8＞0，‎ ‎∴m=0符合题意．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：如果x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，那么x1+x2=﹣p，x1x2=q．‎ ‎　‎ ‎3．(2014年天津市，第10题3分)要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（　　）‎ A． x（x+1）=28 B． x（x﹣1）=28 C． x（x+1）=28 D． x（x﹣1）=28‎ 考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．‎ 分析： 关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=4×7，把相关数值代入即可．‎ 解答： 解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，‎ 所以可列方程为：x（x﹣1）=4×7．‎ 故选B．‎ 点评： 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．‎ ‎　‎ ‎4．（2014年云南省，第5题3分）一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（　　）‎ ‎　 A． x1=1，x2=2 B． x1=1，x2=﹣2 C． x1=﹣1，x2=﹣2 D． x1=﹣1，x2=2‎ 考点： 解一元二次方程－因式分解法．‎ 分析： 直接利用十字相乘法分解因式，进而得出方程的根 解答： 解：x2﹣x﹣2=0‎ ‎（x﹣2）（x+1）=0，‎ 解得：x1=﹣1，x2=2．‎ 故选：D．‎ 点评： 此题主要考查了十字相乘法分解因式解方程，正确分解因式是解题关键．‎ ‎5．（2014•四川自贡，第5题4分）一元二次方程x2﹣4x+5=0的根的情况是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 有两个不相等的实数根 B．‎ 有两个相等的实数根 ‎　‎ C．‎ 只有一个实数根 D．‎ 没有实数根 考点：‎ 根的判别式．‎ 分析：‎ 把a=1，b=﹣4，c=5代入△=b2﹣4ac进行计算，根据计算结果判断方程根的情况．‎ 解答：‎ 解：∵a=1，b=﹣4，c=5，‎ ‎∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×5=﹣4＜0，‎ 所以原方程没有实数根．‎ 故选：D．‎ 点评：‎ 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．‎ ‎6.（2014·云南昆明，第3题3分）已知、是一元二次方程的两个根，则等于（ ）‎ ‎ A. 　　 B. 　　 C. 1 D. 4‎ 考点：‎ 一元二次方程根与系数的关系.‎ 分析：‎ 根据一元二次方程两根之积与系数关系分析解答．‎ 解答：‎ 解：由题可知：，‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查一元二次方程根与系数的关系．‎ ‎7.（2014·云南昆明，第6题3分）某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率.设该果园水果产量的年平均增长率为，则根据题意可列方程为（ ）‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ 考点：‎ 由实际问题抽象出一元二次方程．‎ 分析：‎ 果园从2011年到2013年水果产量问题，是典型的二次增长问题．‎ 解答：‎ 解：设该果园水果产量的年平均增长率为，由题意有 ‎，‎ 故选D．‎ 点评：‎ 此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解二次增长是做本题的关键．‎ ‎8．（2014•浙江宁波，第9题4分）已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，当b＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是（ ）‎ ‎　‎ A．‎ b=﹣1‎ B．‎ b=2‎ C．‎ b=﹣2‎ D．‎ b=0‎ ‎ ‎ 考点：‎ 命题与定理；根的判别式 专题：‎ 常规题型．‎ 分析：‎ 先根据判别式得到△=b2﹣4，在满足b＜0的前提下，取b=﹣1得到△＜0，根据判别式的意义得到方程没有实数解，于是b=﹣1可作为说明这个命题是假命题的一个反例．‎ 解答：‎ 解：△=b2﹣4，由于当b=﹣1时，满足b＜0，而△＜0，方程没有实数解，所以当b=﹣1时，可说明这个命题是假命题．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”‎ 形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了根的判别式．‎ ‎9. （2014•益阳，第5题，4分）一元二次方程x2﹣2x+m=0总有实数根，则m应满足的条件是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ m＞1‎ B．‎ m=1‎ C．‎ m＜1‎ D．‎ m≤1‎ 考点：‎ 根的判别式．‎ 分析：‎ 根据根的判别式，令△≥0，建立关于m的不等式，解答即可．‎ 解答：‎ 解：∵方程x2﹣2x+m=0总有实数根，‎ ‎∴△≥0，‎ 即4﹣4m≥0，‎ ‎∴﹣4m≥﹣4，‎ ‎∴m≤1．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：‎ ‎（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；‎ ‎（3）△＜0⇔方程没有实数根．‎ ‎10．（2014•呼和浩特，第10题3分）已知函数y=的图象在第一象限的一支曲线上有一点A（a，c），点B（b，c+1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1，x2判断正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ x1+x2＞1，x1•x2＞0‎ B．‎ x1+x2＜0，x1•x2＞0‎ ‎　‎ C．‎ ‎0＜x1+x2＜1，x1•x2＞0‎ D．‎ x1+x2与x1•x2的符号都不确定 考点：‎ 根与系数的关系；反比例函数图象上点的坐标特征．‎ 分析：‎ 根据点A（a，c）在第一象限的一支曲线上，得出a＞0，c＞0，再点B（b，c+1‎ ‎）在该函数图象的另外一支上，得出b＜0，c＜﹣1，再根据x1•x2=，x1+x2=﹣，即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：∵点A（a，c）在第一象限的一支曲线上，‎ ‎∴a＞0，c＞0，‎ ‎∵点B（b，c+1）在该函数图象的另外一支上，‎ ‎∴b＜0，c+1＜0，‎ ‎∴c＜﹣1，‎ ‎∴x1•x2=＞0，0＜x1+x2＜1，‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了根与系数的关系，掌握根与系数的关系和各个象限点的特点是本题的关键；若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的两个实数根，则x1+x2=﹣，x1x2=．‎ ‎11.（2014•菏泽，第6题3分）已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（ ）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎﹣1‎ C．‎ ‎0‎ D．‎ ‎﹣2‎ 考点：‎ 一元二次方程的解．‎ 分析：‎ 由于关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，那么代入方程中即可得到b2﹣ab+b=0，再将方程两边同时除以b即可求解．‎ 解答：‎ 解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，‎ ‎∴b2﹣ab+b=0，‎ ‎∵﹣b≠0，‎ ‎∴b≠0，‎ 方程两边同时除以b，得b﹣a+1=0，‎ ‎∴a﹣b=1．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程进而解决问题．‎ ‎12．（2014年山东泰安，第13题3分）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（　　）‎ A．（3+x）（4﹣0.5x）=15 B．（x+3）（4+0.5x）=15 ‎ C．（x+4）（3﹣0.5x）=15 D．（x+1）（4﹣0.5x）=15‎ 分析：根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（4﹣0.5x）元，由题意得（x+3）（4﹣0.5x）=15即可．‎ 解：设每盆应该多植x株，由题意得（3+x）（4﹣0.5x）=15，故选A．‎ 点评：此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键．‎ 二.填空题 ‎1. （ 2014•广西贺州，第16题3分）已知关于x的方程x2+（1﹣m）x+=0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是　0　．‎ 考点：‎ 根的判别式．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 根据判别式的意义得到△=（1﹣m）2﹣4×＞0，然后解不等式得到m的取值范围，再在此范围内找出最大整数即可．‎ 解答：‎ 解：根据题意得△=（1﹣m）2﹣4×＞0，‎ 解得m＜，‎ 所以m的最大整数值为0．‎ 故答案为0．‎ 点评：‎ 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．‎ ‎　‎ ‎2．（2014•舟山，第11题4分）方程x2﹣3x=0的根为　 　．‎ 考点：‎ 解一元二次方程－因式分解法 分析：‎ 根据所给方程的系数特点，可以对左边的多项式提取公因式，进行因式分解，然后解得原方程的解．‎ 解答：‎ 解：因式分解得，x（x﹣3）=0，‎ 解得，x1=0，x2=3．‎ 点评：‎ 本题考查了解一元二次方程的方法，当方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．‎ ‎3. （2014•扬州，第17题，3分）已知a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，则代数式2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5的值为　23　．‎ 考点：‎ 因式分解的应用；一元二次方程的解；根与系数的关系 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 根据一元二次方程解的定义得到a2﹣a﹣3=0，b2﹣b﹣3=0，即a2=a+3，b2=b+3，则2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5=2a（a+3）+b+3+3（a+3）﹣11a﹣b+5，整理得 ‎2a2﹣2a+17，然后再把a2=a+3代入后合并即可．‎ 解答：‎ 解：∵a，b是方程x2﹣x﹣3=0的两个根，‎ ‎∴a2﹣a﹣3=0，b2﹣b﹣3=0，即a2=a+3，b2=b+3，‎ ‎∴2a3+b2+3a2﹣11a﹣b+5=2a（a+3）+b+3+3（a+3）﹣11a﹣b+5‎ ‎=2a2﹣2a+17‎ ‎=2（a+3）﹣2a+17‎ ‎=2a+6﹣2a+17‎ ‎=23．‎ 故答案为23．‎ 点评：‎ 本题考查了因式分解的运用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．也考查了一元二次方程解的定义．‎ ‎4.（2014•呼和浩特，第15题3分）已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=　8　．‎ 考点：‎ 根与系数的关系；一元二次方程的解．‎ 专题：‎ 常规题型．‎ 分析：‎ 根据m+n=﹣=﹣2，m•n=﹣5，直接求出m、n即可解题．‎ 解答：‎ 解：∵m、n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，‎ 且一元二次方程的求根公式是 解得：m=﹣1，n=﹣1﹣或者m=﹣1﹣，n=﹣1，‎ 将m=﹣1、n=﹣1﹣代入m2﹣mn+3m+n=8；‎ 将m=﹣1﹣、n=﹣1代入m2﹣mn+3m+n=8；‎ 故答案为：8．‎ 点评：‎ 此题主要考查了一元二次方程根根的计算公式，根据题意得出m和n的值是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎5.（2014•德州，第16题4分）方程x2+2kx+k2﹣2k+1=0的两个实数根x1，x2满足x12+x22=4，则k的值为　1　．‎ 考点：‎ 根与系数的关系 分析：‎ 由x12+x22=x12+2x1•x2+x22﹣2x1•x2=（x1+x2）2﹣2x1•x2=4，然后根据根与系数的关系即可得到一个关于k的方程，从而求得k的值．‎ 解答：‎ 解；x12+x22=4，‎ 即x12+x22=x12+2x1•x2+x22﹣2x1•x2=（x1+x2）2﹣2x1•x2=4，‎ 又∵x1+x2=﹣2k，x1•x2=k2﹣2k+1，‎ 代入上式有4k2﹣4（k2﹣2k+1）=4，‎ 解得k=1．‎ 故答案为：1．‎ 点评：‎ 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．‎ ‎6．（2014•济宁，第13题3分）若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则=　4　．‎ 考点：‎ 解一元二次方程－直接开平方法．‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 利用直接开平方法得到x=±，得到方程的两个根互为相反数，所以m+1+2m﹣4=0，解得m=1，则方程的两个根分别是2与﹣2，则有=2，然后两边平方得到=4．‎ 解答：‎ 解：∵x2=（ab＞0），‎ ‎∴x=±，‎ ‎∴方程的两个根互为相反数，‎ ‎∴m+1+2m﹣4=0，解得m=1，‎ ‎∴一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两个根分别是2与﹣2，‎ ‎∴=2，‎ ‎∴=4．‎ 故答案为4．‎ 点评：‎ 本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±p；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±p．‎ 三.解答题 ‎1. （ 2014•广西玉林市、防城港市，第24题9分）我市市区去年年底电动车拥有量是10万辆，为了缓解城区交通拥堵状况，今年年初，市交通部门要求我市到明年年底控制电动车拥有量不超过11.9万辆，估计每年报废的电动车数量是上一年年底电动车拥有量的10%，假定每年新增电动车数量相同，问：‎ ‎（1）从今年年初起每年新增电动车数量最多是多少万辆？‎ ‎（2）在（1）的结论下，今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是多少？（结果精确到0.1%）‎ 考点：‎ 一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．‎ 分析：‎ ‎（1）根据题意分别求出今年将报废电动车的数量，进而得出明年报废的电动车数量，进而得出不等式求出即可；‎ ‎（2）分别求出今年年底电动车数量，进而求出今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率．‎ 解答：‎ 解：（1）设从今年年初起每年新增电动车数量是x万辆，‎ 由题意可得出：今年将报废电动车：10×10%=1（万辆），‎ ‎∴[（10﹣1）+x]（1﹣10%）+x≤11.9，‎ 解得：x≤2．‎ 答：从今年年初起每年新增电动车数量最多是2万辆；‎ ‎（2）∵今年年底电动车拥有量为：（10﹣1）+x=11（万辆），‎ 明年年底电动车拥有量为：11.9万辆，‎ ‎∴设今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是y，则11（1+y）=11.9，‎ 解得：y≈0.082=8.2%．‎ 答：今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是8.2%．‎ 点评：‎ 此题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，分别表示出今年与明年电动车数量是解题关键．‎ ‎　‎ ‎2．（（2014•新疆，第19题10分）如图，要利用一面墙（墙长为‎25米）建羊圈，用‎100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？‎ 考点：‎ 一元二次方程的应用．‎ 专题：‎ 几何图形问题．‎ 分析：‎ 设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．‎ 解答：‎ 解：设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米．‎ 根据题意得 （100﹣4x）x=400，‎ 解得 x1=20，x2=5．‎ 则100﹣4x=20或100﹣4x=80．‎ ‎∵80＞25，‎ ‎∴x2=5舍去．‎ 即AB=20，BC=20．‎ 答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米．‎ 点评：‎ 本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．‎ ‎　‎ ‎3.2014年广东汕尾，第22题9分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0‎ ‎（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；‎ ‎（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．‎ 分析：（1）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得到a的值，再根据根与系数的关系求出另一根；‎ ‎（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，进行解答．‎ 解：（1）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得，1+a+a﹣2=0，解得，a=；‎ 方程为x2+x﹣=0，即2x2+x﹣3=0，设另一根为x1，则1x1=﹣，x1=﹣．‎ ‎（2）∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4≥0，‎ ‎∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．‎ 点评：本题考查了根的判别式和根与系数的关系，要记牢公式，灵活运用．‎ ‎4.（2014•毕节地区，第25题12分）某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．‎ ‎（1）若生产第x档次的产品一天的总利润为y元（其中x为正整数，且1≤x≤10），求出y关于x的函数关系式；‎ ‎（2）若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．‎ 考点：‎ 二次函数的应用；一元二次方程的应用 分析：‎ ‎（1）每件的利润为6+2（x﹣1），生产件数为95﹣5（x﹣1），则y=[6+2（x﹣1）][95﹣5（x﹣1）]；‎ ‎（2）由题意可令y=1120，求出x的实际值即可．‎ 解答：‎ 解：（1）∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天生产量减少5件．‎ ‎∴第x档次，提高的档次是x﹣1档．‎ ‎∴y=[6+2（x﹣1）][95﹣5（x﹣1）]，‎ 即y=﹣10x2+180x+400（其中x是正整数，且1≤x≤10）；‎ ‎（2）由题意可得：﹣10x2+180x+400=1120‎ 整理得：x2﹣18x+72=0‎ 解得：x1=6，x2=12（舍去）．‎ 答：该产品的质量档次为第6档．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在x=时取得．‎ ‎5.（2014•襄阳，第16题3分）若正数a是一元二次方程x2﹣5x+m=0的一个根，﹣a是一元二次方程x2+5x﹣m=0的一个根，则a的值是　5　．‎ 考点：‎ 一元二次方程的解 分析：‎ 把x=a代入方程x2﹣5x+m=0，得a2﹣5a+m=0①，把x=﹣a代入方程方程x2+5x﹣m=0，得a2﹣5a﹣m=0②，再将①+②，即可求出a的值．‎ 解答：‎ 解：∵a是一元二次方程x2﹣5x+m=0的一个根，﹣a是一元二次方程x2+5x﹣m=0的一个根，‎ ‎∴a2﹣5a+m=0①，a2﹣5a﹣m=0②，‎ ‎①+②，得2（a2﹣5a）=0，‎ ‎∵a＞0，‎ ‎∴a=5．‎ 故答案为5．‎ 点评：‎ 本题主要考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．‎ ‎6. （2014•湘潭，第26题）已知二次函数y=﹣x2+bx+c的对称轴为x=2，且经过原点，直线AC解析式为y=kx+4，‎ ‎（1）求二次函数解析式；‎ ‎（2）若=，求k；‎ ‎（3）若以BC为直径的圆经过原点，求k．‎ ‎（第1题图）‎ 考点：‎ 二次函数综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）由对称轴为x=﹣，且函数过（0，0），则可推出b，c，进而得函数解析式．‎ ‎（2）=，且两三角形为同高不同底的三角形，易得=，考虑计算方便可作B，C对x轴的垂线，进而有B，C横坐标的比为=．由B，C为直线与二次函数的交点，则联立可求得B，C坐标．由上述倍数关系，则k易得．‎ ‎（3）以BC为直径的圆经过原点，即∠BOC=90°，一般考虑表示边长，再用勾股定理构造方程求解k．可是这个思路计算量异常复杂，基本不考虑，再考虑（2）的思路，发现B，C横纵坐标恰好可表示出EB，EO，OF，OC．而由∠BOC=90°，易证△EBO∽△FOC，即EB•FC=EO•FO．有此构造方程发现k值大多可约去，进而可得k值．‎ 解答：‎ 解：（1）∵二次函数y=﹣x2+bx+c的对称轴为x=2，且经过原点，‎ ‎∴﹣=2，0=0+0+c，‎ ‎∴b=4，c=0，‎ ‎∴y=﹣x2+4x．‎ ‎（2）如图1，连接OB，OC，过点A作AE⊥y轴于E，过点B作BF⊥y轴于F，‎ ‎∵=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=，‎ ‎∵EB∥FC，‎ ‎∴==．‎ ‎∵y=kx+4交y=﹣x2+4x于B，C，‎ ‎∴kx+4=﹣x2+4x，即x2+（k﹣4）x+4=0，‎ ‎∴△=（k﹣4）2﹣4•4=k2﹣8k，‎ ‎∴x=，或x=，‎ ‎∵xB＜xC，‎ ‎∴EB=xB=，FC=xC=，‎ ‎∴4•=，‎ 解得 k=9（交点不在y轴右边，不符题意，舍去）或k=﹣1．‎ ‎∴k=﹣1．‎ ‎（3）∵∠BOC=90°，‎ ‎∴∠EOB+∠FOC=90°，‎ ‎∵∠EOB+∠EBO=90°，‎ ‎∴∠EBO=∠FOC，‎ ‎∵∠BEO=∠OFC=90°，‎ ‎∴△EBO∽△FOC，‎ ‎∴，‎ ‎∴EB•FC=EO•FO．‎ ‎∵xB=，xC=，且B、C过y=kx+4，‎ ‎∴yB=k•+4，yC=k•+4，‎ ‎∴EO=yB=k•+4，OF=﹣yC=﹣k•﹣4，‎ ‎∴•=（k•+4）•（﹣k•﹣4），‎ 整理得 16k=﹣20，‎ ‎∴k=﹣．‎ 点评：‎ 本题考查了函数图象交点的性质、相似三角形性质、一元二次方程及圆的基本知识．题目特殊，貌似思路不难，但若思路不对，计算异常复杂，题目所折射出来的思想，考生应好好理解掌握．‎ ‎7. （2014•株洲，第21题，6分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．‎ ‎（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；‎ ‎（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；‎ ‎（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．‎ 考点：‎ 一元二次方程的应用．‎ 分析：‎ ‎（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状；‎ ‎（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；‎ ‎（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．‎ 解答：‎ 解：（1）△ABC是等腰三角形；‎ 理由：∵x=﹣1是方程的根，‎ ‎∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，‎ ‎∴a+c﹣2b+a﹣c=0，‎ ‎∴a﹣b=0，‎ ‎∴a=b，‎ ‎∴△ABC是等腰三角形；‎ ‎（2）∵方程有两个相等的实数根，‎ ‎∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，‎ ‎∴4b2﹣4a2+4c2=0，‎ ‎∴a2=b2+c2，‎ ‎∴△ABC是直角三角形；‎ ‎（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：‎ ‎2ax2+2ax=0，‎ ‎∴x2+x=0，‎ 解得：x1=0，x2=﹣1．‎ 点评：‎ 此题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和勾股定理逆定理等知识，正确由已知获取等量关系是解题关键．‎ ‎8. （2014年江苏南京，第22题，8分）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均的每年增长的百分率为x．‎ ‎（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为　2.6（1+x）2　万元．‎ ‎（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x．考点：列一元二次方程解实际问题的运用%]‎ 分析：（1）根据增长率问题由第1年的可变成本为2.6万元就可以表示出第二年的可变成本为2.6（1+x），则第三年的可变成本为2.6（1+x）2，故得出答案；‎ ‎（2）根据养殖成本=固定成本+可变成本建立方程求出其解即可．‎ 解答：（1）由题意，得第3年的可变成本为：2.6（1+x）2，故答案为：2.6（1+x）2；‎ ‎（2）由题意，得4+2.6（1+x）2=7.146，‎ 解得：x1=0.1，x2=﹣2.1（不合题意，舍去）．‎ 答：可变成本平均每年增长的百分率为10%．‎ 点评：本题考查了增长率的问题关系的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据增长率问题的数量关系建立方程是关键．‎ ‎9. （2014年江苏南京，第24题）已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3（m是常数）．‎ ‎（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；‎ ‎（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？‎ 考点：二次函数和x轴的交点问题，根的判别式，平移的性质，二次函数的图象与几何变换的应用 分析：（1）求出根的判别式，即可得出答案；‎ ‎（2）先化成顶点式，根据顶点坐标和平移的性质得出即可．‎ ‎（1）证明：∵△=（﹣2m）2﹣4×1×（m2+3）=4m2﹣4m2﹣12=﹣12＜0，‎ ‎∴方程x2﹣2mx+m2+3=0没有实数解，‎ 即不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；‎ ‎（2）解答：y=x2﹣2mx+m2+3=（x﹣m）2+3，‎ 把函数y=（x﹣m）2+3的图象延y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=（x﹣m）2的图象，它的 顶点坐标是（m，0），‎ 因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点，‎ 所以，把函数y=x2﹣2mx+m2+3的图象延y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．‎ 点评：本题考查了二次函数和x轴的交点问题，根的判别式，平移的性质，二次函数的图象与几何变换的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，题目比较好，有一定的难度．‎ ‎10. （2014•泰州，第17题，12分）（1）计算：﹣24﹣+|1﹣4sin60°|+（π﹣）0；‎ ‎（2）解方程：2x2﹣4x﹣1=0．‎ 考点：‎ 实数的运算；零指数幂；解一元二次方程－公式法；特殊角的三角函数值．‎ 分析：‎ ‎（1‎ ‎）原式第一项利用乘方的意义化简，第二项化为最简二次根式，第三项利用特殊角的三角函数值及绝对值的代数意义化简，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果；‎ ‎（2）找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．‎ 解答：‎ 解：（1）原式=﹣16﹣2+2﹣1+1=﹣16；‎ ‎（2）这里a=2，b=﹣4，c=﹣1，‎ ‎∵△=16+8=24，‎ ‎∴x==．‎ 点评：‎ 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎11. （2014•扬州，第20题，8分）已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+=0有两个相等的实数根，求k的值．‎ 考点：‎ 根的判别式；一元二次方程的定义 分析：‎ 根据根的判别式令△=0，建立关于k的方程，解方程即可．‎ 解答：‎ 解：∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+=0有两个相等的实数根，‎ ‎∴△=0，‎ ‎∴[﹣（k﹣1）]2﹣4（k﹣1）=0，‎ 整理得，k2﹣3k+2=0，‎ 即（k﹣1）（k﹣2）=0，‎ 解得：k=1（不符合一元二次方程定义，舍去）或k=2．‎ ‎∴k=2．‎ 点评：‎ 本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：‎ ‎（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；‎ ‎（3）△＜0⇔方程没有实数根．‎