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- 2021-05-10 发布
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1.对于两个不相等的实数、，定义一种新的运算如下，
，如：， 那么＝ 。
2.对实数a．b，定义运算☆如下：a☆b=， 例如2☆3=＝，计算：[2☆（﹣4）]×[（﹣4）☆（﹣2）]=
3.对于不小于3的自然数n，规定如下一种操作：表示不是n的约数的最小自然数.如<7>=2，<12>=5，等等，则<19>×<98>=
4.用“?”定义新运算：对于任意实数a，b都有a?b＝b2＋1，例如7?4＝42＋1＝17，那么5?3＝ ，m?（m? 2）＝ ．
5.在有理数范围内规定一种新运算“*”，其规则为a*b＝a2－b2，根据这个规则，求2*5的结果为 .
6.用“←”与“→”定义：对于任意实数a，b，都有a←b=a， a→b＝b，例如：3←2＝3，
3→2＝2，则（2006→2005）←（2004→2003）＝ ．
7.若（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2+y1y2，则（4，5）•（6，8）= ．
8.将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，概念=ad-bc，上述记号就叫做2阶行列式．若=8，则x= 2
．
10.若x是不等于1的实数，我们把 称为x的差倒数，如2的差倒数是 =-1，-1的差倒数为 = ，现已知x1=，x2是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，x4是x3的差倒数，…，依次类推，则x2015= ．
11.请你规定一种适合任意非零实数a，b的新运算“a⊕b”，使得下列算式成立：
1⊕2=2⊕1=3，（-3）⊕（-4）=（-4）⊕（-3）=，（-3）⊕5=5⊕（-3）=，…
你规定的新运算a⊕b= （用a，b的一个代数式表示）．
12.对于实数a,b,定义运算“﹡”：a﹡b=例如4﹡2，因为42,所以4﹡2.若，是一元二次方程的两个根，则﹡=
13.我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，…就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差．如2，4，6，8，10就是一个等差数列，它的公差为2．如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列．例如数列1，3，9，19，33，…，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2，6，10，14，…，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1，3，9，19，33，…是一个二阶等差数列．那么，请问二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数应是 21
．
14.在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点（x，y），若规定以下两种变换：
①f（x，y）=（y，x）．如f（2，3）=（3，2）；
②g（x，y）=（-x，-y），如g（2，3）=（-2，-3）．
按照以上变换有：f（g（2，3））=f（-2，-3）=（-3，-2），那么g（f（-6，7））等于 .
14.现定义两种运算：“”，“”，对于任意两个整数a，b，ab=a+b-1，ab＝a×b-1,求4[（68）（35）]的值．
15.若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”。
（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
（2）已知关于x的二次函数y1=2x2—4mx+2m2+1，和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2为y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求当0≤x≤3时， y2的最大值。
16.平面上有两条直线AB、CD相交于点O，且∠BOD=150°（如图），现按如下要求规定此平面上点的“距离坐标”：
（1）点O的“距离坐标”为（0，0）；
（2）在直线CD上，且到直线AB的距离为p（p＞0）的点的“距离坐标”为（p，0）；在直线AB上，且到直线CD的距离为q（q＞0）的点的“距离坐标”为（0，q）；
（3）到直线AB、CD的距离分别为p，q（p＞0，q＞0）的点的“距离坐标”为（p，q）．
设M为此平面上的点，其“距离坐标”为（m，n），根据上述对点的“距离坐标”的规定，解决下列问题：
（1）画出图形（保留画图痕迹）：
①满足m=1，且n=0的点M的集合；
②满足m=n的点M的集合；
（2）若点M在过点O且与直线CD垂直的直线l上，求m与n所满足的关系式．（说明：图中OI长为一个单位长）
17.如图，A、B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合）、我们称∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角．
（1）已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角，
①若AB是⊙O的直径，则∠APB= °；
②若⊙O的半径是1，AB=，求∠APB的度数；
（2）已知O2是⊙O1外一点，以O2为圆心作一个圆与⊙O1相交于A、B两点，∠APB是⊙O1上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交⊙O2于M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系．
18.如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
（1）“抛物线三角形”一定是 等腰
三角形；
（2）若抛物线y=-x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；
（3）如图，△OAB是抛物线y=-x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．
19.设是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式的实数的所有取值的全体叫做闭区间，表示为．对于一个函数，如果它的自变量与函数值满足：当时，有，我们就称此函数是闭区间上的“闭函数”．
（1）反比例函数是闭区间上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；
（2）若一次函数是闭区间上的“闭函数”，求此函数的解析式；
*（3）若二次函数是闭区间上的“闭函数”，求实数的值．
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