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- 2021-05-10 发布
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2014 年湖北省襄阳市中考数学试卷
(满分 120 分,考试时间 120 分钟)
一、选择题(本大题 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分,在每小题给出的四个选项中,只有
一项符合题目要求的,请将其序号在答题卡上涂黑作答。)
1.(2014 湖北省襄阳市,1,3 分)有理数 的倒数是( )
A. B. C. D.
【答案】D.
2.(2014 湖北省襄阳市,2,3 分)下列计算正确的是( )
A.a2+a2=2a4 B.4x-9x+6x=1
C.(-2x2y)3=-8x6y3 D.a6÷a3=a2
【答案】C.
3.(2014 湖北省襄阳市,3,3 分)我市今年参加中考人数约为 42000 人,将 42000 用科学
计数法表示为( )
A.4.2×104 B.0.42×105 C.4.2×103 D.42×103
【答案】A.
4.(2014 湖北省襄阳市,4,3 分)下图中几何体的俯视图是( )
【答案】B.
5.(2014 湖北省襄阳市,5,3 分)如图,BC⊥AE 于点 C,CD∥AB,∠B=55°,则∠1 等于
( )
A.35° B.45° C.55° D.65°
【答案】A.
6.(2014 湖北省襄阳市,6,3 分)五箱梨的质量(单位:kg)分别为:18,20,21,18,
19,则这五箱梨质量的中位数和众数分别为( )
A.20 和 18 B.20 和 19 C.18 和 18 D.19 和 18
【答案】D.
7.(2014 湖北省襄阳市,7,3 分)下列命题错误的是( )
A.所有的实数都可用数轴上的点表示
B.等角的补角相等
5
3
−
5
3
5
3
− 3
5
3
5
−
主视方向
第 4 题图
第 5 题图
A B
C D
E
1
C.无理数包括正无理数,0,负无理数
D.两点之间,线段最短
【答案】C.
8.(2014 湖北省襄阳市,8,3 分)若方程 mx+ny=6 的两个解是 , ,则 m,
n 的值为( )
A.4,2 B.2,4 C.-4,-2 D.-2,-4
【答案】A.
9.(2014 湖北省襄阳市,9,3 分)用一条长 40 cm 的绳子围成一个面积为 64 cm2 的长方形.
设长方形的长为 x cm,则可列方程为( )
A.x(20+x)=64 B.x(20-x)=64 C.x(40+x)=64 D.x(40-x)=64
【答案】B.
10.(2014 湖北省襄阳市,10,3 分)如图,梯形 ABCD 中,AD∥BC,DE∥AB,DE=DC,
∠C=80°.则∠A 等于( )
A.80° B.90° C.100° D.110°
【答案】C.
11.(2014 湖北省襄阳市,11,3 分)用一个圆心角为 120°,半径为 3 的扇形作一个圆锥的
侧面,则这个圆锥的底面半径为( )
A. B.1 C. D.2
【答案】B.
12.(2014 湖北省襄阳市,12,3 分)如图,在矩形 ABCD 中,点 E、F 分别在边 AB,BC
上,且 AE= AB.将矩形沿直线 EF 折叠,点 B 恰好落在 AD 边上的点 P 处,连接 BP 交 EF
于点 Q.对于下列结论:①EF=2BE,②PF=2PE;③FQ=4EQ;④△PBF 是等边三角形.其
中正确的是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①④
【答案】D.
二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 3 分,共 15 分)请把答案填在答题卡的相应位置
上.
1
1
x
y
=
=
−=
=
1
2
y
x
第 10 题图
A
B C
D
E
2
1
2
3
3
1
第 12 题图
A
B C
D
E
F
Q
P(B)
13.(2014 湖北省襄阳市,13,3 分)计算: .
【答案】 .
14.(2014 湖北省襄阳市,14,3 分)从长度分别为 2,4,6,7 的四条线段中随机取三条,能构
成三角形的概率是 .
【答案】 .
15.(2014 湖北省襄阳市,15,3 分)如图,在建筑平台 CD 的顶部 C 处,测得大树 AB 的
顶部 A 的仰角为 45°,测得大树 AB 的底部 B 的俯角为 30°,已知平台 CD 的高度为 5m,则
大树的高度为 m(结果保留根号).
【答案】 .
16.(2014 湖北省襄阳市,16,3 分)若正数 a 是一个一元二次 x2-5x+m=0 的一个根,-a 是
一元二次方程 x2+5x-m=0 的一个根,则 a 的值是 .
【答案】5.
17.(2014 湖北省襄阳市,17,3 分)在□ABCD 中,BC 边上的高为 4,AB=5,AC=25,则□ABCD
的周长等于 .
【答案】12 或 20.
三、解答题(本大题共 9 小题,共 69 分)解答应写出文字说明,证明过程或验算步骤,并
且写在答题卡上每题对应的答题区域内.
18.(2014 湖北省襄阳市,18,5 分)已知:x= ,y= ,求
的值.
【答案】解:∵x= ,y= ,
∴ = = ,
xy= = .
∴
=−÷+
−
a
a
aa
a 1
2
1
2
2
1
2
a
a
+
+
1
2
5 5 3+
1 2− 1 2+ 2 2 2 2x y xy x y+ − − +
1 2− 1 2+
x y− (1 2) (1 2)− − + 2 2−
(1 2)(1 2)− + 1−
2 2 2 2x y xy x y+ − − +
=
=
=7 + .
19.(2014 湖北省襄阳市,19,6 分)乙两座城市的中心火车站 A,B 两站相距 360km,一
列动车与一列特快列车分别从A、B 两站同时出发相向而行,动车的平均速度比特快列车快
54km/h.当动车到达 B 站时,特快列车恰好到达距离 A 站 135km 处的 C 站.求动车和特快
列车的平均速度各是多少?
【答案】解:设特快列车的平均速度为 x km/h,则动车的平均速度为(x+54)km/h,根据题意,
得
.
解这个分式方程得,x=90.
经检验,x=90 是这个分式方程的解,x+54=144.
答:动车和特快列车的平均速度分别为 144 km/h 和 90km/h.
20.(2014 湖北省襄阳市,20,7 分)“端午节”吃粽子是我国流传了上千年的习俗.某班学
生在“端午节”前组织了一次综合实践活动,购买了一些材料制作爱心粽,每人从自己制作
的粽子中随机选取两个献给自己的父母,其余的全部送给敬老院的老人们.统计全班学生制
作粽子的个数,将制作粽子数量相同的学生分为一组,全班学生可分为 A,B,C,D 四个
组,各组每人制作的粽子个数分别为 4,5,6,7.根据下面不完整的统计图解答下列问题:
请补全上面两个统计图:(不写过程)
(2)该班学生制作粽子个数的平均数是 ;
(3)若制作的粽子有红枣馅(记为 M)和蛋黄馅(记为 N)两种,该班小明同学制作这两
种粽子各两个混放在一起,请用列表或画树形图的方法求小明献给父母的粽子馅料不同的概
率.
【答案】解:(1)如图(补对一处计 1 分);
2( ) 2( )x y x y xy− − − +
2( 2 2) 2 ( 2 2) ( 1)− − × − + −
4 2
360 360 135
54x x
−=+
第 20 题图
%
B
A
C
D
各组人数占总人数的百分比
(2)6;
(3)根据题意列表如图
1 2 M M N N
M MM MN MN
M MM MN MN
N NM NM NN
N NM NM NN
由表格可知,共有 12 种等可能的结果,小明献给父母的粽子馅料不同的结果有 8 种,
即 MN,MN,MN,MN,NM,NM,NM,NM.
所以 P(馅料不同粽子)= = .
21.(2014 湖北省襄阳市,21,6 分)如图,在△ABC 中,点 D,E 分别在边 AC,AB 上,BD
与 CE 交于点 O,给出下列三个条件:①∠EBO=∠DCO;②BE=CD;③OB=OC.
上述三个条件中,由哪两个条件可以判定△ABC 是等腰三角形?(用序号写出所有成立的
情形)
请选择(1)中的一种情形,写出证明过程.
【答案】解:(1) ;
(2)选 证明如下:
在△BOE 和△COD 中,
∵∠EBO=∠DCO,∠EOB=∠DOC,BE=CD,
∴△BOE≌△COD,
∴BO=CO,∠OBC=∠OCB,
∴∠EOB+∠OBC =∠DOC+∠OCB,
即∠ABC=∠ACB,
∴AB=AC,
各组人数占总人数的百分比
35%
B
A
C
D
8
12
2
3
第 21 题图
A
B C
DE
O
即:△ABC 是等腰三角形.
22.(2014 湖北省襄阳市,22,6 分)如图,一次函数 y1=-x+2 的图象与反比例函数 y2=
的图象相交于 A,B 两点,与 x 轴相交于点 C.已知 tan∠BOC= ,点 B 的坐标为(m,
n).
(1)求反比例函数的解析式;
(2)请直接写出当 x<m 时,y2 的取值范围.
【答案】解:(1)∵点 B 在直线 y1=-x+2 上,∴n=-m+2.
过点 B 作 BD⊥x 轴于点 D,则 BD=m-2,OD=m.
∵tan∠BOD= = ,
∴OD=2BD,即 m=2(m-2).
解得 m=4.
则 n=-m+2=-2,
∴点 B 的坐标为(4,-2).
将(4,-2)代入 y2= 得,-2= ,
∴k=-8.
∴反比例函数的解析式为 y2= .
(2)y2﹤-2 或 y2﹥0.
23.(2014 湖北省襄阳市,23,7 分)如图,在正方形 ABCD 中,AD=2,E 是 AB 的中点,
将△BEC 绕点 B 逆时针旋转 90°后,点 E 落在 CB 的延长线上点 F 处,点 C 落在点 A 处.再
将线段 AF 绕点 F 顺时针旋转 90°得线段 FG,连接 EF,CG.
求证:EF∥CG;
k
x
1
2
A
B
C D
2
ky x
=
x
y
O
y1=-x+2
第 22 题图
BD
OD
1
2
k
x 4
k
8
x
−
A
B
C D
2
ky x
=
x
y
O
y1=-x+2
22 题答图
求点 C,点 A 在旋转过程中形成的 , 与线段 CG 所围成的阴影部分的面积.
【答案】解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形,
∴AB=BC=AD=2,∠ABC=90°.
∵△BEC 绕点 B 逆时针旋转 90°得△ABF,
∴△ABF≌△CBE,
∴∠FAB=∠ECB,∠ABF=∠CBE=90°,AF=EC,
∴∠AFB+∠FAB=90°.
∵线段 AF 绕点 F 顺时针旋转 90°得线段 FG,
∴∠AFB+∠CFG=∠AFG= 90°,AF=FG,
∴∠CFG=∠FAB=∠ECB.
∴EC∥FG.
∵AF=EC,AF=FG,∴EC=FG,
∴四边形 EFGC 是平行四边形,
∴EF∥CG.
(2)∵△ABF≌△CBE,
∴FB=BE= AB=1,
∴AF= = .
在△FEC 和△CGF 中
∵EC=FG,∠ECF =∠GFC,FC=CF,
∴△FEC≌△CGF,
∴S△FEC=S△CGF.
∴S 阴影=S 扇形 BAC+S△ABF+S△FGC-S 扇形 FAG
= + ×2×1+ ×(1+2)×1-
= (或 ).
24.(2014 湖北省襄阳市,24,10 分)我市为创建“国家级森林城市”,政府将对江边一处
废弃荒地进行绿化,要求栽植甲、乙两种不同的树苗共 6000 棵,且甲种树苗不得多于乙种
树苗.某承包商以 26 万元的报价中标承包了这项工程.根据调查及相关资料表明:移栽一棵树
苗的平均费用为 8 元,甲、乙两种树苗的购买价及成活率如下表:
品种 购买价(元/棵) 成活率
甲 20 90%
乙 32 95%
AC AG
第 23 题图
A
B C
D
E
F
G
1
2
2 2AB BF+ 5
290 2
360
π ⋅ 1
2
1
2
290 ( 5)
360
π ⋅
5
2 4
π− 10
4
π−
设购买甲种树苗 x 棵,承包商获得的利润为 y 元.请根据以上信息解答下列问题:
(1)求 y 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量取值范围;
(2)承包商要获得不低于中标价 16%的利润,应如何选购树苗?
(3)政府与承包商的合同要求,栽植这批树苗的成活率必须不低于 93%,否则承包商出资
补栽;若成活率达到 94%以上(含 94%),则政府另给予工程款总额 6%的奖励.该承包商
应如何选购树苗才能获得最大利润?最大利润是多少?
【答案】解:y=260000-[20x+32(6000-x)+8×6000]=12x+20000.
自变量 x 的取值范围:0﹤x≤3000.
(2)由题意得:12x+20000≥260000×16%.
解这个不等式,得:x≥1800,
∴1800≤x≤3000.
即:购买甲种树苗应不少于 1800 棵且不多于 3000 棵.
(3)①若成活率不低于 93%且低于 94%时,由题意得
解得:1200﹤x≤2400.
在 y=12x+20000 中,∵12>0,∴y 随 x 的增大而增大,
∴当 x=2400 时,y 最大值=48800.
②若成活率达到 94%以上(含 94%),则
解得:x≤1200.
由题意得 y=12x+20000+260000×6%=12x+35600.
∵12>0,∴y 随 x 的增大而增大,
∴当 x=1200 时,y 最大值=5000.
综上所述,∵50000>48800,
∴购买甲种树苗 120 棵,乙种树苗 4800 棵,可获得最大利润,最大利润是 50000 元.
25.(2014 湖北省襄阳市,25,5 分)如图,A,P,B,C 是⊙O 上的四点,∠APC=∠BPC=60
°,过点 A 作⊙O 的切线交 BP 的延长线于点 D.
(1)求证:△ADP∽△BDA;
(2)试探究线段 PA,PB,PC 之间的数量关系,并证明你的结论;
(3)若 AD=2,PD=1,求线段 BC 的长.
【答案】解:(1)证明:作⊙O 的直径 AE,
∵AE 是⊙O 的直径,AD 是⊙O 的切线,
∴∠DAE=∠APE=90°,
90% 95% (6000 ) 93% 6000
90% 95% (6000 ) 94% 6000
x x
x x
⋅ + ⋅ − ×
⋅ + ⋅ − ×
≥
<
90% 95% (6000 ) 94% 6000x x⋅ + ⋅ − ×≥
A
B C
D
P
O
第 25 题图
∴∠PAD+∠PAE=∠PAE+∠E=90°,
∴∠PAD =∠E.
∵∠PBA==∠E,
∴∠PAD =∠PBA.
∵∠PAD =∠PBA,∠ADP =∠BDA.
∴△ADP∽△BDA.
(2)PA+PB=PC.
证明:在线段 PC 上截取 PF=PB,连接 BF,
∵PF=PB,∠BPC=60°,
∴△PBF 是等边三角形,
∴PB=PF,∠BFP=60°,
∴∠BFC=180°-∠PFB=120°.
∵∠BPA=∠APC+∠BPC=120°,
∴∠BPA=∠BFC.
在△BPA 和△BFC 中,
∵∠PAB=∠FCB,∠BPA=∠BFC,PB=BF,
∴△BPA≌△BFC,
∴PA=FC,AB=BC,
∴PA+PB=FC+PF=PC.
(3)∵△ADP∽△BDA,∴ .
∵AD=2,PD=1,∴BD=4,AB=2AP,∴BP=BD-DP=3.
∵∠APD=180°-∠BPA=60°,∴∠APD=∠APC.
∵∠PAD =∠E,∠PCA =∠E,
∴∠PAD =∠PCA,
∴△ADP∽△CAP.
∴ ,∴AP2=PC·PD.
∴AP2=(3+AP)·1,解得 AP= 或 AP= (负值舍去),
∴BC=AB=2AP=1+ .
26.(2014 湖北省襄阳市,26,12 分)如图,在平面直角坐标系中,矩形 OCDE 的三个顶
点分别是 C(3,0),D(3,4),E(0,4).点 A 在 DE 上,以 A 为顶点的抛物线过点 C,
且对称轴 x=1 交 x 轴于点 B.连接 EC,AC.点 P,Q 为动点,设运动时间为 t 秒.
A
B C
D
E
F
P
O
25 题答图
AD DP AP
BD DA AB
= =
AP DP
PC AP
=
1 13
2
+ 1 13
2
−
13
(1)填空:点 A 坐标为 ;抛物线的解析式为 .
(2)在图①中,若点 P 在线段 OC 上从点 O 向点 C 以 1 个单位/秒的速度运动,同时,点 Q
在线段 CE 上从点 C 向点 E 以 2 个单位/秒的速度运动,当一个点到达终点时,另一个点随
之停止运动.当 t 为何值时,△PCQ 为直角三角形?
(3)在图②中,若点 P 在对称轴上从点 A 开始向点 B 以 1 个单位/秒的速度运动,过点 P
作 PF⊥AB,交 AC 于点 F,过点 F 作 FG⊥AD 于点 G,交抛物线于点 Q,连接 AQ,
CQ.当 t 为何值时,△ACQ 的面积最大?最大值是多少?
【答案】解:(1)点 A(1,4),
抛物线解析式为 y= 或 y= .
(2)依题意得:OC=3,OE=4,∴CE= = =5.
当∠QPC=90°时,
∵cos∠QCP= = ,∴ ,解得 t= ;
当
∠PQC=90°时,
∵cos∠QCP= = ,∴ ,解得 t= .
∴当 t= 或 t= 时,△PCQ 为直角三角形.
(3)∵A(1,4),C(3,0),∴可求得直线 AC 的解析式为 y=-2x+6.
∵P(1,4-t),将 y=4-t 代入 y=-2x+6 中,得 x=1+ ,
∴Q 点的横坐标为 1+ ;
将 x=1+ 代入 y= 中,得 y=4- ,
2( 1) 4x− − + 2 2 3x x− + +
2 2OC OE+ 2 23 4+
PC
CQ
OC
CE
3 3
2 5
t
t
− = 15
11
CQ
PC
OC
CE
2 3
3 5
t
t
=−
9
13
15
11
9
13
2
t
2
t
2
t 2( 1) 4x− − +
2
4
t
∴Q 点的纵坐标为 4- ,∴QF= = ,
∴S△ACQ= S△AFQ+ S△CFQ= FQ·AG + FQ·DG
= FQ(AG +DG) = FQ·AD
= ×2( )= .
∴当 t=2 时,S△ACQ 最大,最大值为 1.
2
4
t 2
(4 ) (4 )4
t t− − −
2
4
tt −
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
4
tt − 21 ( 2) 14 t− − +