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- 2021-05-10 发布
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辅助线的添加
【知识要点】
平面几何是中学数学的一个重要组成部分,证明是平面几何的重要内容。许多初中生对几何证明题感到困难,尤其是对需要添加辅助线的证明题,往往束手无策。在这里我们介绍"添加辅助线"在平面几何中的运用。
一 、三角形中常见辅助线的添加
1. 与角平分线有关的
ⅰ 可向两边作垂线。
ⅱ 可作平行线,构造等腰三角形
ⅲ 在角的两边截取相等的线段,构造全等三角形
2. 与线段长度相关的
ⅰ 截长:证明某两条线段的和或差等于第三条线段时,经常在较长的线段上截取一段,使得它和其中的一条相等,再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可
ⅱ 补短:证明某两条线段的和或差等于第三条线段时,也可以在较短的线段上延长一段,使得延长的部分等于另外一条较短的线段,再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可
ⅲ 倍长中线:题目中如果出现了三角形的中线,方法是将中线延长一倍,再将端点连结,便可得到全等三角形。
ⅳ 遇到中点,考虑中位线或等腰等边中的三线合一。
3. 与等腰等边三角形相关的
ⅰ 考虑三线合一
ⅱ 旋转一定的度数,构造全都三角形,等腰一般旋转顶角的度数,等边旋转
二 、四边形
特殊四边形主要包括平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形.在解决一些和四边形有关的问题时往往需要添加辅助线.下面介绍一些辅助线的添加方法.
1、和平行四边形有关的辅助线作法
平行四边形是最常见的特殊四边形之一,它有许多可以利用性质,为了利用这些性质往往需要添加辅助线构造平行四边形.
ⅰ.利用一组对边平行且相等构造平行四边形
ⅱ.利用两组对边平行构造平行四边形
ⅲ.利用对角线互相平分构造平行四边形
2、和菱形有关的辅助线的作法
和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线,借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.
ⅰ. 作菱形的高;
ⅱ.连结菱形的对角线.
3、与矩形有辅助线作法
和矩形有关的题型一般有两种:
ⅰ. 计算型题,一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题;
ⅱ.证明或探索题,一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.
4、与正方形有关辅助线的作法
正方形是一种完美的几何图形,它既是轴对称图形,又是中心对称图形,有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线,作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.
5、与梯形有关的辅助线的作法
和梯形有关的辅助线的作法是较多的.主要涉及以下几种类型:
(1)作一腰的平行线构造平行四边形和特殊三角形;
(2)作梯形的高,构造矩形和直角三角形;
(3)作一对角线的平行线,构造直角三角形和平行四边形;
(4) 延长两腰构成三角形;
(5)作两腰的平行线等.
三 、圆
1.遇到弦时(解决有关弦的问题时)
常常添加弦心距,或者作垂直于弦的半径(或直径)或再连结过弦的端点的半径。
作用:① 利用垂径定理;
② 利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系;
③ 利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形,根据勾股定理求有关量。
2.遇到有直径时
常常添加(画)直径所对的圆周角。
作用:利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。
3.遇到90度的圆周角时
常常连结两条弦没有公共点的另一端点。
作用:利用圆周角的性质,可得到直径。
4.遇到弦时
常常连结圆心和弦的两个端点,构成等腰三角形,还可连结圆周上一点和弦的两个端点。
作用:①可得等腰三角形; ②据圆周角的性质可得相等的圆周角。
5.遇到有切线时
(1)常常添加过切点的半径(连结圆心和切点)
作用:利用切线的性质定理可得OA⊥AB,得到直角或直角三角形。
(2)常常添加连结圆上一点和切点
作用:可构成弦切角,从而利用弦切角定理。
6.遇到证明某一直线是圆的切线时
(1) 若直线和圆的公共点还未确定,则常过圆心作直线的垂线段。 作用:若OA=r,则l为切线。
(2) 若直线过圆上的某一点,则连结这点和圆心(即作半径) 作用:只需证OA⊥l,则l为切线。
(3) 有遇到圆上或圆外一点作圆的切线
7. 遇到两相交切线时(切线长)
常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。
作用:据切线长及其它性质,可得到:
① 角、线段的等量关系;
② 垂直关系;
③ 全等、相似三角形。
8.遇到三角形的内切圆时
连结内心到各三角形顶点,或过内心作三角形各边的垂线段。
作用:利用内心的性质,可得:
① 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线;
② 内心到三角形三条边的距离相等。
9.遇到三角形的外接圆时,连结外心和各顶点
作用:外心到三角形各顶点的距离相等。
10.遇到两圆外离时(解决有关两圆的外、内公切线的问题)
常常作出过切点的半径、连心线、平移公切线,或平移连心线。
作用:①利用切线的性质; ②利用解直角三角形的有关知识。
11.遇到两圆相交时
常常作公共弦、两圆连心线、连结交点和圆心等。
作用:① 利用连心线的性质、解直角三角形有关知识;
② 利用圆内接四边形的性质;
③ 利用两圆公共的圆周的性质;
④ 垂径定理。
12.遇到两圆相切时
常常作连心线、公切线。
作用:① 利用连心线性质;
② 切线性质等。
13. 遇到三个圆两两外切时
常常作每两个圆的连心线。
作用:可利用连心线性质。
14.遇到四边形对角互补或两个三角形同底并在底的同向且有相等“顶角”时常常添加辅助圆。
作用:以便利用圆的性质。
【历年考卷形势分析及中考预测】
平面几何是历年来中考和竞赛的必考内容,其题目的灵活性远远是代数题目所不能比拟的,从简单的选择填空到较为复杂的中考压轴题甚至竞赛中的压轴题,出题范围极为广泛,难易程度差距较大,对于学生的数学知识综合运用能力考察较多。纵观近6年广州市的中考试题,分值分布大约在60分左右,其中简单的题目大约占43分,其余的17分较难,每年必有一道几何压轴题,分值14分,经常和实际问题,动点问题及函数问题结合,难度较大,应引起同学们的高度重视。
题目难主要难在辅助线的添加,尤其像特殊四边形及圆中的问题,从中考考纲来看,年广州市中考命题,同往年相比,变化不大,压轴题中可能会以三角形或四边形结合动点问题给出,或者以圆中相关知识为背景,结合动点,函数问题给出,区分度较大。
【考点精析】
考点1. 三角形:
例1 如图,AB=CD,E为BC中点,∠BAC=∠BCA,求证:AD=2AE。
A
B
E
C
D
例2 如图,AB>AC, ∠1=∠2,求证:AB-AC>BD-CD。
1
2
A
C
D
B
例3 如图9—5,设O是正三角形ABC内一点,已知∠AOB=115°,∠BOC=125°。求以线段OA,OB,OC为边构成的三角形的各角。
图9—5
B
A
C
O
A
B
C
D
M
N
例4 如图所示,△ABC是边长为4的正三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形,以D为顶点作一个60°的角,角的两边分别交AB,AC于M,N两点,连结MN,求△AMN的周长.
【举一反三】
1、如图,AB=6,AC=8,D为BC的中点,求AD的取值范围。
A
B
C
D
6
8
2、如图,BC>BA,BD平分∠ABC,且AD=CD,求证:∠A+∠C=180。
B
D
C
A
3.如图9—21,设O是正三角形ABC内一点,已知∠AOB=80°,∠BOC=135°,求以线段OA、OB、OC为边构成的三角形的各角。
B
O
A
C
图9—21
考点2. 四边形:
例5 如图1,已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点,四边形OCDE是平行四边形. 求证:OE与AD互相平分.
例6 如图3,已知AD是△ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.求证BF=AC.
例7 如图7,已知矩形ABCD内一点,PA=3,PB=4,PC=5.求 PD的长.
例8 如图,在正方形ABCD中,E为内部一点且是正三角形,求的度数
A
B
C
D
E
例9 如图,AB∥CD,M、N分别为AD、BC中点,MN交AC、BD于G、H点。
求证:GH=(CD-AB)
A
D
C
B
M
N
H
G
【举一反三】
1. 如图2,在△ABC中,E、F为AB上两点,AE=BF,ED//AC,FG//AC交BC分别为D,G.求证:ED+FG=AC.
2. 如图6,四边形ABCD是菱形,E为边AB上一个定点,F是AC上一个动点,求证EF+BF的最小值等于DE长.
A
E
B
F
C
D
3.如图:正方形ABCD,AE+CF=EF,求证:
4、如图③,已知梯形ABCD中,AD=1.5cm,BC=3.5cm,对角线AC⊥BD,且BD=3cm,AC=4cm,求梯形ABCD的面积。
考点3. 圆:
例10 (江苏泰州,18,3分)如图⊙O的半径为1cm,弦AB、CD的长度分别为,则试求弦AC、BD所夹的锐角.
例11 (年安徽芜湖市)如图所示,在圆⊙O内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,
∠A=∠B=60°,试求BC的长为.
例12.(山东临沂)如图,是半圆的直径,为圆心,、是半圆的弦,且.
(1)判断直线是否为的切线,并说明理由;
(2)如果,,求的长。
例1•
P
B
A
E
O
C
D
3.(江苏宿迁)(本题满分10分)如图,AB是⊙O的直径, P为AB延长线上任意一点,C为半圆ACB的中点,PD切⊙O于点D,连结CD交AB于点E.
求证:(1)PD=PE;
(2).
【举一反三】
1.(番禺一模)
已知:如图12,在中,,点在上,以为圆心,长为半径的圆与分别交于点,且.
图12
(1)判断直线与⊙的位置关系,并证明你的结论;
(2)若,求⊙的面积.
2.(天河一模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,CB=12,AD是△ABC的角平分线,过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E,连接DE。
A
C
B
D
E
(1)求证:AC=AE;
(2)求△ACD外接圆的半径。
3.(荔湾十校一模)
如图,已知AB为⊙O的弦,C为⊙O上一点,∠C=∠BAD,且BD⊥AB于B.
(1)求证:AD是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为3,AB=4,求AD的长.
综合
例14.(宁夏回族自治区)在△ABC中,∠BAC=45°,AD⊥BC于D,将△ABD沿AB所在的直线折叠,使点D落在点E处;将△ACD沿AC所在的直线折叠,使点D落在点F处,分别延长EB、FC使其交于点M.
(1)判断四边形AEMF的形状,并给予证明.
(2)若BD=1,CD=2,试求四边形AEMF的面积.
图14-1
连杆
滑块
滑道
例15.( 河北)观察思考
某种在同一平面进行传动的机械装置如图14-1,图14-2
是它的示意图.其工作原理是:滑块Q在平直滑道l上可以
左右滑动,在Q滑动的过程中,连杆PQ也随之运动,并且
PQ带动连杆OP绕固定点O摆动.在摆动过程中,两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动.数学兴趣小组为进一步研
究其中所蕴含的数学知识,过点O作OH ⊥l于点H,并测得
•
P
B
A
E
O
C
D
OH = 4分米,PQ = 3分米,OP = 2分米.
解决问题
(1)点Q与点O间的最小距离是 分米;
点Q与点O间的最大距离是 分米;
点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间
的距离是 分米.
(2)如图14-3,小明同学说:“当点Q滑动到点H的位
H
l
O
P
Q
图14-2
置时,PQ与⊙O是相切的.”你认为他的判断对吗?
为什么?
(3)①小丽同学发现:“当点P运动到OH上时,点P到l
的距离最小.”事实上,还存在着点P到l距离最大
的位置,此时,点P到l的距离是 分米;
②当OP绕点O左右摆动时,所扫过的区域为扇形,
求这个扇形面积最大时圆心角的度数.
H
l
O
图14-3
P
(Q)
【举一反三】
1.(年宁德市)(本题满分13分)如图,四边形ABCD是正方形,△ABE是等边三角形,M为对角线BD(不含B点)上任意一点,将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM、CM.
E
A D
B C
N
M
⑴ 求证:△AMB≌△ENB;
⑵ ①当M点在何处时,AM+CM的值最小;
②当M点在何处时,AM+BM+CM的值最小,并说明理由;
⑶ 当AM+BM+CM的最小值为时,求正方形的边长.
2.(广雅一模)平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC,O为坐标原点,A点坐标为(10,0),C点坐标为(0,6),D是BC边上的动点(与点B、C不重合).如图②,将△COD沿OD翻折,得到△FOD;再在AB边上选取适当的点E,将△BDE沿DE翻折,得到△GDE,并使直线DG,DF重合.
(1)图①中,若△COD翻折后点F落在OA边上,写出 D、E点坐标,并且
求出直线DE的解析式.
(2)设(1)中所求直线DE与x轴交于点M,请你猜想过点M、C且关于y轴对称的抛物线与直线DE的公共点的个数,在图①的图形中,通过计算验证你的猜想.
(3)图②中,设E(10,b),求b的最小值.
图①
图②
3、(年福建省南安市)(13分)如图1,在中,,,,另有一等腰梯形()的底边与重合,两腰分别落在AB、AC上,且G、F分别是AB、AC的中点.
(1)直接写出△AGF与△ABC的面积的比值;
(2)操作:固定,将等腰梯形以每秒1个单位的速度沿方向向右运动,直到点与点重合时停止.设运动时间为秒,运动后的等腰梯形为(如图2).
①探究1:在运动过程中,四边形能否是菱形?若能,请求出此时的值;若不能,请说明理由.
F
G
A
B
D
C
E
图2
②探究2:设在运动过程中与等腰梯形重叠部分的面积为,求与的函数关系式.
A
F
G
(D)B
C(E)
图1