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- 2021-05-10 发布
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江苏常州2012年中考数学试题
(本试卷满分150分,考试时间120分钟)
一、 选择题(本大题共8小题,每小题2分,共16分)
1.-3的相反数是【 】
A.-3 B. C. D.3
【答案】D。
2.下列运算正确的是【 】
A.3a+2a =a5 B.a 2·a 3= a 6 C.(a+b)(a-b)= a2-b2 D.(a+b)2= a2+b2
【答案】C。
3.如图所示,由三个相同的小正方体组成的立体图形的主视图是【 】
【答案】B。
4.为了参加中学生篮球运动会,某校篮球队准备购买10双运动鞋,经统计10双运动鞋的尺码(cm)如下表所示:
尺码
25
25.5
26
26.5
27
购买量(双)
2
4
2
1
1
则这10双运动鞋的众数和中位数分别为【 】
A.25.5 cm 26 cm B.26 cm 25.5 cm C.26 cm 26 cm D.25.5 cm 25.5 cm
【答案】B。
5.已知两圆半径分别为7,3,圆心距为4,则这两圆的位置关系为【 】
A.外离 B.内切 C.相交 D.内含
【答案】B。
6.已知三角形三边的长分别为4,9,则这个等腰三角形的周长为【 】
A.13 B.17 C.22 D.17或22
【答案】C。
7.已知二次函数,当自变量x分别取,3,0时,对应的值分别为,则的大小关系正确的是【 】
A. B. C. D.
【答案】 B。
8.已知a、b、c、d都是正实数,且,给出下列四个不等式:
①;②;③;④。
其中不等式正确的是【 】
A. ①③ B. ①④ C. ②④ D. ②③
【答案】A。
二、填空题(本大题共9小题,第9小题4分,其余8小题每小题2分,共20分)
9.计算:∣-2∣= ▲ ,= ▲ ,= ▲ ,=
▲ 。
【答案】2,,4,3。
10.已知点P(-3,1),则点P关于y轴的对称点的坐标是 ▲ ,点P关于原点O的对称点的坐标是 ▲ 。
【答案】(3,1),(3,-1)。
11.若∠α=600,则∠α的余角为 ▲ ,cosα的值为 ▲ 。
【答案】300,。
12.已知扇形的半径为3 cm,圆心角为1200,则此扇形的的弧长是 ▲ cm,扇形的面积是 ▲ cm2(结果保留π)。
【答案】,。
13.已知函数,则自变量x的取值范围是 ▲ ;若分式的值为0,则x= ▲ 。
【答案】;。
14.已知关于x的方程的一个根是2,则m= ▲ ,另一根为
▲ 。
【答案】1,。
15.已知,则代数式的值为 ▲ 。
【答案】-9。
16.在平面直角坐标系xOy中,已知点P(3,0),⊙P是以点P为圆心,2为半径的圆。若一次函数的图象过点A(-1,0)且与⊙P相切,则的值为 ▲ 。
【答案】或。
17.如图,已知反比例函数和。点A在y轴的正半轴上,过点A作直线BC∥x轴,且分别与两个反比例函数的图象交于点B和C,连接OC、OB。若△BOC的面积为,AC:AB=2:3,则= ▲ ,= ▲ 。
【答案】2,-3。
三、解答题(本大题共2小题,共18分)
18.化简
(1);
【答案】解:原式=。
(2)。
【答案】解:原式=。
19.解方程组和不等式组:
(1)解方程组:;
【答案】解:,
②×3-①,得11y=22,y=2;
将y=1代入②,得x+6=9,x=3。
∴方程组的解为。
(2)解不等式组:。
【答案】解:,
解①,得x>-3,
解②,得x<5。
∴不等式组的解为-3<x<5。
四、解答题(本大题共2小题,共15分)
20.为了迎接党的十八大的召开,某校组织了以“党在我心中”为主题的征文比赛,每位学生只能参加一次比赛,比赛成绩分A、B、C、D四个等级,随机抽取该校部分学生的征文比赛成绩进行分析,并绘制了如下的统计图表:
成绩等级
A
B
C
D
人数
60
x
y
10
占抽查学生总数的百分比
30%
50%
15%
m
根据表中的信息,解决下列问题:
(1)本次抽查的学生共有 ▲ 名;
(2)表中x、y和m所表示的数分别为x= ▲ ,y= ▲ ,m= ▲ ;
(3)补全条形统计图。
【答案】解:(1)200。
(2)100;30;5%。
(3)补全条形统计图如下:
21.在一个不透明的口袋里装有白、红、黑三种颜色的小球,其中白球2只,红球1只,黑球1只,它们除了颜色之外没有其它区别。从袋中随机地摸出1只球,记录下颜色后放回搅匀,再第二个球并记录颜色。求两次都摸出白球的概率。
【答案】解:画树状图如下:
∵共有16种等可能情况,两次都摸出白球的情况有4种,
∴两次都摸出白球的概率为。
五、解答题(本大题共2小题,共12分)
22.如图,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,
求证:∠DBC=∠DCB。
【答案】证明:∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD。
又∵AB=AC,AD=AD,∴△BAD≌△CAD(SAS)。
∴BD=CD。∴∠DBC=∠DCB。
23.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC的中点为O,过点O作AC的垂直平分线分别与AD、BC相交于点E、F,连接AF。
求证:AE=AF。
【答案】证明:连接CE。
∵AD∥BC,∴∠AEO=∠CFO,∠EAO=∠FCO,。
又∵AO=CO,∴△AEO≌△CFO(AAS)。
∴AE=CF。∴四边形AECF是平行四边形。
又∵EF⊥AC,∴平行四边形AECF是菱形。
∴AE=AF。
六、解答题(本大题共2小题,共12分)
24.在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC和△DEF的顶点坐标分别为A(1,0)、B(3,0)、C(2,1)、D(4,3)、E(6,5)、F(4,7)。按下列要求画图:以点O为位似中心,将△ABC向y轴左侧按比例尺2:1放大得△ABC的位似图形△A1B1C1,并解决下列问题:
(1)顶点A1的坐标为 ▲ ,B1的坐标为 ▲ ,C1的坐标为 ▲ ;
(2)请你利用旋转、平移两种变换,使△A1B1C1通过变换后得到△A2B2C2,且△A2B2C2恰与△DEF拼接成一个平行四边形(非正方形)。写出符合要求的变换过程。
【答案】解:作图如下:
(1)(-2,0),(-6,0),(-4,-2)。
(2)符合要求的变换有两种情况:
情况1:如图1,变换过程如下:
将△A2B2C2向右平移12个单位,再向上平移5个单位;再以B1为中心顺时针旋转900。
情况2:如图2,变换过程如下:
将△A2B2C2向右平移8个单位,再向上平移5个单位;再以A1为中心顺时针旋转900。
25.某商场购进一批L型服装(数量足够多),进价为40元/件,以60元/件销售,每天销售20件。根据市场调研,若每件每降1元,则每天销售数量比原来多3件。现商场决定对L型服装开展降价促销活动,每件降价x元(x为正整数)。在促销期间,商场要想每天获得最大销售利润,每件降价多少元?每天最大销售毛利润为多少?(注:每件服装销售毛利润指每件服装的销售价与进货价的差)
【答案】解:根据题意,商场每天的销售毛利润Z=(60-40-x)(20+3x)=-3x2+40x+400
∴当时,函数Z取得最大值。
∵x为正整数,且,
∴当x=7时,商场每天的销售毛利润最大,最大销售毛利润为-3·72+40·7+400=533。
答:商场要想每天获得最大销售利润,每件降价7元,每天最大销售毛利润为533元。
七、解答题(本大题共3小题,共26分)
26.平面上两条直线AB、CD相交于点O,且∠BOD=1500(如图),现按如下要求规定此平面上点的“距离坐标”:
(1)点O的“距离坐标”为(0,0);
(2)在直线CD上,且到直线AB的距离为p(p>0)的点的“距离坐标”为(p,0);在直线AB上,且到直线CD的距离为q(q>0)的点的“距离坐标”为(0,q);
(3)到直线AB、CD的距离分别为p、q(p>0,q>0)的点的“距离坐标”为(p,q)。
设M为此平面上的点,其“距离坐标”为(m,n),根据上述对点的“距离坐标”的规定,解决下列问题:
(1)画出图形(保留画图痕迹):
①满足m=1且n=0的点的集合;
②满足m=n的点的集合;
(2)若点M在过点O且与直线CD垂直的直线l上,求m与n所满足的关系式。
(说明:图中OI长为一个单位长)
【答案】解:(1)①如图1中,F1,F2即为所求;
②如图2中,两条角平分线即为所求。
[
(2)如图3,过点M作MH⊥AB于点H。则
根据定义,MH=m,MO=n。
∵∠BOD=1500,∠DOM=900(∵l⊥CD),
∴ ∠HOM=600。
在Rt△MHO中,,
∴ ,即,即。
∴ m与n所满足的关系式为。
27.已知,在矩形ABCD中,AB=4,BC=2,点M为边BC的中点,点P为边CD上的动点(点P异于C、D两点)。连接PM,过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E(如图)。设CP=x,DE=y。
(1)写出y与x之间的函数关系式 ▲ ;
(2)若点E与点A重合,则x的值为 ▲ ;
(3)是否存在点P,使得点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上?若存在,求x的值;若不存在,请说明理由。
【答案】解:(1)y=-x2+4x。
(2)或。
(3)存在。
过点P作PH⊥AB于点H。则
∵点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上,
∴P D′=PD=4-x,E D′=ED= y=-x2+4x,EA=AD-ED= x2-4x+2,∠P D′E=∠D=900。
在Rt△D′P H中,PH=2, D′P =DP=4-x,D′H=。
∵∠ E D′A=1800-900-∠P D′H=900-∠P D′H=∠D′P H,∠P D′E=∠P HD′ =900,
∴△E D′A∽△D′P H。∴,即,
即,两边平方并整理得,2x2-4x+1=0。解得。
∵当时,y=,
∴此时,点E已在边DA延长线上,不合题意,舍去(实际上是无理方程的增根)。
∵当时,y=,
∴此时,点E在边AD上,符合题意。
∴当时,点D关于直线PE的对称点D′落在边AB上。
28.在平面直角坐标系xOy中,已知动点P在正比例函数y=x的图象上,点P的横坐标为m(m>0)。以点P为圆心,为半径的圆交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧),交y轴于C、D两点(D点在点C的上方)。点E为平行四边形DOPE的顶点(如图)。
(1)写出点B、E的坐标(用含m的代数式表示);
(2)连接DB、BE,设△BDE的外接圆交y轴于点Q(点Q异于点D),连接EQ、BQ。试问线段BQ与线段EQ的长是否相等?为什么?
(3)连接BC,求∠DBC-∠DBE的度数。
【答案】解:(1)B(3m,0),E(m,4m)。
(2)线段BQ与线段EQ的长相等。理由如下:
由(1)知B(3m,0),E(m,4m),
∵根据圆的对称性,点D点B关于y=x对称,
∴D(0,3m)。
∴,,
。
∴。∴△BDE是直角三角形。
∴BE是△BDE的外接圆的直径。
设△BDE的外接圆的圆心为点G,则由B(3m,0),E(m,4m)得G(2m,2m)。
过点G作GI⊥DG于点I,则I(0,2m)。
根据垂径定理,得DI=IQ ,∴Q(0,m)。
∴。
∴BQ=EQ。
(3)延长EP交x轴于点H,则EP⊥AB,BH=2m。
根据垂径定理,得AH=BH=2m,AO= m。
根据圆的对称性,OC=OA= m。
又∵OB=3m,,,
∴。。
又∵∠COB=∠EDB=900,∴△COB∽△EDB。∴∠OBC=∠DBE。
∴∠DBC-∠DBE=∠DBC-∠OBC=∠DBO。
又∵OB=OC,∴∠DBO=450。∴∠DBC-∠DBE=450。