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  • 2021-05-10 发布

河南2016中考专题——中点问题

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‎2016河南中考专题——中点专题 一、中线分面积相等两部分 ‎(1)用三种不同的方法把一个三角形四等分. ‎ 练习应用:‎ ‎1.探索,在图1至图3中,已知△ABC的面积为a. (1)如图1,延长△ABC的边BC到点D,使CD=BC,连接DA.若△ACD得面积为S1,则S1=______(用含a的代数式表示) (2)如图2,延长△ABC的边BC到点D,延长边CA到点E,使CD=BC,AE=CA,连接DE.若△DEC得面积为S2,则S2=____用含a的代数式表示 (3)在图2的基础上延长AB到点F,使BF=AB,连接FD,FE,得到△DEF(如图三),若阴影部分的面积为S3,则S3=______(用含a的代数式表示),运用上诉(2)的结论写出理由 发现,像上面一样,将△ABC各边均顺次延长一倍,连接所得端点,得到△DEF(如图三),此时,称△ABC向外扩展了一次.可以发现,扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的_____倍. 应用,要在一块足够的大的空地上栽种花卉,工程人员进行了如下的团设计,首先在△ABC的空地上种红花,然后将△ABC向外扩展三次(图四已给出了前两次扩展的图案).在第一次扩展区域内种黄花,第二次种紫花,第三次种蓝花,如果红花的区域(△ABC)的面积是10平方米,运用上诉结论求出 (1)紫花区域的面积 (2)蓝花区域的面积 ‎2、E、G、F、H分别为任意四边形ABCD的边AD、AB、BC、CD的中点.‎ ‎(1)如图(1)四边形EBFD与四边形ABCD的面积关系 ‎ ‎(2)如图2,若阴影面积为20,则S1+S2+S3+S4= ‎ ‎3. 定义:我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”‎ 性质:如果两个三角形是“友好三角形”,那么这两个三角形的面积相等,‎ 理解:如图①,在中,CD是AB边上的中线,那么和是“友好三角形”,并且。‎ 应用:如图②,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点E在AD上,点F在BC上,AE=BF,AF与BE交于点O,‎ ‎(1) 求证: 和是“友好三角形”;‎ ‎(2) 连接OD,若和是“友好三角形”,求四边形CDOF的面积,‎ 探究:在中,,AB=4,点D在线段AB上,连接CD,和是“友好三角形”,将沿CD所在直线翻折,得到与重合部分的面积等于面积的,请直接写出的面积。‎ 二、直角三角形与等腰三角形 ‎4. 已知,如图,四边形ABCD中,角ABC=角ADC=90°,M是AC的中点.求证:MD=MB ‎5. 在Rt△POQ中,OP=OQ=4,M是PQ的中点,把一三角尺的直角顶点放在点M处,以M为旋转中心,旋转三角尺,三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B. (1)求证:MA=MB; (2)连接AB,探究:在旋转三角尺的过程中,△AOB的周长是否存在最小值?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由.‎ ‎6.阅读材料 如图①,△ABC与△DEF都是等腰直角三角形,∠ACB=∠EDF=90°,且点D在AB边上,AB、EF的中点均为O,连结BF、CD、CO,显然点C、F、O在同一条直线上,可以证明△BOF≌△COD,则BF=CD. 解决问题 (1)将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②,猜想此时线段BF与CD的数量关系,并证明你的结论; (2)如图③,若△ABC与△DEF都是等边三角形,AB、EF的中点均为O,上述(1)中的结论仍然成立吗?如果成立,请说明理由;如不成立,请求出BF与CD之间的数量关系; (3)如图④,若△ABC与△DEF都是等腰三角形,AB、EF的中点均为0,且顶角∠ACB=∠EDF=α,请直接写出BF:CD的值(用含α的式子表示出来) ‎ 练习:‎ ‎7. 如图,DE为△ABC的中位线,点F在DE上,且∠AFB=90°,若AB=5,BC=8,则EF的长为__________. ‎ ‎8. (2013•鄂州)著名画家达芬奇不仅画艺超群,同时还是一个数学家、发明家.他曾经设计过一种圆规如图所示,有两个互相垂直的滑槽(滑槽宽度忽略不计),一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动,将笔插入位于木棒中点P处的小孔中,随着木棒的滑动就可以画出一个圆来.若AB=20cm,则画出的圆的半径为______cm.‎ ‎9. 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD为AC的中线,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平 行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG、DF.若AG=13,CF=6,则四边形BDFG的周长为 ‎ ‎10. 如图,在△ABC中,∠BAC=90 °,AB=AC=6,D为BC的中点. (1)若E、F分别是AB、AC上的点,且AE=CF,求证:△AED≌△CFD; (2)当点F、E分别从C、A两点同时出发,以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动,到点A、B时停止;设△DEF的面积为y,F点运动的时间为x,求y与x的函数关系式; (3)在(2)的条件下,点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动,求此时y与x的函数关系式.‎ ‎11. 在梯形ABCD中,AD平行BC,∠DCB=45°,CD=2,BD⊥CD.过点C作CE⊥AB于E,交对角线BD于F,点G为BC的中点,连接EG,AF (1)求EG的长, (2)求证CF=AB+AF 三.倍长中线类型 ‎13. 如图,在平行四边形ABCD中,AB=3,AD=4,∠ABC=60°,过BC的中点E作EF⊥AB,垂足为F,与DC的延长线相交于点H,则△DEF的面积是多少?‎ 四.见中点或等分点做平行用相似 ‎14. 如图,在四边形ABCD中,AB=CD,E.F分别是BC.AD的中点,连接EF并延长,分别与BA,CD的延长线交于点M,N,则AB,D点在AC上,AB=CD,E.F分别是BC.AD的中点,连接EF并延长,与BA的延长线交于点G,若