河南2016中考专题——中点问题 8页

‎2016河南中考专题——中点专题 一、中线分面积相等两部分 ‎（1）用三种不同的方法把一个三角形四等分． ‎ 练习应用：‎ ‎1.探索,在图1至图3中,已知△ABC的面积为a. (1)如图1,延长△ABC的边BC到点D,使CD=BC,连接DA.若△ACD得面积为S1,则S1=______(用含a的代数式表示） (2)如图2,延长△ABC的边BC到点D,延长边CA到点E,使CD=BC,AE=CA,连接DE.若△DEC得面积为S2,则S2=____用含a的代数式表示 (3)在图2的基础上延长AB到点F,使BF=AB,连接FD,FE,得到△DEF(如图三),若阴影部分的面积为S3,则S3=______（用含a的代数式表示）,运用上诉(2)的结论写出理由 发现,像上面一样,将△ABC各边均顺次延长一倍,连接所得端点,得到△DEF(如图三),此时,称△ABC向外扩展了一次.可以发现,扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的_____倍. 应用,要在一块足够的大的空地上栽种花卉,工程人员进行了如下的团设计,首先在△ABC的空地上种红花,然后将△ABC向外扩展三次（图四已给出了前两次扩展的图案）.在第一次扩展区域内种黄花,第二次种紫花,第三次种蓝花,如果红花的区域(△ABC）的面积是10平方米,运用上诉结论求出 （1）紫花区域的面积 （2）蓝花区域的面积 ‎2、E、G、F、H分别为任意四边形ABCD的边AD、AB、BC、CD的中点.‎ ‎（1）如图（1）四边形EBFD与四边形ABCD的面积关系 ‎ ‎（2）如图2，若阴影面积为20，则S1+S2+S3+S4= ‎ ‎3. 定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”‎ 性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等，‎ 理解：如图①，在中，CD是AB边上的中线，那么和是“友好三角形”，并且。‎ 应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O，‎ ‎（1） 求证: 和是“友好三角形”；‎ ‎（2） 连接OD，若和是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积，‎ 探究：在中，，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，和是“友好三角形”，将沿CD所在直线翻折，得到与重合部分的面积等于面积的，请直接写出的面积。‎ 二、直角三角形与等腰三角形 ‎4. 已知,如图,四边形ABCD中,角ABC=角ADC=90°,M是AC的中点.求证:MD=MB ‎5. 在Rt△POQ中，OP=OQ=4，M是PQ的中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ的两直角边分别交于点A、B． （1）求证：MA=MB； （2）连接AB，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB的周长是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．‎ ‎6.阅读材料 如图①，△ABC与△DEF都是等腰直角三角形，∠ACB=∠EDF=90°，且点D在AB边上，AB、EF的中点均为O，连结BF、CD、CO，显然点C、F、O在同一条直线上，可以证明△BOF≌△COD，则BF=CD． 解决问题 (1)将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论； (2)如图③，若△ABC与△DEF都是等边三角形，AB、EF的中点均为O，上述(1)中的结论仍然成立吗？如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系； (3)如图④，若△ABC与△DEF都是等腰三角形，AB、EF的中点均为0，且顶角∠ACB=∠EDF=α，请直接写出BF:CD的值(用含α的式子表示出来) ‎ 练习：‎ ‎7. 如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为__________． ‎ ‎8. （2013•鄂州）著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB=20cm，则画出的圆的半径为______cm．‎ ‎9. 如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD为AC的中线,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平 行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG、DF．若AG=13,CF=6,则四边形BDFG的周长为 ‎ ‎10. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90 °，AB＝AC＝6，D为BC的中点． (1)若E、F分别是AB、AC上的点，且AE＝CF，求证：△AED≌△CFD； (2)当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设△DEF的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式； (3)在(2)的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式．‎ ‎11. 在梯形ABCD中,AD平行BC,∠DCB＝45°,CD=2,BD⊥CD.过点C作CE⊥AB于E,交对角线BD于F,点G为BC的中点,连接EG,AF （1）求EG的长, （2）求证CF=AB+AF 三．倍长中线类型 ‎13. 如图,在平行四边形ABCD中,AB=3,AD=4,∠ABC=60°,过BC的中点E作EF⊥AB,垂足为F,与DC的延长线相交于点H,则△DEF的面积是多少?‎ 四．见中点或等分点做平行用相似 ‎14. 如图,在四边形ABCD中,AB=CD,E.F分别是BC.AD的中点,连接EF并延长,分别与BA,CD的延长线交于点M,N,则AB,D点在AC上,AB=CD,E.F分别是BC.AD的中点,连接EF并延长,与BA的延长线交于点G,若