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- 2021-05-10 发布
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2015年天津市中考数学试卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(3分)(2015•天津)计算(﹣18)÷6的结果等于( )
A.
﹣3
B.
3
C.
﹣
D.
2.(3分)(2015•天津)cos45°的值等于( )
A.
B.
C.
D.
3.(3分)(2015•天津)在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中,可以看作是轴对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
4.(3分)(2015•天津)据2015年5月4日《天津日报》报道,“五一”三天假期,全市共接待海内外游客约2270000人次.将2270000用科学记数法表示应为( )
A.
0.227×lO7
B.
2.27×106
C.
22.7×l05
D.
227×104
5.(3分)(2015•天津)如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形,它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
6.(3分)(2015•天津)估计的值在( )
A.
在1和2之间
B.
在2和3之间
C.
在3和4之间
D.
在4和5之间
7.(3分)(2015•天津)在平面直角坐标系中,把点P(﹣3,2)绕原点O顺时针旋转180°,所得到的对应点P′的坐标为( )
A.
(3,2)
B.
(2,﹣3)
C.
(﹣3,﹣2)
D.
(3,﹣2)
8.(3分)(2015•天津)分式方程=的解为( )
A.
x=0
B.
x=5
C.
x=3
D.
x=9
9.(3分)(2015•天津)己知反比例函数y=,当1<x<3时,y的取值范围是( )
A.
0<y<l
B.
1<y<2
C.
2<y<6
D.
y>6
10.(3分)(2015•天津)己知一个表面积为12dm2的正方体,则这个正方体的棱长为( )
A.
1dm
B.
dm
C.
dm
D.
3dm
11.(3分)(2015•天津)如图,已知▱ABCD中,AE⊥BC于点E,以点B为中心,取旋转角等于∠ABC,把△BAE顺时针旋转,得到△BA′E′,连接DA′.若∠ADC=60°,∠ADA′=50°,则∠DA′E′的大小为( )
A.
130°
B.
150°
C.
160°
D.
170°
12.(3分)(2015•天津)已知抛物线y=﹣x2+x+6与x轴交于点A,点B,与y轴交于点C.若D为AB的中点,则CD的长为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
13.(3分)(2015•天津)计算;x2•x5的结果等于 .
14.(3分)(2015•天津)若一次函数y=2x+b(b为常数)的图象经过点(1,5),则b的值为 .
15.(3分)(2015•天津)不透明袋子中装有9个球,其中有2个红球、3个绿球和4个蓝球,这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球,则它是红球的概率是 .
16.(3分)(2015•天津)如图,在△ABC中,DE∥BC,分别交AB,AC于点D、E.若AD=3,DB=2,BC=6,则DE的长为 .
17.(3分)(2015•天津)如图,在正六边形ABCDEF中,连接对角线AC,CE,DF,EA,FB,可以得到一个六角星.记这些对角线的交点分别为H,I,J,K,L、M,则图中等边三角形共有 个.
18.(3分)(2015•天津)在每个小正方形的边长为1的网格中.点A,B,D均在格点上,点E、F分别为线段BC、DB上的动点,且BE=DF.
(Ⅰ)如图①,当BE=时,计算AE+AF的值等于
(Ⅱ)当AE+AF取得最小值时,请在如图②所示的网格中,用无刻度的直尺,画出线段AE,AF,并简要说明点E和点F的位置如何找到的(不要求证明) .
三、解答题(本大题共7小题,共66分.解答应写出文字说明、演算算步骤或推理过程)
19.(8分)(2015•天津)解不等式组
请结合题意填空,完成本题的解答.
(Ⅰ)不等式①,得 ;
(Ⅱ)不等式②,得 ;
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来
(Ⅳ)原不等式组的解集为 .
20.(8分)(2015•天津)某商场服装部为了解服装的销售情况,统计了每位营业员在某月的销售额(单位:万元),并根据统计的这组数据,绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息,解答下列问题.
(Ⅰ)该商场服装部营业员的人数为 ,图①中m的值为
(Ⅱ)求统计的这组销售额额数据的平均数、众数和中位数.
21.(10分)(2015•天津)已知A、B、C是⊙O上的三个点.四边形OABC是平行四边形,过点C作⊙O的切线,交AB的延长线于点D.
(Ⅰ)如图①,求∠ADC的大小.
(Ⅱ)如图②,经过点O作CD的平行线,与AB交于点E,与交于点F,连接AF,求∠FAB的大小.
22.(10分)(2015•天津)如图,某建筑物BC顶部有釕一旗杆AB,且点A,B,C在同一条直线上,小红在D处观测旗杆顶部A的仰角为47°,观测旗杆底部B的仰角为42°已知点D到地面的距离DE为1.56m,EC=21m,求旗杆AB的高度和建筑物BC的高度(结果保留小数后一位).参考数据:tan47°≈1.07,tan42°≈0.90.
23.(10分)(2015•天津)1号探测气球从海拔5m处出发,以lm/min的速度上升.与此同时,2号探测气球从海拔15m处出发,以0.5m/min的速度上升,两个气球都匀速上升了50min.
设气球球上升时间为xmin (0≤x≤50)
(Ⅰ)根据题意,填写下表:
上升时间/min
10
30
…
x
1号探测气球所在位置的海拔/m
15
…
2号探测气球所在位置的海拔/m
30
…
(Ⅱ)在某时刻两个气球能否位于同一高度?如果能,这时气球上升了多长时间?位于什么高度?如果不能,请说明理由;
(Ⅲ)当30≤x≤50时,两个气球所在位置的海拔最多相差多少米?
24.(10分)(2015•天津)将一个直角三角形纸片ABO,放置在平面直角坐标系中,点A(,0),点B(0,1),点0(0,0).过边OA上的动点M(点M不与点O,A重合)作MN丄AB于点N,沿着MN折叠该纸片,得顶点A的对应点A′,设OM=m,折叠后的△AM′N与四边形OMNB重叠部分的面积为S.
(Ⅰ)如图①,当点A′与顶点B重合时,求点M的坐标;
(Ⅱ)如图②,当点A′,落在第二象限时,A′M与OB相交于点C,试用含m的式子表示S;
(Ⅲ)当S=时,求点M的坐标(直接写出结果即可).
25.(10分)(2015•天津)已知二次函数y=x2+bx+c(b,c为常数).
(Ⅰ)当b=2,c=﹣3时,求二次函数的最小值;
(Ⅱ)当c=5时,若在函数值y=l的怙况下,只有一个自变量x的值与其对应,求此时二次函数的解析式;
(Ⅲ)当c=b2时,若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为21,求此时二次函数的解析式.
2015年天津市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(3分)(2015•天津)计算(﹣18)÷6的结果等于( )
A.
﹣3
B.
3
C.
﹣
D.
考点:
有理数的除法.菁优网版权所有
分析:
根据有理数的除法,即可解答.
解答:
解:(﹣18)÷6=﹣3.
故选:A.
点评:
本题考查了有理数的除法,解决本题的关键是熟记有理数除法的法则.
2.(3分)(2015•天津)cos45°的值等于( )
A.
B.
C.
D.
考点:
特殊角的三角函数值.菁优网版权所有
分析:
将特殊角的三角函数值代入求解.
解答:
解:cos45°=.
故选B.
点评:
本题考查了特殊角的三角函数值,解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值.
3.(3分)(2015•天津)在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中,可以看作是轴对称图形的是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
轴对称图形.菁优网版权所有
分析:
根据轴对称图形的概念求解.
解答:
解:A、是轴对称图形,故本选项正确;
B、不是轴对称图形,故本选项错误;
C、不是轴对称图形,故本选项错误;
D、不是轴对称图形,故本选项错误.
故选A.
点评:
本题考查了轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后可重合.
4.(3分)(2015•天津)据2015年5月4日《天津日报》报道,“五一”三天假期,全市共接待海内外游客约2270000人次.将2270000用科学记数法表示应为( )
A.
0.227×lO7
B.
2.27×106
C.
22.7×l05
D.
227×104
考点:
科学记数法—表示较大的数.菁优网版权所有
分析:
科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>1时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
解答:
解:将2270000用科学记数法表示为2.27×106.
故选B.
点评:
此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
5.(3分)(2015•天津)如图是一个由4个相同的正方体组成的立体图形,它的主视图是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
简单组合体的三视图.菁优网版权所有
分析:
找到从正面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.
解答:
解:从正面看易得第一层有3个正方形,第二层最左边有一个正方形.
故选A.
点评:
本题考查了三视图的知识,主视图是从物体的正面看得到的视图.
6.(3分)(2015•天津)估计的值在( )
A.
在1和2之间
B.
在2和3之间
C.
在3和4之间
D.
在4和5之间
考点:
估算无理数的大小.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
由于9<11<16,于是<<,从而有3<<4.
解答:
解:∵9<11<16,
∴<<,
∴3<<4.
故选C.
点评:
本题考查了无理数的估算,解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题.
7.(3分)(2015•天津)在平面直角坐标系中,把点P(﹣3,2)绕原点O顺时针旋转180°,所得到的对应点P′的坐标为( )
A.
(3,2)
B.
(2,﹣3)
C.
(﹣3,﹣2)
D.
(3,﹣2)
考点:
坐标与图形变化-旋转.菁优网版权所有
分析:
将点P绕原点O顺时针旋转180°,实际上是求点P关于原点的对称点的坐标.
解答:
解:根据题意得,点P关于原点的对称点是点P′,
∵P点坐标为(﹣3,2),
∴点P′的坐标(3,﹣2).
故选:D.
点评:
本题考查了坐标与图形的变换﹣旋转,熟练掌握关于原点的对称点的坐标特征是解决问题的关键.
8.(3分)(2015•天津)分式方程=的解为( )
A.
x=0
B.
x=5
C.
x=3
D.
x=9
考点:
解分式方程.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
解答:
解:去分母得:2x=3x﹣9,
解得:x=9,
经检验x=9是分式方程的解,
故选D.
点评:
此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.
9.(3分)(2015•天津)己知反比例函数y=,当1<x<3时,y的取值范围是( )
A.
0<y<l
B.
1<y<2
C.
2<y<6
D.
y>6
考点:
反比例函数的性质.菁优网版权所有
分析:
利用反比例函数的性质,由x的取值范围并结合反比例函数的图象解答即可.
解答:
解:∵k=6>0,
∴在每个象限内y随x的增大而减小,
又∵当x=1时,y=6,
当x=3时,y=2,
∴当1<x<3时,2<y<6.
故选C.
点评:
本题主要考查反比例函数的性质,当k>0时,在每一个象限内,y随x的增大而减小;当k<0时,在每一个象限,y随x的增大而增大.
10.(3分)(2015•天津)己知一个表面积为12dm2的正方体,则这个正方体的棱长为( )
A.
1dm
B.
dm
C.
dm
D.
3dm
考点:
算术平方根.菁优网版权所有
分析:
根据正方体的表面积公式:s=6a2,解答即可.
解答:
解:因为正方体的表面积公式:s=6a2,
可得:6a2=12,
解得:a=.
故选B.
点评:
此题主要考查正方体的表面积公式的灵活运用,关键是根据公式进行计算.
11.(3分)(2015•天津)如图,已知▱ABCD中,AE⊥BC于点E,以点B为中心,取旋转角等于∠ABC,把△BAE顺时针旋转,得到△BA′E′,连接DA′.若∠ADC=60°,∠ADA′=50°,则∠DA′E′的大小为( )
A.
130°
B.
150°
C.
160°
D.
170°
考点:
旋转的性质;平行四边形的性质.菁优网版权所有
分析:
根据平行四边形对角相等、邻角互补,得∠ABC=60°,∠DCB=120°,再由∠A′DC=10°,可运用三角形外角求出∠DA′B=130°,再根据旋转的性质得到∠BA′E′=∠BAE=30°,从而得到答案.
解答:
解:∵四边形ABCD是平行四边形,∠ADC=60°,
∴∠ABC=60°,∠DCB=120°,
∵∠ADA′=50°,
∴∠A′DC=10°,
∴∠DA′B=130°,
∵AE⊥BC于点E,
∴∠BAE=30°,
∵△BAE顺时针旋转,得到△BA′E′,
∴∠BA′E′=∠BAE=30°,
∴∠DA′E′=∠DA′B+∠BA′E′=160°.
故选:C.
点评:
本题主要考查了平行四边形的性质,三角形内角和定理及推论,旋转的性质,此题难度不大,关键是能综合运用以上知识点求出∠DA′B和∠BA′E′.
12.(3分)(2015•天津)已知抛物线y=﹣x2+x+6与x轴交于点A,点B,与y轴交于点C.若D为AB的中点,则CD的长为( )
A.
B.
C.
D.
考点:
抛物线与x轴的交点.菁优网版权所有
分析:
令y=0,则﹣x2+x+6=0,由此得到A、B两点坐标,由D为AB的中点,知OD的长,x=0时,y=6,所以OC=6,根据勾股定理求出CD即可.
解答:
解:令y=0,则﹣x2+x+6=0,
解得:x1=12,x2=﹣3
∴A、B两点坐标分别为(12,0)(﹣3,0)
∵D为AB的中点,
∴D(4.5,0),
∴OD=4.5,
当x=0时,y=6,
∴OC=6,
∴CD==.
故选:D.
点评:
本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系和抛物线的对称性,求出AB中点D的坐标是解决问题的关键.
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
13.(3分)(2015•天津)计算;x2•x5的结果等于 x7 .
考点:
同底数幂的乘法.菁优网版权所有
分析:
根据同底数幂的乘法,可得答案.
解答:
解:x2•x5=x2+5=x7,
故答案为:x7.
点评:
本题考查了同底数幂的乘法,同底数幂的乘法底数不变指数相加.
14.(3分)(2015•天津)若一次函数y=2x+b(b为常数)的图象经过点(1,5),则b的值为 3 .
考点:
一次函数图象上点的坐标特征.菁优网版权所有
分析:
把点(1,5)代入函数解析式,利用方程来求b的值.
解答:
解:把点(1,5)代入y=2x+b,得
5=2×1+b,
解得b=3.
故答案是:3.
点评:
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,经过函数的某点一定在函数的图象上.
15.(3分)(2015•天津)不透明袋子中装有9个球,其中有2个红球、3个绿球和4个蓝球,这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球,则它是红球的概率是 .
考点:
概率公式.菁优网版权所有
分析:
根据概率的求法,找准两点:①全部情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率.
解答:
解:∵共4+3+2=9个球,有2个红球,
∴从袋子中随机摸出一个球,它是红球的概率为,
故答案为:.
点评:
本题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=.
16.(3分)(2015•天津)如图,在△ABC中,DE∥BC,分别交AB,AC于点D、E.若AD=3,DB=2,BC=6,则DE的长为 3.6 .
考点:
相似三角形的判定与性质.菁优网版权所有
分析:
根据平行线得出△ADE∽△ABC,根据相似得出比例式,代入求出即可.
解答:
解:∵AD=3,DB=2,
∴AB=AD+DB=5,
∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴,
∵AD=3,AB=5,BC=6,
∴,
∴DE=3.6.
故答案为:3.6.
点评:
本题考查了相似三角形的性质和判定,关键是求出相似后得出比例式,题目比较典型,难度适中.
17.(3分)(2015•天津)如图,在正六边形ABCDEF中,连接对角线AC,CE,DF,EA,FB,可以得到一个六角星.记这些对角线的交点分别为H,I,J,K,L、M,则图中等边三角形共有 8 个.
考点:
正多边形和圆;等边三角形的判定.菁优网版权所有
分析:
在正六边形ABCDEF的六个顶点是圆的六等分点,即可求得图中每个角的度数,即可判断等边三角形的个数.
解答:
解:等边三角形有△AML、△BHM、△CHI、△DIJ、△EKJ、△FLK、△ACE、△BDF共有8个.
故答案是:8.
点评:
本题考查了正六边形的性质,正确理解正六边形ABCDEF的六个顶点是圆的六等分点是关键.
18.(3分)(2015•天津)在每个小正方形的边长为1的网格中.点A,B,D均在格点上,点E、F分别为线段BC、DB上的动点,且BE=DF.
(Ⅰ)如图①,当BE=时,计算AE+AF的值等于
(Ⅱ)当AE+AF取得最小值时,请在如图②所示的网格中,用无刻度的直尺,画出线段AE,AF,并简要说明点E和点F的位置如何找到的(不要求证明) 取格点H,K,连接BH,CK,相交于点P,连接AP,与BC相交,得点E,取格点M,N连接DM,CN,相交于点G,连接AG,与BD相交,得点F,线段AE,AF即为所求. .
考点:
轴对称-最短路线问题;勾股定理.菁优网版权所有
专题:
作图题.
分析:
(1)根据勾股定理得出DB=5,进而得出AF=2.5,由勾股定理得出AE=
,再解答即可;
(2)首先确定E点,要使AE+AF最小,根据三角形两边之和大于第三边可知,需要将AF移到AE的延长线上,因此可以构造全等三角形,首先选择格点H使∠HBC=∠ADB,其次需要构造长度BP使BP=AD=4,根据勾股定理可知BH==5,结合相似三角形选出格点K,根据,得BP=BH==4=DA,易证△ADF≌△PBE,因此可得到PE=AF,线段AP即为所求的AE+AF的最小值;同理可确定F点,因为AB⊥BC,因此首先确定格点M使DM⊥DB,其次确定格点G使DG=AB=3,此时需要先确定格点N,同样根据相似三角形性质得到,得DG=DM=×5=3,易证△DFG≌BEA,因此可得到AE=GF,故线段AG即为所求的AE+AF的最小值.
解答:
解:(1)根据勾股定理可得:DB=,
因为BE=DF=,
所以可得AF==2.5,
根据勾股定理可得:AE=,所以AE+AF=,
故答案为:;
(2)如图,
首先确定E点,要使AE+AF最小,根据三角形两边之和大于第三边可知,需要将AF移到AE的延长线上,因此可以构造全等三角形,首先选择格点H使∠HBC=∠ADB,其次需要构造长度BP使BP=AD=4,根据勾股定理可知BH==5,结合相似三角形选出格点K,根据,得BP=BH=
=4=DA,易证△ADF≌△PBE,因此可得到PE=AF,线段AP即为所求的AE+AF的最小值;同理可确定F点,因为AB⊥BC,因此首先确定格点M使DM⊥DB,其次确定格点G使DG=AB=3,此时需要先确定格点N,同样根据相似三角形性质得到,得DG=DM=×5=3,易证△DFG≌BEA,因此可得到AE=GF,故线段AG即为所求的AE+AF的最小值.
故答案为:取格点H,K,连接BH,CK,相交于点P,连接AP,与BC相交,得点E,取格点M,N连接DM,CN,相交于点G,连接AG,与BD相交,得点F,线段AE,AF即为所求.
点评:
此题考查最短路径问题,关键是根据轴对称的性质进行分析解答.
三、解答题(本大题共7小题,共66分.解答应写出文字说明、演算算步骤或推理过程)
19.(8分)(2015•天津)解不等式组
请结合题意填空,完成本题的解答.
(Ⅰ)不等式①,得 x≥3 ;
(Ⅱ)不等式②,得 x≤5 ;
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来
(Ⅳ)原不等式组的解集为 3≤x≤5 .
考点:
解一元一次不等式组;在数轴上表示不等式的解集.菁优网版权所有
分析:
分别求出各不等式的解集,再求出其公共解集,并在数轴上表示出来即可.
解答:
解:(Ⅰ)不等式①,得x≥3;
(Ⅱ)不等式②,得x≤5;
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来
(Ⅳ)原不等式组的解集为3≤x≤5.
故答案分别为:x≥3,x≤5,3≤x≤5.
点评:
本题考查的是解一元一次不等式组,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.
20.(8分)(2015•天津)某商场服装部为了解服装的销售情况,统计了每位营业员在某月的销售额(单位:万元),并根据统计的这组数据,绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息,解答下列问题.
(Ⅰ)该商场服装部营业员的人数为 25 ,图①中m的值为 28
(Ⅱ)求统计的这组销售额额数据的平均数、众数和中位数.
考点:
条形统计图;扇形统计图;加权平均数;中位数;众数.菁优网版权所有
分析:
(1)根据条形统计图即可得出样本容量根据扇形统计图得出m的值即可;
(2)利用平均数、中位数、众数的定义分别求出即可;
解答:
解:(1)根据条形图2+5+7+8+3=25(人),
m=100﹣20﹣32﹣12﹣8=28;
故答案为:25,28.
(2)观察条形统计图,
∵=18.6,
∴这组数据的平均数是18.6,
∵在这组数据中,21出现了8次,出现的次数最多,
∴这组数据的众数是21,
∵将这组数据按照由小到大的顺序排列,其中处于中间位置的数是18,
∴这组数据的中位数是18.
点评:
此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识.找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数;众数是一组数据中出现次数最多的数据,注意众数可以不止一个;平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.
21.(10分)(2015•天津)已知A、B、C是⊙O上的三个点.四边形OABC是平行四边形,过点C作⊙O的切线,交AB的延长线于点D.
(Ⅰ)如图①,求∠ADC的大小.
(Ⅱ)如图②,经过点O作CD的平行线,与AB交于点E,与交于点F,连接AF,求∠FAB的大小.
考点:
切线的性质;平行四边形的性质.菁优网版权所有
分析:
(Ⅰ)由CD是⊙O的切线,C为切点,得到OC⊥CD,即∠OCD=90°由于四边形OABC是平行四边形,得到AB∥OC,即AD∥OC,根据平行四边形的性质即可得到结果.
(Ⅱ)如图,连接OB,则OB=OA=OC,由四边形OABC是平行四边形,得到OC=AB,△AOB是等边三角形,证得∠AOB=60°,由OF∥CD,又∠ADC=90°,得∠AEO=∠ADC=90°,根据垂径定理即可得到结果.
解答:
解:(Ⅰ)∵CD是⊙O的切线,C为切点,
∴OC⊥CD,即∠OCD=90°
∵四边形OABC是平行四边形,
∴AB∥OC,即AD∥OC,
有∠ADC+∠OCD=180°,
∴∠ADC=180°﹣∠OCD=90°;
(Ⅱ)如图②,连接OB,则OB=OA=OC,
∵四边形OABC是平行四边形,
∴OC=AB,
∴OA=OB=AB,
即△AOB是等边三角形,
∴∠AOB=60°,
由OF∥CD,又∠ADC=90°,
得∠AEO=∠ADC=90°,
∴OF⊥AB,
∴,
∴∠FOB=∠FOA=∠AOB=30°,
∴.
点评:
本题考查了切线的性质,平行四边形的性质,垂径定理,等边三角形的判定,熟练掌握定理是解题的关键.
22.(10分)(2015•天津)如图,某建筑物BC顶部有釕一旗杆AB,且点A,B,C在同一条直线上,小红在D处观测旗杆顶部A的仰角为47°,观测旗杆底部B的仰角为42°已知点D到地面的距离DE为1.56m,EC=21m,求旗杆AB的高度和建筑物BC的高度(结果保留小数后一位).参考数据:tan47°≈1.07,tan42°≈0.90.
考点:
解直角三角形的应用-仰角俯角问题.菁优网版权所有
分析:
根据题意分别在两个直角三角形中求得AF和BF的长后求差即可得到旗杆的高度,进而求得BC的高度.
解答:
解:根据题意得DE=1.56,EC=21,∠ACE=90°,∠DEC=90°.
过点D作DF⊥AC于点F.
则∠DFC=90°∠ADF=47°,∠BDF=42°.
∵四边形DECF是矩形.
∴DF=EC=21,FC=DE=1.56,
在直角△DFA中,tan∠ADF=,
∴AF=DF•tan47°≈21×1.07=22.47(m).
在直角△DFB中,tan∠BDF=,
∴BF=DF•tan42°≈21×0.90=18.90(m),
则AB=AF﹣BF=22.47﹣18.90=3.57≈3.6(m).
BC=BF+FC=18.90+1.56=20.46≈20.5(m).
答:旗杆AB的高度约是3.6m,建筑物BC的高度约是20.5米.
点评:
此题考查的知识点是解直角三角形的应用,解题的关键是把实际问题转化为解直角三角形问题,先得到等腰直角三角形,再根据三角函数求解.
23.(10分)(2015•天津)1号探测气球从海拔5m处出发,以lm/min的速度上升.与此同时,2号探测气球从海拔15m处出发,以0.5m/min的速度上升,两个气球都匀速上升了50min.
设气球球上升时间为xmin (0≤x≤50)
(Ⅰ)根据题意,填写下表:
上升时间/min
10
30
…
x
1号探测气球所在位置的海拔/m
15
35
…
x+5
2号探测气球所在位置的海拔/m
20
30
…
0.5x+15
(Ⅱ)在某时刻两个气球能否位于同一高度?如果能,这时气球上升了多长时间?位于什么高度?如果不能,请说明理由;
(Ⅲ)当30≤x≤50时,两个气球所在位置的海拔最多相差多少米?
考点:
一次函数的应用.菁优网版权所有
分析:
(Ⅰ)根据“1号探测气球从海拔5m处出发,以lm/min的速度上升.与此同时,2号探测气球从海拔15m处出发,以0.5m/min的速度上升”,得出1号探测气球、2号探测气球的函数关系式;
(Ⅱ)两个气球能位于同一高度,根据题意列出方程,即可解答;
(Ⅲ)由题意,可知1号气球所在的位置的海拔始终高于2号气球,设两个气球在同一时刻所在位置的海拔相差ym,则y=(x+5)﹣(0.5x+15)=0.5x﹣10,根据x的取值范围,利用一次函数的性质,即可解答.
解答:
解:(Ⅰ)根据题意得:1号探测气球所在位置的海拔:m1=x+5,2号探测气球所在位置的海拔:m2=0.5x+15;
当x=30时,m1=30+5=35;当x=10时,m2=5+15=20,
故答案为:35,x+5,20,0.5x+15.
(Ⅱ)两个气球能位于同一高度,
根据题意得:x+5=0.5x+15,
解得:x=20,有x+5=25,
答:此时,气球上升了20分钟,都位于海拔25米的高度.
(Ⅲ)当30≤x≤50时,
由题意,可知1号气球所在的位置的海拔始终高于2号气球,
设两个气球在同一时刻所在位置的海拔相差ym,
则y=(x+5)﹣(0.5x+15)=0.5x﹣10,
∵0.5>0,
∴y随x的增大而增大,
∴当x=50时,y取得最大值15,
答:两个气球所在位置海拔最多相差15m.
点评:
本题考查了一次函数的应用,解决本题的关键是根据题意,列出函数解析式.
24.(10分)(2015•天津)将一个直角三角形纸片ABO,放置在平面直角坐标系中,点A(,0),点B(0,1),点0(0,0).过边OA上的动点M(点M不与点O,A重合)作MN丄AB于点N,沿着MN折叠该纸片,得顶点A的对应点A′,设OM=m,折叠后的△AM′N与四边形OMNB重叠部分的面积为S.
(Ⅰ)如图①,当点A′与顶点B重合时,求点M的坐标;
(Ⅱ)如图②,当点A′,落在第二象限时,A′M与OB相交于点C,试用含m的式子表示S;
(Ⅲ)当S=时,求点M的坐标(直接写出结果即可).
考点:
一次函数综合题.菁优网版权所有
分析:
(Ⅰ)根据折叠的性质得出BM=AM,再由勾股定理进行解答即可;
(Ⅱ)根据勾股定理和三角形的面积得出△AMN,△COM和△ABO的面积,进而表示出S的代数式即可;
(Ⅲ)把S=代入解答即可.
解答:
解:(Ⅰ)在Rt△ABO中,点A(,0),点B(0,1),点O(0,0),
∴OA=,OB=1,
由OM=m,可得:AM=OA﹣OM=﹣m,
根据题意,由折叠可知△BMN≌△AMN,
∴BM=AM=﹣m,
在Rt△MOB中,由勾股定理,BM2=OB2+OM2,
可得:,解得m=,
∴点M的坐标为(,0);
(Ⅱ)在Rt△ABO中,tan∠OAB=,
∴∠OAB=30°,
由MN⊥AB,可得:∠MNA=90°,
∴在Rt△AMN中,MN=AM,sin∠OAB=,
AN=AM•cos∠OAB=,
∴,
由折叠可知△A'MN≌△AMN,则∠A'=∠OAB=30°,
∴∠A'MO=∠A'+∠OAB=60°,
∴在Rt△COM中,可得CO=OM•tan∠A'MO=m,
∴,
∵,
∴,
即;
(Ⅲ)①当点A′落在第二象限时,把S的值代入(2)中的函数关系式中,解方程求得m,根据m的取值范围判断取舍,两个根都舍去了;
②当点A′落在第一象限时,则S=SRt△AMN,根据(2)中Rt△AMN的面积列方程求解,根据此时m的取值范围,把S=代入,可得点M的坐标为(,0).
点评:
此题考查了一次函数的综合问题,关键是利用勾股定理、三角形的面积,三角函数的运用进行分析.
25.(10分)(2015•天津)已知二次函数y=x2+bx+c(b,c为常数).
(Ⅰ)当b=2,c=﹣3时,求二次函数的最小值;
(Ⅱ)当c=5时,若在函数值y=l的怙况下,只有一个自变量x的值与其对应,求此时二次函数的解析式;
(Ⅲ)当c=b2时,若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为21,求此时二次函数的解析式.
考点:
二次函数的最值;二次函数的性质.菁优网版权所有
分析:
(Ⅰ)把b=2,c=﹣3代入函数解析式,求二次函数的最小值;
(Ⅱ)根据当c=5时,若在函数值y=l的情况下,只有一个自变量x的值与其对应,得到x2+bx+5=1有两个相等是实数根,求此时二次函数的解析式;
(Ⅲ)当c=b2时,写出解析式,分三种情况减小讨论即可.
解答:
解:(Ⅰ)当b=2,c=﹣3时,二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4,
∴当x=﹣1时,二次函数取得最小值﹣4;
(Ⅱ)当c=5时,二次函数的解析式为y=x2+bx+5,
由题意得,x2+bx+5=1有两个相等是实数根,
∴△=b2﹣16=0,
解得,b1=4,b2=﹣4,
∴次函数的解析式y=x2+4x+5,y=x2﹣4x+5;
(Ⅲ)当c=b2时,二次函数解析式为y═x2+bx+b2,
图象开口向上,对称轴为直线x=﹣,
①当﹣<b,即b>0时,
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下,y随x的增大而增大,
∴当x=b时,y=b2+b•b+b2=3b2为最小值,
∴3b2=21,解得,b1=﹣(舍去),b2=;
②当b≤﹣≤b+3时,即﹣2≤b≤0,
∴x=﹣,y=b2为最小值,
∴b2=21,解得,b1=﹣2(舍去),b2=2(舍去);
③当﹣>b+3,即b<﹣2,
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下,y随x的增大而减小,
故当x=b+3时,y=(b+3)2+b(b+3)+b2=3b2+9b+9为最小值,
∴3b2+9b+9=21.解得,b1=1(舍去),b2=﹣4;
∴b=时,解析式为:y=x2+x+7
b=﹣4时,解析式为:y=x2﹣4x+16.
综上可得,此时二次函数的解析式为y=x2+x+7或y=x2﹣4x+16.
点评:
本题考查了二次函数的最值:当a>0时,抛物线在对称轴左侧,y随x的增大而减少;在对称轴右侧,y随x的增大而增大,因为图象有最低点,所以函数有最小值,当x=﹣时,y=;当a<0时,抛物线在对称轴左侧,y随x的增大而增大;在对称轴右侧,y随x的增大而减少,因为图象有最高点,所以函数有最大值,当x=﹣时,y=;确定一个二次函数的最值,首先看自变量的取值范围,当自变量取全体实数时,其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标;当自变量取某个范围时,要分别求出顶点和函数端点处的函数值,比较这些函数值,从而获得最值.