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  • 2021-05-10 发布

2018有关中考数学试题分类汇编线与圆的位置关系

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直线与圆的位置关系 ‎1、(福建德化)如图,在矩形ABCD中,点O在对角线AC上,以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F,且∠ACB=∠DCE.‎ ‎(1)判断直线CE与⊙O的位置关系,并证明你的结论;‎ ‎(2)若tan∠ACB=,BC=2,求⊙O的半径.‎ 答案:1)直线CE与⊙O相切。‎ 证明:∵四边形ABCD是矩形 ∴BD∥AD,∠ACB=∠DAC , ‎ 又 ∵∠ACB=∠DCE ‎ ∴∠DAC=∠DCE,连接OE,则∠DAC=∠AEO=∠DCE,∵∠DCE+∠DEC=90‎ ‎∴∠AE0+∠DEC=90 ∴∠OEC=90 ∴直线CE与⊙O相切。‎ ‎(2)∵tan∠ACB=,BC=2 ∴AB=BC∠ACB= AC=‎ 又∵∠ACB=∠DCE ∴tan∠DCE= ∴DE=DC•tan∠DCE=1‎ 方法一:在Rt△CDE中,CE=,‎ 连接OE,设⊙O的半径为r,‎ 则在Rt△COE中,即 解得:r=‎ 方法二:AE=CD-AE=1,过点O作OM⊥AE于点M,则AM=AE=‎ ‎ 在Rt△AMO中,OA=‎ ‎20.(2010年北京崇文区) 如图,是半圆的直径,过点作弦的垂线交半圆 于点,交于点使.‎ C A O B E D ‎(1)判断直线与圆的位置关系,并证明你的结论;‎ ‎(2)若,求的长.‎ ‎【关键词】切线的证明、弦长的计算 ‎【答案】解:(1)与的相切.证明如下:‎ ‎ ‎ ‎. ‎ 又,‎ ‎. ‎ 即与的相切.‎ ‎(2)解:连接.是直径,‎ C A O B E D ‎1‎ ‎2‎ 在中,,‎ ‎,‎ ‎..‎ ‎,‎ 在中,,‎ ‎=.‎ ‎8.(2010年门头沟区)如图,已知⊙是以数轴的原点为圆心,半径为1的圆,‎ P A O B 第8题 ‎,点在数轴上运动,若过点且与平行的直 线与⊙有公共点, 设,则的取值范围是 ‎ A.-1≤≤1 B.≤≤ C.0≤≤ D.> ‎ ‎【关键词】圆的切线 ‎【答案】C ‎19. (2010年门头沟区)已知,如图,直线MN交⊙O于A,B两点,AC是直径,‎ AD平分CAM交⊙O于D,过D作DE⊥MN于E.‎ ‎(1)求证:DE是⊙O的切线;‎ C O B A D M E N ‎(2)若cm,cm,求⊙O的半径.‎ ‎【关键词】圆的切线 ‎【答案】(1)证明:连接OD.‎ ‎∵OA=OD,‎ ‎.‎ ‎ ∵AD平分∠CAM,‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎∴DO∥MN.‎ ‎,‎ ‎∴DE⊥OD.………………………………………………………………………………1分 ‎∵D在⊙O上, ‎ 是⊙O的切线.……………………………………………………………………2分 ‎(2)解:,,,‎ ‎.………………………………………………3分 连接.是⊙O的直径,‎ ‎. ‎ ‎,‎ ‎.………………………………………………………………4分 ‎.‎ ‎. ‎ ‎∴(cm).‎ ‎⊙O的半径是7.5cm.‎ ‎1.(2010年台湾省) 图(四)为△ABC和一圆的重迭情形,此圆与直线BC相切于C点,‎ A C B D 图(四)‎ ‎ 且与交于另一点D。若ÐA=70°,ÐB=60°,则 的度数为何? (A) 50 (B) 60 (C) 100 (D) 120 。‎ ‎【关键词】直线和圆的位置关系 ‎【答案】C ‎2.(2010年山东省济南市)如图,是⊙的切线,为切点,是⊙的弦,过作于点.若,,.‎ ‎ ‎ 求:(1)⊙的半径; ‎ ‎(2)AC的值.‎ ‎【关键词】直线和圆的位置关系 ‎【答案】‎ 解①∵AB是⊙O的切线,A为切点 ‎∴OA⊥AB ………..…………………………1’‎ 在Rt△AOB中,‎ AO===5 ………..…….2’‎ ‎∴⊙O的半径为5‎ ‎②∵OH⊥AC ‎∴在Rt△AOH中 AH=== ……….3’‎ 又∵OH⊥AC ‎∴AC=2AH=2 ……………….……..4’‎ x O P y ‎18、(2010年宁波)如图,已知⊙P的半径为2,圆心P在抛物线上运动,当⊙P与轴相切时,圆心P的坐标为___________。‎ 答案:(,2)或(,2)‎ ‎(2010年重庆市潼南县) 如图,在矩形ABCD中,AB=6 , BC=4, ⊙O是以AB为直径的圆,则直线DC与⊙O的位置关系是 .‎ ‎【关键词】直线与圆的位置关系 ‎【答案】相离 ‎14.(2010重庆市)已知⊙O的半径为3cm,圆心O到直线l的距离是4cm,则直线l与⊙O的位置关系是_____________.‎ 解析:因为圆心O到直线l的距离大于⊙O的半径,所以直线l与⊙O相离.‎ 答案:相离.‎ ‎1.(2010年山东聊城)如图,已知R t△ABC,∠ABC=90°,以直角边AB为直径作O,交斜边AC于点D,连结BD.‎ ‎(1)若AD=3,BD=4,求边BC的长;‎ ‎(2)取BC的中点E,连结ED,试证明ED与⊙O相切.‎ 第24题 A C B D E O ‎·‎ ‎【关键词】切线 ‎【答案】(1)∵AB为直径,∴∠ADB=90° AD=3 BD=4 AB=5‎ 由Rt△ABC∽Rt△ABD可得:‎ ‎ ∴BC==‎ ‎(2)连接OD,‎ ‎∵BD⊥AC E为BC中点,∴DE=BE,∴∠EBD=∠EDB, ∵OB=OD ‎∴∠OBD=∠ODB,∵∠OBD+∠EBD=90°,∴∠EDB+∠ODB=90°,‎ ‎∴ED与⊙O相切.‎ ‎1. (2010年兰州市)(本题满分10分)如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.‎ ‎ (1)求证:PC是⊙O的切线;‎ ‎ (2)求证:BC=AB;‎ ‎ (3)点M是弧AB的中点,CM交AB于点N,若AB=4,求MN·MC的值.‎ ‎【关键词】‎ 切线的判定 ‎【答案】‎ 解:(1)∵OA=OC,∴∠A=∠ACO ‎ ‎ ∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB ‎ ‎ ∴∠A=∠ACO=∠PCB ……………………………………………………1分 ‎ ∵AB是⊙O的直径 ‎ ∴∠ACO+∠OCB=90° …………………………………………………2分 ‎ ∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP …………………………………………3分 ‎∵OC是⊙O的半径 ‎ ‎ ∴PC是⊙O的切线 …………………………………………………4分 ‎ (2)∵PC=AC ∴∠A=∠P ‎ ∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P ‎ ‎ ∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB ‎ ∴∠CBO=∠COB ……………………………………………5分 ‎ ∴BC=OC ‎ ∴BC=AB ………………………………………………………6分 ‎ (3)连接MA,MB ‎ ‎ ∵点M是弧AB的中点 ‎ ∴弧AM=弧BM ∴∠ACM=∠BCM ………7分 ‎ ‎∵∠ACM=∠ABM ∴∠BCM=∠ABM ‎ ‎ ∵∠BMC=∠BMN ‎ ∴△MBN∽△MCB ‎ ‎ ∴ ‎ ‎∴BM2=MC·MN ……………………8分 ‎ ∵AB是⊙O的直径,弧AM=弧BM ‎ ‎ ∴∠AMB=90°,AM=BM ‎ ∵AB=4 ∴BM= ………………………………………………………9分 ‎ ∴MC·MN=BM2=8 ……………………………………………………10分 ‎(2010江苏宿迁)(本题满分10分)如图,AB是⊙O的直径, P为AB延长线上任意一点,C为半圆ACB的中点,PD切⊙O于点D,连结CD交AB于点E.‎ ‎•‎ P B A E O C D 求证:(1)PD=PE;‎ ‎(2).‎ ‎【关键词】切线 ‎【答案】证明:(1)连接OC、OD………………1分 ‎∴OD⊥PD ,OC⊥AB ‎∴∠PDE=—∠ODE,‎ ‎∠PED=∠CEO=—∠C 又∵∠C=∠ODE ‎∴∠PDE=∠PED …………………………………………4分 ‎∴PE=PD …………………………………………5分 ‎(2) 连接AD、BD ………………………………………6分 ‎∴∠ADB= ‎ ‎∵∠BDP=—∠ODB,∠A=—∠OBD 又∵∠OBD=∠ODB ∴∠BDP=∠A ‎∴PDB∽PAD …………………………………………………8分 ‎∴ ∴‎ ‎∴ ‎ ‎8. (2010年安徽中考)如图,⊙O过点B 、C。圆心O在等腰直角△ABC的内部,∠BAC=900,OA=1,BC=6,则⊙O的半径为………………( )‎ A)B)C)D) ‎ ‎【关键词】直线与圆的位置关系 ‎【答案】C ‎13. (2010年安徽中考) 如图,△ABC内接于⊙O,AC是⊙O的直径,∠ACB=500‎ ‎,点D是BAC上一点,则∠D=_______________‎ ‎【关键词】圆内接三角形 ‎【答案】400‎ ‎20.(2010年浙江省东阳市)(8分)如图,BD为⊙O的直径,点A是弧BC的中点,AD交BC于E点,AE=2,ED=4. ‎ ‎(1)求证: ~;‎ ‎(2) 求的值; ‎ ‎(3)延长BC至F,连接FD,使的面积等于,‎ 求的度数.‎ ‎【关键词】三角形相似、解直角三角形 ‎【答案】(1)∵点A是弧BC的中点 ∴∠ABC=∠ADB 又∵∠BAE=∠BAE  ∴△ABE∽△ABD......................3分 ‎(2)∵△ABE∽△ABD ∴AB2=2×6=12 ∴AB=2‎ 在Rt△ADB中,tan∠ADB=......................3分 ‎(3)连接CD,可得BF=8,BE=4,则EF=4,△DEF是正三角形,‎ ‎∠EDF=60°......................................2分 ‎14.(2010重庆市)已知⊙O的半径为3cm,圆心O到直线l的距离是4cm,则直线l与⊙O的位置关系是_____________.‎ 解析:因为圆心O到直线l的距离大于⊙O的半径,所以直线l与⊙O相离.‎ 答案:相离.‎ ‎28.(2010江苏泰州,28,12分)在平面直角坐标系中,直线(k为常数且k≠0)分别交x轴、y轴于点A、B,⊙O半径为个单位长度.‎ ‎⑴如图甲,若点A在x轴正半轴上,点B在y轴正半轴上,且OA=OB.‎ ‎①求k的值;‎ ‎②若b=4,点P为直线上的动点,过点P作⊙O的切线PC、PD,切点分别为C、‎ D,当PC⊥PD时,求点P的坐标.‎ ‎⑵若,直线将圆周分成两段弧长之比为1∶2,求b的值.(图乙供选用)‎ ‎ ‎ ‎【答案】⑴①根据题意得:B的坐标为(0,b),∴OA=OB=b,∴A的坐标为(b,0),代入y=kx+b得k=-1.‎ ‎②过P作x轴的垂线,垂足为F,连结OD.‎ ‎∵PC、PD是⊙O的两条切线,∠CPD=90°,‎ ‎∴∠OPD=∠OPC=∠CPD=45°,‎ ‎∵∠PDO=90°,,∠POD=∠OPD=45°,‎ ‎∴OD=PD=,OP=.‎ ‎∵P在直线y=-x+4上,设P(m,-m+4),则OF=m,PF=-m+4,‎ ‎∵∠PFO=90°, OF2+PF2=PO2,‎ ‎∴ m2+ (-m+4)2=()2,‎ 解得m=1或3,‎ ‎∴P的坐标为(1,3)或(3,1)‎ ‎⑵分两种情形,y=-x+,或y=-x-。‎ 直线将圆周分成两段弧长之比为1∶2,可知其所对圆心角为120°‎ ‎,如图,画出弦心距OC,可得弦心距OC=,又∵直线中∴直线与x轴交角的正切值为,即,∴AC=,进而可得AO=,即直线与与x轴交于点(,0).所以直线与y轴交于点(,0),所以b的值为.‎ 当直线与x轴、y轴的负半轴相交,同理可求得b的值为.‎ 综合以上得:b的值为或.‎ ‎【关键词】一次函数、勾股定理、圆的切线等知识的综合运用 ‎6.(2010年山东省青岛市)如图,在Rt△ABC中,∠C = 90°,∠B = 30°,BC = 4 cm,以点C为圆心,以2 cm的长为半径作圆,则⊙C与AB的位置关系是( ).‎ A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交 ‎【关键词】直线与圆的位置关系 ‎【答案】B ‎23.(2010年安徽省芜湖市)(本小题满分12分)如图,BD是⊙O的直径,OA⊥OB,M是劣弧上一点,过点M点作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点,MD与OA交于N点.‎ ‎(1)求证:PM=PN;‎ ‎(2)若BD=4,PA= AO,过点B作BC∥MP交⊙O于C点,求BC的长.‎ ‎【关键词】圆的切线、勾股定理、相似三角形 ‎(1)【证明】:连接OM,.......1分 ‎∵MP是⊙O的切线,∴OM⊥MP.∴∠OMD+∠DMP=90°.‎ ‎∵OA⊥OB,∴∠OND +∠ODM=90°.‎ 又∵∠MNP=∠OND ,∠ODM=∠OMD ,∴∠DMP=∠MNP,∴PM=PN....4分 ‎(2)解:设BC交OM于点E,∴BD=4,OA=OB=,‎ ‎∴PA=,∴PO=5....5分 ‎∵BC∥MP,OM⊥MP,∴OM⊥BC,BE=...............7分 ‎∵∠BOM+∠MOP=90°,在Rt△OMP中,∠MPO+∠MOP=90°,‎ ‎∴∠BOM=∠MPO,又∵∠BEO=∠OMP==90°.‎ ‎∴△OMP∽△BEO.∴...............10分 得:,∴,∴.............12分 ‎4.(2010重庆市)已知⊙O的半径为3cm,圆心O到直线l的距离是4cm,则直线l与⊙O的位置关系是_____________.‎ 解析:因为圆心O到直线l的距离大于⊙O的半径,所以直线l与⊙O相离.‎ 答案:相离.‎ ‎21(2010年浙江省金华).(本题8分)‎ A C B D ‎(第21题图)‎ E F O 如图,AB是⊙O的直径,C是的中点,CE⊥AB于 E,BD交CE于点F.‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎(1)求证:CF﹦BF;‎ ‎(2)若CD ﹦6, AC ﹦8,则⊙O的半径为 ▲ , ‎ CE的长是 ▲ .‎ ‎【关键词】直径所对圆周角是直角 ‎【答案】(1) 证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB﹦90°‎ ‎ 又∵CE⊥AB, ∴∠CEB﹦90°‎ ‎ ∴∠2﹦90°-∠A﹦∠1‎ ‎ 又∵C是弧BD的中点,∴∠1﹦∠A ‎ ∴∠1﹦∠2,‎ ‎ ∴ CF﹦BF﹒ ‎ ‎(2) ⊙O的半径为5 , CE的长是﹒ ‎ ‎8.(2010山东德州)已知三角形的三边长分别为3,4,5,则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是 ‎(A)0,1,2,3 (B)0,1,2,4 (C)0,1,2,3,4 (D)0,1,2,4,5 ‎ ‎【关键词】直线与圆的关系 ‎【答案】C ‎20.(2010山东德州)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC中点,AE平分∠BAD交BC于点E,点O是AB上一点,⊙O过A、E两点, 交AD于点G,交AB于点F.‎ ‎(1)求证:BC与⊙O相切;‎ ‎(2)当∠BAC=120°时,求∠EFG的度数.‎ ‎【关键词】切线、角平分线 B A C D E G O F 第20题图 ‎【答案】(1)证明:连接OE,‎ ‎∵AB=AC且D是BC中点,‎ ‎∴AD⊥BC.‎ ‎∵AE平分∠BAD,‎ ‎∴∠BAE=∠DAE.‎ ‎∵OA=OE,‎ ‎∴∠OAE=∠OEA.‎ ‎∴∠OEA=∠DAE.‎ ‎∴OE∥AD.‎ ‎∴OE⊥BC.‎ ‎∴BC是⊙O的切线 ‎(2)∵AB=AC,∠BAC=120°,‎ ‎∴∠B=∠C=30°.‎ ‎∴∠EOB =60°.‎ ‎∴∠EAO =∠EAG =30°.‎ ‎∴∠EFG =30°.‎ ‎(2010年四川省眉山)下列命题中,真命题是 A.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B.等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形 C.圆的切线垂直于经过切点的半径 D.垂直于同一直线的两条直线互相垂直 ‎【关键词】真假命题和一些几何概念 ‎【答案】C C P D O B A E ‎(2010年广东省广州市)如图,⊙O的半径为1,点P是⊙O上一点,弦AB垂直平分线段OP,点D是上任一点(与端点A、B不重合),DE⊥AB于点E,以点D为圆心、DE长为半径作⊙D,分别过点A、B作⊙D的切线,两条切线相交于点C.‎ ‎(1)求弦AB的长;‎ ‎(2)判断∠ACB是否为定值,若是,求出∠ACB的大小;否则,请说明理由;‎ ‎(3)记△ABC的面积为S,若=4,求△ABC的周长.‎ ‎【关键词】垂径定理 勾股定理 内切圆 切线长定理 三角形面积 ‎【答案】解:(1)连接OA,取OP与AB的交点为F,则有OA=1.‎ F C P D O B A E H G ‎∵弦AB垂直平分线段OP,∴OF=OP=,AF=BF.‎ 在Rt△OAF中,∵AF===,∴AB=2AF=.‎ ‎(2)∠ACB是定值.‎ 理由:由(1)易知,∠AOB=120°,‎ 因为点D为△ABC的内心,所以,连结AD、BD,则∠CAB=2∠DAE,∠CBA=2∠DBA,‎ 因为∠DAE+∠DBA=∠AOB=60°,所以∠CAB+∠CBA=120°,所以∠ACB=60°;‎ ‎(3)记△ABC的周长为l,取AC,BC与⊙D的切点分别为G,H,连接DG,DC,DH,则有DG=DH=DE,DG⊥AC,DH⊥BC.‎ ‎∴‎ ‎=AB•DE+BC•DH+AC•DG=(AB+BC+AC) •DE=l•DE.‎ ‎∵=4,∴=4,∴l=8DE.‎ ‎∵CG,CH是⊙D的切线,∴∠GCD=∠ACB=30°,‎ ‎∴在Rt△CGD中,CG===DE,∴CH=CG=DE.‎ 又由切线长定理可知AG=AE,BH=BE,‎ ‎∴l=AB+BC+AC=2+2DE=8DE,解得DE=,‎ ‎∴△ABC的周长为.‎