- 903.00 KB
- 2021-05-10 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
直线与圆的位置关系
1、(福建德化)如图,在矩形ABCD中,点O在对角线AC上,以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F,且∠ACB=∠DCE.
(1)判断直线CE与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(2)若tan∠ACB=,BC=2,求⊙O的半径.
答案:1)直线CE与⊙O相切。
证明:∵四边形ABCD是矩形 ∴BD∥AD,∠ACB=∠DAC ,
又 ∵∠ACB=∠DCE
∴∠DAC=∠DCE,连接OE,则∠DAC=∠AEO=∠DCE,∵∠DCE+∠DEC=90
∴∠AE0+∠DEC=90 ∴∠OEC=90 ∴直线CE与⊙O相切。
(2)∵tan∠ACB=,BC=2 ∴AB=BC∠ACB= AC=
又∵∠ACB=∠DCE ∴tan∠DCE= ∴DE=DC•tan∠DCE=1
方法一:在Rt△CDE中,CE=,
连接OE,设⊙O的半径为r,
则在Rt△COE中,即 解得:r=
方法二:AE=CD-AE=1,过点O作OM⊥AE于点M,则AM=AE=
在Rt△AMO中,OA=
20.(2010年北京崇文区) 如图,是半圆的直径,过点作弦的垂线交半圆 于点,交于点使.
C
A
O
B
E
D
(1)判断直线与圆的位置关系,并证明你的结论;
(2)若,求的长.
【关键词】切线的证明、弦长的计算
【答案】解:(1)与的相切.证明如下:
.
又,
.
即与的相切.
(2)解:连接.是直径,
C
A
O
B
E
D
1
2
在中,,
,
..
,
在中,,
=.
8.(2010年门头沟区)如图,已知⊙是以数轴的原点为圆心,半径为1的圆,
P
A
O
B
第8题
,点在数轴上运动,若过点且与平行的直
线与⊙有公共点, 设,则的取值范围是
A.-1≤≤1 B.≤≤ C.0≤≤ D.>
【关键词】圆的切线
【答案】C
19. (2010年门头沟区)已知,如图,直线MN交⊙O于A,B两点,AC是直径,
AD平分CAM交⊙O于D,过D作DE⊥MN于E.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
C
O
B
A
D
M
E
N
(2)若cm,cm,求⊙O的半径.
【关键词】圆的切线
【答案】(1)证明:连接OD.
∵OA=OD,
.
∵AD平分∠CAM,
,
.
∴DO∥MN.
,
∴DE⊥OD.………………………………………………………………………………1分
∵D在⊙O上,
是⊙O的切线.……………………………………………………………………2分
(2)解:,,,
.………………………………………………3分
连接.是⊙O的直径,
.
,
.………………………………………………………………4分
.
.
∴(cm).
⊙O的半径是7.5cm.
1.(2010年台湾省) 图(四)为△ABC和一圆的重迭情形,此圆与直线BC相切于C点,
A
C
B
D
图(四)
且与交于另一点D。若ÐA=70°,ÐB=60°,则 的度数为何?
(A) 50 (B) 60 (C) 100 (D) 120 。
【关键词】直线和圆的位置关系
【答案】C
2.(2010年山东省济南市)如图,是⊙的切线,为切点,是⊙的弦,过作于点.若,,.
求:(1)⊙的半径;
(2)AC的值.
【关键词】直线和圆的位置关系
【答案】
解①∵AB是⊙O的切线,A为切点
∴OA⊥AB ………..…………………………1’
在Rt△AOB中,
AO===5 ………..…….2’
∴⊙O的半径为5
②∵OH⊥AC
∴在Rt△AOH中
AH=== ……….3’
又∵OH⊥AC
∴AC=2AH=2 ……………….……..4’
x
O
P
y
18、(2010年宁波)如图,已知⊙P的半径为2,圆心P在抛物线上运动,当⊙P与轴相切时,圆心P的坐标为___________。
答案:(,2)或(,2)
(2010年重庆市潼南县) 如图,在矩形ABCD中,AB=6 , BC=4, ⊙O是以AB为直径的圆,则直线DC与⊙O的位置关系是 .
【关键词】直线与圆的位置关系
【答案】相离
14.(2010重庆市)已知⊙O的半径为3cm,圆心O到直线l的距离是4cm,则直线l与⊙O的位置关系是_____________.
解析:因为圆心O到直线l的距离大于⊙O的半径,所以直线l与⊙O相离.
答案:相离.
1.(2010年山东聊城)如图,已知R t△ABC,∠ABC=90°,以直角边AB为直径作O,交斜边AC于点D,连结BD.
(1)若AD=3,BD=4,求边BC的长;
(2)取BC的中点E,连结ED,试证明ED与⊙O相切.
第24题
A
C
B
D
E
O
·
【关键词】切线
【答案】(1)∵AB为直径,∴∠ADB=90° AD=3 BD=4 AB=5
由Rt△ABC∽Rt△ABD可得:
∴BC==
(2)连接OD,
∵BD⊥AC E为BC中点,∴DE=BE,∴∠EBD=∠EDB, ∵OB=OD
∴∠OBD=∠ODB,∵∠OBD+∠EBD=90°,∴∠EDB+∠ODB=90°,
∴ED与⊙O相切.
1. (2010年兰州市)(本题满分10分)如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.
(1)求证:PC是⊙O的切线;
(2)求证:BC=AB;
(3)点M是弧AB的中点,CM交AB于点N,若AB=4,求MN·MC的值.
【关键词】
切线的判定
【答案】
解:(1)∵OA=OC,∴∠A=∠ACO
∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB
∴∠A=∠ACO=∠PCB ……………………………………………………1分
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACO+∠OCB=90° …………………………………………………2分
∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP …………………………………………3分
∵OC是⊙O的半径
∴PC是⊙O的切线 …………………………………………………4分
(2)∵PC=AC ∴∠A=∠P
∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P
∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB
∴∠CBO=∠COB ……………………………………………5分
∴BC=OC
∴BC=AB ………………………………………………………6分
(3)连接MA,MB
∵点M是弧AB的中点
∴弧AM=弧BM ∴∠ACM=∠BCM ………7分
∵∠ACM=∠ABM ∴∠BCM=∠ABM
∵∠BMC=∠BMN
∴△MBN∽△MCB
∴
∴BM2=MC·MN ……………………8分
∵AB是⊙O的直径,弧AM=弧BM
∴∠AMB=90°,AM=BM
∵AB=4 ∴BM= ………………………………………………………9分
∴MC·MN=BM2=8 ……………………………………………………10分
(2010江苏宿迁)(本题满分10分)如图,AB是⊙O的直径, P为AB延长线上任意一点,C为半圆ACB的中点,PD切⊙O于点D,连结CD交AB于点E.
•
P
B
A
E
O
C
D
求证:(1)PD=PE;
(2).
【关键词】切线
【答案】证明:(1)连接OC、OD………………1分
∴OD⊥PD ,OC⊥AB
∴∠PDE=—∠ODE,
∠PED=∠CEO=—∠C
又∵∠C=∠ODE
∴∠PDE=∠PED …………………………………………4分
∴PE=PD …………………………………………5分
(2) 连接AD、BD ………………………………………6分
∴∠ADB=
∵∠BDP=—∠ODB,∠A=—∠OBD
又∵∠OBD=∠ODB ∴∠BDP=∠A
∴PDB∽PAD …………………………………………………8分
∴ ∴
∴
8. (2010年安徽中考)如图,⊙O过点B 、C。圆心O在等腰直角△ABC的内部,∠BAC=900,OA=1,BC=6,则⊙O的半径为………………( )
A)B)C)D)
【关键词】直线与圆的位置关系
【答案】C
13. (2010年安徽中考) 如图,△ABC内接于⊙O,AC是⊙O的直径,∠ACB=500
,点D是BAC上一点,则∠D=_______________
【关键词】圆内接三角形
【答案】400
20.(2010年浙江省东阳市)(8分)如图,BD为⊙O的直径,点A是弧BC的中点,AD交BC于E点,AE=2,ED=4.
(1)求证: ~;
(2) 求的值;
(3)延长BC至F,连接FD,使的面积等于,
求的度数.
【关键词】三角形相似、解直角三角形
【答案】(1)∵点A是弧BC的中点 ∴∠ABC=∠ADB
又∵∠BAE=∠BAE ∴△ABE∽△ABD......................3分
(2)∵△ABE∽△ABD ∴AB2=2×6=12 ∴AB=2
在Rt△ADB中,tan∠ADB=......................3分
(3)连接CD,可得BF=8,BE=4,则EF=4,△DEF是正三角形,
∠EDF=60°......................................2分
14.(2010重庆市)已知⊙O的半径为3cm,圆心O到直线l的距离是4cm,则直线l与⊙O的位置关系是_____________.
解析:因为圆心O到直线l的距离大于⊙O的半径,所以直线l与⊙O相离.
答案:相离.
28.(2010江苏泰州,28,12分)在平面直角坐标系中,直线(k为常数且k≠0)分别交x轴、y轴于点A、B,⊙O半径为个单位长度.
⑴如图甲,若点A在x轴正半轴上,点B在y轴正半轴上,且OA=OB.
①求k的值;
②若b=4,点P为直线上的动点,过点P作⊙O的切线PC、PD,切点分别为C、
D,当PC⊥PD时,求点P的坐标.
⑵若,直线将圆周分成两段弧长之比为1∶2,求b的值.(图乙供选用)
【答案】⑴①根据题意得:B的坐标为(0,b),∴OA=OB=b,∴A的坐标为(b,0),代入y=kx+b得k=-1.
②过P作x轴的垂线,垂足为F,连结OD.
∵PC、PD是⊙O的两条切线,∠CPD=90°,
∴∠OPD=∠OPC=∠CPD=45°,
∵∠PDO=90°,,∠POD=∠OPD=45°,
∴OD=PD=,OP=.
∵P在直线y=-x+4上,设P(m,-m+4),则OF=m,PF=-m+4,
∵∠PFO=90°, OF2+PF2=PO2,
∴ m2+ (-m+4)2=()2,
解得m=1或3,
∴P的坐标为(1,3)或(3,1)
⑵分两种情形,y=-x+,或y=-x-。
直线将圆周分成两段弧长之比为1∶2,可知其所对圆心角为120°
,如图,画出弦心距OC,可得弦心距OC=,又∵直线中∴直线与x轴交角的正切值为,即,∴AC=,进而可得AO=,即直线与与x轴交于点(,0).所以直线与y轴交于点(,0),所以b的值为.
当直线与x轴、y轴的负半轴相交,同理可求得b的值为.
综合以上得:b的值为或.
【关键词】一次函数、勾股定理、圆的切线等知识的综合运用
6.(2010年山东省青岛市)如图,在Rt△ABC中,∠C = 90°,∠B = 30°,BC = 4 cm,以点C为圆心,以2 cm的长为半径作圆,则⊙C与AB的位置关系是( ).
A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交
【关键词】直线与圆的位置关系
【答案】B
23.(2010年安徽省芜湖市)(本小题满分12分)如图,BD是⊙O的直径,OA⊥OB,M是劣弧上一点,过点M点作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点,MD与OA交于N点.
(1)求证:PM=PN;
(2)若BD=4,PA= AO,过点B作BC∥MP交⊙O于C点,求BC的长.
【关键词】圆的切线、勾股定理、相似三角形
(1)【证明】:连接OM,.......1分
∵MP是⊙O的切线,∴OM⊥MP.∴∠OMD+∠DMP=90°.
∵OA⊥OB,∴∠OND +∠ODM=90°.
又∵∠MNP=∠OND ,∠ODM=∠OMD ,∴∠DMP=∠MNP,∴PM=PN....4分
(2)解:设BC交OM于点E,∴BD=4,OA=OB=,
∴PA=,∴PO=5....5分
∵BC∥MP,OM⊥MP,∴OM⊥BC,BE=...............7分
∵∠BOM+∠MOP=90°,在Rt△OMP中,∠MPO+∠MOP=90°,
∴∠BOM=∠MPO,又∵∠BEO=∠OMP==90°.
∴△OMP∽△BEO.∴...............10分
得:,∴,∴.............12分
4.(2010重庆市)已知⊙O的半径为3cm,圆心O到直线l的距离是4cm,则直线l与⊙O的位置关系是_____________.
解析:因为圆心O到直线l的距离大于⊙O的半径,所以直线l与⊙O相离.
答案:相离.
21(2010年浙江省金华).(本题8分)
A
C
B
D
(第21题图)
E
F
O
如图,AB是⊙O的直径,C是的中点,CE⊥AB于 E,BD交CE于点F.
1
2
(1)求证:CF﹦BF;
(2)若CD ﹦6, AC ﹦8,则⊙O的半径为 ▲ ,
CE的长是 ▲ .
【关键词】直径所对圆周角是直角
【答案】(1) 证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB﹦90°
又∵CE⊥AB, ∴∠CEB﹦90°
∴∠2﹦90°-∠A﹦∠1
又∵C是弧BD的中点,∴∠1﹦∠A
∴∠1﹦∠2,
∴ CF﹦BF﹒
(2) ⊙O的半径为5 , CE的长是﹒
8.(2010山东德州)已知三角形的三边长分别为3,4,5,则它的边与半径为1的圆的公共点个数所有可能的情况是
(A)0,1,2,3 (B)0,1,2,4 (C)0,1,2,3,4 (D)0,1,2,4,5
【关键词】直线与圆的关系
【答案】C
20.(2010山东德州)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC中点,AE平分∠BAD交BC于点E,点O是AB上一点,⊙O过A、E两点, 交AD于点G,交AB于点F.
(1)求证:BC与⊙O相切;
(2)当∠BAC=120°时,求∠EFG的度数.
【关键词】切线、角平分线
B
A
C
D
E
G
O
F
第20题图
【答案】(1)证明:连接OE,
∵AB=AC且D是BC中点,
∴AD⊥BC.
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE.
∵OA=OE,
∴∠OAE=∠OEA.
∴∠OEA=∠DAE.
∴OE∥AD.
∴OE⊥BC.
∴BC是⊙O的切线
(2)∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°.
∴∠EOB =60°.
∴∠EAO =∠EAG =30°.
∴∠EFG =30°.
(2010年四川省眉山)下列命题中,真命题是
A.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B.等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形
C.圆的切线垂直于经过切点的半径
D.垂直于同一直线的两条直线互相垂直
【关键词】真假命题和一些几何概念
【答案】C
C
P
D
O
B
A
E
(2010年广东省广州市)如图,⊙O的半径为1,点P是⊙O上一点,弦AB垂直平分线段OP,点D是上任一点(与端点A、B不重合),DE⊥AB于点E,以点D为圆心、DE长为半径作⊙D,分别过点A、B作⊙D的切线,两条切线相交于点C.
(1)求弦AB的长;
(2)判断∠ACB是否为定值,若是,求出∠ACB的大小;否则,请说明理由;
(3)记△ABC的面积为S,若=4,求△ABC的周长.
【关键词】垂径定理 勾股定理 内切圆 切线长定理 三角形面积
【答案】解:(1)连接OA,取OP与AB的交点为F,则有OA=1.
F
C
P
D
O
B
A
E
H
G
∵弦AB垂直平分线段OP,∴OF=OP=,AF=BF.
在Rt△OAF中,∵AF===,∴AB=2AF=.
(2)∠ACB是定值.
理由:由(1)易知,∠AOB=120°,
因为点D为△ABC的内心,所以,连结AD、BD,则∠CAB=2∠DAE,∠CBA=2∠DBA,
因为∠DAE+∠DBA=∠AOB=60°,所以∠CAB+∠CBA=120°,所以∠ACB=60°;
(3)记△ABC的周长为l,取AC,BC与⊙D的切点分别为G,H,连接DG,DC,DH,则有DG=DH=DE,DG⊥AC,DH⊥BC.
∴
=AB•DE+BC•DH+AC•DG=(AB+BC+AC) •DE=l•DE.
∵=4,∴=4,∴l=8DE.
∵CG,CH是⊙D的切线,∴∠GCD=∠ACB=30°,
∴在Rt△CGD中,CG===DE,∴CH=CG=DE.
又由切线长定理可知AG=AE,BH=BE,
∴l=AB+BC+AC=2+2DE=8DE,解得DE=,
∴△ABC的周长为.