中考数学一轮复习几何篇18相似形的综合运用二 4页

18.相似形的综合运用（二） 按住 ctrl 键 点击查看更多中考数学资源 知识考点： 本节知识包括综合运用三角形相似的性质与判定定理，这是中考的必考内容，另外，以 相似三角形为背景的综合题是常见的热点题型。 精典例题： 【例 1】如图已知，△ABC 中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ∥AB，P 点在 AC 上（与 点 A、C 不重合），Q 点在 BC 上。 （1）当△PQC 的面积与四边形 PABQ 的面积相等时，求 CP 的长。 （2）当△PQC 的周长与四边形 PABQ 的周长相等时，求 CP 的长。 （3）试问：在 AB 上是否存在点 M，使得△PQM 为等腰直角三角形？若不存在，请简 要说明理由；若存在，请求出 PQ 的长。 解：（1）∵ PABQPQC SS 四边形 ，∴ 2:1:  ABCPQC SS 又∵PQ∥AB，∴△PQC∽△ABC ∴ 2 12        AC PC S S ABC PQC ，∴ 82 1422 PC 故 22PC （2）∵△PQC 的周长与四边形 PABQ 的周长相等 ∴PC＋CQ＝PA＋AB＋QB＝ 2 1 （△ABC 的周长）＝6 又∵PQ∥AB，∴ CB CQ CA CP  ，即 3 6 4 CPCP  ，解得 7 24CP 例 1 图 1 QP C BA （3）①依题意得（如图 2）当∠MPQ＝900 ，PM＝PQ 时，由勾股定理的逆定理得 ∠C＝900，∴△ABC 的 AB 边上的高为 5 12 ，设 PM＝PQ＝ x ∵PQ∥AB，△CPQ∽△CAB，∴ 5 12 5 12 5 xx   ，解得 37 60x ，即 37 60PC 当 090 QPM ， MQQP  时，同理可得 37 60PC ②依题意得（如图 3）当∠PMQ＝900 ，MP＝MQ 时，由等腰直角三角形的性质得： M 到 PQ 的距离为 2 1 PQ，设 PQ＝ x ，由 PQ∥AB 可得△CPQ∽△CAB，所以有： 5 12 2 1 5 12 5 xx   ，解得 49 120x ，即 49 120PQ 【例 2】如图，△ABC≌△ CBA  ，∠C＝∠ C ＝900， AC＝3cm， BA  ＝5cm，先将△ABC 和△ CBA  完全重合， 再将△ABC 固定，△ CBA  沿 CB 所在的直线向左以每秒 1cm 的速度平行移动，设移动 x 秒后，△ABC 与△ CBA  的重叠部 分的面积为 y cm2，则 y 与 x 之间的函数关系式为 ， 秒后重叠部 分的面积为 8 3 cm2。 答案： 638 3 2  xxy （0≤ x ≤4） 变式：操场上有一高高耸立的旗杆，如何测出它的高度，请你说出几种方法来。 探索与创新： 【问题】在△ABC 中，D 为 BC 边上的中点，E 为 AC 边上任意一点，BE 交 AD 于点 O。某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实： 当 11 1 2 1  AC AE 时，有 12 2 3 2  AD AO （如图 1） 当 21 1 3 1  AC AE 时，有 22 2 4 2  AD AO （如图 2） 当 31 1 4 1  AC AE 时，有 32 2 5 2  AD AO （如图 3） 在图 4 中，当 nAC AE  1 1 时，参照上述研究结论，请你猜想用 n 表示 AD AO 的一般结论， 并给出证明（其中 n 是正整数）。 分析：特例能反映个性特征信息, 个性之中包含着共性, 共性蕴含在个性之中。特例所 反映的个性特征, 往往通过类比就可以反映其共性规律。 对照（1）、（2）、（3）很容易猜想得到这样一个结论： 独想：当 nAC AE  1 1 时，有 nAD AO  2 2 成立。 问题图 1 O E D CB A 问题图 2 O E D CB A 问题图 3 O E D CB A 问题图 4 F O E D CB A 证明：过点 D 作 DF∥BE，交 AC 于点 F ∵D 是 BC 的中点 ∴F 是 EC 的中点 由 nAC AE  1 1 可知 nEC AE 1 ∴ nEF AE 2 ∴ nAF AE  2 2 ∴ nAF AE AD AO  2 2 跟踪训练： 一、填空题： 1、梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB＞CD，AC、BD 交于点 O，过点 O 的直线分别交 AB、 CD 于 E、F，若 3 1 AB AE ，FC＝4cm，则 CD＝ cm。 2、如图，O 是平行四边形 ABCD 对角线的交点，OE∥AD 交 CD 于 E，OF∥AB 于 F，那 么 OEFS ∶ ABCDS平行四边形 ＝ 。 3、如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，中位线 EF 交 BD 于 H，AF 交 BD 于 G，CD＝4AB， 则 ABCDS梯形 ∶ GHFS ＝ 。 二、选择题： 矩形 ABCD 中，AB＝3，AD＝4，DE 垂直对角线 AC 于 E，那么 ADES ∶ DCES ＝（ ） A、4∶3 B、16∶9 C、 32 ∶3 D、3∶4 三、解答题： 1、如图，在正方形 ABCD 中，M 是 AB 上一点，BM＝BN，作 BP⊥MC 于 P，求证： DP⊥NP。 第 1 题图 M N P D CB A 第 2 题图 H E F G D C B A 2、如图，在四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 上的点，且 kHD AH GC DG FC BF EB AE  )0( k ，阅读下段材料，然后再回答后面的问题： 连结 BD，∵ HD AH EB AE  ，∴EH∥BD ∵ GC DG FC BF  ，∴FG∥BD，∴FG∥EH ①连结 AC，则 EF 与 GH 是否一定平行？答： 。 ②当 k 值为 时，四边形 EFGH 是平行四边形； ③在②的情况下，对角线 AC 与 BD 只须满足 条件时，EFGH 是矩形； ④在②的情况下，对角线 AC 与 BD 只须满足 条件时，EFGH 是菱形。 3、已知△ABC 中，AB＝ 32 ，AC＝2，BC 边上的高 AD＝ 3 。 （1）求 BC 的长； （2）如果有一个正方形的一边在 AB 上，另外两个顶点分别在 AC、BC 上，求正方形 的面积。 提示：D 点可能在 BC 上或在 BC 的延长线上，问题要分类讨论。 3、已知抛物线 mmmxxy  22 1838 1 与 x 轴交于 A（ 1x ，0），B（ 2x ，0） )( 21 xx  两点，与 y 轴交于点 C（0，b ），O 为坐标原点。 （1）求 m 的取值范围； （2）若 18 1m ，OA＋OB＝3OC，求抛物线的解析式及 A、B、C 三点的坐标； （3）在（2）的情形下，点 P、Q 分别从 A、O 两点同时出发（如图）以相同的速度沿 AB、OC 向 B、C 运动，连结 PQ 与 BC 交于 M，设 AP＝ k ，问是否存在 k 值，使以 P、B、 M 为顶点的三角形与△ABC 相似。若存在，求 k 的值；若不存在，请说明理由。 跟踪训练参考答案 一、填空题： 1、12；2、1∶8；3、15∶2； 二、选择题：B 三、解答题： 1、证△BPM∽△CPB，△PBN∽△PCD； 2、①不一定；②1；③AC⊥BD；④AC＝BD； 3、①点 D 在 BC 上时，BC＝4， 3612 S ；②点 D 在 BC 的延长线上时，BC＝2， 121 348156 S ； 4、（1） 0m ； （2）A（－8，0），B（－4，0），C（0，4）， 42 3 8 1 2  xxy （3）存在 3 8k 或 2