中考数学一轮复习集训题型专项十圆的有关计算与证明人教版含答案云南专用 15页

圆的有关计算与证明 圆的有关计算与证明是中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，利用圆的性质求角度或者计算阴影部分面积．‎ ‎　(2015·昆明西山区二模)如图，CE是⊙O的直径，AC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，∠A＝2∠DCE，延长AD交CE的延长线于点B，连接CD，若BE＝OE＝2.‎ ‎(1)求证：AD为⊙O的切线；‎ ‎(2)求图中阴影部分的面积(结果保留π)．‎ ‎【思路点拨】　(1)要证AD为⊙O的切线，由点D在⊙O上可知，只需连接OD，证明OD⊥AD.由OC＝OD得∠DOB＝2∠DCE＝∠A.由AC为⊙O的切线知∠A＋∠B＝90°，从而∠DOB＋∠B＝90°，OD⊥AD即可得证；(2)S阴＝S△ODB－S扇形ODE.代入相关数据即可求出．‎ ‎【解答】　(1)证明：连接OD，如图．‎ ‎∵OC＝OD，∴∠DOB＝2∠DCE.‎ 又∵∠A＝2∠DCE，∴∠DOB＝∠A.‎ ‎∵AC为⊙O的切线，‎ ‎∴AC⊥OC，∴∠A＋∠B＝90°.‎ ‎∴∠DOB＋∠B＝90°.‎ ‎∴∠ODB＝90°，即OD⊥AB.‎ ‎∵OD为⊙O的半径，∴AD为⊙O的切线．‎ ‎(2)在Rt△ODB中，∵OD＝OE，OE＝BE.‎ ‎∴sinB＝＝，∴∠B＝30°，∠DOB＝60°.‎ ‎∵BD＝OB·sin60°＝4×＝2，‎ ‎∴S△ODB＝×OD×BD＝×2×2＝2.‎ S扇形ODE＝＝.‎ ‎∴S阴＝S△ODB－S扇形ODE＝2－.‎ 证明一条直线是圆的切线的常见方法有两种：‎ ‎(1)当直线和圆有一公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“作半径，证垂直”；‎ ‎(2)当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”．‎ 类型1　与切线有关的计算与证明 ‎1．(2015·昆明西山区一模)已知AB是⊙O的直径，AC为弦，且平分∠BAD，AD⊥CD，垂足为D，求证：‎ ‎(1)CD是⊙O的切线；‎ ‎(2)延长AB、DC交于点F，∠BFC＝30°，⊙O半径为‎3 cm，求AD的长．‎ ‎2．(2015·昆明二模)已知：如图所示，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于F，DE与边AB相交于E，∠EDF＝∠A，且AE＝3EB.‎ ‎(1)求证：DE是⊙O的切线．‎ ‎(2)若BC＝8，CD＝4，求ABCD的高DF的长度．‎ ‎3．(2015·昆明盘龙区一模)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O与AC边交于点D，过点D的直线交BC边于点E，∠BDE＝∠A.‎ ‎(1)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎(2)若⊙O的半径R＝5，cosA＝，求线段CD的长．‎ ‎4．(2015·衡阳)如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E.‎ ‎(1)求证：CE为⊙O的切线；‎ ‎(2)判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由．‎ ‎5．(2015·昆明官渡区二模)如图，已知AB为⊙O的直径，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED＝EA.‎ ‎(1)求证：ED是⊙O的切线；‎ ‎(2)若OA＝‎3 cm，AE＝‎4 cm，求BC的长度．‎ ‎(2013·曲靖)如图，⊙O的直径AB＝10，C，D是圆上的两点，且＝＝.设过点D的切线ED交AC的延长线于点F，连接OC交AD于点G.‎ ‎(1)求证：DF⊥AF；‎ ‎(2)求OG的长．‎ ‎7．(2015·黔西南)如图所示，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.‎ ‎(1)求证：直线PB与⊙O相切；‎ ‎(2)PO的延长线与⊙O交于点E，若⊙O的半径为3，PC＝4.求弦CE的长．‎ ‎8．(2015·北京)如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且DA＝DC，连接AC，延长AD交BM于点E.‎ ‎(1)求证：△ACD是等边三角形；‎ ‎(2)连接OE，若DE＝2，求OE的长．‎ ‎9．(2015·常德)已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF.‎ ‎(1)求证：EF是⊙O的切线；‎ ‎(2)若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长．‎ ‎10．(2015·东营)已知，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E.‎ ‎(1)求证：AC·AD＝AB·AE；‎ ‎(2)如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC＝2时，求AC的长．‎ ‎11．(2015·临沂)如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD.‎ ‎(1)求证：AD平分∠BAC；‎ ‎(2)若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积(结果保留π)．‎ ‎类型2　与圆的性质有关的计算与证明 ‎1．(2015·无锡)已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝‎6 cm，AC＝‎8 cm，∠ABD＝45°.‎ ‎(1)求BD的长；‎ ‎(2)求图中阴影部分的面积．‎ ‎2．(2015·安徽)在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.‎ ‎(1)如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；‎ ‎(2)如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．‎ ‎3．(2015·滨州)如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D.‎ 求弧BC的长；‎ ‎(2)求弦BD的长．‎ ‎4．(2015·台州)如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC.‎ ‎(1)若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；‎ ‎(2)求证：∠1＝∠2.‎ 参考答案 ‎ 1.(1)证明：连接OC.‎ ‎∵AC平分∠BAD，‎ ‎∴∠CAO＝∠CAD.‎ ‎∵AD⊥CD，‎ ‎∴∠CAD＋∠ACD＝90°.‎ ‎∴∠CAO＋∠ACD＝90°.‎ 又∵OA＝OC，‎ ‎∴∠CAO＝∠OCA.‎ ‎∴∠OCA＋∠ACD＝90°，即∠OCD＝90°，OC⊥CD.‎ 又∵OC为⊙O的半径，‎ ‎∴CD是⊙O的切线．　‎ ‎(2)在Rt△OCF中，OC＝‎3 cm，∠BFC＝30°，‎ ‎∴OF＝2OC＝‎6 cm.‎ ‎∴AF＝OF＋OA＝6＋3＝9(cm)．‎ 在Rt△AFD中，‎ ‎∵∠F＝30°，‎ ‎∴AD＝AF＝×9＝4.5(cm)．　‎ ‎ 2.(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，‎ ‎∴∠A＝∠C.‎ ‎∵∠EDF＝∠A，‎ ‎∴∠EDF＝∠C.‎ ‎∵CD为⊙O的直径，‎ ‎∴∠DFC＝90°，‎ ‎∴∠FDC＋∠C＝90°.‎ ‎∴∠EDF＋∠FDC＝90°，即∠EDC＝90°，‎ ‎∴DE⊥OD.‎ ‎∵OD为⊙O的半径，‎ ‎∴DE是⊙O的切线．　‎ ‎(2)∵四边形ABCD为平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC.∵DF⊥BC，‎ ‎∴DF⊥AD.‎ ‎∴∠ADE＋∠EDF＝90°.‎ ‎∴∠ADE＝∠FDC.‎ ‎∵∠A＝∠C，‎ ‎∴△ADE∽△CDF.‎ ‎∴＝.‎ ‎∵AB＝CD＝4，AE＝3EB，‎ ‎∴AE＝AB＝×4＝3.‎ ‎∴＝.‎ ‎∴CF＝.‎ 在Rt△CDF中，由勾股定理得DF＝＝＝.　‎ ‎ 3.(1)直线DE与⊙O相切，理由如下：连接OD.‎ ‎∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB＝90°，∴∠A＋∠ABD＝90°.‎ ‎∵OB＝OD，‎ ‎∴∠ABD＝∠ODB.‎ ‎∵∠BDE＝∠A，‎ ‎∴∠BDE＋∠ODB＝90°，即∠ODE＝90°.‎ ‎∴OD⊥DE.又∵点D在⊙O上，‎ ‎∴直线DE与⊙O相切．　‎ ‎(2)在Rt△ABC中，cosA＝＝＝，‎ ‎∴AC＝.在Rt△ABD中，cosA＝＝＝，‎ ‎∴AD＝8.‎ ‎∴CD＝AC－AD＝－8＝　‎ ‎ 4.(1)证明：连接OD.‎ ‎∵点C、D为半圆O的三等分点，‎ ‎∴∠BOC＝∠COD＝∠BOD.又∠BAD＝∠BOD，‎ ‎∴∠BOC＝∠BAD.∴AE∥OC.‎ ‎∵AD⊥EC，‎ ‎∴OC⊥EC.‎ ‎∴CE为⊙O的切线．　‎ ‎(2)四边形AOCD是菱形．理由如下：∵点C、D为半圆O的三等分点，‎ ‎∴∠AOD＝∠COD＝60°.‎ 又∵OA＝OD＝OC，‎ ‎∴△AOD和△COD都是等边三角形．‎ ‎∴OA＝AD＝DC＝OC＝OD.‎ ‎∴四边形AOCD是菱形．　‎ ‎ 5.(1)证明：连接OD.∵ED＝EA，‎ ‎∴∠EDA＝∠EAD.‎ ‎∵OD＝OA，‎ ‎∴∠ODA＝∠OAD.‎ ‎∵AC⊥AB，‎ ‎∴∠OAD＋∠EAD＝∠BAC＝90°，‎ ‎∴∠ODA＋∠EDA＝90°，‎ 即∠ODE＝90°，OD⊥ED.‎ 又∵OD为⊙O的半径，‎ ‎∴ED是⊙O的切线．　‎ ‎(2)∵EA、ED均为⊙O的切线，‎ ‎∴EO⊥AD.‎ ‎∴∠BAD＋∠AOE＝90°.‎ ‎∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB＝90°.‎ ‎∴∠BAD＋∠ABD＝90°.‎ ‎∴∠AOE＝∠ABD.‎ ‎∴OE∥BC.‎ 又∵O为AB的中点，‎ ‎∴OE为△BAC的中位线．‎ ‎∴BC＝2OE＝2×＝10(cm)．　‎ ‎ 6.(1)证明：连接OD，BD.∵＝＝ ，‎ ‎∴∠CAD＝∠DAB＝30°，∠ABD＝60°.‎ 又OA＝OD，‎ ‎∴∠ODA＝∠DAB＝30°.‎ ‎∴∠ODA＝∠FAD.‎ ‎∴OD∥AF.又DE是⊙O的切线，‎ ‎∴OD⊥DF.∴DF⊥AF.‎ ‎　(2)∵AB＝10，‎ ‎∴AO＝5.‎ ‎∵＝ ，‎ ‎∴OG⊥AD.在Rt△AOG中，∠GAO＝30°，‎ ‎∴OG＝AO＝.　‎ ‎ 7.(1)证明：过点O作OD⊥PB，连接OC.‎ ‎∵AP与⊙O相切，‎ ‎∴OC⊥AP.‎ 又∵OP平分∠APB，‎ ‎∴OD＝OC.‎ ‎∴PB是⊙O的切线．‎ ‎（2）过C作CF⊥PE于点F.在Rt△OCP中，OP＝＝5.‎ ‎∵S△OCP＝OC·CP＝OP·CF，‎ ‎∴CF＝.在Rt△COF中，OF＝＝.‎ ‎∴FE＝3＋＝.‎ 在Rt△CFE中，CE＝＝.　‎ ‎ 8.(1)证明：∵BM是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，‎ ‎∴AB⊥BM.‎ ‎∵BM∥CD，‎ ‎∴AB⊥CD.‎ ‎∴AD＝AC.‎ ‎∵DA＝DC，‎ ‎∴AD＝CD＝AC.‎ ‎∴△ACD为等边三角形．　‎ ‎(2)∵△ACD为等边三角形，AB⊥CD.‎ ‎∴∠DAB＝30°.连接BD，‎ ‎∴BD⊥AD，∠EBD＝∠DAB＝30°.‎ ‎∵DE＝2，‎ ‎∴BE＝4，BD＝2，AB＝4，OB＝2.‎ 在Rt△OBE中，OE＝＝＝2.‎ ‎ 9.(1)证明：连接FO.∵AC是⊙O的直径，‎ ‎∴CE⊥AE.‎ ‎∵点F为BC的中点，‎ ‎∴FC＝FE.‎ ‎∵OE＝OC，OF＝OF，‎ ‎∴△EFO≌△CFO(SSS)．‎ ‎∴∠OEF＝∠OCF.‎ ‎∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，‎ ‎∴∠FEO＝90°，即OE⊥EF.又点E在圆上，‎ ‎∴FE为⊙O的切线．‎ ‎(2)∵⊙O的半径为3，‎ ‎∴AO＝CO＝EO＝3，AC＝6.‎ 又∵∠EAC＝60°，‎ ‎∴∠EOA＝60°.‎ ‎∴∠COD＝∠EOA＝60°.‎ ‎∴在Rt△OCD中，∠COD＝60°，OC＝3.‎ ‎∴CD＝OC＝3.‎ ‎∴在Rt△ACD中，AD＝＝＝3.‎ ‎10.(1)证明：连接DE.∵AE是直径，‎ ‎∴∠ADE＝90°.‎ 又∵∠ABC＝90°，‎ ‎∴∠ADE＝∠ABC.又∠A＝∠A，‎ ‎∴△ADE∽△ABC.‎ ‎∴＝，即AC·AD＝AB·AE.　‎ ‎(2)连接OD.∵BD是⊙O的切线，‎ ‎∴OD⊥BD.‎ ‎∵点E是OB的中点，‎ ‎∴在Rt△OBD中，OE＝BE＝OD，即OB＝2OD，‎ ‎∴∠OBD＝30°.同理∠BAC＝30°.‎ 在Rt△ABC中，AC＝2BC＝2×2＝4.‎ ‎11.(1)证明：连接OD.∵BC是⊙O的切线，D为切点，‎ ‎∴OD⊥BC.‎ 又∵AC⊥BC，‎ ‎∴OD∥AC，‎ ‎∴∠ADO＝∠CAD.‎ 又∵OD＝OA，‎ ‎∴∠ADO＝∠OAD，‎ ‎∴∠CAD＝∠OAD，即AD平分∠BAC.　‎ ‎(2)连接OE，ED.∵∠BAC＝60°，OE＝OA，‎ ‎∴△OAE为等边三角形．∴∠AOE＝60°.‎ ‎∴∠ADE＝30°.‎ 又∵∠OAD＝∠BAC＝30°，‎ ‎∴∠ADE＝∠OAD，‎ ‎∴ED∥AO，‎ ‎∴S△AED＝S△OED.‎ ‎∴阴影部分的面积＝S扇形ODE＝＝π.‎ 类型2　与圆的性质有关的计算与证明 ‎ 1．(1)连接OD.∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°.‎ ‎∵BC＝‎6 cm，AC＝‎8 cm，‎ ‎∴AB＝‎10 cm.∴OB＝‎5 cm.‎ ‎∵OD＝OB，‎ ‎∴∠ODB＝∠ABD＝45°.‎ ‎∴∠BOD＝90°.‎ ‎∴BD＝＝‎5 cm.　‎ ‎(2)S阴影＝S扇形－S△OBD＝π·52－×5×5＝(cm2)．　‎ ‎ 2.(1)连接OQ，∵PQ∥AB，OP⊥PQ，‎ ‎∴OP⊥AB.在Rt△OBP中，‎ ‎∵tanB＝，‎ ‎∴OP＝3tan30°＝，在Rt△OPQ中，‎ ‎∵OP＝，OQ＝3，‎ ‎∴PQ＝＝.　‎ ‎(2)连接OQ，在Rt△OPQ中，PQ＝＝，当OP的长最小时，PQ的长最大，此时OP⊥BC，则OP＝OB＝，‎ ‎∴PQ长的最大值为＝.　‎ ‎ 3.(1)连接OC.∵AB为⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB＝∠ADB＝90°.‎ 在Rt△ABC中，∵cos∠BAC＝＝＝，‎ ‎∴∠BAC＝60°.‎ ‎∴∠BOC＝2∠BAC＝120°.‎ ‎∴弧BC的长为＝π.　‎ ‎(2)连接OD.∵CD平分∠ACB，‎ ‎∴∠ACD＝∠BCD.‎ ‎∴∠AOD＝∠BOD.‎ ‎∴AD＝BD.‎ ‎∴∠BAD＝∠ABD＝45°.‎ 在Rt△ABD中，BD＝AB＝×10＝5.　‎ ‎ 4.(1)∵BC＝DC，‎ ‎∴＝.‎ ‎∴∠BAC＝∠CAD＝∠CBD.‎ ‎∵∠CBD＝39°，‎ ‎∴∠BAC＝∠CAD＝39°.‎ ‎∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝78°.　‎ ‎(2)证明：∵EC＝BC，‎ ‎∴∠CBE＝∠CEB.‎ ‎∵∠CBE＝∠1＋∠CBD，∠CEB＝∠2＋∠BAC，‎ ‎∴∠1＋∠CBD＝∠2＋∠BAC.‎ 又∵∠BAC＝∠CBD，‎ ‎∴∠1＝∠2.‎ ‎ ‎