中考数学易错题综合专题六附答案详解 11页

‎ 龙江王中王赠卷错题13.5.28‎ ‎　‎ 一．选择题（共9小题）‎ ‎1．（2011•鸡西）如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=AC，AD交BC于点E，AE=3，ED=4，则AB的长为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎3‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ D．‎ ‎3‎ ‎　‎ ‎2．（2011•黑龙江）把一些笔记本分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本．则共有学生（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎4人 B．‎ ‎5人 C．‎ ‎6人 D．‎ ‎5人或6人 ‎　‎ ‎3．（2012•黑龙江）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2AD，点E、F分别是AB、BC边的中点，连接AF、CE交于点M，连接BM并延长交CD于点N，连接DE交AF于点P，则结论：①∠ABN=∠CBN；②DE∥BN；③△CDE是等腰三角形；④EM：BE=：3；⑤S△EPM=S梯形ABCD，正确的个数有（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎5个 B．‎ ‎4个 C．‎ ‎3个 D．‎ ‎2个 ‎　‎ ‎4．（2012•鸡西）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：①（BE+CF）=BC；②S△AEF≤S△ABC；③S四边形AEDF=AD•EF；④AD≥EF；⑤AD与EF可能互相平分，其中正确结论的个数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1个 B．‎ ‎2个 C．‎ ‎3个 D．‎ ‎4个 ‎　‎ ‎5．（2012•牡丹江）如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AG于点O．则下列结论：①△ABF≌△CAE，②∠AHC=120°，③AH+CH=DH，④AD2=OD•DH中，正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎①②④‎ B．‎ ‎①②③‎ C．‎ ‎②③④‎ D．‎ ‎①②③④‎ ‎　‎ ‎6．四边形ABCD中，AC和BD交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有以下四个命题：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=∠DAB；④AB=BE=AE．其中命题一定成立的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎①②‎ B．‎ ‎②③‎ C．‎ ‎①③‎ D．‎ ‎②④‎ ‎　‎ ‎7．已知一个圆锥的底面半径是5cm，侧面积是65πcm2，则圆锥的母线长是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎6.5cm B．‎ ‎13cm C．‎ ‎15cm D．‎ ‎26cm ‎　‎ ‎8．（2007•黑龙江）如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD=BC，CE=AC，BE、AD相交于点F，连接DE，则下列结论：①∠AFE=60°；②DE⊥AC；③CE2=DF•DA；④AF•BE=AE•AC，正确的结论有（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎4个 B．‎ ‎3个 C．‎ ‎2个 D．‎ ‎1个 ‎　‎ ‎9．（2010•牡丹江）在锐角△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE为高，F为BC的中点，连接DE、DF、EF，则结论：①DF=EF；②AD：AB=AE：AC；③△DEF是等边三角形；④BE+CD=BC；⑤当∠ABC=45°时，BE=DE中，一定正确的有（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2个 B．‎ ‎3个 C．‎ ‎4个 D．‎ ‎5个 ‎　‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎10．（2010•牡丹江）观察下表，请推测第5个图形有　_________　根火柴棍．‎ ‎　‎ ‎11．（2011•黑龙江）已知关于x的分式方程﹣=0无解，则a的值为　_________　．‎ ‎　‎ ‎12．矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE．在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为　_________　．‎ ‎　‎ ‎13．（2012•宁波）把二次函数y=（x﹣1）2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为　_________　．‎ ‎　‎ 龙江王中王赠卷错题13.5.28　‎ 一．选择题（共9小题）‎ ‎1．（2011•鸡西）如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=AC，AD交BC于点E，AE=3，ED=4，则AB的长为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎3‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ D．‎ ‎3‎ 分析：‎ 根据圆周角定理可得∠ACB=∠ABC=∠D，再利用三角形相似△ABD∽△AEB，即可得出答案．‎ 解答：‎ 解：∵AB=AC，‎ ‎∴∠ACB=∠ABC=∠D，‎ ‎∵∠BAD=∠BAD，‎ ‎∴△ABD∽△AEB，‎ ‎∴，‎ ‎∴AB2=3×7=21，‎ ‎∴AB=．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 此题主要考查了圆周角定理以及相似三角形的判定与性质，根据题意得出△ABD∽△AEB是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎2．（2011•黑龙江）把一些笔记本分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本．则共有学生（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎4人 B．‎ ‎5人 C．‎ ‎6人 D．‎ ‎5人或6人 分析：‎ 根据每人分3本，那么余8本，如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本，得出3x+8≥5（x﹣1），且5（x﹣1）+3＞3x+8，分别求出即可．‎ 解答：‎ 解：假设共有学生x人，根据题意得出：‎ ‎5（x﹣1）+3＞3x+8≥5（x﹣1），‎ 解得：5＜x≤6.5．‎ 故选：C．‎ 点评：‎ 此题主要考查了不等式组的应用，根据题意找出不等关系得出不等式组是解决问题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（2012•黑龙江）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC=2AD，点E、F分别是AB、BC边的中点，连接AF、CE交于点M，连接BM并延长交CD于点N，连接DE交AF于点P，则结论：①∠ABN=∠CBN；②DE∥BN；③△CDE是等腰三角形；④EM：BE=：3；⑤S△EPM=S梯形ABCD，正确的个数有（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎5个 B．‎ ‎4个 C．‎ ‎3个 D．‎ ‎2个 分析：‎ 连接DF，AC，EF，如图所示，由E、F分别为AB、BC的中点，且AB=BC，得到EB=FB，再由一对公共角相等，利用SAS可得出△ABF与△CBE全等，由确定三角形的对应角相等得到一对角相等，再由AE=FC，对顶角相等，利用AAS可得出△AME与△CMF全等，由全等三角形的对应边相等可得出ME=MF，再由BE=BF，BM=BM，利用SSS得到△BEM与△BFM全等，根据全等三角形的对应角相等可得出∠ABN=∠CBN，选项①正确；由AD=AE，梯形为直角梯形，得到∠EAD为直角，可得出△AED为等腰直角三角形，可得出∠AED为45°，由∠ABC为直角，且∠ABN=∠CBN，可得出∠ABN为45°，根据同位角相等可得出DE平行于BN，选项②正确；由AD=AE=AB=BC，且CF=BC，得到AD=FC，又AD与FC平行，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到ADCF为平行四边形，可得出AF=DC，又AF=CE，等量代换可得出DC=EC，即△DCE为等腰三角形，选项③正确；由EF为△ABC的中位线，利用三角形中位线定理得到EF平行于AC，由两直线平行得到两对内错角相等，根据两对对应角相等的两三角形相似可得出△EFM与△ACM相似，且相似比为1：2，可得出EM：MC=1：2，设EM=x，则有MC=2x，用EM+MC表示出EC，设EB=y，根据BC=2EB，表示出BC，在直角三角形BCE中，利用勾股定理表示出EC，两者相等得到x与y的比值，即为EM与BE的比值，即可判断选项④正确与否；由E为AB的中点，利用等底同高得到△AME的面积与△BME的面积相等，由△BME与△BFM全等，得到面积相等，可得出三个三角形的面积相等都为△ABF面积的，由E为AB的中点，且EP平行于BM，得到P为AM的中点，可得出△AEP的面积等于△PEM的面积，得到△PEM的面积为△ABF面积的，由ABFD为矩形得到△ABF与△ADF全等，面积相等，由△ADF与△CFD全等得到面积相等，可得出三个三角形面积相等都为梯形面积的，综上得到△PEM的面积为梯形面积的，可得出选项⑤错误，综上，得到正确的个数．‎ 解答：‎ 解：连接DF，AC，EF，如图所示：‎ ‎∵E、F分别为AB、BC的中点，且AB=BC，‎ ‎∴AE=EB=BF=FC，‎ 在△ABF和△CBE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABF≌△CBE（SAS），‎ ‎∴∠BAF=∠BCE，AF=CE，‎ 在△AME和△CMF中，‎ ‎，‎ ‎∴△AME≌△CMF（AAS），‎ ‎∴EM=FM，‎ 在△BEM和△BFM中，‎ ‎，‎ ‎∴△BEM≌△BFM（SSS），‎ ‎∴∠ABN=∠CBN，选项①正确；‎ ‎∵AE=AD，∠EAD=90°，‎ ‎∴△AED为等腰直角三角形，‎ ‎∴∠AED=45°，‎ ‎∵∠ABC=90°，‎ ‎∴∠ABN=∠CBN=45°，‎ ‎∴∠AED=∠ABN=45°，‎ ‎∴ED∥BN，选项②正确；‎ ‎∵AB=BC=2AD，且BC=2FC，‎ ‎∴AD=FC，又AD∥FC，‎ ‎∴四边形AFCD为平行四边形，‎ ‎∴AF=DC，又AF=CE，‎ ‎∴DC=EC，‎ 则△CED为等腰三角形，选项③正确；‎ ‎∵EF为△ABC的中位线，‎ ‎∴EF∥AC，且EF=AC，‎ ‎∴∠MEF=∠MCA，∠EFM=∠MAC，‎ ‎∴△EFM∽△CAM，‎ ‎∴EM：MC=EF：AC=1：2，‎ 设EM=x，则有MC=2x，EC=EM+MC=3x，‎ 设EB=y，则有BC=2y，‎ 在Rt△EBC中，根据勾股定理得：EC==y，‎ ‎∴3x=y，即x：y=：3，‎ ‎∴EM：BE=：3，选项④正确；‎ ‎∵E为AB的中点，EP∥BM，‎ ‎∴P为AM的中点，‎ ‎∴S△AEP=S△EPM=S△AEM，‎ 又S△AEM=S△BEM，且S△BEM=S△BFM，‎ ‎∴S△AEM=S△BEM=S△BFM=S△ABF，‎ ‎∵四边形ABFD为矩形，‎ ‎∴S△ABF=S△ADF，又S△ADF=S△DFC，‎ ‎∴S△ABF=S△ADF=S△DFC=S梯形ABCD，‎ ‎∴S△EPM=S梯形ABCD，选项⑤错误．‎ 则正确的个数有4个．‎ 故选B 点评：‎ 此题考查了直角梯形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及三角形的中位线定理，熟练掌握性质与定理是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．（2012•鸡西）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：①（BE+CF）=BC；②S△AEF≤S△ABC；③S四边形AEDF=AD•EF；④AD≥EF；⑤AD与EF可能互相平分，其中正确结论的个数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎1个 B．‎ ‎2个 C．‎ ‎3个 D．‎ ‎4个 分析：‎ 先由ASA证明△AED≌△CFD，得出AE=CF，再由勾股定理即可得出BE+CF=AB=BC，从而判断①；‎ 设AB=AC=a，AE=CF=x，先由三角形的面积公式得出S△AEF=﹣（x﹣a）2+a2，S△ABC=×a2=a2，再根据二次函数的性质即可判断②；‎ 由勾股定理得到EF的表达式，利用二次函数性质求得EF最小值为a，而AD=a，所以EF≥AD，从而④错误；‎ 先得出S四边形AEDF=S△ADC=AD，再由EF≥AD得到AD•EF≥AD2，∴AD•EF＞S四边形AEDF，所以③错误；‎ 如果四边形AEDF为平行四边形，则AD与EF互相平分，此时DF∥AB，DE∥AC，又D为BC中点，所以当E、F分别为AB、AC的中点时，AD与EF互相平分，从而判断⑤．‎ 解答：‎ 解：∵Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，‎ ‎∴∠C=∠BAD=45°，AD=BD=CD，‎ ‎∵∠MDN=90°，‎ ‎∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF=90°，‎ ‎∴∠ADE=∠CDF．‎ 在△AED与△CFD中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△AED≌△CFD（ASA），‎ ‎∴AE=CF，‎ 在Rt△ABD中，BE+CF=BE+AE=AB==BD=BC．‎ 故①正确；‎ 设AB=AC=a，AE=CF=x，则AF=a﹣x．‎ ‎∵S△AEF=AE•AF=x（a﹣x）=﹣（x﹣a）2+a2，‎ ‎∴当x=a时，S△AEF有最大值a2，‎ 又∵S△ABC=×a2=a2，‎ ‎∴S△AEF≤S△ABC．‎ 故②正确；‎ EF2=AE2+AF2=x2+（a﹣x）2=2（x﹣a）2+a2，‎ ‎∴当x=a时，EF2取得最小值a2，‎ ‎∴EF≥a（等号当且仅当x=a时成立），‎ 而AD=a，∴EF≥AD．‎ 故④错误；‎ 由①的证明知△AED≌△CFD，‎ ‎∴S四边形AEDF=S△AED+S△ADF=S△CFD+S△ADF=S△ADC=AD2，‎ ‎∵EF≥AD，‎ ‎∴AD•EF≥AD2，‎ ‎∴AD•EF＞S四边形AEDF 故③错误；‎ 当E、F分别为AB、AC的中点时，四边形AEDF为正方形，此时AD与EF互相平分．‎ 故⑤正确．‎ 综上所述，正确的有：①②⑤，共3个．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，图形的面积，函数的性质等知识，综合性较强，有一定难度．‎ ‎　‎ ‎5．（2012•牡丹江）如图，菱形ABCD中，AB=AC，点E、F分别为边AB、BC上的点，且AE=BF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AG于点O．则下列结论：①△ABF≌△CAE，②∠AHC=120°，③AH+CH=DH，④AD2=OD•DH中，正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎①②④‎ B．‎ ‎①②③‎ C．‎ ‎②③④‎ D．‎ ‎①②③④‎ 分析：‎ 由菱形ABCD中，AB=AC，易证得△ABC是等边三角形，则可得∠B=∠EAC=60°，由SAS即可证得△ABF≌△CAE；则可得∠BAF=∠ACE，利用三角形外角的性质，即可求得∠AHC=120°；在HD上截取HK=AH，连接AK，易得点A，H，C，D四点共圆，则可证得△AHK是等边三角形，然后由AAS即可证得△AKD≌△AHC，则可证得AH+CH=DH；易证得△OAD∽△AHD，由相似三角形的对应边成比例，即可得AD2=OD•DH．‎ 解答：‎ 解：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB=BC，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴AB=BC=AC，‎ 即△ABC是等边三角形，‎ 同理：△ADC是等边三角形 ‎∴∠B=∠EAC=60°，‎ 在△ABF和△CAE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABF≌△CAE（SAS）；‎ 故①正确；‎ ‎∴∠BAF=∠ACE，‎ ‎∵∠AEH=∠B+∠BCE，‎ ‎∴∠AHC=∠BAF+∠AEH=∠BAF+∠B+∠BCE=∠B+∠ACE+∠BCE=∠B+∠ACB=60°+60°=120°；‎ 故②正确；‎ 在HD上截取HK=AH，连接AK，‎ ‎∵∠AHC+∠ADC=120°+60°=180°，‎ ‎∴点A，H，C，D四点共圆，‎ ‎∴∠AHD=∠ACD=60°，∠ACH=∠ADH，‎ ‎∴△AHK是等边三角形，‎ ‎∴AK=AH，∠AKH=60°，‎ ‎∴∠AKD=∠AHC=120°，‎ 在△AKD和△AHC中，‎ ‎，‎ ‎∴△AKD≌△AHC（AAS），‎ ‎∴CH=DK，‎ ‎∴DH=HK+DK=AH+CH；‎ 故③正确；‎ ‎∵∠OAD=∠AHD=60°，∠ODA=∠ADH，‎ ‎∴△OAD∽△AHD，‎ ‎∴AD：DH=OD：AD，‎ ‎∴AD2=OD•DH．‎ 故④正确．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 此题考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．‎ ‎　‎ ‎6．四边形ABCD中，AC和BD交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AE，AC=AD，有以下四个命题：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=∠DAB；④AB=BE=AE．其中命题一定成立的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎①②‎ B．‎ ‎②③‎ C．‎ ‎①③‎ D．‎ ‎②④‎ 分析：‎ 根据等腰三角形的性质，等边三角形的判定，圆内接四边形的性质，全等三角形的性质判断各选项是否正确即可．‎ 解答：‎ 解：∵AB=AE，一个三角形的直角边和斜边一定不相等，∴AC不垂直于BD，①错误；‎ 利用边角边定理可证得△ADE≌△ABC，那么BC=DE，②正确；‎ 由△ADE≌△ABC可得∠ADE=∠ACB，那么A，B，C，D四点共圆，∴∠DBC=∠DAC=∠DAB，③正确；‎ ‎△ABE不一定是等边三角形，那么④不一定正确；‎ ‎②③正确，故选B．‎ 点评：‎ 此题主要考查了全等三角形的性质，以及直角三角形中斜边最长；全等三角形的对应边相等；等边三角形的三边相等．‎ ‎　‎ ‎7．已知一个圆锥的底面半径是5cm，侧面积是65πcm2，则圆锥的母线长是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎6.5cm B．‎ ‎13cm C．‎ ‎15cm D．‎ ‎26cm 解答：‎ 解：设圆锥的母线长为R，则：65π=π×5×R，‎ 解得R=13cm，‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查圆锥侧面积公式的灵活运用，掌握公式是关键．‎ ‎　‎ ‎8．（2007•黑龙江）如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD=BC，CE=AC，BE、AD相交于点F，连接DE，则下列结论：①∠AFE=60°；②DE⊥AC；③CE2=DF•DA；④AF•BE=AE•AC，正确的结论有（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎4个 B．‎ ‎3个 C．‎ ‎2个 D．‎ ‎1个 分析：‎ 本题是开放题，对结论进行一一论证，从而得到答案．‎ ‎①利用△ABD≌△BCE，再用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，即可证∠AFE=60°；‎ ‎②从CD上截取CM=CE，连接EM，证△CEM是等边三角形，可证明DE⊥AC；‎ ‎③△BDF∽△ADB，由相似比则可得到CE2=DF•DA；‎ ‎④只要证明了△AFE∽△BAE，即可推断出AF•BE=AE•AC．‎ 解答：‎ 解：∵△ABC是等边三角形 ‎∴AB=BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°‎ ‎∵BD=BC，CE=AC ‎∴BD=EC ‎∴△ABD≌△BCE ‎∴∠BAD=∠CBE，‎ ‎∵∠ABE+∠EBD=60°‎ ‎∴∠ABE+∠CBE=60°‎ ‎∵∠AFE是△ABF的外角 ‎∴∠AFE=60°‎ ‎∴①是对的；‎ 如图，从CD上截取CM=CE，连接EM，则△CEM是等边三角形 ‎∴EM=CM=EC ‎∵EC=CD ‎∴EM=CM=DM ‎∴∠CED=90°‎ ‎∴DE⊥AC，‎ ‎∴②是对的；‎ 由前面的推断知△BDF∽△ADB ‎∴BD：AD=DF：DB ‎∴BD2=DF•DA ‎∴CE2=DF•DA ‎∴③是对的；‎ 在△AFE和△BAE中，∠BAE=∠AFE=60°，∠AEB是公共角 ‎∴△AFE∽△BAE ‎∴AF•BE=AE•AC ‎∴④是正确的．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题主要应用到了三角形外角与内角的关系，直角三角形的判定，全等三角形和相似三角形的判定及性质，内容较多，较为复杂．‎ ‎　‎ ‎9．（2010•牡丹江）在锐角△ABC中，∠BAC=60°，BD、CE为高，F为BC的中点，连接DE、DF、EF，则结论：①DF=EF；②AD：AB=AE：AC；③△DEF是等边三角形；④BE+CD=BC；⑤当∠ABC=45°时，BE=DE中，一定正确的有（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎2个 B．‎ ‎3个 C．‎ ‎4个 D．‎ ‎5个 分析：‎ 根据直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定、锐角三角函数的定义可知．‎ 解答：‎ 解：①∵BD、CE为高，∴∠BDC=∠CEB=90°，又∵F为BC的中点，∴DF=BC，EF=BC，∴DF=EF；‎ ‎②∵∠A=∠A，∠ADB=∠AEC，∴△ADB∽△AEC，∴AD：AB=AE：AC；‎ ‎③∵∠BAC=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∵DF=CF，EF=BF，∴∠BEF+∠CDF=120°，∴∠BFE+∠CFD=120°，∴∠DFE=60°，又∵DF=EF，∴△DEF是等边三角形；‎ ‎④∵∠BAC=60°，BD、CE为高，‎ ‎∴∠ABD=∠ACE=30°，‎ ‎∴∠DBC+∠ECB=180°﹣∠A﹣∠ABD﹣∠ACE=60°，‎ ‎∴∠CBD=60°﹣∠BCE，‎ ‎∴BE+CD=BC•sin∠BCE+BC•sin∠CBD=BC•（sin∠BCE+sin∠CBD）=BC•[sin∠BCE+sin（60°﹣∠BCE）]，‎ 不一定等于BC；‎ ‎⑤∵∠ABC=45°，∴BE=BC=DE．‎ 正确的共4个．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题综合性较强，有一定的难度．主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定、锐角三角函数的定义．‎ ‎　‎ 二．填空题（共4小题）‎ ‎10．（2010•牡丹江）观察下表，请推测第5个图形有　45　根火柴棍．‎ 分析：‎ 本题是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．‎ 解答：‎ 解：依题意得，第1个图形中的火柴棍有3根，即3×1根；‎ 第2个图形中的火柴棍有9根，即3×（1+2）根；‎ 第3个图形中的火柴棍有18根，即3×（1+2+3）根；‎ 第4个图形中的火柴棍有30根，即3×（1+2+3+4）根；‎ 第5个图形中的火柴棍有45根，即3×（1+2+3+4+5）根．‎ 第n个图形中的火柴棍有：3×（1+2+…+n）=根．‎ 点评：‎ 本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．‎ ‎　‎ ‎11．（2011•黑龙江）已知关于x的分式方程﹣=0无解，则a的值为　0、或﹣1　．‎ 考点：‎ 分式方程的解．2611705‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 根据题意得出方程无解时x的值，注意多种情况，依次代入得出a的值．‎ 解答：‎ 解：去分母得ax﹣2a+x+1=0．‎ ‎∵关于x的分式方程﹣=0无解，‎ ‎（1）x（x+1）=0，‎ 解得：x=﹣1，或x=0，‎ 当x=﹣1时，ax﹣2a+x+1=0，即﹣a﹣2a﹣1+1=0，‎ 解得a=0，‎ 当x=0时，﹣2a+1=0，‎ 解得a=．‎ ‎（2）方程ax﹣2a+x+1=0无解，‎ 即（a+1）x=2a﹣1无解，‎ ‎∴a+1=0，a=﹣1．‎ 故答案为：0、或﹣1．‎ 点评：‎ 本题主要考查了分式方程无解的情况，需要考虑周全，不要漏解，难度适中．‎ ‎　‎ ‎12．矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE．在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为　　．‎ 分析：‎ 由翻折的性质知，BP=B′P，而要点P到CD的距离等于PB，则该垂线段必为PB′，故有PB′⊥CD，延长AE交DC的延长线于点F，由于DF∥AB，则∠F=∠BAE=∠B′AE，所以B′F=B′A=AB=3，而B′P∥AC，利用平行线分线段成比例定理（或相似三角形的性质）即可求得B′P的长，由此得解．‎ 解答：‎ 解：根据折叠的性质知：BP=PB′，若点P到CD的距离等于PB，则此距离必与B′P相同，所以该距离必为PB′．延长AE交CD的延长线于F．‎ 由题意知：AB=AB′=3，∠BAE=∠B′AE，‎ ‎∵Rt△ACB′中，AB′=3，AC==，‎ ‎∴CB′==，‎ 由于DF∥AB，则∠F=∠BAE，‎ 又∵∠BAE=∠B′AE，‎ ‎∴∠F=∠B′AE，‎ ‎∴FB′=AB′=3；‎ ‎∵PB′⊥CD，AC⊥CD，‎ ‎∴PB′∥AC，‎ ‎∴，‎ ‎∴=，‎ 解得：PB'=‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 此题考查了矩形的性质、图形的翻折变换以及相似三角形的性质等知识的应用，此题的关键是能够发现PB′就是所求的P到CD的距离．‎ ‎　‎ ‎13．（2012•宁波）把二次函数y=（x﹣1）2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为　y=﹣（x+1）2﹣2　．‎ 分析：‎ 根据顶点式解析式求出原二次函数的顶点坐标，然后根据关于中心对称的点的横坐标与纵坐标互为相反数求出旋转后的二次函数的顶点坐标，最后根据旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状写出解析式即可．‎ 解答：‎ 解：二次函数y=（x﹣1）2+2顶点坐标为（1，2），‎ 绕原点旋转180°后得到的二次函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣2），‎ 所以，旋转后的新函数图象的解析式为y=﹣（x+1）2﹣2．‎ 故答案为：y=﹣（x+1）2﹣2．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数图象与几何变换，利用点的变换解决函数图象的变换，求出变换后的顶点坐标是解题的关键．‎ ‎　‎