全国中考数学压轴题分类解析汇编专题动点问题 27页

‎2012年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编 专题01：动点问题 ‎25. （2012吉林长春10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=‎8cm，BC=‎4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD－DE－EB运动，到点B停止．点P在AD上以cm/s的速度运动，在折线DE－EB上以‎1cm/s的速度运动．当点P与点A不重合时，过点P作 PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．设点P的运动时间为t(s).‎ ‎（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为______cm,（用含t的代数式表示）．‎ ‎（2）当点N落在AB边上时，求t的值．‎ ‎（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm²），求S与t的函数关系式．‎ ‎（4）连结CD．当点N于点D重合时，有一点H从点M出发，在线段MN上以‎2.5cm/s的速度沿M-N-M连续做往返运动，直至点P与点E重合时，点H停止往返运动；当点P在线段EB上运动时，点H始终在线段MN的中心处．直接写出在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围．‎ ‎【答案】解：（1）t－2。‎ ‎（2）当点N落在AB边上时，有两种情况：‎ ‎ ①如图（2）a，当点N与点D重合时，此时点P在DE上，DP=2=EC ‎，即t－2=2，t=4。‎ ‎ ②如图（2）b，此时点P位于线段EB上．‎ ‎∵DE=1 ‎2 AC=4，∴点P在DE段的运动时间为4s，‎ ‎∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4。‎ ‎∵PN∥AC，∴△BNP∽△BAC。∴PN：AC = PB：BC=2，∴PN=2PB=16-2t。‎ 由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=。‎ 综上所述，当点N落在AB边上时，t=4或t=。‎ ‎（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况：‎ ‎①当2＜t＜4时，如图（3）a所示。‎ DP=t-2，PQ=2，∴CQ=PE=DE-DP=4-（t-2）=6-t，AQ=AC-CQ=2+t，AM=AQ-MQ=t。‎ ‎∵MN∥BC，∴△AFM∽△ABC。∴FM：BC = AM：AC=1：2，即FM：AM=BC：AC=1：2。‎ ‎∴FM=AM=t．‎ ‎ ∴‎ ‎ 。‎ ‎②当＜t＜8时，如图（3）b所示。‎ PE=t-6，∴PC=CM=PE+CE=t-4，AM=AC-CM=12-t，PB=BE-PE=8-t，‎ ‎∴FM=AM=6-t，PG=2PB=16-2t，‎ ‎∴‎ ‎ 。‎ 综上所述，S与t的关系式为：。‎ ‎（4）在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围是：t=或t=5或 ‎6≤t≤8。‎ ‎【考点】动点问题上，相似形综合题，勾股定理，相似三角形的判定和性质，梯形和三角形的面积。‎ ‎【分析】（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=‎8cm，BC=‎4cm，∴由勾股定理得AB=cm。‎ ‎ ∵D为边AB的中点，∴AD=cm。‎ ‎ 又∵点P在AD上以cm/s的速度运动，∴点P在AD上运动的时间为2s。‎ ‎ ∴当点P在线段DE上运动时，在线段DP上的运动的时间为t－2s。‎ ‎ 又∵点P在DE上以‎1cm/s的速度运动，∴线段DP的长为t－‎2 cm。‎ ‎（2）当点N落在AB边上时，有两种情况，如图（2）所示，利用运动线段之间的数量关系求出时间t的值。‎ ‎（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况，如图（3）所示，分别用时间t表示各相关运动线段的长度，然后利用求出面积S的表达式。‎ ‎（4）本问涉及双点的运动，首先需要正确理解题意，然后弄清点H、点P的运动过程：‎ 依题意，点H与点P的运动分为两个阶段，如下图所示：‎ ‎①当4＜t＜6时，此时点P在线段DE上运动，如图（4）a所示。‎ 此阶段点P运动时间为2s，因此点H运动距离为2.5×2=‎5cm，而MN=2，‎ 则此阶段中，点H将有两次机会落在线段CD上：‎ 第一次：此时点H由M→H运动时间为（t－4）s，运动距离MH=2.5（t－4），‎ ‎∴NH=2－MH=12－2.5t。‎ 又DP=t-2，DN=DP－2=t－4，‎ 由DN=2NH得到：t－4=2（12－2.5t），解得t=。‎ 第二次：此时点H由N→H运动时间为t－4－=（t－4.8）s，运动距离NH=2.5（t－4.8）=2.5t－12，‎ 又DP=t-2，DN=DP－2=t－4，‎ 由DN=2NH得到：t－4=2（2.5t－12），解得t=5。‎ ‎②当6≤t≤8时，此时点P在线段EB上运动，如图（4）b所示。‎ 由图可知，在此阶段，始终有MH=MC，即MN与CD的交点始终为线段MN的中点，即点H。‎ 综上所述，在点P的整个运动过程中，点H落在线段CD上时t的取值范围是：t=或t=5或6≤t≤8。‎ ‎26. （2012黑龙江哈尔滨10分）如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，直线y=2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，四边形ABCO是平行四边形，直线y=－x+m经过点C，交x轴于点D．‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）点P(0，t)是线段OB上的一个动点(点P不与0，B两点重合)，过点P作x轴的平行线，分别交AB，‎0c，DC于点E，F，G．设线段EG的长为d，求d与t之间的函数关系式 (直接写出自变量t的取值范围)； （3）在（2）的条件下，点H是线段OB上一点，连接BG交OC于点M，当以OG为直径的圆经过点M时，恰好使∠BFH=∠ABO．求此时t的值及点H的坐标．‎ ‎【答案】解：（1）如图，过点C作CK⊥x轴于K，‎ ‎∵y=2x+4交x轴和y轴于A，B，‎ ‎∴A（－2，0）B（0，4）。∴OA=2，OB=4。‎ ‎∵四边形ABCO是平行四边形，∴BC=OA=2 。‎ 又∵四边形BOKC是矩形，‎ ‎∴OK=BC=2，CK=OB=4。∴C（2，4）。‎ 将C（2，4）代入y=－x+m得，4=－2+m，解得m=6。‎ ‎（2）如图，延长DC交y轴于N，分别过点E，G作x轴的垂线 垂足分别是R，Q，则四边形ERQG、四边形POQG、四边形EROP是矩形。‎ ‎∴ER=PO=CQ=1。‎ ‎∵，即，∴AR=t。‎ ‎∵y=－x+6交x轴和y轴于D，N，∴OD=ON=6。‎ ‎∴∠ODN=45°。‎ ‎∵，∴DQ=t。‎ 又∵AD=AO+OD=2+6=8，∴EG=RQ=8－t－t=8－t。‎ ‎∴d=－t+8（0＜t＜4）。‎ ‎（3）如图，∵四边形ABCO是平行四边形，‎ ‎∴AB∥OC。∴∠ABO=∠BOC。‎ ‎∵BP=4－t，‎ ‎∴。‎ ‎∴EP=。‎ 由（2）d=－t+8，∴PG=d－EP=6－t。‎ ‎∵以OG为直径的圆经过点M，∴∠OMG=90°，∠MFG=∠PFO。∴∠BGP=∠BOC。‎ ‎∴。∴，解得t=2。‎ ‎∵∠BFH=∠ABO=∠BOC，∠OBF=∠FBH，∴△BHF∽△BFO。‎ ‎∴，即BF2=BH•BO。‎ ‎∵OP=2，∴PF=1，BP=2。∴。‎ ‎∴=BH×4。∴BH=。∴HO=4－。‎ ‎∴H（0，）。‎ ‎【考点】一次函数综合题，直线上点的坐标与方程的关系，平行四边形和矩形的性质，平行的性质，锐角三角函数定义，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）根据直线y=2x+4求出点A、B的坐标，从而得到OA、OB的长度，再根据平行四边形的对边相等求出BC的长度，过点C作CK⊥x轴于K，从而得到四边形BOKC是矩形，根据矩形的对边相等求出KC的长度，从而得到点C的坐标，然后把点C的坐标代入直线即可求出m的值。‎ ‎（2）延长DC交y轴于N分别过点E，G作x轴的垂线 垂足分别是R，Q则四边形ERQG、四边形POQG、四边形EROP是矩形，再利用∠BAO的正切值求出AR的长度，利用∠ODN的正切值求出DQ的长度，再利用AD的长度减去AR的长度，再减去DQ的长度，计算即可得解。‎ ‎（3）根据平行四边形的对边平行可得AB∥OC，再根据平行线内错角相等求出∠ABO=∠BOC，用t表示出BP，再根据∠ABO与∠BOC的正切值相等列式求出EP的长度，再表示出PG的长度，然后根据直径所对的圆周角是直角可得∠OMC=90°，根据直角推出∠BGP=∠BOC，再利用∠BGP与∠BOC的正切值相等列式求解即可得到t的值；先根据加的关系求出∠OBF=∠FBH，再判定△BHF和△BFO相似，根据相似三角形对应边成比例可得，再根据t=2求出OP=2，PF=1，BP=2，利用勾股定理求出BF的长度，代入数据进行计算即可求出BH的值，然后求出HO的值，从而得到点H的坐标。‎ ‎27. （2012湖南永州10分）在△ABC中，点P从B点开始出发向C点运动，在运动过程中，设线段AP的长为y，线段BP的长为x（如图甲），而y关于x的函数图象如图乙所示．Q（1，）是函数图象上的最低点．请仔细观察甲、乙两图，解答下列问题．‎ ‎（1）请直接写出AB边的长和BC边上的高AH的长；‎ ‎（2）求∠B的度数；‎ ‎（3）若△ABP为钝角三角形，求x的取值范围．‎ ‎【答案】解：（1）AB=2；AH=。‎ ‎（2）在Rt△ABH中，AH=，BH=1，tan∠B=，∴∠B=60°。‎ ‎（3）①当∠APB为钝角时，此时可得x＜1；‎ ‎②当∠BAP为钝角时，‎ 过点A作AP⊥AB交BC于点P。‎ 则，∴当4＜x≤6时，∠BAP为钝角。‎ 综上所述，当x＜1或4＜x≤6时，△ABP为钝角三角形。‎ ‎【考点】动点问题的函数图象，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】（1）当x=0时，y的值即是AB的长度，故AB=2；，图乙函数图象的最低点的y值是AH的值，故AH=。‎ ‎（2）当点P运动到点H时，此时BP（H）=1，AH=，在Rt△ABH中，可得出∠B的度数。‎ ‎（3）分两种情况进行讨论，①∠APB为钝角，②∠BAP为钝角，分别确定x的范围即可。　‎ ‎28. （2012湖南衡阳10分）如图，A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P由点B出发沿BA方向向点A作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q由A出发沿AO（O为坐标原点）方向向点O作匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，连接PQ，若设运动时间为t（0＜t＜）秒．解答如下问题：‎ ‎（1）当t为何值时，PQ∥BO？‎ ‎（2）设△AQP的面积为S，‎ ‎①求S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；‎ ‎②若我们规定：点P、Q的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则新坐标（x2﹣x1，y2﹣y1）称为“向量PQ”的坐标．当S取最大值时，求“向量PQ”的坐标．‎ ‎【答案】解：（1）∵A、B两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），则OB=6，OA=8。‎ ‎∴。‎ 如图①，当PQ∥BO时，AQ=2t，BP=3t，则AP=10﹣3t。‎ ‎∵PQ∥BO，∴，即，解得t=。‎ ‎∴当t=秒时，PQ∥BO。‎ ‎（2）由（1）知：OA=8，OB=6，AB=10．‎ ‎①如图②所示，过点P作PD⊥x轴于点D，则PD∥BO。‎ ‎∴△APD∽△ABO。‎ ‎∴，即，解得PD=6﹣t。‎ ‎∴。‎ ‎∴S与t之间的函数关系式为：S=（0＜t＜）。‎ ‎∴当t=秒时，S取得最大值，最大值为5（平方单位）。‎ ‎②如图②所示，当S取最大值时，t=，‎ ‎∴PD=6﹣t=3，∴PD=BO。‎ 又PD∥BO，∴此时PD为△OAB的中位线，则OD=OA=4。∴P（4，3）。‎ 又AQ=2t=，∴OQ=OA﹣AQ=，∴Q（，0）。‎ 依题意，“向量PQ”的坐标为（﹣4，0﹣3），即（，﹣3）．‎ ‎∴当S取最大值时，“向量PQ”的坐标为（，﹣3）。‎ ‎【考点】动点问题，平行线分线段成比例，二次函数的最值，勾股定理，三角形中位线定理。‎ ‎【分析】（1）如图①所示，当PQ∥BO时，利用平分线分线段成比例定理，列线段比例式，求出t的值。‎ ‎（2）①求S关系式的要点是求得△AQP的高，如图②所示，过点P作过点P作PD⊥x轴于点D，构造平行线PD∥BO，由△APD∽△ABO得 求得PD，从而S可求出．S与t之间的函数关系式是一个关于t的二次函数，利用二次函数求极值的方法求出S的最大值。‎ ‎②求出点P、Q的坐标：当S取最大值时，可推出此时PD为△OAB的中位线，从而可求出点P的纵横坐标，又易求Q点坐标，从而求得点P、Q的坐标；求得P、Q的坐标之后，代入“向量PQ”坐标的定义（x2﹣x1，y2﹣y1），即可求解。‎ ‎29. （2012湖南株洲8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=‎5米，AC=‎12米．M点在线段CA上，从C向A运动，速度为‎1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为‎2米/秒．运动时间为t秒．‎ ‎（1）当t为何值时，∠AMN=∠ANM？‎ ‎（2）当t为何值时，△AMN的面积最大？并求出这个最大值．‎ ‎【答案】解：（1）∵从C向A运动，速度为‎1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为‎2米/秒，运动时间为t秒，‎ ‎∴AM=12﹣t，AN=2t。‎ ‎∵∠AMN=∠ANM，∴AM=AN，即12﹣t=2t，解得：t=4 秒。‎ ‎∴当t为4时，∠AMN=∠ANM。 ‎ ‎ （2）如图作NH⊥AC于H，‎ ‎∴∠NHA=∠C=90°。∴NH∥BC。‎ ‎∴△ANH∽△ABC。‎ ‎∴，即。∴NH=。‎ ‎∴。‎ ‎∴当t=6时，△AMN的面积最大，最大值为。‎ ‎【考点】动点问题，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值。‎ ‎【分析】（1）用t表示出AM和AN的值，根据AM=AN，得到关于t的方程求得t值即可。‎ ‎ （2）作NH⊥AC于H，证得△ANH∽△ABC，从而得到比例式，然后用t表示出NH，从而计算其面积得到有关t的二次函数求最值即可。‎ ‎30. （2012湖南湘潭10分）如图，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，AC=AB，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点．‎ ‎（1）如图1，求证：△PCD∽△ABC；‎ ‎（2）当点P运动到什么位置时，△PCD≌△ABC？请在图2中画出△PCD并说明理由；‎ ‎（3）如图3，当点P运动到CP⊥AB时，求∠BCD的度数．‎ ‎【答案】解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°。‎ ‎∵PD⊥CD，∴∠D=90°。∴∠D=∠ACB。‎ ‎∵∠A与∠P是所对的圆周角，∴∠A=∠P，∴△PCD∽△ABC。‎ ‎（2）当PC是⊙O的直径时，△PCD≌△ABC。理由如下：‎ ‎∵AB，PC是⊙O的半径，∴AB=PC。‎ ‎∵△PCD∽△ABC，∴△PCD≌△ABC。‎ 画图如下：‎ ‎（3）∵∠ACB=90°，AC=AB，∴∠ABC=30°。‎ ‎∵△PCD∽△ABC，∴∠PCD=∠ABC=30°。‎ ‎∵CP⊥AB，AB是⊙O的直径，∴。∴∠ACP=∠ABC=30°。‎ ‎∴∠BCD=∠AC﹣∠ACP﹣∠PCD=90°﹣30°﹣30°=30°。‎ ‎【考点】圆周角定理，全等三角形的判定，垂径定理，相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）由AB是⊙O的直径，根据直径对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由PD⊥CD，可得∠D=∠ACB，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A=∠P，根据有两角对应相等的三角形相似，即可判定：△PCD∽△ABC。‎ ‎（2）由△PCD∽△ABC，可知当PC=AB时，△PCD≌△ABC，利用相似比等于1的相似三角形全等即可求得。‎ ‎（3）由∠ACB=90°，AC=AB，可求得∠ABC的度数，然后利用相似，即可得∠PCD的度数，又由垂径定理，求得，然后利用圆周角定理求得∠ACP的度数，从而求得答案。‎ ‎31. （2012福建漳州14分）如图，在OABC中，点A在x轴上，∠AOC=60o，OC=‎4cm．OA=‎8cm．动 点P从点O出发，以‎1cm／s的速度沿线段OA→AB运动；动点Q同时从点O出发，以 acm／s的速度沿线段OC→CB运动，其中一点先到达终点B时，另一点也随之停止运动．‎ ‎ 设运动时间为t秒．‎ ‎ (1)填空：点C的坐标是(______，______)，对角线OB的长度是_______cm；‎ ‎(2)当a=1时，设△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的值最大? ‎ ‎ (3)当点P在OA边上，点Q在CB边上时，线段PQ与对角线OB交于点M.若以O、M、P为顶点的三角形与△OAB相似，求a与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．‎ ‎【答案】解：（1）C(2，2)，OB=‎4‎cm。 ‎ ‎ （2）①当0 0 )。 ‎ ‎（1）连接DP ，经过1 秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；‎ ‎（2）连接PQ ，在运动过程中，不论t 取何值时，总有线段PQ与线段AB平行。为什么？‎ ‎（3）当t 为何值时，△EDQ为直角三角形。‎ ‎【答案】解：（1）不能。理由如下：‎ ‎ 假设经过t秒时四边形EQDP能够成为平行四边形。‎ ‎ ∵点P的速度为‎1 厘米／秒，点Q 的速度为1 . ‎25 厘米／秒，‎ ‎ ∴AP=t厘米，BQ=1.25t厘米。‎ ‎ 又∵PE∥BC，∴△AEP∽△ADC。∴。‎ ‎∵AC=‎4厘米，BC=‎5厘米，CD=‎3厘米，‎ ‎∴，解得，EP=0.75t厘米。‎ 又∵，‎ ‎∴由EP=QD得，解得。‎ ‎∴只有时四边形EQDP才能成为平行四边形。‎ ‎∴经过1 秒后，四边形EQDP不能成为平行四边形。‎ ‎（2）∵AP=t厘米，BQ=1.25t厘米，AC=‎4厘米，BC=‎5厘米，‎ ‎ ∴。∴。‎ ‎ 又∵∠C=∠C，∴△PQC∽△ABC。∴∠PQC=∠B。∴PQ∥AB。‎ ‎ ∴在运动过程中，不论t 取何值时，总有线段PQ与线段AB平行。‎ ‎（3）分两种情况讨论：‎ ‎①当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4－t，DQ=1.25t－2‎ 又∵EQ∥AC，∴△EDQ∽△ADC。‎ ‎∴，即，‎ 解得。‎ ‎②当∠QED=90°时，‎ ‎∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=90°，∴△EDQ∽△CDA。‎ ‎∴。‎ Rt△EDQ斜边上的高为4－t，Rt△CDA斜边上的高为2.4，‎ ‎∴，解得t =3.1。‎ 综上所述，当t为2.5秒或3.1秒时，△EDQ为直角三角形。‎ ‎【考点】动点问题，平行四边形的判定，相似三角形的判定和性质，平行的判定，直角三角形的判定。‎ ‎【分析】（1）不能。应用相似三角形的判定和性质，得出只有时四边形EQDP才能成为平行四边形的结果，从而得出经过1 秒后，四边形EQDP不能成为平行四边形的结论。‎ ‎（2）由△PQC∽△ABC得∠PQC=∠B，从而得到在运动过程中，不论t 取何值时，总有线段PQ与线段AB平行的结论。‎ ‎（3）分∠EQD=90°和∠QED=90°两种情况讨论即可。‎ ‎36. （2012河南省11分）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A，B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3。点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A，B重合），过点P作x轴的垂线交直线AB与点C，作PD⊥AB于点D ‎（1）求a，b及的值 ‎（2）设点P的横坐标为 ‎ ①用含的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；‎ ‎ ②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的值，使这两个三角形的面积之比为9：10？若存在，直接写出值；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】解：（1）由，得到x=－2，∴A（－2，0）。‎ ‎ 由，得到x=4，∴B（4，3）。‎ ‎∵经过A、B两点，‎ ‎∴，解得。‎ 设直线AB与y轴交于点E，则E（0，1）。‎ ‎∴根据勾股定理，得AE=。‎ ‎∵PC∥y轴，∴∠ACP=∠AEO。‎ ‎∴。‎ ‎（2）①由（1）可知抛物线的解析式为。‎ ‎ 由点P的横坐标为，得P，C。‎ ‎ ∴PC= 。‎ ‎ 在Rt△PCD中，，‎ ‎ ∵，∴当m=1时，PD有最大值。‎ ‎ ②存在满足条件的值，。‎ ‎【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，平行的性质，锐角三角函数定义，二次函数最值。‎ ‎【分析】（1）求出点A、B的坐标，代入即可求出a，b。由PC∥y轴，得∠ACP=∠AEO，在Rt△AOE中应用锐角三角函数定义即可求得。‎ ‎（2）①用表示出点P、C的坐标，从而表示出PC的长：PC，由锐角三角函数定义得，代入即能用含的代数式表示线段PD的长。根据二次函数最值求法求得线段PD长的最大值。‎ ‎ ②如图，分别过点D，B作DF⊥PC，BG⊥PC，垂足分别为F，G。‎ ‎ ∵，∴设DP= k，CP=5 k。‎ ‎ ∴根据勾股定理，得DC=k。∴。‎ ‎ 在Rt△PDF中，。‎ ‎ 又BG=4－m，‎ ‎∴。‎ 当时，解得；‎ 当时，解得。‎ ‎37. （2012河北省10分）如图，A（－5，0），B（-3，0），点C在y轴的正半轴上，∠CBO=45°，‎ CD∥AB．∠CDA=90°．点P从点Q（4，0）出发，沿x轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时时间t秒．‎ ‎（1）求点C的坐标；‎ ‎（2）当∠BCP=15°时，求t的值；‎ ‎（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．‎ ‎【答案】解：（1）∵∠BCO=∠CBO=45°，∴OC=OB=3。‎ 又∵点C在y轴的正半轴上，∴点C的坐标为（0，3）。‎ ‎（2）分两种情况考虑：‎ ‎①当点P在点B右侧时，如图2，‎ 若∠BCP=15°，得∠PCO=30°，故PO=CO•tan30°=。此时t=4+‎ ‎②当点P在点B左侧时，如图3，‎ 由∠BCP=15°，得∠PCO=60°，故OP=COtan60°=3。此时，t=4+3‎ ‎∴t的值为4+或4+3‎ ‎（3）由题意知，若⊙P与四边形ABCD的边相切时，有以下三种情况：‎ ‎①当⊙P与BC相切于点C时，有 ‎∠BCP=90°，从而∠OCP=45°，得到OP=3，此时t=1。‎ ‎②当⊙P与CD相切于点C时，有 PC⊥CD，即点P与点O重合，此时t=4。‎ ‎③当⊙P与AD相切时，由题意，得 ‎∠DAO=90°，∴点A为切点，如图4，PC2=PA2=（9－t）2，PO2=（t－4）2。‎ 于是（9－t）2= PO2=（t－4）2，即81－18t＋t2=t2－8t＋16＋9，解得，‎ t=5.6。‎ 综上所述，t的值为1或4或5.6。‎ ‎【考点】动点问题，切线的性质，坐标与图形性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。‎ ‎【分析】（1）由∠CBO=45°，∠BOC为直角，得到△BOC为等腰直角三角形，又OB=3，利用等腰直角三角形AOB的性质知OC=OB=3，然后由点C在y轴的正半轴可以确定点C的坐标。‎ ‎（2）分点P在点B右侧和点P在点B左侧两种情况讨论即可。‎ ‎（3）当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，分三种情况讨论：①当⊙P与BC边相切时，②当⊙P与CD相切于点C时，③当⊙P与CD相切时。‎ ‎38. （2012吉林省10分）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=‎2cm，AC=‎4cm．动点P从点A出发，沿AB方向以‎1cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B同时出发，沿BA方向以‎1cm/s的速度向点A运动．当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，以AP为一边向上作正方形APDE，过点Q作QF∥BC，交AC于点F．设点P的运动时间为ts，正方形和梯形重合部分的面积为Scm2．‎ ‎（1）当t= s时，点P与点Q重合；‎ ‎（2）当t= s时，点D在QF上；‎ ‎（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，求S与t之间的函数关系式．‎ ‎【答案】解：（1）1。‎ ‎（2）。‎ ‎（3）当P、Q重合时，由（1）知，此时t=1；‎ 当D点在BC上时，如答图2所示，此时AP=BQ =t，BP=t，‎ 又∵BP=2－t，∴t=2－t，解得t=。‎ 进一步分析可知此时点E与点F重合。‎ 当点P到达B点时，此时t=2。‎ 因此当P点在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，其运动过程可分析如下：‎ ‎①当1＜t≤时，如答图3所示，此时重合部分为梯形PDGQ。‎ 此时AP=BQ=t，∴AQ=2－t，PQ=AP－AQ=2t－2。‎ 易知△ABC∽△AQF，可得AF=2AQ，EF=2EG。‎ ‎∴EF=AF－AE=2（2－t）－t=4－3t，EG=EF=2－t。‎ ‎∴DG=DE－EG=t－（2－t）=t－2。‎ ‎。‎ ‎②当＜t＜2时，如答图4所示，此时重合部分为一个多边形。‎ 此时AP=BQ=t，∴AQ=PB=2－t。‎ 易知△ABC∽△AQF∽△PBM∽△DNM，‎ 可得AF=2AQ，PM=2PB，DM=2DN。∴AF=4－2t，PM=4－2t。‎ 又DM=DP－PM=t－（4－2t）=3t－4，∴DN=（3t－4）。‎ 综上所述，当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，S与t之间的函数关系式为：。‎ ‎【考点】动点问题，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。‎ ‎【分析】（1）当点P与点Q重合时，此时AP=BQ=t，且AP+BQ=AB=2，由此得t+t=2，解得t=1（s）。‎ ‎（2）当点D在QF上时，如答图1所示，此时AP=BQ=t．‎ ‎∵QF∥BC，APDE为正方形，∴△PQD∽△ABC。‎ ‎∴DP：PQ=AC：AB=2，则PQ=DP=AP=t。‎ 由AP+PQ+BQ=AB=2，得t+t+t=2，解得：t=。‎ ‎（3）当点P在Q，B两点之间（不包括Q，B两点）时，运动过程可以划分为两个阶段：‎ ‎①当1＜t≤ 时，如答图3所示，此时重合部分为梯形PDGQ．先计算梯形各边长，然后利用梯形面积公式求出S。‎ ‎②当＜t＜2时，如答图4所示，此时重合部分为一个多边形．面积S由关系式“‎ ‎”求出。‎