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- 2021-05-10 发布
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目 录
第一部分 函数图象中点的存在性问题
1.1 因动点产生的相似三角形问题
例1 2014年武汉市中考第24题
例2 2013年上海市中考第24题
例3 2012年苏州市中考第29题
例4 2012年黄冈市中考第25题
例5 2010年义乌市中考第24题
例6 2009年临沂市中考第26题
1.2 因动点产生的等腰三角形问题
例1 2014年长沙市中考第第26题
例2 2013年上海市虹口区中考模拟第25题
例3 2012年扬州市中考第27题
例4 2012年临沂市中考第26题
例5 2011年湖州市中考第24题
例6 2011年盐城市中考第28题
例7 2010年南通市中考第27题
1.3 因动点产生的直角三角形问题
例1 2014年苏州市中考第29题
例2 2013年山西省中考第26题
例3 2012年广州市中考第24题
例4 2012年杭州市中考第22题
例5 2011年浙江省中考第23题
例6 2010年北京市中考第24题
例7 2009年嘉兴市中考第24题
1.4 因动点产生的平行四边形问题
例1 2014年陕西省中考第24题
例2 2013年上海市松江区中考模拟第24题
例3 2012年福州市中考第21题
例4 2012年烟台市中考第26题
例5 2011年上海市中考第24题
例6 2011年江西省中考第24题
例7 2010年山西省中考第26题
1.5 因动点产生的梯形问题
例1 2014年上海市金山区中考模拟第24题
例2 2012年上海市松江中考模拟第24题
例3 2012年衢州市中考第24题
例4 2011年义乌市中考第24题
例5 2010年杭州市中考第24题
1.6 因动点产生的面积问题
例1 2014年昆明市中考第23题
例2 2013年苏州市中考第29题
例3 2012年菏泽市中考第21题
例4 2012年河南省中考第23题
例5 2011年南通市中考第28题
例6 2010年广州市中考第25题
例7 2010年扬州市中考第28题
1.7 因动点产生的相切问题
例1 2014年上海市徐汇区中考模拟第25题
例2 2013年上海市杨浦区中考模拟第25题
例3 2012年河北省中考第25题
1.8 因动点产生的线段和差问题
例1 2014年广州市中考第24题
例2 2013年天津市中考第25题
例3 2012年滨州市中考第24题
例4 2012年山西省中考第26题
第二部分 图形运动中的函数关系问题
2.1 由比例线段产生的函数关系问题
例1 2014年上海市徐汇区中考模拟第25题
例2 2013年宁波市中考第26题
例3 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题
例4 2012年连云港市中考第26题
2.2 由面积公式产生的函数关系问题
例1 2014年黄冈市中考第25题
例2 2013年菏泽市中考第21题
例3 2012年广东省中考第22题
例4 2012年河北省中考第26题
例5 2011年淮安市中考第28题
例6 2011年山西省中考第26题
第三部分 图形运动中的计算说理问题
3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题
例1 2014年福州市中考第22题
例2 2013年南京市中考第26题
例3 2013年南昌市中考第25题
3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题
例1 2014年安徽省中考第23题
例2 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题
例3 2013年江西省中考第24题
第四部分 图形的平移翻折与旋转
4.1图形的平移
例1 2014年江西省中考第11题
4.2图形的翻折
例1 2014年上海市中考第18题
例2 2014年无锡市中考第18题
4.3图形的旋转
例1 2014年上海市黄浦区中考模拟第18题
例2 2014年上海市长宁区中考模拟第17题
4.4三角形
例1 2014年泰州市中考第16题
4.5四边形
例1 2014年广州市中考第8题
4.6圆
例1 2014年温州市中考第16题
例2 2014年徐州市中考第17题
4.7函数图像的性质
例1 2014年苏州市中考第18题
例2 2014年烟台市中考第12题
声 明
选自东师范大学出版社出版的《挑战压轴题·中考数学:精讲解读篇》(含光盘)一书。该书收录当年全国各地具有代表性的中考数学压轴题, 并把它们分为4部分、24小类。该书最大的特色是用几何画板和超级画板做成电脑课件,并为每一题录制了视频讲解,让你在动态中体验压轴题的变与不变,获得清晰的解题思路,完成满分解答,拓展思维训练。
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由于格式问题,该书最具特色的电脑课件和视频文件在此无法一并附上,敬请原谅。
第一部分 函数图象中点的存在性问题
1.1 因动点产生的相似三角形问题
例1 2014年武汉市中考第24题
如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6 cm,BC=8 cm,动点P从点B出发,在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动,运动时间为t秒(0<t<2),连接PQ.
(1)若△BPQ与△ABC相似,求t的值;
(2)如图2,连接AQ、CP,若AQ⊥CP,求t的值;
(3)试证明:PQ的中点在△ABC的一条中位线上.
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“14武汉24”,拖动点P运动,可以体验到,若△BPQ可以两次成为直角三角形,与△ABC相似.当AQ⊥CP时,△ACQ∽△CDP.PQ的中点H在
△ABC的中位线EF上.
思路点拨
1.△BPQ与△ABC有公共角,按照夹角相等,对应边成比例,分两种情况列方程.
2.作PD⊥BC于D,动点P、Q的速度,暗含了BD=CQ.
3.PQ的中点H在哪条中位线上?画两个不同时刻P、Q、H的位置,一目了然.
满分解答
(1)Rt△ABC中,AC=6,BC=8,所以AB=10.
△BPQ与△ABC相似,存在两种情况:
① 如果,那么.解得t=1.
② 如果,那么.解得.
图3 图4
(2)作PD⊥BC,垂足为D.
在Rt△BPD中,BP=5t,cosB=,所以BD=BPcosB=4t,PD=3t.
当AQ⊥CP时,△ACQ∽△CDP.
所以,即.解得.
图5 图6
(3)如图4,过PQ的中点H作BC的垂线,垂足为F,交AB于E.
由于H是PQ的中点,HF//PD,所以F是QD的中点.
又因为BD=CQ=4t,所以BF=CF.
因此F是BC的中点,E是AB的中点.
所以PQ的中点H在△ABC的中位线EF上.
考点伸展
本题情景下,如果以PQ为直径的⊙H与△ABC的边相切,求t的值.
如图7,当⊙H与AB相切时,QP⊥AB,就是,.
如图8,当⊙H与BC相切时,PQ⊥BC,就是,t=1.
如图9,当⊙H与AC相切时,直径,
半径等于FC=4.所以.
解得,或t=0(如图10,但是与已知0<t<2矛盾).
图7 图 8 图9 图10
例2 2013年上海市中考第24题
如图1,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线y=ax2+bx(a>0)经过点A和x轴正半轴上的点B,AO=BO=2,∠AOB=120°.
(1)求这条抛物线的表达式;
(2)连结OM,求∠AOM的大小;
(3)如果点C在x轴上,且△ABC与△AOM相似,求点C的坐标.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“13上海24”,拖动点C在x轴上运动,可以体验到,点C在点B的右侧,有两种情况,△ABC与△AOM相似.
请打开超级画板文件名“13上海24”,拖动点C在x轴上运动,可以体验到,点C在点B的右侧,有两种情况,△ABC与△AOM相似.点击按钮的左部和中部,可到达相似的准确位置。
思路点拨
1.第(2)题把求∠AOM的大小,转化为求∠BOM的大小.
2.因为∠BOM=∠ABO=30°,因此点C在点B的右侧时,恰好有∠ABC=∠AOM.
3.根据夹角相等对应边成比例,分两种情况讨论△ABC与△AOM相似.
满分解答
(1)如图2,过点A作AH⊥y轴,垂足为H.
在Rt△AOH中,AO=2,∠AOH=30°,
所以AH=1,OH=.所以A.
因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点,
设y=ax(x-2),代入点A,可得. 图2
所以抛物线的表达式为.
(2)由,
得抛物线的顶点M的坐标为.所以.
所以∠BOM=30°.所以∠AOM=150°.
(3)由A、B(2,0)、M,
得,,.
所以∠ABO=30°,.
因此当点C在点B右侧时,∠ABC=∠AOM=150°.
△ABC与△AOM相似,存在两种情况:
①如图3,当时,.此时C(4,0).
②如图4,当时,.此时C(8,0).
图3 图4
考点伸展
在本题情境下,如果△ABC与△BOM相似,求点C的坐标.
如图5,因为△BOM是30°底角的等腰三角形,∠ABO=30°,因此△ABC也是底角为30°的等腰三角形,AB=AC,根据对称性,点C的坐标为(-4,0).
图5
例3 2012年苏州市中考第29题
如图1,已知抛物线(b是实数且b>2)与x轴的正半轴分别交于点A、B(点A位于点B是左侧),与y轴的正半轴交于点C.
(1)点B的坐标为______,点C的坐标为__________(用含b的代数式表示);
(2)请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12苏州29”,拖动点B在x轴的正半轴上运动,可以体验到,点P到两坐标轴的距离相等,存在四边形PCOB的面积等于2b的时刻.双击按钮“第(3)题”,拖动点B,可以体验到,存在∠OQA=∠B的时刻,也存在∠OQ′A=∠B的时刻.
思路点拨
1.第(2)题中,等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等.
2.联结OP,把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形,底边可以用含b的式子表示.
3.第(3)题要探究三个三角形两两相似,第一直觉这三个三角形是直角三角形,点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上.
满分解答
(1)B的坐标为(b, 0),点C的坐标为(0, ).
(2)如图2,过点P作PD⊥x轴,PE⊥y轴,垂足分别为D、E,那么△PDB≌△PEC.
因此PD=PE.设点P的坐标为(x, x).
如图3,联结OP.
所以S四边形PCOB=S△PCO+S△PBO==2b.
解得.所以点P的坐标为().
图2 图3
(3)由,得A(1, 0),OA=1.
①如图4,以OA、OC为邻边构造矩形OAQC,那么△OQC≌△QOA.
当,即时,△BQA∽△QOA.
所以.解得.所以符合题意的点Q为().
②如图5,以OC为直径的圆与直线x=1交于点Q,那么∠OQC=90°。
因此△OCQ∽△QOA.
当时,△BQA∽△QOA.此时∠OQB=90°.
所以C、Q、B三点共线.因此,即.解得.此时Q(1,4).
图4 图5
考点伸展
第(3)题的思路是,A、C、O三点是确定的,B是x轴正半轴上待定的点,而∠QOA与∠QOC是互余的,那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况.
这样,先根据△QOA与△QOC相似把点Q的位置确定下来,再根据两直角边对应成比例确定点B的位置.
如图中,圆与直线x=1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢?
如果符合题意的话,那么点B的位置距离点A很近,这与OB=4OC矛盾.
例4 2012年黄冈市中考模拟第25题
如图1,已知抛物线的方程C1: (m>0)与x轴交于点B、C,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧.
(1)若抛物线C1过点M(2, 2),求实数m的值;
(2)在(1)的条件下,求△BCE的面积;
(3)在(1)的条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使得BH+EH最小,求出点H的坐标;
(4)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12黄冈25”,拖动点C在x轴正半轴上运动,观察左图,可以体验到,EC与BF保持平行,但是∠BFC在无限远处也不等于45°.观察右图,可以体验到,∠CBF保持45°,存在∠BFC=∠BCE的时刻.
思路点拨
1.第(3)题是典型的“牛喝水”问题,当H落在线段EC上时,BH+EH最小.
2.第(4)题的解题策略是:先分两种情况画直线BF,作∠CBF=∠EBC=45°,或者作BF//EC.再用含m的式子表示点F的坐标.然后根据夹角相等,两边对应成比例列关于m的方程.
满分解答
(1)将M(2, 2)代入,得.解得m=4.
(2)当m=4时,.所以C(4, 0),E(0, 2).
所以S△BCE=.
(3)如图2,抛物线的对称轴是直线x=1,当H落在线段EC上时,BH+EH最小.
设对称轴与x轴的交点为P,那么.
因此.解得.所以点H的坐标为.
(4)①如图3,过点B作EC的平行线交抛物线于F,过点F作FF′⊥x轴于F′.
由于∠BCE=∠FBC,所以当,即时,△BCE∽△FBC.
设点F的坐标为,由,得.
解得x=m+2.所以F′(m+2, 0).
由,得.所以.
由,得.
整理,得0=16.此方程无解.
图2 图3 图4
②如图4,作∠CBF=45°交抛物线于F,过点F作FF′⊥x轴于F′,
由于∠EBC=∠CBF,所以,即时,△BCE∽△BFC.
在Rt△BFF′中,由FF′=BF′,得.
解得x=2m.所以F′.所以BF′=2m+2,.
由,得.解得.
综合①、②,符合题意的m为.
考点伸展
第(4)题也可以这样求BF的长:在求得点F′、F的坐标后,根据两点间的距离公式求BF的长.
例5 2010年义乌市中考第24题
如图1,已知梯形OABC,抛物线分别过点O(0,0)、A(2,0)、B(6,3).
(1)直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标;
(2)将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移,分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1,得到如图2的梯形O1A1B1C1.设梯形O1A1B1C1的面积为S,A1、 B1的坐标分别为 (x1,y1)、(x2,y2).用含S的代数式表示x2-x1,并求出当S=36时点A1的坐标;
(3)在图1中,设点D的坐标为(1,3),动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动,动点Q从点D出发,以与点P相同的速度沿着线段DM运动.P、Q两点同时出发,当点Q到达点M时,P、Q两点同时停止运动.设P、Q两点的运动时间为t,是否存在某一时刻t,使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“10义乌24”,拖动点I上下运动,观察图形和图象,可以体验到,x2-x1随S的增大而减小.双击按钮“第(3)题”,拖动点Q在DM上运动,可以体验到,如果∠GAF=∠GQE,那么△GAF与△GQE相似.
思路点拨
1.第(2)题用含S的代数式表示x2-x1,我们反其道而行之,用x1,x2表示S.再注意平移过程中梯形的高保持不变,即y2-y1=3.通过代数变形就可以了.
2.第(3)题最大的障碍在于画示意图,在没有计算结果的情况下,无法画出准确的位置关系,因此本题的策略是先假设,再说理计算,后验证.
3.第(3)题的示意图,不变的关系是:直线AB与x轴的夹角不变,直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变.变化的直线PQ的斜率,因此假设直线PQ与AB的交点G在x轴的下方,或者假设交点G在x轴的上方.
满分解答
(1)抛物线的对称轴为直线,解析式为,顶点为M(1,).
(2) 梯形O1A1B1C1的面积,由此得到.由于,所以.整理,得
.因此得到.
当S=36时, 解得 此时点A1的坐标为(6,3).
(3)设直线AB与PQ交于点G,直线AB与抛物线的对称轴交于点E,直线PQ与x轴交于点F,那么要探求相似的△GAF与△GQE,有一个公共角∠G.
在△GEQ中,∠GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角,为定值.
在△GAF中,∠GAF是直线AB与x轴的夹角,也为定值,而且∠GEQ≠∠GAF.
因此只存在∠GQE=∠GAF的可能,△GQE∽△GAF.这时∠GAF=∠GQE=∠PQD.
由于,,所以.解得.
图3 图4
考点伸展
第(3)题是否存在点G在x轴上方的情况?如图4,假如存在,说理过程相同,求得的t的值也是相同的.事实上,图3和图4都是假设存在的示意图,实际的图形更接近图3.
例6 2009年临沂市中考第26题
如图1,抛物线经过点A(4,0)、B(1,0)、C(0,-2)三点.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)P是抛物线上的一个动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在点P,使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似?若存在,请求出符合条件的 点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在直线AC上方的抛物线是有一点D,使得△DCA的面积最大,求出点D的坐标.
,
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“09临沂26”,拖动点P在抛物线上运动,可以体验到,△PAM的形状在变化,分别双击按钮“P在B左侧”、“ P在x轴上方”和“P在A右侧”,可以显示△PAM与△OAC相似的三个情景.
双击按钮“第(3)题”, 拖动点D在x轴上方的抛物线上运动,观察△DCA的形状和面积随D变化的图象,可以体验到,E是AC的中点时,△DCA的面积最大.
思路点拨
1.已知抛物线与x轴的两个交点,用待定系数法求解析式时,设交点式比较简便.
2.数形结合,用解析式表示图象上点的坐标,用点的坐标表示线段的长.
3.按照两条直角边对应成比例,分两种情况列方程.
4.把△DCA可以分割为共底的两个三角形,高的和等于OA.
满分解答
(1)因为抛物线与x轴交于A(4,0)、B(1,0)两点,设抛物线的解析式为,代入点C的 坐标(0,-2),解得.所以抛物线的解析式为.
(2)设点P的坐标为.
①如图2,当点P在x轴上方时,1<x<4,,.
如果,那么.解得不合题意.
如果,那么.解得.
此时点P的坐标为(2,1).
②如图3,当点P在点A的右侧时,x>4,,.
解方程,得.此时点P的坐标为.
解方程,得不合题意.
③如图4,当点P在点B的左侧时,x<1,,.
解方程,得.此时点P的坐标为.
解方程,得.此时点P与点O重合,不合题意.
综上所述,符合条件的 点P的坐标为(2,1)或或.
图2 图3 图4
(3)如图5,过点D作x轴的垂线交AC于E.直线AC的解析式为.
设点D的横坐标为m,那么点D的坐标为,点E的坐标为.所以.
因此.
当时,△DCA的面积最大,此时点D的坐标为(2,1).
图5 图6
考点伸展
第(3)题也可以这样解:
如图6,过D点构造矩形OAMN,那么△DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去△CDN和△ADM的面积.
设点D的横坐标为(m,n),那么
.
由于,所以.
1.2 因动点产生的等腰三角形问题
例1 2014年长沙市中考第26题
如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的对称轴为y轴,且经过(0,0)和两点,点P在该抛物线上运动,以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0, 2).
(1)求a、b、c的值;
(2)求证:在点P运动的过程中,⊙P始终与x轴相交;
(3)设⊙P与x轴相交于M(x1, 0)、N(x2, 0)两点,当△AMN为等腰三角形时,求圆心P的纵坐标.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14长沙26”,拖动圆心P在抛物线上运动,可以体验到,圆与x轴总是相交的,等腰三角形AMN存在三种情况.
思路点拨
1.不算不知道,一算真奇妙,原来⊙P在x轴上截得的弦长MN=4是定值.
2.等腰三角形AMN存在三种情况,其中MA=MN和NA=NM两种情况时,点P的纵坐标是相等的.
满分解答
(1)已知抛物线的顶点为(0,0),所以y=ax2.所以b=0,c=0.
将代入y=ax2,得.解得(舍去了负值).
(2)抛物线的解析式为,设点P的坐标为.
已知A(0, 2),所以>.
而圆心P到x轴的距离为,所以半径PA>圆心P到x轴的距离.
所以在点P运动的过程中,⊙P始终与x轴相交.
(3)如图2,设MN的中点为H,那么PH垂直平分MN.
在Rt△PMH中,,,所以MH2=4.
所以MH=2.因此MN=4,为定值.
等腰△AMN存在三种情况:
①如图3,当AM=AN时,点P为原点O重合,此时点P的纵坐标为0.
图2 图3
②如图4,当MA=MN时,在Rt△AOM中,OA=2,AM=4,所以OM=2.
此时x=OH=2.所以点P的纵坐标为.
③如图5,当NA=NM时,点P的纵坐标为也为.
图4 图5
考点伸展
如果点P在抛物线上运动,以点P为圆心的⊙P总经过定点B(0, 1),那么在点P运动的过程中,⊙P始终与直线y=-1相切.这是因为:
设点P的坐标为.
已知B(0, 1),所以.
而圆心P到直线y=-1的距离也为,所以半径PB=圆心P到直线y=-1的距离.所以在点P运动的过程中,⊙P始终与直线y=-1相切.
例2 2013年上海市虹口区中考模拟第25题
如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,点D为边BC的中点,DE⊥BC交边AC于点E,点P为射线AB上的一动点,点Q为边AC上的一动点,且∠PDQ=90°.
(1)求ED、EC的长;
(2)若BP=2,求CQ的长;
(3)记线段PQ与线段DE的交点为F,若△PDF为等腰三角形,求BP的长.
图1 备用图
动感体验
请打开几何画板文件名“13虹口25”,拖动点P在射线AB上运动,可以体验到,△PDM与△QDN保持相似.观察△PDF,可以看到,P、F可以落在对边的垂直平分线上,不存在DF=DP的情况.
请打开超级画板文件名“13虹口25”,拖动点P在射线AB上运动,可以体验到,△PDM与△QDN保持相似.观察△PDF,可以看到,P、F可以落在对边的垂直平分线上,不存在DF=DP的情况.
思路点拨
1.第(2)题BP=2分两种情况.
2.解第(2)题时,画准确的示意图有利于理解题意,观察线段之间的和差关系.
3.第(3)题探求等腰三角形PDF时,根据相似三角形的传递性,转化为探求等腰三角形CDQ.
满分解答
(1)在Rt△ABC中, AB=6,AC=8,所以BC=10.
在Rt△CDE中,CD=5,所以,.
(2)如图2,过点D作DM⊥AB,DN⊥AC,垂足分别为M、N,那么DM、DN是
△ABC的两条中位线,DM=4,DN=3.
由∠PDQ=90°,∠MDN=90°,可得∠PDM=∠QDN.
因此△PDM∽△QDN.
所以.所以,.
图2 图3 图4
①如图3,当BP=2,P在BM上时,PM=1.
此时.所以.
②如图4,当BP=2,P在MB的延长线上时,PM=5.
此时.所以.
(3)如图5,如图2,在Rt△PDQ中,.
在Rt△ABC中,.所以∠QPD=∠C.
由∠PDQ=90°,∠CDE=90°,可得∠PDF=∠CDQ.
因此△PDF∽△CDQ.
当△PDF是等腰三角形时,△CDQ也是等腰三角形.
①如图5,当CQ=CD=5时,QN=CQ-CN=5-4=1(如图3所示).
此时.所以.
②如图6,当QC=QD时,由,可得.
所以QN=CN-CQ=(如图2所示).
此时.所以.
③不存在DP=DF的情况.这是因为∠DFP≥∠DQP>∠DPQ(如图5,图6所示).
图5 图6
考点伸展
如图6,当△CDQ是等腰三角形时,根据等角的余角相等,可以得到△BDP也是等腰三角形,PB=PD.在△BDP中可以直接求解.
例3 2012年扬州市中考第27题
如图1,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点,直线l是抛物线的对称轴.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)设点P是直线l上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标;
(3)在直线l上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形,若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12扬州27”,拖动点P在抛物线的对称轴上运动,可以体验到,当点P落在线段BC上时,PA+PC最小,△PAC的周长最小.拖动点M在抛物线的对称轴上运动,观察△MAC的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系,可以看到,点M有1次机会落在AC的垂直平分线上;点A有2次机会落在MC的垂直平分线上;点C有2次机会落在MA的垂直平分线上,但是有1次M、A、C三点共线.
思路点拨
1.第(2)题是典型的“牛喝水”问题,点P在线段BC上时△PAC的周长最小.
2.第(3)题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性.
满分解答
(1)因为抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3, 0)两点,设y=a(x+1)(x-3),
代入点C(0 ,3),得-3a=3.解得a=-1.
所以抛物线的函数关系式是y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3.
(2)如图2,抛物线的对称轴是直线x=1.
当点P落在线段BC上时,PA+PC最小,△PAC的周长最小.
设抛物线的对称轴与x轴的交点为H.
由,BO=CO,得PH=BH=2.
所以点P的坐标为(1, 2).
图2
(3)点M的坐标为(1, 1)、(1,)、(1,)或(1,0).
考点伸展
第(3)题的解题过程是这样的:
设点M的坐标为(1,m).
在△MAC中,AC2=10,MC2=1+(m-3)2,MA2=4+m2.
①如图3,当MA=MC时,MA2=MC2.解方程4+m2=1+(m-3)2,得m=1.
此时点M的坐标为(1, 1).
②如图4,当AM=AC时,AM2=AC2.解方程4+m2=10,得.
此时点M的坐标为(1,)或(1,).
③如图5,当CM=CA时,CM2=CA2.解方程1+(m-3)2=10,得m=0或6.
当M(1, 6)时,M、A、C三点共线,所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0).
图3 图4 图5
例4 2012年临沂市中考第26题
如图1,点A在x轴上,OA=4,将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置.
(1)求点B的坐标;
(2)求经过A、O、B的抛物线的解析式;
(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12临沂26”,拖动点P在抛物线的对称轴上运动,可以体验到,⊙O和⊙B以及OB的垂直平分线与抛物线的对称轴有一个共同的交点,当点P运动到⊙O与对称轴的另一个交点时,B、O、P三点共线.
请打开超级画板文件名“12临沂26”,拖动点P,发现存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形
思路点拨
1.用代数法探求等腰三角形分三步:先分类,按腰相等分三种情况;再根据两点间的距离公式列方程;然后解方程并检验.
2.本题中等腰三角形的角度特殊,三种情况的点P重合在一起.
满分解答
(1)如图2,过点B作BC⊥y轴,垂足为C.
在Rt△OBC中,∠BOC=30°,OB=4,所以BC=2,.
所以点B的坐标为.
(2)因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0),设抛物线的解析式为y=ax(x-4),
代入点B,.解得.
所以抛物线的解析式为.
(3)抛物线的对称轴是直线x=2,设点P的坐标为(2, y).
①当OP=OB=4时,OP2=16.所以4+y2=16.解得.
当P在时,B、O、P三点共线(如图2).
②当BP=BO=4时,BP2=16.所以.解得.
③当PB=PO时,PB2=PO2.所以.解得.
综合①、②、③,点P的坐标为,如图2所示.
图2 图3
考点伸展
如图3,在本题中,设抛物线的顶点为D,那么△DOA与△OAB是两个相似的等腰三角形.
由,得抛物线的顶点为.
因此.所以∠DOA=30°,∠ODA=120°.
例5 2011年盐城市中考第28题
如图1,已知一次函数y=-x+7与正比例函数 的图象交于点A,且与x轴交于点B.
(1)求点A和点B的坐标;
(2)过点A作AC⊥y轴于点C,过点B作直线l//y轴.动点P从点O出发,以每秒1个单位长的速度,沿O—C—A的路线向点A运动;同时直线l从点B出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线l交x轴于点R,交线段BA或线段AO于点Q.当点P到达点A时,点P和直线l都停止运动.在运动过程中,设动点P运动的时间为t秒.
①当t为何值时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8?
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11盐城28”,拖动点R由B向O运动,从图象中可以看到,△APR的面积有一个时刻等于8.观察△APQ,可以体验到,P在OC上时,只存在AP=AQ的情况;P在CA上时,有三个时刻,△APQ是等腰三角形.
思路点拨
1.把图1复制若干个,在每一个图形中解决一个问题.
2.求△APR的面积等于8,按照点P的位置分两种情况讨论.事实上,P在CA上运动时,高是定值4,最大面积为6,因此不存在面积为8的可能.
3.讨论等腰三角形APQ,按照点P的位置分两种情况讨论,点P的每一种位置又要讨论三种情况.
满分解答
(1)解方程组 得 所以点A的坐标是(3,4).
令,得.所以点B的坐标是(7,0).
(2)①如图2,当P在OC上运动时,0≤t<4.由,得.整理,得.解得t=2或t=6(舍去).如图3,当P在CA上运动时,△APR的最大面积为6.
因此,当t=2时,以A、P、R为顶点的三角形的面积为8.
图2 图3 图4
②我们先讨论P在OC上运动时的情形,0≤t<4.
如图1,在△AOB中,∠B=45°,∠AOB>45°,OB=7,,所以OB>AB.因此∠OAB>∠AOB>∠B.
如图4,点P由O向C运动的过程中,OP=BR=RQ,所以PQ//x轴.
因此∠AQP=45°保持不变,∠PAQ越来越大,所以只存在∠APQ=∠AQP的情况.
此时点A在PQ的垂直平分线上,OR=2CA=6.所以BR=1,t=1.
我们再来讨论P在CA上运动时的情形,4≤t<7.
在△APQ中, 为定值,,.
如图5,当AP=AQ时,解方程,得.
如图6,当QP=QA时,点Q在PA的垂直平分线上,AP=2(OR-OP).解方程,得.
如7,当PA=PQ时,那么.因此.解方程,得.
综上所述,t=1或或5或时,△APQ是等腰三角形.
图5 图6 图7
考点伸展
当P在CA上,QP=QA时,也可以用来求解.
例6 2010年南通市中考第27题
如图1,在矩形ABCD中,AB=m(m是大于0的常数),BC=8,E为线段BC上的动点(不与B、C重合).连结DE,作EF⊥DE,EF与射线BA交于点F,设CE=x,BF=y.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)若m=8,求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?
(3)若,要使△DEF为等腰三角形,m的值应为多少?
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“10南通27”,拖动点E在BC上运动,观察y随x变化的函数图象,可以体验到,y是x的二次函数,抛物线的开口向下.对照图形和图象,可以看到,当E是BC的中点时,y取得最大值.双击按钮“m=8”,拖动E到BC的中点,可以体验到,点F是AB的四等分点.
拖动点A可以改变m的值,再拖动图象中标签为“y随x” 的点到射线y=x上,从图形中可以看到,此时△DCE≌△EBF.
思路点拨
1.证明△DCE∽△EBF,根据相似三角形的对应边成比例可以得到y关于x的函数关系式.
2.第(2)题的本质是先代入,再配方求二次函数的最值.
3.第(3)题头绪复杂,计算简单,分三段表达.一段是说理,如果△DEF为等腰三角形,那么得到x=y;一段是计算,化简消去m,得到关于x的一元二次方程,解出x的值;第三段是把前两段结合,代入求出对应的m的值.
满分解答
(1)因为∠EDC与∠FEB都是∠DEC的余角,所以∠EDC=∠FEB.又因为∠C=∠B=90°,所以△DCE∽△EBF.因此,即.整理,得y关于x的函数关系为.
(2)如图2,当m=8时,.因此当x=4时,y取得最大值为2.
(3) 若,那么.整理,得.解得x=2或x=6.要使△DEF为等腰三角形,只存在ED=EF的情况.因为△DCE∽△EBF,所以CE=BF,即x=y.将x=y =2代入,得m=6(如图3);将x=y =6代入,得m=2(如图4).
图2 图3 图4
考点伸展
本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系,例如:
由第(1)题得到,
那么不论m为何值,当x=4时,y都取得最大值.对应的几何意义是,不论AB边为多长,当E是BC的中点时,BF都取得最大值.第(2)题m=8是第(1)题一般性结论的一个特殊性.
再如,不论m为小于8的任何值,△DEF都可以成为等腰三角形,这是因为方程
总有一个根的.第(3)题是这个一般性结论的一个特殊性.
1.3 因动点产生的直角三角形问题
例1 2014年苏州市中考第29题
如图1,二次函数y=a(x2-2mx-3m2)(其中a、m是常数,且a>0,m>0)的图像与x轴分别交于A、B(点A位于点B的左侧),与y轴交于点C(0,-3),点D在二次函数的图像上,CD//AB,联结AD.过点A作射线AE交二次函数的图像于点E,AB平分∠DAE.
(1)用含m的式子表示a;
(2)求证:为定值;
(3)设该二次函数的图像的顶点为F.探索:在x轴的负半轴上是否存在点G,联结GF,以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形?如果存在,只要找出一个满足要求的点G即可,并用含m的代数式表示该点的横坐标;如果不存在,请说明理由.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14苏州29”,拖动y轴正半轴上表示实数m的点运动,可以体验到,点E、D、F到x轴的距离都为定值.
思路点拨
1.不算不知道,一算真奇妙.通过二次函数解析式的变形,写出点A、B、F的坐标后,点D的坐标也可以写出来.点E的纵坐标为定值是算出来的.
2.在计算的过程中,第(1)题的结论及其变形反复用到.
3.注意到点E、D、F到x轴的距离正好是一组常见的勾股数(5,3,4),因此过点F作AD的平行线与x轴的交点,就是要求的点G.
满分解答
(1)将C(0,-3)代入y=a(x2-2mx-3m2),得-3=-3am2.因此.
(2)由y=a(x2-2mx-3m2)=a(x+m)(x-3m)=a(x-m)2-4axm2=a(x-m)2-4,
得A(-m, 0),B(3m, 0),F(m, -4),对称轴为直线x=m.
所以点D的坐标为(2m,-3).
设点E的坐标为(x, a(x+m)(x-3m)).
如图2,过点D、E分别作x轴的垂线,垂足分别为D′、E′.
由于∠EAE′=∠DAD′,所以.因此.
所以am(x-3m)=1.结合,于是得到x=4m.
当x=4m时,y=a(x+m)(x-3m)=5am2=5.所以点E的坐标为(4m, 5).
所以.
图2 图3
(3)如图3,由E(4m, 5)、D(2m,-3)、F(m,-4),
可知点E、D、F到x轴的距离分别为5、4、3.
那么过点F作AD的平行线与x轴的负半轴的交点,就是符合条件的点G.
证明如下:作FF′⊥x轴于F′,那么.
因此.所以线段GF、AD、AE的长围成一个直角三角形.
此时GF′=4m.所以GO=3m,点G的坐标为(-3m, 0).
考点伸展
第(3)题中的点G的另一种情况,就是GF为直角三角形的斜边.
此时.因此.
所以.此时.
例2 2013年山西省中考第26题
如图1,抛物线与x轴交于A、B两点(点B在点A的右侧),与y轴交于点C,连结BC,以BC为一边,点O为对称中心作菱形BDEC,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为(m, 0),过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q.
(1)求点A、B、C的坐标;
(2)当点P在线段OB上运动时,直线l分别交BD、BC于点M、N.试探究m为何值时,四边形CQMD是平行四边形,此时,请判断四边形CQBM的形状,并说明理由;
(3)当点P在线段EB上运动时,是否存在点Q,使△BDQ为直角三角形,若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“13山西26”,拖动点P在线段OB上运动,可以体验到,当P运动到OB的中点时,四边形CQMD和四边形CQBM都是平行四边形.拖动点P在线段EB上运动,可以体验到,∠DBQ和∠BDQ可以成为直角.
请打开超级画板文件名“13山西26”,拖动点P在线段OB上运动,可以体验到,当P运动到OB的中点时,四边形CQMD和四边形CQBM都是平行四边形.拖动点P在线段EB上运动,可以体验到,∠DBQ和∠BDQ可以成为直角.
思路点拨
1.第(2)题先用含m的式子表示线段MQ的长,再根据MQ=DC列方程.
2.第(2)题要判断四边形CQBM的形状,最直接的方法就是根据求得的m的值画一个准确的示意图,先得到结论.
3.第(3)题△BDQ为直角三角形要分两种情况求解,一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形.
满分解答
(1)由,得A(-2,0),B(8,0),C(0,-4).
(2)直线DB的解析式为.
由点P的坐标为(m, 0),可得,.
所以MQ=.
当MQ=DC=8时,四边形CQMD是平行四边形.
解方程,得m=4,或m=0(舍去).
此时点P是OB的中点,N是BC的中点,N(4,-2),Q(4,-6).
所以MN=NQ=4.所以BC与MQ互相平分.
所以四边形CQBM是平行四边形.
图2 图3
(3)存在两个符合题意的点Q,分别是(-2,0),(6,-4).
考点伸展
第(3)题可以这样解:设点Q的坐标为.
①如图3,当∠DBQ=90°时, .所以.
解得x=6.此时Q(6,-4).
②如图4,当∠BDQ=90°时, .所以.
解得x=-2.此时Q(-2,0).
图3 图4
例3 2012年广州市中考第24题
如图1,抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)求点A、B的坐标;
(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标;
(3)若直线l过点E(4, 0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12广州24”,拖动点M在以AB为直径的圆上运动,可以体验到,当直线与圆相切时,符合∠AMB=90°的点M只有1个.
请打开超级画板文件名“12广州24”,拖动点M在以AB为直径的圆上运动,可以体验到,当直线与圆相切时,符合∠AMB=90°的点M只有1个.
思路点拨
1.根据同底等高的三角形面积相等,平行线间的距离处处相等,可以知道符合条件的点D有两个.
2.当直线l与以AB为直径的圆相交时,符合∠AMB=90°的点M有2个;当直线l与圆相切时,符合∠AMB=90°的点M只有1个.
3.灵活应用相似比解题比较简便.
满分解答
(1)由,
得抛物线与x轴的交点坐标为A(-4, 0)、B(2, 0).对称轴是直线x=-1.
(2)△ACD与△ACB有公共的底边AC,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,点B、D到直线AC的距离相等.
过点B作AC的平行线交抛物线的对称轴于点D,在AC的另一侧有对应的点D′.
设抛物线的对称轴与x轴的交点为G,与AC交于点H.
由BD//AC,得∠DBG=∠CAO.所以.
所以,点D的坐标为.
因为AC//BD,AG=BG,所以HG=DG.
而D′H=DH,所以D′G=3DG.所以D′的坐标为.
图2 图3
(3)过点A、B分别作x轴的垂线,这两条垂线与直线l总是有交点的,即2个点M.
以AB为直径的⊙G如果与直线l相交,那么就有2个点M;如果圆与直线l相切,就只有1个点M了.
联结GM,那么GM⊥l.
在Rt△EGM中,GM=3,GE=5,所以EM=4.
在Rt△EM1A中,AE=8,,所以M1A=6.
所以点M1的坐标为(-4, 6),过M1、E的直线l为.
根据对称性,直线l还可以是.
考点伸展
第(3)题中的直线l恰好经过点C,因此可以过点C、E求直线l的解析式.
在Rt△EGM中,GM=3,GE=5,所以EM=4.
在Rt△ECO中,CO=3,EO=4,所以CE=5.
因此三角形△EGM≌△ECO,∠GEM=∠CEO.所以直线CM过点C.
例4 2012年杭州市中考第22题
在平面直角坐标系中,反比例函数与二次函数y=k(x2+x-1)的图象交于点A(1,k)和点B(-1,-k).
(1)当k=-2时,求反比例函数的解析式;
(2)要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大,求k应满足的条件以及x的取值范围;
(3)设二次函数的图象的顶点为Q,当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时,求k的值.
动感体验
请打开几何画板文件名“12杭州22”,拖动表示实数k的点在y轴上运动,可以体验到,当k<0并且在抛物线的对称轴左侧,反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大.观察抛物线的顶点Q与⊙O的位置关系,可以体验到,点Q有两次可以落在圆上.
请打开超级画板文件名“12杭州22”,拖动表示实数k的点在y轴上运动,可以体验到,当k<0并且在抛物线的对称轴左侧,反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大.观察抛物线的顶点Q与⊙O的位置关系,可以体验到,点Q有两次可以落在圆上.
思路点拨
1.由点A(1,k)或点B(-1,-k)的坐标可以知道,反比例函数的解析式就是.题目中的k都是一致的.
2.由点A(1,k)或点B(-1,-k)的坐标还可以知道,A、B关于原点O对称,以AB为直径的圆的圆心就是O.
3.根据直径所对的圆周角是直角,当Q落在⊙O上是,△ABQ是以AB为直径的直角三角形.
满分解答
(1)因为反比例函数的图象过点A(1,k),所以反比例函数的解析式是.
当k=-2时,反比例函数的解析式是.
(2)在反比例函数中,如果y随x增大而增大,那么k<0.
当k<0时,抛物线的开口向下,在对称轴左侧,y随x增大而增大.
抛物线y=k(x2+x+1)=的对称轴是直线. 图1
所以当k<0且时,反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大.
(3)抛物线的顶点Q的坐标是,A、B关于原点O中心对称,
当OQ=OA=OB时,△ABQ是以AB为直径的直角三角形.
由OQ2=OA2,得.
解得(如图2),(如图3).
图2 图3
考点伸展
如图4,已知经过原点O的两条直线AB与CD分别与双曲线(k>0)交于A、B和C、D,那么AB与CD互相平分,所以四边形ACBD是平行四边形.
问平行四边形ABCD能否成为矩形?能否成为正方形?
如图5,当A、C关于直线y=x对称时,AB与CD互相平分且相等,四边形ABCD是矩形.
因为A、C可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上,所以OA与OC无法垂直,因此四边形ABCD不能成为正方形.
图4 图5
例5 2011年浙江省中考第23题
设直线l1:y=k1x+b1与l2:y=k2x+b2,若l1⊥l2,垂足为H,则称直线l1与l2是点H的直角线.
(1)已知直线①;②;③;④和点C(0,2),则直线_______和_______是点C的直角线(填序号即可);
(2)如图,在平面直角坐标系中,直角梯形OABC的顶点A(3,0)、B(2,7)、C(0,7),P为线段OC上一点,设过B、P两点的直线为l1,过A、P两点的直线为l2,若l1与l2是点P的直角线,求直线l1与l2的解析式.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11浙江23”,拖动点P在OC上运动,可以体验到,∠APB有两个时刻可以成为直角,此时△BCP∽△POA.
答案
(1)直线①和③是点C的直角线.
(2)当∠APB=90°时,△BCP∽△POA.那么,即.解得OP=6或OP=1.
如图2,当OP=6时,l1:, l2:y=-2x+6.
如图3,当OP=1时,l1:y=3x+1, l2:.
图2 图3
例6 2010年北京市中考第24题
在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x轴的交点分别为原点O和点A,点B(2,n)在这条抛物线上.
(1)求点B的坐标;
(2)点P在线段OA上,从点O出发向点A运动,过点P作x轴的垂线,与直线OB交于点E,延长PE到点D,使得ED=PE,以PD为斜边,在PD右侧作等腰直角三角形PCD(当点P运动时,点C、D也随之运动).
①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时,求OP的长;
②若点P从点O出发向点A作匀速运动,速度为每秒1个单位,同时线段OA上另一个点Q从点A出发向点O作匀速运动,速度为每秒2个单位(当点Q到达点O时停止运动,点P也停止运动).过Q作x轴的垂线,与直线AB交于点F,延长QF到点M,使得FM=QF,以QM为斜边,在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当点Q运动时,点M、N也随之运动).若点P运动到t秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,求此刻t的值.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“10北京24”,拖动点P从O向A运动,可以体验到,两个等腰直角三角形的边有三个时刻可以共线.
思路点拨
1.这个题目最大的障碍,莫过于无图了.
2.把图形中的始终不变的等量线段罗列出来,用含有t的式子表示这些线段的长.
3.点C的坐标始终可以表示为(3t,2t),代入抛物线的解析式就可以计算此刻OP的长.
4.当两个等腰直角三角形有边共线时,会产生新的等腰直角三角形,列关于t的方程就可以求解了.
满分解答
(1) 因为抛物线经过原点,所以
. 解得,(舍去).因此.所以点B的坐标为(2,4).
(2) ①如图4,设OP的长为t,那么PE=2t,EC=2t,点C的坐标为(3t, 2t).当点C落在抛物线上时,.解得.
②如图1,当两条斜边PD与QM在同一条直线上时,点P、Q重合.此时3t=10.解得.
如图2,当两条直角边PC与MN在同一条直线上,△PQN是等腰直角三角形,PQ=PE.此时.解得.
如图3,当两条直角边DC与QN在同一条直线上,△PQC是等腰直角三角形,PQ=PD.此时.解得.
图1 图2 图3
考点伸展
在本题情境下,如果以PD为直径的圆E与以QM为直径的圆F相切,求t的值.
如图5,当P、Q重合时,两圆内切,.
如图6,当两圆外切时,.
图4 图5 图6
例7 2009年嘉兴市中考第24题
如图1,已知A、B是线段MN上的两点,,,.以A为中心顺时针旋转点M,以B为中心逆时针旋转点N,使M、N两点重合成一点C,构成△ABC,设.
(1)求x的取值范围;
(2)若△ABC为直角三角形,求x的值;
(3)探究:△ABC的最大面积?
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“09嘉兴24”,拖动点B在AN上运动,可以体验到,三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边;∠CAB和∠ACB可以成为直角,∠CBA不可能成为直角;观察函数的图象,可以看到,图象是一个开口向下的“U”形,当AB等于1.5时,面积达到最大值.
思路点拨
1.根据三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边列关于x的不等式组,可以求得x的取值范围.
2.分类讨论直角三角形ABC,根据勾股定理列方程,根据根的情况确定直角三角形的存在性.
3.把△ABC的面积S的问题,转化为S2的问题.AB边上的高CD要根据位置关系分类讨论,分CD在三角形内部和外部两种情况.
满分解答
(1)在△ABC中,,,,所以 解得.
(2)①若AC为斜边,则,即,此方程无实根.
②若AB为斜边,则,解得,满足.
③若BC为斜边,则,解得,满足.
因此当或时,△ABC是直角三角形.
(3)在△ABC中,作于D,设,△ABC的面积为S,则.
①如图2,若点D在线段AB上,则.移项,得.两边平方,得.整理,得.两边平方,得.整理,得
所以().
当时(满足),取最大值,从而S取最大值.
图2 图3
②如图3,若点D在线段MA上,则.
同理可得,().
易知此时.
综合①②得,△ABC的最大面积为.
考点伸展
第(3)题解无理方程比较烦琐,迂回一下可以避免烦琐的运算:设,
例如在图2中,由列方程.
整理,得.所以
.
因此
.
1.4 因动点产生的平行四边形问题
例1 2014年陕西省中考第24题
如图1,已知抛物线C:y=-x2+bx+c经过A(-3,0)和B(0, 3)两点.将这条抛物线的顶点记为M,它的对称轴与x轴的交点记为N.
(1)求抛物线C的表达式;
(2)求点M的坐标;
(3)将抛物线C平移到抛物线C′,抛物线C′的顶点记为M′,它的对称轴与x轴的交点记为N′.如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形,那么应将抛物线C怎样平移?为什么?
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14陕西24”,拖动右侧的点M′上下运动,可以体验到,以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形有四种情况.
思路点拨
1.抛物线在平移的过程中,M′N′与MN保持平行,当M′N′=MN=4时,以点M、N、M′、N′为顶点的四边形就是平行四边形.
2.平行四边形的面积为16,底边MN=4,那么高NN′=4.
3.M′N′=4分两种情况:点M′在点N′的上方和下方.
4.NN′=4分两种情况:点N′在点N的右侧和左侧.
满分解答
(1)将A(-3,0)、B(0, 3)分别代入y=-x2+bx+c,得
解得b=-2,c=3.
所以抛物线C的表达式为y=-x2-2x+3.
(2)由y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,得顶点M的坐标为(-1,4).
(3)抛物线在平移过程中,M′N′与MN保持平行,当M′N′=MN=4时,以点M、N、M′、N′为顶点的四边形就是平行四边形.
因为平行四边形的面积为16,所以MN边对应的高NN′=4.
那么以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形有4种情况:
抛物线C直接向右平移4个单位得到平行四边形MNN′M′(如图2);
抛物线C直接向左平移4个单位得到平行四边形MNN′M′(如图2);
抛物线C先向右平移4个单位,再向下平移8个单位得到平行四边形MNM′N′(如图3);
抛物线C先向左平移4个单位,再向下平移8个单位得到平行四边形MNM′N′(如图3).
图2 图3
考点伸展
本题的抛物线C向右平移m个单位,两条抛物线的交点为D,那么△MM′D的面积S关于m有怎样的函数关系?
如图4,△MM′D是等腰三角形,由M(-1,4)、M′(-1+m, 4),可得点D的横坐标为.
将代入y=-(x+1)2+4,得.所以DH=.
所以S=.
图4
例2 2013年上海市松江区中考模拟第24题
如图1,已知抛物线y=-x2+bx+c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求tan∠ABO的值;
(3)过点B作BC⊥x轴,垂足为C,在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N,交抛物线于点M,若四边形MNCB为平行四边形,求点M的坐标.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“13松江24”,拖动点N在直线AB上运动,可以体验到,以M、N、C、B为顶点的平行四边形有4个,符合MN在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形MNCB只有一个.
请打开超级画板文件名“13松江24”,拖动点N在直线AB上运动,可以体验到,MN有4次机会等于3,这说明以M、N、C、B为顶点的平行四边形有4个,而符合MN在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形MNCB只有一个.
思路点拨
1.第(2)题求∠ABO的正切值,要构造包含锐角∠ABO的角直角三角形.
2.第(3)题解方程MN=yM-yN=BC,并且检验x的值是否在对称轴左侧.
满分解答
(1)将A(0, 1)、B(4, 3)分别代入y=-x2+bx+c,得
解得,c=1.
所以抛物线的解析式是.
(2)在Rt△BOC中,OC=4,BC=3,所以OB=5.
如图2,过点A作AH⊥OB,垂足为H.
在Rt△AOH中,OA=1,,
所以. 图2
所以,.
在Rt△ABH中,.
(3)直线AB的解析式为.
设点M的坐标为,点N的坐标为,
那么.
当四边形MNCB是平行四边形时,MN=BC=3.
解方程-x2+4x=3,得x=1或x=3.
因为x=3在对称轴的右侧(如图4),所以符合题意的点M的坐标为(如图3).
图3 图4
考点伸展
第(3)题如果改为:点M是抛物线上的一个点,直线MN平行于y轴交直线AB于N,如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形,求点M的坐标.
那么求点M的坐标要考虑两种情况:MN=yM-yN或MN=yN-yM.
由yN-yM=4x-x2,解方程x2-4x=3,得(如图5).
所以符合题意的点M有4个:,,,.
图5
例3 2012年福州市中考第21题
如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动,动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动,过点P作PD//BC,交AB于点D,联结PQ.点P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动的时间为t秒(t≥0).
(1)直接用含t的代数式分别表示:QB=_______,PD=_______;
(2)是否存在t的值,使四边形PDBQ为菱形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由,并探究如何改变点Q的速度(匀速运动),使四边形PDBQ在某一时刻为菱形,求点Q的速度;
(3)如图2,在整个运动过程中,求出线段PQ的中点M所经过的路径长.
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“12福州21”,拖动左图中的点P运动,可以体验到,PQ的中点M的运动路径是一条线段.拖动右图中的点Q运动,可以体验到,当PQ//AB时,四边形PDBQ为菱形.
请打开超级画板文件名“12福州21”,拖动点Q向上运动,可以体验到,PQ的中点M的运动路径是一条线段.点击动画按钮的左部,Q的速度变成1.07,可以体验到,当PQ//AB时,四边形PDBQ为菱形.点击动画按钮的中部,Q的速度变成1.
思路点拨
1.菱形PDBQ必须符合两个条件,点P在∠ABC的平分线上,PQ//AB.先求出点P运动的时间t,再根据PQ//AB,对应线段成比例求CQ的长,从而求出点Q的速度.
2.探究点M的路径,可以先取两个极端值画线段,再验证这条线段是不是点M的路径.
满分解答
(1)QB=8-2t,PD=.
(2)如图3,作∠ABC的平分线交CA于P,过点P作PQ//AB交BC于Q,那么四边形PDBQ是菱形.
过点P作PE⊥AB,垂足为E,那么BE=BC=8.
在Rt△ABC中,AC=6,BC=8,所以AB=10. 图3
在Rt△APE中,,所以.
当PQ//AB时,,即.解得.
所以点Q的运动速度为.
(3)以C为原点建立直角坐标系.
如图4,当t=0时,PQ的中点就是AC的中点E(3,0).
如图5,当t=4时,PQ的中点就是PB的中点F(1,4).
直线EF的解析式是y=-2x+6.
如图6,PQ的中点M的坐标可以表示为(,t).经验证,点M(,t)在直线EF上.
所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长,EF=.
图4 图5 图6
考点伸展
第(3)题求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数:
当t=2时,PQ的中点为(2,2).
设点M的运动路径的解析式为y=ax2+bx+c,代入E(3,0)、F(1,4)和(2,2),
得 解得a=0,b=-2,c=6.
所以点M的运动路径的解析式为y=-2x+6.
例4 2012年烟台市中考第26题
如图1,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4).以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C.动点P从点A出发,沿线段AB向点B运动,同时动点Q从点C出发,沿线段CD向点D运动.点P、Q的运动速度均为每秒1个单位,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.
(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;
(2)过点E作EF⊥AD于F,交抛物线于点G,当t为何值时,△ACG的面积最大?最大值为多少?
(3)在动点P、Q运动的过程中,当t为何值时,在矩形ABCD内(包括边界)存在点H,使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形?请直接写出t的值.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12烟台26”,拖动点P在AB上运动,可以体验到,当P在AB的中点时,△ACG的面积最大.观察右图,我们构造了和△CEQ中心对称的△FQE和△ECH′,可以体验到,线段EQ的垂直平分线可以经过点C和F,线段CE的垂直平分线可以经过点Q和H′,因此以C、Q、E、H为顶点的菱形有2个.
请打开超级画板文件名“12烟台26”,拖动点P在AB上运动,可以体验到,当P在AB的中点时,即t=2,△ACG的面积取得最大值1.观察CQ,EQ,EC的值,发现以C、Q、E、H为顶点的菱形有2个.点击动画按钮的左部和中部,可得菱形的两种准确位置。
思路点拨
1.把△ACG分割成以GE为公共底边的两个三角形,高的和等于AD.
2.用含有t的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来.
3.构造以C、Q、E、H为顶点的平行四边形,再用邻边相等列方程验证菱形是否存在.
满分解答
(1)A(1, 4).因为抛物线的顶点为A,设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+4,
代入点C(3, 0),可得a=-1.
所以抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3.
(2)因为PE//BC,所以.因此.
所以点E的横坐标为.
将代入抛物线的解析式,y=-(x-1)2+4=.
所以点G的纵坐标为.于是得到.
因此.
所以当t=1时,△ACG面积的最大值为1.
(3)或.
考点伸展
第(3)题的解题思路是这样的:
因为FE//QC,FE=QC,所以四边形FECQ是平行四边形.再构造点F关于PE轴对称的点H′,那么四边形EH′CQ也是平行四边形.
再根据FQ=CQ列关于t的方程,检验四边形FECQ是否为菱形,根据EQ=CQ列关于t的方程,检验四边形EH′CQ是否为菱形.
,,,.
如图2,当FQ=CQ时,FQ2=CQ2,因此.
整理,得.解得,(舍去).
如图3,当EQ=CQ时,EQ2=CQ2,因此.
整理,得..所以,(舍去).
图2 图3
例5 2011年上海市中考第24题
已知平面直角坐标系xOy(如图1),一次函数的图象与y轴交于点A,点M在正比例函数的图象上,且MO=MA.二次函数
y=x2+bx+c的图象经过点A、M.
(1)求线段AM的长;
(2)求这个二次函数的解析式;
(3)如果点B在y轴上,且位于点A下方,点C在上述二次函数的图象上,点D在一次函数的图象上,且四边形ABCD是菱形,求点C的坐标.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11上海24”,拖动点B在y轴上点A下方运动,四边形ABCD保持菱形的形状,可以体验到,菱形的顶点C有一次机会落在抛物线上.
思路点拨
1.本题最大的障碍是没有图形,准确画出两条直线是基本要求,抛物线可以不画出来,但是对抛物线的位置要心中有数.
2.根据MO=MA确定点M在OA的垂直平分线上,并且求得点M的坐标,是整个题目成败的一个决定性步骤.
3.第(3)题求点C的坐标,先根据菱形的边长、直线的斜率,用待定字母m表示点C的坐标,再代入抛物线的解析式求待定的字母m.
满分解答
(1)当x=0时,,所以点A的坐标为(0,3),OA=3.
如图2,因为MO=MA,所以点M在OA的垂直平分线上,点M的纵坐标为.将代入,得x=1.所以点M的坐标为.因此.
(2)因为抛物线y=x2+bx+c经过A(0,3)、M,所以解得,.所以二次函数的解析式为.
(3)如图3,设四边形ABCD为菱形,过点A作AE⊥CD,垂足为E.
在Rt△ADE中,设AE=4m,DE=3m,那么AD=5m.
因此点C的坐标可以表示为(4m,3-2m).将点C(4m,3-2m)代入,得.解得或者m=0(舍去).
因此点C的坐标为(2,2).
图2 图3
考点伸展
如果第(3)题中,把“四边形ABCD是菱形”改为“以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形”,那么还存在另一种情况:
如图4,点C的坐标为.
图4
例6 2011年江西省中考第24题
将抛物线c1:沿x轴翻折,得到抛物线c2,如图1所示.
(1)请直接写出抛物线c2的表达式;
(2)现将抛物线c1向左平移m个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为M,与x轴的交点从左到右依次为A、B;将抛物线c2向右也平移m个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为N,与x轴的交点从左到右依次为D、E.
①当B、D是线段AE的三等分点时,求m的值;
②在平移过程中,是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形?若存在,请求出此时m的值;若不存在,请说明理由.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11江西24”,拖动点M向左平移,可以体验到,四边形ANEM可以成为矩形,此时B、D重合在原点.观察B、D的位置关系,可以体验到,B、D是线段AE的三等分点,存在两种情况.
思路点拨
1.把A、B、D、E、M、N六个点起始位置的坐标罗列出来,用m的式子把这六个点平移过程中的坐标罗列出来.
2.B、D是线段AE的三等分点,分两种情况讨论,按照AB与AE的大小写出等量关系列关于m的方程.
3.根据矩形的对角线相等列方程.
满分解答
(1)抛物线c2的表达式为.
(2)抛物线c1:与x轴的两个交点为(-1,0)、(1,0),顶点为.
抛物线c2:与x轴的两个交点也为(-1,0)、(1,0),顶点为.
抛物线c1向左平移m个单位长度后,顶点M的坐标为,与x轴的两个交点为、,AB=2.
抛物线c2向右平移m个单位长度后,顶点N的坐标为,与x轴的两个交点为、.所以AE=(1+m)-(-1-m)=2(1+m).
①B、D是线段AE的三等分点,存在两种情况:
情形一,如图2,B在D的左侧,此时,AE=6.所以2(1+m)=6.解得m=2.
情形二,如图3,B在D的右侧,此时,AE=3.所以2(1+m)=3.解得.
图2 图3 图4
②如果以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形,那么AE=MN=2OM.而OM2=m2+3,所以4(1+m)2=4(m2+3).解得m=1(如图4).
考点伸展
第(2)题②,探求矩形ANEM,也可以用几何说理的方法:
在等腰三角形ABM中,因为AB=2,AB边上的高为,所以△ABM是等边三角形.
同理△DEN是等边三角形.当四边形ANEM是矩形时,B、D两点重合.
因为起始位置时BD=2,所以平移的距离m=1.
例7 2010年山西省中考第26题
在直角梯形OABC中,CB//OA,∠COA=90°,CB=3,OA=6,BA=.分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系.
(1)求点B的坐标;
(2)已知D、E分别为线段OC、OB上的点,OD=5,OE=2EB,直线DE交x轴于点F.求直线DE的解析式;
(3)点M是(2)中直线DE上的一个动点,在x轴上方的平面内是否存在另一点N,使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“10山西26”,拖动点M可以在直线DE上运动.分别双击按钮“DO、DM为邻边”、“ DO、DN为邻边”和“DO为对角线”可以准确显示菱形.
思路点拨
1.第(1)题和第(2)题蕴含了OB与DF垂直的结论,为第(3)题讨论菱形提供了计算基础.
2.讨论菱形要进行两次(两级)分类,先按照DO为边和对角线分类,再进行二级分类,DO与DM、DO与DN为邻边.
满分解答
(1)如图2,作BH⊥x轴,垂足为H,那么四边形BCOH为矩形,OH=CB=3.
在Rt△ABH中,AH=3,BA=,所以BH=6.因此点B的坐标为(3,6).
(2) 因为OE=2EB,所以,,E(2,4).
设直线DE的解析式为y=kx+b,代入D(0,5),E(2,4),得 解得,.所以直线DE的解析式为.
(3) 由,知直线DE与x轴交于点F(10,0),OF=10,DF=.
①如图3,当DO为菱形的对角线时,MN与DO互相垂直平分,点M是DF的中点.此时点M的坐标为(5,),点N的坐标为(-5,).
②如图4,当DO、DN为菱形的邻边时,点N与点O关于点E对称,此时点N的坐标为(4,8).
③如图5,当DO、DM为菱形的邻边时,NO=5,延长MN交x轴于P.
由△NPO∽△DOF,得,即.解得,.此时点N的坐标为.
图3 图4
考点伸展
如果第(3)题没有限定点N在x轴上方的平面内,那么菱形还有如图6的情形.
图5 图6
1.5 因动点产生的梯形问题
例1 2014年上海市金山区中考模拟第24题
如图1,在平面直角坐标系中,直线y=x+2与x轴交于点A,点B是这条直线上第一象限内的一个点,过点B作x轴的垂线,垂足为D,已知△ABD的面积为18.
(1)求点B的坐标;
(2)如果抛物线经过点A和点B,求抛物线的解析式;
(3)已知(2)中的抛物线与y轴相交于点C,该抛物线对称轴与x轴交于点H,P是抛物线对称轴上的一点,过点P作PQ//AC交x轴于点Q,如果点Q在线段AH上,且AQ=CP,求点P的坐标.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14金山24”,拖动点P运动,可以体验到,AQ=CP有两种情况,四边形CAQP为平行四边形或等腰梯形.
思路点拨
1.△ABD是等腰直角三角形,根据面积可以求得直角边长,得到点B的坐标.
2.AQ=CP有两种情况,四边形CAQP为平行四边形或等腰梯形.
平行四边形的情况很简单,等腰梯形求点P比较复杂,于是我们要想起这样一个经验:平行于等腰三角形底边的直线截两腰,得到一个等腰梯形和一个等腰三角形.
满分解答
(1)直线y=x+2与x轴的夹角为45°,点A的坐标为(-2, 0).
因为△ABD是等腰直角三角形,面积为18,所以直角边长为6.
因此OD=4.所以点B的坐标为(4, 6).
(2)将A(-2, 0)、B (4, 6)代入,
得 解得b=2,c=6.
所以抛物线的解析式为.
(3)由,得抛物线的对称轴为直线x=2,点C的坐标为(0, 6).
如果AQ=CP,那么有两种情况:
①如图2,当四边形CAQP是平行四边形时,AQ//CP,此时点P的坐标为(2, 6).
②如图3,当四边形CAQP是等腰梯形时,作AC的垂直平分线交x轴于点F,那么点P在FC上.
设点F的坐标为(x, 0),根据FA2=FC2列方程,得(x+2)2=x2+62.
解得x=8.所以OF=8,HF=6.
因此.此时点P的坐标为.
图2 图3
考点伸展
第(3)题等腰梯形CAQP时,求点P的坐标也可以这样思考:
过点P作PE//x轴交AC于E,那么PE=PC.
直线AC的解析式为y=3x+6,设E(m, 3m+6),
那么P(2, 3m+6).
根据PE2=PC2列方程,得(2-m)2=22+(3m)2.
解得.所以P.
图4
其实第(3)题还有一个“一石二鸟”的方法:
设QH=n,那么AQ=4-n,PH=3n,P(2, 3n ).
根据AQ2=CP2,列方程,得.(4-n)2=22+(3n-6)2.
整理,得2n2-7n-6=0.解得n1=2,.
当n1=2时,P(2, 6),对应平行四边形CAQP(如图2);
当时,P,对应等腰梯形CAQP(如图4).
例2 2012年上海市松江区中考模拟第24题
已知直线y=3x-3分别与x轴、y轴交于点A,B,抛物线y=ax2+2x+c经过点A,B.
(1)求该抛物线的表达式,并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标;
(2)记该抛物线的对称轴为直线l,点B关于直线l的对称点为C,若点D在y轴的正半轴上,且四边形ABCD为梯形.
①求点D的坐标;
②将此抛物线向右平移,平移后抛物线的顶点为P,其对称轴与直线y=3x-3交于点E,若,求四边形BDEP的面积.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12松江24”,拖动点P向右运动,可以体验到,D、P间的垂直距离等于7保持不变,∠DPE与∠PDH保持相等.
请打开超级画板文件名“12松江24”, 拖动点P向右运动,可以体验到,D、P间的垂直距离等于7保持不变,∠DPE与∠PDH保持相等,,四边形BDEP的面积为24.
思路点拨
1.这道题的最大障碍是画图,A、B、C、D四个点必须画准确,其实抛物线不必画出,画出对称轴就可以了.
2.抛物线向右平移,不变的是顶点的纵坐标,不变的是D、P两点间的垂直距离等于7.
3.已知∠DPE的正切值中的7的几何意义就是D、P两点间的垂直距离等于7,那么点P向右平移到直线x=3时,就停止平移.
满分解答
(1)直线y=3x-3与x轴的交点为A(1,0),与y轴的交点为B(0,-3).
将A(1,0)、B(0,-3)分别代入y=ax2+2x+c,
得 解得
所以抛物线的表达式为y=x2+2x-3.
对称轴为直线x=-1,顶点为(-1,-4).
(2)①如图2,点B关于直线l的对称点C的坐标为(-2,-3).
因为CD//AB,设直线CD的解析式为y=3x+b,
代入点C(-2,-3),可得b=3.
所以点D的坐标为(0,3).
②过点P作PH⊥y轴,垂足为H,那么∠PDH=∠DPE.
由,得.
而DH=7,所以PH=3.
因此点E的坐标为(3,6).
所以.
图2 图3
考点伸展
第(2)①用几何法求点D的坐标更简便:
因为CD//AB,所以∠CDB=∠ABO.
因此.所以BD=3BC=6,OD=3.因此D(0,3).
例3 2012年衢州市中考第24题
如图1,把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD方别置于平面直角坐标系中,使直角边OB、OD在x轴上.已知点A(1,2),过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F.抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、C三点.
(1)求该抛物线的函数解析式;
(2)点P为线段OC上的一个动点,过点P作y轴的平行线交抛物线于点M,交x轴于点N,问是否存在这样的点P,使得四边形ABPM为等腰梯形?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若△AOB沿AC方向平移(点A始终在线段AC上,且不与点C重合),△AOB在平移的过程中与△COD重叠部分的面积记为S.试探究S是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12衢州24”, 拖动点P在线段OC上运动,可以体验到,在AB的左侧,存在等腰梯形ABPM.拖动点A′在线段AC上运动,可以体验到,Rt△A′OB′、Rt△COD、Rt△A′HG、Rt△OEK、Rt△OFG和Rt△EHK的两条直角边的比都为1∶2.
请打开超级画板文件名“12衢州24”,拖动点P在线段OC上运动,可以体验到,在AB的左侧,存在AM=BP.拖动点A′在线段AC上运动,发现S最大值为0.375.
思路点拨
1.如果四边形ABPM是等腰梯形,那么AB为较长的底边,这个等腰梯形可以分割为一个矩形和两个全等的直角三角形,AB边分成的3小段,两侧的线段长线段.
2.△AOB与△COD重叠部分的形状是四边形EFGH,可以通过割补得到,即△OFG减去△OEH.
3.求△OEH的面积时,如果构造底边OH上的高EK,那么Rt△EHK的直角边的比为1∶2.
4.设点A′移动的水平距离为m,那么所有的直角三角形的直角边都可以用m表示.
满分解答
(1)将A(1,2)、O(0,0)、C(2,1)分别代入y=ax2+bx+c,
得 解得,,. 所以.
(2)如图2,过点P、M分别作梯形ABPM的高PP′、MM′,如果梯形ABPM是等腰梯形,那么AM′=BP′,因此yA-y M′=yP′-yB.
直线OC的解析式为,设点P的坐标为,那么.
解方程,得,.
x=2的几何意义是P与C重合,此时梯形不存在.所以.
图2 图3
(3)如图3,△AOB与△COD重叠部分的形状是四边形EFGH,作EK⊥OD于K.
设点A′移动的水平距离为m,那么OG=1+m,GB′=m.
在Rt△OFG中,.所以.
在Rt△A′HG中,A′G=2-m,所以.
所以.
在Rt△OEK中,OK=2 EK;在Rt△EHK中,EK=2HK;所以OK=4HK.
因此.所以.
所以.
于是.
因为0<m<1,所以当时,S取得最大值,最大值为.
考点伸展
第(3)题也可以这样来解:设点A′的横坐标为a.
由直线AC:y=-x+3,可得A′(a, -a+3).
由直线OC:,可得.
由直线OA:y=2x及A′(a, -a+3),可得直线O′A′:y=2x-3a+3,.
由直线OC和直线O′A′可求得交点E(2a-2,a-1).
由E、F、G、H 4个点的坐标,可得
例 4 2011年义乌市中考第24题
已知二次函数的图象经过A(2,0)、C(0,12) 两点,且对称轴为直线x=4,设顶点为点P,与x轴的另一交点为点B.
(1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标;
(2)如图1,在直线 y=2x上是否存在点D,使四边形OPBD为等腰梯形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,点M是线段OP上的一个动点(O、P两点除外),以每秒个单位长度的速度由点P向点O 运动,过点M作直线MN//x轴,交PB于点N. 将△PMN沿直线MN对折,得到△P1MN. 在动点M的运动过程中,设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S,运动时间为t秒,求S关于t的函数关系式.
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“11义乌24”,拖动点M从P向O运动,可以体验到,M在到达PO的中点前,重叠部分是三角形;经过中点以后,重叠部分是梯形.
思路点拨
1.第(2)题可以根据对边相等列方程,也可以根据对角线相等列方程,但是方程的解都要排除平行四边形的情况.
2.第(3)题重叠部分的形状分为三角形和梯形两个阶段,临界点是PO的中点.
满分解答
(1)设抛物线的解析式为,代入A(2,0)、C(0,12) 两点,得 解得
所以二次函数的解析式为,顶点P的坐标为(4,-4).
(2)由,知点B的坐标为(6,0).
假设在等腰梯形OPBD,那么DP=OB=6.设点D的坐标为(x,2x).
由两点间的距离公式,得.解得或x=-2.
如图3,当x=-2时,四边形ODPB是平行四边形.
所以,当点D的坐标为(,)时,四边形OPBD为等腰梯形.
图3 图4 图5
(3)设△PMN与△POB的高分别为PH、PG.
在Rt△PMH中,,.所以.
在Rt△PNH中,,.所以.
① 如图4,当0<t≤2时,重叠部分的面积等于△PMN的面积.此时.
②如图5,当2<t<4时,重叠部分是梯形,面积等于△PMN的面积减去△P′DC的面积.由于,所以.
此时.
考点伸展
第(2)题最好的解题策略就是拿起尺、规画图:
方法一,按照对角线相等画圆.以P为圆心,OB长为半径画圆,与直线y=2x有两个交点,一个是等腰梯形的顶点,一个是平行四边形的顶点.
方法二,按照对边相等画圆.以B为圆心,OP长为半径画圆,与直线y=2x有两个交点,一个是等腰梯形的顶点,一个是平行四边形的顶点.
例5 2010年杭州市中考第24题
如图1,在平面直角坐标系xOy中,抛物线的解析式是y =,点C的坐标为(–4,0),平行四边形OABC的顶点A,B在抛物线上,AB与y轴交于点M,已知点Q(x,y)在抛物线上,点P(t,0)在x轴上.
(1) 写出点M的坐标;
(2) 当四边形CMQP是以MQ,PC为腰的梯形时.
① 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围;
② 当梯形CMQP的两底的长度之比为1∶2时,求t的值.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“10杭州24”,拖动点Q在抛物线上运动,从t随x变化的图象可以看到,t是x的二次函数,抛物线的开口向下.还可以感受到,PQ∶CM=1∶2只有一种情况,此时Q在y轴上;CM∶PQ=1∶2有两种情况.
思路点拨
1.第(1)题求点M的坐标以后,Rt△OCM的两条直角边的比为1∶2,这是本题的基本背景图.
2.第(2)题中,不变的关系是由平行得到的等角的正切值相等,根据数形结合,列关于t与x的比例式,从而得到t关于x的函数关系.
3.探求自变量x的取值范围,要考虑梯形不存在的情况,排除平行四边形的情况.
4.梯形的两底的长度之比为1∶2,要分两种情况讨论.把两底的长度比转化为QH与MO的长度比.
满分解答
(1)因为AB=OC= 4,A、B关于y轴对称,所以点A的横坐标为2.将x=2代入y=,得y=2.所以点M的坐标为(0,2).
(2) ① 如图2,过点Q作QH ^ x轴,设垂足为H,则HQ=y,HP=x– t .
因为CM//PQ,所以∠QPH=∠MCO.因此tan∠QPH=tan∠MCO,即.所以.整理,得.
如图3,当P与C重合时,,解方程,得.
如图4,当Q与B或A重合时,四边形为平行四边形,此时,x=± 2.
因此自变量x的取值范围是,且x¹± 2的所有实数.
图2 图3 图4
②因为sin∠QPH=sin∠MCO,所以,即.
当时,.解方程,得(如图5).此时.
当时,.解方程,得.
如图6,当时,;如图6,当时,.
图5 图6 图7
考点伸展
本题情境下,以Q为圆心、QM为半径的动圆与x轴有怎样的位置关系呢?
设点Q的坐标为,那么.
而点Q到x轴的距离为.
因此圆Q的半径QM等于圆心Q到x轴的距离,圆Q与x轴相切.
1.6 因动点产生的面积问题
例1 2014年昆明市中考第23题
如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)与x轴交于A(-2, 0)、B(4, 0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P从点A出发,在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向点B运动,同时点Q从点B出发,在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动.其中一个点到达终点时,另一个点也停止运动.当△PBQ存在时,求运动多少秒时△PBQ的面积最大,最大面积是多少?
(3)当△PBQ的面积最大时,在BC下方的抛物线上存在点K,使S△CBK∶S△PBQ=5∶2,求点K的坐标.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14昆明23”,拖动点P从A向B运动,可以体验到,当P运动到AB的中点时,△PBQ的面积最大.双击按钮“△PBQ面积最大”,再拖动点K在BC下方的抛物线上运动,观察度量值,可以体验到,有两个时刻面积比为2.5.
思路点拨
1.△PBQ的面积可以表示为t的二次函数,求二次函数的最小值.
2.△PBQ与△PBC是同高三角形,△PBC与△CBK是同底三角形,把△CBK与△PBQ的比转化为△CBK与△PBC的比.
满分解答
(1)因为抛物线与x轴交于A(-2, 0)、B(4, 0)两点,所以y=a(x+2)(x-4).
所以-8a=-3.解得.
所以抛物线的解析式为.
(2)如图2,过点Q作QH⊥x轴,垂足为H.
在Rt△BCO中,OB=4,OC=3,所以BC=5,sinB=.
在Rt△BQH中,BQ=t,所以QH=BQsinB=t.
所以S△PBQ=.
因为0≤t≤2,所以当t=1时,△PBQ的面积最大,最大面积是。
(3)当△PBQ的面积最大时,t=1,此时P是AB的中点,P(1, 0),BQ=1。
如图3,因为△PBC与△PBQ是同高三角形,S△PBC∶S△PBQ=BC∶BQ=5∶1。
当S△CBK∶S△PBQ=5∶2时,S△PBC∶S△CBK=2∶1。
因为△PBC与△CBK是同底三角形,所以对应高的比为2∶1。
如图4,过x轴上的点D画CB的平行线交抛物线于K,那么PB∶DB=2∶1。
因为点K在BC的下方,所以点D在点B的右侧,点D的坐标为.
过点K作KE⊥x轴于E.设点K的坐标为.
由,得.整理,得x2-4x+3=0.
解得x=1,或x=3.所以点K的坐标为或.
图2 图3 图4
考点伸展
第(3)题也可以这样思考:
由S△CBK∶S△PBQ=5∶2,S△PBQ=,得S△CBK=.
如图5,过点K作x轴的垂线交BC于F.设点K的坐标为.
由于点F在直线BC:上.所以点F的坐标为.
所以KF=.
△CBK被KF分割为△CKF和△BKF,他们的高的和为OB=4.
所以S△CBK=.解得x=1,或x=3.
图5
例2 2013年苏州市中考第29题
如图1,已知抛物线(b、c是常数,且c<0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴的负半轴交于点C,点A的坐标为(-1,0).
(1)b=______,点B的横坐标为_______(上述结果均用含c的代数式表示);
(2)连结BC,过点A作直线AE//BC,与抛物线交于点E.点D是x轴上一点,坐标为(2,0),当C、D、E三点在同一直线上时,求抛物线的解析式;
(3)在(2)的条件下,点P是x轴下方的抛物线上的一动点,连结PB、PC.设△PBC的面积为S.
①求S的取值范围;
②若△PBC的面积S为正整数,则这样的△PBC共有_____个.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“13苏州29”,拖动点C在y轴负半轴上运动,可以体验到,△EHA与△COB保持相似.点击按钮“C、D、E三点共线”,此时△EHD∽△COD.拖动点P从A经过C到达B,数一数面积的正整数值共有11个.
请打开超级画板文件名“13苏州29”,拖动点C在y轴负半轴上运动,可以体验到,△EHA与△COB保持相似.点击按钮“C、D、E三点共线”,此时△EHD∽△COD.拖动点P从A经过C到达B,数一数面积的正整数值共有11个.
思路点拨
1.用c表示b以后,把抛物线的一般式改写为两点式,会发现OB=2OC.
2.当C、D、E三点共线时,△EHA∽△COB,△EHD∽△COD.
3.求△PBC面积的取值范围,要分两种情况计算,P在BC上方或下方.
4.求得了S的取值范围,然后罗列P从A经过C运动到B的过程中,面积的正整数值,再数一数个数.注意排除点A、C、B三个时刻的值.
满分解答
(1)b=,点B的横坐标为-2c.
(2)由,设E.
过点E作EH⊥x轴于H.
由于OB=2OC,当AE//BC时,AH=2EH.
所以.因此.所以.
当C、D、E三点在同一直线上时,.所以.
整理,得2c2+3c-2=0.解得c=-2或(舍去).
所以抛物线的解析式为.
(3)①当P在BC下方时,过点P作x轴的垂线交BC于F.
直线BC的解析式为.
设,那么,.
所以S△PBC=S△PBF+S△PCF=.
因此当P在BC下方时,△PBC的最大值为4.
当P在BC上方时,因为S△ABC=5,所以S△PBC<5.
综上所述,0<S<5.
②若△PBC的面积S为正整数,则这样的△PBC共有11个.
考点伸展
点P沿抛物线从A经过C到达B的过程中,△PBC的面积为整数,依次为(5),4,3,2,1,(0),1,2,3,4,3,2,1,(0).
当P在BC下方,S=4时,点P在BC的中点的正下方,F是BC的中点.
例 3 2012年菏泽市中考第21题
如图1,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0),将此三角板绕原点O逆时针旋转90°,得到三角形A′B′O.
(1)一抛物线经过点A′、B′、B,求该抛物线的解析式;
(2)设点P是第一象限内抛物线上的一个动点,是否存在点P,使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在(2)的条件下,试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形?并写出它的两条性质.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12菏泽21”,拖动点P在第一象限内的抛物线上运动,可以体验到,当四边形PB′A′B是等腰梯形时,四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍.
请打开超级画板文件名“12菏泽21”,拖动点P在第一象限内的抛物线上运动,可以体验到,当四边形PB′A′B是等腰梯形时,四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍.
思路点拨
1.四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍,可以转化为四边形PB′OB的面积是
△A′B′O面积的3倍.
2.联结PO,四边形PB′OB可以分割为两个三角形.
3.过点向x轴作垂线,四边形PB′OB也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形.
满分解答
(1)△AOB绕着原点O逆时针旋转90°,点A′、B′的坐标分别为(-1, 0) 、(0, 2).
因为抛物线与x轴交于A′(-1, 0)、B(2, 0),设解析式为y=a(x+1)(x-2),
代入B′(0, 2),得a=1.
所以该抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-2) =-x2+x+2.
(2)S△A′B′O=1.
如果S四边形PB′A′B=4 S△A′B′O=4,那么S四边形PB′OB=3 S△A′B′O=3.
如图2,作PD⊥OB,垂足为D.
设点P的坐标为 (x,-x2+x+2).
.
.
所以.
解方程-x2+2x+2=3,得x1=x2=1.
所以点P的坐标为(1,2).
图2 图3 图4
(3)如图3,四边形PB′A′B是等腰梯形,它的性质有:等腰梯形的对角线相等;等腰梯形同以底上的两个内角相等;等腰梯形是轴对称图形,对称轴是经过两底中点的直线.
考点伸展
第(2)题求四边形PB′OB的面积,也可以如图4那样分割图形,这样运算过程更简单.
.
.
所以.
甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P:
作△A′OB′关于抛物线的对称轴对称的△BOE,那么点E的坐标为(1,2).
而矩形EB′OD与△A′OB′、△BOP是等底等高的,所以四边形EB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍.因此点E就是要探求的点P.
例 4 2012年河南省中考第23题
如图1,在平面直角坐标系中,直线与抛物线y=ax2+bx-3交于A、B两点,点A在x轴上,点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上的一动点(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线交直线AB于点C,作PD⊥AB于点D.
(1)求a、b及sin∠ACP的值;
(2)设点P的横坐标为m.
①用含m的代数式表示线段PD的长,并求出线段PD长的最大值;
②连结PB,线段PC把△PDB分成两个三角形,是否存在适合的m的值,使这两个三角形的面积比为9∶10?若存在,直接写出m的值;若不存在,请说明理由.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12河南23”,拖动点P在直线AB下方的抛物线上运动,可以体验到,PD随点P运动的图象是开口向下的抛物线的一部分,当C是AB的中点时,PD达到最大值.观察面积比的度量值,可以体验到,左右两个三角形的面积比可以是9∶10,也可以是10∶9.
思路点拨
1.第(1)题由于CP//y轴,把∠ACP转化为它的同位角.
2.第(2)题中,PD=PCsin∠ACP,第(1)题已经做好了铺垫.
3.△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形,面积比等于对应高DN与BM的比.
4.两个三角形的面积比为9∶10,要分两种情况讨论.
满分解答
(1)设直线与y轴交于点E,那么A(-2,0),B(4,3),E(0,1).
在Rt△AEO中,OA=2,OE=1,所以.所以.
因为PC//EO,所以∠ACP=∠AEO.因此.
将A(-2,0)、B(4,3)分别代入y=ax2+bx-3,得
解得,.
(2)由,,
得.
所以.
所以PD的最大值为.
(3)当S△PCD∶S△PCB=9∶10时,;
当S△PCD∶S△PCB=10∶9时,.
图2
考点伸展
第(3)题的思路是:△PCD与△PCB是同底边PC的两个三角形,面积比等于对应高DN与BM的比.
而,
BM=4-m.
①当S△PCD∶S△PCB=9∶10时,.解得.
②当S△PCD∶S△PCB=10∶9时,.解得.
例 5 2011年南通市中考第28题
如图1,直线l经过点A(1,0),且与双曲线(x>0)交于点B(2,1).过点(p>1)作x轴的平行线分别交曲线(x>0)和(x<0)于M、N两点.
(1)求m的值及直线l的解析式;
(2)若点P在直线y=2上,求证:△PMB∽△PNA;
(3)是否存在实数p,使得S△AMN=4S△AMP?若存在,请求出所有满足条件的p的值;若不存在,请说明理由.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11南通28”,拖动点P在射线AB上运动,可以体验到,当直线MN经过(0,2)点时,图形中的三角形都是等腰直角三角形;△AMN和△AMP是两个同高的三角形,MN=4MP存在两种情况.
思路点拨
1.第(2)题准确画图,点的位置关系尽在图形中.
2.第(3)题把S△AMN=4S△AMP转化为MN=4MP,按照点M与线段NP的位置关系分两种情况讨论.
满分解答
(1)因为点B(2,1)在双曲线上,所以m=2.设直线l的解析式为,代入点A(1,0)和点B(2,1),得 解得 所以直线l的解析式为.
(2)由点(p>1)的坐标可知,点P在直线上x轴的上方.如图2,当y=2时,点P的坐标为(3,2).此时点M的坐标为(1,2),点N的坐标为(-1,2).
由P(3,2)、M(1,2)、B(2,1)三点的位置关系,可知△PMB为等腰直角三角形.
由P(3,2)、N(-1,2)、A(1,0)三点的位置关系,可知△PNA为等腰直角三角形.
所以△PMB∽△PNA.
图2 图3 图4
(3)△AMN和△AMP是两个同高的三角形,底边MN和MP在同一条直线上.
当S△AMN=4S△AMP时,MN=4MP.
①如图3,当M在NP上时,xM-xN=4(xP-xM).因此.解得或(此时点P在x轴下方,舍去).此时.
②如图4,当M在NP的延长线上时,xM-xN=4(xM-xP).因此.解得或(此时点P在x轴下方,舍去).此时.
考点伸展
在本题情景下,△AMN能否成为直角三角形?
情形一,如图5,∠AMN=90°,此时点M的坐标为(1,2),点P的坐标为(3,2).
情形二,如图6,∠MAN=90°,此时斜边MN上的中线等于斜边的一半.
不存在∠ANM=90°的情况.
图5 图6
例6 2010年广州市中考第25题
如图1,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为(3,0),(0,1).点D是线段BC上的动点(与端点B、C不重合),过点D作直线交折线OAB于点E.
(1)记△ODE的面积为S,求S与b的函数关系式;
(2)当点E在线段OA上时,若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1,试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化?若不变,求出重叠部分的面积;若改变,请说明理由.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“10广州25”,拖动点D由C向B运动,观察S随b变化的函数图象,可以体验到,E在OA上时,S随b的增大而增大;E在AB上时,S随b的增大而减小.双击按钮“第(3)题”,拖动点D由C向B运动,可以观察到,E在OA上时,重叠部分的形状是菱形,面积不变.双击按钮“第(2)题”可以切换.
思路点拨
1.数形结合,用b表示线段OE、CD、AE、BE的长.
2.求△ODE的面积,要分两种情况.当E在OA上时,OE边对应的高等于OC;当E在AB边上时,要利用割补法求△ODE的面积.
3.第(3)题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形.
4.图形翻着、旋转等运动中,计算菱形的边长一般用勾股定理.
满分解答
(1)①如图2,当E在OA上时,由可知,点E的坐标为(2b,0),OE=2b.此时S=S△ODE=.
②如图3,当E在AB上时,把y=1代入可知,点D的坐标为(2b-2,1),
CD=2b-2,BD=5-2b.把x=3代入可知,点E的坐标为,AE=,BE=.此时
S=S矩形OABC-S△OAE- S△BDE -S△OCD
=
.
(2)如图4,因为四边形O1A1B1C1与矩形OABC关于直线DE对称,因此DM=DN,那么重叠部分是邻边相等的平行四边形,即四边形DMEN是菱形.
作DH⊥OA,垂足为H.由于CD=2b-2,OE=2b,所以EH=2.
设菱形DMEN的边长为m.在Rt△DEH中,DH=1,NH=2-m,DN=m,所以12+(2-m)2=m2.解得.所以重叠部分菱形DMEN的面积为.
图2 图3 图4
考点伸展
把本题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转,如果重叠部分的形状是菱形(如图5),那么这个菱形的最小面积为1,如图6所示;最大面积为,如图7所示.
图5 图6 图7
例 7 2010年扬州市中考第28题
如图1,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,CD是斜边AB上的高,点E在斜边AB上,过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F,设AE=x,△AEF的面积为y.
(1)求线段AD的长;
(2)若EF⊥AB,当点E在斜边AB上移动时,
①求y与x的函数关系式(写出自变量x的取值范围);
②当x取何值时,y有最大值?并求出最大值.
(3)若点F在直角边AC上(点F与A、C不重合),点E在斜边AB上移动,试问,是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分?若存在直线EF,求出x的值;若不存在直线EF,请说明理由.
图1 备用图
动感体验
请打开几何画板文件名“10扬州28”,拖动点E在AB上运动,从y随x变化的图象可以体验到,当F在AC上时,y随x的增大而增大;当F在BC上时,y随x变化的图象是开口向下的抛物线的一部分,y的最大值对应抛物线的顶点.双击按钮“第(3)题”,我们已经设定好了EF平分△ABC的周长,拖动点E,观察图象,可以体验到,“面积AEF”的值可以等于3,也就是说,存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分.双击按钮“第(2)题”可以切换。
思路点拨
1.第(1)题求得的AD的长,就是第(2)题分类讨论x的临界点.
2.第(2)题要按照点F的位置分两种情况讨论.
3.第(3)题的一般策略是:先假定平分周长,再列关于面积的方程,根据方程的解的情况作出判断.
满分解答
(1) 在Rt△ABC中, AC=3,BC=4,所以AB=5.在Rt△ACD中,.
(2) ①如图2,当F在AC上时,.在Rt△AEF中,
.所以.
如图3,当F在BC上时,.在Rt△BEF中,.所以.
②当时,的最大值为;
当时,的最大值为.
因此,当时,y的最大值为.
图2 图3 图4
(3)△ABC的周长等于12,面积等于6.
先假设EF平分△ABC的周长,那么AE=x,AF=6-x,x的变化范围为3<x≤5.因此.解方程,得.
因为在3≤x≤5范围内(如图4),因此存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分.
考点伸展
如果把第(3)题的条件“点F在直角边AC上”改为“点F在直角边BC上”,那么就不存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分.
先假设EF平分△ABC的周长,那么AE=x,BE=5-x,BF=x+1.
因此.
解方程.整理,得.此方程无实数根.
1.7 因动点产生的相切问题
例1 2014年上海市徐汇区中考模拟第25题
已知OA=5,sin∠O=,点D为线段OA上的动点,以A为圆心、AD为半径作⊙A.
(1)如图1,若⊙A交∠O于B、C两点,设OD=x,BC=y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域;
(2)将⊙A沿直线OB翻折后得到⊙A′.
①若⊙A′与直线OA相切,求x的值;
②若⊙A′与以D为圆心、DO为半径的⊙D相切,求x的值.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14徐汇25”,拖动点D运动,可以体验到,⊙A′可以与直线OA相切于点H,⊙A′与⊙D可以外切一次,不能内切.
思路点拨
1.把不变的量先标记出来,圆心A到直线OB的距离AE=3,翻折以后的圆心A′的位置不变,AA′=2AE=6.
2.若⊙A′与直线OA相切,那么圆心A′到直线OA的距离等于圆的半径,由此自然就构造出垂线,以AA′为斜边的直角三角形的三边长就是确定的.
3.探究两圆相切,在罗列三要素R、r、d的过程中,发现先要突破圆心距A′D.
满分解答
(1)如图2,作AE⊥BC,垂足为E,那么E是BC的中点.
在Rt△OAE中,OA=5,sin∠O=,所以AE=3.
在Rt△BAE中,AB=AD=5-x,AE=3,BE=,
由勾股定理,得.
整理,得.定义域是0≤x<2.
图2 图3
(2)①如图3,将⊙A沿直线OB翻折后得到⊙A′,AA′=2AE=6.
作A′H⊥OA,垂足为H.
在Rt△A′AH中,AA′=6,sin∠A′=,所以AH=,A′H=.
若⊙A′与直线OA相切,那么半径等于A′H.
解方程,得.
②如图4,在Rt△A′DH中,.
对于⊙A′,R=5-x;对于⊙D,r=DO=x;圆心距d=A′D.
如果两圆外切,由d=R+r,得.解得(如图4).
如果两圆内切,由d=|R-r|,得.
解得.所以两圆不可能内切.
图4 图5
考点伸展
当D为OA的中点时,⊙A′与以D为圆心、DA为半径的⊙D是什么位置关系?
⊙A′和⊙D等圆,R=,两圆不可能内切.
当D为OA的中点时,DH=AH-AD=.
此时.因此两圆的半径和大于圆心距,此时两圆是相交的(如图5).
例2 2013年上海市杨浦区中考模拟第25题
如图1,已知⊙O的半径长为3,点A是⊙O上一定点,点P为⊙O上不同于点A的动点.
(1)当时,求AP的长;
(2)如果⊙Q过点P、O,且点Q在直线AP上(如图2),设AP=x,QP=y,求y关于x的函数关系式,并写出函数的定义域;
(3)在(2)的条件下,当时(如图3),存在⊙M与⊙O相内切,同时与⊙Q相外切,且OM⊥OQ,试求⊙M的半径的长.
图1 图2 图3
动感体验
请打开几何画板文件名“13杨浦25”,拖动点P在⊙O上运动,可以体验到,等腰三角形QPO与等腰三角形OAP保持相似,y与x成反比例.⊙M、⊙O和⊙Q三个圆的圆心距围成一个直角三角形.
请打开超级画板文件名“13杨浦25”,拖动点P在⊙O上运动,可以体验到, y与x成反比例.拖动点P使得,拖动点M使得⊙M的半径约为0.82,⊙M与⊙O相内切,同时与⊙Q相外切.拖动点P使得,拖动点M使得⊙M的半径约为9,⊙M与⊙O、⊙Q都内切.
思路点拨
1.第(1)题的计算用到垂径定理和勾股定理.
2.第(2)题中有一个典型的图,有公共底角的两个等腰三角形相似.
3.第(3)题先把三个圆心距罗列出来,三个圆心距围成一个直角三角形,根据勾股定理列方程.
满分解答
(1)如图4,过点O作OH⊥AP,那么AP=2AH.
在Rt△OAH中,OA=3,,设OH=m,AH=2m,那么m2+(2m)2=32.
解得.所以.
(2)如图5,联结OQ、OP,那么△QPO、△OAP是等腰三角形.
又因为底角∠P公用,所以△QPO∽△OAP.
因此,即.
由此得到.定义域是0<x≤6.
图4 图5
(3)如图6,联结OP,作OP的垂直平分线交AP于Q,垂足为D,那么QP、QO是⊙Q的半径.
在Rt△QPD中,,,因此.
如图7,设⊙M的半径为r.
由⊙M与⊙O内切,,可得圆心距OM=3-r.
由⊙M与⊙Q外切,,可得圆心距.
在Rt△QOM中,,OM=3-r,,由勾股定理,得
.解得.
图6 图7 图8
考点伸展
如图8,在第(3)题情景下,如果⊙M与⊙O、⊙Q都内切,那么⊙M的半径是多少?
同样的,设⊙M的半径为r.
由⊙M与⊙O内切,,可得圆心距OM=r-3.
由⊙M与⊙Q内切,,可得圆心距.
在Rt△QOM中,由勾股定理,得.解得r=9.
例3 2012年河北省中考第25题
如图1,A(-5,0),B(-3,0),点C在y轴的正半轴上,∠CBO=45°,CD//AB,∠CDA=90°.点P从点Q(4,0)出发,沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动,运动时间为t秒.
(1)求点C的坐标;
(2)当∠BCP=15°时,求t的值;
(3)以点P为圆心,PC为半径的⊙P随点P的运动而变化,当⊙P与四边形ABCD的边(或边所在的直线)相切时,求t的值.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12河北25”,拖动圆心P在点Q左侧运动,可以体验到,⊙P可以与直线BC、直线DC、直线AD相切,不能与直线AB相切.
答案 (1)点C的坐标为(0,3).
(2)如图2,当P在B的右侧,∠BCP=15°时,∠PCO=30°,;
如图3,当P在B的左侧,∠BCP=15°时,∠CPO=30°,.
图2 图3
(3)如图4,当⊙P与直线BC相切时,t=1;
如图5,当⊙P与直线DC相切时,t=4;
如图6,当⊙P与直线AD相切时,t=5.6.
图4 图5 图6
1.8 因动点产生的线段和差问题
例1 2014年广州市中考第24题
已知平面直角坐标系中两定点A(-1, 0)、B(4, 0),抛物线y=ax2+bx-2(a≠0)过点A、B,顶点为C,点P(m, n)(n<0)为抛物线上一点.
(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标;
(2)当∠APB为钝角时,求m的取值范围;
(3)若m>,当∠APB为直角时,将该抛物线向左或向右平移t(0<t<)个单位,点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′,是否存在t,使得顺次首尾连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短?若存在,求t的值并说明抛物线平移的方向;若不存在,请说明理由.
动感体验
请打开几何画板文件名“14广州24”,拖动点C′左右移动,可以体验到,点B′、B′′的位置是确定不动的,这是因为点P、C是确定不动的,BB′、P′C′、PC平行且相等.当点C′落在线段AB′′上时,四边形的周长最小.
思路点拨
1.要探求∠APB为钝角时点P的范围,需要先找到∠APB为直角时点P的位置.
2.直径的两个端点与圆内一点围成的三角形是钝角三角形.
3.求两条线段的和最小,是典型的“牛喝水”问题.本题的四条线段中,有两条的长是定值,把不定的两条线段通过“平行且相等”连接起来,就转化为“牛喝水”问题.
满分解答
(1)因为抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于A(-1, 0)、B(4, 0)两点,
所以y=a(x+1)(x-4)=ax2-3ax-4a.
所以-4a=-2,b=-3a.所以,.
所以。
顶点为.
(2)如图1,设抛物线与y轴的交点为D.
由A(-1, 0)、B(4, 0)、D(0,-2),可知.
所以△AOD∽△DOB.因此∠ADO=∠DBO.
由于∠DBO与∠BDO互余,所以∠ADO与∠BDO也互余. 图1
于是可得∠ADB=90°.因此以AB为直径的圆经过点D.
当点P在x轴下方圆的内部时,∠APB为钝角,此时-1<m<0,或3<m<4.
(3)若m>,当∠APB为直角时,点P与点D关于抛物线的对称轴对称,因此点P的坐标为(3,-2).
如图2,由于点A、B、P、C是确定的,BB′、P′C′、PC平行且相等,所以A、B、P′、C′四点所构成的四边形中,AB和P′C′的长是确定的.
如图3,以P′C′、P′B为邻边构造平行四边形C′P′BB′,以直线为对称轴作点B′的对称点B′′,联结AB′′,那么AC′+P′B的长最小值就是线段AB′′。
如图4,线段AB′′与直线的交点,就是四边形周长最小时点C′的位置.
如图2,点P(3,-2)先向左平移个单位,再向下平移个单位得到点,
如图3,点B(4, 0) 先向左平移个单位,再向下平移个单位得到点.
所以点B′′的坐标为.
如图4,由,得.解得.
由于,所以抛物线向左平移了个单位.
图2 图3 图4
考点伸展
第(2)题不可回避要证明∠ADB=90°,也可以根据勾股定理的逆定理证明.
由A(-1, 0)、B(4, 0)、D(0,-2),得AB2=25,AD2=5, BD2=20.
所以AB2=AD2+BD2.所以∠ADB=90°.
第(3)题的运算量实在是太大了,很容易折磨同学们的自信.
求点B′的坐标,我们用了坐标平移的方法,比较简便.
求点C′的坐标,我们用了相似比的方法,回避了待定系数法更为繁琐的计算过程.
例2 2013年天津市中考第25题
在平面直角坐标系中,已知点A(-2,0),B(0,4),点E在OB上,且∠OAE=∠OBA.
(1)如图1,求点E的坐标;
(2)如图2,将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′,连结A′B、BE′.
①设AA′=m,其中0<m<2,使用含m的式子表示A′B2+BE′2,并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标;
②当A′B+BE′取得最小值时,求点E′的坐标(直接写出结果即可).
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“13天津25”,拖动点A′在线段AO上运动,可以体验到,当A′运动到AO的中点时,A′B2+BE′2取得最小值.当A′、B、E′′三点共线时,A′B+BE′取得最小值.
请打开超级画板文件名“13天津25”,拖动点A′在线段AO上运动,可以体验到,当A′运动到AO的中点时,A′B2+BE′2取得最小值.当A′、B、E′′三点共线时,A′B+BE′取得最小值.
思路点拨
1.图形在平移的过程中,对应点的连线平行且相等,EE′=AA′=m.
2.求A′B2+BE′2的最小值,第一感觉是用勾股定理列关于m的式子.
3.求A′B+BE′的最小值,第一感觉是典型的“牛喝水”问题——轴对称,两点之间线段最短.
满分解答
(1)由∠OAE=∠OBA,∠AOE=∠BOA,得△AOE∽△BOA.
所以.因此.
解得OE=1.所以E(0,1).
(2)①如图3,在Rt△A′OB中,OB=4,OA′=2-m,所以A′B2=16+(2-m)2.
在Rt△BEE′中,BE=3,EE′=m,所以BE′2=9+m2.
所以A′B2+BE′2=16+(2-m)2+9+m2=2(m-1)2+27.
所以当m=1时,A′B2+BE′2取得最小值,最小值为27.
此时点A′是AO的中点,点E′向右平移了1个单位,所以E′(1,1).
②如图4,当A′B+BE′取得最小值时,求点E′的坐标为.
图3 图4
考点伸展
第(2)②题这样解:如图4,过点B作y轴的垂线l,作点E′关于直线l的对称点E′′,
所以A′B+BE′=A′B+BE′′.
当A′、B、E′′三点共线时,A′B+BE′′取得最小值,最小值为线段A′E′′.
在Rt△A′O′E′′中,A′O′=2,O′E′′=7,所以A′E′′=.
当A′、B、E′′三点共线时,.所以.
解得.此时.
例3 2012年滨州市中考第24题
如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-2, -4 )、O(0, 0)、
B(2, 0)三点.
(1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式;
(2)若点M是该抛物线对称轴上的一点,求AM+OM的最小值.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12滨州24”,拖动点M在抛物线的对称轴上运动(如图2),可以体验到,当M落在线段AB上时,根据两点之间线段最短,可以知道此时AM+OM最小(如图3).
请打开超级画板文件名“12滨州24”,拖动点M, M落在线段AB上时, AM+OM最小.
答案 (1)。 (2)AM+OM的最小值为.
图2 图3
例4 2012年山西省中考第26题
如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点D是抛物线的顶点.
(1)求直线AC的解析式及B、D两点的坐标;
(2)点P是x轴上的一个动点,过P作直线l//AC交抛物线于点Q.试探究:随着点P的运动,在抛物线上是否存在点Q,使以A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)请在直线AC上找一点M,使△BDM的周长最小,求出点M的坐标.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12山西26”,拖动点P在x轴上运动,可以体验到,点Q有3个时刻可以落在抛物线上.拖动点M在直线AC上运动,可以体验到,当M落在B′D上时,MB+MD最小,△MBD的周长最小.
思路点拨
1.第(2)题探究平行四边形,按照AP为边或者对角线分两种情况讨论.
2.第(3)题是典型的“牛喝水”问题,构造点B关于“河流”AC的对称点B′,那么M落在B′D上时,MB+MD最小,△MBD的周长最小.
满分解答
(1)由y=-x2+2x+3=-(x+1)(x-3)=-(x-1)2+4,
得A(-1, 0)、B(3, 0)、C(0, 3)、D(1, 4).
直线AC的解析式是y=3x+3.
(2)Q1(2, 3),Q2(),Q3().
(3)设点B关于直线AC的对称点为B′,联结BB′交AC于F.
联结B′D,B′D与交AC的交点就是要探求的点M.
作B′E⊥x轴于E,那么△BB′E∽△BAF∽△CAO.
在Rt△BAF中,,AB=4,所以.
在Rt△BB′E中,,,所以,.
所以.所以点B′的坐标为.
因为点M在直线y=3x+3上,设点M的坐标为(x, 3x+3).
由,得.所以.
解得.所以点M的坐标为.
图2 图3
考点伸展
第(2)题的解题思路是这样的:
①如图4,当AP是平行四边形的边时,CQ//AP,所以点C、Q关于抛物线的对称轴对称,点Q的坐标为(2, 3).
②如图5,当AP是平行四边形的对角线时,点C、Q分居x轴两侧,C、Q到x轴的距离相等.
解方程-x2+2x+3=-3,得.所以点Q的坐标为()或 ().
图4 图5
第二部分 函数图象中点的存在性问题
2.1 由比例线段产生的函数关系问题
例1 2014年上海市静安区中考模拟第24题
已知⊙O的半径为3,⊙P与⊙O相切于点A,经过点A的直线与⊙O、⊙P分别交于点B、C,cos∠BAO=.设⊙P的半径为x,线段OC的长为y.
(1)求AB的长;
(2)如图1,当⊙P与⊙O外切时,求y与x之间的函数关系式,并写出函数的定义域;
(3)当∠OCA=∠OPC时,求⊙P的半径.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14静安24”,拖动圆心P运动,可以体验到,△OAB与△PAC保持相似,∠OCA的大小保持不变.两圆外切和内切,各存在一次∠OPC=∠OCA.从图像中可以体验到,当两圆外切时,y随x的增大而增大.
思路点拨
1.第(1)题求弦AB的长,自然想到垂径定理或三线合一.
2.第(2)题构造直角三角形,使得y成为斜边长,再用勾股定理.
3.第(3)题两圆外切可以直接用第(2)的结论,两圆内切再具体分析.
4.不论两圆外切还是内切,两个等腰△OAB与△PAC相似.
满分解答
(1)如图2,作OE⊥AB,垂足为E,由垂径定理,得AB=2AE.
在Rt△AOE中,cos∠BAO=,AO=3,所以AE=1.所以AB=2.
(2)如图2,作CH⊥AP,垂足为H.
由△OAB∽△PAC,得.所以.所以.
在Rt△ACH中,由cos∠CAH=,得.
所以,.
在Rt△OCH中,由OC2=OH2+CH2,得.
整理,得.定义域为x>0.
图2 图3
(3)①如图3,当⊙P与⊙O外切时,如果∠OCA=∠OPC,那么△OCA∽△OPC.
因此.所以.
解方程,得.此时⊙P的半径为.
②如图4,图5,当⊙P与⊙O内切时,同样的△OAB∽△PAC,.
如图5,图6,如果∠OCA=∠OPC,那么△ACO∽△APC.
所以.因此.
解方程,得.此时⊙P的半径为.
图4 图5 图6
考点伸展
第(3)题②也可以这样思考:
如图4,图5,图6,当∠OCA=∠OPC时,3个等腰三角形△OAB、△PAC、△CAO都相似,每个三角形的三边比是3∶3∶2.
这样,△CAO的三边长为、、3.△PAC的三边长为、、.
例2 2013年宁波市中考第26题
如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A的坐标为(0,4),点B的坐标为(4,0),点C的坐标为(-4,0),点P在射线AB上运动,连结CP与y轴交于点D,连结BD.过P、D、B三点作⊙Q,与y轴的另一个交点为E,延长DQ交⊙Q于F,连结EF、BF.
(1)求直线AB的函数解析式;
(2)当点P在线段AB(不包括A、B两点)上时.
①求证:∠BDE=∠ADP;
②设DE=x,DF=y,请求出y关于x的函数解析式;
(3)请你探究:点P在运动过程中,是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形,满足两条直角边之比为2∶1?如果存在,求出此时点P的坐标;如果不存在,请说明理由. 图1
动感体验
请打开几何画板文件名“13宁波26”,拖动点P在射线AB上运动,可以体验到,△DEF保持等腰直角三角形的形状,y是x的一次函数.观察BD∶BF的度量值,可以体验到,BD∶BF可以等于2,也可以等于0.5.
请打开超级画板文件名“13宁波26”,拖动点P在射线AB上运动,可以体验到,△DEF保持等腰直角三角形的形状.观察BD∶BF的度量值,可以体验到,BD∶BF可以等于2,也可以等于0.5.
答案
(1)直线AB的函数解析式为y=-x+4.
(2)①如图2,∠BDE=∠CDE=∠ADP;
②如图3,∠ADP=∠DEP+∠DPE,如图4,∠BDE=∠DBP+∠A,
因为∠DEP=∠DBP,所以∠DPE=∠A=45°.
所以∠DFE=∠DPE=45°.因此△DEF是等腰直角三角形.于是得到.
图2 图3 图4
(3)①如图5,当BD∶BF=2∶1时,P(2,2).思路如下:
由△DMB∽△BNF,知.
设OD=2m,FN=m,由DE=EF,可得2m+2=4-m.解得.
因此.再由直线CD与直线AB求得交点P(2,2).
②如图6,当BD∶BF=1∶2时,P(8,-4).思路同上.
图5 图6
例3 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题
在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,,⊙B的半径长为1,⊙B交边CB于点P,点O是边AB上的动点.
(1)如图1,将⊙B绕点P旋转180°得到⊙M,请判断⊙M与直线AB的位置关系;
(2)如图2,在(1)的条件下,当△OMP是等腰三角形时,求OA的长;
(3)如图3,点N是边BC上的动点,如果以NB为半径的⊙N和以OA为半径的⊙O外切,设NB=y,OA=x,求y关于x的函数关系式及定义域.
图1 图2 图3
动感体验
请打开几何画板文件名“12徐汇25”,拖动点O在AB上运动,观察△OMP的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系,可以体验到,点O和点P可以落在对边的垂直平分线上,点M不能.
请打开超级画板文件名“12徐汇25”, 分别点击“等腰”按钮的左部和中部,观察三个角度的大小,可得两种等腰的情形.点击“相切”按钮,可得y关于x的函数关系.
思路点拨
1.∠B的三角比反复用到,注意对应关系,防止错乱.
2.分三种情况探究等腰△OMP,各种情况都有各自特殊的位置关系,用几何说理的方法比较简单.
3.探求y关于x的函数关系式,作△OBN的边OB上的高,把△OBN分割为两个具有公共直角边的直角三角形.
满分解答
(1) 在Rt△ABC中,AC=6,,
所以AB=10,BC=8.
过点M作MD⊥AB,垂足为D.
在Rt△BMD中,BM=2,,所以.
因此MD>MP,⊙M与直线AB相离. 图4
(2)①如图4,MO≥MD>MP,因此不存在MO=MP的情况.
②如图5,当PM=PO时,又因为PB=PO,因此△BOM是直角三角形.
在Rt△BOM中,BM=2,,所以.此时.
③如图6,当OM=OP时,设底边MP对应的高为OE.
在Rt△BOE中,BE=,,所以.此时.
图5 图6
(3)如图7,过点N作NF⊥AB,垂足为F.联结ON.
当两圆外切时,半径和等于圆心距,所以ON=x+y.
在Rt△BNF中,BN=y,,,所以,.
在Rt△ONF中,,由勾股定理得ON2=OF2+NF2.
于是得到.
整理,得.定义域为0<x<5.
图7 图8
考点伸展
第(2)题也可以这样思考:
如图8,在Rt△BMF中,BM=2,,.
在Rt△OMF中,OF=,所以.
在Rt△BPQ中,BP=1,,.
在Rt△OPQ中,OF=,所以.
①当MO=MP=1时,方程没有实数根.
②当PO=PM=1时,解方程,可得
③当OM=OP时,解方程,可得.
例4 2012年连云港市中考第26题
如图1,甲、乙两人分别从A、B两点同时出发,点O为坐标原点.甲沿AO方向、乙沿BO方向均以每小时4千米的速度行走,t小时后,甲到达M点,乙到达N点.
(1)请说明甲、乙两人到达点O前,MN与AB不可能平行;
(2)当t为何值时,△OMN∽△OBA?
(3)甲、乙两人之间的距离为MN的长.设s=MN2,求s与t之间的函数关系式,并求甲、乙两人之间距离的最小值. 图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12连云港26”,拖动点N在射线BO上运动,可以体验到,当M、N都在O右侧时,MN与AB不平行.当点A落在上时,∠MNO=∠BAO,△OMN∽△OBA.
答案 (1)当M、N都在O右侧时,,,
所以.因此MN与AB不平行.
(2)①如图2,当M、N都在O右侧时,∠OMN>∠B,不可能△OMN∽△OBA.
②如图3,当M在O左侧、N在O右侧时,∠MON>∠BOA,不可能△OMN∽△OBA.
③如图4,当M、N都在O左侧时,如果△OMN∽△OBA,那么.
所以.解得t=2.
图2 图3 图4
(3)①如图2,,,.
.
②如图3,,,.
.
③如图4,,,.
.
综合①、②、③,s
.
所以当t=1时,甲、乙两人的最小距离为12千米.
2.2 由面积产生的函数关系问题
例1 2014年黄冈市中考第25题
如图1,在四边形OABC中,AB//OC,BC⊥x轴于点C,A(1,-1),B(3,-1),动点P从O出发,沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动.过点P作PQ垂直于直线OA,垂足为Q.设点P移动的时间为t秒(0<t<2),△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S.
(1)求经过O、A、B三点的抛物线的解析式,并确定顶点M的坐标;
(2)用含t的代数式表示点P、Q的坐标;
(3)如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°,是否存在t,使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由;
(4)求出S与t的函数关系式.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14黄冈25”,拖动点P从O开始向右运动,可以体验到,重叠部分的形状依次为等腰直角三角形、等腰梯形和五边形.点O′和点Q′各有一次机会落在抛物线上.
思路点拨
1.△OPQ在旋转前后保持等腰直角三角形的形状.
2.试探取不同位置的点P,观察重叠部分的形状,要分三种情况讨论.
满分解答
(1)由A(1,-1)、B(3,-1),可知抛物线的对称轴为直线x=1,点O关于直线x=1的对称点为(4,0).
于是可设抛物线的解析式为y=ax(x-4),代入点A(1,-1),得-3a=-1.
解得.所以.顶点M的坐标为.
(2)△OPQ是等腰直角三角形,P(2t, 0),Q(t,-t).
(3)旋转后,点O′的坐标为(2t,-2t),点Q′的坐标为(3t,-t).
将O′(2t,-2t)代入,得.解得.
将Q′(3t,-t)代入,得.解得t=1.
因此,当时,点O′落在抛物线上(如图2);当t=1时,点Q′落在抛物线上(如图3).
图2 图3
(4)①如图4,当0<t≤1时,重叠部分是等腰直角三角形OPQ.此时S=t2.
②如图5,当1<t≤1.5时,重叠部分是等腰梯形OPFA.此时AF=2t-2.
此时S=.
图4 图5
③如图6,当1.5<t<2时,重叠部分是五边形OCEFA.
此时CE=CP=2t-3.所以BE=BF=1-(2t-3)=4-2t.
所以S=.
图6
考点伸展
在本题情景下,重叠部分的周长l与t之间有怎样的函数关系?
如图4,.如图5,.
如图6,.
例2 2013年菏泽市中考第21题
如图1, △ABC是以BC为底边的等腰三角形,点A、C分别是一次函数的图像与y轴、x轴的交点,点B在二次函数的图像上,且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形.
(1)试求b、c的值,并写出该二次函数的解析式;
(2)动点P从A到D,同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动,问:
①当P运动到何处时,由PQ⊥AC?
②当P运动到何处时,四边形PDCQ的面积最小?此时四边形PDCQ的面积是多少?
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“13菏泽21”,拖动点P由A向D运动,观察S随P变化的图像,可以体验到,当S最小时,点Q恰好是AC的中点.
请打开超级画板文件名“13菏泽21”,拖动点P由A向D运动,观察S随P变化的图像,可以体验到,当S最小时,点Q恰好是AC的中点.
思路点拨
1.求抛物线的解析式需要代入B、D两点的坐标,点B的坐标由点C的坐标得到,点D的坐标由AD=BC可以得到.
2.设点P、Q运动的时间为t,用含有t的式子把线段AP、CQ、AQ的长表示出来.
3.四边形PDCQ的面积最小,就是△APQ的面积最大.
满分解答
(1)由,得A(0,3),C(4,0).
由于B、C关于OA对称,所以B(-4,0),BC=8.
因为AD//BC,AD=BC,所以D(8,3).
将B(-4,0)、D(8,3)分别代入,得
解得,c=-3.所以该二次函数的解析式为.
(2)①设点P、Q运动的时间为t.
如图2,在△APQ中,AP=t,AQ=AC-CQ=5-t,cos∠PAQ=cos∠ACO=.
当PQ⊥AC时,.所以.解得.
图2 图3
②如图3,过点Q作QH⊥AD,垂足为H.
由于S△APQ=,
S△ACD=,
所以S四边形PDCQ=S△ACD-S△APQ=.
所以当AP=时,四边形PDCQ的最小值是.
考点伸展
如果把第(2)①题改为“当P运动到何处时,△APQ是直角三角形?”
除了PQ⊥AC这种情况,还有QP⊥AD的情况.
这时,所以.解得(如图4所示).
图4
例3 2012年广东省中考第22题
如图1,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,联结BC、AC.
(1)求AB和OC的长;
(2)点E从点A出发,沿x轴向点B运动(点E与点A、B不重合),过点E作BC的平行线交AC于点D.设AE的长为m,△ADE的面积为s,求s关于m的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
(3)在(2)的条件下,联结CE,求△CDE面积的最大值;此时,求出以点E为圆心,与BC相切的圆的面积(结果保留π).
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12广东22”,拖动点E由A向B运动,观察图象,可以体验到,△ADE的面积随m的增大而增大,△CDE的面积随m变化的图象是开口向下的抛物线的一部分,E在AB的中点时,△CDE的面积最大.
思路点拨
1.△ADE与△ACB相似,面积比等于对应边的比的平方.
2.△CDE与△ADE是同高三角形,面积比等于对应底边的比.
满分解答
(1)由,得A(-3,0)、B(6,0)、C(0,-9).
所以AB=9,OC=9.
(2)如图2,因为DE//CB,所以△ADE∽△ACB.
所以.
而,AE=m,
所以.
m的取值范围是0<m<9.
图2 图3
(3)如图2,因为DE//CB,所以.
因为△CDE与△ADE是同高三角形,所以.
所以.
当时,△CDE的面积最大,最大值为.
此时E是AB的中点,.
如图3,作EH⊥CB,垂足为H.
在Rt△BOC中,OB=6,OC=9,所以.
在Rt△BEH中,.
当⊙E与BC相切时,.所以.
考点伸展
在本题中,△CDE与△BEC能否相似?
如图2,虽然∠CED=∠BCE,但是∠B>∠BCA≥∠ECD,所以△CDE与△BEC不能相似.
例4 2012年河北省中考第26题
如图1,图2,在△ABC中,AB=13,BC=14,.
探究 如图1,AH⊥BC于点H,则AH=_____,AC=______,△ABC的面积S△ABC=________.
拓展 如图2,点D在AC上(可与点A、C重合),分别过点A、C作直线BD的垂线,垂足为E、F.设BD=x,AE=m,CF=n.(当点D与点A重合时,我们认为S△ABD=0)
(1)用含x,m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD;
(2)求(m+n)与x的函数关系式,并求(m+n)的最大值和最小值;
(3)对给定的一个x值,有时只能确定唯一的点D,指出这样的x的取值范围.
发现 请你确定一条直线,使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小(不必写出过程),并写出这个最小值.
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“12河北26”,拖动点D由A向C运动,观察(m+n)随x变化的图象,可以体验到,D到达G之前,(m+n)的值越来越大;D经过G之后,(m+n)的值越来越小.观察圆与线段AC的交点情况,可以体验到,当D运动到G时(如图3),或者点A在圆的内部时(如图4),圆与线段AC只有唯一的交点D.
图3 图4
答案 探究 AH=12,AC=15,S△ABC=84.
拓展 (1)S△ABD=,S△CBD=.
(2)由S△ABC=S△ABD+S△CBD,得.所以.
由于AC边上的高,所以x的取值范围是≤x≤14.
所以(m+n)的最大值为15,最小值为12.
(3)x的取值范围是x=或13<x≤14.
发现 A、B、C三点到直线AC的距离之和最小,最小值为.
例5 2011年淮安市中考第28题
如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,点P在AB上,AP=2.点E、F同时从点P出发,分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动,点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动,点F运动到点B时停止,点E也随之停止.在点E、F运动过程中,以EF为边作正方形EFGH,使它与△ABC在线段AB的同侧.设E、F运动的时间为t秒(t>0),正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S.
(1)当t=1时,正方形EFGH的边长是________;当t=3时,正方形EFGH的边长是________;
(2)当1<t≤2时,求S与t的函数关系式;
(3)直接答出:在整个运动过程中,当t为何值时,S最大?最大面积是多少?
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11淮安28”,拖动点F由P向B运动,可以体验到,点E在向A运动时,正方形EFGH越来越大,重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形;点E折返以后,正方形EFGH的边长为定值4,重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形.在整个运动过程中,S的最大值在六边形这个时段.
请打开超级画板文件名“11淮安28”,拖动点F由P向B运动,可以体验到,点E在向A运动时,正方形EFGH越来越大,重叠部分的形状依次为正方形、五边形、直角梯形;点E折返以后,正方形EFGH的边长为定值4,重叠部分的形状依次为直角梯形、五边形、六边形、五边形.在整个运动过程中,S的最大值在六边形这个时段.
思路点拨
1.全程运动时间为8秒,最好的建议就是在每秒钟选择一个位置画8个图形,这叫做磨刀不误砍柴工.
2.这道题目的运算太繁琐了,如果你的思路是对的,就坚定地、仔细地运算,否则放弃也是一种好的选择.
满分解答
(1)当t=1时,EF=2;当t=3时,EF=4.
(2)①如图1,当时,.所以.
②如图2,当时,,,.
于是,
.
所以.
③如图3,当时,,,.
所以.
图2 图3 图4
(3)如图4,图5,图6,图7,重叠部分的最大面积是图6所示的六边形EFNDQN,S的最大值为,此时.
图5 图6 图7
考点伸展
第(2)题中t的临界时刻是这样求的:
如图8,当H落在AC上时,,,由,得.
如图9,当G落在AC上时,,,由,得.
图8 图9
例6 2011年山西省中考第26题
如图1,在平面直角坐标系中,四边形OABC是平行四边形.直线l经过O、C两点,点A的坐标为(8,0),点B的坐标为(11,4),动点P在线段OA上从O出发以每秒1个单位的速度向点A运动,同时动点Q从点A出发以每秒2个单位的速度沿A→B→C的方向向点C运动,过点P作PM垂直于x轴,与折线O—C—B相交于点M.当P、Q两点中有一点到达终点时,另一点也随之停止运动,设点P、Q运动的时间为t秒(t>0),△MPQ的面积为S.
(1)点C的坐标为____________,直线l的解析式为____________;
(2)试求点Q与点M相遇前S与t的函数关系式,并写出相应的t的取值范围.
(3)试求题(2)中当t为何值时,S的值最大?最大值是多少?
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11山西26”,拖动点P由O向A运动,可以体验到,点Q先到达终点.从S随t变化的跟踪轨迹可以看到,整个运动过程中,S随t变化的图象是“N”字型,由四段组成.
请打开超级画板文件名“11山西26”,拖动点P由O向A运动,可以体验到,点Q先到达终点.点击按钮“函数表达式”, S随t先增大后减少。当t=2.67时,S=14.22.
思路点拨
1.用含有t的式子表示线段的长,是解题的关键.
2.第(2)题求S与t的函数关系式,容易忽略M在OC上、Q在BC上的情况.
3.第(2)题建立在第(2)题的基础上,应用性质判断图象的最高点,运算比较繁琐.
满分解答
(1)点C的坐标为(3,4),直线l的解析式为.
(2)①当M在OC上,Q在AB上时,.
在Rt△OPM中,OP=t,,所以.
在Rt△AQE中,AQ=2t,,所以.
于是.因此.
②当M在OC上,Q在BC上时,.
因为,所以.
因此.
③当M、Q相遇时,根据P、Q的路程和,解得.
因此当M、Q都在BC上,相遇前,,PM=4,.
所以.
图2 图3 图4
(3)①当时,.
因为抛物线开口向上,在对称轴右侧,S随t的增大而增大,
所以当时,S最大,最大值为.
②当时,.
因为抛物线开口向下,所以当时,S最大,最大值为.
③当时,.
因为S随t的增大而减小,所以当时,S最大,最大值为14.
综上所述,当时,S最大,最大值为.
考点伸展
第(2)题中,M、Q从相遇到运动结束,S关于t的函数关系式是怎样的?
此时, .因此.
图5
第三部分图形运动中的计算说理问题
3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题
例1 2014年福州市中考第22题
如图1,抛物线与x轴交于
A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,顶点为D.
(1)求点A、B、C的坐标;
(2)联结CD,过原点O作OE⊥CD,垂足为H,OE与抛物线的对称轴交于点E,联结AE、AD.求证:∠AEO=∠ADC;
(3)以(2)中的点E为圆心,1为半径画圆,在对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过P作⊙E的切线,切点为Q,当PQ的长最小时,求点P的坐标,并直接写出点Q的坐标. 图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14福州22”,拖动点P在抛物线上运动,可以体验到,当PE最小时,PQ也最小.
思路点拨
1.计算点E的坐标是关键的一步,充分利用、挖掘等角(或同角)的余角相等.
2.求PE的最小值,设点P的坐标为(x, y),如果把PE2表示为x的四次函数,运算很麻烦.如果把PE2转化为y的二次函数就比较简便了.
满分解答
(1)由,得,.
由,
得,.
(2)设CD与AE交于点F,对称轴与x轴交于点M,作DN⊥y轴于N.
如图2,由,,得DN=3,.因此.
如图3,由OE⊥CD,得∠EOM=∠DCN.因此.
所以EM=2,E(3, 2).
由,,得.
因此,.
所以∠AEM=∠DAM.于是可得∠AED=90°.
如图4,在Rt△EHF与Rt△DAF中,因为∠EFH=∠DFA,
所以∠HEF=∠ADF,即∠AEO=∠ADC.
图2 图3 图4
(3)如图5,在Rt△EPQ中,EQ为定值,因此当PE最小时,PQ也最小.
设点P的坐标为(x, y),那么PE2=(x-3)2+(y-2)2.
已知,所以.
因此.
所以当y=1时,PE取得最小值.
解方程,得x=5,或x=1(在对称轴左侧,舍去).
因此点P的坐标为(5, 1).此时点Q的坐标为(3, 1)或(如图6所示).
图5 图6 图7
考点伸展
第(3)题可以这样求点Q的坐标:设点Q的坐标为(m, n).
由E(3, 2)、P(5, 1),可得PE2=5.又已知EQ2=1,所以PQ2=4.
列方程组 解得
还可以如图7那样求点Q的坐标:
对于Q(m, n),根据两个阴影三角形相似,可以列方程组.
同样地,对于Q′(m, n),可以列方程组.
例2 2013年南京市中考第26题
已知二次函数y=a(x-m)2-a(x-m)(a、m为常数,且a≠0).
(1)求证:不论a与m为何值,该函数的图像与x轴总有两个公共点;
(2)设该函数的图像的顶点为C,与x轴相交于A、B两点,与y轴交于点D.
①当△ABC的面积等于1时,求a的值
②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时,求m的值.
动感体验
请打开几何画板文件名“13南京26”,拖动y轴上表示实数a的点可以改变a的值,拖动点A可以改变m的值.分别点击按钮“m1”、“m2”、“m3”,再改变实数a,可以体验到,这3种情况下,点C、D到x轴的距离相等.
请打开超级画板文件名“13南京26”, 拖动点A可以改变m的值,竖直拖动点C可以改变a的值.分别点击按钮,可得到△ABC的面积与△ABD的面积相等的三种情形。
思路点拨
1.第(1)题判断抛物线与x轴有两个交点,容易想到用判别式.事实上,抛物线与x轴的交点A、B的坐标分别为 (m,0)、 (m+1,0),AB=1.
2.当△ABC的面积等于1时,点C到x轴的距离为2.
3.当△ABC的面积与△ABD的面积相等时,C、D到x轴的距离相等.
4.本题大量的工作是代入计算,运算比较繁琐,一定要仔细.
满分解答
(1)由y=a(x-m)2-a(x-m)=a(x-m)( x-m-1),
得抛物线与x轴的交点坐标为A(m,0)、B(m+1,0).
因此不论a与m为何值,该函数的图像与x轴总有两个公共点.
(2)①由y=a(x-m)2-a(x-m) ,
得抛物线的顶点坐标为.
因为AB=1,S△ABC=,所以a=±8.
②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时,点C与点D到x轴的距离相等.
第一种情况:如图1,C、D重合,此时点D的坐标可以表示为,
将代入,得.
解得.
图1
第二种情况:如图2,图3,C、D在x轴两侧,此时点D的坐标可以表示为,
将代入,得.
解得.
图2 图3
考点伸展
第(1)题也可以这样说理:
由于由,抛物线的顶点坐标为.
当a>0时,抛物线的开口向上,而顶点在x轴下方,所以抛物线与x轴由两个交点;
当a<0时,抛物线的开口向下,而顶点在x轴上方,所以抛物线与x轴由两个交点.
因此不论a与m为何值,该函数的图像与x轴总有两个公共点.
第(1)题也可以用根的判别式Δ说理:
由y=a(x-m)2-a(x-m)=a[x2-(2m+1)x+m2+m],
得>0.
因此不论a与m为何值,该函数的图像与x轴总有两个公共点.
这种方法是同学们最容易想到的,但是这种方法的运算量很大,一定要仔细.
例3 2013年南昌市中考第25题
已知抛物线yn=-(x-an)2+an(n为正整数,且0<a1<a2<…<an)与x轴的交点为An-1(bn-1,0)和An(bn,0).当n=1时,第1条抛物线y1=-(x-a1)2+a1与x轴的交点为A0(0,0)和A1(b1,0),其他依此类推
(1)求a、b的值及抛物线y2的解析式;
(2)抛物线y3的顶点坐标为(_____,_____);
依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为(_____,_____)(用含n的式子表示);
所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是________________;
(3)探究下列结论:
①若用An-1 An表示第n条抛物线被x轴截得的线段的长,直接写出A0A1的值,并求出
An-1 An;
②是否存在经过点A(2,0)的直线和所有抛物线都相交,且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等?若存在,直接写出直线的表达式;若不存在,请说明理由.
备用图(仅供草稿使用)
动感体验
请打开几何画板文件名“13南昌25”,拖动抛物线的顶点P在射线y=x(x>0)上运动,可以体验到,经过点(2,0)与这条射线平行的直线截抛物线所得的线段都相等.
请打开超级画板文件名“13南昌25”,拖动抛物线的顶点P在射线y=x(x>0)上运动,可以体验到,经过点(2,0)与这条射线平行的直线截抛物线所得的线段都相等.
思路点拨
1.本题写在卷面的文字很少很少,可是卷外是大量的运算.
2.最大的纠结莫过于对字母意义的理解,这道题的复杂性就体现在数形结合上.
3.这个备用图怎么用?边画边算,边算边画.
满分解答
(1)将A0(0,0)代入y1=-(x-a1)2+a1,得-a12+a1=0.
所以符合题意的a1=1.
此时y1=-(x-1)2+1=-x(x-2).所以A1的坐标为(2,0),b1=2.
将A1(2,0)代入y2=-(x-a2)2+a2,得-(2-a2)2+a2=0.
所以符合题意的a2=4.
此时y2=-(x-4)2+4=-(x-2)(x-6).
(2)抛物线y3的顶点坐标为(9,9);
第n条抛物线yn的顶点坐标为(n2,n2);
所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是y=x.
(3)①如图1,A0A1=2.
由第(2)题得到,第n条抛物线yn=-(x-an)2+an的顶点坐标为(n2,n2).
所以yn=-(x-n2)2+n2=n2-(x-n2)2=(n-x+n2)(n+x-n2).
所以第n条抛物线与x轴的交点坐标为An-1(n2-n,0)和An(n2+n,0).
所以An-1 An=(n2+n)-(n2-n)=2n.
②如图1,直线y=x-2和所有抛物线都相交,且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等.
图1
考点伸展
我们一起来梳理一下这道题目的备用图怎么用.
第一步,由yn=-(x-an)2+an,得抛物线的顶点坐标为(an, an).顶点的横坐标和纵坐标相等,而且已知an>0,因此先画出顶点所在的射线y=x(x>0).
第二步,计算出y1,画抛物线y1的顶点、与x轴的右交点.
第三步,计算出y2,画抛物线y2的顶点、与x轴的右交点.
3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题
例1 2014年安徽省中考第23题
如图1,正六边形ABCDEF的边长为a,P是BC边上的一动点,过P作PM//AB交AF于M,作PN//CD交DE于N.
(1)①∠MPN=_______°;
②求证:PM+PN=3a;
(2)如图2,点O是AD的中点,联结OM、ON.求证:OM=ON.
(3)如图3,点O是AD的中点,OG平分∠MON,判断四边形OMGN是否为特殊的四边形,并说明理由.
图1 图2 图3
动感体验
请打开几何画板文件名“14安徽23”,拖动点P运动,可以体验到,PM+PN等于正六边形的3条边长.△AOM≌△BOP,△COP≌△DON,所以OM=OP=ON.还可以体验到,△MOG与△NOG是两个全等的等边三角形,四边形OMGN是菱形.
思路点拨
1.第(1)题的思路是,把PM+PN转化到同一条直线上.
2.第(2)题的思路是,以O为圆心,OM为半径画圆,这个圆经过点N、P.于是想到联结OP,这样就出现了两对全等三角形.
3.第(3)题直觉告诉我们,四边形OMGN是菱形.如果你直觉△MOG与△NOG是等边三角形,那么矛盾就是如何证明∠MON=120°.
满分解答
(1)①∠MPN=60°.
②如图4,延长FA、ED交直线BC与M′、N′,那么△ABM′、△MPM′、△DCN′、
△EPN′都是等边三角形.
所以PM+PN=M′N′=M′B+BC+CN′=3a.
图4 图5 图6
(2)如图5,联结OP.
由(1)知,AM=BP,DN=CP.
由AM=BP,∠OAM=∠OBP=60°,OA=OB,
得△AOM≌△BOP.所以OM=OP.
同理△COP≌△DON,得ON=OP.
所以OM=ON.
(3)四边形OMGN是菱形.说理如下:
由(2)知,∠AOM=∠BOP,∠DON=∠COP(如图5).
所以∠AOM+∠DON=∠BOP+∠COP=60°.所以∠MON=120°.
如图6,当OG平分∠MON时,∠MOG=∠NOG=60°.
又因为∠AOF=∠FOE=∠EOD=60°,于是可得∠AOM=∠FOG=∠EON.
于是可得△AOM≌△FOG≌△EON.
所以OM=OG=ON.
所以△MOG与△NOG是两个全等的等边三角形.
所以四边形OMGN的四条边都相等,四边形OMGN是菱形.
考点伸展
在本题情景下,菱形OMGN的面积的最大值和最小值各是多少?
因为△MOG与△NOG是全等的等边三角形,所以OG最大时菱形的面积最大,OG最小时菱形的面积最小.
OG的最大值等于OA,此时正三角形的边长为a,菱形的最大面积为.
OG与EF垂直时最小,此时正三角形的边长为,菱形的最小面积为.
例2 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题
已知二次函数y=-x2+bx+c的图像经过点P(0, 1)与Q(2, -3).
(1)求此二次函数的解析式;
(2)若点A是第一象限内该二次函数图像上一点,过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B,分别过点B、A作x轴的垂线,垂足分别为C、D,且所得四边形ABCD恰为正方形.
①求正方形的ABCD的面积;
②联结PA、PD,PD交AB于点E,求证:△PAD∽△PEA.
动感体验
请打开几何画板文件名“13黄浦24”,拖动点A在第一象限内的抛物线上运动,可以体验到,∠PAE与∠PDA总保持相等,△PAD与△PEA保持相似.
请打开超级画板文件名“13黄浦24”,拖动点A在第一象限内的抛物线上运动,可以体验到,∠PAE与∠PDA总保持相等,△PAD与△PEA保持相似.
思路点拨
1.数形结合,用抛物线的解析式表示点A的坐标,用点A的坐标表示AD、AB的长,当四边形ABCD是正方形时,AD=AB.
2.通过计算∠PAE与∠DPO的正切值,得到∠PAE=∠DPO=∠PDA,从而证明△PAD∽△PEA.
满分解答
(1)将点P(0, 1)、Q(2, -3)分别代入y=-x2+bx+c,得
解得
所以该二次函数的解析式为y=-x2+1.
(2)①如图1,设点A的坐标为(x, -x2+1),当四边形ABCD恰为正方形时,AD=AB.
此时yA=2xA.
解方程-x2+1=2x,得.
所以点A的横坐标为.
因此正方形ABCD的面积等于.
②设OP与AB交于点F,那么.
所以.
又因为,
所以∠PAE=∠PDA.
又因为∠P公用,所以△PAD∽△PEA.
图1 图2
考点伸展
事实上,对于矩形ABCD,总有结论△PAD∽△PEA.证明如下:
如图2,设点A的坐标为(x, -x2+1),那么PF=OP-OF=1-(-x2+1)=x2.
所以.
又因为,
所以∠PAE=∠PDA.因此△PAD∽△PEA.
例3 2013年江西省中考第24题
某数学活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下过程:
(1)操作发现:
在等腰△ABC中,AB=AC,分别以AB、AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图1所示,其中DF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,M是BC的中点,连结MD和ME,则下列结论正确的是__________(填序号即可).
①AF=AG=;②MD=ME;③整个图形是轴对称图形;④MD⊥ME.
(2)数学思考:
在任意△ABC中,分别以AB、AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图2所示,M是BC的中点,连结MD和ME,则MD与ME有怎样的数量关系?请给出证明过程;
(3)类比探究:
在任意△ABC中,仍分别以AB、AC为斜边,向△ABC的内侧作等腰直角三角形,如图3所示,M是BC的中点,连结MD和ME,试判断△MDE的形状.答:_________.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“13江西24”,拖动点A可以改变△ABC的形状,可以体验到,△DFM≌△MGE保持不变,∠DME=∠DFA=∠EGA保持不变.
请打开超级画板文件名“13江西24”,拖动点A可以改变△ABC的形状,可以体验到,△DFM≌△MGE保持不变,∠DME=∠DFA=∠EGA保持不变.
思路点拨
1.本题图形中的线条错综复杂,怎样寻找数量关系和位置关系?最好的建议是按照题意把图形规范、准确地重新画一遍.
2.三个中点M、F、G的作用重大,既能产生中位线,又是直角三角形斜边上的中线.
3.两组中位线构成了平行四边形,由此相等的角都标注出来,还能组合出那些相等的角?
满分解答
(1)填写序号①②③④.
(2)如图4,作DF⊥AB,EG⊥AC,垂足分别为F、G.
因为DF、EG分别是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE斜边上的高,
所以F、G分别是AB、AC的中点.
又已知M是BC的中点,所以MF、MG是△ABC的中位线.
所以,,MF//AC,MG//AB.
所以∠BFM=∠BAC,∠MGC=∠BAC.
所以∠BFM=∠MGC.所以∠DFM=∠MGE.
因为DF、EG分别是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜边上的中线,
所以,.
所以MF=EG,DF=NG.
所以△DFM≌△MGE.所以DM=ME.
(3)△MDE是等腰直角三角形.
图4 图5
考点伸展
第(2)题和第(3)题证明△DFM≌△MGE的思路是相同的,不同的是证明∠DFM=∠MGE的过程有一些不同.
如图4,如图5,∠BFM=∠BAC=∠MGC.
如图4,∠DFM=90°+∠BFM,∠MGE=90°+∠MGC,所以∠DFM=∠MGE.
如图5,∠DFM=90°-∠BFM,∠MGE=90°-∠MGC,所以∠DFM=∠MGE.
第四部分 图形的平移翻折与旋转
4.1图形的平移
例1 2014年江西省中考第11题
如图,在△ABC中,AB=4,BC=6,∠B=60°,将△ABC沿射线BC方向平移2个单位后,得到△A′B′C′,联结A′C,则△A′B′C的周长为_______.
动感体验
请打开几何画板文件名“14江西11”,拖动点B′运动,可以体验到,△A′B′C′向右移动2个单位后,△A′B′C是等边三角形.
答案 12.
4.2图形的翻折
例1 2014年上海市中考第18题
如图,已知在矩形ABCD中,点E在边BC上,BE=2CE,将矩形沿着过点E的直线翻折后,点C、D分别落在边BC下方的点C′、D′处,且点C′、D′、B在同一条直线上,折痕与边AD交于点F,D′F与BE交于点G.设AB=t,那么△EFG的周长为______________(用含t的代数式表示).
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14福州10”,拖动点F在AD上运动,可以体验到,当点C′、D′、B在同一条直线上时,直角三角形BCE的斜边BE等于直角边C′E的2倍,△BCE是30°角的直角三角形,此时△EFG是等边三角形(如图2).
答案 .思路如下:如图2,等边三角形EFG的高=AB=t,计算得边长为.
图2
例2 2014年无锡市中考第18题
如图1,菱形ABCD中,∠A=60°,AB=3,⊙A、⊙B的半径分别为2和1,P、E、F分别是边CD、⊙B和⊙A上的动点,则PE+PF的最小值是______.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14无锡18”,拖动点P在CD边上运动,点B′与点B关于直线CD对称,可以体验到,当点P与点D重合时,PA+PB′取得最小值,此时PE+PF也取得最小值.
答案 3.思路如下:如图3,点B′与点B关于直线CD对称,正好A、D、B′三点共线,AB′=6.如图2,PA+PB′总是大于AB′的.
所以当点P与点D重合时,PA+PB′的最小值为6.
此时PE+PF的最小值为6-3=3.
图2 图3
4.3图形的旋转
例1 2014年上海市黄浦区中考模拟第18题
如图1,在△ABC中,AB=AC=5,BC=4,D为边AC上一点,且AD=3,如果△ABD绕点A逆时针旋转,使点B与点C重合,点D旋转至D',那么线段DD'的长为 .
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14黄浦18”,拖动点B'绕点A逆时针旋转,可以体验到,两个等腰三角形ABB'与等腰三角形ADD'保持相似(如图2).
答案 .思路如下:如图3,由△ABC∽△ADD',可得.5∶4=3∶DD'.
图2 图3
例2 2014年上海市长宁区中考模拟第17题
如图1,点D是等腰△ABC的底边AB上的点,若AC=BC且∠ACB=100°,将△ACD绕点C逆时针旋转,使它与△BCD′重合,则∠D′BA= 度.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14长宁17”,拖动点A′绕点C逆时针旋转,可以体验到,
△CA′D′与△CAD保持全等.当A′与B重合后,再拖动点D,发现D的位置对∠D′BA的大小没有影响(如图2,图3).
答案 80°.
图2 图3
4.4三角形
例1 2014年泰州市中考第16题
如图1,正方形ABCD的边长为3cm,E为CD边上一点,∠DAE=30°,M为AE的中点,过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q.若PQ=AE,则AP的长等于__________cm.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14泰州16”,拖动点P在AD上运动,观察度量值,可以体验到,存在两个时刻PQ=AE.
答案 1或2.思路如下:如图2,当PQ=AE时,可证PQ与AE互相垂直.
在Rt△ADE中,由∠DAE=30°,AD=3,可得AE=.
在Rt△APM中,由∠PAM=30°,AM=,可得AP=2.
在图3中,∠ADF=30°,当PQ=DF时,DP=2,所以AP=1.
图2 图3
4.5四边形
例1 2014年广州市中考第8题
将四根长度相等的细木条首尾相接,用钉子钉成四边形ABCD,转动这个四边形,使它形状改变.当∠B=90°时,如图1,测得AC=2.当∠B=60°时,如图2,AC等于( ).
(A); (B)2; (C) ; (D) 2.
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“14广州08”,拖动点A绕着点B旋转,可以体验到,当∠B=90°时,△ABC是等腰直角三角形;当∠B=60°时,△ABC是等边三角形(如图3).
答案 (A).思路如下:
4.6圆
例1 2014年温州市中考第16题
如图1,在矩形ABCD中,AD=8,E是AB边上一点,且AE=AB,⊙O经过点E,与边CD所在直线相切于点G(∠GEB为锐角),与边AB所在直线相交于另一点F,且EG∶EF=∶2.当边AD或BC所在的直线与⊙O相切时,AB的长是________.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14温州16”,拖动点B运动,可以体验到,⊙O的大小是确定的,⊙O既可以与BC相切(如图3),也可以与AD相切(如图4).
答案 12或4.思路如下:
如图2,在Rt△GEH中,由GH=8,EG∶EF=∶2,可以得到EH=4.
在Rt△OEH中,设⊙O的半径为r,由勾股定理,得r2=42+(8-r)2.解得r=5.
设AE=x,那么AB=4x.
如图3,当⊙O与BC相切时,HB=r=5.
由AB=AE+EH+HB,得4x=x+4+5.解得x=3.此时AB=12.
如图4,当⊙O与AD相切时,HA=r=5.
由AE=AH-EH,得x=5-4=1.此时AB=4.
图2 图3 图4
例2 2014年徐州市中考第17题
如图1,以O为圆心的两个同心圆中,大圆和小圆的半径分别为3和1,若⊙P与这两个圆都相切,则⊙P的半径为_______.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14徐州17”,拖动圆心P运动,可以体验到,⊙P与大圆内切的同时,既可以与小圆外切(如图2),也可以与小圆内切(如图3).
答案 1或2.
图2 图3
4.7函数图像的性质
例1 2014年苏州市中考第18题
如图1,直线l与半径为4的⊙O相切于点A,P是⊙O上一个动点(不与点A重合),过点P作PB⊥l,垂足为B,联结PA.设PA=x,PB=y,则(x-y)的最大值是_____.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“14苏州18”,拖动点P在圆上运动一周,可以体验到,AF的长可以表示x-y,点F的轨迹象两叶新树丫,当AF最大时,OF与AF垂直(如图2).
答案 2.思路如下:如图3,AC为⊙O的直径,联结PC.
由△ACP∽△PAB,得,即.所以.
因此.
所以当x=4时,x-y最大,最大值为2.
图2 图3
例2 2014年烟台市中考第12题
如图1,点P是平行四边形ABCD边上一动点,沿A→D→C→B的路径移动,设点P经过的路径长为x,△BAP的面积为y,则下列能大致反映y与x的函数关系的图像是( ).
图1
(A) (B) (C) (D)
动感体验
请打开几何画板文件名“14烟台12”,拖动横轴上表示实数x的点运动,可以体验到,y随x变化的函数图像是(A).
答案 (A).思路如下:事实上,当P在AD或BC边上时(如图2,图4),△ABP都是等高三角形,y是x的一次函数;当P在CD上时,△ABP是同底等高的三角形,面积不变(如图3).
图2 图3 图4