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- 2021-05-10 发布
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2015年湖北省武汉市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)下列各题中均有四个备选答案,其中有且只有一个是正确的,请在答题卡上将正确答案的代号涂黑.
1.(3分)(2015•武汉)在实数﹣3,0,5,3中,最小的实数是( )
A. ﹣3 B. 0 C. 5 D. 3
考点: 实数大小比较.
分析: 正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大的反而小,据此判断即可.
解答: 解:根据实数比较大小的方法,可得
﹣3<0<3<5,
所以在实数﹣3,0,5,3中,最小的实数是﹣3.
故选:A.
点评: 此题主要考查了实数大小比较的方法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:正实数>0>负实数,两个负实数绝对值大的反而小.
2.(3分)(2015•武汉)若代数式在实数范围内有意义,则x的取值范围是( )
A.
x≥﹣2
B.
x>﹣2
C.
x≥2
D.
x≤2
考点: 二次根式有意义的条件.
分析: 根据二次根式的性质,被开方数大于等于0,就可以求解.
解答: 解:根据题意得:x﹣2≥0,
解得x≥2.
故选:C.
点评: 本题考查了二次根式有意义的条件,知识点为:二次根式的被开方数是非负数.
3.(3分)(2015•武汉)把a2﹣2a分解因式,正确的是( )
A.
a(a﹣2)
B.
a(a+2)
C.
a(a2﹣2)
D.
a(2﹣a)
考点: 因式分解-提公因式法.
专题: 计算题.
分析: 原式提取公因式得到结果,即可做出判断.
解答: 解:原式=a(a﹣2),
故选A.
点评: 此题考查了因式分解﹣提公因式法,熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键.
4.(3分)(2015•武汉)一组数据3,8,12,17,40的中位数为( )
A. 3 B. 8 C. 12 D. 17
考 点: 中位数.
分析: 首先把这组数据3,8,12,17,40从小到大排列,然后判断出中间的数是多少,即可判断出这组数据的中位数为多少.
解答: 解:把3,8,12,17,40从小到大排列,可得
3,8,12,17,40,
所以这组数据3,8,12,17,40的中位数为12.
故选:C.
点评: 此题主要考查了中位数的含义和求法的应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.
5.(3分)(2015•武汉)下列计算正确的是( )
A.
2a2﹣4a2=﹣2
B.
3a+a=3a2
C.
3a•a=3a2
D.
4a6÷2a3=2a2
解:A、原式=﹣2a2,错误;
B、原式=4a,错误;
C、原式=3a2,正确;
D、原式=2a3,错误.
故选C.
6.(3分)(2015•武汉)如图,在直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以原点O位似中心,相似比为,在第一象限内把线段AB缩小后得到线段CD,则点C的坐标为( )
A.
(2,1)
B.
(2,0)
C.
(3,3)
D.
(3,1)
解:由题意得,△ODC∽△OBA,相似比是,
∴=,又OB=6,AB=3,
∴OD=2,CD=1,
∴点C的坐标为:(2,1),
故选:A.
7.(3分)(2015•武汉)如图,是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体.其主视图是( )
A.
B.
C.
D.
解:从正面看下面是一个比较长的矩形,上面是一个比较宽的矩形.
故选:B.
8.(3分)(2015•武汉)下面的折线图描述了某地某日的气温变化情况.根据图中信息,下列说法错误的是( )
A.
4:00气温最低
B.
6:00气温为24℃
C.
14:00气温最高
D.
气温是30℃的时刻为16:00
解:A、由横坐标看出4:00气温最低是24℃,故A正确;
B、由纵坐标看出6:00气温为24℃,故B正确;
C、由横坐标看出14:00气温最高31℃;
D、由横坐标看出气温是30℃的时刻是12:00,16:00,故D错误;
故选:D.
9.(3分)(2015•武汉)在反比例函数y=图象上有两点A(x1,y1),B (x2,y2),x1<0<x2,y1<y2,则m的取值范围是( )
A.
m>
B.
m<
C.
m≥
D.
m≤
解:∵x1<0<x2时,y1<y2,
∴反比例函数图象在第一,三象限,
∴1﹣3m>0,
解得:m<.
故选B.
10.(3分)(2015•武汉)如图,△ABC,△EFG均是边长为2的等边三角形,点D是边BC、EF的中点,直线AG、FC相交于点M.当△EFG绕点D旋转时,线段BM长的最小值是( )
A.
2﹣
B.
+1
C.
D.
﹣1
解:连接AD、DG、BO、OM,如图.
∵△ABC,△EFG均是边长为2的等边三角形,点D是边BC、EF的中点,
∴AD⊥BC,GD⊥EF,DA=DG,DC=DF,
∴∠ADG=90°﹣∠CDG=∠FDC,=,
∴△DAG∽△DCF,
∴∠DAG=∠DCF.
∴A、D、C、M四点共圆.
根据两点之间线段最短可得:BO≤BM+OM,即BM≥BO﹣OM,
当M在线段BO与该圆的交点处时,线段BM最小,
此时,BO===,OM=AC=1,
则BM=BO﹣OM=﹣1.
故选D.
二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)请将答案填在答题卡对应题号的位置上.
11.(3分)(2015•武汉)计算:﹣10+(+6)= ﹣4 .
考点: 有理数的加法.
专题: 计算题.
分析: 原式利用异号两数相加的法则计算即可得到结果.
解答: 解:原式=﹣(10﹣6)=﹣4.
故答案为:﹣4.
点评: 此题考查了有理数的加法,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
12.(3分)(2015•武汉)中国的领水面积约为370 000km2,将数370 000用科学记数法表示为 3.7×105 .
解:370 000=3.7×105,
故答案为:3.7×105.
13.(3分)(2015•武汉)一组数据2,3,6,8,11的平均数是 6 .
解:(2+3+6+8+11)÷5
=30÷5
=6
所以一组数据2,3,6,8,11的平均数是6.
故答案为:6.
14.(3分)(2015•武汉)如图所示,购买一种苹果,所付款金额y(元)与购买量x(千克)之间的函数图象由线段OA和射线AB组成,则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省 2 元.
解:由线段OA的图象可知,当0<x<2时,y=10x,
1千克苹果的价钱为:y=10,
设射线AB的解析式为y=kx+b(x≥2),
把(2,20),(4,36)代入得:,
解得:,
∴y=8x+4,
当x=3时,y=8×3+4=28.
当购买3千克这种苹果分三次分别购买1千克时,所花钱为:10×3=30(元),
30﹣28=2(元).
则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省2元.
15.(3分)(2015•武汉)定义运算“*”,规定x*y=ax2+by,其中a、b为常数,且1*2=5,2*1=6,则2*3= 10 .
解:根据题中的新定义化简已知等式得:,
解得:a=1,b=2,
则2*3=4a+3b=4+6=10,
故答案为:10.
16.(3分)(2015•武汉)如图,∠AOB=30°,点M、N分别在边OA、OB上,且OM=1,ON=3,点P、Q分别在边OB、OA上,则MP+PQ+QN的最小值是 .
解:作M关于OB的对称点M′,作N关于OA的对称点N′,
连接M′N′,即为MP+PQ+QN的最小值.
根据轴对称的定义可知:∠N′OQ=∠M′OB=30°,∠ONN′=60°,
∴△ONN′为等边三角形,△OMM′为等边三角形,
∴∠N′OM′=90°,
∴在Rt△M′ON′中,
M′N′==.
故答案为.
三、解答题(共8小题,共72分)下列各题解答应写出文字说明,证明过程或演算过程.
17.(8分)(2015•武汉)已知一次函数y=kx+3的图象经过点(1,4).
(1)求这个一次函数的解析式;
(2)求关于x的不等式kx+3≤6的解集.
解:(1)∵一次函数y=kx+3的图象经过点(1,4),
∴4=k+3,
∴k=1,
∴这个一次函数的解析式是:y=x+3.
(2)∵k=1,
∴x+3≤6,
∴x≤3,
即关于x的不等式kx+3≤6的解集是:x≤3.
18.(8分)(2015•武汉)如图,点B、C、E、F在同一直线上,BC=EF,AC⊥BC于点C,DF⊥EF于点F,AC=DF.求证:
(1)△ABC≌△DEF;
(2)AB∥DE.
证明:(1)∵AC⊥BC于点C,DF⊥EF于点F,
∴∠ACB=∠DFE=90°,
在△ABC和△DEF中,,
∴△ABC≌△DEF(SAS);
(2)∵△ABC≌△DEF,
∴∠B=∠DEF,
∴AB∥DE.
19.(8分)(2015•武汉)一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球,它们分别标号为1,2,3,4.
(1)随机摸取一个小球,直接写出“摸出的小球标号是3”的概率;
(2)随机摸取一个小球然后放回,再随机摸出一个小球,直接写出下列结果:
①两次取出的小球一个标号是1,另一个标号是2的概率;
②第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的概率.
解:(1)∵一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球,它们分别标号为1,2,3,4,
∴随机摸取一个小球,直接写出“摸出的小球标号是3”的概率为:;
(2)画树状图得:
则共有16种等可能的结果;
①∵两次取出的小球一个标号是1,另一个标号是2的有2种情况,
∴两次取出的小球一个标号是1,另一个标号是2的概率为:=;
②∵第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的只有1种情况,
∴第一次取出标号是1的小球且第二次取出标号是2的小球的概率为:.
20.(8分)(2015•武汉)如图,已知点A(﹣4,2),B(﹣1,﹣2),平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O.
(1)请直接写出点C、D的坐标;
(2)写出从线段AB到线段CD的变换过程;
(3)直接写出平行四边形ABCD的面积.
解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴四边形ABCD关于O中心对称,
∵A(﹣4,2),B(﹣1,﹣2),
∴C(4,﹣2),D(1,2);
(2)线段AB到线段CD的变换过程是:线段AB向右平移5个单位得到线段CD;
(3)由(1)得:A到y轴距离为:4,D到y轴距离为:1,
A到x轴距离为:2,B到x轴距离为:2,
∴SABCD的可以转化为边长为;5和4的矩形面积,
∴SABCD=5×4=20.
21.(8分)(2015•武汉)如图,AB是⊙O的直径,∠ABT=45°,AT=AB.
(1)求证:AT是⊙O的切线;
(2)连接OT交⊙O于点C,连接AC,求tan∠TAC.
解:(1)∵∠ABT=45°,AT=AB.
∴∠TAB=90°,
∴TA⊥AB,
∴AT是⊙O的切线;
(2)作CD⊥AT于D,
∵TA⊥AB,TA=AB=2OA,
设OA=x,则AT=2x,
∴OT=x,
∴TC=(﹣1)x,
∵CD⊥AT,TA⊥AB
∴CD∥AB,
∴==,即==,
∴CD=(1﹣)x,TD=2(1﹣)x,
∴AD=2x﹣2(1﹣)x=x,
∴tan∠TAC===﹣1.
22.(10分)(2015•武汉)已知锐角△ABC中,边BC长为12,高AD长为8.
(1)如图,矩形EFGH的边GH在BC边上,其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上,EF交AD于点K.
①求的值;
②设EH=x,矩形EFGH的面积为S,求S与x的函数关系式,并求S的最大值;
(2)若AB=AC,正方形PQMN的两个顶点在△ABC一边上,另两个顶点分别在△ABC的另两边上,直接写出正方形PQMN的边长.
解:(1)①∵EF∥BC,
∴,
∴=,
即的值是.
②∵EH=x,
∴KD=EH=x,AK=8﹣x,
∵=,
∴EF=,
∴S=EH•EF=x(8﹣x)=﹣+24,
∴当x=4时,S的最大值是24.
(2)设正方形的边长为a,
①当正方形PQMN的两个顶点在BC边上时,
,
解得a=.
②当正方形PQMN的两个顶点在AB或AC边上时,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=CD=12÷2=6,
∴AB=AC=,
∴AB或AC边上的高等于:
AD•BC÷AB
=8×12÷10
=
∴,
解得a=.
综上,可得
正方形PQMN的边长是或.
23.(10分)(2015•武汉)如图,△ABC中,点E、P在边AB上,且AE=BP,过点E、P作BC的平行线,分别交AC于点F、Q,记△AEF的面积为S1,四边形EFQP的面积为S2,四边形PQCB的面积为S3.
(1)求证:EF+PQ=BC;
(2)若S1+S3=S2,求的值;
(3)若S3+S1=S2,直接写出的值.
(1)证明:∵EF∥BC,PQ∥BC,
∴,,
∵AE=BP,
∴AP=BE,
∴==1,
∴=1,
∴EF+PQ=BC;
(2)解:过点A作AH⊥BC于H,分别交PQ于M、N,如图所示:
设EF=a,PQ=b,AM=h,
则BC=a+b,
∵EF∥PQ,
∴△AEF∽△APQ,
∴=,
∴AN=,MN=(﹣1)h,
∴S1=ah,S2=(a+b)(﹣1)h,S3=(b+a+b)h,
∵S1+S3=S2,
∴ah+(a+b+b)h=(a+b)(﹣1)h,
解得:b=3a,
∴=3,
∴=2;
(3)解:∵S3﹣S1=S2,
∴(a+b+b)h﹣ah=(a+b)(﹣1)h,
解得:b=(1±)a(负值舍去),
∴b=(1+)a,
∴=1+,
∴=.
24.(12分)(2015•武汉)已知抛物线y=x2+c与x轴交于A(﹣1,0),B两点,交y轴于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点E(m,n)是第二象限内一点,过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F,过点F作FG⊥y轴于点G,连接CE、CF,若∠CEF=∠CFG.求n的值并直接写出m的取值范围(利用图1完成你的探究).
(3)如图2,点P是线段OB上一动点(不包括点O、B),PM⊥x轴交抛物线于点M,∠OBQ=∠OMP,BQ交直线PM于点Q,设点P的横坐标为t,求△PBQ的周长.
解:(1)把A(﹣1,0)代入
得c=﹣,
∴抛物线解析式为
(2)如图1,过点C作CH⊥EF于点H,
∵∠CEF=∠CFG,FG⊥y轴于点G
∴△EHC∽△FGC
∵E(m,n)
∴F(m,)
又∵C(0,)
∴EH=n+,CH=﹣m,FG=﹣m,CG=m2
又∵,
则
∴n+=2
∴n=(﹣2<m<0)
(3)由题意可知P(t,0),M(t,)
∵PM⊥x轴交抛物线于点M,∠OBQ=∠OMP,
∴△OPM∽△QPB.
∴.
其中OP=t,PM=,PB=1﹣t,
∴PQ=.
BQ=
∴PQ+BQ+PB=.
∴△PBQ的周长为2.