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- 2021-05-10 发布
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最短距离问题分析
洪湖市峰口镇二中 刘万兵
最值问题是初中数学的重要内容,也是一类综合性较强的问题,它贯穿初中数学的始终,是中考的热点问题,它主要考察学生对平时所学的内容综合运用,无论是代数问题还是几何问题都有最值问题,在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论(如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等)。利用一次函数和二次函数的性质求最值。
一、“最值”问题大都归于两类基本模型:
Ⅰ、归于函数模型:即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性,确定某范围内函数的最大或最小值
Ⅱ、归于几何模型,这类模型又分为两种情况:
(1)归于“两点之间的连线中,线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时,大都应用这一模型。
(2)归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时,大都应用这一模型。
A
B
′
P
l
几何模型:
条件:如图,、是直线同旁的两个定点.
问题:在直线上确定一点,使的值最小.
方法:作点关于直线的对称点,连结交于点,
则的值最小(不必证明).
A
B
E
C
B
D
图1
模型应用:
(1)如图1,正方形的边长为2,为的中点,
是上一动点.连结,由正方形对称性可知,
与关于直线对称.连结交于,则
的最小值是___________;
O
A
B
C
图2
P
(2)如图2,的半径为2,点在上,
,,是上一动点,
求的最小值;
解:(1)的最小值是
(2)的最小值是
【典型例题分析】
A
D
E
P
B
C
1.如图所示,正方形的面积为12,是等边三角形,点在正方形内,在对角线上有一点,使的和最小,则这个最小值为( )
A. B. C.3 D.
B
O
A
·
x
y
2.如图,抛物线的顶点为A,与y 轴交于点B.
(1)求点A、点B的坐标;
(2)若点P是x轴上任意一点,求证:PA-PB≤AB;
(3)当PA-PB最大时,求点P的坐标.
解:(1)令x=0,得y=2,∴ B(0,2)
∵
∴ A(-2,3)
(2)证明:ⅰ.当点P是AB的延长线与x轴交点时,PA-PB=AB;
ⅱ.当点P在x轴上又异于AB的延长线与x轴的交点时,
B
O
A
·
x
y
P
H
在点P、A、B构成的三角形中,PA-PB<AB.
∴ 综合上述:PA-PB≤AB.
(3)作直线AB交x轴于点P
由(2)可知:当PA-PB最大时,点P是所求的点
作AH⊥OP于H ∵ BO⊥OP
∴ ∠BOP=∠AHP,且∠BPO=∠APH
∴ △BOP∽△AHP ∴
由(1)可知:AH=3、OH=2、OB=2 即 ∴ OP=4,∴ P(4,0)
标为. 的周长即是. 第4题
.
4.一次函数的图象与x、y轴分别交于点A(2,0),B(0,4).
(1)求该函数的解析式;
(2)O为坐标原点,设OA、AB的中点分别为C、D,P为OB上一动点,
求PC+PD的最小值,并求取得最小值时P点坐标.
解:(1)将点A、B的坐标代入y=kx+b并计算得k=-2,b=4.
∴解析式为:y=-2x+4;
(2)设点C关于点O的对称点为C′,连结PC′、DC′,则PC=PC′.
∴PC+PD=PC′+PD≥C′D,即C′、P、D共线时,PC+PD的最小值是C′D.
连结CD,在Rt△DCC′中,C′D==2;易得点P的坐标为(0,1).
(亦可作Rt△AOB关于y轴对称的△)
5.已知:抛物线的对称轴为与轴交于两点,与轴交于点其中、(1)求这条抛物线的函数表达式.
(2)已知在对称轴上存在一点P,使得的周长最小.请求出点P的坐标.
A
C
x
y
B
O
5题图
A
C
x
y
B
O
解:(1)此抛物线的解析式为
(2)连结、.因为的长度一定,所以周长最小,就是使最小.点关于对称轴的对称点是点,与对称轴的交点即为所求的点.
(第24题图)
O
A
C
x
y
B
E
P
D
设直线的表达式为
则解得∴此直线的表达式为
把代入得∴点的坐标为
6.如图,抛物线的顶点P的坐标为,交x轴于A、B两点,交y轴于点.
D
O
x
y
B
E
P
A
C
(1)求抛物线的表达式.
(2)把△ABC绕AB的中点E旋转180°,得到四边形ADBC.
判断四边形ADBC的形状,并说明理由.
(3)试问在线段AC上是否存在一点F,使得△FBD的周长最小,
若存在,请写出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)由题意知
D
O
x
y
B
E
P
C
P
解得, ∴抛物线的解析式为
(2)设点A(,0),B(,0),则,
解得 ∴∣OA∣=1,∣OB∣=3.又∵tan∠OCB=
∴∠OCB=60°,同理可求∠OCA=30°.∴∠ACB=90° 由旋转性质可知AC=BD,BC=AD
∴四边形ADBC是平行四边形 又∵∠ACB=90°.∴四边形ADBC是矩形
(3)延长BC至N,使.假设存在一点F,使△FBD的周长最小.即最小.
∵DB固定长.∴只要FD+FB最小.又∵CA⊥BN ∴FD+FB=FD+FN.
∴当N、F、D在一条直线上时,FD+FB最小 . 又∵C为BN的中点, ∴(即F为AC的中点). 又∵A(-1,0),C(0,-) ∴ 点F的坐标为F(,)
∴ 存在这样的点F(,),使得△FBD的周长最小.
A
F
E
M
7.如图(1),抛物线和轴的交点为为的中点,若有一动点,自点处出发,沿直线运动到轴上的某点(设为点),再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点(设为点),最后又沿直线运动到点,求使点运动的总路程最短的点,点的坐标,并求出这个最短路程的长。
解:如图(1`),由题意可得(0,3),,抛物线的对称点
为,点关于轴的对称点为,点关于抛物线
对称轴的对称点为(6,3)。连结。
根据轴对称性及两点间线段最短可知,的长就是所求点运动中
最短总路程的长,在直线的方程为(过程略)。
A
F
E
M
B
3
3
设与的交点为则为在轴上所求的点,与直线
的交点为所求的F点。
可得点的坐标为(2,0),F点的坐标为)。
由勾股定理可求出(过程略)
所以点运动的总路程()最短时间为。
不管在什么背景下,有关线段之和最短问题,总是化归到“两点之间的所有连线中,线段最短”,而转化的方法大都是借助于“轴对称点”