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  • 2021-05-10 发布

中考数学专题最短距离问题

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最短距离问题分析 ‎ ‎ 洪湖市峰口镇二中 刘万兵 最值问题是初中数学的重要内容,也是一类综合性较强的问题,它贯穿初中数学的始终,是中考的热点问题,它主要考察学生对平时所学的内容综合运用,无论是代数问题还是几何问题都有最值问题,在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论(如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等)。利用一次函数和二次函数的性质求最值。‎ 一、“最值”问题大都归于两类基本模型:‎ Ⅰ、归于函数模型:即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性,确定某范围内函数的最大或最小值 Ⅱ、归于几何模型,这类模型又分为两种情况:‎ ‎(1)归于“两点之间的连线中,线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时,大都应用这一模型。‎ ‎(2)归于“三角形两边之差小于第三边”凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时,大都应用这一模型。 ‎ A B ‎′‎ P l 几何模型:‎ 条件:如图,、是直线同旁的两个定点.‎ 问题:在直线上确定一点,使的值最小.‎ 方法:作点关于直线的对称点,连结交于点,‎ 则的值最小(不必证明).‎ A B E C B D 图1‎ 模型应用:‎ ‎(1)如图1,正方形的边长为2,为的中点,‎ 是上一动点.连结,由正方形对称性可知,‎ 与关于直线对称.连结交于,则 的最小值是___________;‎ O A B C 图2‎ P ‎(2)如图2,的半径为2,点在上,‎ ‎,,是上一动点,‎ 求的最小值;‎ 解:(1)的最小值是 ‎ (2)的最小值是 ‎【典型例题分析】‎ A D E P B C ‎1.如图所示,正方形的面积为12,是等边三角形,点在正方形内,在对角线上有一点,使的和最小,则这个最小值为( ) ‎ A. B. C.3 D.‎ B O A ‎·‎ x y ‎2.如图,抛物线的顶点为A,与y 轴交于点B.‎ ‎(1)求点A、点B的坐标;‎ ‎(2)若点P是x轴上任意一点,求证:PA-PB≤AB;‎ ‎(3)当PA-PB最大时,求点P的坐标.‎ 解:(1)令x=0,得y=2,∴ B(0,2)‎ ‎∵ ‎ ‎∴ A(-2,3)‎ ‎(2)证明:ⅰ.当点P是AB的延长线与x轴交点时,PA-PB=AB;‎ ⅱ.当点P在x轴上又异于AB的延长线与x轴的交点时,‎ B O A ‎·‎ x y P H 在点P、A、B构成的三角形中,PA-PB<AB.‎ ‎∴ 综合上述:PA-PB≤AB.‎ ‎(3)作直线AB交x轴于点P 由(2)可知:当PA-PB最大时,点P是所求的点 作AH⊥OP于H ∵ BO⊥OP ‎∴ ∠BOP=∠AHP,且∠BPO=∠APH ‎∴ △BOP∽△AHP ∴ ‎ 由(1)可知:AH=3、OH=2、OB=2 即 ∴ OP=4,∴ P(4,0)‎ 标为. 的周长即是.‎ 第4题 .‎ ‎4.一次函数的图象与x、y轴分别交于点A(2,0),B(0,4).‎ ‎(1)求该函数的解析式;‎ ‎(2)O为坐标原点,设OA、AB的中点分别为C、D,P为OB上一动点,‎ 求PC+PD的最小值,并求取得最小值时P点坐标.‎ 解:(1)将点A、B的坐标代入y=kx+b并计算得k=-2,b=4.‎ ‎∴解析式为:y=-2x+4;‎ ‎(2)设点C关于点O的对称点为C′,连结PC′、DC′,则PC=PC′.‎ ‎∴PC+PD=PC′+PD≥C′D,即C′、P、D共线时,PC+PD的最小值是C′D.‎ 连结CD,在Rt△DCC′中,C′D==2;易得点P的坐标为(0,1).‎ ‎(亦可作Rt△AOB关于y轴对称的△)‎ ‎5.已知:抛物线的对称轴为与轴交于两点,与轴交于点其中、(1)求这条抛物线的函数表达式.‎ ‎(2)已知在对称轴上存在一点P,使得的周长最小.请求出点P的坐标.‎ A C x y B O ‎5题图 A C x y B O 解:(1)此抛物线的解析式为 ‎(2)连结、.因为的长度一定,所以周长最小,就是使最小.点关于对称轴的对称点是点,与对称轴的交点即为所求的点.‎ ‎(第24题图)‎ O A C x y B E P D 设直线的表达式为 则解得∴此直线的表达式为 把代入得∴点的坐标为 ‎6.如图,抛物线的顶点P的坐标为,交x轴于A、B两点,交y轴于点.‎ D O x y B E P A C ‎(1)求抛物线的表达式.‎ ‎(2)把△ABC绕AB的中点E旋转180°,得到四边形ADBC.‎ 判断四边形ADBC的形状,并说明理由.‎ ‎(3)试问在线段AC上是否存在一点F,使得△FBD的周长最小,‎ 若存在,请写出点F的坐标;若不存在,请说明理由.‎ 解:(1)由题意知 D O x y B E P C P 解得, ∴抛物线的解析式为 ‎ ‎(2)设点A(,0),B(,0),则,‎ 解得 ∴∣OA∣=1,∣OB∣=3.又∵tan∠OCB=‎ ‎∴∠OCB=60°,同理可求∠OCA=30°.∴∠ACB=90° 由旋转性质可知AC=BD,BC=AD ‎ ‎∴四边形ADBC是平行四边形 又∵∠ACB=90°.∴四边形ADBC是矩形 ‎ ‎(3)延长BC至N,使.假设存在一点F,使△FBD的周长最小.即最小.‎ ‎∵DB固定长.∴只要FD+FB最小.又∵CA⊥BN ∴FD+FB=FD+FN.‎ ‎∴当N、F、D在一条直线上时,FD+FB最小 . 又∵C为BN的中点, ∴(即F为AC的中点). 又∵A(-1,0),C(0,-) ∴ 点F的坐标为F(,)‎ ‎∴ 存在这样的点F(,),使得△FBD的周长最小. ‎ A F E M ‎7.如图(1),抛物线和轴的交点为为的中点,若有一动点,自点处出发,沿直线运动到轴上的某点(设为点),再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点(设为点),最后又沿直线运动到点,求使点运动的总路程最短的点,点的坐标,并求出这个最短路程的长。‎ 解:如图(1`),由题意可得(0,3),,抛物线的对称点 为,点关于轴的对称点为,点关于抛物线 对称轴的对称点为(6,3)。连结。‎ ‎ ‎ 根据轴对称性及两点间线段最短可知,的长就是所求点运动中 最短总路程的长,在直线的方程为(过程略)。‎ A F E M B ‎3‎ ‎3‎ 设与的交点为则为在轴上所求的点,与直线 的交点为所求的F点。‎ 可得点的坐标为(2,0),F点的坐标为)。‎ 由勾股定理可求出(过程略)‎ 所以点运动的总路程()最短时间为。‎ 不管在什么背景下,有关线段之和最短问题,总是化归到“两点之间的所有连线中,线段最短”,而转化的方法大都是借助于“轴对称点”‎