中考数学试卷解析分类汇编专题33弧长与扇形面积 27页

弧长与扇形面积 ‎ ‎ 一. 选择题 ‎ ‎1, （2015•山东莱芜,第8题3分）已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为( ) ‎ A．2.5 B．‎5 ‎C．10 D．15‎ ‎【答案】C ‎ 考点：圆锥的侧面展开图 ‎ ‎ ‎ ‎2, （2015威海,第8题4分） ‎ ‎ ‎ ‎【答案】：A ‎ ‎【解析】根据侧面展开图的弧长等于底面的圆周长，，得到半径再计算圆锥的高． ‎ ‎【备考指导】本题考查了圆锥的侧面展开图性质，牢记侧面展开图的弧长等于底面的圆周长． ‎ ‎ ‎ ‎3.（2015湖南邵阳第10题3分）如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（　　） ‎ ‎ ‎ ‎　 A． 2015π B． 3019.5π C． 3018π D． 3024π ‎ ‎ 考点： 旋转的性质；弧长的计算．.‎ 专题： 规律型．‎ 分析： 首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可．‎ 解答： 解：转动一次A的路线长是：，‎ 转动第二次的路线长是：，‎ 转动第三次的路线长是：，‎ 转动第四次的路线长是：0，‎ 转动五次A的路线长是：，‎ 以此类推，每四次循环，‎ 故顶点A转动四次经过的路线长为：+2π=6π，‎ ‎2015÷4=503余3‎ 顶点A转动四次经过的路线长为：6π×504=3024π．‎ 故选：D．‎ 点评： 本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用，发现规律是解决问题的关键．‎ ‎4、（2015•四川自贡,第9题4分）如图，是⊙O的直径，弦,则 ‎ 阴影部分的面积为 （ ） ‎ A. B. C. D. ‎ 考点：圆的基本性质、垂径定理，勾股定理、扇形的面积公式、轴对称的性质等. ‎ 分析：本题抓住圆的相关性质切入把阴影部分的面积转化到一个扇形中来求.根据圆是轴对称图形和垂径定理，利用题中条件可知是弦的中点,是弧的中点；此时解法有三： ‎ 解法一，在弓形CBD中，被EB分开的上面空白部分和下面的阴影部分的面积是相等的，所以阴影部分的面积之和转化到扇形COB来求；解法二，连接OD,易证△≌△，所以阴影部分的面积之和转化到扇形BOD来求；解法三，阴影部分的面积之和是扇形COD的面积的一半. ‎ ‎ ‎ 略解： ‎ ‎∵是⊙O的直径， ‎ ‎∴是弦的中点,是弧的中点（垂径定理） ‎ ‎∴在弓形CBD中，被EB分开的上下两部分的面积是相等的(轴对称的性质) ‎ ‎∴阴影部分的面积之和等于扇形COB的面积. ‎ ‎∵是弦的中点，∴ ∵ ∴ ‎ ‎∴ , . 在Rt△中，根据勾股定理可知： ‎ 即. ‎ 解得:;扇形COB = .即 阴影部分的面积之和为.故选D. ‎ ‎ ‎ ‎6. （2015•四川省宜宾市，第7题，3分）如图，以点O为圆心的20个同心圆，它们的半径从小到大依次是1、2、3、4、……、20，阴影部分是由第l个圆和第2个圆，第3个圆和第4个圆，……，第l9个圆和第20个圆形成的所有圆环，则阴影部分的面积为（ B ） ‎ ‎ ‎ A.231π 　　　 B.210π 　　　 C.190π 　　　 D.171π ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎7. （2015•浙江湖州，第4题3分）若一个圆锥的侧面展开图是半径为‎18cm，圆心角为240°的扇形，则这个圆锥的底面半径长是( ) ‎ A. ‎6cm B. ‎9cm 　　　C. ‎12cm D. ‎18cm ‎ ‎【答案】C. ‎ ‎ 考点：弧长公式；圆锥底面圆的周长等于侧面展开扇形的弧长. ‎ ‎ ‎ ‎8. （2015•浙江宁波，第9题4分）如图，用一个半径为‎30cm，面积为cm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径为【 】 ‎ ‎ ‎ A. ‎5cm B. ‎10cm C. ‎20cm D. cm ‎ ‎【答案】B. ‎ ‎【考点】圆锥的计算． ‎ ‎【分析】∵扇形的半径为‎30cm，面积为cm2，∴扇形的圆心角为 ‎. ‎ ‎∴扇形的弧长为. ‎ ‎∵圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长， ‎ ‎∴根据圆的周长公式，得，解得． ‎ ‎∴圆锥的底面半径为． ‎ 故选B. ‎ ‎9. （2015•浙江省绍兴市，第8题，4分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B=135°，则的长 ‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 考点：弧长的计算；圆周角定理；圆内接四边形的性质．. ‎ 分析：连接OA、OC，然后根据圆周角定理求得∠AOC的度数，最后根据弧长公式求解． ‎ 解答：解：连接OA、OC， ‎ ‎∵∠B=135°， ‎ ‎∴∠D=180°﹣135°=45°， ‎ ‎∴∠AOC=90°， ‎ 则的长==π． ‎ 故选B． ‎ ‎ ‎ 点评：本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解答本题的关键是掌握弧长公式L=． ‎ ‎ ‎ ‎10. （2015•四川凉山州,第8题4分）将圆心角为90°，面积为4πcm2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径为（ ） ‎ A．‎1cm 　　 B．‎2cm 　　　　 C．‎3cm 　　　 D．‎4cm ‎ ‎【答案】A． ‎ 考点：圆锥的计算． ‎ ‎ ‎ ‎11．（2015•山东日照 ，第8题3分）如图，等腰直角△ABC中，AB=AC=8，以AB为直径的半圆O交斜边BC于D，则阴影部分面积为（结果保留π）（　　） ‎ ‎ ‎ ‎　 A． 24﹣4π B． 32﹣4π C． 32﹣8π D． 16‎ 考点： 扇形面积的计算．.‎ 分析： 连接AD，因为△ABC是等腰直角三角形，故∠ABD=45°，再由AB是圆的直径得出∠ADB=90°，故△ABD也是等腰直角三角形，所以=，S阴影=S△ABC﹣S△ABD﹣S弓形AD由此可得出结论．‎ 解答： 解：连接AD，OD，‎ ‎∵等腰直角△ABC中，‎ ‎∴∠ABD=45°．‎ ‎∵AB是圆的直径，‎ ‎∴∠ADB=90°，‎ ‎∴△ABD也是等腰直角三角形，‎ ‎∴=．‎ ‎∵AB=8，‎ ‎∴AD=BD=4，‎ ‎∴S阴影=S△ABC﹣S△ABD﹣S弓形AD=S△ABC﹣S△ABD﹣（S扇形AOD ‎﹣S△ABD）=×8×8﹣×4×4﹣+××4×4=16﹣4π+8=24﹣4π．‎ 故选A．‎ 点评： 本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．‎ ‎12．（2015•山东威海，第8 题3分）若用一张直径为‎20cm的半圆形铁片做一个圆锥的侧面，接缝忽略不计，则所得圆锥的高为（　　） ‎ ‎　 A． ‎5cm B． ‎5cm C． cm D． ‎‎10cm 考点： 圆锥的计算．.‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 设这个圆锥的底面半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到2πr=，解得r=5，然后利用勾股定理计算这个圆锥的高．‎ 解答： 解：设这个圆锥的底面半径为r，‎ 根据题意得2πr=，解得r=5，‎ 所以这个圆锥的高==5（cm）．‎ 故选A．‎ 点评： 本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．‎ ‎13.（2015•山东聊城,第12题3分）如图，点O是圆形纸片的圆心，将这个圆形纸片按下列顺序折叠，使和都经过圆心O，则阴影部分的面积是⊙O面积的（　　） ‎ ‎ ‎ ‎　 A． B． C． D． ‎ ‎ ‎ 考点： 翻折变换（折叠问题）；扇形面积的计算．.‎ 分析： 作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，求出∠OAD=30°，得到∠AOB=2∠AOD=120°，进而求得∠AOC=120°，再利用阴影部分的面积=S扇形AOC得出阴影部分的面积是⊙O面积的 解答： 解：作OD⊥AB于点D，连接AO，BO，CO，‎ ‎∵OD=AO，‎ ‎∴∠OAD=30°，‎ ‎∴∠AOB=2∠AOD=120°，‎ 同理∠BOC=120°，‎ ‎∴∠AOC=120°，‎ ‎∴阴影部分的面积=S扇形AOC=×⊙O面积．‎ 故选：B．‎ 点评： 本题主要考查了折叠问题，解题的关键是确定∠AOC=120°．‎ ‎ ‎ ‎14．（2015•四川甘孜、阿坝，第10题4分）如图，已知扇形AOB的半径为2，圆心角为90°，连接AB，则图中阴影部分的面积是（　　） ‎ ‎ ‎ ‎　 A． π﹣2 B． π﹣4 C． 4π﹣2 D． 4π﹣4‎ ‎ ‎ 考点： 扇形面积的计算．.‎ 分析： 由∠AOB为90°，得到△OAB为等腰直角三角形，于是OA=OB，而S阴影部分=S扇形OAB﹣S△OAB．然后根据扇形和直角三角形的面积公式计算即可．‎ 解答： 解：S阴影部分=S扇形OAB﹣S△OAB ‎=‎ ‎=π﹣2‎ 故选：A．‎ 点评： 本题考查了扇形面积的计算，是属于基础性的题目的一个组合，只要记住公式即可正确解出．关键是从图中可以看出阴影部分的面积是扇形的面积减去直角三角形的面积．‎ ‎15．（2015•山东潍坊第10 题3分）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是‎8cm，水的最大深度是‎2cm，则杯底有水部分的面积是（　　） ‎ ‎ ‎ ‎　 A． （π﹣4）cm2 B． （π﹣8）cm2 C． （π﹣4）cm2 D． （π﹣2）cm2‎ ‎ ‎ 考点： 垂径定理的应用；扇形面积的计算．.‎ 分析： 作OD⊥AB于C，交小⊙O于D，则CD=2，由垂径定理可知AC=CB，利用正弦函数求得∠OAC=30°，进而求得∠AOC=120°，利用勾股定理即可求出AB的值，从而利用S扇形﹣S△AOB求得杯底有水部分的面积．‎ 解答： 解：作OD⊥AB于C，交小⊙O于D，则CD=2，AC=BC，‎ ‎∵OA=OD=4，CD=2，‎ ‎∴OC=2，‎ 在RT△AOC中，sin∠OAC==，‎ ‎∴∠OAC=30°，‎ ‎∴∠AOC=120°，‎ AC==2，‎ ‎∴AB=4，‎ ‎∴杯底有水部分的面积=S扇形﹣S△AOB=﹣××2=（π﹣4）cm2‎ 故选A．‎ 点评： 本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．‎ ‎ ‎ ‎16. （2015山东省德州市，9，3分）如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4：5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为（ ） ‎ A.288° 　B.144° 　 C.216° D.120° ‎ ‎ ‎ ‎ 　　　　　　　　　　　　　第9题图 ‎ ‎【答案】A ‎ ‎ ‎ 考点：圆的周长；扇形的弧长 ‎ ‎17．（2015•广东省,第9题，3分）如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形 (忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形DAB的面积为【 】 ‎ ‎ ‎ A.6 B‎.7 C. 8 D. 9 ‎ ‎【答案】D. ‎ ‎【考点】正方形的性质；扇形的计算. ‎ ‎【分析】∵扇形DAB的弧长等于正方形两边长的和，扇形DAB的半径为正方形的边长3， ‎ ‎∴. ‎ 或由变形前后面积不变得：. ‎ 故选D. ‎ ‎ ‎ ‎18．（2015•甘肃兰州,第15题，4分）如图，⊙O的半径为2，AB，CD是互相垂直的两条直径，点P是⊙O上任意一点（P与A，B，C，D不重合），过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥CD于点N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆周转过45°时，点Q走过的路径长为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【 答 案 】A ‎ ‎【考点解剖】本题考查的是矩形性质，弧长的计算 ‎ ‎【知识准备】矩形的对角线相等，且互相平分；半径为，圆心角为的弧的长度为 ‎ ‎【解答过程】连结OP，由矩形性质知：OP=MN，且它们相交于中点Q， ‎ 则当点P沿着圆周转过45°时，点Q在以O为圆心，以OQ=1为半径的圆周上转过45°，因此只要求出以1为半径，45°圆心角所对弧的长便可。 ‎ 弧长计算公式忘记了怎么办？没关系，临时推导一下就行：整个圆的周长是，那么所求弧长就等于45°圆心角在整个周角360°中所占的份额：，即。 ‎ ‎【题目星级】★★★★ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二.填空题 ‎ ‎1.（2015•福建泉州第17题4分）在以O为圆心‎3cm为半径的圆周上，依次有A、B、C三个点，若四边形OABC为菱形，则该菱形的边长等于　‎3　cm；弦AC所对的弧长等于　2π或4π　cm． ‎ 解：连接OB和AC交于点D， ‎ ‎∵四边形OABC为菱形， ‎ ‎∴OA=AB=BC=OC， ‎ ‎∵⊙O半径为‎3cm， ‎ ‎∴OA=OC=‎3cm， ‎ ‎∵OA=OB， ‎ ‎∴△OAB为等边三角形， ‎ ‎∴∠AOB=60°， ‎ ‎∴∠AOC=120°， ‎ ‎∴==2π， ‎ ‎∴优弧==4π， ‎ 故答案为3，2π或4π． ‎ ‎ ‎ ‎2.（2015湖北鄂州第14题3分）圆锥体的底面周长为6π，侧面积为12π，则该圆锥体的高为 ． ‎ ‎【答案】 ‎ ‎ ‎ 考点：圆锥的计算． ‎ ‎ ‎ ‎3．（2015·湖南省衡阳市，第17题3分）圆心角为120°的扇形的半径为3，则这个扇形的面积为 （结果保留）． ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎4．（2015·湖北省孝感市，第13题3分）已知圆锥的侧面积等于cm2，母线长‎10cm，则圆锥的高是 ☆ cm． ‎ 考点：圆锥的计算．. ‎ 专题：计算题． ‎ 分析：设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到•2π•r•10=60π，解得r=6，然后根据勾股定理计算圆锥的高． ‎ 解答：解：设圆锥的底面圆的半径为r， ‎ 根据题意得•2π•r•10=60π， ‎ 解得r=6， ‎ 所以圆锥的高==8（cm）． ‎ 故答案为8． ‎ 点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． ‎ ‎5、（2015·湖南省常德市，第13题3分）一个圆锥的底面半径为1厘米，母线长为2厘米，则该圆锥的侧面积是　　　　（结果保留π）。 ‎ ‎【解答与分析】此题考的是圆锥侧面积的求法公式： ‎ ‎ ‎ ‎（2015•淄博第16题,4分）现有一张圆心角为108°，半径为‎40cm的扇形纸片，小红剪去圆心角为θ的部分扇形纸片后，将剩下的纸片制作成一个底面半径为‎10cm的圆锥形纸帽（接缝处不重叠），则剪去的扇形纸片的圆心角θ为　18°　． ‎ ‎ ‎ 考点： 圆锥的计算．.‎ 分析： 已知扇形底面半径是‎10cm，就可以知道展开图扇形的弧长是20πcm，根据弧长公式l=nπr÷180得到．‎ 解答： 解：20π=，解得：n=90°，‎ ‎∵扇形彩纸片的圆心角是108°‎ ‎∴剪去的扇形纸片的圆心角为108°﹣90°=18°．‎ 剪去的扇形纸片的圆心角为18°．‎ 故答案为：18°．‎ 点评： 本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：‎ ‎（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；‎ ‎（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．‎ ‎ ‎ ‎6．（2015•甘肃武威,第17题3分）如图，半圆O的直径AE=4，点B，C，D均在半圆上，若AB=BC，CD=DE，连接OB，OD，则图中阴影部分的面积为 π ． ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 考点： 扇形面积的计算．‎ 分析： 根据题意可知，图中阴影部分的面积等于扇形BOD的面积，根据扇形面积公式即可求解．‎ 解答： 解：∵AB=BC，CD=DE，‎ ‎∴=，=，‎ ‎∴+=+，‎ ‎∴∠BOD=90°，‎ ‎∴S阴影=S扇形OBD==π．‎ 故答案是：π．‎ 点评： 本题考查了扇形的面积计算及圆心角、弧之间的关系．解答本题的关键是得出阴影部分的面积等于扇形BOD的面积．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎7. （2015•浙江湖州，第14题4分）如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA=2，∠COD=120°，则图中阴影部分的面积等于________________. ‎ ‎ ‎ ‎【答案】. ‎ ‎【解析】 ‎ 试题分析：由题意可知，∠AOC+∠BOD=180°—120°=60°，图中阴影部分的面积等于. ‎ 考点：扇形的面积公式. ‎ ‎8. （2015•四川乐山,第15题3分）如图，已知A（，2）、B（，1），将△AOB绕着点O逆时针旋转，使点A旋转到点A′（﹣2，）的位置，则图中阴影部分的面积为 ． ‎ ‎ ‎ ‎【答案】． ‎ ‎【解析】 ‎ 试题分析：∵A（，2）、B（，1），∴OA=4，OB=，∵由A（，2）使点A旋转到点A′（﹣2，），∴∠A′OA=∠B′OB=90°，根据旋转的性质可得，，∴阴影部分的面积等于S扇形A'OA﹣S扇形C'OC==，故答案为：‎ ‎． ‎ ‎ ‎ 考点：1．扇形面积的计算；2．坐标与图形变化－旋转． ‎ ‎ ‎ ‎9. （2015•四川泸州,第14题3分）用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是 . ‎ 考点：圆锥的计算．. ‎ 分析：易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径． ‎ 解答：解：扇形的弧长==4π， ‎ ‎∴圆锥的底面半径为4π÷2π=2． ‎ 故答案为：2． ‎ 点评：考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长． ‎ ‎ ‎ ‎10． (2015·河南，第14题3分)如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点， E O C D B A 第14题 ‎ CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径 ‎ 作交OB于点D，若OA=2，则阴影部分的面积为 ‎ ‎ . ‎ ‎ 【分析】先观察阴影部分的图形为不规则图形，相到利用转化的思想，并作出必[ ‎ 要的辅助线，即连接OE，得到，再分别计算出各图形的 ‎ 面积即可求解. ‎ ‎ 【解析】本题考查阴影部分面积的计算.如解图，连接OE，∵点C是OA的中 ‎ 点，∴OC＝OA＝１，∵OE＝OA＝２，∴OC＝OE. ‎ ‎∵CE⊥OA，∴∠OEC＝30°，∴∠COE ‎ ‎＝60°.在Rt△OCE中，CE＝，∴Ｓ△OCE＝OC·CE=.∵∠AOB＝9０°， ‎ ‎∴∠BOE ‎ ‎＝∠AOB－∠COE＝30°,∴S扇形OBE==，Ｓ扇形COD==， ‎ ‎∴[来=+－=. ‎ ‎ ‎ ‎ 第14题解图 ‎ ‎ ‎ ‎11． (2015·黑龙江绥化，第19题 分)如图 ，将一块含300角的直角三角版和半圆量角器按如图的方式摆放 ，使斜边与半圆相切。若半径OA=2 ,则图中阴影部分的面积为____________．(结果保留π) ‎ ‎ ‎ 考点：切线的性质；扇形面积的计算．． ‎ 分析：图中阴影部分的面积=扇形BOD的面积+△BOC的面积． ‎ 解答：解：∵斜边与半圆相切，点B是切点， ‎ ‎∴∠EBO=90°． ‎ 又∵∠E=30°， ‎ ‎∴∠ECB=60°． ‎ ‎∴∠BOD=120°， ‎ ‎∵OA=OB=2， ‎ ‎∴OC=OB=1，BC=． ‎ ‎∴S阴影=S扇形BOD+S△BOC=+×1×=+． ‎ 故答案是：+． ‎ ‎ ‎ 点评：本题考查了切线的性质，扇形面积的计算．此题利用了“分割法”求得阴影部分的面积． ‎ ‎ ‎ ‎12 .（2015•江苏泰州,第11题3分）圆心角为120° ，半径为‎6cm的扇形面积为__________cm2. ‎ ‎【答案】. ‎ ‎【解析】 ‎ 试题分析：根据扇形的面积公式S扇形=，代入计算即可得出答案. ‎ 试题解析：（平方厘米） ‎ 考点：扇形的计算. ‎ ‎13 .（2015•江苏徐州,第18题3分）用一个圆心角为90°，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，该圆锥底面圆的半径　1　． ‎ ‎ ‎ 考点： 圆锥的计算．.‎ 分析： 正确理解圆锥侧面与其展开得到的扇形的关系：圆锥的底面周长等于扇形的弧长．‎ 解答： 解：根据扇形的弧长公式l===2π，‎ 设底面圆的半径是r，‎ 则2π=2πr ‎∴r=1．‎ 故答案为：1．‎ 点评： 本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．‎ ‎　 ‎ A O C B 第12题图 ‎14．（2015•安徽省,第12题，5分）如图，点A、B、C在半径为9的⊙O上，的长为，则∠ACB的大小是 ． ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 考点：弧长的计算；圆周角定理．. ‎ 分析：连结OA、OB．先由的长为2π，利用弧长计算公式求出∠AOB=40°，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得到∠ACB=∠AOB=20°． ‎ 解答：解：连结OA、OB．设∠AOB=n°． ‎ ‎∵的长为2π， ‎ ‎∴=2π， ‎ ‎∴n=40， ‎ ‎∴∠AOB=40°， ‎ ‎∴∠ACB=∠AOB=20°． ‎ 故答案为20°． ‎ ‎ ‎ 点评：本题考查了弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），同时考查了圆周角定理． ‎ ‎ ‎ ‎15. （2015呼和浩特，14，3分）一个圆锥的侧面积为8π，母线长为4，则这个圆锥的全面积为__________. ‎ 考点分析：圆锥展开相关公式方程思想审题 ‎ 详解：12π ‎ ‎ 什么是圆锥的全面积？侧面积加上底面圆的面积。在初中阶段，什么是方程思想？给出的定义是：为了在解题过程中让没有具体数值的变量参与运算或推导，我们把这个变量设成未知数，这个未知数不是我们要的最终结果，所以称为中间未知数，叫他过渡量，那么在你的运算或推导过程中，有可能解出这个过渡量的具体值，也有可能在过程中这个量被约掉或消掉。 ‎ 根据你之前的经验，你算过一些圆锥展开的题目，其中大部分用到底面圆半径，题目中没有，好，就设它。 ‎ 设该圆锥底面圆半径为r，那么是否需要画图呢？如果你觉得画图不浪费时间，那建议你画一个，这样有图的辅助，不容易出现混淆。圆锥的侧面积就是圆锥展开后所得扇形的面积，所得扇形面积就是扇形所在圆的面积乘上扇形圆心角度数比上360°，而这个比值也等于扇形的弧长比上扇形所在圆的周长，列如下方程： ‎ ‎，一个方程，只有一个未知数r，解得r=2则底面圆面积为4π。 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三.解答题 ‎ ‎1．(2015·南宁，第21题8分)如图10，在平面直角坐标系中，已知ABC的三个顶点的坐标分别为A（－1,1），B（－3,1），C（－1,4）． ‎ 图10‎ ‎ ‎ ‎（1）画出△ABC关于y轴对称的； ‎ ‎（2）将△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，请在图中画出△A2BC2，并求出线段BC旋转过程中所扫过的面积（结果保留）. ‎ ‎[w%w考点：作图－旋转变换；作图－轴对称变换．. ‎ 专题：作图题． ‎ 分析：（1）根据题意画出△ABC关于y轴对称的△A1B‎1C1即可； ‎ ‎（2）根据题意画出△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，线段BC旋转过程中扫过的面积为扇形BCC2的面积，求出即可． ‎ 解答：解：（1）如图所示，画出△ABC关于y轴对称的△A1B‎1C1； ‎ ‎（2）如图所示，画出△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2， ‎ 线段BC旋转过程中所扫过得面积S==． ‎ ‎ ‎ 点评：此题考查了作图﹣旋转变换，对称轴变换，以及扇形面积，作出正确的图形是解本题的关键．[ ‎ ‎ ‎ ‎2.（2015•山东临沂,第23题9分） ‎ 如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD. ‎ ‎（1）求证：AD平分∠BAC； ‎ ‎（2）若∠BAC = 60°，OA = 2，求阴影部分的面积（结果保留）. ‎ ‎ ‎ ‎【答案】（2） ‎ 试题解析：（1）证明：连接OD. ‎ ‎∵BC是⊙O的切线，D为切点， ‎ ‎∴OD⊥BC. ‎ 又∵AC⊥BC， ‎ ‎∴OD∥AC， ‎ ‎∴∠ADO=∠CAD. ‎ 又∵OD=OA， ‎ ‎∴∠ADO=∠OAD ‎ ‎∴∠CAD=∠OAD，即AD平分∠BAC. ‎ ‎ ‎ ‎（2）方法一：连接OE，ED. ‎ ‎∵∠BAC=60°，OE=OA， ‎ ‎∴△OAE为等边三角形， ‎ ‎∴∠AOE=60°， ‎ ‎∴∠ADE=30°. ‎ 又∵， ‎ ‎∴∠ADE=∠OAD， ‎ ‎∴ED∥AO， ‎ ‎∴， ‎ ‎∴阴影部分的面积 = S扇形ODE = . ‎ ‎ ‎ 考点：圆的综合（切线的性质，角平分线，阴影部分面积，三角形的面积，扇形面积） ‎ ‎3. （2015•浙江金华，第21题8分）如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF=AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E. ‎ ‎（1）求证：DE=AB； ‎ ‎（2）以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G，若BF=FC=1，试求的长. ‎ ‎ ‎ ‎【答案】解：（1）证明：∵DE⊥AF ，∴∠AED=90°. ‎ 又∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠B=90°. ‎ ‎∴∠DAE=∠AFB，∠AED=∠B=90°. ‎ 又∵AF=AD，∴△ADE≌△FAB（AAS）. ‎ ‎∴DE=AB. ‎ ‎（2）∵BF=FC=1，∴AD=BC=BF+FC=2. ‎ 又∵△ADE≌△FAB，∴AE=BF=1. ‎ ‎∴在Rt△ADE中，AE=AD. ∴∠ADE=30°. ‎ 又∵DE=， ‎ ‎∴. ‎ ‎【考点】矩形的性质；全等三角形的判定和性质；含30度角直角坐标三角形的性质；勾股定理；弧长的计算. ‎ ‎【分析】（1）通过应用AAS证明△ADE≌△FAB即可证明DE=AB.（2）求出∠ADE和DE的长即可求得的长. ‎ ‎ ‎ ‎4. （2015•浙江丽水，第21题8分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O 的切线DF，交AC于点F. ‎ ‎（1）求证：DF⊥AC； ‎ ‎（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积. ‎ ‎ ‎ ‎【答案】解：（1）证明：如答图，连接OD， ‎ ‎ ‎ ‎∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB. ‎ ‎∴AB=AC，∴∠ABC=∠ACB. ‎ ‎∴∠ODB=∠ACB.∴OD∥AC. ‎ ‎∵DF是⊙O的切线，∴DF⊥OD ‎ ‎∴DF⊥AC. ‎ ‎（2）如答图，连接OE， ‎ ‎∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°. ∴∠BAC=45°. ‎ ‎∵OA=OB，∴∠AOE=90°. ‎ ‎∵⊙O的半径为4，∴. ‎ ‎【考点】等腰三角形的性质；平行的判定；切线的性质；三角形内角和定理；扇形和三角形面积的计算；转换思想的应用. ‎ ‎【分析】（1）要证DF⊥AC，由于DF是⊙O的切线，有DF⊥OD，从而只要OD∥AC即可，根据平行的判定，要证OD∥AC即要构成同位角或内错角相等，从而需作辅助线连接OD，根据等腰三角形等边对等角的性质由∠ABC=∠ODB和∠ABC=∠ACB即可得. ‎ ‎（2）连接OE，则，证明△AOE是等腰直角三角形即可求得和. ‎