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- 2021-05-10 发布
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课 题
切割线定理
教学目标
1.理解切线长的概念,掌握切线长定理并会运用它解决有关问题;
2.理解弦切角的概念,掌握弦切角定理及其推论,并会运用它们解决有关问题,通过弦切角定理的证明,进一步了解分情况证明数学命题的思想和方法;
3.使学生理解切割线定理及其推论间的相互关系,并能综合运用它们解决有关问题;
重点、难点
重点:理解切线长的概念,掌握切线长定理并会运用它解决有关问题;理解弦切角的概念,掌握弦切角定理及其推论,并会运用它们解决有关问题,通过弦切角定理的证明,进一步了解分情况证明数学命题的思想和方法;
难点:切割线定理的综合运用
考点及考试要求
理解切线长的概念,掌握切线长定理并会运用它解决有关问题;了解切割线定理及其推论间的相互关系,并能综合运用它们解决有关问题;
教学内容
【知识点小结】
1.切线长概念
切线长是在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长度,“切线长”是切线上一条线段的长,具有数量的特征,而“切线”是一条直线,它不可以度量长度。
2.切线长定理
对于切线长定理,应明确(1)若已知圆的两条切线相交,则切线长相等;(2)若已知两条切线平行,则圆上两个切点的连线为直径;(3)经过圆外一点引圆的两条切线,连结两个切点可得到一个等腰三角形;(4)经过圆外一点引圆的两条切线,切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补;(5)圆外一点与圆心的连线,平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。
3.弦切角:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角。
4.弦切角定理:弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角;
5.切割线定理:已知中,切于,割线交于,则有。证明方法:连结、,证:
6.切割线定理推论:已知、为的两条割线,交于、,则有,证明方法:过作切于,用两次切割线定理。
【经典例题】
【例1】已知:如图,切圆于,为圆直径,,,。求的长。
【例2】如图所示,中,,以为直径的交于点,切线交于。求证:。
【例3】如图所示,、是的切线,、为切点,于,交于,求证:。
【例4】已知,为的直径,过点作的切线,交于点,的延长线交于。
(1)求证:;
(2)若,求、的长。
【例5】如图所示,是的外接圆,的平分线交于,交于,的切线交的延长线于。求证:。
【课堂练习】
1.已知、分别切于、,是劣弧上任意一点,过作的切线和、分别交于、,若,半径为,则的周长为( )
A. B. C. D.不确定
2.圆外切四边形一组对边和为12,圆的半径为2,则这个四边形的面积为( )
A.6 B.12 C.24 D.48
3.外心、内心、垂心、重心这四心重合的三角形是( )
A.任意三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
4.、分别切圆于、,、两点分圆所得两弧比为,则的度数为( )
A. B. C. D.
5.、分别切于、,交于,连结、,则圆中的直角三角形共有( )个
A.3 B.4 C.5 D.6
图1
6.已知:如图1,直线切于点,,,那么____.
图2
7.已知:如图2,直线与相切于点,为直径,于,,则____ .
8.已知:直线与切于点,割线与交于和两点,,,则;
9.已知:如图,与切于,为直径,,为一弦。求与的度数。
10. 已知:,与分别切于、两点,延长到,使,求证:。
【课外练习】
1.切于,是过点的割线,且,则的度数为( )
A. B. C. D.
2.过外一点引圆的两切线、,、是切点,,,则半径的长为( )
A. B. C. D.
3.是的直径,是延长线上一点,且,是的切线,且,则半径为( )
A. B. C. D.
4.是的直径,是延长线上一点,且,是的切线,且,则半径为 ( )
A. B. C. D.
图3
图4
5.已知:如图3,的,内切圆与的三边分别切于、、三点,,那么____.
6.已知:如图4,圆为外接圆,为直径,切于点,,那么____.
7.已知:如图,切于,交于、,平分,求的度数。
8.已知:如图,、分别切于、,为割线交于、,若,,,求的长。
9.已知:如图,是半径,是延长线上一点,切于,于。求证:平分.
10. 已知:如图,在中,,,以为弦的圆与切干点,与交于点。求证:.