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- 2021-05-10 发布
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2015年湖北省荆州市中考数学试卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题只有唯一正确答案,每小题3分,共30分)
1.(3分)(2015•荆州)﹣2的相反数是( )
A.
2
B.
﹣2
C.
D.
2.(3分)(2015•荆州)如图,直线l1∥l2,直线l3与l1,l2分别交于A,B两点,若∠1=70°,则∠2=( )
A.
70°
B.
80°
C.
110°
D.
120°
3.(3分)(2015•荆州)下列运算正确的是( )
A.
=±2
B.
x2•x3=x6
C.
+=
D.
(x2)3=x6
4.(3分)(2015•荆州)将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,得到的抛物线的解析式为( )
A.
y=(x﹣1)2+4
B.
y=(x﹣4)2+4
C.
y=(x+2)2+6
D.
y=(x﹣4)2+6
5.(3分)(2015•荆州)如图,A,B,C是⊙O上三点,∠ACB=25°,则∠BAO的度数是( )
A.
55°
B.
60°
C.
65°
D.
70°
6.(3分)(2015•荆州)如图,点P在△ABC的边AC上,要判断△ABP∽△ACB,添加一个条件,不正确的是( )
A.
∠ABP=∠C
B.
∠APB=∠ABC
C.
=
D.
=
7.(3分)(2015•荆州)若关于x的分式方程=2的解为非负数,则m的取值范围是( )
A.
m>﹣1
B.
m≥1
C.
m>﹣1且m≠1
D.
m≥﹣1且m≠1
8.(3分)(2015•荆州)如图所示,将正方形纸片三次对折后,沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形,展开铺平得到的图形是( )
A.
B.
C.
D.
9.(3分)(2015•荆州)如图,正方形ABCD的边长为3cm,动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动,到达A点停止运动;另一动点Q同时从B点出发,以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动,到达A点停止运动.设P点运动时间为x(s),△BPQ的面积为y(cm2),则y关于x的函数图象是( )
A.
B.
C.
D.
10.(3分)(2015•荆州)把所有正奇数从小到大排列,并按如下规律分组:(1),(3,5,7),(9,11,13,15,17),(19,21,23,25,27,29,31),…,现有等式Am=(i,j)表示正奇数m是第i组第j个数(从左往右数),如A7=(2,3),则A2015=( )
A.
(31,50)
B.
(32,47)
C.
(33,46)
D.
(34,42)
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
11.(3分)(2015•荆州)计算:﹣2﹣1+﹣|﹣2|+(﹣)0= .
12.(3分)(2015•荆州)分解因式:ab2﹣ac2= .
13.(3分)(2015•荆州)如图,△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交边AB于D点,交边AC于E点,若△ABC与△EBC的周长分别是40cm,24cm,则AB= cm.
14.(3分)(2015•荆州)若m,n是方程x2+x﹣1=0的两个实数根,则m2+2m+n的值为 .
15.(3分)(2015•荆州)如图,小明在一块平地上测山高,先在B处测得山顶A的仰角为30°,然后向山脚直行100米到达C处,再测得山顶A的仰角为45°,那么山高AD为 米(结果保留整数,测角仪忽略不计,≈1.414,,1.732)
16.(3分)(2015•荆州)如图,矩形ABCD中,OA在x轴上,OC在y轴上,且OA=2,AB=5,把△ABC沿着AC对折得到△AB′C,AB′交y轴于D点,则D点的坐标为 .
17.(3分)(2015•荆州)如图,将一张边长为6cm的正方形纸片按虚线裁剪后,恰好围成底面是正六边形的棱柱,则这个六棱柱的侧面积为 cm2.
18.(3分)(2015•荆州)如图,OA在x轴上,OB在y轴上,OA=8,AB=10,点C在边OA上,AC=2,⊙P的圆心P在线段BC上,且⊙P与边AB,AO都相切.若反比例函数y=(k≠0)的图象经过圆心P,则k= .
三、解答题(本大题共7小题,共66分)
19.(7分)(2015•荆州)解方程组:.
20.(8分)(2015•荆州)某校八年级(1)班语文杨老师为了了解学生汉字听写能力情况,对班上一个组学生的汉字听写成绩按A,B,C,D四个等级进行了统计,并绘制了如下两幅不完整的统计图:
(1)求D等级所对扇形的圆心角,并将条形统计图补充完整;
(2)该组达到A等级的同学中只有1位男同学,杨老师打算从该组达到A等级的同学中随机选出2位同学在全班介绍经验,请用列表法或画树状图的方法,求出所选两位同学恰好是1位男同学和1位女同学的概率.
21.(8分)(2015•荆州)如图,在平面直角坐标系中,O为原点,直线AB分别与x轴、y轴交于B和A,与反比例函数的图象交于C、D,CE⊥x轴于点E,tan∠ABO=,OB=4,OE=2.
(1)求直线AB和反比例函数的解析式;
(2)求△OCD的面积.
22.(9分)(2015•荆州)如图1,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于F.
(1)证明:PC=PE;
(2)求∠CPE的度数;
(3)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当∠ABC=120°时,连接CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系,并说明理由.
23.(10分)(2015•荆州)荆州素有“鱼米之乡”的美称,某渔业公司组织20辆汽车装运鲢鱼、草鱼、青鱼共120吨去外地销售,按计划20辆汽车都要装运,每辆汽车只能装运同一种鱼,且必须装满,根据下表提供的信息,解答以下问题:
鲢鱼
草鱼
青鱼
每辆汽车载鱼量(吨)
8
6
5
每吨鱼获利(万元)
0.25
0.3
0.2
(1)设装运鲢鱼的车辆为x辆,装运草鱼的车辆为y辆,求y与x之间的函数关系式;
(2)如果装运每种鱼的车辆都不少于2辆,那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大?并求出最大利润.
24.(12分)(2015•荆州)已知关于x的方程kx2+(2k+1)x+2=0.
(1)求证:无论k取任何实数时,方程总有实数根;
(2)当抛物线y=kx2+(2k+1)x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数,且k为正整数时,若P(a,y1),Q(1,y2)是此抛物线上的两点,且y1>y2,请结合函数图象确定实数a的取值范围;
(3)已知抛物线y=kx2+(2k+1)x+2恒过定点,求出定点坐标.
25.(12分)(2015•荆州)如图,在平面直角坐标系中,O为原点,平行四边形ABCD的边BC在x轴上,D点在y轴上,C点坐标为(2,0),BC=6,∠BCD=60°,点E是AB上一点,AE=3EB,⊙P过D,O,C三点,抛物线y=ax2+bx+c过点D,B,C三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求证:ED是⊙P的切线;
(3)若将△ADE绕点D逆时针旋转90°,E点的对应点E′会落在抛物线y=ax2+bx+c上吗?请说明理由;
(4)若点M为此抛物线的顶点,平面上是否存在点N,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
2015年湖北省荆州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题,每小题只有唯一正确答案,每小题3分,共30分)
1.(3分)(2015•荆州)﹣2的相反数是( )
A.
2
B.
﹣2
C.
D.
考点:
相反数.菁优网版权所有
分析:
根据相反数的定义:只有符号不同的两个数叫做互为相反数即可得到答案.
解答:
解:﹣2的相反数是2,
故选:A.
点评:
此题主要考查了相反数,关键是掌握相反数的定义.
2.(3分)(2015•荆州)如图,直线l1∥l2,直线l3与l1,l2分别交于A,B两点,若∠1=70°,则∠2=( )
A.
70°
B.
80°
C.
110°
D.
120°
考点:
平行线的性质.菁优网版权所有
分析:
根据平行线的性质求出∠3=∠1=70°,即可求出答案.
解答:
解:
∵直线l1∥l2,∠1=70°,
∴∠3=∠1=70°,
∴∠2=180°﹣∠3=110°,
故选C.
点评:
本题考查了平行线的性质,邻补角定义的应用,解此题的关键是求出∠3的度数,注意:两直线平行,同位角相等.
3.(3分)(2015•荆州)下列运算正确的是( )
A.
=±2
B.
x2•x3=x6
C.
+=
D.
(x2)3=x6
考点:
幂的乘方与积的乘方;实数的运算;同底数幂的乘法.菁优网版权所有
分析:
根据算术平方根的定义对A进行判断;根据同底数幂的乘法对B进行运算;根据同类二次根式的定义对C进行判断;根据幂的乘方对D进行运算.
解答:
解:A.=2,所以A错误;
B.x2•x3=x5,所以B错误;
C.+不是同类二次根式,不能合并;
D.(x2)3=x6,所以D正确.
故选D.
点评:
本题考查实数的综合运算能力,综合运用各种运算法则是解答此题的关键.
4.(3分)(2015•荆州)将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,得到的抛物线的解析式为( )
A.
y=(x﹣1)2+4
B.
y=(x﹣4)2+4
C.
y=(x+2)2+6
D.
y=(x﹣4)2+6
考点:
二次函数图象与几何变换.菁优网版权所有
分析:
根据函数图象向上平移加,向右平移减,可得函数解析式.
解答:
解:将y=x2﹣2x+3化为顶点式,得y=(x﹣1)2+2.
将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,得到的抛物线的解析式为y=(x﹣4)2+4,
故选:B.
点评:
本题考查了二次函数图象与几何变换,函数图象的平移规律是:左加右减,上加下减.
5.(3分)(2015•荆州)如图,A,B,C是⊙O上三点,∠ACB=25°,则∠BAO的度数是( )
A.
55°
B.
60°
C.
65°
D.
70°
考点:
圆周角定理.菁优网版权所有
分析:
连接OB,要求∠BAO的度数,只要在等腰三角形OAB中求得一个角的度数即可得到答案,利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠AOB=50°,然后根据等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理即可求得.
解答:
解:连接OB,
∵∠ACB=25°,
∴∠AOB=2×25°=50°,
由OA=OB,
∴∠BAO=∠ABO,
∴∠BAO=(180°﹣50°)=65°.
故选C.
点评:
本题考查了圆周角定理;作出辅助线,构建等腰三角形是正确解答本题的关键.
6.(3分)(2015•荆州)如图,点P在△ABC的边AC上,要判断△ABP∽△ACB,添加一个条件,不正确的是( )
A.
∠ABP=∠C
B.
∠APB=∠ABC
C.
=
D.
=
考点:
相似三角形的判定.菁优网版权所有
分析:
分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可.
解答:
解:A、当∠ABP=∠C时,又∵∠A=∠A,∴△ABP∽△ACB,故此选项错误;
B、当∠APB=∠ABC时,又∵∠A=∠A,∴△ABP∽△ACB,故此选项错误;
C、当=时,又∵∠A=∠A,∴△ABP∽△ACB,故此选项错误;
D、无法得到△ABP∽△ACB,故此选项正确.
故选:D.
点评:
此题主要考查了相似三角形的判定,正确把握判定方法是解题关键.
7.(3分)(2015•荆州)若关于x的分式方程=2的解为非负数,则m的取值范围是( )
A.
m>﹣1
B.
m≥1
C.
m>﹣1且m≠1
D.
m≥﹣1且m≠1
考点:
分式方程的解.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
分式方程去分母转化为整式方程,表示出整式方程的解,根据解为非负数及分式方程分母不为0求出m的范围即可.
解答:
解:去分母得:m﹣1=2x﹣2,
解得:x=,
由题意得:≥0且≠1,
解得:m≥﹣1且m≠1,
故选D
点评:
此题考查了分式方程的解,需注意在任何时候都要考虑分母不为0.
8.(3分)(2015•荆州)如图所示,将正方形纸片三次对折后,沿图中AB线剪掉一个等腰直角三角形,展开铺平得到的图形是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
剪纸问题.菁优网版权所有
分析:
根据题意直接动手操作得出即可.
解答:
解:找一张正方形的纸片,按上述顺序折叠、裁剪,然后展开后得到的图形如图所示:
故选A.
点评:
本题考查了剪纸问题,难点在于根据折痕逐层展开,动手操作会更简便.
9.(3分)(2015•荆州)如图,正方形ABCD的边长为3cm,动点P从B点出发以3cm/s的速度沿着边BC﹣CD﹣DA运动,到达A点停止运动;另一动点Q同时从B点出发,以1cm/s的速度沿着边BA向A点运动,到达A点停止运动.设P点运动时间为x(s),△BPQ的面积为y(cm2),则y关于x的函数图象是( )
A.
B.
C.
D.
考点:
动点问题的函数图象.菁优网版权所有
分析:
首先根据正方形的边长与动点P、Q的速度可知动点Q始终在AB边上,而动点P可以在BC边、CD边、AD边上,再分三种情况进行讨论:①0≤x≤1;②1<x≤2;③2<x≤3;分别求出y关于x的函数解析式,然后根据函数的图象与性质即可求解.
解答:
解:由题意可得BQ=x.
①0≤x≤1时,P点在BC边上,BP=3x,
则△BPQ的面积=BP•BQ,
解y=•3x•x=x2;故A选项错误;
②1<x≤2时,P点在CD边上,
则△BPQ的面积=BQ•BC,
解y=•x•3=x;故B选项错误;
③2<x≤3时,P点在AD边上,AP=9﹣3x,
则△BPQ的面积=AP•BQ,
解y=•(9﹣3x)•x=x﹣x2;故D选项错误.
故选C.
点评:
本题考查了动点问题的函数图象,正方形的性质,三角形的面积,利用数形结合、分类讨论是解题的关键.
10.(3分)(2015•荆州)把所有正奇数从小到大排列,并按如下规律分组:(1),(3,5,7),(9,11,13,15,17),(19,21,23,25,27,29,31),…,现有等式Am=(i,j)表示正奇数m是第i组第j个数(从左往右数),如A7=(2,3),则A2015=( )
A.
(31,50)
B.
(32,47)
C.
(33,46)
D.
(34,42)
考点:
规律型:数字的变化类.菁优网版权所有
分析:
先计算出2015是第1008个数,然后判断第1008个数在第几组,再判断是这一组的第几个数即可.
解答:
解:2015是第=1008个数,
设2015在第n组,则1+3+5+7+…+(2n﹣1)≥1008,
即≥1008,
解得:n≥,
当n=31时,1+3+5+7+…+61=961;
当n=32时,1+3+5+7+…+63=1024;
故第1008个数在第32组,
第1024个数为:2×1024﹣1=2047,
第32组的第一个数为:2×962﹣1=1923,
则2015是(+1)=47个数.
故A2015=(32,47).
故选B.
点评:
此题考查数字的变化规律,找出数字之间的运算规律,利用规律解决问题.
二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)
11.(3分)(2015•荆州)计算:﹣2﹣1+﹣|﹣2|+(﹣)0= 3 .
考点:
实数的运算;零指数幂;负整数指数幂.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
原式第一项利用算术平方根定义计算,第二项利用负整数指数幂法则计算,第三项利用立方根定义计算,第四项利用绝对值的代数意义化简,最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果.
解答:
解:原式=3﹣+2﹣2+1=3,
故答案为:3
点评:
此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
12.(3分)(2015•荆州)分解因式:ab2﹣ac2= a(b+c)(b﹣c) .
考点:
提公因式法与公式法的综合运用.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
原式提取a,再利用平方差公式分解即可.
解答:
解:原式=a(b2﹣c2)=a(b+c)(b﹣c),
故答案为:a(b+c)(b﹣c)
点评:
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
13.(3分)(2015•荆州)如图,△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交边AB于D点,交边AC于E点,若△ABC与△EBC的周长分别是40cm,24cm,则AB= 16 cm.
考点:
线段垂直平分线的性质;等腰三角形的性质.菁优网版权所有
分析:
首先根据DE是AB的垂直平分线,可得AE=BE;然后根据△ABC的周长=AB+AC+BC,△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC,可得△ABC的周长﹣△EBC的周长=AB,据此求出AB的长度是多少即可.
解答:
解:∵DE是AB的垂直平分线,
∴AE=BE;
∵△ABC的周长=AB+AC+BC,△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC,
∴△ABC的周长﹣△EBC的周长=AB,
∴AB=40﹣24=16(cm).
故答案为:16.
点评:
(1)此题主要考查了垂直平分线的性质,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.
(2)此题还考查了等腰三角形的性质,以及三角形的周长的求法,要熟练掌握.
14.(3分)(2015•荆州)若m,n是方程x2+x﹣1=0的两个实数根,则m2+2m+n的值为 0 .
考点:
根与系数的关系;一元二次方程的解.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
由题意m为已知方程的解,把x=m代入方程求出m2+m的值,利用根与系数的关系求出m+n的值,原式变形后代入计算即可求出值.
解答:
解:∵m,n是方程x2+x﹣1=0的两个实数根,
∴m+n=﹣1,m2+m=1,
则原式=(m2+m)+(m+n)=1﹣1=0,
故答案为:0
点评:
此题考查了根与系数的关系,以及一元二次方程的解,熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键.
15.(3分)(2015•荆州)如图,小明在一块平地上测山高,先在B处测得山顶A的仰角为30°,然后向山脚直行100米到达C处,再测得山顶A的仰角为45°,那么山高AD为 137 米(结果保留整数,测角仪忽略不计,≈1.414,,1.732)
考点:
解直角三角形的应用-仰角俯角问题.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
根据仰角和俯角的定义得到∠ABD=30°,∠ACD=45°,设AD=xm,先在Rt△ACD中,利用∠ACD的正切可得CD=AD=x,则BD=BC+CD=x+100,然后在Rt△ABD中,利用∠ABD的正切得到x=(x+100),解得x=50(+1),再进行近似计算即可.
解答:
解:如图,∠ABD=30°,∠ACD=45°,BC=100m,
设AD=xm,
在Rt△ACD中,∵tan∠ACD=,
∴CD=AD=x,
∴BD=BC+CD=x+100,
在Rt△ABD中,∵tan∠ABD=,
∴x=(x+100),
∴x=50(+1)≈137,
即山高AD为137米.
故答案为137.
点评:
本题考查了解直角三角形﹣的应用﹣仰角俯角:解决此类问题要了解角之间的关系,找到与已知和未知相关联的直角三角形,要善于读懂题意,把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决.
16.(3分)(2015•荆州)如图,矩形ABCD中,OA在x轴上,OC在y轴上,且OA=2,AB=5,把△ABC沿着AC对折得到△AB′C,AB′交y轴于D点,则D点的坐标为 (0,2.1) .
考点:
翻折变换(折叠问题);坐标与图形性质.菁优网版权所有
分析:
作B′E⊥x轴,设OD=x,在Rt△AOD中,根据勾股定理列方程,可求得D点的坐标.
解答:
解:作B′E⊥x轴,
∵∠BAC=∠B′AC,∠BAC=∠OCA,
∴∠B′AC=∠OCA,
∴AD=CD,
设OD=x,AD=5﹣x,
在Rt△AOD中,根据勾股定理列方程得:22+x2=(5﹣x)2,
解得:x=2.1,
∴D点的坐标为(0,2.1).
故答案为:(0,2.1).
点评:
本题主要考查了折叠的性质、勾股定理,根据勾股定理列方程求出OD是解决问题的关键.
17.(3分)(2015•荆州)如图,将一张边长为6cm的正方形纸片按虚线裁剪后,恰好围成底面是正六边形的棱柱,则这个六棱柱的侧面积为 36﹣12 cm2.
考点:
展开图折叠成几何体.菁优网版权所有
分析:
这个棱柱的侧面展开正好是一个长方形,长为6,宽为6减去两个六边形的高,再用长方形的面积公式计算即可求得答案.
解答:
解:∵将一张边长为6的正方形纸片按虚线裁剪后,恰好围成一个底面是正六边形的棱柱,
∴这个正六边形的底面边长为1,高为,
∴侧面积为长为6,宽为6﹣2的长方形,
∴面积为:6×(6﹣2)=36﹣12.
故答案为:36﹣12.
点评:
此题主要考查了正方形的性质、矩形的性质以及剪纸问题的应用.此题难度不大,注意动手操作拼出图形,并能正确进行计算是解答本题的关键.
18.(3分)(2015•荆州)如图,OA在x轴上,OB在y轴上,OA=8,AB=10,点C在边OA上,AC=2,⊙P的圆心P在线段BC上,且⊙P与边AB,AO都相切.若反比例函数y=(k≠0)的图象经过圆心P,则k= ﹣5 .
考点:
切线的性质;一次函数图象上点的坐标特征;反比例函数图象上点的坐标特征.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
作PD⊥OA于D,PE⊥AB于E,作CH⊥AB于H,如图,设⊙P的半径为r,根据切线的性质和切线长定理得到PD=PE=r,AD=AE,再利用勾股定理计算出OB=6,则可判断△OBC为等腰直角三角形,从而得到△PCD为等腰直角三角形,则PD=CD=r,AE=AD=2+r,通过证明△ACH∽△ABO,利用相似比计算出CH=,接着利用勾股定理计算出AH=,所以BH=10﹣=,然后证明△BEH∽△BHC,利用相似比得到即=,解得r=1,从而易得P点坐标,再利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k的值.
解答:
解:作PD⊥OA于D,PE⊥AB于E,作CH⊥AB于H,如图,设⊙P的半径为r,
∵⊙P与边AB,AO都相切,
∴PD=PE=r,AD=AE,
在Rt△OAB中,∵OA=8,AB=10,
∴OB==6,
∵AC=2,
∴OC=6,
∴△OBC为等腰直角三角形,
∴△PCD为等腰直角三角形,
∴PD=CD=r,
∴AE=AD=2+r,
∵∠CAH=∠BAO,
∴△ACH∽△ABO,
∴=,即=,解得CH=,
∴AH===,
∴BH=10﹣=,
∵PE∥CH,
∴△BEP∽△BHC,
∴=,即=,解得r=1,
∴OD=OC﹣CD=6﹣1=5,
∴P(5,﹣1),
∴k=5×(﹣1)=﹣5.
故答案为﹣5.
点评:
本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线不确定切点,则过圆心作切线的垂线,则垂线段等于圆的半径.也考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质和反比例函数图象上点的坐标特征.
三、解答题(本大题共7小题,共66分)
19.(7分)(2015•荆州)解方程组:.
考点:
解二元一次方程组.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
方程组利用加减消元法求出解即可.
解答:
解:②×3﹣①得:11y=22,即y=2,
把y=2代入②得:x=1,
则方程组的解为.
点评:
此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法与加减消元法.
20.(8分)(2015•荆州)某校八年级(1)班语文杨老师为了了解学生汉字听写能力情况,对班上一个组学生的汉字听写成绩按A,B,C,D四个等级进行了统计,并绘制了如下两幅不完整的统计图:
(1)求D等级所对扇形的圆心角,并将条形统计图补充完整;
(2)该组达到A等级的同学中只有1位男同学,杨老师打算从该组达到A等级的同学中随机选出2位同学在全班介绍经验,请用列表法或画树状图的方法,求出所选两位同学恰好是1位男同学和1位女同学的概率.
考点:
列表法与树状图法;扇形统计图;条形统计图.菁优网版权所有
分析:
(1)根据C等级的人数及所占的比例即可得出总人数,进而可得出D级学生的人数占全班总人数的百分数及扇形统计图中D级所在的扇形的圆心角;根据A、B等级的人数=总数×所占的百分比可补全图形.
(2)画出树状图,然后根据概率公式列式计算即可得解.
解答:
解:(1)总人数=5÷25%=20,
∴D级学生的人数占全班总人数的百分数为:×100%=15%,
扇形统计图中D级所在的扇形的圆心角为15%×360°=54°.
由题意得:B等级的人数=20×40%=8(人),A等级的人数=20×20%=4.
(2)根据题意画出树状图如下:
一共有12种情况,恰好是1位男同学和1位女同学有6种情况,
所以,P(恰好是1位男同学和1位女同学)==.
点评:
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.
21.(8分)(2015•荆州)如图,在平面直角坐标系中,O为原点,直线AB分别与x轴、y轴交于B和A,与反比例函数的图象交于C、D,CE⊥x轴于点E,tan∠ABO=,OB=4,OE=2.
(1)求直线AB和反比例函数的解析式;
(2)求△OCD的面积.
考点:
反比例函数与一次函数的交点问题.菁优网版权所有
分析:
(1)根据已知条件求出A、B、C点坐标,用待定系数法求出直线AB和反比例的函数解析式;
(2)联立一次函数的解析式和反比例的函数解析式可得交点D的坐标,从而根据三角形面积公式求解.
解答:
解:(1)∵OB=4,OE=2,
∴BE=2+4=6.
∵CE⊥x轴于点E,tan∠ABO===.
∴OA=2,CE=3.
∴点A的坐标为(0,2)、点B的坐标为C(4,0)、点C的坐标为(﹣2,3).
设直线AB的解析式为y=kx+b,则,
解得.
故直线AB的解析式为y=﹣x+2.
设反比例函数的解析式为y=(m≠0),
将点C的坐标代入,得3=,
∴m=﹣6.
∴该反比例函数的解析式为y=﹣.
(2)联立反比例函数的解析式和直线AB的解析式可得,
可得交点D的坐标为(6,﹣1),
则△BOD的面积=4×1÷2=2,
△BOD的面积=4×3÷2=6,
故△OCD的面积为2+6=8.
点评:
本题是一次函数与反比例函数的综合题.主要考查待定系数法求函数解析式.求A、B、C点的坐标需用正切定义或相似三角形的性质,起点稍高,部分学生感觉较难.
22.(9分)(2015•荆州)如图1,在正方形ABCD中,P是对角线BD上的一点,点E在AD的延长线上,且PA=PE,PE交CD于F.
(1)证明:PC=PE;
(2)求∠CPE的度数;
(3)如图2,把正方形ABCD改为菱形ABCD,其他条件不变,当∠ABC=120°时,连接CE,试探究线段AP与线段CE的数量关系,并说明理由.
考点:
正方形的性质;全等三角形的判定与性质;菱形的性质.菁优网版权所有
分析:
(1)先证出△ABP≌△CBP,得PA=PC,由于PA=PE,得PC=PE;
(2)由△ABP≌△CBP,得∠BAP=∠BCP,进而得∠DAP=∠DCP,由PA=PC,得到∠DAP=∠E,∠DCP=∠E,最后∠CPF=∠EDF=90°得到结论;
(3)借助(1)和(2)的证明方法容易证明结论.
解答:
(1)证明:在正方形ABCD中,AB=BC,
∠ABP=∠CBP=45°,
在△ABP和△CBP中,
,
∴△ABP≌△CBP(SAS),
∴PA=PC,
∵PA=PE,
∴PC=PE;
(2)由(1)知,△ABP≌△CBP,
∴∠BAP=∠BCP,
∴∠DAP=∠DCP,
∵PA=PC,
∴∠DAP=∠E,
∴∠DCP=∠E,
∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等),
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E,
即∠CPF=∠EDF=90°;
(3)在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABP=∠CBP=45°,
在△ABP和△CBP中,
∴△ABP≌△CBP(SAS),
∴PA=PC,∠BAP=∠BCP,
∵PA=PE,
∴PC=PE,
∴∠DAP=∠DCP,
∵PA=PC,
∴∠DAP=∠E,
∴∠DCP=∠E
∵∠CFP=∠EFD(对顶角相等),
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E,
即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°,
∴△EPC是等边三角形,
∴PC=CE,
∴AP=CE.
点评:
本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,菱形的性质,等边对等角的性质,熟记正方形的性质确定出∠ABP=∠CBP是解题的关键.
23.(10分)(2015•荆州)荆州素有“鱼米之乡”的美称,某渔业公司组织20辆汽车装运鲢鱼、草鱼、青鱼共120吨去外地销售,按计划20辆汽车都要装运,每辆汽车只能装运同一种鱼,且必须装满,根据下表提供的信息,解答以下问题:
鲢鱼
草鱼
青鱼
每辆汽车载鱼量(吨)
8
6
5
每吨鱼获利(万元)
0.25
0.3
0.2
(1)设装运鲢鱼的车辆为x辆,装运草鱼的车辆为y辆,求y与x之间的函数关系式;
(2)如果装运每种鱼的车辆都不少于2辆,那么怎样安排车辆能使此次销售获利最大?并求出最大利润.
考点:
一次函数的应用.菁优网版权所有
分析:
(1)设装运鲢鱼的车辆为x辆,装运草鱼的车辆为y辆,则由(20﹣x﹣y)辆汽车装运青鱼,由20辆汽车的总运输量为120吨建立等式就可以求出结论;
(2)根据建立不等装运每种鱼的车辆都不少于2辆,列出不等式组求出x的范围,设此次销售所获利润为w元,
w=0.25x×8+0.3(﹣3x+20)×6+0.2(20﹣x+3x﹣20)×5=﹣1.4x+36,再利用一次函数的性质即可解答.
解答:
解:(1)设装运鲢鱼的车辆为x辆,装运草鱼的车辆为y辆,则由(20﹣x﹣y)辆汽车装运青鱼,由题意,得
8x+6y+5(20﹣x﹣y)=120,
∴y=﹣3x+20.
答:y与x的函数关系式为y=﹣3x+20;
(2),根据题意,得
∴,
解得:2≤x≤6,
设此次销售所获利润为w元,
w=0.25x×8+0.3(﹣3x+20)×6+0.2(20﹣x+3x﹣20)×5=﹣1.4x+36
∵k=﹣1.4<0,
∴w随x的增大而减小.
∴当x=2时,w取最大值,最大值为:﹣1.4×2+36=33.2(万元).
∴装运鲢鱼的车辆为2辆,装运草鱼的车辆为14辆,装运青鱼的车辆为4辆时获利最大,最大利润为33.2万元.
点评:
本题考查了一次函数的解析式的运用,一次函数的性质的运用,一元一次不等式组的运用,解答时求出函数的解析式是关键.
24.(12分)(2015•荆州)已知关于x的方程kx2+(2k+1)x+2=0.
(1)求证:无论k取任何实数时,方程总有实数根;
(2)当抛物线y=kx2+(2k+1)x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数,且k为正整数时,若P(a,y1),Q(1,y2)是此抛物线上的两点,且y1>y2,请结合函数图象确定实数a的取值范围;
(3)已知抛物线y=kx2+(2k+1)x+2恒过定点,求出定点坐标.
考点:
抛物线与x轴的交点;根的判别式;二次函数图象上点的坐标特征.菁优网版权所有
分析:
(1)分类讨论:该方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况.当该方程为一元二次方程时,根的判别式△≥0,方程总有实数根;
(2)通过解kx2+(2k+1)x+2=0得到k=1,由此得到该抛物线解析式为y=x2+3x+2,结合图象回答问题.
(3)根据题意得到kx2+(2k+1)x+2﹣y=0恒成立,由此列出关于x、y的方程组,通过解方程组求得该定点坐标.
解答:
(1)证明:①当k=0时,方程为x+2=0,所以x=﹣2,方程有实数根,
②当k≠0时,∵△=(2k+1)2﹣4k×2=(2k﹣1)2≥0,即△≥0,
∴无论k取任何实数时,方程总有实数根;
(2)解:令y=0,则kx2+(2k+1)x+2=0,
解关于x的一元二次方程,得x1=﹣2,x2=﹣,
∵二次函数的图象与x轴两个交点的横坐标均为整数,且k为正整数,
∴k=1.
∴该抛物线解析式为y=x2+3x+2,
由图象得到:当y1>y2时,a>1或a<﹣4.
(3)依题意得kx2+(2k+1)x+2﹣y=0恒成立,即k(x2+2x)+x﹣y+2=0恒成立,
则,
解得或.
所以该抛物线恒过定点(0,2)、(﹣2,0).
点评:
本题考查了抛物线与x轴的交点与判别式的关系及二次函数图象上点的坐标特征,解答(1)题时要注意分类讨论.
25.(12分)(2015•荆州)如图,在平面直角坐标系中,O为原点,平行四边形ABCD的边BC在x轴上,D点在y轴上,C点坐标为(2,0),BC=6,∠BCD=60°,点E是AB上一点,AE=3EB,⊙P过D,O,C三点,抛物线y=ax2+bx+c过点D,B,C三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求证:ED是⊙P的切线;
(3)若将△ADE绕点D逆时针旋转90°,E点的对应点E′会落在抛物线y=ax2+bx+c上吗?请说明理由;
(4)若点M为此抛物线的顶点,平面上是否存在点N,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
考点:
二次函数综合题.菁优网版权所有
专题:
综合题.
分析:
(1)先确定B(﹣4,0),再在Rt△OCD中利用∠OCD的正切求出OD=2,D(0,2),然后利用交点式求抛物线的解析式;
(2)先计算出CD=2OC=4,再根据平行四边形的性质得AB=CD=4,AB∥CD,∠A=∠BCD=60°,AD=BC=6,则由AE=3BE得到AE=3,接着计算=,加上∠DAE=∠DCB,则可判定△AED∽△COD,得到∠ADE=∠CDO,而∠ADE+∠ODE=90°则∠CDO+∠ODE=90°,再利用圆周角定理得到CD为⊙P的直径,于是根据切线的判定定理得到ED是⊙P的切线
(3)由△AED∽△COD,根据相似比计算出DE=3,由于∠CDE=90°,DE>DC,再根据旋转的性质得E点的对应点E′在射线DC上,而点C、D在抛物线上,于是可判断点E′不能在抛物线上;
(4)利用配方得到y=﹣(x+1)2+,则M(﹣1,),且B(﹣4,0),D(0,2),根据平行四边形的性质和点平移的规律,利用分类讨论的方法确定N点坐标.
解答:
解:(1)∵C(2,0),BC=6,
∴B(﹣4,0),
在Rt△OCD中,∵tan∠OCD=,
∴OD=2tan60°=2,
∴D(0,2),
设抛物线的解析式为y=a(x+4)(x﹣2),
把D(0,2)代入得a•4•(﹣2)=2,解得a=﹣,
∴抛物线的解析式为y=﹣(x+4)(x﹣2)=﹣x2﹣x+2;
(2)在Rt△OCD中,CD=2OC=4,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB=CD=4,AB∥CD,∠A=∠BCD=60°,AD=BC=6,
∵AE=3BE,
∴AE=3,
∴=,==,
∴=,
而∠DAE=∠DCB,
∴△AED∽△COD,
∴∠ADE=∠CDO,
而∠ADE+∠ODE=90°
∴∠CDO+∠ODE=90°,
∴CD⊥DE,
∵∠DOC=90°,
∴CD为⊙P的直径,
∴ED是⊙P的切线;
(3)E点的对应点E′不会落在抛物线y=ax2+bx+c上.理由如下:
∵△AED∽△COD,
∴=,即=,解得DE=3,
∵∠CDE=90°,DE>DC,
∴△ADE绕点D逆时针旋转90°,E点的对应点E′在射线DC上,
而点C、D在抛物线上,
∴点E′不能在抛物线上;
(4)存在.
∵y=﹣x2﹣x+2=﹣(x+1)2+
∴M(﹣1,),
而B(﹣4,0),D(0,2),
如图2,
当BM为平行四边形BDMN的对角线时,点D向左平移4个单位,再向下平移2个单位得到点B,则点M(﹣1,)向左平移4个单位,再向下平移2个单位得到点N1(﹣5,);
当DM为平行四边形BDMN的对角线时,点B向右平移3个单位,再向上平移个单位得到点M,则点D(0,2)向右平移3个单位,再向上平移个单位得到点N2(3,);
当BD为平行四边形BDMN的对角线时,点M向左平移3个单位,再向下平移个单位得到点B,则点D(0,2)向右平移3个单位,再向下平移个单位得到点N3(﹣3,﹣),
综上所述,点N的坐标为(﹣5,)、(3,)、(﹣3,﹣).
点评:
考查了二次函数综合题:熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质;掌握平行四边形的性质点平移的规律;会证明圆的切线.
参与本试卷答题和审题的老师有:sd2011;zjx111;fangcao;2300680618;守拙;sks;HJJ;1987483819;放飞梦想;gsls;1339885408@qq.com;HLing;王学峰;sdwdmahongye;dbz1018(排名不分先后)
菁优网
2015年7月16日