备考2014志鸿优化中考数学总复习直角三角形二次函数 8页

第 16 讲 直角三角形 考标要求 考查角度 1.了解直角三角形的有关概念，掌握 其性质与判定． 2．掌握勾股定理与逆定理，并能用来 解决有关问题. 直角三角形是中考考查的热点之一，题 型多样，多以简单题和中档难度题出现，主 要考查直角三角形的判定和性质的应用，以 及运用勾股定理及其逆定理来解决实际问题 的能力. 知识梳理 一、直角三角形的性质 1．直角三角形的两锐角________． 2．直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的________． 3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的________． 4．勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 ． 二、直角三角形的判定 1．有一个角等于________的三角形是直角三角形． 2．有两角________的三角形是直角三角形． 3．如果三角形一边上的中线等于这边的________，则该三角形是直角三角形． 4．勾股定理的逆定理：如果三角形一条边的平方等于另外两条边的________，那么这 个三角形是直角三角形． 自主测试 1．(2012 广东广州)在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝9， BC＝12，则点 C 到 AB 的距离是( ) A．36 5 B．12 25 C．9 4 D．3 3 4 2．(2012 四川巴中)已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，且满足关系式 c2－a2－b2＋|a－ b|＝0，则△ABC 的形状为__________． 3. (2012 重庆 )如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，点 D 在 BC 边上，且△ABD 是等边 三角形．若 AB＝2，求△ABC 的周长．(结果保留根号) 考点一、直角三角形的判定 【例 1】 如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，点 D 为边 BC 上的任一点，DF⊥AB 于 F，DE⊥AC 于 E，M 为 BC 的中点，试判断△MEF 的形状，并证明你的结论． 分析：连接 AM，可得 AM＝BM，然后证明△BFM≌△AEM，得到 FM＝ME，∠EMF＝90°. 解：△MEF 是等腰直角三角形． 连接 AM，∵∠BAC＝90°，AM 是斜边 BC 的中线， ∴MA＝MB＝MC，MA⊥BC． ∵AB＝AC，∴∠B＝∠BAM＝∠MAE＝45°. ∵DF⊥AB，DE⊥AC， ∴∠AFD＝∠AED＝∠FAE＝90°， ∴四边形 DFAE 是矩形，∴FD＝EA． 又∵FB＝FD，∴FB＝EA， ∴△BFM≌△AEM(SAS)， ∴FM＝EM，∠BMF＝∠AME. ∵∠AMF＋∠BMF＝90°， ∴∠EMF＝∠AMF＋∠AME＝90°， ∴△MEF 是等腰直角三角形． 方法总结 证明一个三角形是直角三角形的方法比较多，最简捷的方法就是求出一个角 等于 90°，也可以利用三角形一边上的中线等于这边的一半，或者利用勾股定理的逆定理 证得． 触类旁通 1 具备下列条件的△ABC 中，不能成为直角三角形的是( ) A．∠A＝∠B＝1 2 ∠C B．∠A＝90°－∠C C．∠A＋∠B＝∠C D．∠A－∠C＝90° 考点二、直角三角形的性质 【例 2】 两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图 1 所示放置，图 2 是由它抽象出 的几何图形，B，C，E 在同一条直线上，连接 DC． (1)请找出图 2 中的全等三角形，并给予证明(说明：结论中不得含有未标识的字母)； (2)证明：DC⊥BE. (1)解：图 2 中△ABE≌△ACD． 证明如下： ∵△ABC 与△AED 均为等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°. ∴∠BAC＋∠CAE＝∠EAD＋∠CAE， 即∠BAE＝∠CAD． 又∵AB＝AC，AE＝AD，∴△ABE≌△ACD． (2)证明：由(1)△ABE≌△ACD 知∠ACD＝∠ABE＝45°. 又∠ACB＝45°， ∴∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°， ∴DC⊥BE. 方法总结 直角三角形除具有两锐角互余、两直角边的平方和等于斜边的平方、斜边的 中线等于斜边的一半这些性质外，还具有外接圆半径等于斜边的一半，内切圆半径等于两直 角边的和与斜边差的一半，它的外心是斜边的中点，垂心是直角顶点等性质． 考点三、勾股定理及其逆定理 【例 3】 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 AC=6 cm，BC=8 cm，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，求 CD 的长． 解：设 CD 长为 x cm，由折叠得△ACD≌△AED． ∴AE＝AC＝6 cm，∠AED＝∠C＝90°，DE＝CD＝x cm. 在 Rt△ABC 中，AC＝6 cm，BC＝8 cm， ∴AB＝ AC2＋BC2＝ 62＋82＝10(cm)． ∴EB＝AB－AE＝10－6＝4(cm)，BD＝BC－CD＝(8－x) cm， 在 Rt△DEB 中，由勾股定理得 DE2＋BE2＝DB2. ∴x2＋42＝(8－x)2，解得 x＝3. ∴CD 的长为 3 cm. 方法总结 1.勾股定理主要的用途是已知直角三角形的两边求第三边，当我们只知道直 角三角形的一边时，如果可以找到另外两边的关系，也可通过列方程的方法求出另外两条边． 2．勾股定理逆定理主要是已知一个三角形的三边，判断三角形是否为直角三角形． 触类旁通 2 如图，在四边形 ABCD 中，∠A=90°，AB=3，AD=4，CD=13，CB=12，求四边 形 ABCD 的面积． 考点四、勾股定理及其逆定理的实际应用 【例 4】 如图所示，铁路上 A，B 两站(视为直线上两点)相距 14 km，C，D 为两村庄(可 视为两个点)，DA⊥AB 于 A，CB⊥AB 于 B，已知 DA＝8 km，CB＝6 km，现要在铁路上建一个 土特产品收购站 E，使 C，D 两村到 E 站的距离相等，则 E 站应建在距 A 站多少千米处？ 分析：因为 DA⊥AB 于 A，CB⊥AB 于 B，在 AB 上找一点可构成两个直角三角形，我们可 想到通过勾股定理列方程进行求解． 解：设 E 站应建在距 A 站 x km 处， 根据勾股定理有 82＋x2＝62＋(14－x)2，解得 x＝6. 所以 E 站应建在距 A 站 6 km 处． 方法总结 勾股定理及其逆定理的实际应用，是把实际问题转化为数学问题，建立勾股 定理或逆定理的数学模型．通过解决数学问题，使实际问题得以解决． 触类旁通 3 有一块直角三角形的绿地，量得两直角边的长分别为 6 m，8 m，现在要将 绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以 8 m 为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形 绿地的周长． 1．(2012 湖南邵阳)如图所示，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，ED 是 BC 的 垂直平分线，请写出图中两条相等的线段__________． 2．(2012 湖南岳阳)如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，沿 AD 折叠，使点 B 落在斜边 AC 上，若 AB＝3，BC＝4，则 BD＝________. 3．(2012 湖南郴州)如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC＝6，BD＝8，则这个菱形的边长 为__________． 4．(2012 湖南张家界)黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据 此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠B＝∠D＝90°，AB＝BC＝15 千米，CD＝ 3 2千米，请据此解答如下问题： 图甲 图乙 (1)求该岛的周长和面积(结果保留整数，参考数据 2≈1.41， 3≈1.73， 6≈2.45)； (2)求∠ACD 的余弦值． 1. 如图所示，将一个有 45 度角的三角板的直角顶点放在一张宽为 3 cm 的纸带边沿上， 另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 30 度角， 则三角板的最大边的长为( ) A．3 cm B．6 cm C．3 2 cm D．6 2 cm 2．在△ABC 中，三边长分别为 a，b，c，且 a＋c＝2b，c－a＝1 2 b，则△ABC 是( ) A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 3．一个直角三角形两边的长分别为 15,20，则第三边的长是( ) A．5 7 B．25 C．5 7或 25 D．无法确定 4. 如图，在 Rt△ABC 中，以三边 AB，BC，CA 为直径向外作半圆，设直线 AB 左边阴影 部分的面积为 S1，右边阴影部分的面积和为 S2，则( ) A．S1=S2 B．S1＜S2 C．S1＞S2 D．无法确定 5．直角三角形纸片的两直角边长分别为 6,8，现将△ABC 如图那样折叠，使点 A 与点 B 重合，折痕为 DE，则CE BC 的值是( ) A．24 7 B． 7 3 C． 7 24 D．1 3 6. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，点 D 是斜边 AB 的中点，DE⊥AC，垂足为 E，若 DE＝2，CD＝2 5，则 BE 的长为__________． 7. 如图，已知等腰 Rt△ABC 的直角边长为 1，以 Rt△ABC 的斜边 AC 为直角边，画第二 个等腰 Rt△ACD，再以 Rt△ACD 的斜边 AD 为直角边，画第三个等腰 Rt△ADE，…，依此类推 直到第五个等腰 Rt△AFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为___________. 8. 如图，已知点 D 为等腰 Rt△ABC 内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E 为 AD 延长线上的 一点，且 CE＝CA． (1)求证：DE 平分∠BDC； (2)若点 M 在 DE 上，且 DC＝DM，求证：ME＝BD． 参考答案 【知识梳理】 一、1.互余 2.一半 3.一半 二、1.90° 2.互余 3．一半 4.平方和 导学必备知识 自主测试 1．A 根据题意画出相应的图形，如图所示： 在 Rt△ABC 中，AC＝9，BC＝12， 根据勾股定理得：AB＝ AC2＋BC2＝15. 过点 C 作 CD⊥AB，交 AB 于点 D， 又 S△ABC＝1 2 AC·BC＝1 2 AB·CD， ∴CD＝AC·BC AB ＝9×12 15 ＝36 5 ， 则点 C 到 AB 的距离是36 5 . 2．等腰直角三角形 由题意得：c2－a2－b2＝0，a－b＝0，∴c2＝a2＋b2，a＝b，则△ABC 的形状为等腰直角三角形． 3．解：∵△ABD 是等边三角形， ∴∠B＝60°. ∵∠BAC＝90°，∴∠C＝180°－90°－60°＝30°， ∴BC＝2AB＝4. 在 Rt△ABC 中，由勾股定理得：AC＝ BC2－AB2＝ 42－22＝2 3，∴△ABC 的周长为 AC ＋BC＋AB＝2 3＋4＋2＝6＋2 3. 探究考点方法 触类旁通 1.D 触类旁通 2.解：在 Rt△ABD 中，BD＝ AD2＋AB2＝ 42＋32＝5， 在△BCD 中，CD＝13，CB＝12，BD＝5， ∴CB2＋BD2＝CD2.∴∠DBC＝90°. ∴S 四边形 ABCD＝S△A BD＋S△DBC＝1 2 AB·AD＋1 2 BC·BD＝1 2 ×3×4＋1 2 ×12×5＝6＋30＝36. 触类旁通 3.解：在 Rt△ABC 中，AC＝8，BC＝6，由勾股定理得，AB＝ AC2＋BC2＝10， 扩充部分为 Rt△ACD，扩成等腰三角形 ABD，应分以下三种情况： (1)如图 1，当 AB＝AD＝10 时，可求得 CD＝CB＝6，故△ABD 的周长为 32 m. (2)如图 2，当 AB＝BD＝10 时，可求得 CD＝4，由勾股定理得 AD＝ AC2＋CD2＝4 5，故 △ABD 的周长为(20＋4 5) m. (3)如图 3，当 AB 为底时，设 AD＝BD＝x，则 CD＝x－6，由勾股定理得(x－6)2＋82＝x2， 则 x＝25 3 ，故△ABD 的周长为80 3 m. 品鉴经典考题 1．答案不唯一，BD＝CD 或 BE＝CE 或 AC＝CE 或 CE＝AE 或 AC＝AE 或 AE＝BE 等 由线 段垂直平分线的概念，得 BD＝CD；由线段垂直平分线的性质，得 BE＝CE；由△ACE 是等边 三角形，得 AC＝CE＝AE；由三角形中位线的性质，得 AE＝BE，由上面结论，任选两条相等 的线段即可． 2.3 2 设 B 点的对应点为 B′，连接 DB′，由勾股定理得 AC＝5，又 AB′＝AB，所以 B′C ＝5－3＝2，设 DB＝DB′＝x，则 DC＝4－x，在 Rt△DB′C 中，x2＋22＝(4－x)2，解得 x＝3 2 . 3．5 4．解：(1)连接 AC，在 Rt△ABC 中， ∵AB＝BC＝15 千米，∠B＝90°， ∴AC＝ AB2＋BC2＝ 152＋152＝15 2(千米)． 在 Rt△ACD 中，AC＝15 2千米，CD＝3 2千米，∠D＝90°， ∴AD＝ AC2－CD2＝ (15 2)2－(3 2)2＝12 3(千米)． ∴周长＝AB＋BC＋CD＋DA＝15＋15＋3 2＋12 3＝30＋4.23＋20.76≈55(千米)， 面积＝S△ABC＋S△ADC＝1 2 ×15×15＋1 2 ×12 3×3 2＝225 2 ＋18 6≈157(平方千米)． (2)cos∠ACD＝CD AC ＝ 3 2 15 2 ＝1 5 . 研习预测试题 1．D 2．A 由 a＋c＝2b，c－a＝1 2 b， 可得 c＝5 4 b，a＝3 4 b，于是得 a2＋b2＝c2， 所以△ABC 是直角三角形． 3．C 4.A 5．C 由折叠性质可知，AE＝BE， 设 CE 为 x，则 BE＝8－x. 在 Rt△BCE 中，62＋x2＝(8－x)2， 所以 x＝7 4 .故CE BC ＝ 7 4 6 ＝ 7 24 . 6．4 2 ∵点 D 是 AB 的中点，∠ACB＝90°，DE⊥AC， ∴CD＝1 2 AB，DE＝1 2 BC，∴AB＝4 5，BC＝4. 在 Rt△ACB 中，AC＝ AB2－BC2＝8，∴CE＝1 2 AC＝4. ∵CE＝BC＝4，∠ACB＝90°，∴BE＝4 2. 7.31 2 根据题意易知 CD＝AC＝ 2，AD＝DE＝( 2)2＝2，EF＝AE＝2 2，AF＝FG＝2 2× 2 ＝4，AG＝4 2，所以所求图形的面积 S＝S△ABC＋S 梯形 ACDE＋S 梯形 AEFG＝1 2 ×1×1＋1 2 ×( 2＋ 2 2)× 2＋1 2 ×(2 2＋4 2)×2 2＝1 2 ＋3＋12＝31 2 . 8．证明：(1)在等腰 Rt△ABC 中， ∵∠CAD＝∠CBD＝15°， ∴∠BAD＝∠ABD＝45°－15°＝30°. ∴BD＝AD.∴△BDC≌△ADC. ∴∠DCA＝∠DCB＝45°. 由∠BDM＝∠ABD＋∠BAD＝30°＋30°＝60°， ∠EDC＝∠DAC＋∠DCA＝15°＋45°＝60°， ∴∠BDM＝∠EDC.∴DE 平分∠BDC. (2)如图，连接 MC. ∵DC=DM，且∠MDC=60°， ∴△MDC 是等边三角形，即 CM=CD. 又∵∠EMC＝180°－∠DMC＝180°－60°＝120°，∠ADC＝180°－∠MDC＝180°－ 60°＝120°， ∴∠EMC＝∠ADC. 又∵CE＝CA，∴∠DAC＝∠CEM＝15°. ∴△ADC≌△EMC.∴ME＝AD＝DB.