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- 2021-05-10 发布
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第五章 图形的认识与三角形
课时18.几何初步及平行线、相交线
【知识考点】
1. 两点确定一条直线,两点之间 最短,即过两点有且只有一条直线。
2. 1周角=_______,1平角=_______,1直角=_______.
3. 如果两个角的和等于90度,就说这两个角互余,同角或等角的余角相等;如果_____________________互为补角,__________________的补角相等.
4. ___________________________________叫对顶角,对顶角___________.
5. 过直线外一点心___________条直线与已知直线平行.
6. 平行线的性质:两直线平行,_________相等,________相等,________互补.
7. 平行线的判定:________相等,或______相等,或______互补,两直线平行.
8. 平面内,过一点有且只有_____条直线与已知直线垂直.
9.线段的垂直平分线:
性质:线段垂直平分线上的到这条线段的 的距离相等;
判定:到线段 的点在线段的垂直平分线上。
10.角的平分线:
性质:角平分线上的点到角 相等; 判定:到角 的点在这个角的平分线上。
【中考试题】
一.选择题
1.(2011年广西桂林)下面四个图形中,∠1=∠2一定成立的是( ).
2.如图,直线,则的度数是( )
(第2题)图
70°
31°
A. B. C. D.
3.(2011山东日照)如图,已知直线AB∥CD,∠C=125°,∠A=45°,那么∠E的大小为( )
A.70° B.80° C.90° D.100°
4.(2011•南通)如图,AB∥CD,∠DCE=80°,则∠BEF=( )
A、120° B、110° C、100° D、80°
5.(2011山西)如图所示,∠AOB的两边OA、OB均为平面反光镜,∠AOB=35°在OB上有一点E,从E点射出一束光线经OA上的点D反射后,反射光线DC恰好与OB平行,则∠DEB的度数是( )
A.35° B. 70° C. 110° D. 120°
6.(2011重庆綦江)如图,直线a∥b,AC丄AB,AC交直线b于点C,∠1=65°,则∠2的度数是( )
A
B
D
C
A.65° B.50° C.35° D.25°
7.(2010重庆)如图,AB∥CD,∠C=80°,∠CAD=60°,则∠BAD的度数等于( )
A.60° B.50° C. 45° D. 40
8.(2011•河池)如图,AB∥CD,AC与BD相交于点O,∠A=30°,∠COD=105°.则∠D的大小是( )
A、30° B、45° C、65° D、75°
9. (2011湖北潜江)如图,AB∥EF∥CD,∠ABC=46°,∠CEF=154°,则∠BCE等于( )
A.23° B.16° C.20° D.26°
10.(2011•安顺)如图,己知AB∥CD,BE平分∠ABC,∠CDE=150°,则∠C的度数是( )
A、100° B、110° C、120° D、150°
11.(2011•德州)如图,直线l1∥l2,∠1=40°,∠2=75°,则∠3等于( )
A、55° B、60° C、65° D、70°
12.(2011泰安)如图,l∥m,等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线m上,若∠β=20°,则∠α的度数为( )
A.25° B.30° C.20° D.35°
13.(2011四川泸州)如图,∠1与∠2互补,∠3=135°,则∠4的度数是( )A.45° B.55° C.65° D.75°
14. 如图,把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上,如果∠1=32°,那么∠2的度数是( )
A、32° B、58° C、68° D、60°
15.(2011天水)如图,将三角板的直角顶点放在两条平行线a、b中的直线b上,如果∠1=40°,则∠2的度数是( )A、30° B、45° C、40° D、50°
16.(2011四川雅安)如图,直线l1,l2被直线l3所截,且l1∥l2,若∠1=72°,∠2=58°,则∠3=( )
A.45° B.50° C.60° D.58°
17.(2011福建龙岩)如图.若乙、丙都在甲的北偏东70°方向上.乙在丁的正北方向上,且乙到丙、丁的距离相同.则α的度数是( )
A.25° B.30° C.35° D.40°
18.(2011广东省茂名)如图,已知AB∥CD,则图中与∠1互补的角有( )
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
19.(2011吉林长春)如图,直线l1∥l2,点A在直线l1上,以点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交直线l1.l2于B.C两点,连接AC.BC.若∠ABC=54°,则∠1的大小为( )
A.36° B.54° C.72° D.73°
20.(2011襄阳)如图,CD∥AB,∠1=120°,∠2=80°,则∠E的度数是( )
A.40° B.60° C.80° D.120°
21.(2011湖北孝感)如图,直线AB.CD交于点O,OT⊥AB于O,CE∥AB交CD于点C,若∠ECO=30°,则∠DOT等于( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
22.(2011湖南怀化)如图,已知直线a∥b,∠1=40°,∠2=60°.则∠3等于( )
A.100° B.60° C.40° D.20°
23.(2011贵州毕节)如图,已知AB∥CD,∠E=,∠C=,则∠EAB的度数是( )
A. B. C. D.
1
2
b
a
图6
c
24.(2011广东肇庆)如图,已知直线a∥b∥c,直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F,AC=4,CE=6,BD=3,则BF=( )
A、7 B、7.5 C、8 D、8.5
25..下列说法中正确的有 ( )
①同位角相等;②过一点有且只有一条直线与已知直线平行;
③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;④三条直线两两相交总有三个交点;
⑤若a∥b,b∥c,则a∥c.
A.1个 B.2个 C.3个 D.
二.填空题
1.(2010年,3分)如图6,直线,直线与 相交.若,则.
2.(11永州) 如图,直线a、b被直线c所截,若要a∥ b,需增加条件_________.(填一个即可)
3. (08宁夏)如图,AB∥CD, AC⊥BC,∠BAC=65°,则∠BCD度数为____________.
4.(2011云南保山)如图,l1∥l2,∠1=120°,则∠2= .
5.(2011江苏)如图,直线a、b被直线c所截,a∥b,∠1=70°,则∠2= .
6.(2011四川广安)如图所示,直线∥.直线与直线,分别相交于点、点,,垂足为点,若,则= _________
7.(2011•江西)一块直角三角板放在两平行直线上,如图所示,∠1+∠2= 度.
8.(2011湖州)如图:CD平分∠ACB,DE∥AC且∠1=30°,则∠2= 60 度.
9.(2011辽宁本溪)如图:AB∥CD,直线MN分别交AB、CD于点E、F,EG平分∠AEF.EG⊥FG于点G,若∠BEM=50°,则∠CFG= .
10.如图,AD∥BC,∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P,作PE⊥AB于点E.若PE=2,则两平行线AD与BC间的距离为 .
课时19.三角形的有关概念
【知识考点】
一、三角形的分类:
1.三角形按角分为______________,______________,_____________.
2.三角形按边分为_______________,__________________.
二、三角形的性质:
1.三角形中任意两边之和____第三边,两边之差_____第三边
2.三角形的内角和为_______,外角与内角的关系:__________________.
三、三角形中的主要线段:
1.___________________________________叫三角形的中位线.
2.中位线的性质:____________________________________________.
3.三角形三条中位线将三角形分成四个面积相等的全等三角形。
4.角平分线:三角形的角平分线交于一点,这点叫三角形的内心,它到三角形三边的距离 ,内心也是三角形内切圆的圆心。
5.三角形三边的垂直平分线:三角形三边的垂直平分线交于一点,这点叫做三角形的外心,它到三角形三个顶点的距离 ,外心也是三角形外接圆的圆心。
6.三角形的中线、高线、角平分线都是____________.(线段、射线、直线)
四、等腰三角形的性质与判定:
1. 等腰三角形的两底角__________;
2. 等腰三角形底边上的______、底边上的________和顶角的_______互相重合(三线合一);
3. 有两个角相等的三角形是_________.
五、等边三角形的性质与判定:
1. 等边三角形每个角都等于_______,同样具有“三线合一”的性质;
2. 三个角相等的三角形是_____,三边相等的三角形是_______,一个角等于60°的_______三角形是等边三角形.
六、直角三角形的性质与判定:
1. 直角三角形两锐角________.
A
B
C
D
40°
120°
图1
2. 直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的________.
3. 直角三角形中,斜边的中线等于斜边的______.;
4. 勾股定理:_________________________________________.
5. 勾股定理的逆定理:_________________________________________________.
【中考试题】
一.选择题
1. (2010年,3分)如图1,在△ABC中,D是BC延长线上一点, ∠B = 40°,∠
ACD = 120°,则∠A等于( )
A.60° B.70°
C.80° D.90°
2. (2011山东济宁)如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm,那么此三角形的周长是
A.15cm B.16cm
C.17cm D.16cm或17cm
3. (2011四川)如图,在中,,,点为的中点,,垂足为点,则等于( )
A. B. C. D. (第7题)
4. (2011浙江省舟山)如图,边长为4的等边△ABC中,DE为中位线,则四边形BCED的面积为( )
(A) (B) (C) (D)
5. (2011山东德州13,4分)下列命题中,其逆命题成立的是______________.(只填写序号)
①同旁内角互补,两直线平行;
②如果两个角是直角,那么它们相等;
③如果两个实数相等,那么它们的平方相等;
④如果三角形的三边长a,b,c满足,那么这个三角形是直角三角形.
6. (2011四川南充市)如图,⊿ABC和⊿CDE均为等腰直角三角形,点B,C,D在一条直线上,点M是AE的中点,下列结论:①tan∠AEC=;②S⊿ABC+S⊿CDE≧S⊿ACE ;③BM⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是( ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
二、填空题
1. (2011山东滨州)边长为6cm的等边三角形中,其一边上高的长度为________.
2.(2011山东)等腰三角形的周长为14,其一边长为4,那么,它的底边为 .
3.等腰两边的长分别是一元二次方程的两个解,则这个等腰三角形的周长是 .
4. (2011湖南邵阳)如图(四)所示,在△ABC中,AB=AC,∠B=50°,则∠A=_______。
5. (2011湖南怀化)如图6,在△ABC中,AB=AC,∠BAC的角平分线交BC边于点D,AB=5,BC=6,则AD=__________________.
6. (2011贵州安顺,16,4分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6cm,AC=8cm,按图中所示方法将△BCD沿BD折叠,使点C落在AB边的C′点,那么△ADC′的面积是 .
第6题图
7. (2011河北)如图3,在△ABC中,∠C=90°,BC=6,D,E分别在AB,AC上,将△ABC沿DE折叠,使点A落在点A′处,若A′为CE的中点,则折痕DE的长为( )
A. B.2 C.3 D.4
二填空题
8. (2011重庆綦江) 一个正方体物体沿斜坡向下滑动,其截面如图所示.正方形DEFH的边长为2米,坡角∠A=30°,∠B=90°,BC=6米. 当正方形DEFH运动到什么位置,即当AE= 米时,有DC=AE+BC.
9. (2011浙江台州)已知等边△ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,把△BDE沿直线DE翻折,使点B落在点Bˊ处,DBˊ,
EBˊ分别交边AC于点F,G,若∠ADF=80º ,则∠EGC的度数为
10. (2011浙江)如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°四边形ACDE是平行四边形,连结CE交AD于点F,连结BD交
CE于点G,连结BE. 下列结论中:
① CE=BD; ② △ADC是等腰直角三角形;
③ ∠ADB=∠AEB; ④ CD·AE=EF·CG;一定正确的结论有 .A
B
C
D
E
F
G
11.如图7-67所示,有一底角为35°的等腰三角形纸片,现过底边上 一点,沿与底边垂直的方向将其剪开,分成三角形和四边形两部分,则四边形中的最大角的度数是______.
12. (2011广东茂名,14,3分)如图,已知△ABC是等边三角形,点B、C、D、E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E= 度.
13. (2011贵州贵阳)如图,已知等腰Rt△ABC的直角边长为1,以Rt△ABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰Rt△ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰Rt△ADE,…,依此类推直到第五个等腰Rt△AFG,则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为______.
14. (2011四川乐山)如图,已知∠AOB=,在射线OA、OB上分别取点OA=OB,连结AB,在BA、BB上分别取点A、B,使B B= B A,连结A B…按此规律上去,记∠A B B=,∠,…,∠
则⑴= ; ⑵ = 。
三解答题
15. (2011湖北襄阳,21,6分)
如图6,点D,E在△ABC的边BC上,连接AD,AE. ①AB=AC;②AD=AE;③BD=CE.以此三个等式中的两个作为命题的题设,另一个作为命题的结论,构成三个命题:①②③;①③②;②③①.
(1)以上三个命题是真命题的为(直接作答) ;
(2)请选择一个真命题进行证明(先写出所选命题,然后证明).
图6
16. 已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分为13 cm和15 cm两部分,试求此等腰三角形的腰长和底边长.
17.(2011•青海)认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段,完成所提出的问题.
探究1:如图1,在△ABC中,O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点,通过分析发现∠BOC=90°+,理由如下:
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线
∴
∴
又∵∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A
∴
∴∠BOC=180°﹣(∠1+∠2)=180°﹣(90°﹣∠A)=
探究2:如图2中,O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点,试分析∠BOC与∠A有怎样的关系?请说明理由.
探究3:如图3中,O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点,则∠BOC与∠A有怎样的关系?(只写结论,不需证明)
结论: .
18. (2011年,10分)在图14-1至图14-3中,点B是线段AC的中点,点D是线段CE的中点.四边形BCGF和CDHN都是正方形.AE的中点是M.
(1)如图14-1,点E在AC的延长线上,点N与点G重合时,点M与点C重合,
求证:FM = MH,FM⊥MH;
图14-1
A
H
C(M)
D
E
B
F
G(N)
G
图14-2
A
H
C
D
E
B
F
N
M
A
H
C
D
E
图14-3
B
F
G
M
N
(2)将图14-1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角,得到图14-2,
求证:△FMH是等腰直角三角形;
(3)将图14-2中的CE缩短到图14-3的情况,
△FMH还是等腰直角三角形吗?(不必
说明理由)
19. (2011四川乐山25,12分)如图,在直角△ABC中, ∠ACB=90,CD⊥AB,垂足为D,点E在AC上,BE交CD于点G,EF⊥BE交AB于点F,若AC=mBC,CE=nEA(m,n为实数).试探究线段EF与EG的数量关系.
(1) 如图(14.2),当m=1,n=1时,EF与EG的数量关系是
证明:
(2) 如图(14.3),当m=1,n为任意实数时,EF与EG的数量关系是
证明
(3) 如图(14.1),当m,n均为任意实数时,EF与EG的数量关系是
(写出关系式,不必证明)
20. (2011浙江绍兴,23,12分)数学课上,李老师出示了如下框中的题目.
小敏与同桌小聪讨论后,进行了如下解答:
(1)特殊情况,探索结论
当点为的中点时,如图1,确定线段与的大小关系,请你直接写出结论:
(填“>”,“<”或“=”).
第25题图2
第25题图1
(2)特例启发,解答题目
解:题目中,与的大小关系是: (填“>”,“<”或“=”).理由如下:如图2,过点作,交于点.
(请你完成以下解答过程)
(3)拓展结论,设计新题
在等边三角形中,点在直线上,点在直线上,且.若的边长为1,,求的长(请你直接写出结果).