- 329.55 KB
- 2021-05-10 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2020年湖北省孝感市中考数学试卷
一、精心选一选,相信自己的判断!(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求,不涂,错涂或多涂的,一律得0分)
1.(3分)(2020•孝感)如果温度上升3℃,记作+3℃,那么温度下降2℃记作( )
A.﹣2℃ B.+2℃ C.+3℃ D.﹣3℃
2.(3分)(2020•孝感)如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD,垂足为点O.若∠BOE=40°,则∠AOC的度数为( )
A.40° B.50° C.60° D.140°
3.(3分)(2020•孝感)下列计算正确的是( )
A.2a+3b=5ab B.(3ab)2=9ab2
C.2a•3b=6ab D.2ab2÷b=2b
4.(3分)(2020•孝感)如图是由5个相同的正方体组成的几何体,则它的左视图是( )
A. B. C. D.
5.(3分)(2020•孝感)某公司有10名员工,每人年收入数据如下表:
年收入/万元
4
6
8
10
人数/人
3
4
2
1
则他们年收入数据的众数与中位数分别为( )
A.4,6 B.6,6 C.4,5 D.6,5
6.(3分)(2020•孝感)已知x=5-1,y=5+1,那么代数式x3-xy2x(x-y)的值是( )
A.2 B.5 C.4 D.25
第25页(共25页)
7.(3分)(2020•孝感)已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I(单位:A)与电阻R(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图所示,则这个反比例函数的解析式为( )
A.I=24R B.I=36R C.I=48R D.I=64R
8.(3分)(2020•孝感)将抛物线C1:y=x2﹣2x+3向左平移1个单位长度,得到抛物线C2,抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称,则抛物线C3的解析式为( )
A.y=﹣x2﹣2 B.y=﹣x2+2 C.y=x2﹣2 D.y=x2+2
9.(3分)(2020•孝感)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,AB=4,BC=6,∠BAD=30°.动点P沿路径A→B→C→D从点A出发,以每秒1个单位长度的速度向点D运动.过点P作PH⊥AD,垂足为H.设点P运动的时间为x(单位:s),△APH的面积为y,则y关于x的函数图象大致是( )
A.
B.
第25页(共25页)
C.
D.
10.(3分)(2020•孝感)如图,点E在正方形ABCD的边CD上,将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置,连接EF,过点A作EF的垂线,垂足为点H,与BC交于点G.若BG=3,CG=2,则CE的长为( )
A.54 B.154 C.4 D.92
二、细心填一填,试试自己的身手!(本大题共6小题,每小题3分,共18分.请将结果直接填写在答题卡相应位置上)
11.(3分)(2020•孝感)原子钟是北斗导航卫星的“心脏”,北斗卫星上的原子钟的精度可以达到100万年以上误差不超过1秒.数据100万用科学记数法表示为 .
12.(3分)(2020•孝感)有一列数,按一定的规律排列成13,﹣1,3,﹣9,27,﹣81,….若其中某三个相邻数的和是﹣567,则这三个数中第一个数是 .
13.(3分)(2020•孝感)某型号飞机的机翼形状如图所示,根据图中数据计算AB的长为 m.(结果保留根号)
第25页(共25页)
14.(3分)(2020•孝感)在线上教学期间,某校落实市教育局要求,督促学生每天做眼保健操.为了解落实情况,学校随机抽取了部分学生进行调查,调查结果分为四类(A类:总时长≤5分钟;B类:5分钟<总时长≤10分钟;C类:10分钟<总时长≤15分钟;D类:总时长>15分钟),将调查所得数据整理并绘制成如图两幅不完整的统计图.
该校共有1200名学生,请根据以上统计分析,估计该校每天做眼保健操总时长超过5分钟且不超过10分钟的学生约有 人.
15.(3分)(2020•孝感)如图1,四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间是个小正方形,这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.在此图形中连接四条线段得到如图2的图案,记阴影部分的面积为S1,空白部分的面积为S2,大正方形的边长为m,小正方形的边长为n,若S1=S2,则nm的值为 .
16.(3分)(2020•孝感)如图,已知菱形ABCD的对角线相交于坐标原点O,四个顶点分别在双曲线y=4x和y=kx(k<0)上,ACBD=23,平行于x轴的直线与两双曲线分别交于点E,F,连接OE,OF,则△OEF的面积为 .
第25页(共25页)
三、用心做一做,显显自己的能力!(本大题共8小题,满分72分.解答写在答题卡上)
17.(6分)(2020•孝感)计算:3-8+|3-1|﹣2sin60°+(14)0.
18.(8分)(2020•孝感)如图,在▱ABCD中,点E在AB的延长线上,点F在CD的延长线上,满足BE=DF.连接EF,分别与BC,AD交于点G,H.
求证:EG=FH.
19.(7分)(2020•孝感)有4张看上去无差别的卡片,上面分别写有数﹣1,2,5,8.
(1)随机抽取一张卡片,则抽取到的数是偶数的概率为 ;
(2)随机抽取一张卡片后,放回并混在一起,再随机抽取一张,请用画树状图或列表法,求抽取出的两数之差的绝对值大于3的概率.
20.(8分)(2020•孝感)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(﹣1,5),B(﹣3,1)和C(4,0),请按下列要求画图并填空.
(1)平移线段AB,使点A平移到点C,画出平移后所得的线段CD,并写出点D的坐标为 ;
(2)将线段AB绕点A逆时针旋转90°,画出旋转后所得的线段AE,并直接写出cos∠BCE的值为 ;
(3)在y轴上找出点F,使△ABF的周长最小,并直接写出点F的坐标为 .
第25页(共25页)
21.(10分)(2020•孝感)已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+12k2﹣2=0.
(1)求证:无论k为何实数,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的两个实数根x1,x2满足x1﹣x2=3,求k的值.
22.(10分)(2020•孝感)某电商积极响应市政府号召,在线销售甲、乙、丙三种农产品,已知1kg乙产品的售价比1kg甲产品的售价多5元,1kg丙产品的售价是1kg甲产品售价的3倍,用270元购买丙产品的数量是用60元购买乙产品数量的3倍.
(1)求甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是多少元?
(2)电商推出如下销售方案:甲、乙、丙三种农产品搭配销售共40kg,其中乙产品的数量是丙产品数量的2倍,且甲、丙两种产品数量之和不超过乙产品数量的3倍.请你帮忙计算,按此方案购买40kg农产品最少要花费多少元?
23.(10分)(2020•孝感)已知△ABC内接于⊙O,AB=AC,∠ABC的平分线与⊙O交于点D,与AC交于点E,连接CD并延长与⊙O过点A的切线交于点F,记∠BAC=α.
(1)如图1,若α=60°,
①直接写出DFDC的值为 ;
②当⊙O的半径为2时,直接写出图中阴影部分的面积为 ;
(2)如图2,若α<60°,且DFDC=23,DE=4,求BE的长.
第25页(共25页)
24.(13分)(2020•孝感)在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+4ax+4a﹣6(a>0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为点D.
(1)当a=6时,直接写出点A,B,C,D的坐标:
A ,B ,C ,D ;
(2)如图1,直线DC交x轴于点E,若tan∠AED=43,求a的值和CE的长;
(3)如图2,在(2)的条件下,若点N为OC的中点,动点P在第三象限的抛物线上,过点P作x轴的垂线,垂足为Q,交AN于点F;过点F作FH⊥DE,垂足为H.设点P的横坐标为t,记f=FP+FH.
①用含t的代数式表示f;
②设﹣5<t≤m(m<0),求f的最大值.
第25页(共25页)
2020年湖北省孝感市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、精心选一选,相信自己的判断!(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求,不涂,错涂或多涂的,一律得0分)
1.(3分)(2020•孝感)如果温度上升3℃,记作+3℃,那么温度下降2℃记作( )
A.﹣2℃ B.+2℃ C.+3℃ D.﹣3℃
【解答】解:“正”和“负”相对,
如果温度上升3℃,记作+3℃,
温度下降2℃记作﹣2℃.
故选:A.
2.(3分)(2020•孝感)如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD,垂足为点O.若∠BOE=40°,则∠AOC的度数为( )
A.40° B.50° C.60° D.140°
【解答】解:∵OE⊥CD,
∴∠EOD=90°,
∵∠BOE=40°,
∴∠BOD=90°﹣40°=50°,
∴∠AOC=∠BOD=50°.
故选:B.
3.(3分)(2020•孝感)下列计算正确的是( )
A.2a+3b=5ab B.(3ab)2=9ab2
C.2a•3b=6ab D.2ab2÷b=2b
【解答】解:2a和3b表示同类项,不能计算,因此选项A不符合题意;
(3ab)2=9a2b2,因此选项B不符合题意;
2a•3b=6ab,因此选项C符合题意;
第25页(共25页)
2ab2÷b=2ab,因此选项D不符合题意;
故选:C.
4.(3分)(2020•孝感)如图是由5个相同的正方体组成的几何体,则它的左视图是( )
A. B. C. D.
【解答】解:从左侧看到的是两列两层,其中左侧的一列是两层,因此选项C的图形符合题意,
故选:C.
5.(3分)(2020•孝感)某公司有10名员工,每人年收入数据如下表:
年收入/万元
4
6
8
10
人数/人
3
4
2
1
则他们年收入数据的众数与中位数分别为( )
A.4,6 B.6,6 C.4,5 D.6,5
【解答】解:10名员工的年收入出现次数最多的是6万元,共出现4次,因此众数是6,
将这10名员工的年收入从小到大排列,处在中间位置的数是6万元,因此中位数是6,
故选:B.
6.(3分)(2020•孝感)已知x=5-1,y=5+1,那么代数式x3-xy2x(x-y)的值是( )
A.2 B.5 C.4 D.25
【解答】解:原式=x(x+y)(x-y)x(x-y)
=x+y
当x=5-1,y=5+1,
原式=5-1+5+1
=25.
故选:D.
7.(3分)(2020•孝感)已知蓄电池的电压为定值,使用蓄电池时,电流I(单位:A)与电
第25页(共25页)
阻R(单位:Ω)是反比例函数关系,它的图象如图所示,则这个反比例函数的解析式为( )
A.I=24R B.I=36R C.I=48R D.I=64R
【解答】解:设I=KR,把(8,6)代入得:
K=8×6=48,
故这个反比例函数的解析式为:I=48R.
故选:C.
8.(3分)(2020•孝感)将抛物线C1:y=x2﹣2x+3向左平移1个单位长度,得到抛物线C2,抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称,则抛物线C3的解析式为( )
A.y=﹣x2﹣2 B.y=﹣x2+2 C.y=x2﹣2 D.y=x2+2
【解答】解:∵抛物线C1:y=x2﹣2x+3=(x﹣1)2+2,
∴抛物线C1的顶点为(1,2),
∵向左平移1个单位长度,得到抛物线C2,
∴抛物线C2的顶点坐标为(0,2),
∵抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称,
∴抛物线C3的开口方向相反,顶点为(0,﹣2),
∴抛物线C3的解析式为y=﹣x2﹣2,
故选:A.
9.(3分)(2020•孝感)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,AB=4,BC=6,∠BAD=30°.动点P沿路径A→B→C→D从点A出发,以每秒1个单位长度的速度向点D运动.过点P作PH⊥AD,垂足为H.设点P运动的时间为x(单位:s),△APH的面积为y,则y关于x的函数图象大致是( )
第25页(共25页)
A.
B.
C.
D.
【解答】解:①当点P在AB上运动时,
y=12AH×PH=12×APsinA×APcosA=12×x2×34=38x2,图象为二次函数;
②当点P在BC上运动时,如下图,
第25页(共25页)
由①知,BH′=ABsinA=4×12=2,同理AH′=23,
则y=12×AH×PH=12(23+x﹣4)×2=23-4+x,为一次函数;
③当点P在CD上运动时,
同理可得:y=12×(23+6)×(4+6+2﹣x)=(3+3)(12﹣x),为一次函数;
故选:D.
10.(3分)(2020•孝感)如图,点E在正方形ABCD的边CD上,将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置,连接EF,过点A作EF的垂线,垂足为点H,与BC交于点G.若BG=3,CG=2,则CE的长为( )
A.54 B.154 C.4 D.92
【解答】解:如图所示,连接EG,
由旋转可得,△ADE≌△ABF,
∴AE=AF,DE=BF,
又∵AG⊥EF,
∴H为EF的中点,
∴AG垂直平分EF,
∴EG=FG,
设CE=x,则DE=5﹣x=BF,FG=8﹣x,
∴EG=8﹣x,
∵∠C=90°,
∴Rt△CEG中,CE2+CG2=EG2,即x2+22=(8﹣x)2,
第25页(共25页)
解得x=154,
∴CE的长为154,
故选:B.
二、细心填一填,试试自己的身手!(本大题共6小题,每小题3分,共18分.请将结果直接填写在答题卡相应位置上)
11.(3分)(2020•孝感)原子钟是北斗导航卫星的“心脏”,北斗卫星上的原子钟的精度可以达到100万年以上误差不超过1秒.数据100万用科学记数法表示为 1×106 .
【解答】解:100万=1000000=1×106,
故答案:1×106.
12.(3分)(2020•孝感)有一列数,按一定的规律排列成13,﹣1,3,﹣9,27,﹣81,….若其中某三个相邻数的和是﹣567,则这三个数中第一个数是 ﹣81 .
【解答】解:设这三个数中的第一个数为x,则另外两个数分别为﹣3x,9x,
依题意,得:x﹣3x+9x=﹣567,
解得:x=﹣81.
故答案为:﹣81.
13.(3分)(2020•孝感)某型号飞机的机翼形状如图所示,根据图中数据计算AB的长为 (533-1.6) m.(结果保留根号)
【解答】解:如图,
在Rt△DEA中,∵cos∠EDA=DEDA,
∴DA=5cos45°=52(m);
在Rt△BCF中,∵cos∠BCF=CFCB,
∴CB=5cos30°=1033(m),
第25页(共25页)
∴BF=12BC=533(m),
∵AB+AE=EF+BF,
∴AB=3.4+533-5=533-1.6(m).
答:AB的长为(533-1.6)m.
故答案为:(533-1.6),
14.(3分)(2020•孝感)在线上教学期间,某校落实市教育局要求,督促学生每天做眼保健操.为了解落实情况,学校随机抽取了部分学生进行调查,调查结果分为四类(A类:总时长≤5分钟;B类:5分钟<总时长≤10分钟;C类:10分钟<总时长≤15分钟;D类:总时长>15分钟),将调查所得数据整理并绘制成如图两幅不完整的统计图.
该校共有1200名学生,请根据以上统计分析,估计该校每天做眼保健操总时长超过5分钟且不超过10分钟的学生约有 336 人.
【解答】解:本次抽取的学生有:10÷10%=100(人),
B类学生有:100﹣10﹣41﹣100×21%=28(人),
1200×28100=336(人),
即该校每天做眼保健操总时长超过5分钟且不超过10分钟的学生约有336人,
故答案为:336.
15.(3分)(2020•孝感)如图1,四个全等的直角三角形围成一个大正方形,中间是个小正方形,这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.在此图形中连接四条线段得到如图2的图案,记阴影部分的面积为S1
第25页(共25页)
,空白部分的面积为S2,大正方形的边长为m,小正方形的边长为n,若S1=S2,则nm的值为 3+12 .
【解答】解:设直角三角形另一条直角边为x,依题意有
2x2=12m2,
解得x=12m,
由勾股定理得(12m)2+(n+12m)2=m2,
m2﹣2mn﹣2n2=0,
解得m1=(﹣1-3)n(舍去),m2=(﹣1+3)n,
则nm的值为3+12.
故答案为:3+12.
16.(3分)(2020•孝感)如图,已知菱形ABCD的对角线相交于坐标原点O,四个顶点分别在双曲线y=4x和y=kx(k<0)上,ACBD=23,平行于x轴的直线与两双曲线分别交于点E,F,连接OE,OF,则△OEF的面积为 132 .
【解答】解:作AM⊥x轴于M,DN⊥x轴于N,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,
∴∠AOM+∠DON=∠ODN+DON=90°,
∴∠AOM=∠ODN,
∵∠AMO=∠OND=90°,
第25页(共25页)
∴△AOM∽△ODN,
∴S△AOMS△ODN=(OAOD)2,
∵A点在双曲线y=4x,ACBD=23,
∴S△AOM=12×4=2,OAOD=23,
∴2S△ODN=(23)2,
∴S△ODN=92,
∵D点在双曲线y=kx(k<0)上,
∴12|k|=92,
∴k=﹣9,
∵平行于x轴的直线与两双曲线分别交于点E,F,
∴S△OEF=12×4+12×9=132,
故答案为132.
三、用心做一做,显显自己的能力!(本大题共8小题,满分72分.解答写在答题卡上)
17.(6分)(2020•孝感)计算:3-8+|3-1|﹣2sin60°+(14)0.
【解答】解:原式=﹣2+3-1-3+1
=﹣2.
18.(8分)(2020•孝感)如图,在▱ABCD中,点E在AB的延长线上,点F在CD的延长线上,满足BE=DF.连接EF,分别与BC,AD交于点G,H.
求证:EG=FH.
第25页(共25页)
【解答】证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,∠ABC=∠CDA,
∴∠EBG=∠FDH,∠E=∠F,
在△BEG与△DFH中,∠E=∠FBE=DF∠EBG=∠FDH,
∴△BEG≌△DFH(ASA),
∴EG=FH.
19.(7分)(2020•孝感)有4张看上去无差别的卡片,上面分别写有数﹣1,2,5,8.
(1)随机抽取一张卡片,则抽取到的数是偶数的概率为 12 ;
(2)随机抽取一张卡片后,放回并混在一起,再随机抽取一张,请用画树状图或列表法,求抽取出的两数之差的绝对值大于3的概率.
【解答】解:(1)4张卡片,共4种结果,其中是“偶数”的有2种,因此抽到偶数的概率为24=12,
故答案为:12;
(2)用列表法表示所有可能出现的结果情况如下:
共有16种可能出现的结果,其中“两数差的绝对值大于3”的有6种,
∴P(差的绝对值大于3)=616=38.
20.(8分)(2020•孝感)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(﹣1,5),B(﹣3,1)和C(4,0),请按下列要求画图并填空.
第25页(共25页)
(1)平移线段AB,使点A平移到点C,画出平移后所得的线段CD,并写出点D的坐标为 (2,﹣4) ;
(2)将线段AB绕点A逆时针旋转90°,画出旋转后所得的线段AE,并直接写出cos∠BCE的值为 55 ;
(3)在y轴上找出点F,使△ABF的周长最小,并直接写出点F的坐标为 (0,4) .
【解答】解:(1)如图所示,线段CD即为所求,点D的坐标为(2,﹣4);
(2)如图所示,线段AE即为所求,cos∠BCE=CEBC=1050=55;
(3)如图所示,点F即为所求,点F的坐标为(0,4).
故答案为:(2,﹣4);55;(0,4).
21.(10分)(2020•孝感)已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+12k2﹣2=0.
(1)求证:无论k为何实数,方程总有两个不相等的实数根;
第25页(共25页)
(2)若方程的两个实数根x1,x2满足x1﹣x2=3,求k的值.
【解答】解:(1)∵△=[﹣(2k+1)]2﹣4×1×(12k2﹣2)
=4k2+4k+1﹣2k2+8
=2k2+4k+9
=2(k+1)2+7>0,
∵无论k为何实数,2(k+1)2≥0,
∴2(k+1)2+7>0,
∴无论k为何实数,方程总有两个不相等的实数根;
(2)由根与系数的关系得出x1+x2=2k+1,x1x2=12k2﹣2,
∵x1﹣x2=3,
∴(x1﹣x2)2=9,
∴(x1+x2)2﹣4x1x2=9,
∴(2k+1)2﹣4×(12k2﹣2)=9,
化简得k2+2k=0,
解得k=0或k=﹣2.
22.(10分)(2020•孝感)某电商积极响应市政府号召,在线销售甲、乙、丙三种农产品,已知1kg乙产品的售价比1kg甲产品的售价多5元,1kg丙产品的售价是1kg甲产品售价的3倍,用270元购买丙产品的数量是用60元购买乙产品数量的3倍.
(1)求甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是多少元?
(2)电商推出如下销售方案:甲、乙、丙三种农产品搭配销售共40kg,其中乙产品的数量是丙产品数量的2倍,且甲、丙两种产品数量之和不超过乙产品数量的3倍.请你帮忙计算,按此方案购买40kg农产品最少要花费多少元?
【解答】解:(1)设1kg甲产品的售价为x元,则1kg乙产品的售价为(x+5)元,1kg丙产品的售价为3x元,根据题意,得:
2703x=60x+5×3,
解得:x=5,
经检验,x=5既符合方程,也符合题意,
第25页(共25页)
∴x+5=10,3x=15.
答:甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是5元、10元、15元;
(2)设40kg的甲、乙、丙三种农产品搭配中丙种产品有xkg,则乙种产品有2mkg,甲乙种产品有(40﹣3m)kg,
∴40﹣3m+m≤2m×3,
∴m≥15,
设按此方案购买40kg农产品所需费用为y元,根据题意,得:
y=5(40﹣3m)+20m+15m=20m+200,
∵20>0,
∴y随m的增大而增大,
∴m=5时,y取最小值,且y最小=300,
答:按此方案购买40kg农产品最少要花费300元.
23.(10分)(2020•孝感)已知△ABC内接于⊙O,AB=AC,∠ABC的平分线与⊙O交于点D,与AC交于点E,连接CD并延长与⊙O过点A的切线交于点F,记∠BAC=α.
(1)如图1,若α=60°,
①直接写出DFDC的值为 12 ;
②当⊙O的半径为2时,直接写出图中阴影部分的面积为 332-23π ;
(2)如图2,若α<60°,且DFDC=23,DE=4,求BE的长.
【解答】解:(1)如图1,连接OA,AD,
第25页(共25页)
∵AF是⊙O的切线,
∴∠OAF=90°,
∵AB=AC,∠BAC=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD=30°,
∵∠ADB=∠ACB=60°,
∴∠BAD=90°,
∴BD是⊙O的直径,
∵OA=OB=OD,
∴∠ABO=∠OAB=30°,∠OAD=∠ADO=60°,
∵∠BDC=∠BAC=60°,
∴∠ADF=180°﹣60°﹣60°=60°=∠OAD,
∴OA∥DF,
∴∠F=180°﹣∠OAF=90°,
∵∠DAF=30°,
∴AD=2DF,
∵∠ABD=∠CBD,
∴AD=CD,
∴AD=CD,
∴CD=2DF,
∴DFDC=12,
第25页(共25页)
故答案为:12;
②∵⊙O的半径为2,
∴AD=OA=2,DF=1,
∵∠AOD=60°,
∴阴影部分的面积为:S梯形AODF﹣S扇形OAD=12⋅AF⋅(DF+OA)-60π×22360=12×3(1+2)-60π×4360=332-23π;
故答案为:332-23π;
(2)如图2,连接AD,连接AO并延长交⊙O于点H,连接DH,则∠ADH=90°,
∴∠DAH+∠DHA=90°,
∵AF与⊙O相切,
∴∠DAH+∠DAF=∠FAO=90°,
∴∠DAF=∠DHA,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,
∵AD=CD,
∴∠CAD=∠DHA=∠DAF,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB,
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠ABC+∠ADC=180°,
∵∠ADF+∠ADC=180°,
∴∠ADF=∠ABC,
∵∠ADB=∠ACB=∠ABC,
第25页(共25页)
∴∠ADF=∠ADB,
在△ADF和△ADE中
∵∠DAF=∠DAEAD=AD∠ADF=∠ADE,
∴△ADF≌△ADE(ASA),
∴DF=DE=4,
∵DFDC=23,
∴DC=6,
∵∠DCE=∠ABD=∠DBC,∠CDE=∠CDE,
∴△CDE∽△BDC,
∴CDDB=DECD,即6BD=46,
∴BD=9,
∴BE=DB﹣DE=9﹣5=5.
24.(13分)(2020•孝感)在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+4ax+4a﹣6(a>0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为点D.
(1)当a=6时,直接写出点A,B,C,D的坐标:
A (﹣3,0) ,B (﹣1,0) ,C (0,18) ,D (﹣2,﹣6) ;
(2)如图1,直线DC交x轴于点E,若tan∠AED=43,求a的值和CE的长;
(3)如图2,在(2)的条件下,若点N为OC的中点,动点P在第三象限的抛物线上,过点P作x轴的垂线,垂足为Q,交AN于点F;过点F作FH⊥DE,垂足为H.设点P的横坐标为t,记f=FP+FH.
①用含t的代数式表示f;
②设﹣5<t≤m(m<0),求f的最大值.
第25页(共25页)
【解答】解:(1)当a=6时,抛物线的表达式为:y=6x2+24x+18,
令y=0,则x=﹣1或﹣3;当x=0时,y=18,函数的对称轴为x=﹣2,
故点A、B、C、D的坐标分别为(﹣3,0)、(﹣1,0)、(0,18)、(﹣2,﹣6);
故答案为:(﹣3,0)、(﹣1,0)、(0,18)、(﹣2,﹣6);
(2)y=ax2+4ax+4a﹣6,令x=0,则y=4a﹣6,则点C(0,4a﹣6),
函数的对称轴为x=﹣2,故点D的坐标为(﹣2,﹣6),
由点C、D的坐标得,直线CD的表达式为:y=2ax+4a﹣6,
令y=0,则x=3a-2,故点E(3a-2,0),则OE=3a-2,
tan∠AED=OCOE=4a-63a-2=43,解得:a=23,
故点C、E的坐标分别为(0,-103)、(52,0),
则CE=(103)2+(52)2=256;
(3)①如图,作PF与ED的延长线交于点J,
第25页(共25页)
由(2)知,抛物线的表达式为:y=23x2+83x-103,
故点A、C的坐标分别为(﹣5,0)、(0,-103),则点N(0,-53),
由点A、N的坐标得,直线AN的表达式为:y=-13x-53;
设点P(t,23t2+83t-103),则点F(t,-13t-53);
则PF=-23t2﹣3t+53,
由点E(52,0)、C的坐标得,直线CE的表达式为:y=43x-103,
则点J(t,43t-103),故FJ=-53t+53,
∵FH⊥DE,JF∥y轴,
故∠FHJ=∠EOC=90°,∠FJH=∠ECO,
∴△FJH∽△ECO,故FHOE=FJCE,
则FH=OECE×FJ=-t+1,
f=PF+FH=-23t2﹣3t+53+(﹣t+1)=-23t2﹣4t+83;
②f=-23t2﹣4t+83=-23(t+3)2+263(﹣5<t≤m且m<0);
∴当﹣5<m<﹣3时,fmax=-23m2﹣4m+83;
当﹣3≤m<0时,fmax=263.
第25页(共25页)