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- 2021-05-10 发布
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2012最新压轴题冲刺强化训练1
1.(如图,点O在∠APB的平分线上,⊙O与PA边相切于点C,
(1)求证:PB是⊙O的切线;
(2)PO的延长线交⊙O于E,EA⊥PA于A.设PE交⊙O于另一点G,AE交⊙O于点F,连接FG,若⊙O的半径是3,=.
①求弦CE的长;②求的值.
1.(1)证明:连接OC,过点O作OD⊥PB于点D,
∵PA切⊙O于点C, ∴OC⊥PA
∵PO平分∠BPA,
∴OC=OD
∴PB是⊙O的切线; ………………………3分
(2)①连接CG,
∵EA⊥PA于A∴∠APC+∠ECA=90°
∵OC⊥PA, ∴∠OCE+∠EAC=90°
∴∠OCE=∠CEA
∵OC=OE, ∴∠OCE=∠OEC
∴∠AEC=∠CEG
∵EG为⊙O的直径,∴∠ECG=90°
∵tan∠AEC= , ∴tan∠CEG= ………………4分
设CG=,则CE=,∵⊙O的半径为3,∴直径EG=6
∴
解之得,(不合题意,舍去)
∴ ………………………6分
②∵OC⊥PA, ∴∠OCG+∠PCG=90°
∵OC=OE, ∴∠OCG=∠OGC
而∠ECG=90°,∴∠OGC+CEG=90°
∴∠PCG=∠CEG
∵∠EPC=∠CPG
∴△PCG∽△PEC ∴ ………………………8分
设PG=则PC=,在Rt△POC中,OG=OC=3
用勾股定理易得
∵∠GFE=∠PAE=90°∴GF∥PA
∴△EGF∽△EPA
∴ ………………………10分
2.如图,正方形ABCO的边长为4,D为OC边的中点,将△DCB沿直线BD对折,C点落在M处,BM的延长线交OA于点E,OA,OC分别在x轴和y轴的正半轴上.
(1)求线段OE的长;
(2)求经过D,E两点,对称轴为直线x=2的抛物线的解析式;
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使四边形P、E、D、B为顶点的四边形是梯形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
2.(1)解:∵四边形ABCO为正方形,D为OC的中点,
∴OA=AB=BC=CO=4,OD=DC=2,
∠BCO=COA=∠OAB=90°
∵△BCD与△BMD关于BD对称,
∴△BCD≌△BMD
∴∠DMB=∠BCD=90°,DM=DC=DO=2
∠CDB=∠MDB
∵DE=DE
∴Rt△DOE≌Rt△DME
∴∠ODE=∠MDE
∴∠ODE+∠BCD=180°÷2=90°
而∠BCD+∠CBD=90°
∴∠ODE=∠CBD
∴Rt△CBD∽Rt△ODE
∴
∴ ………………………4分
(2)有(1)知,D(0,2),E(1,0),设过D,E两点,对称轴为直线的抛物线的解析式为:,得
解之得
∴ ………………………8分
(3)存在点P,使以P、E、D、B为顶点的四边形是梯形,分三种情况讨论:
①当PE∥BD,PE≠BD时,四边形PEDB是梯形.
设直线PE交轴于点F,易证Rt△DEO∽Rt△EOF
可得,OF=,∴F(0,)
过E,F两点,用待定系数法可求直线PE 的解析式为:
当,此时P点的坐标为(2,) ……………10分
②当PD∥BE,PD≠BE时,四边形PDEB为梯形.
设直线PD交轴于点G
∵PD∥DE,∴∠GDE=∠DEB
∵∠DEG=∠DEB ∴∠GDE=∠DEG
∴GD=GE,设OG=,在Rt△DGO中,
,OD=2,OE=1,
易求 ,∴G(-)
过D,G两点用待定系数法可求直线PD 的解析式为:
当,此时点P的坐标是(2,);…………………11分
③当PB∥DE,PB≠DE时,四边形PDEB为梯形.
设直线PD交轴于点H,
∵PB∥DE,∴∠DEB=∠EBH, ∠DEO=∠BH0,
∵∠DEO=∠DEB, ∴∠EBH=∠EHB,
∴EB=EH,
在Rt△ABE中,AE=AO-OE=4-1=3,AB=4,
∴BE=5=EH, ∴OH=OE+EH=1+5=6
∴H(6,0)
过B,H两点用待定系数法可求直线PD 的解析式为:
当,此时点P的坐标是(2,8);………………12分
综上所述,符合条件的点P有三个,
其坐标分别为(2,),(2,),(2,8). ……………………13分
3、如图,已知直线y=x+8交x轴于A点,交y轴于B点,过A、0两点的抛物线y=ax2+bx(a<O)的顶点C在直线AB上,以C为圆心,CA的长为半径作⊙C.
(1)求抛物线的对称轴、顶点坐标及解析式;(2)将⊙C沿x轴翻折后,
得到⊙C
,求证:直线AC是⊙C′的切线;
(3)若M点是⊙C的优弧 (不与0、A重合)上的一个动点,P是抛物线上的点,且∠POA=∠AM0,求满足条件的P点的坐标.
3 解 (1)如图,由直线y=x+8图象上点的坐标特征可知,A(-8,0),B(0,8)
∵抛物线过A、O两点
∴抛物线的对称点为x=-4
又∵抛物线的对称点在直线AB上,
∴当x=-4时,y=4
∴抛物线的顶点C(-4,4)
,
解得
∴抛物线的解析式为y=- x2-2x; (3分)
(2)连接CC′、C′A
∵C、C′关于x轴对称,设CC′交x轴于D,则CD⊥x轴,且CD=4,AD=4
△ACD为等腰直角三角形
∴△AC′D也为等腰直角三角形
∴∠CAC′=90°
∵AC过⊙C′的半径C′A的外端点A
∴AC是⊙C′的切线; (6分)
(3)∵M点是⊙O的优弧 上的一点,
∴∠AMO=∠ABO=45°,
∴∠POA=∠AMO=45°
当P点在x轴上方的抛物线上时,
设P(x,y),则y=-x,
又∵y=- x2-2x
∴
解得
此时P点坐标为(-4,4)当P点在x轴下方的抛物线时,设P(x,y)
则y=x,又∵y=- -2x
∴
解得
此时P点的坐标为(-12,-12)
综上所述,满足条件的P点坐标为(-4,4)或(-12,-12) (10分)
4.已知,O为正方形ABCD对角线上一点,以O为圆心,OA的长为半径的⊙O与BC相切于M,与AB、AD分别相交于E、F.
(1) 求证:CD与⊙O相切;
(2) 若⊙O的半径为,求正方形ABCD的边长.
4.解
(1)连接OM,过点O作ON⊥CD,垂足为N. ……………………………1分
∵⊙O与BC相切于M,∴OM⊥BC. …………………………………… 2分
∵正方形ABCD中,AC平分∠BCD,∴OM=ON. ………………………4分
∴CD与⊙O相切 ………………………………………………………5分
(2)设正方形ABCD的边长为a. ………………………………………………6分
可证得△COM∽△CAB
∴,∴ …………………………………8分
解得 a =
∴正方形ABCD的边长为. …………………………10分
5.直角三角板ABC中,∠A=30°,BC=1.将其绕直角顶点C逆时针旋转一个角(且),得到Rt△.
(1)如图,当边经过点B时,求旋转角的度数;
(2)在三角板旋转的过程中,边与AB所在直线交于点D,过点 D作DE∥
交边于点E,联结BE.
① 当时,设AD=,BE=,求与之间的函数解析式及自变量 的取值范围;
② 当时,求AD的长.
备用图
备用图
5.解
(1)在Rt△中,∵∠A=30°,∴. ………………………1
分
由旋转可知:,,
∴△为等边三角形.……………2分
∴=. ……………3分
(2)① 当时,点D在AB边上(如图).
∵ DE∥, ∴ .
由旋转性质可知,CA =,CB=, ∠ACD=∠BCE.
∴ ∴ .
∴ △CAD∽△CBE. ………………………………………………6分
∴.∵∠A=30° ∴.[来源:学&科&网]
∴(0﹤﹤2) ………………………………………………8分
②当时,点D在AB边上
AD=x,,∠DBE=90°.
此时,.
当S =时,.整理,得 .
解得 ,即AD=1. ………………………………………………10分
当时,点D在AB的延长线上(如图).
仍设AD=x,则,∠DBE=90°.
.
当S =时,.
整理,得 .
解得 ,(负值,舍去).
即. ………………………………………………12分
综上所述:AD=1或.
6.如图,以矩形OABC的顶点O为原点,OA所在的直线为x轴,OC所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.已知OA=3,OC=2,点E是AB的中点,在OA上取一点D,将△BDA沿
BD翻折,使点A落在BC边上的点F处.
(第22题)
(1)直接写出点E、F的坐标;
(2)设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P,且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形,求该抛物线的解析式;
(3)在x轴、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小?如果存在,求出周长的最小值;如果不存在,请说明理由.
6.解:(1)由,得,
,
∴抛物线C1的顶点坐标为A(),……………………………………2分
∴线段AH的中点E为(),由 ,解得
∴…………………………………………………………4分
(2)设直线AB的解析式为,将A,B坐标代入得:
,解得
∴ …………………………………………………………………5分
∵抛物线C2的对称轴为,
将代入,得
∴P点坐标为,…………6分
①依题意P′点与P点关于轴对称,
∴P′点的坐标为 ,……………7分
将它代入C1的解析式,得 ,
化简得:.
解得(不合题意,舍去), .……………………………………………………………………………8分
∴C1:,C2:.…………………………9分
②设在抛物线C1上存在点Q,使得B、D、P、Q四点组成的四边形是平行四边形,
=
ⅰ)当Q点在轴右侧时,则必有BD∥PQ,
当Q点在P点下方时,将P点向下平移2个单位,得Q点坐标为,
将它代入C1的解析式,得 ,
化简得:。
解得(不合题意,舍去),.
∴此时的Q点坐标为;……………………………………………………11分
当Q点在P点上方时,将P点向上平移2个单位,得Q点坐标为,
将它代入C1的解析式,得 ,
化简得:.
解得(不合题意,舍去),(不合题意,舍去).
∴此时的Q点不存在;……………………………………………………………12分
ⅱ)当Q点在轴左侧时,
∵OB=OD, ∴必有OP=OQ,
∴Q点与P点关于原点对称,
∴Q点坐标为,
将它代入C1的解析式,得 ,
化简得:.
解得(不合题意,舍去),.
∴此时的Q点坐标为;
综上,在抛物线C1上存在点Q或Q,使得B、D、P、Q四点组
成的四边形是平行四边形.…………………………………………………………14分
7.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD=8,DC=4,∠ABC=90°,∠A=60°.
M点、N点是梯形边上的动点,M、N之间的线段长或折线长始终为2,它们同时开始运动,同时停止运动.N点从A点开始先沿AD方向,再沿DC方向,到达C点时停止运动.过M点作MH⊥AB,垂足为H,与BN交于O点,连接HN.设A、N之间的线段长或折线长为.解答下列问题:
(1)当△AHN为等边三角形时,求的值;
(2)当MN为线段时,并且△OHB与以O、M、N三点组成的三角形相似,求的值或的取值范围;
(3)设△AHN的面积为S,求S关于的函数解析式,并写出的取值范围.
7.解:(1)∵∠A=60°,
∴当AN=AH时,△AHN为等边三角形.…………1分
由已知在Rt△MAH中,∠A=60°,
则∠AMH=30°,
∴AH=AM =.……………………………2分
由,解得:x=2,
∴当x=2时,△AHN为等边三角形;……………3分
(2)分两种情况讨论:
①当N、M两点都在AD上时,如图1,
过D点作DE⊥AB交AB于E,
∴AE==8×=4,BE=CD=4,
∴AB=8,…………………………………………4分
∵∠MON=∠BOH,
∴当∠MNO=∠BHO=90°时,△OMN∽△OBH,
此时AN==8×=4,即x=4;………………………………5分
②当N、M两点都在DC上时,如图2,
∵AB∥CD,
∴在这种情况下,不论x取何值,△OMN与△OHB都相似;
综上所述:当x=4或8≤x<10时,△OHB与以O、M、N
三点组成的三角形相似.…………………………7分
(3)分以下四种情况:
①当N、M两点都在AD上,即0