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  • 2021-05-10 发布

2012中考数学压轴题冲刺强化训练1

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‎2012最新压轴题冲刺强化训练1‎ ‎1.(如图,点O在∠APB的平分线上,⊙O与PA边相切于点C, ‎(1)求证:PB是⊙O的切线; ‎(2)PO的延长线交⊙O于E,EA⊥PA于A.设PE交⊙O于另一点G,AE交⊙O于点F,连接FG,若⊙O的半径是3,=. ‎①求弦CE的长;②求的值.‎  ‎1.(1)证明:连接OC,过点O作OD⊥PB于点D,‎ ‎ ∵PA切⊙O于点C, ∴OC⊥PA ‎∵PO平分∠BPA,‎ ‎ ∴OC=OD ‎ ∴PB是⊙O的切线; ………………………3分 ‎ (2)①连接CG,‎ ‎ ∵EA⊥PA于A∴∠APC+∠ECA=90°‎ ‎ ∵OC⊥PA, ∴∠OCE+∠EAC=90°‎ ‎∴∠OCE=∠CEA ‎∵OC=OE, ∴∠OCE=∠OEC ‎∴∠AEC=∠CEG ‎∵EG为⊙O的直径,∴∠ECG=90°‎ ‎∵tan∠AEC= , ∴tan∠CEG= ………………4分 ‎ 设CG=,则CE=,∵⊙O的半径为3,∴直径EG=6‎ ‎ ∴‎ ‎ 解之得,(不合题意,舍去)‎ ‎ ∴ ………………………6分 ‎ ②∵OC⊥PA, ∴∠OCG+∠PCG=90°‎ ‎∵OC=OE, ∴∠OCG=∠OGC 而∠ECG=90°,∴∠OGC+CEG=90°‎ ‎∴∠PCG=∠CEG ‎ ∵∠EPC=∠CPG ‎ ∴△PCG∽△PEC ∴ ………………………8分 ‎ 设PG=则PC=,在Rt△POC中,OG=OC=3‎ ‎ 用勾股定理易得 ‎ ∵∠GFE=∠PAE=90°∴GF∥PA ‎ ∴△EGF∽△EPA ‎ ‎∴ ………………………10分 ‎2.如图,正方形ABCO的边长为4,D为OC边的中点,将△DCB沿直线BD对折,C点落在M处,BM的延长线交OA于点E,OA,OC分别在x轴和y轴的正半轴上. ‎(1)求线段OE的长; ‎(2)求经过D,E两点,对称轴为直线x=2的抛物线的解析式; ‎(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使四边形P、E、D、B为顶点的四边形是梯形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. ‎ 2.(1)解:∵四边形ABCO为正方形,D为OC的中点,‎ ‎ ∴OA=AB=BC=CO=4,OD=DC=2, ‎ ‎ ∠BCO=COA=∠OAB=90°‎ ‎ ∵△BCD与△BMD关于BD对称,‎ ‎ ∴△BCD≌△BMD ‎ ∴∠DMB=∠BCD=90°,DM=DC=DO=2‎ ‎ ∠CDB=∠MDB ‎ ∵DE=DE ‎ ∴Rt△DOE≌Rt△DME ‎ ∴∠ODE=∠MDE ‎ ∴∠ODE+∠BCD=180°÷2=90°‎ ‎ 而∠BCD+∠CBD=90°‎ ‎ ∴∠ODE=∠CBD ‎ ∴Rt△CBD∽Rt△ODE ‎ ∴‎ ‎ ∴ ………………………4分 ‎ (2)有(1)知,D(0,2),E(1,0),设过D,E两点,对称轴为直线的抛物线的解析式为:,得 ‎ 解之得 ‎ ‎ ∴ ………………………8分 ‎ (3)存在点P,使以P、E、D、B为顶点的四边形是梯形,分三种情况讨论:‎ ‎ ①当PE∥BD,PE≠BD时,四边形PEDB是梯形.‎ ‎ 设直线PE交轴于点F,易证Rt△DEO∽Rt△EOF ‎ 可得,OF=,∴F(0,)‎ ‎ 过E,F两点,用待定系数法可求直线PE 的解析式为:‎ ‎ 当,此时P点的坐标为(2,) ……………10分 ‎ ②当PD∥BE,PD≠BE时,四边形PDEB为梯形.‎ ‎ 设直线PD交轴于点G ‎∵PD∥DE,∴∠GDE=∠DEB ‎∵∠DEG=∠DEB ∴∠GDE=∠DEG ‎∴GD=GE,设OG=,在Rt△DGO中,‎ ‎,OD=2,OE=1,‎ 易求 ,∴G(-)‎ 过D,G两点用待定系数法可求直线PD 的解析式为:‎ 当,此时点P的坐标是(2,);…………………11分 ‎ ③当PB∥DE,PB≠DE时,四边形PDEB为梯形.‎ ‎ 设直线PD交轴于点H,‎ ‎ ∵PB∥DE,∴∠DEB=∠EBH, ∠DEO=∠BH0,‎ ‎∵∠DEO=∠DEB, ∴∠EBH=∠EHB,‎ ‎∴EB=EH,‎ 在Rt△ABE中,AE=AO-OE=4-1=3,AB=4,‎ ‎ ∴BE=5=EH, ∴OH=OE+EH=1+5=6‎ ‎∴H(6,0)‎ 过B,H两点用待定系数法可求直线PD 的解析式为: ‎ 当,此时点P的坐标是(2,8);………………12分 综上所述,符合条件的点P有三个,‎ 其坐标分别为(2,),(2,),(2,8). ……………………13分 ‎3、如图,已知直线y=x+8交x轴于A点,交y轴于B点,过A、0两点的抛物线y=ax2+bx(a<O)的顶点C在直线AB上,以C为圆心,CA的长为半径作⊙C. (1)求抛物线的对称轴、顶点坐标及解析式;(2)将⊙C沿x轴翻折后,‎ 得到⊙C ‎,求证:直线AC是⊙C′的切线; (3)若M点是⊙C的优弧 (不与0、A重合)上的一个动点,P是抛物线上的点,且∠POA=∠AM0,求满足条件的P点的坐标.‎ ‎3 解 (1)如图,由直线y=x+8图象上点的坐标特征可知,A(-8,0),B(0,8) ∵抛物线过A、O两点 ∴抛物线的对称点为x=-4 又∵抛物线的对称点在直线AB上, ∴当x=-4时,y=4 ∴抛物线的顶点C(-4,4) , 解得 ‎ ‎∴抛物线的解析式为y=- x2-2x; (3分) (2)连接CC′、C′A ∵C、C′关于x轴对称,设CC′交x轴于D,则CD⊥x轴,且CD=4,AD=4 △ACD为等腰直角三角形 ∴△AC′D也为等腰直角三角形 ∴∠CAC′=90° ∵AC过⊙C′的半径C′A的外端点A ∴AC是⊙C′的切线; (6分) (3)∵M点是⊙O的优弧 上的一点, ∴∠AMO=∠ABO=45°, ∴∠POA=∠AMO=45° 当P点在x轴上方的抛物线上时, 设P(x,y),则y=-x, 又∵y=- x2-2x ∴ 解得 此时P点坐标为(-4,4)当P点在x轴下方的抛物线时,设P(x,y) 则y=x,又∵y=- -2x ∴ 解得 此时P点的坐标为(-12,-12) 综上所述,满足条件的P点坐标为(-4,4)或(-12,-12) (10分) ‎ ‎4.已知,O为正方形ABCD对角线上一点,以O为圆心,OA的长为半径的⊙O与BC相切于M,与AB、AD分别相交于E、F.‎ ‎(1) 求证:CD与⊙O相切;‎ ‎(2) 若⊙O的半径为,求正方形ABCD的边长.‎ ‎4.解 ‎(1)连接OM,过点O作ON⊥CD,垂足为N. ……………………………1分 ‎ ‎∵⊙O与BC相切于M,∴OM⊥BC. …………………………………… 2分 ‎∵正方形ABCD中,AC平分∠BCD,∴OM=ON. ………………………4分 ‎∴CD与⊙O相切 ………………………………………………………5分 ‎(2)设正方形ABCD的边长为a. ………………………………………………6分 可证得△COM∽△CAB ‎ ∴,∴ …………………………………8分 ‎ 解得 a = ‎ ‎∴正方形ABCD的边长为. …………………………10分 ‎5.直角三角板ABC中,∠A=30°,BC=1.将其绕直角顶点C逆时针旋转一个角(且),得到Rt△.‎ ‎(1)如图,当边经过点B时,求旋转角的度数;‎ ‎(2)在三角板旋转的过程中,边与AB所在直线交于点D,过点 D作DE∥‎ 交边于点E,联结BE.‎ ‎① 当时,设AD=,BE=,求与之间的函数解析式及自变量 的取值范围;‎ ‎② 当时,求AD的长. ‎ 备用图 备用图 ‎ ‎ ‎5.解 ‎(1)在Rt△中,∵∠A=30°,∴. ………………………1‎ 分 由旋转可知:,,‎ ‎∴△为等边三角形.……………2分 ‎∴=. ……………3分 ‎(2)① 当时,点D在AB边上(如图). ‎ ‎∵ DE∥, ∴ .‎ ‎ 由旋转性质可知,CA =,CB=, ∠ACD=∠BCE.‎ ‎∴ ∴ . ‎ ‎∴ △CAD∽△CBE. ………………………………………………6分 ‎∴.∵∠A=30° ∴.[来源:学&科&网]‎ ‎∴(0﹤﹤2) ………………………………………………8分 ‎②当时,点D在AB边上 AD=x,,∠DBE=90°.‎ 此时,.‎ ‎ 当S =时,.整理,得 .‎ 解得 ,即AD=1. ………………………………………………10分 当时,点D在AB的延长线上(如图).‎ ‎ 仍设AD=x,则,∠DBE=90°.‎ ‎ .‎ ‎ 当S =时,.‎ ‎ 整理,得 .‎ 解得 ,(负值,舍去). ‎ ‎ 即. ………………………………………………12分 ‎ 综上所述:AD=1或.‎ ‎6.如图,以矩形OABC的顶点O为原点,OA所在的直线为x轴,OC所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系.已知OA=3,OC=2,点E是AB的中点,在OA上取一点D,将△BDA沿 BD翻折,使点A落在BC边上的点F处.‎ ‎(第22题)‎ ‎(1)直接写出点E、F的坐标;‎ ‎(2)设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P,且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形,求该抛物线的解析式;‎ ‎(3)在x轴、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小?如果存在,求出周长的最小值;如果不存在,请说明理由.‎ ‎6.解:(1)由,得,‎ ‎,‎ ‎∴抛物线C1的顶点坐标为A(),……………………………………2分 ‎∴线段AH的中点E为(),由 ,解得 ‎∴…………………………………………………………4分 ‎(2)设直线AB的解析式为,将A,B坐标代入得:‎ ‎,解得 ‎ ‎∴ …………………………………………………………………5分 ‎∵抛物线C2的对称轴为,‎ 将代入,得 ‎∴P点坐标为,…………6分 ‎①依题意P′点与P点关于轴对称,‎ ‎∴P′点的坐标为 ,……………7分 将它代入C1的解析式,得 ,‎ 化简得:.‎ 解得(不合题意,舍去), .……………………………………………………………………………8分 ‎∴C1:,C2:.…………………………9分 ‎ ②设在抛物线C1上存在点Q,使得B、D、P、Q四点组成的四边形是平行四边形,‎ ‎=‎ ‎ ⅰ)当Q点在轴右侧时,则必有BD∥PQ,‎ ‎ 当Q点在P点下方时,将P点向下平移2个单位,得Q点坐标为,‎ 将它代入C1的解析式,得 ,‎ 化简得:。‎ 解得(不合题意,舍去),.‎ ‎ ∴此时的Q点坐标为;……………………………………………………11分 ‎ 当Q点在P点上方时,将P点向上平移2个单位,得Q点坐标为,‎ 将它代入C1的解析式,得 ,‎ 化简得:.‎ 解得(不合题意,舍去),(不合题意,舍去).‎ ‎ ∴此时的Q点不存在;……………………………………………………………12分 ‎ ⅱ)当Q点在轴左侧时,‎ ‎ ∵OB=OD, ∴必有OP=OQ,‎ ‎ ∴Q点与P点关于原点对称,‎ ‎ ∴Q点坐标为,‎ 将它代入C1的解析式,得 ,‎ 化简得:.‎ 解得(不合题意,舍去),.‎ ‎ ∴此时的Q点坐标为;‎ ‎ 综上,在抛物线C1上存在点Q或Q,使得B、D、P、Q四点组 ‎ ‎ 成的四边形是平行四边形.…………………………………………………………14分 ‎7.如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD=8,DC=4,∠ABC=90°,∠A=60°.‎ M点、N点是梯形边上的动点,M、N之间的线段长或折线长始终为2,它们同时开始运动,同时停止运动.N点从A点开始先沿AD方向,再沿DC方向,到达C点时停止运动.过M点作MH⊥AB,垂足为H,与BN交于O点,连接HN.设A、N之间的线段长或折线长为.解答下列问题:‎ ‎(1)当△AHN为等边三角形时,求的值;‎ ‎(2)当MN为线段时,并且△OHB与以O、M、N三点组成的三角形相似,求的值或的取值范围;‎ ‎(3)设△AHN的面积为S,求S关于的函数解析式,并写出的取值范围.‎ ‎7.解:(1)∵∠A=60°,‎ ‎∴当AN=AH时,△AHN为等边三角形.…………1分 由已知在Rt△MAH中,∠A=60°,‎ 则∠AMH=30°,‎ ‎ ∴AH=AM =.……………………………2分 ‎ 由,解得:x=2,‎ ‎ ∴当x=2时,△AHN为等边三角形;……………3分 ‎(2)分两种情况讨论:‎ ‎ ①当N、M两点都在AD上时,如图1,‎ ‎ 过D点作DE⊥AB交AB于E,‎ ‎ ∴AE==8×=4,BE=CD=4,‎ ‎∴AB=8,…………………………………………4分 ‎∵∠MON=∠BOH,‎ ‎ ∴当∠MNO=∠BHO=90°时,△OMN∽△OBH,‎ ‎ 此时AN==8×=4,即x=4;………………………………5分 ‎②当N、M两点都在DC上时,如图2,‎ ‎ ∵AB∥CD,‎ ‎∴在这种情况下,不论x取何值,△OMN与△OHB都相似;‎ 综上所述:当x=4或8≤x<10时,△OHB与以O、M、N 三点组成的三角形相似.…………………………7分 ‎(3)分以下四种情况:‎ ‎ ①当N、M两点都在AD上,即0