- 864.50 KB
- 2021-05-10 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2016年中考数学圆切线的证明题
C
E
D
A
F
O
B
1.已知:如图,AB是⊙O的直径,AD是弦,OC垂直AD于F交⊙O于E,
连结DE、BE,且∠C=∠BED.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若OA=10,AD=16,求AC的长.
2.(本题12分)如图,已知CD是△ABC中AB边上的高,以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F,点G是AD的中点.求证:GE是⊙O的切线.
图8
A
O
D
B
C
3、 如图8.AB是⊙O的直径,∠A=30o,延长OB到D使BD=OB.
(1) 是否是等边三角形?说明理由.
(2) 求证:DC是⊙O的切线.
B
A
C
D
E
G
O
F
第5题图
4、如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC中点,AE平分∠BAD交BC于点E,点O是AB上一点,⊙O过A、E两点, 交AD于点G,交AB于点F.
(1)求证:BC与⊙O相切;
(2)当∠BAC=120°时,求∠EFG的度数.
5.(10分)如图,点在的直径的延长线上,点在上,,,
(1)求证:是的切线;
(2)若的半径为2,求图中阴影部分的面积.
6.在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,以BC为直径作⊙O交AB于点D.
(1)求线段AD的长度;
O
D
C
B
A
(第7题图)
(2)点E是线段AC上的一点,试问当点E在什么位置时,直线ED与⊙O相切?请说明理由.
7、如图,等腰三角形ABC中,AC=BC=6,AB=8.以BC为直径作⊙O交AB于点D,交AC于点G,DF⊥AC,垂足为F,交CB的延长线于点E.
(1)求证:直线EF是⊙O的切线;
(2)求sin∠E的值.
8、
如图,直线l与⊙O相交于A,B两点,且与半径OC垂直,垂足为H ,已知AB=16厘米,.
(1) 求⊙O的半径;
(2) 如果要将直线l向下平移到与⊙O相切的位置,平移的距离应是多少?请说明理由.
A
B
O
H
C
l
9.如图,⊙O的直径AB=4,C、D为圆周上两点,且四边形OBCD是菱形,过点D的直线EF∥AC,交BA、BC的延长线于点E、F.
(1)求证:EF是⊙O的切线;
(2)求DE的长.
10、如图,已知矩形ABCD内接于⊙O,BD为⊙O直径,将△BCD沿BD所在的直线翻折后,得到点C的对应点N仍在⊙O上,BN交AD与点M.若∠AMB=60°,⊙O的半径是3cm.
(1)求点O到线段ND的距离.
(2)过点A作BN的平行线EF,判断直线EF与⊙O的位置关系并说明理由.
11. 如图,在⊙O中,直径AB垂直于弦CD,垂足为E,连接AC,[来将△ACE沿AC翻折得到△ACF,直线FC与直线AB相交于点G.
A
F
C
G
O
D
E
B
(第13题)
(1)直线FC与⊙O有何位置关系?并说明理由;
(2)若,求CD的长.
A
O
C
B
D
(第21题)
12.如图,内接于,点在半径的延长线上,.
(1)试判断直线与的位置关系,并说明理由;
(2)若的半径长为1,求由弧、线段和所围成的阴影部分面积(结果保留和根号).
13.(10分)已知,如图在矩形ABCD中,点0在对角线AC上,以 OA长为半径的圆0与AD、AC分别交于点E、F。∠ACB=∠DCE.
(1)判断直线CE与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(2)若tan∠ACB=,BC=2,求⊙O的半径.
14. 已知:如图,以的边为直径的交边于点,且过点的切线平分边.
(1)与是否相切?请说明理由;
(第16题)
(2)当满足什么条件时,以点,,,为顶点的四边形是平行四边形?并说明理由.
15.如图,以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A,BM平分∠ABC交AC于点M,AD⊥BC于点D,AD交BM于点N,ME⊥BC于点E,AB2=AF·AC,cos∠ABD=,AD=12.
⑴求证:△ANM≌△ENM;
⑵求证:FB是⊙O的切线;
⑶证明四边形AMEN是菱形,并求该菱形的面积S.
16.(10分) 如图9,已知,在△ABC中,∠ABC=,BC为⊙O的直径, AC与⊙O交于点D,点E为AB的中点,PF⊥BC交BC于点G,交AC于点F.
(1)求证:ED是⊙O的切线.
(2)如果CF =1,CP =2,sinA =,求⊙O的直径BC.
参考答案:
1、(1)证明:∵∠BED=∠BAD,∠C=∠BED
∴∠BAD=∠C 1分
∵OC⊥AD于点F
∴∠BAD+∠AOC=90o 2分
∴∠C+∠AOC=90o
∴∠OAC=90o
∴OA⊥AC
∴AC是⊙O的切线. 4分
(2)∵OC⊥AD于点F,∴AF=AD=8 5分
在Rt△OAF中,OF==6 6分
∵∠AOF=∠AOC,∠OAF=∠C
∴△OAF∽△OCA 7分
∴
即 OC= 8分
在Rt△OAC中,AC=. 10分
2.证明:(证法一)连接. 1分
∵是⊙O的直径,
. 2分
∵是的中点,
. 4分
. 6分
∵. 8分
.即. 10分
是⊙O的切线. 12分
(证法二)连接. 1分
∵,
. 2分
. 4分
∵OC=OE.
∴∠2=∠4.
∴∠1=∠3. 6分
又,
. 8分
. 10分
是⊙O的切线. 12分
3、(1)解法一:∵∠A=,∴∠COB=. ………………2分
又OC=OB,
∴△OCB是等边三角形. ………………4分
解法二:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=.
又∵∠A=, ∴∠ABC=. ………………2分
又OC=OB, ∴△OCB是等边三角形. ………………4分
(2)证明:由(1)知:BC=OB,∠OCB=∠OBC=.
又∵BD=OB,∴BC=BD. ………………6分
∴∠BCD=∠BDC=∠OBC=.
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=,
故DC是⊙O的切线. ………………8分
B
A
C
D
E
G
O
F
4、(1)证明:连接OE,------------------------------1分
∵AB=AC且D是BC中点,
∴AD⊥BC.
∵AE平分∠BAD,
∴∠BAE=∠DAE.------------------------------3分
∵OA=OE,
∴∠OAE=∠OEA.
∴∠OEA=∠DAE.
∴OE∥AD.
∴OE⊥BC.
∴BC是⊙O的切线.---------------------------6分
(2)∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°.----------------------------7分
∴∠EOB =60°.------------------------------8分
∴∠EAO =∠EAG =30°.-------------------9分
∴∠EFG =30°.------------------------------10分
5、(1)证明:连结. ………………1分
∵ ,,
∴ . ………………2分
∵ ,
∴ . ………………3分
∴ . …………………………………………………4分
∴ 是的切线. ……………………………………………………………5分
(2)解:∵∠A=30o, ∴ . ……………………………6分
∴ . …………………………………………………7分
在Rt△OCD中, ∵ , ∴ . …………………………8分
∴ . …………………………9分
∴ 图中阴影部分的面积为. ………………………………………10分
6、解:(1)在Rt△ACB中,∵AC=3cm,BC=4cm,∠ACB=90°,∴AB=5cm. ……1分
连结CD,∵BC为直径,∴∠ADC =∠BDC =90°.
O
D
C
B
A
E
∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB,∴Rt△ADC ∽Rt△ACB.
∴,∴. …………………………4分
(2)当点E是AC的中点时,ED与⊙O相切. ………………5分
证明:连结OD,∵DE是Rt△ADC的中线.
∴ED=EC,∴∠EDC=∠ECD.
∵OC=OD,∴∠ODC =∠OCD. …………………7分
∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD =∠ACB =90°.
∴ED与⊙O相切. …………………………9
7、(1)证明:如图,连结,则 .
∴ .
∵ AC=BC, ∴ .
∴ .
∵ ∥,∴ .
∵ 于F,∴ .
∴.∴ .
∴ EF是⊙O的切线. ------------------------------------------------------------3分
( 2 ) 连结BG,∵BC是直径, ∴∠BGC=90=∠CFE.
∴ BG∥EF.∴ .
设 ,则 .
在Rt△BGA中,.
在Rt△BGC中, .
∴ .解得 .即 .
在Rt△BGC中, .
∴ sin∠E. --------------------------------------------- --------------------------------5分
8、解:(1) ∵ 直线l与半径OC垂直,∴ . ……2分
A
B
O
H
C
(第20题)
l
∵ ,
∴ OB=HB=×8= 10. ……2分
(2) 在Rt△OBH中,
. ……2分
∴ .
所以将直线l向下平移到与⊙O相切的位置时,平移的距离是4cm. ……2分
9.(1)证明:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°. …………………………………………………… 1分
∵四边形OBCD是菱形,
∴OD//BC.
∴∠1=∠ACB=90°.
∵EF∥AC,
∴∠2=∠1 =90°. …………… 2分
∵OD是半径,
∴EF是⊙O的切线. ………………………………………… 3分
(2)解:连结OC,
∵直径AB=4,
∴半径OB=OC=2.
∵四边形OBCD是菱形,
∴OD=BC=OB=OC=2. ………………………………………… 4分
∴∠B=60°.
∵OD//BC,
∴∠EOD=∠B= 60°.
在Rt△EOD中,.…… 5分
10. (1)解:(法一):过点O作OG⊥ND于点G
∴∠OGD=90°
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠C =90°
由翻折得
∠N=∠C = 90°= ∠OGD …………1分
∴OG∥BN
∵∠NBD=30°
∴∠GOD=30° …………3分
在Rt△OGD中,cos30°= ,OD=3
∴OG= …………5分
(法二):过点O作OG⊥ND于点G
则DG=NG …………1分
∵OB=OD
∴OG是△BDN的中位线
∴OG= BN
∵四边形ABCD是矩形, ∠C=90°
∴BD是⊙O直径
∵OD=3
∴BD=6 …………3分
在Rt△BND中,cos30°=
∴BN=
∴OG= …………5分
(2)相切.证明:连接OA交BN与H.
∵∠DBN=30°,
由翻折得∠DBC=∠DBN=30°.
∵∠ABC=90°,
∴∠ABO=60°. …………1分
∵OA=OB,
∴△ABO是等边三角形 . …………3分
∴∠AOB=60°.
∴∠BHO=90°.
又∵EF∥BN ,
∴∠FAH=90°.
∴OA⊥EF.
∴EF与⊙O相切. …………5分
11.解:(1)直线FC与⊙O相切.……1分
A
F
C
G
O
D
E
B
(第20题)
1
3
2
理由如下:
连接.
∵, ∴……2分
由翻折得,,.
∴. ∴OC∥AF.
∴.
∴直线FC与⊙O相切.……4分
(2)在Rt△OCG中,,
∴.……6分
在Rt△OCE中,.……8分
∵直径AB垂直于弦CD,
∴.……9分
A
O
C
B
D
(第12题)
12.解:(1)直线与相切.
理由如下:
在中,.
又,是正三角形,.
又,,
.
又是半径,直线与相切.
(2)由(1)得是,.
,.
.
又,
.
13.解:(1)直线CE与⊙O相切.……………………………………………………………2分
证明如下:
∵四边形ABCD为矩形
∴BC∥AD,∠ACB=∠DAC
又∵∠ACB=∠DCE
∴∠DAC=∠DCE
连接0E,则∠DAC=∠AEO=∠DCE…………………………………………4分
∵∠DCE+∠DEC=90°
∴∠AEO+∠DEC=90°
∴∠DEC=90°
∴CE与⊙O相切.………………………………………………………………6分
(2)∵tan∠ACB=,BC=2
∴AB=BCtan∠ACB=,AC=
又∵∠ACB=∠DCE
∵tan∠DCE=
∴DE=DCtan∠DCE=l……………………………………………………………8分
方法一:在Rt△CDE中
CE=
连接OE,令⊙O的半径为,则在Rt△COE中,
即
解得:…………………………………………………………10分
14、(1)与相切
理由:连结,,
切于,为直径,
,
又平分,
, 2分
.又,;
,即.
与相切. 4分
(2)当为等腰直角三角形时,四边形是平行四边形.
是等腰直角三角形,
. 6分
于,为中点.
,.
四边形是平行四边形. 8分
15、.⑴证明:∵BC是⊙O的直径
∴∠BAC=90o
又∵EM⊥BC,BM平分∠ABC,
∴AM=ME,∠AMN=EMN
又∵MN=MN,
∴△ANM≌△ENM
⑵∵AB2=AF·AC
∴
又∵∠BAC=∠FAB=90o
∴△ABF∽△ACB
∴∠ABF=∠C
又∵∠FBC=∠ABC+∠FBA=90o
∴FB是⊙O的切线
⑶由⑴得AN=EN,AM=EM,∠AMN=EMN,
又∵AN∥ME,∴∠ANM=∠EMN,
∴∠AMN=∠ANM,∴AN=AM,
∴AM=ME=EN=AN ∴四边形AMEN是菱形
∵cos∠ABD=,∠ADB=90o
∴
设BD=3x,则AB=5x,,由勾股定理
而AD=12,∴x=3
∴BD=9,AB=15
∵MB平分∠AME,∴BE=AB=15
∴DE=BE-BD=6
∵ND∥ME,∴∠BND=∠BME,又∵∠NBD=∠MBE
∴△BND∽△BME,则
设ME=x,则ND=12-x,,解得x=
∴S=ME·DE=×6=45
16、解:⑴ 连接OD …………………………………………1分
∵BC为直径 ∴△BDC为直角三角形。
又∵∠OBD=∠ODB
Rt△ADB中E为AB中点 ∴∠ABD=∠EDB …………………………2分
∵∠OBD+∠ABD=90 ∴∠ODB+∠EDB=90
∴ED是⊙O的切线。 …………………………………………5分
(2)∵PF⊥BC
∴∠FPC=∠PDC 又∠PCF公用
∴△PCF∽△DCP ………………………………………………………7分
∴PC=CF·CD
又∵CF=1, CP=2, ∴CD=4 …………………………………………8分
可知 sin∠DBC = sinA =
∴=即= 得直径BC= 5 ………………………………………10分