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  • 2021-05-10 发布

2016中考数学圆切线的证明题题集冲刺

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‎ 2016年中考数学圆切线的证明题 C E D A F O B ‎1.已知:如图,AB是⊙O的直径,AD是弦,OC垂直AD于F交⊙O于E,‎ 连结DE、BE,且∠C=∠BED.‎ ‎(1)求证:AC是⊙O的切线;‎ ‎(2)若OA=10,AD=16,求AC的长.‎ ‎2.(本题12分)如图,已知CD是△ABC中AB边上的高,以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F,点G是AD的中点.求证:GE是⊙O的切线.‎ 图8‎ A O D B C 3、 如图8.AB是⊙O的直径,∠A=30o,延长OB到D使BD=OB.‎ (1) 是否是等边三角形?说明理由.‎ (2) 求证:DC是⊙O的切线.‎ B A C D E G O F 第5题图 ‎4、如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC中点,AE平分∠BAD交BC于点E,点O是AB上一点,⊙O过A、E两点, 交AD于点G,交AB于点F.‎ ‎(1)求证:BC与⊙O相切;‎ ‎(2)当∠BAC=120°时,求∠EFG的度数.‎ ‎5.(10分)如图,点在的直径的延长线上,点在上,,,‎ ‎(1)求证:是的切线;‎ ‎(2)若的半径为2,求图中阴影部分的面积.‎ ‎6.在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=‎3cm,BC=‎4cm,以BC为直径作⊙O交AB于点D.‎ ‎(1)求线段AD的长度;‎ O D C B A ‎(第7题图)‎ ‎(2)点E是线段AC上的一点,试问当点E在什么位置时,直线ED与⊙O相切?请说明理由.‎ ‎7、如图,等腰三角形ABC中,AC=BC=6,AB=8.以BC为直径作⊙O交AB于点D,交AC于点G,DF⊥AC,垂足为F,交CB的延长线于点E.‎ ‎(1)求证:直线EF是⊙O的切线;‎ ‎(2)求sin∠E的值.‎ ‎8、 如图,直线l与⊙O相交于A,B两点,且与半径OC垂直,垂足为H ,已知AB=‎16厘米,.‎ ‎(1) 求⊙O的半径;‎ ‎(2) 如果要将直线l向下平移到与⊙O相切的位置,平移的距离应是多少?请说明理由.‎ A B O H C l ‎9.如图,⊙O的直径AB=4,C、D为圆周上两点,且四边形OBCD是菱形,过点D的直线EF∥AC,交BA、BC的延长线于点E、F.‎ ‎(1)求证:EF是⊙O的切线;‎ ‎(2)求DE的长.‎ ‎10、如图,已知矩形ABCD内接于⊙O,BD为⊙O直径,将△BCD沿BD所在的直线翻折后,得到点C的对应点N仍在⊙O上,BN交AD与点M.若∠AMB=60°,⊙O的半径是‎3cm.‎ ‎ (1)求点O到线段ND的距离. ‎ ‎ (2)过点A作BN的平行线EF,判断直线EF与⊙O的位置关系并说明理由. ‎ ‎11. 如图,在⊙O中,直径AB垂直于弦CD,垂足为E,连接AC,[来将△ACE沿AC翻折得到△ACF,直线FC与直线AB相交于点G.‎ A F C G O D E B ‎(第13题)‎ ‎(1)直线FC与⊙O有何位置关系?并说明理由;‎ ‎(2)若,求CD的长.‎ A O C B D ‎(第21题)‎ ‎12.如图,内接于,点在半径的延长线上,.‎ ‎(1)试判断直线与的位置关系,并说明理由;‎ ‎(2)若的半径长为1,求由弧、线段和所围成的阴影部分面积(结果保留和根号).‎ ‎13.(10分)已知,如图在矩形ABCD中,点0在对角线AC上,以 OA长为半径的圆0与AD、AC分别交于点E、F。∠ACB=∠DCE.‎ ‎(1)判断直线CE与⊙O的位置关系,并证明你的结论; ‎ ‎(2)若tan∠ACB=,BC=2,求⊙O的半径.‎ ‎14. 已知:如图,以的边为直径的交边于点,且过点的切线平分边.‎ ‎(1)与是否相切?请说明理由;‎ ‎(第16题)‎ ‎(2)当满足什么条件时,以点,,,为顶点的四边形是平行四边形?并说明理由.‎ ‎15.如图,以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A,BM平分∠ABC交AC于点M,AD⊥BC于点D,AD交BM于点N,ME⊥BC于点E,AB2=AF·AC,cos∠ABD=,AD=12.‎ ‎⑴求证:△ANM≌△ENM;‎ ‎⑵求证:FB是⊙O的切线;‎ ‎⑶证明四边形AMEN是菱形,并求该菱形的面积S.‎ ‎16.(10分) 如图9,已知,在△ABC中,∠ABC=,BC为⊙O的直径, AC与⊙O交于点D,点E为AB的中点,PF⊥BC交BC于点G,交AC于点F.‎ ‎(1)求证:ED是⊙O的切线.‎ ‎(2)如果CF =1,CP =2,sinA =,求⊙O的直径BC.‎ ‎ ‎ ‎ 参考答案:‎ ‎1、(1)证明:∵∠BED=∠BAD,∠C=∠BED ‎∴∠BAD=∠C 1分 ‎∵OC⊥AD于点F ‎∴∠BAD+∠AOC=90o 2分 ‎∴∠C+∠AOC=90o ‎ ‎∴∠OAC=90o ‎ ‎∴OA⊥AC ‎∴AC是⊙O的切线. 4分 ‎(2)∵OC⊥AD于点F,∴AF=AD=8 5分 在Rt△OAF中,OF==6 6分 ‎∵∠AOF=∠AOC,∠OAF=∠C ‎∴△OAF∽△OCA 7分 ‎∴‎ 即 OC= 8分 在Rt△OAC中,AC=. 10分 ‎2.证明:(证法一)连接. 1分 ‎∵是⊙O的直径,‎ ‎. 2分 ‎∵是的中点,‎ ‎. 4分 ‎. 6分 ‎∵. 8分 ‎.即. 10分 ‎ 是⊙O的切线. 12分 ‎(证法二)连接. 1分 ‎∵,‎ ‎. 2分 ‎. 4分 ‎∵OC=OE.‎ ‎∴∠2=∠4. ‎ ‎∴∠1=∠3. 6分 又,‎ ‎. 8分 ‎. 10分 是⊙O的切线. 12分 ‎3、(1)解法一:∵∠A=,∴∠COB=. ………………2分 ‎        又OC=OB, ‎ ‎∴△OCB是等边三角形. ………………4分 ‎    解法二:∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=.‎ ‎        又∵∠A=, ∴∠ABC=. ………………2分 ‎        又OC=OB, ∴△OCB是等边三角形. ………………4分 ‎(2)证明:由(1)知:BC=OB,∠OCB=∠OBC=.‎ 又∵BD=OB,∴BC=BD. ………………6分 ‎∴∠BCD=∠BDC=∠OBC=.‎ ‎∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=,‎ 故DC是⊙O的切线. ………………8分 B A C D E G O F ‎4、(1)证明:连接OE,------------------------------1分 ‎∵AB=AC且D是BC中点,‎ ‎∴AD⊥BC.‎ ‎∵AE平分∠BAD,‎ ‎∴∠BAE=∠DAE.------------------------------3分 ‎∵OA=OE,‎ ‎∴∠OAE=∠OEA.‎ ‎∴∠OEA=∠DAE.‎ ‎∴OE∥AD.‎ ‎∴OE⊥BC.‎ ‎∴BC是⊙O的切线.---------------------------6分 ‎(2)∵AB=AC,∠BAC=120°,‎ ‎∴∠B=∠C=30°.----------------------------7分 ‎∴∠EOB =60°.------------------------------8分 ‎∴∠EAO =∠EAG =30°.-------------------9分 ‎∴∠EFG =30°.------------------------------10分 ‎5、(1)证明:连结. ………………1分 ‎∵ ,,‎ ‎∴ . ………………2分 ‎∵ ,‎ ‎∴ . ………………3分 ‎∴ . …………………………………………………4分 ‎∴ 是的切线. ……………………………………………………………5分 ‎(2)解:∵∠A=30o, ∴ . ……………………………6分 ‎∴ . …………………………………………………7分 在Rt△OCD中, ∵ , ∴ . …………………………8分 ‎∴ . …………………………9分 ‎∴ 图中阴影部分的面积为. ………………………………………10分 ‎6、解:(1)在Rt△ACB中,∵AC=‎3cm,BC=‎4cm,∠ACB=90°,∴AB=‎5cm. ……1分 连结CD,∵BC为直径,∴∠ADC =∠BDC =90°.‎ O D C B A E ‎∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB,∴Rt△ADC ∽Rt△ACB. ‎ ‎∴,∴. …………………………4分 ‎(2)当点E是AC的中点时,ED与⊙O相切. ………………5分 证明:连结OD,∵DE是Rt△ADC的中线.‎ ‎∴ED=EC,∴∠EDC=∠ECD.‎ ‎∵OC=OD,∴∠ODC =∠OCD. …………………7分 ‎∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD =∠ACB =90°.‎ ‎∴ED与⊙O相切. …………………………9‎ ‎7、(1)证明:如图,连结,则 .‎ ‎∴ .‎ ‎ ∵ AC=BC, ∴ .‎ ‎ ∴ .‎ ‎ ∵ ∥,∴ .‎ ‎ ∵ 于F,∴ .‎ ‎∴.∴ .‎ ‎∴ EF是⊙O的切线. ------------------------------------------------------------3分 ‎( 2 ) 连结BG,∵BC是直径, ∴∠BGC=90=∠CFE.‎ ‎ ∴ BG∥EF.∴ .‎ ‎ 设 ,则 .‎ ‎ 在Rt△BGA中,.‎ 在Rt△BGC中, .‎ ‎∴ .解得 .即 .‎ 在Rt△BGC中, .‎ ‎∴ sin∠E. --------------------------------------------- --------------------------------5分 ‎8、解:(1) ∵ 直线l与半径OC垂直,∴ . ……2分 A B O H C ‎(第20题)‎ l ‎∵ ,‎ ‎∴ OB=HB=×8= 10. ……2分 ‎(2) 在Rt△OBH中,‎ ‎. ……2分 ‎∴ .‎ 所以将直线l向下平移到与⊙O相切的位置时,平移的距离是‎4cm. ……2分 ‎9.(1)证明:∵AB是⊙O的直径,‎ ‎∴∠ACB=90°. …………………………………………………… 1分 ‎∵四边形OBCD是菱形,‎ ‎∴OD//BC.‎ ‎∴∠1=∠ACB=90°.‎ ‎∵EF∥AC,‎ ‎∴∠2=∠1 =90°. …………… 2分 ‎∵OD是半径,‎ ‎∴EF是⊙O的切线. ………………………………………… 3分 ‎(2)解:连结OC,‎ ‎∵直径AB=4,‎ ‎∴半径OB=OC=2.‎ ‎∵四边形OBCD是菱形,‎ ‎∴OD=BC=OB=OC=2. ………………………………………… 4分 ‎∴∠B=60°.‎ ‎∵OD//BC,‎ ‎∴∠EOD=∠B= 60°.‎ 在Rt△EOD中,.…… 5分 ‎10. (1)解:(法一):过点O作OG⊥ND于点G ‎∴∠OGD=90°‎ ‎∵四边形ABCD是矩形, ‎ ‎∴∠C =90°‎ 由翻折得 ‎∠N=∠C = 90°= ∠OGD …………1分 ‎∴OG∥BN ‎∵∠NBD=30°‎ ‎∴∠GOD=30° …………3分 在Rt△OGD中,cos30°= ,OD=3‎ ‎∴OG= …………5分 ‎(法二):过点O作OG⊥ND于点G ‎ 则DG=NG …………1分 ‎ ∵OB=OD ‎ ∴OG是△BDN的中位线 ‎ ∴OG= BN ‎ ‎∵四边形ABCD是矩形, ∠C=90°‎ ‎∴BD是⊙O直径 ‎∵OD=3‎ ‎∴BD=6 …………3分 在Rt△BND中,cos30°=‎ ‎ ∴BN=‎ ‎∴OG= …………5分 ‎(2)相切.证明:连接OA交BN与H.‎ ‎∵∠DBN=30°,‎ 由翻折得∠DBC=∠DBN=30°.‎ ‎∵∠ABC=90°, ‎ ‎∴∠ABO=60°. …………1分 ‎∵OA=OB,‎ ‎∴△ABO是等边三角形 . …………3分 ‎∴∠AOB=60°. ‎ ‎ ∴∠BHO=90°.‎ ‎ 又∵EF∥BN , ‎ ‎ ∴∠FAH=90°.‎ ‎∴OA⊥EF.‎ ‎∴EF与⊙O相切. …………5分 ‎ ‎11.解:(1)直线FC与⊙O相切.……1分 A F C G O D E B ‎(第20题)‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎2‎ 理由如下:‎ 连接.‎ ‎∵, ∴……2分 由翻折得,,.‎ ‎∴. ∴OC∥AF.‎ ‎∴.‎ ‎∴直线FC与⊙O相切.……4分 ‎(2)在Rt△OCG中,,‎ ‎∴.……6分 在Rt△OCE中,.……8分 ‎∵直径AB垂直于弦CD,‎ ‎∴.……9分 A O C B D ‎(第12题)‎ ‎12.解:(1)直线与相切.‎ 理由如下:‎ 在中,.‎ 又,是正三角形,.‎ 又,,‎ ‎.‎ 又是半径,直线与相切.‎ ‎(2)由(1)得是,.‎ ‎,.‎ ‎.‎ 又,‎ ‎.‎ ‎13.解:(1)直线CE与⊙O相切.……………………………………………………………2分 ‎ 证明如下:‎ ‎ ∵四边形ABCD为矩形 ‎ ∴BC∥AD,∠ACB=∠DAC ‎ 又∵∠ACB=∠DCE ‎ ∴∠DAC=∠DCE ‎ 连接0E,则∠DAC=∠AEO=∠DCE…………………………………………4分 ‎ ∵∠DCE+∠DEC=90°‎ ‎ ∴∠AEO+∠DEC=90°‎ ‎ ∴∠DEC=90°‎ ‎ ∴CE与⊙O相切.………………………………………………………………6分 ‎(2)∵tan∠ACB=,BC=2‎ ‎ ∴AB=BCtan∠ACB=,AC=‎ ‎ 又∵∠ACB=∠DCE ‎ ∵tan∠DCE=‎ ‎ ∴DE=DCtan∠DCE=l……………………………………………………………8分 方法一:在Rt△CDE中 CE=‎ 连接OE,令⊙O的半径为,则在Rt△COE中,‎ 即 解得:…………………………………………………………10分 ‎14、(1)与相切 ‎  理由:连结,,‎ ‎  切于,为直径,‎ ‎  ,‎ ‎  又平分,‎ ‎  , 2分 ‎  .又,;‎ ‎  ,即.‎ ‎  与相切. 4分 ‎(2)当为等腰直角三角形时,四边形是平行四边形.‎ ‎  是等腰直角三角形,‎ ‎  . 6分 ‎  于,为中点.‎ ‎  ,.‎ ‎  四边形是平行四边形. 8分 ‎15、.⑴证明:∵BC是⊙O的直径 ‎∴∠BAC=90o 又∵EM⊥BC,BM平分∠ABC,‎ ‎∴AM=ME,∠AMN=EMN 又∵MN=MN,‎ ‎∴△ANM≌△ENM ‎⑵∵AB2=AF·AC ‎∴‎ 又∵∠BAC=∠FAB=90o ‎∴△ABF∽△ACB ‎∴∠ABF=∠C 又∵∠FBC=∠ABC+∠FBA=90o ‎∴FB是⊙O的切线 ‎⑶由⑴得AN=EN,AM=EM,∠AMN=EMN,‎ 又∵AN∥ME,∴∠ANM=∠EMN,‎ ‎∴∠AMN=∠ANM,∴AN=AM,‎ ‎∴AM=ME=EN=AN ∴四边形AMEN是菱形 ‎∵cos∠ABD=,∠ADB=90o ‎∴‎ 设BD=3x,则AB=5x,,由勾股定理 而AD=12,∴x=3‎ ‎∴BD=9,AB=15‎ ‎∵MB平分∠AME,∴BE=AB=15‎ ‎∴DE=BE-BD=6‎ ‎∵ND∥ME,∴∠BND=∠BME,又∵∠NBD=∠MBE ‎∴△BND∽△BME,则 设ME=x,则ND=12-x,,解得x=‎ ‎∴S=ME·DE=×6=45‎ ‎16、解:⑴ 连接OD …………………………………………1分 ‎∵BC为直径 ∴△BDC为直角三角形。‎ 又∵∠OBD=∠ODB ‎ Rt△ADB中E为AB中点 ∴∠ABD=∠EDB …………………………2分 ‎∵∠OBD+∠ABD=90 ∴∠ODB+∠EDB=90‎ ‎∴ED是⊙O的切线。 …………………………………………5分 ‎ (2)∵PF⊥BC ‎ ‎ ∴∠FPC=∠PDC 又∠PCF公用 ‎ ∴△PCF∽△DCP ………………………………………………………7分 ‎ ∴PC=CF·CD 又∵CF=1, CP=2, ∴CD=4 …………………………………………8分 可知 sin∠DBC = sinA =‎ ‎∴=即= 得直径BC= 5 ………………………………………10分