- 375.00 KB
- 2021-05-10 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
2017---2018学年中考数学复习专题--《特殊平行四边形》
评卷人
得 分
一.选择题(共12小题)
1.下列性质中,菱形具有而平行四边形不具有的性质是( )
A.对边平行且相等 B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直 D.对角互补
2.能判定一个四边形是菱形的条件是( )
A.对角线互相平分且相等
B.对角线互相垂直且相等
C.对角线互相垂直且对角相等
D.对角线互相垂直,且一条对角线平分一组对角
3.矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A.对边分别相等 B.对角分别相等
C.对角线互相平分 D.对角线相等
4.以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是( )
A.AB=CD,AD=BC,∠A=90° B.OA=OB=OC=OD
C.AB=CD,AB∥CD,AC=BD D.AB=CD,AB∥CD,OA=OC,OB=OD
5.顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形,那么四边形ABCD的对角线AC和BD只需满足的条件是
( )
A.相等 B.互相垂直
C.相等且互相垂直 D.相等且互相平分
6.已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm,则菱形的边长是( )
A.12cm B.10cm C.7cm D.5cm
7.如图,在平行四边形ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E,以A为圆心,AB长为半径画弧交AD于F,若BF=12,AB=10,则AE的长为( )
A.16 B.15 C.14 D.13
8.如图,E,G,F,H分别是矩形ABCD四条边上的点,EF⊥GH,若AB=2,BC=3,则EF:GH=( )
A.2:3 B.3:2 C.4:9 D.无法确定
9.如图:点P是Rt△ABC斜边AB上的一点,PE⊥AC于E,PF⊥BC于F,BC=15,AC=20,则线段EF的最小值为( )
A.12 B.6 C.12.5 D.25
10.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,点E为垂足,连接DF,则∠CDF为( )
A.80° B.70° C.65° D.60°
11.如图,在菱形ABCD中,∠A=110°,E,F分别是边AB和BC的中点,EP⊥CD于点P,则∠FPC的度数为( )
A.55° B.50° C.45° D.35°
12.如图,矩形ABCD中,O为AC中点,过点O的直线分别与AB,CD交于点E,F,连接BF交AC于点M,连接DE,BO.若∠COB=60°,FO=FC,则下列结论:
①FB⊥OC,OM=CM;
②△EOB≌△CMB;
③四边形EBFD是菱形;
④MB:OE=3:2.
其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
评卷人
得 分
二.填空题(共6小题)
13.如图,菱形纸片ABCD,∠A=60°,P为AB中点,折叠菱形纸片ABCD,使点C落在DP所在的直线上,得到经过点D的折痕DE,则∠DEC等于 度.
14.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD在第一象限内,边BC与x轴平行,A,B两点的纵坐标分别为3,1,反比例函数y=
的图象经过A,B两点,则菱形ABCD的面积为 .
15.如图:在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,对角线AC、BD相交于点O,过点O作OE垂直AC交AD于点E,则DE的长是 .
16.平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,BD=2AD,E、F、G分别是OC、OD,AB的中点.下列结论:①EG=EF; ②△EFG≌△GBE; ③FB平分∠EFG;④EA平分∠GEF;⑤四边形BEFG是菱形.其中正确的是 .
17.如图,矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,点E是BC上一点,且AB=BE,∠1=15°,则∠2= .
18.如图所示,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P是AD上的动点,PE⊥AC,PF⊥BD于F,则PE+PF的值为 .
评卷人
得 分
三.解答题(共6小题)
19.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,AE∥CD,CE∥AB,连接DE交AC于点O.
(1)证明:四边形ADCE为菱形.
(2)BC=6,AB=10,求菱形ADCE的面积.
20.已知,如图,BD为平行四边形ABCD的对角线,O为BD的中点,EF⊥BD于点O,与AD、BC分别交于点E、F.试判断四边形BFDE的形状,并证明你的结论.
21.如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,DE⊥AC于点E,DG⊥AB于点G,EK⊥AB于点K,GH⊥AC于点H、EK和GH相交于点F.
求证:GE与FD互相垂直平分.
22.如图:在△ABC中,CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD,AE⊥CE于E,AF⊥CF于F,直线EF分别交AB、AC于M、N.
(1)求证:四边形AECF为矩形;
(2)试猜想MN与BC的关系,并证明你的猜想;
(3)如果四边形AECF是菱形,试判断△ABC的形状,直接写出结果,不用说明理由.
23.如图:矩形ABCD中,AB=2,BC=5,E、P分别在AD、BC上,且DE=BP=1.
(1)判断△BEC的形状,并说明理由?
(2)判断四边形EFPH是什么特殊四边形?并证明你的判断;
(3)求四边形EFPH的面积.
24.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD为AC的中线,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG、DF.
(1)求证:BD=DF;
(2)求证:四边形BDFG为菱形;
(3)若AG=13,CF=6,求四边形BDFG的周长.
2017---2018学年中考数学复习专题--《特殊平行四边形》
参考答案与试题解析
一.选择题(共12小题)
1.下列性质中,菱形具有而平行四边形不具有的性质是( )
A.对边平行且相等 B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直 D.对角互补
【解答】解:A、平行四边形的对边平行且相等,所以A选项错误;
B、平行四边形的对角线互相平分,所以B选项错误;
C、菱形的对角线互相垂直,平行四边形的对角线互相平分,所以C选项正确;
D、平行四边形的对角相等,所以D选项错误.
故选C.
2.能判定一个四边形是菱形的条件是( )
A.对角线互相平分且相等
B.对角线互相垂直且相等
C.对角线互相垂直且对角相等
D.对角线互相垂直,且一条对角线平分一组对角
【解答】解:∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
∴A、B、D都不正确.
∵对角相等的四边形是平行四边形,而对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
故C正确.
故选C.
3.矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A.对边分别相等 B.对角分别相等
C.对角线互相平分 D.对角线相等
【解答】解:矩形的性质有:①矩形的对边相等且平行,②
矩形的对角相等,且都是直角,③矩形的对角线互相平分、相等;
菱形的性质有:①菱形的四条边都相等,且对边平行,②菱形的对角相等,③菱形的对角线互相平分、垂直,且每一条对角线平分一组对角;
∴矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等,
故选D.
4.以下条件不能判别四边形ABCD是矩形的是( )
A.AB=CD,AD=BC,∠A=90° B.OA=OB=OC=OD
C.AB=CD,AB∥CD,AC=BD D.AB=CD,AB∥CD,OA=OC,OB=OD
【解答】解:如图:
A、∵AB=CD,AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵∠BAD=90°,
∴四边形ABCD是矩形,故本选项错误;
B、∵OA=OB=OC=OD,
∴AC=BD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴四边形ABCD是矩形,故本选项错误;
C、∵AB=CD,AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∵AC=BD,
∴四边形ABCD是矩形,故本选项错误;
D、∵AB∥CD,AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
根据OA=OC,OB=OD不能推出平行四边形ABCD是矩形,故本选项正确;
故选D.
5.顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形,那么四边形ABCD的对角线AC和BD只需满足的条件是
( )
A.相等 B.互相垂直
C.相等且互相垂直 D.相等且互相平分
【解答】解:因为原四边形的对角线与连接各边中点得到的四边形的关系:
①原四边形对角线相等,所得的四边形是菱形;
②原四边形对角线互相垂直,所得的四边形是矩形;
③原四边形对角线既相等又垂直,所得的四边形是正方形;
④原四边形对角线既不相等又不垂直,所得的四边形是平行四边形.
因为顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形,所以四边形ABCD的对角线AC和BD相等.
故选A.
6.已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm,则菱形的边长是( )
A.12cm B.10cm C.7cm D.5cm
【解答】解:如图:∵菱形ABCD中BD=8cm,AC=6cm,
∴OD=BD=4cm,OA=AC=3cm,
在直角三角形AOD中AD===5cm.
故选D.
7.如图,在平行四边形ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E,以A为圆心,AB长为半径画弧交AD于F,若BF=12,AB=10,则AE的长为( )
A.16 B.15 C.14 D.13
【解答】解:连结EF,AE与BF交于点O,如图,
∵AO平分∠BAD,
∴∠1=∠2,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AF∥BE,
∴∠1=∠3,
∴∠2=∠3,
∴AB=EB,
同理:AF=BE,
又∵AF∥BE,
∴四边形ABEF是平行四边形,
∴四边形ABEF是菱形,
∴AE⊥BF,OB=OF=6,OA=OE,
在Rt△AOB中,由勾股定理得:OA===8,
∴AE=2OA=16.
故选:A.
8.如图,E,G,F,H分别是矩形ABCD四条边上的点,EF⊥GH,若AB=2,BC=3,则EF:GH=( )
A.2:3 B.3:2 C.4:9 D.无法确定
【解答】解:
过F作FM⊥AB于M,过H作HN⊥BC于N,
则∠4=∠5=90°=∠AMF
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,AB∥CD,∠A=∠D=90°=∠AMF,
∴四边形AMFD是矩形,
∴FM∥AD,FM=AD=BC=3,
同理HN=AB=2,HN∥AB,
∴∠1=∠2,
∵HG⊥EF,
∴∠HOE=90°,
∴∠1+∠GHN=90°,
∵∠3+∠GHN=90°,
∴∠1=∠3=∠2,
即∠2=∠3,∠4=∠5,
∴△FME∽△HNG,
∴==
∴EF:GH=AD:CD=3:2.
故选B.
9.如图:点P是Rt△ABC斜边AB上的一点,PE⊥AC于E,PF⊥
BC于F,BC=15,AC=20,则线段EF的最小值为( )
A.12 B.6 C.12.5 D.25
【解答】解:如图,连接CP.
∵∠C=90°,AC=3,BC=4,
∴AB===25,
∵PE⊥AC,PF⊥BC,∠C=90°,
∴四边形CFPE是矩形,
∴EF=CP,
由垂线段最短可得CP⊥AB时,线段EF的值最小,
此时,S△ABC=BC•AC=AB•CP,
即 ×20×15=×25•CP,
解得CP=12.
故选A.
10.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,点E为垂足,连接DF,则∠CDF为( )
A.80° B.70° C.65° D.60°
【解答】解:如图,连接BF,
在△BCF和△DCF中,
∵CD=CB,∠DCF=∠BCF,CF=CF
∴△BCF≌△DCF
∴∠CBF=∠CDF
∵FE垂直平分AB,∠BAF=×80°=40°
∴∠ABF=∠BAF=40°
∵∠ABC=180°﹣80°=100°,∠CBF=100°﹣40°=60°
∴∠CDF=60°.
故选D.
11.如图,在菱形ABCD中,∠A=110°,E,F分别是边AB和BC的中点,EP⊥CD于点P,则∠FPC的度数为( )
A.55° B.50° C.45° D.35°
【解答】解:延长PF交AB的延长线于点G.如图所示:
在△BGF与△CPF中,,
∴△BGF≌△CPF(ASA),
∴GF=PF,
∴F为PG中点.
又∵由题可知,∠BEP=90°,
∴EF=PG,
∵PF=PG,
∴EF=PF,
∴∠FEP=∠EPF,
∵∠BEP=∠EPC=90°,
∴∠BEP﹣∠FEP=∠EPC﹣∠EPF,即∠BEF=∠FPC,
∵四边形ABCD为菱形,
∴AB=BC,∠ABC=180°﹣∠A=70°,
∵E,F分别为AB,BC的中点,
∴BE=BF,∠BEF=∠BFE=(180°﹣70°)=55°,
∴∠FPC=55°;
故选:A.
12.如图,矩形ABCD中,O为AC中点,过点O的直线分别与AB,CD交于点E,F,连接BF交AC于点M,连接DE,BO.若∠COB=60°,FO=FC,则下列结论:
①FB⊥OC,OM=CM;
②△EOB≌△CMB;
③四边形EBFD是菱形;
④MB:OE=3:2.
其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【解答】解:连接BD,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,AC、BD互相平分,
∵O为AC中点,
∴BD也过O点,
∴OB=OC,
∵∠COB=60°,OB=OC,
∴△OBC是等边三角形,
∴OB=BC=OC,∠OBC=60°,
在△OBF与△CBF中
∴△OBF≌△CBF(SSS),
∴△OBF与△CBF关于直线BF对称,
∴FB⊥OC,OM=CM;
∴①正确,
∵∠OBC=60°,
∴∠ABO=30°,
∵△OBF≌△CBF,
∴∠OBM=∠CBM=30°,
∴∠ABO=∠OBF,
∵AB∥CD,
∴∠OCF=∠OAE,
∵OA=OC,
易证△AOE≌△COF,
∴OE=OF,
∴OB⊥EF,
∴四边形EBFD是菱形,
∴③正确,
∵△EOB≌△FOB≌△FCB,
∴△EOB≌△CMB错误.
∴②错误,
∵∠OMB=∠BOF=90°,∠OBF=30°,
∴MB=,OF=,
∵OE=OF,
∴MB:OE=3:2,
∴④正确;
故选:C.
二.填空题(共6小题)
13.如图,菱形纸片ABCD,∠A=60°,P为AB中点,折叠菱形纸片ABCD,使点C落在DP所在的直线上,得到经过点D的折痕DE,则∠DEC等于 75 度.
【解答】解:连接BD,
∵四边形ABCD为菱形,∠A=60°,
∴△ABD为等边三角形,∠ADC=120°,∠C=60°,
∵P为AB的中点,
∴DP为∠ADB的平分线,即∠ADP=∠BDP=30°,
∴∠PDC=90°,
∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°,
在△DEC中,∠DEC=180°﹣(∠CDE+∠C)=75°.
故答案为:75.
14.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD在第一象限内,边BC与x轴平行,A,B两点的纵坐标分别为3,1,反比例函数y=的图象经过A,B两点,则菱形ABCD的面积为 4 .
【解答】解:过点A作x轴的垂线,与CB的延长线交于点E,
∵A,B两点在反比例函数y=的图象上且纵坐标分别为3,1,
∴A,B横坐标分别为1,3,
∴AE=2,BE=2,
∴AB=2,
S菱形ABCD=底×高=2×2=4,
故答案为4.
15.如图:在矩形ABCD中,AB=4,BC=8,对角线AC、BD相交于点O,过点O作OE垂直AC交AD于点E,则DE的长是 3 .
【解答】解:如图,连接CE,
,
设DE=x,则AE=8﹣x,
∵OE⊥AC,且点O是AC的中点,
∴OE是AC的垂直平分线,
∴CE=AE=8﹣x,
在Rt△CDE中,
x2+42=(8﹣x)2
解得x=3,
∴DE的长是3.
故答案为:3.
16.平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,BD=2AD,E、F、G分别是OC、OD,AB的中点.下列结论:①EG=EF; ②△EFG≌△GBE; ③FB平分∠
EFG;④EA平分∠GEF;⑤四边形BEFG是菱形.其中正确的是 ①②④ .
【解答】解:令GF和AC的交点为点P,如图所示:
∵E、F分别是OC、OD的中点,
∴EF∥CD,且EF=CD,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB∥CD,且AB=CD,
∴∠FEG=∠BGE(两直线平行,内错角相等),
∵点G为AB的中点,
∴BG=AB=CD=FE,
在△EFG和△GBE中,,
∴△EFG≌△GBE(SAS),即②成立,
∴∠EGF=∠GEB,
∴GF∥BE(内错角相等,两直线平行),
∵BD=2BC,点O为平行四边形对角线交点,
∴BO=BD=BC,
∵E为OC中点,
∴BE⊥OC,
∴GP⊥AC,
∴∠APG=∠EPG=90°
∵GP∥BE,G为AB中点,
∴P为AE中点,即AP=PE,且GP=BE,
在△APG和△EGP中,,
∴△APG≌△EPG(SAS),
∴AG=EG=AB,
∴EG=EF,即①成立,
∵EF∥BG,GF∥BE,
∴四边形BGFE为平行四边形,
∴GF=BE,
∵GP=BE=GF,
∴GP=FP,
∵GF⊥AC,
∴∠GPE=∠FPE=90°
在△GPE和△FPE中,,
∴△GPE≌△FPE(SAS),
∴∠GEP=∠FEP,
∴EA平分∠GEF,即④成立.
故答案为:①②④.
17.如图,矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,点E是BC上一点,且AB=BE,∠1=15°,则∠2= 30° .
【解答】解:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=∠BAD=90°,OB=OD,OA=OC,AC=BD,
∴OB=OC,OB=OA,
∴∠OCB=∠OBC,
∵AB=BE,∠ABE=90°,
∴∠BAE=∠AEB=45°,
∵∠1=15°,
∴∠OCB=∠AEB﹣∠EAC=45°﹣15°=30°,
∴∠OBC=∠OCB=30°,
∴∠AOB=30°+30°=60°,
∵OA=OB,
∴△AOB是等边三角形,
∴AB=OB,
∵∠BAE=∠AEB=45°,
∴AB=BE,
∴OB=BE,
∴∠OEB=∠EOB,
∵∠OBE=30°,∠OBE+∠OEB+∠BEO=180°,
∴∠OEB=75°,
∵∠AEB=45°,
∴∠2=∠OEB﹣∠AEB=30°,
故答案为:30°.
18.如图所示,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P是AD上的动点,PE⊥AC,PF⊥BD于F,则PE+PF的值为 .
【解答】解:连接OP,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠DAB=90°,AC=2AO=2OC,BD=2BO=2DO,AC=BD,
∴OA=OD=OC=OB,
∴S△AOD=S△DOC=S△AOB=S△BOC=S矩形ABCD=×6×8=12,
在Rt△BAD中,由勾股定理得:BD===10,
∴AO=OD=5,
∵S△APO+S△DPO=S△AOD,
∴×AO×PE+×DO×PF=12,
∴5PE+5PF=24,
PE+PF=,
故答案为:.
三.解答题(共6小题)
19.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,AE∥CD,CE∥AB,连接DE交AC于点O.
(1)证明:四边形ADCE为菱形.
(2)BC=6,AB=10,求菱形ADCE的面积.
【解答】证明:(1)∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为AB中点,
∴CD=AB=AD,
又∵AE∥CD,CE∥AB
∴四边形ADCE是平行四边形,
∴平行四边形ADCE是菱形;
(2)在Rt△ABC中,AC===8.
∵平行四边形ADCE是菱形,
∴CO=OA,
又∵BD=DA,
∴DO是△ABC的中位线,
∴BC=2DO.
又∵DE=2DO,
∴BC=DE=6,
∴S菱形ADCE===24.
20.已知,如图,BD为平行四边形ABCD的对角线,O为BD的中点,EF⊥BD于点O,与AD、BC分别交于点E、F.试判断四边形BFDE的形状,并证明你的结论.
【解答】答:四边形BFDE的形状是菱形,
理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,OB=OD,
∵∠EDO=∠FBO,∠OED=∠OFB,
∴△OED≌△OFB,
∴DE=BF,
又∵ED∥BF,
∴四边形BEDF是平行四边形,
∵EF⊥BD,
∴▱BEDF是菱形.
21.如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,DE⊥AC于点E,DG⊥AB于点G,EK⊥AB于点K,GH⊥AC于点H、EK和GH相交于点F.
求证:GE与FD互相垂直平分.
【解答】证明:∵DE⊥AC,DG⊥AB,EK⊥AB,GH⊥AC,
∴∠DGB=∠DEC=90°,EK∥DG,DE∥GH,
∴四边形DEFG是平行四边形,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
在△DGB和△DEC中,
,
∴△DGB≌△DEC(AAS),
∴DG=DE,
∵四边形DEFG是平行四边形,
∴四边形DEFG是菱形,
∴GE与FD互相垂直平分.
22.如图:在△ABC中,CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD,AE⊥CE于E,AF⊥CF于F,直线EF分别交AB、AC于M、N.
(1)求证:四边形AECF为矩形;
(2)试猜想MN与BC的关系,并证明你的猜想;
(3)如果四边形AECF是菱形,试判断△ABC的形状,直接写出结果,不用说明理由.
【解答】(1)证明:∵AE⊥CE于E,AF⊥CF于F,
∴∠AEC=∠AFC=90°,
又∵CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD,
∴∠BCE=∠ACE,∠ACF=∠DCF,
∴∠ACE+∠ACF=(∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF)=×180°=90°,
∴三个角为直角的四边形AECF为矩形.
(2)结论:MN∥BC且MN=BC.
证明:∵四边形AECF为矩形,
∴对角线相等且互相平分,
∴NE=NC,
∴∠NEC=∠ACE=∠BCE,
∴MN∥BC,
又∵AN=CN(矩形的对角线相等且互相平分),
∴N是AC的中点,
若M不是AB的中点,则可在AB取中点M1,连接M1N,
则M1N是△ABC的中位线,MN∥BC,
而MN∥BC,M1即为点M,
所以MN是△ABC的中位线(也可以用平行线等分线段定理,证明AM=BM)
∴MN=BC;
法二:延长MN至K,使NK=MN,
因为对角线互相平分,
所以AMCK是平行四边形,KC∥MA,KC=AM因为MN∥BC,
所以MBCK是平行四边形,MK=BC,
所以MN=BC
(3)解:△ABC是直角三角形(∠ACB=90°).
理由:∵四边形AECF是菱形,
∴AC⊥EF,
∵EF∥AC,
∴AC⊥CB,
∴∠ACB=90°.即△ABC是直角三角形.
23.如图:矩形ABCD中,AB=2,BC=5,E、P分别在AD、BC上,且DE=BP=1.
(1)判断△BEC的形状,并说明理由?
(2)判断四边形EFPH是什么特殊四边形?并证明你的判断;
(3)求四边形EFPH的面积.
【解答】(1)△BEC是直角三角形:
理由是:
∵矩形ABCD,
∴∠ADC=∠ABP=90°,AD=BC=5,AB=CD=2,
由勾股定理得:CE===,
同理BE=2,
∴CE2+BE2=5+20=25,
∵BC2=52=25,
∴BE2+CE2=BC2,
∴∠BEC=90°,
∴△BEC是直角三角形.
(2)解:四边形EFPH为矩形,
证明:∵矩形ABCD,
∴AD=BC,AD∥BC,
∵DE=BP,
∴四边形DEBP是平行四边形,
∴BE∥DP,
∵AD=BC,AD∥BC,DE=BP,
∴AE=CP,
∴四边形AECP是平行四边形,
∴AP∥CE,
∴四边形EFPH是平行四边形,
∵∠BEC=90°,
∴平行四边形EFPH是矩形.
(3)解:在Rt△PCD中FC⊥PD,
由三角形的面积公式得:PD•CF=PC•CD,
∴CF==,
∴EF=CE﹣CF=﹣=,
∵PF==,
∴S矩形EFPH=EF•PF=,
答:四边形EFPH的面积是.
24.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BD为AC的中线,过点C作CE⊥BD于点E,过点A作BD的平行线,交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连接BG、DF.
(1)求证:BD=DF;
(2)求证:四边形BDFG为菱形;
(3)若AG=13,CF=6,求四边形BDFG的周长.
【解答】(1)证明:∵∠ABC=90°,BD为AC的中线,
∴BD=AC,
∵AG∥BD,BD=FG,
∴四边形BGFD是平行四边形,
∵CF⊥BD,
∴CF⊥AG,
又∵点D是AC中点,
∴DF=AC,
∴BD=DF;
(2)证明:∵BD=DF,
∴四边形BGFD是菱形,
(3)解:设GF=x,则AF=13﹣x,AC=2x,
∵在Rt△ACF中,∠CFA=90°,
∴AF2+CF2=AC2,即(13﹣x)2+62=(2x)2,
解得:x=5,
∴四边形BDFG的周长=4GF=20.