北京中考专题圆 14页

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  • 2021-05-10 发布

北京中考专题圆

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‎2016年北京模拟专题---圆 朝阳24.(本小题5分)‎ 如图,以△ABC的一边BC为直径的⊙O,交AB于点D,连接CD,OD,‎ 已知∠A+∠1=90°.‎ ‎(1)求证:AC是⊙O的切线;(2)若∠B=30°,AD=2,求⊙O的半径. ‎ 朝阳24.(1)证明:依题意,得 ∠B=∠1. …………………………………1分 ‎∵∠A+∠1=90°,∴∠A+∠B=90°.∴∠ACB=90°.∴AC⊥BC.‎ ‎∵BC是⊙O的直径,∴AC是⊙O的切线. …… …………………………………2分 ‎ (2) 解:∵BC是⊙O的直径,∴∠CDB=∠ADC=90°. ……………………………………3分 ‎∵∠B=30°,∴∠A=60°,∠ACD=30°.∴AC=2AD=4. ………………………………4分 ‎∴. ∴⊙O的半径为. …………………5分 东城25. 如图,AB为⊙O的直径,PD切⊙O于点C,与BA的延长线交于点D,DE⊥PO交PO延长线于点E,连接PB,∠EDB=∠EPB.‎ (1) 求证:PB是⊙O的切线.(2)若PB=3,DB=4,求DE的长.‎ 东城25. 解:(1)证明:∵ ∠EDB=∠EPB,∠DOE=∠POB,‎ ‎∴ ∠E=∠PBO=90゜,‎ ‎∴ PB是⊙O的切线.…………2分 ‎(2)∵ PB=3,DB=4,∴ PD=5.‎ 设⊙O的半径的半径是r,连接OC.‎ ‎∵ PD切⊙O于点C,∴ OC⊥PD.‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ∴‎ 可求出.易证△DEP∽△OBP.∴ .解得 . ……5分 ‎ 房山24.如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,且∠CAB=30°,点D为弧AB的中点,AC=.求CD的长. ‎ 房山24.解法1:连结BC ‎∵AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,∴∠ACB =90°. -------------1分 ‎∵∠CAB =30°,∴∠D =60°. ---------------2分 ‎∵点D为弧AB的中点,∴∠ACD =45°. ‎ 过点A作AE⊥CD,∵AC=,∴AE=CE =. ------------3分 ‎∴DE =. -------------4分 ∴CD =. --------5分 解法2:‎ ‎∵AB为⊙O的直径,点D为弧AB的中点,∴∠DAB =∠ACD =45°. ------1分 ‎∵∠CAB =30°,∴弧BC=60°,弧AC =120°.∴∠ADC =60°. --------2分 过点A作AE⊥CD, ∵AC=,∴AE=CE =. ------3分 ‎∴DE =. -----------4分 ∴CD =.--------5分 海淀24.如图,AB,AD是⊙O的弦,AO平分.过点B作⊙O的切线交AO的延长线于点C,连接CD,BO.延长BO交⊙O于点E,交AD于点F,连接AE,DE.‎ ‎(1)求证:是⊙O的切线;(2)若,求的长.‎ 海淀24. (1) 证明:如图,连接. ………………………1分 ‎∵为⊙的切线,∴.‎ ‎∵平分,∴.‎ ‎∵,∴.‎ ‎∴.∴△△.∴.‎ ‎∴为⊙的切线. ……………2分 ‎ (2) ∵,∴.∴. ………………………3分 ‎∵,∴.‎ ‎∵为⊙的直径,∴.∴.………………………4分 ‎∴ .在Rt△中,∵,,∴. ………………………5分 怀柔24.如图,在⊙O中,AB为直径,,弦CF与OB交于点E,过点F,A分别作⊙O的切线交于点H,且HF与AB的延长线交于点D.‎ (1) 求证:DF=DE;(2)若tan∠OCE=,⊙O的半径为4,求AH的长.‎ 怀柔24. (1)证明:连结OF,如图.∴OF⊥DH.‎ ‎∵DH为⊙O的切线,OF为半径,∴∠OFD=90°。,即∠2+∠OFC=90°。‎ ‎∵OC=OF,∴∠C=∠OFC,∴.‎ 而,∴.∴. ‎ ‎∵,∴.∴DE=DF ……………………………2分 ‎(2)解:∵tan∠OCE=,⊙的半径为4,∴OE=2.‎ ‎∵DE=DF.在Rt△ODF中,OF=4,设,则DF=x,OD=2+x.‎ ‎∵OF2+FD2=OD2,∴x2+42=(2+x)2,解得x=3.∴DF=3,OD=5.‎ ‎∵AH为⊙的切线,为半径,DH为⊙的切线,∴AD⊥AH,HA=HF.∴∠HAD=90°.-------------------4分 在Rt△DAH中,设FH=t,则DH=t+3.∵AH2+AD2=HD2.∴t2+92=(t+3)2,解得t=12.∴AH=12. ---------------5分 门头沟24.如图,AB为⊙O的直径,⊙O过AC的中点D,DE为⊙O的切线.‎ ‎(1)求证:DE⊥BC;(2)如果DE=2,tanC=,求⊙O的直径.‎ 门头沟24.(本小题满分5分)‎ ‎(1)证明:连接OD. ∵DE为⊙O的切线, ∴DE⊥OD,……………………………………1分 ‎∵AO=OB,D是AC的中点,∴OD∥BC.∴DE⊥BC.……………………………………2分 ‎(2)解:连接DB,‎ ‎∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°,‎ ‎∴DB⊥AC,∴∠CDB=90°.∵D为AC中点,∴AB=BC,‎ 在Rt△DEC中,∠DEC=90°,∵DE=2,tanC=, ‎ ‎∴,……………………3分 由勾股定理得:DC=,在Rt△DCB中,∠BDC=90°,∴BD=DC·tanC=,…………………………4分 由勾股定理得:BC=5,∴AB=BC=5, ∴⊙O的直径为5.…………………………………………5分 平谷24.如图,AB是⊙O的直径,AE是弦,C是劣弧AE的中点,过C作CD⊥AB于D,过C作CG∥AE交BA的延长线于点G.‎ ‎(1)求证:CG是⊙O的切线;(2)若∠EAB=30°,CF=2,求AG的长.‎ 平谷24.(1)证明:连接OC.‎ ‎∵AE是弦,C是劣弧AE的中点,∴OC⊥AE.…………………1‎ ‎∵CG∥AE,∴OC⊥GC.∴CG是⊙O的切线. …………………………2‎ ‎(2)解:连接AC.‎ ‎∵∠EAB=30°,CG∥AE,∴∠G=∠EAB=30°.‎ ‎∵CG是⊙O的切线,∴∠GCO=90°.∴∠COA=60°.‎ ‎∵OA=OC,∴△AOC是等边三角形.∴∠CAO=60°.∴∠CAF=30°.‎ 可求∠ACD=30°.‎ ‎ ∴ AF=CF=2.…………………3‎ ‎∵∠EAB=30°,∴DF=1,,‎ ‎∵CG∥AE,∴.…………………4‎ ‎∴. ∴.………………………………………………………………………5‎ 石景山25.如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径作⊙O交BC于点D,过点D作⊙O的切线,交AB于点E,交CA的延长线于点F.‎ ‎(1)求证:EF⊥AB;(2)若∠C=30°,,求EB的长.‎ 石景山25.(1)证明:连接OD,AD,‎ ‎∵AC为⊙O的直径,∴∠ADC=90°. ‎ 又∵AB=AC,∴CD=DB.又CO=AO, ‎ ‎∴OD∥AB. ……………………1分 ‎∵FD是⊙O的切线,∴OD⊥DF. ∴FE⊥AB.………2分 ‎(2)解:∵,∴‎ 在Rt△中,, ‎ ‎∴. ∴‎ 在Rt△中,,‎ ‎∵,∴. …………………………………………3分 ‎∵,∴.………………………4分 ‎∴. …………………………………………………………5分 顺义25.如图,D为⊙O上一点,点C在直径BA的延长线上,且∠CDA=∠CBD.‎ (1) 求证:CD是⊙O的切线;‎ ‎(2)过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E,若BC=6,,求BE的长.‎ 顺义25.(1)证明:连接OD,OE ‎∵AB为直径,∴∠ADB=90°,即∠ADO+∠1=90°,又∵∠CDA=∠CBD,而∠CBD=∠ODB,‎ ‎∴∠ODB=∠CDA,∴∠CDA+∠ADO=90°,即∠CDO=90°,∴CD是○O的切线;‎ ‎(2)∵EB为○O的切线,∴ED=EB,OE⊥DB,∴∠ABD+∠DBE=90°,∠OEB+∠DBE=90°,∴∠CDA=∠OEB.‎ 而tan∠CDA=,∴tan∠OEB==,∵Rt△CDO∽Rt△CBE,∴∴CD=,‎ 在Rt△CBE中,设BE=x∴,解得即BE的长为 通州26.如图,已知AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,PD切⊙O于点D,过点B作BE⊥PD,交PD的延长线于点C,连接AD并延长,交BE于点E.‎ ‎(1)求证:AB=BE;‎ ‎(2)连结OC,如果PD=,∠ABC=,求OC的长.‎ 通州26(1)证明:连结OD.‎ ‎∵OA=OD,∴, ∵PD切⊙O于点D,∴PD⊥OD,‎ ‎∵BE⊥PD,∴OD∥BE,… 1分;‎ ‎∴,∴,∴AB=BE.‎ ‎(2)解:∵OD∥BE,∠ABC=, ∴,‎ ‎∵ PD⊥OD, ∴,∴,∴,…… 3分;‎ ‎∴,∴,∴,∴,∴,‎ ‎∴,……4分;∴,∴,∴(舍负).…5分;‎ 西城24.如图,在中,是的直径,与交于点.点在上,连接,,连接并延长交于点,.‎ ‎(1)求证:;‎ ‎(2)若,,,求的长.‎ 西城 延庆25. 已知:如图,AB为⊙O的直径,PA、PC是⊙O的切线,A、C为切点,∠BAC=30.‎ (1) 求∠P的大小;(2)若AB=6,求PA的长. ‎ 延庆25. (1)解:∵PA是⊙O的切线,AB为⊙O的直径,∴ .‎ ‎∴.…………………………………1分 ‎ ∵ ∠BAC=30, ∴ .‎ ‎ 又∵PA、PC切⊙O于点A、C,∴ .…………………………………2分 ‎∴△PAC是等边三角形.∴ .…………………………………3分 ‎( 2 ) 如图,连结BC.∵AB是直径,∠ACB=90.…………………………………4分 ‎ 在Rt△ACB中,AB=6,∠BAC=30,∴.‎ 又∵△PAC是等边三角形,∴ . …………………………………5分 燕山24.如图,AB为⊙O的直径,C,D为⊙O上不同于A,B的两点,过点C作⊙O的切线CF交直线AB于点F,直线DB⊥CF于点E.‎ ‎(1) 求证:∠ABD=2∠CAB;‎ ‎(2) 若BF=5,sin∠F=,求BD的长.‎ 燕山24.(1)证明:如图,连接OC,‎ ‎∵OA=OC,∴∠CAB=∠1∴∠2=∠CAB+∠1=2∠CAB.‎ ‎∵CF切⊙O于C,OC是⊙O的半径,∴OC⊥CF. ‎ ‎∵DB⊥CF,∴OC∥DB,∴∠ABD=∠2,∴∠ABD=2∠CAB. ‎ ‎(2) 如图,连接AD,∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°,即AD⊥DE.‎ ‎∵DE⊥CF,∴AD∥CF,∴∠3=∠F. ……………………3分 在Rt△BEF中,∵∠BEF=90°,BF=5,sin∠F=,∴BE=BF•sin∠F=5×=3.‎ ‎∵OC∥BE, ∴△FBE∽△FOC,∴=,‎ 设⊙O的半径为,则=,解得 =. …………………4分 在Rt△ABD中,∠ADB=90°,AB=2=15,sin∠3=sin∠F=,∴BD=AB•sin∠3=15×=9. ‎ 朝阳2.24.如图,O是∠MAN的边AN上一点,以OA为半径作⊙O,交∠MAN的平分线于点D,DE⊥AM于E.‎ ‎ (1)求证:DE是⊙O的切线;‎ ‎ (2)连接OE,若∠EDA=30º,AE=1,求OE的长.‎ 朝阳2.24.(1)证明:连接.‎ ‎ ∵平分, ∴.‎ ‎ ∵, ∴. ∴.‎ ‎ ∵于, ∴.‎ ‎ ∴, ‎ ‎ ∴.‎ ‎∴. ∴是⊙的切线. ………………2分 ‎ (2)解:∵,∴.‎ ‎∵,∴△为等边三角形.………………………3分 在△中,,可得,.………………4分 ‎∴.在△中,由勾股定理可得.…5分 昌平2.‎ 昌平2‎ 房山2.26.如图,△ABC 中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与BC相交于点D,与CA的延长线相交于点E,DF过点D作⊙O的切线交AC于点F.‎ (1) 求证:DF⊥AC;如果,AE的长为2.求⊙O的半径.‎ 房山2.26.(1)证明:连接OD . ‎ ‎∵DF是⊙O的切线,∴ OD⊥DF.------------1分 ‎∵ OB=OD,∴ ∠B=∠ODB.‎ ‎∵AB=AC.∴ ∠B=∠C.∴ ∠ODB=∠C ‎ ∴ OD∥AC.------2分∴DF⊥AC,----3分 ‎(2)解:连结BE,AD . ‎ ‎∵ AB是直径,∴ ∠ADB=∠AEB=90°∵ AB=AC,∴BD=CD.∵ DF⊥AC ∴FD∥BE ‎∴可得点F是CE的中点.∴sin∠ABD= sin∠ACB= sin∠ADF=‎ 设⊙O的半径为r,则AB=2r,AC=2r ‎∴AD=,AF=r-1‎ ‎∵sin∠ADF== ∴r=3 ---------5分∴⊙O的半径为3.‎ 丰台2.24. 如图,AB是⊙O的直径,BD交⊙O于点C,E为 的中点,连接AE交BD于点F,作,垂足为G,连接AD,且. ‎ (1) 求证:AD为⊙O的切线;(2)若cosD =,AD = 6,求FG的长.‎ 丰台2.24.证明:连接.‎ ‎ ∵是的直径 ∴. ∴. ‎ ‎ ∵E为的中点,∴. ∴. ‎ ‎ ∵, ∴. ------- 1分 ‎ ∴. ∴.即.‎ ‎ 又∵是直径, ∴是的切线. ------- 2分 ‎(2)∵在Rt△中,‎ ‎,, ------- 3分 ‎∵在Rt△中,,,∴.‎ ‎∵,,,∴. ------- 4分 设.∵,∴.∴.∴.‎ ‎∵.∴.解得.∴. ------- 5分 东城2.‎ 东城2‎ 海淀2.24.如图,在△ABC中,∠C=90°,点E在AB上,以AE为直径的⊙O切BC于点D,连接AD.‎ ‎(1)求证:AD平分∠BAC;(2)若⊙O的半径为5,sin∠DAC=,求BD的长. ‎ 海淀2.24. (1)证明:连接.………………………1分 ‎∵⊙O切BC于点D, ,∴.‎ ‎∴∥.∴.‎ ‎∵,∴.‎ ‎∴.∴平分.………………………2分 ‎(2)解:连接.‎ ‎∵AE为直径,∴.‎ ‎∵,sin,∴sin .‎ ‎∵,∴. ∴.∴,.‎ ‎∵∥,∴.………………………4分 ‎∴.即.∴.………………………5分 石景山2.25.如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,D是AB上一点,以BD为直径的⊙O切AC于点E,交BC于点F,连接DF.‎ (1) 求证:DF=2CE;(2)若BC=3,sinB=,求线段BF的长.‎ 石景山2.25.(1)证明:连接OE交DF于G,‎ ‎ ∵AC切⊙O于E,∴∠CEO=90°.又∵BD为⊙O的直径,∴∠DFC=∠DFB=90°.‎ ‎∵∠C=90°,∴四边形CEGF为矩形.∴CE=GF,∠EGF=90°…………1分 ‎∴DF=2CE.………………………………2分 ‎(2)解:在Rt△ABC中,∠C=90°,‎ ‎∵BC=3,,∴AB=5.…………………………………3分 设OE=x,∵OE//BC,∴△AOE∽△ABC.‎ ‎∴,∴,∴.………4分 ∴BD=.‎ 在Rt△BDF中,∠DFB=90°,∴BF=…………………………5分 顺义2.24.已知:如图,在中,以为直径的⊙分别交、于点、,且.‎ ‎(1)求证:;(2)过点作⊙的切线,交的延长线于点,且,求的值.‎ 顺义2.24.(1)证明:∵为⊙的直径,∴.………………..……1分 又∵,∴.…………2分 ‎(2)解:∵BF切⊙于点B,∴.………..…………3分 ‎∴.‎ 又∵,∴,∴△∽△,∴,∴.‎ 又∵,∴,‎ 设,则,‎ ‎∴.在RT△中,,,‎ 又∵,…….……4分∴.………………5分 通州2.26. 如图:ΔABC是⊙O的内接三角形,∠ACB=45°,∠AOC=150°,过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D.‎ (1) 求证:CD=CB;(2)如果⊙O的半径为,求AC的长.‎ 通州2.‎ 西城2.24.如图,四边形ABCD 内接于⊙O,点E 在CB 的延长线上,连接AC,AE,∠ACD=∠BAE=45°‎ ‎(1)求证:AE 是⊙O 的切线;(2)若 AB=AD,AC= 2,tan∠ADC=3,求 CD的长.‎ 西城2.‎