20112012全国各地中考数学试题分考点解析汇编一元一次不等式组的应用2 70页

‎2011-2012全国各中考数学试题分考点解析汇编 一元二次方程 一、选择题 ‎1.（2011重庆江津4分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ‎ A、＜2 B、＞‎2 ‎ C、＜2且≠l D、＜﹣2‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】一元二次方程定义和根的判别式，解一元一次不等式。‎ ‎【分析】利用一元二次方程一元二次方程定义－1≠0和根的判别式△=4﹣4（﹣1）列不等式，解不等式求出的取值范围：。故选C。‎ ‎2.（2011浙江舟山、嘉兴3分）一元二次方程的解是 ‎（A） （B） （C）或 （D）或 ‎【答案】C。‎ ‎【考点】因式分解法解一元二次方程。‎ ‎【分析】用因式分解法把一元二次方程转化成两个一元一次方程=0或﹣1=0，求出方程的解即可。故选C。‎ ‎3.（2011辽宁本溪3分）一元二次方程的根 A、 B、 C、 D、 ‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】解一元二次方程。‎ ‎【分析】解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法：直接开平方法；配方法；公式法；因式分解法。本题运用配方法，将原方程左边写出完全平方式即可求得：。故选D。‎ ‎4．（2011广西百色3分）关于的方程的一个根为1，则的值为 A.1 B. . C.1或. D.1或－.‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】方程根的定义，解一元二次方程。‎ ‎【分析】把1代入，方程，得，解得＝1或－。故选D。‎ ‎5.（2011广西贵港3分）若关于x的一元二次方程x2－mx－2＝0的一个根为－1，则另一个根为 A．1 B．－‎1 ‎C．2 D．－2‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】一元二次方程的根和解一元二次方程。‎ ‎【分析】根据一元二次方程的根的定义，将1代入方程，即可求出m＝1，从而得到一元二次方程，解之 即得另一根为2。故选C。‎ ‎6.（2011广西柳州3分）方程2－4＝0的解是 A．＝2 B．＝－‎2 ‎C．＝±2 D．＝±4‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】直接开平方法解一元二次方程。‎ ‎【分析】根据直接开平方法解一元二次方程的方法：先把方程变形为，再把方程两边直接开方，然后利用二次根式的性质化简得到方程的解：。故选C。‎ ‎7.（2011广西钦州3分）下列关于的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式。‎ ‎【分析】根据一元二次方程根的判别式，直接得出结果；A．方程的△＝－4＜0，无实数根，选项错误；B．方程的△＝0，有两个相等的实数根，选项错误；方程C．的△＝－3＜0，无实数根，选项错误； D．方程的△＝8＞0，有两个不相等的实数根，选项正确。故选D。‎ ‎8.（2011黑龙江哈尔滨3分）若=2是关于的一元二次方程2－m＋8=0的一个解．则m的值是．‎ ‎(A) 6 (B) 5 (C) 2 (D)－6 ‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】一元二次方程的解。‎ ‎【分析】把=2代入方程2－m＋8=0即可得到一个关于m的一元一次方程4－‎2m＋8=0，，解之即得：m=6。故选A。‎ ‎9.（2011湖南湘潭3分）一元二次方程（﹣3）（﹣5）=0的两根分别为 ‎ ‎ A、3，﹣5 B、﹣3，﹣‎5 ‎ C、﹣3，5 D、3，5‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】因式分解法解一元二次方程。‎ ‎【分析】由（﹣3）（﹣5）=0得﹣3=0或﹣5=0，解得1=3，2=5。故选D。‎ ‎10.（2011湖南张家界3分）已知1是关于的一元二次方程的一个根，则的值是 ‎ ‎ A、1 B、—‎1 C、0 D、无法确定 ‎【答案】B。‎ ‎【考点】一元二次方程的解，解一元一次方程。‎ ‎【分析】把=1代入方程，即可得到一个关于的方程：（－1）＋1＋1=0，解得：=－1。故选B。‎ ‎11.（2011江苏苏州3分）下列四个结论中，正确的是 ‎ A．方程有两个不相等的实数根 ‎ ‎ B．方程有两个不相等的实数根 C．方程有两个不相等的实数根 D．方程（其中a为常数，且）有两个不相等的实数根 ‎【答案】D。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式。‎ ‎【分析】把所给方程整理为一元二次方程的一般形式，根据根的判别式判断解的个数即可： ‎ A、整理得：，△＝0，∴原方程有2个相等的实数根，选项错误；‎ B、整理得：，△＜0，∴原方程没有实数根，选项错误；‎ C、整理得：，△＝0，∴原方程有2个相等的实数根，选项错误；‎ D、整理得：，当时， ‎ ‎，∴原方程有2个不相等的实数根，选项正确。‎ 故选D。‎ ‎12.（2011江苏南通3分）若3是关于方程x2－5x＋c＝的一个根，则这个方程的另一个根是 A．－2 B．‎2 C．－5 D．5‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】一元二次方程根与系数的关系。‎ ‎【分析】根据一元二次方程根与系数的关系：两根之和等于一次项系数与二次项系数商的相反数，所以有。故选B。‎ ‎13.（2011江苏泰州3分）一元二次方程的根是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】因式分解法解一元二次方程。‎ ‎【分析】利用利因式分解法解一元二次方程的求解方法，直接得出结果：‎ ‎。故选C。‎ ‎14.（2011山东济宁3分）已知关于的方程2＋＋=0的一个根是－（≠0），则－值为 A.-1 B‎.0 C.1 D.2 ‎ ‎【答案】 A。‎ ‎【考点】一元二次方程的根。‎ ‎【分析】∵－是2＋＋=0的一个根，∴（－）2＋（－）＋=0－＋1=0 = ＋1－=-1。故选A。‎ ‎15.（2011山东潍坊3分）关于的方程的根的情况描述正确的是.‎ A．为任何实数，方程都没有实数根 B．为任何实数，方程都有两个不相等的实数根 C．为任何实数，方程都有两个相等的实数根 D．根据的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种 ‎【答案】B。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式。‎ ‎【分析】求出一元二次方程根的判别式的值，然后据此判别，从而得出答案；∵一元二次方程根的判别式为△=（2k）2－4×（k－1）=4k2－4k+4=（2k﹣1）2+3＞0，∴不论k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根。故选B。‎ ‎16.（2011山东威海3分）关于x的一元二次方程2＋（－2）＋＋1=0有两个相等的实数根，则的 值是 A．0 B．‎8 ‎ C．4±2 D． 0或8‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式。‎ ‎【分析】由一元二次方程2＋（－2）＋＋1=0有两个相等的实数根知，它的根的判别式等于0，‎ 即。故选D。‎ ‎17.（2011山东淄博4分）已知是方程的一个根，则的值为 A． B． C．－1 D．1‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】方程根的定义，分式化简，代数式代换。‎ ‎【分析】∵，‎ 又∵是方程的一个根，∴，即。∴。故选D。‎ ‎18. （2011江西省A卷3分）已知x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根，则方程的另一个根是 ‎ ‎ A、1 B、‎2 ‎ C、﹣2 D、﹣1‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】一元二次方程根的定义和解一元二次方程。‎ ‎【分析】∵x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根，∴1+b﹣2=0，∴x2+x﹣2=0。则方程的另一个根是：﹣2。故选C。‎ ‎2.（2011江西南昌3分）已知x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根，则方程的另一个根是 ‎ A.1 B‎.2 ‎ C.﹣2 D.﹣1‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】一元二次方程根的定义和解一元二次方程。‎ ‎【分析】∵x=1是方程x2+bx﹣2=0的一个根，∴1+b﹣2=0，∴x2+x﹣2=0。则方程的另一个根是：﹣2。故选C。‎ ‎3.（2011湖北武汉3分）若1，2是一元二次方程2＋4＋3=0的两个根，则12的值是 ‎ A.4.  B.3.  C.-4.  D.－3.‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】一元二次方程根与系数的关系。‎ ‎【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，得12=。故选B。‎ ‎4.（2011湖北荆州、荆门3分）关于的方程有两个不相等的实根、，且有 ‎，则的值是  A. B. C. 或 D.‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式。‎ ‎【分析】依题意△＞0，即，即，∴。‎ ‎∵由一元二次方程根与系数的关系，得＋=，·=，‎ ‎ 且 ‎∴，解并检验，得 又，∴。故选B。‎ ‎5.（2011湖北咸宁3分）若关于的方程的一个根为，则另一个根为 ‎ A． B． C．1 D．3 ‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】一元二次方程根与系数的关系。‎ ‎【分析】设方程另一个根为1，根据一元二次方程根与系数的关系得到1+（﹣1）=2，解此方程即得1=3。‎ 故选D。‎ ‎6.（2011湖北恩施3分）解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4=0时，我们可以将x﹣1看成一个整体，设x﹣1=y，则原方程可化为y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，即x﹣1=1，解得x=2；当y=4时，即x﹣1=4，解得x=5，所以原方程的解为：x1=2，x2=5．则利用这种方法求得方程 （2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解为 ‎ ‎ A、x1=1，x2=3 B、x1=﹣2，x2=‎3 C、x1=﹣3，x2=﹣1 D、x1=﹣1，x2=﹣2‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】换元法解一元二次方程。‎ ‎【分析】设y=2x+5，方程可以变为 y2﹣4y+3=0，∴y1=1，y2=3。‎ 当y=1时，即2x+5=1，解得x=﹣2；‎ 当y=3时，即2x+5=3，解得x=﹣1，‎ 所以原方程的解为：x1=﹣2，x2=﹣1。‎ 故选D。‎ ‎7.（2011内蒙古包头3分）一元二次方程x2+x+=0的根的情况是 ‎ ‎ A、有两个不等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、无实数根 D、无法确定 ‎【答案】B。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式。‎ ‎【分析】计算△=b2﹣‎4ac，然后根据△的意义进行判断根的情况：‎ ‎∵△=b2﹣‎4ac=12﹣4•1•=0，∴原方程有两个相等的实数根。故选B。‎ ‎8.（2011四川成都3分）已知关于x的一元二次方程mx2+nx+k=0（m≠0）有两个实数根，则下列关于判别式n2﹣4mk的判断正确的是 ‎ A、n2﹣4mk＜0 B、n2﹣4mk=‎0 ‎ C、n2﹣4mk＞0 D、n2﹣4mk≥0‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式。‎ ‎【分析】根据一元二次方程根的判别式直接得到答案：‎ ‎∵关于x的一元二次方程mx2+nx+k=0（m≠0）有两个实数根，‎ ‎∴△=n2﹣4mk≥0。故选D。‎ ‎9.（2011四川自贡3分）已知是方程的两个实数根，则的值等于 ‎ ‎ A． B．‎6 C． 10 D． ‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值。‎ ‎【分析】∵是方程的两个实数根，∴，。‎ ‎ ∴。故选C。‎ ‎10.（2011四川攀枝花3分）一元二次方程x（x﹣3）=4的解是 ‎ ‎ A、x=1 B、x=‎4 C、x1=﹣1，x2=4 D、x1=1，x2=﹣4‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】因式分解法解一元二次方程。‎ ‎【分析】把方程化为右边为0的形式，然后把左边再分解因式，即可得到答案：‎ ‎∵x（x﹣3）=4，∴x2﹣3x﹣4=0，∴（x﹣4）（x+1）=0，‎ ‎∴x﹣4=0或x+1=0，∴x1=4，x2=﹣1。故选C。‎ ‎11.（2011四川南充3分）方程（x+1）（x﹣2）=x+1的解是 ‎ A、2 B、‎3 C、﹣1，2 D、﹣1，3‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】解一元二次方程。‎ ‎【分析】解出方程，对照所给答案，选出正确的即可：‎ ‎（x+1）（x﹣2）﹣（x+1）=0，‎ ‎∴（x+1）（x﹣2﹣1）=0，即（x+1）（x﹣3）=0，‎ ‎∴x+1=0，或x﹣3=0，∴x1=﹣1，x2=3。故选D。‎ ‎12.（2011甘肃兰州4分）下列方程中是关于的一元二次方程的是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】一元二次方程的定义。‎ ‎【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；‎ ‎（3）是整式方程；（4）含有一个未知数。由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案：‎ A、不是整式方程，故本选项错误；‎ B、当=0时，方程就不是一元二次方程，故本选项错误；‎ C、由原方程，得，符合一元二次方程的要求，故本选项正确；‎ D、方程中含有两个未知数；故本选项错误。故选C。‎ ‎13.（2011甘肃兰州4分）用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为 ‎ ‎ A、（x+1）2=6 B、（x+2）2=‎9 ‎ C、（x﹣1）2=6 D、（x﹣2）2=9‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】解一元二次方程的配方法。‎ ‎【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方。‎ 由原方程移项，得x2﹣2x=5，‎ 方程的两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方1，得x2﹣2x+1=6‎ ‎∴（x﹣1）2=6。故选C。‎ ‎14.（2011青海省3分）关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有实数解，则k的取值范围是 ‎ ‎ A． k≥4 B. k≤‎4 C. k＞4 D . k=4‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式。‎ ‎【分析】∵关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有实数解，∴b2－‎4ac=42－4×1×k≥0。‎ 解得，k≤4，故选B。‎ ‎15.（2011新疆乌鲁木齐4分）关于x的一元二次方程的一个根为0，则实数a的值为 A． B．‎0 ‎C．1 D．或1‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】一元二次方程的解，一元二次方程的定义。‎ ‎【分析】把x=0代入方程得：|a|－1=0，∴a=±1。‎ ‎∵a－1≠0，∴a=－1．故选A。‎ ‎16.（2011安徽省4分）一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是 ‎ A．－1 B．‎2 C．1和2 D．－1和2‎ ‎【答案】D。‎ ‎【考点】一元二次方程的根。‎ ‎【分析】解出一元二次方程，直接得出结果。‎ ‎17.（2011辽宁朝阳3分）用配方法解一元二次方程x2－4x＋2＝0时，可配方得 ．‎ A. (x－2)2＝6 B. (x＋2)2＝‎6 C. (x－2)2＝2 D. (x＋2)2＝2‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】配方法解一元二次方程，完全平方公式。‎ ‎【分析】∵，∴C正确。故选C。‎ ‎18.（2011辽宁盘锦3分）一元二次方程x2－2x＝0的解是 ‎ A. x1＝0，x2＝2 B. x1＝1，x2＝2‎ C. x1＝0，x2＝－2 D. x1＝1，x2＝－2‎ ‎【答案】A。‎ ‎【考点】解一元二次方程。‎ ‎【分析】解出一元二次方程，作出判断：。故选A。‎ ‎19. （2011云南昆明3分）若x1，x2是一元二次方程2x2﹣7x+4=0的两根，则x1+x2与x1•x2的值分别是 ‎ A、﹣，﹣2 B、﹣，‎2 ‎C、，2 D、，﹣2‎ ‎【答案】C。‎ ‎【考点】一元二次方程根与系数的关系。‎ ‎【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2=－=－，x1•x2= =。故选C。‎ ‎20.（2011贵州黔南4分）二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的一个解，另一个解= ‎ ‎ A、1 B、 C、 D、0 【答案】B。‎ ‎【考点】一元二次方程根与系数的关系。‎ ‎【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，，而，所以。故选B。‎ ‎21.（2011贵州黔东南4分）若、是一元二次方程的两根，则的值为 A、2010 B、‎2011 C、 D、‎ ‎【答案】B。‎ ‎【考点】一元二次方程根与系数的关系，代数式求值。‎ ‎【分析】∵、是一元二次方程的两根，∴＋＝2011。·＝1。‎ ‎ ∴。故选B。‎ ‎22.（2011福建福州4分）一元二次方程（﹣2）=0根的情况是 ‎ ‎ A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 ‎ C、只有一个实数根 D、没有实数根 ‎【答案】A。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式或解一元二次方程。‎ ‎【分析】原方程变形为：2﹣2=0，∵△=（﹣2）2﹣4×1×0=4＞0，∴原方程有两个不相等的实数根。‎ 故选A。本题也可直接求出方程的两个根作答。‎ 二、填空题 ‎1.（2011上海4分）如果关于的方程（为常数）有两个相等实数根，那么＝ ▲ ．‎ ‎【答案】１。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式。‎ ‎【分析】根据一元二次方程根的判别式的送别方法，由方程（为常数）有两个相等实数根，得，解得。‎ ‎2.（2011浙江衢州4分）方程2﹣2=0的解为　 ▲ 　．‎ ‎【答案】1=0 或2=2。‎ ‎【考点】因式分解法解一元二次方程。‎ ‎【分析】把方程的左边分解因式得（﹣2）=0，得到=0或 ﹣2=0，求出方程的解1=0 或2=2。‎ ‎3.（2011广西来宾3分）已知一元二次方程2+m﹣2=0的两个实数根分别为1，2，则1•2=　 ▲ 　．‎ ‎【答案】－2。‎ ‎【考点】一元二次方程根与系数的关系。‎ ‎【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，得：1•2=。‎ ‎4.（2011湖南娄底4分）如果方程2+2+=0有两个相等的实数根，则实数的值为　 ▲ 　．‎ ‎【答案】1。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式。‎ ‎【分析】∵方程2+2+=0有两个相等的实数根，∴△=22﹣4=0，∴=1。‎ ‎5.（2011湖南株洲3分）孔明同学在解一元二次方程时，正确解得，，则的值 为 ▲ ． ‎ ‎【答案】2。‎ ‎【考点】一元二次方程根与系数的关系。‎ ‎【分析】根据两根，，得出两根之积求出的值即可：。‎ ‎6.（2011江苏苏州3分）已知a、b是一元二次方程的两个实数根，则代数式 的值等于 ▲ ．‎ ‎【答案】－1。‎ ‎【考点】一元二次方程根与系数的关系，等量代换。‎ ‎【分析】∵a、b是一元二次方程的两个实数根，∴。‎ ‎ ∴。‎ ‎7.（2011江苏常州、镇江2分）已知关于的方程的一个根为2，则 ▲ ，另一个根是 ▲ 。‎ ‎【答案】1， －3。‎ ‎【考点】一元二次方程的根和解一元二次方程。‎ ‎【分析】把2代入求出，从而求出另一个根是－3。‎ ‎8.（2011江苏淮安3分）一元二次方程的解是 ▲ .‎ ‎【答案】±2。‎ ‎【考点】直接开平方法解一元二次方程。‎ ‎【分析】根据直接开平方法解一元二次方程的基本方法：经过移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解：由。‎ ‎9.（2011江苏徐州3分）若方程有两个相等的实数根,则 ▲ ‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式。‎ ‎【分析】根据一元二次方程根的判别式，要方程有两个相等的实数根，即要，即 ，解得。‎ ‎10. （2011山东滨州4分）若＝2是关于的方程2－－2＋5＝0的一个根，则的值为　 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】一元二次方程的解和解一元二次方程。‎ ‎【分析】方程的解就是能使方程左右两边相等的未知数的值，把＝2代入方程，即可得到一个关于的方程，即可求得的值：把＝2代入方程2－－2＋5＝0得4－2－2＋5＝0，解得＝。‎ ‎11.（2011山东德州4分）若1，2是方程2+﹣1=0的两个根，则12+22=　 ▲ 　．‎ ‎【答案】3。‎ ‎【考点】一元二次方程根与系数的关系，代数式变换。‎ ‎【分析】先根据根与系数的关系求出1+2和1•2的值，再利用完全平方公式对所求代数式变形，然后把1+2和1•2的值整体代入计算即可：∵1，2是方程2+﹣1=0的两个根，∴1+2=，1•2=。∴12+22=（1+2）2﹣21•2=（﹣1）2﹣2×（﹣1）=1+2=3。‎ ‎12.（2011山东济南3分）方程2－2＝0的解为 ▲ ．‎ ‎【答案】=0或=2。‎ ‎【考点】解一元二次方程。‎ ‎【分析】。‎ ‎13.（2011山东泰安3分）方程22＋5－3＝0的解是 ▲ ．‎ ‎【答案】1=－3，2=。‎ ‎【考点】因式分解法解一元二次方程。‎ ‎【分析】原方程可化为：（＋3）（2－1）＝0，∴＋3＝0或2－1＝0。∴方程的解是1=－3，2=。‎ ‎14.（2011山东淄博4分）方程2―2=0的根是 ▲ ． ‎ ‎【答案】1=，2=－。‎ ‎【考点】解一元二次方程。‎ ‎【分析】解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程 有四种解法：直接开平方法；配方法；公式法；因式分解法。本题利用直接开平方法可求。‎ ‎15. （2011内蒙古呼伦贝尔3分）一元二次方程的解为 ▲ 。‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】因式分解法解一元二次方程。‎ ‎【分析】。‎ ‎16.（2011四川资阳3分） 一元二次方程x2+x=0的两根为 ▲ ．‎ ‎【答案】x1=0，x2=－1。‎ ‎【考点】因式分解法解一元二次方程。‎ ‎【分析】。‎ ‎17.（2011四川达州3分）已知关于x的方程x2﹣mx+n=0的两个根是0和﹣3，则m= ▲ ，n= ▲ ．‎ ‎【答案】﹣3、0。‎ ‎【考点】一元二次方程的解，解二元一次方程组。‎ ‎【分析】根据一元二次方程的解的定义，列出关于m、n的二元一次方程组，解方程组即可：‎ 根据题意，得，解得，。‎ ‎18.（2011四川宜宾3分）已知一元二次方程x2–6x–5=0两根为、，则 的值是 ▲ ‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】一元二次方程根与系数的关系。‎ ‎【分析】∵，是一元二次方程的两根，∴＋=6，=-5，‎ ‎∴。‎ ‎19.（2011四川眉山3分）已知一元二次方程y2－3y+＋1=0的两个实数根分别为y1、y2，则（y1－1）（y2－1）的值为 ▲ ．‎ ‎【答案】－1。‎ ‎【考点】一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值。‎ ‎【分析】∵一元二次方程y2－3y+＋1=0的两个实数根分别为y1、y2，‎ ‎∴y1＋y2=3，y1•y2=1。‎ ‎∴（y1－1）（y2－1）=y1y2－y1－y2＋1=y1y2－（y1＋y2）＋1=1－3＋1=－1。‎ ‎20.（2011四川遂宁4分）若、是方程的两根，则 ▲ 。‎ ‎【答案】9。‎ ‎【考点】一元二次方程根与系数的关系，代数式变换求值。‎ ‎【分析】由于方程的两个实数根为、，从而根据一元二次方程根与系数的关系，得到＋=2，·=－5。因此。‎ ‎21.（2011四川泸州2分）已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为　 ▲ 　．‎ ‎【答案】1。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解一元二次方程。‎ ‎【分析】设方程方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0设其两根为x1，x2，得 ‎∵△=（2k+1）2﹣4×（k2﹣2）=4k+9＞0，∴k＞﹣。‎ ‎∵x1+x2=﹣（2k+1），x1•x2=k2﹣2，‎ 又∵x12+x22=11，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=11。‎ ‎∴（2k+1）2﹣2（k2﹣2）=11，解得k=1或﹣3。‎ ‎∵k＞﹣，∴k=1。‎ ‎22.（2011甘肃兰州4分）关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=﹣2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b=0的解是 ▲ ．‎ ‎【答案】x1=﹣4，x2=﹣1。‎ ‎【考点】一元二次方程的解与二次函数的关系，平移变化的规律。‎ ‎【分析】由一元二次方程的解与二次函数的关系，关于x的方程a（x+m）2+b=0的解可以看成二次函数y=a（x+m）2+b的图象与x轴交点的横坐标，‎ 同样a（x+m+2）2+b=0的解可以看成二次函数y=a（x+m+2）2+b的图象与x轴交点的横坐标。‎ y=a（x+m+2）2+b的图象可以由y=a（x+m）2+b的图象向左平移2个单位得到，根据平移变化的规律：左右平移只改变点的横坐标，左减右加。上下平移只改变点的纵坐标，下减上加。‎ 由y=a（x+m）2+b的图象与x轴交点的横坐标x1=﹣2，x2=1，可得出y=a（x+m+2）2+b的图象与x轴交点的横坐标x1=﹣2﹣2=﹣4，x2=1﹣2=﹣1。‎ ‎∴方程a（x+m+2）2+b=0的解是x1=﹣4，x2=﹣1。‎ ‎23.（2011新疆自治区、兵团5分）若关于x的一元二次方程x2＋2x＋a＝0有实数根，则a的取值范围是_ ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式。‎ ‎【分析】∵关于x的一元二次方程有实根，∴△=，解之得a≤1。‎ ‎24.（2011辽宁盘锦3分）关于x的方程(k－2)x2－4x＋1＝0有实数根，则k满足的条件是 ▲ ． ‎ ‎【答案】k≤6。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式。‎ ‎【分析】由关于x的方程(k－2)x2－4x＋1＝0有实数根，根据一元二次方程根的判别式，得 ‎ ，解得k≤6。‎ ‎25.（2011贵州铜仁4分）当 ▲ 时，关于的一元二次方程有两个相等的实数根；‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式。‎ ‎【分析】∵方程有两个相等的实数根，∴△ =，解得。‎ 三、解答题 ‎1.（2011广西玉林、防城港6分）已知：是一元二次方程的两个实数根．求：的值．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．专题：计算题．‎ 分析：分别根据负整数指数幂、0指数幂、绝对值的性质及二次根式的化简计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．‎ 解答：解：原式=‎2-1-3‎+2， =0． 故答案为：0．‎ 点评：本题考查的是实数的运算，熟知负整数指数幂、0指数幂、绝对值的性质及二次根式的化简是解答此题的关键．‎ ‎【答案】解：∵是一元二次方程的两个实数根，‎ ‎∴。‎ ‎∴。‎ ‎【考点】一元二次方程根与系数的关系，代数式化简求值，等量代换。‎ ‎【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系确定出的两根之积与两根之和的值，再对化简，通过等量代换即可解答。‎ ‎2.（2011湖南郴州6分）当t取什么值时，关于的一元二次方程22+t+2=0有两个相等的实数根？‎ ‎【答案】解：∵一元二次方程22+t+2=0的二次项系数=2，一次项系数=t，常数项=2，‎ ‎∴△=t2﹣4×2×2=t2﹣16=0，解得，t=±4，‎ ‎∴当t=4或t=﹣4时，原方程有两个相等的实数根。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式，解一元二次方程。‎ ‎【分析】一元二次方程的根与系数的关系：当△=2﹣4＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；△＜0时，方程无实数根。从而根据一元二次方程的根的判别式△=0列出关于t的一元二次方程，然后解方程即可。‎ ‎3.（2011湖南张家界8分）阅读材料：‎ 如果是一元二次方程的两根，那么，，‎ ‎。这就是著名的韦达定理。现在我们利用韦达定理解决问题：‎ 已知是方程的两根，（1）填空： ， ；‎ ‎（2）计算的值。‎ ‎【答案】解：（1）3， 。‎ ‎(2) =2 。‎ ‎【考点】一元二次方程根与系数的关系。‎ ‎【分析】（1）直接根据韦达定理计算即可得到和。‎ ‎（2）先把 变形，用和表示，然后把（1）的值整体代入进行计算即可。‎ ‎4.（2011湖南怀化10分）已知：关于的方程．‎ ‎（1）当取何值时，二次函数的对称轴是；‎ ‎（2）求证：取任何实数时，方程总有实数根．‎ ‎【答案】解：（1）∵对称轴是，∴，解得：。‎ ‎ ∴当时，二次函数的对称轴是 ‎（2）①当时，方程为一元一次方程：，‎ ‎∴方程有一个实数根．‎ ‎②∵当时，方程为一元二次方程，‎ ‎∴△=，‎ ‎∴取任何实数时，方程总有实数根。‎ ‎【考点】二次函数的性质，一元二次方程根的判别式。‎ ‎【分析】（1）根据二次函数对称轴求法得出，即可求出。‎ ‎（2）分和讨论，对得一元二次方程，对利用一元二次方程根的判别式，证明其大于等于0即可。‎ ‎5. (江苏无锡4分) 解方程：； ‎ ‎【答案】解: ‎ ‎【考点】－元二次方程求根公式。‎ ‎【分析】利用－元二次方程求根公式，直接得出结果。‎ ‎6.（2011江苏南京6分）解方程 ‎【答案】解：移项，得．配方，得，‎ ‎ 由此可得 ‎∴，‎ ‎【考点】解－元二次方程。‎ ‎【分析】利用－元二次方程求解方法，将原方程转化为完全平方的形式，利用配方法解答。‎ ‎7.（2011山东聊城7分）)解方程： (－2)＋－2＝0．‎ ‎【答案】解：把方程左边因式分解，得．‎ ‎ 从而，得，或 ‎ 所以。‎ ‎【考点】解一元二次方程。‎ ‎【分析】解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法：直接开平方法； 配方法；公式法；因式分解法。本题即应用因式分解法求解。‎ ‎8.（2011广东清远6分）解方程：2－－1=0．‎ ‎【答案】解：由原方程，得(－2)2＝5‎ ‎ ＋2＝± ‎ ‎ ∴＝－2± ‎ ‎【考点】解一元二次方程。‎ ‎【分析】用配方法或公式法求解。‎ ‎9.（2011湖北武汉6分）解方程：2+3+1=0.   【答案】解： ∵=1, =3, =1‎ ‎∴△=2－4=9－4×1×1＝5＞0，∴=－3±。‎ ‎ ∴1=－3＋，2=－3－。‎ ‎【考点】公式法解一元二次方程。‎ ‎【分析】根据方程的特点可直接利用求根公式法求解。‎ ‎10.（2011湖北黄石8分）解方程： ‎ ‎【答案】解：由题意得： ‎ ‎ 由方程（2）得：代人（1）式得：，‎ ‎ 解得，或。‎ 分别代人得得：或 ‎∴原方程的解为或。‎ ‎【考点】高次方程，非负数的性质，绝对值，偶次幂。‎ ‎【分析】根据绝对值的性质以及数的偶次方的性质得出和，从而得出关于的一元二次方程，求出，即可得出的值。‎ ‎11.（2011湖北孝感10分）已知关于的方程有两个实数根.‎ ‎（1）求的取值范围；（4分）‎ ‎（2）若，求的值；（6分）‎ ‎【答案】解：（1）依题意得，即 。‎ 解得。‎ ‎（2）依题意 ，‎ 以下分两种情况讨论：‎ ‎①当时，则有，即，‎ 解得 ‎∵，∴不合题意，舍去 。‎ ‎②时，则有，即，‎ 解得， ‎ ‎∵，∴。‎ 综合①、②可知 。 ‎ ‎【考点】一元二次根与系数的关系，根的判别式。‎ ‎【分析】（1）方程有两个实数根，可得，解出的取值范围。‎ ‎（2）由一元二次根与系数的关系得，，结合（1）中的取值范围，去绝对值号结合等式关系，可得出的值。‎ ‎12.（2011湖北潜江仙桃天门江汉油田6分）若关于的一元二次方程 的两个实数根为、，且满足，试求出方程的两个实数根及的值.‎ ‎【答案】解:由根与系数的关系得:① ，②‎ ‎ 又∵③，联立①、③，解方程组得。‎ ‎∴。‎ 答：方程两根为。‎ ‎【考点】一元二次方程根与系数的关系。‎ ‎【分析】根据根与系数的关系列出等式，再由已知条件联立组成方程组，解方程组即可。‎ ‎13.（2011四川乐山10分）选做题：从甲、乙两题中选做一题，如果两题都做，只以甲题计分。‎ 题甲：已知关于的方程的两根为、，且满足.求的值。‎ ‎【答案】解：∵关于的方程的两根为、，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 解得：或，‎ 但∵的 ‎∴。∴舍去。‎ 又∵。‎ 当时，原式=。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，分式的化简求值。‎ ‎【分析】利用根与系数的关系求得，的值，然后代入即可求得的值，并根据根的判别式取舍，然后化简 ，代入的值即可求得答案 ‎14.（2011四川自贡10分） 阅读下面例题的解答过程，体会、理解其方法，并借鉴该例题的解法解方程。‎ ‎ 例：解方程 ‎ 解：(1)当即时．，‎ ‎ 原方程化为，即，‎ ‎ 解得．‎ ‎ ∵，故舍去，是原方程的解 ‎ (2)当即时．，‎ ‎ 原方程化为，即，‎ ‎ 解得．‎ ‎ ∵，故舍去，是原方程的解．‎ ‎ 综上所述，原方程的解为。‎ ‎ 解方程：‎ ‎【答案】解：(1)当即时．，‎ ‎ 原方程化为，即，‎ ‎ 解得。‎ ‎∵，故是原方程的解。‎ ‎ (2)当即时．，‎ 原方程化为，即，‎ 解得。‎ ‎∵，故不是原方程的解。‎ 综上所述，原方程的解为。‎ ‎【考点】绝对值，解一元二次方程。‎ ‎【分析】把中的绝对值去号求解，分别讨论即可。‎ ‎15.（2011四川遂宁8分）解方程：‎ ‎【答案】解：去括号，得：，‎ ‎ 移项，得：‎ ‎ 合并同类项，得：，‎ ‎ 左边因式分解，得：（）（），‎ ‎ 或 。‎ ‎ ，。‎ ‎【考点】解一元二次方程（因式分解法）。‎ ‎【分析】将方程整理后，应用因式分解法解之即可。‎ ‎16.（2011四川南充8分）关于的一元二次方程x2+2x+k+1=0的实数解是x1和x2．‎ ‎（1）求k的取值范围；‎ ‎（2）如果x1+x2﹣x1x2＜﹣1且k为整数，求k的值．‎ ‎【答案】解：（1）∵方程有实数根，∴△=22﹣4（k+1）≥0，解得k≤0。‎ ‎∴k的取值范围是k≤0。‎ ‎（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1，‎ ‎∴x1+x2﹣x1x2=﹣2﹣（k+1）。‎ 由﹣2﹣（k+1）＜﹣1，解得k＞﹣2。‎ 又由（1）k≤0，∴﹣2＜k≤0。‎ ‎∵k为整数，∴k的值为﹣1和0。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解一元一次不等式组。‎ ‎【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣‎4ac≥0，从而求出实数k的取值范围。‎ ‎（2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=﹣2，x1x2=k+1．再代入所给不等式即可求得k的取值范围，然后根据k为整数，求出k的值。‎ ‎17.（2011福建厦门10分）已知关于x的方程x2﹣2x﹣2n=0有两个不相等的实数根．‎ ‎（1）求n的取值范围；‎ ‎（2）若n＜5，且方程的两个实数根都是整数，求n的值．‎ ‎【答案】解：（1）∵于x的方程x2﹣2x﹣2n=0的二次项系数a=1、一次项系数b=﹣2、常数项c=﹣2n，‎ ‎∴△=b2﹣‎4ac=4+8n＞0，解得，n＞－。‎ ‎（2）由原方程，得（x﹣1）2=2n+1，∴x=。‎ ‎∵方程的两个实数根都是整数，且n＜5，∴0＜2n+1＜11，且2n+1是完全平方形式。‎ ‎∴2n+1=1，2n+1=4或2n+1=9。解得，n=0，n=1.5或n=4。‎ ‎【考点】一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，解一元二次方程。‎ ‎【分析】（1）关于x的方程x2﹣2x﹣2n=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣‎4ac＞0．即可得到关于n的不等式，从而求得n的范围；‎ ‎（2）利用配方法解方程，然后根据n的取值范围和限制条件“方程的两个实数根都是整数”来求n的值。‎ 一元二次方程 (1)‎ ‎（2012江苏泰州市，4,3分）某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒。设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是 Ａ．36（1－x）2＝36－25　　　　Ｂ．36（1－2x）＝25　‎ Ｃ．36（1－x）2＝25　　　 　Ｄ．36（1－x2）＝25‎ ‎【解析】解题的关键是连续两次降价，一次降价可表示为36(1-x)，再次降价既再乘(1-x)，则可列方程为：36（1－x）2＝25．　‎ ‎【答案】Ｃ ‎【点评】本题是以实际问题为背景考查学生对一元二次方程应用的掌握情况，（连续降价两次）降价率问题的固定模式是M(1-x)2＝N，M为原始数据，N为（连续增长两次）最后数据．‎ ‎（2012四川成都，10，3分）一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，‎ 如果每次提价的百分率都是，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ 解析：原价是100元，第一次提价后变为元，第二次提价后变为元，所以本题的方程为。‎ 答案：C 点评：增长率问题，也是考得比较勤的考点，若原来为a，增长率为b%，则结果为a(1+b%)，而不是a+b%。‎ ‎20.2 解一元二次方程 ‎ ‎ (2012山东省临沂市，7，3分）用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】根据配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．‎ 配方法得，.‎ ‎【答案】选D.‎ ‎【点评】本题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤，注意在变形的过程中不要改变式子的值，难度适中．‎ ‎（2012山东省聊城，13，3分）一元二次方程的解是 .‎ 解析：用分解因式法解得，x(x-2)=0，即x=0或x-2=0,所以 答案：‎ 点评：解一元二次方程解法思路，一般先考虑直接开平方法，再考虑分解因式法，最后考虑配方法与公式法.‎ ‎（2012贵州铜仁，17，4分一元二次方程的解为____________；‎ ‎【解析】运用分解因式法容易得出.由，‎ ‎ 得 （x+1)(x-3)=0‎ ‎ ∴x+1=0 或 x-3=0‎ ‎ 解得，‎ ‎【解答】，‎ ‎【点评】此题考查一元二次方程的解法，一元二次方程有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法，要能够根据方程的不同特点，进行比较、鉴别， 灵活选用适当的方法解方程.‎ ‎(2012四川省南充市，5，3分) 方程x(x-2)+x-2=0的解是（　　）‎ A．２ B．－２,‎１ ‎ C．－１ D．２，－１‎ 解析：x(x-2)+x-2=0，化简得，解得.‎ 答案：D 点评：针对方程特点选用适宜的解法是正确解答一元二次方程的关键。‎ ‎（2012浙江省温州市，17(2)，10分）（2）解方程 解析：注意一元二次方程解法的选择，配方法或公式法。‎ ‎【答案】解：配方，得．‎ ‎∴‎ ‎∴，．‎ ‎（2011江苏省无锡市，20，8′）（1）解方程：x²－4x+2=0‎ ‎【解析】解一元二次方程首先要计算判别式Δ=b²－‎4ac,当Δ＞0时，方程有两个不等的实数根；当Δ=0时,方程有两个相等的实数根；Δ＜0时，方程无实数根。‎ ‎【答案】解：∵Δ=4²－4×1×2=8‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴，‎ ‎【点评】本题主要考查一元二次方程的解法，常见的解法有：求根公式法，分解因式法和配方法。这些方法的前提条件是方程有根，其中求根公式法可以用于一切有根的方程，可称为“万能解法”。‎ ‎（2012安徽，16，8分）解方程：‎ 解析：根据一元二次方程方程的几种解法，本题不能直接开平方，也不可用因式分解法.先将方程整理一下，可以考虑用配方法或公式法.‎ 解：原方程化为：x2－4x=1‎ 配方，得x2－4x+4=1+4‎ 整理，得（x－2）2=5‎ ‎∴x－2=,即，.‎ 点评：本题考查理了一元二次方程方程的几种解法，直接开平方和因式分解法虽然简单些，但有一定的局限性，配方法和公式法可以即所有一元二次方程，但要先整理成一般形式.以防出错.‎ ‎ ‎ ‎（2012山东省荷泽市，15（2）,6）（2）解方程 ‎（x+1）(x-1)+2(x+3)=8‎ ‎【解析】利用整式的乘法及加减把一元二次方程化成一般形式，然后利用因式分解法.‎ ‎【答案】原方程可化为 ‎ 解得 ‎【点评】在解一元二次方程时一定要把方程变为一般形式后，然后根据直接开方法、配方法、因式分解法及求根公式法求解.‎ ‎20.3 根与系数之间的关系 ‎（2012四川攀枝花，8，3分）已知一元二次方程：的两个根分别是、则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【解析】,‎ ‎【答案】B ‎【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系。ax2+bx+c=0(a≠0)，x1+x2=,x1x2=‎ ‎20.4 根的判别式 ‎（2012湖北襄阳，12，3分）如果关于x的一元二次方程kx2－x＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 A．k＜ B．k＜且k≠‎0 ‎ C．－≤k＜ D．－≤k＜且k≠0‎ ‎【解析】由题意，得解得－≤k＜且k≠0．‎ ‎【答案】D ‎【点评】解决此题需要从三方面综合考虑，一是由“一元二次方程”知k≠0，二是由二次根式的意义知2k＋1≥0，三是由原方程有两个不相等的实数根知()2－4k＞0，三者缺一不可．同时，本题也是一道易错题，部分学生会忽视这一符号条件下的不等关系而错选为B．‎ ‎（2012四川省资阳市，13，3分）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．‎ ‎【解析】由一元二次方程的韦达定理可得1-4k＞0及题中隐含的二次项系数k不为0，组成不等式组解得： 且 ‎【答案】 且 ‎【点评】本题主要考查了一元二次方程的韦达定理的运用，但考生常常会忘记隐含的二次项系数不为0的条件，而漏写“且”这一条件.解决本题的关键是审题清楚及熟练初数的各个小知识点.难度较小.‎ ‎（2012广州市，15， 3分）已知关于x的一元二次方程x2－2x－k=0有两个相等的实数根，则k的值为 。‎ ‎【解析】一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式b2－‎4ac=0。‎ ‎【答案】方程有两个相等的实数根，则有b2－‎4ac=0,即（2）2－4（－k）=0,于是k=－3.‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式。‎ ‎ (2012山东德州中考,15,4,)若关于x的方程有实数解，那么实数a的取值范围是_____________．‎ ‎【解析】由题意，△=-=16+16≥0，解得a≥-1‎ ‎【答案】 a≥-1‎ ‎【点评】一元二次方程根的情况有３种：当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△>0时， 方程有两个不相等的实数根；当△<0时， 方程没有实数根．‎ ‎（2012湖北随州，16,4分）设，且，则=________。－32‎ 解析：因为，∴，化简得=0。若，即，则，这与已知条件相矛盾，∴。∴=0，即。∴。‎ 点评：本题考查了因式分解、根与系数的关系及根的判别式。解题关键是注意1-ab2≠0的运用．‎ ‎ (2012四川省南充市，18，8分) 关于x的一元二次方程的两个实数根分别为.‎ ‎（1）求m的取值范围；‎ ‎（2）若，求m的值.‎ 解析：（1）因为一元二次方程有两个实数根，所以△≥0，从而解出m的取值范围；（2）根据根与系数的关系，可以用含有m的代数式所表示出及，代入即可求出m的值。‎ 答案：解：（1）∵原方程有两个实数根，‎ ‎ ∴，‎ ‎ 解之，得：.‎ ‎ （2）由韦达定理，得：，‎ ‎ ∴，‎ ‎ 解之，得：.‎ 点评：本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系的应用．需要注意的是当题中没有明确两根是否相等时，应两种可能都要考虑，即△≥0。‎ ‎（2012四川内江，27，12分）如果方程x2＋px＋q＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1·x2＝q．请根据以上结论，解决下列问题：‎ ‎（1）已知关于x的方程x2＋mx＋n＝0 (n≠0)，求出一个一元二次方程，使它的两根别是已知方程两根的倒数；‎ ‎ （2）已知a、b满足a2－‎15a－5＝0，b2－15b－5＝0，求＋的值；‎ ‎ （3）已知a、b、c均为实数，且a＋b＋c＝0，abc＝16，求正数c的最小值．‎ ‎【解析】（1）首先由材料知道如果一个一元二次方程的两根是x1，x2，那么这个方程可以表达为x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0，然后根据条件用含m，n的式子表示出x1＋x2，x1x2代入即可．（2）观察发现a，b可能相等，也可能不相等．当它们相等时，，的值都等于1；当它们不相等时，a，b可以理解为是关于x的方程x2－15x－5＝0的两个根，然后对＋通分，利用完全平方公式变形，再整体代入求解．（3）由a＋b＋c＝0，abc＝16，得a＋b＝－c，ab＝，构造以a，b为根的一元二次方程，然后利用根的判别式△≥0构造不等关系求解．‎ ‎【答案】解：（1）设x2＋mx＋n＝0 (n≠0)的两根为x1，x2．‎ ‎∴x1＋x2＝－m，x1·x2＝n．∴＋＝＝－，·＝．‎ ‎∴所求一元二次方程为x2＋＋＝0，即nx2＋mx＋1＝0．‎ ‎（2）当a≠b时，由题意知a，b是一元二次方程x2－15x－5＝0的两根，‎ ‎∴a＋b＝15，ab＝－5．‎ ‎∴＋＝＝＝＝－47．‎ ‎②当a＝b时，＋＝1＋1＝2．‎ ‎∴＋＝－47或2．‎ ‎（3）∵a＋b＋c＝0，abc＝16，∴a＋b＝－c，ab＝．‎ ‎∴a，b是方程x2＋cx＋＝0的两根．∴△＝c2－≥0．‎ ‎∵c＞0，∴c3≥64．∴c≥4．∴c的最小值为4．‎ ‎【点评】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，难度较大．数学新课程标准对一元二次方程的根与系数的关系并不作高的要求，此题在这种情况下以阅读题的形式命制，为学生铺设好解决问题所需要的知识和方法，可以有效考查学生的学习能力，灵活应用能力，具有一定的区分度．‎ ‎(2012四川省南充市，5，3分) 方程x(x-2)+x-2=0的解是（　　）‎ A．２ B．－２,‎１ ‎ C．－１ D．２，－１‎ 解析：x(x-2)+x-2=0，化简得，解得.‎ 答案：D 点评：针对方程特点选用适宜的解法是正确解答一元二次方程的关键。‎ ‎（2012江苏省无锡市，25，8′）某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20％的价格进行回购。投资者可在以下两种购铺方案中作出选择：‎ 方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可获得的租金为商铺标价的10％.‎ 方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可获得的租金为商铺标价的10％，但要缴纳租金的10％作为管理费用。‎ ‎ （1）请问：投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么？（注：％）‎ ‎（2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元。问：甲、乙两人各投资了多少万元？‎ ‎【解析】（1）本题以实际问题背景，在两个方案中进行比较，应设商铺标价为x万元，根据不同方案的计算方法，用x表示出各自方案下的投资收益，进一步根据％求出两种方案下的投资收益率。（2）根据5年后两人获得的收益将相差5万元，列出方程求出各自的投资额。‎ ‎【答案】解:（1）设商铺标价为x万元，若按方案一购买，则可获投资收益 ‎（120％－1）·x+x·10％×5=0.7x,投资收益率为×100％=70％.若按方案二购买，则可获投资收益（120％－0.85）·x+x·10％×（1－10％）×3=0.62x, 投资收益率为 ‎×100％≈72.9％，∴投资者选择方案二所获得的投资收益率更高。‎ ‎（2）由题意得0.7x－0.62x=5，解得x=62.5, ∴甲投资了62.5万元，乙投资了53.125万元。‎ ‎【点评】本题解决的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，表示出各自方案下的投资收益，进而求出对应的投资收益率。根据等量关系列出方程，解出方程的解。让学生认识到学习数学可以解决实际问题的价值所在。‎ ‎（2012山东莱芜， 7，3分）已知m 、n是方程的两根，则代数式的值为 A． 9 B． C． 3 D．5‎ ‎【解析】根据一元二次方程根与系数的关系得：，.‎ ‎==‎ ‎【答案】C ‎【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式、的化简，难度适中。‎ ‎（2012呼和浩特，5，3分）已知：x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3,x1x2=1,则a、b的值分别是 A. a=–3,b=1 B. a=3,b=1‎ C. a= –,b=–1 D. a= –,b=1‎ ‎【解析】x1+x2= –‎2a=3,a= –; x1x2=b=1‎ ‎【答案】D ‎【点评】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系。‎ ‎（2012山东莱芜， 16，4分）为落实“两免一补”政策，某市2011年投入教育经费2500万元，预计2013年要投入教育经费3600万元，已知2011年至2013年的教育经费投入以相同的百分率逐年增长，则2012年要投入的 教育经费为 万元.‎ ‎【解析】设2011年至2013年的教育经费的年平均增长的百分率为x,根据题意得：‎ ‎，解得20%，（舍去），‎ 故2012年要投入的教育经费为3000万元 ‎【答案】3000‎ ‎【点评】本题考查了用一元二次方程解增长率问题，考察了一元二次方程的解法，以及根据实际问题选择适当的解.‎ ‎（2012黑龙江省绥化市，9，3分）甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为m元的商品，甲超市连续两次降价20％；乙超市一次性降价40％；丙超市第一次降价30％，第二次降价10％，此时顾客要购买这种商品，最划算的超市是 ．‎ ‎【解析】 解：在甲家超市购买需付：m(1-20％)2=‎0.64m元；在乙家超市购买需付：m(1-40％) =‎0.6m元；在丙家超市购买需付：m(1-30％) (1-10％)=‎0.63m元．而实际问题m＞0，故‎0.64m＞‎0.63m＞‎0.6m，所以顾客在乙家超市购买最划算．‎ ‎【答案】 乙．‎ ‎【点评】‎ ‎ 本题主要考查了日常生活中常见的方案选择比较问题，解此类题型的关键是读懂题意，根据题目意思将实际问题转化为数学问题解决，再由数学结果判断出实际问题的结果选择．难度中等．‎ ‎（2012黑龙江省绥化市，5，3分）设，是方程的两个不相等的实数根，的值 ．‎ ‎【解析】 解：因为，是方程的两个不相等的实数根，故由韦达定理得+=-1①，由根的定义得，即②．再由①+②得．‎ ‎【答案】 2012 ．‎ ‎【点评】 本题主要考查了一元二次方程的韦达定理、根的定义以及初数中整体思想，解决此类题型的关键是熟悉相关的知识点及初数中常见思想方法．难度中等．‎ ‎（2012山东东营，9，3分） 方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）．‎ A． k≥1 B． k≤1 ‎ C． k>1 D． k<1‎ ‎【解析】方程有两个实数根，所以k-1≠0且，1-k≥0,，k≠1且k≤1,所以k<1.‎ ‎【答案】D ‎【点评】主要考查一元二次方程根与系数的关系（根的判别式），当b2‎-4ac≥时，一元二次方程有两个相等的实数根，同时不要忽略二次项系数不等于零及二次根式有意义的条件（被开方数为非负数）。‎ ‎ (2012贵州黔西南州，4，4分)三角形的两边分别为2和6，第三边是方程x2―10x＋21=0的解，则第三边的长为( )．‎ A．7 B．‎3 C．7或3 D．无法确定 ‎【解析】解一元二次方程x2－10x＋21=0，得x1=3，x2=7．根据三角形三边的关系，第三边还应满足4＜x＜8．所以第三边的长x=7．‎ ‎【答案】A．‎ ‎【点评】一元二次方程的解法要熟练、灵活地掌握，对于三角形，要随时注意三边之间满足的关系“任意两边之和大于第三边，任意两边差和小于第三边”．‎ ‎（2012四川泸州，6，3分）一元二次方程x（x-1）=0的解是（ ）‎ A. x=0 B. x=‎1 C.x=1或x=0 D. .x=0或x= -1‎ 解析：运用分解因式方法解一元二次方程.‎ 答案：C 因为x（x-1）=0，所以x=0或x-1=0，解得x=0或x=1.故选C.‎ 点评：本题考查一元二次方程解法.若一元二次方程可以化成a·b=0形式，则可以用分解因式方法解，即a=0或b=0.‎ ‎ (2012广安中考试题第8题，3分)已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ C ）‎ A．a>2 B．a<‎2 ‎C．a<2且a≠1 D．a<-2‎ 思路导引：一元二次方程有两个不相等的实数根，由于二次项系数是字母的代数式形式，注意两点，一是二次项系数不等于0，二是根的判别式大于0‎ 解析：△=4－4(a－1)×1=8－‎4a＞0，所以a＜2‎ 点评：含有字母二次项系数的一元二次方程根的判别问题，不可忽视二次项系数不为0 这一条件，以免得出不和题意的答案 ‎（2012四川宜宾，5，3分）将代数式x+6x+2化成的形式为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】‎ 此题考查了配方法，若二次项系数为1，则常数项是一次项系数的一半的平方，若二次项系数不为1，‎ 则可先提取二次项系数，将其化为1后再计算．‎ 解：x2+6x+2=x2+6x+9﹣9+2=（x+3）2﹣7．‎ 故选B．‎ ‎【答案】B ‎【点评】‎ 此题考查了学生的应用能力，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．‎ ‎（2012江苏省淮安市，7，3分）方程x2-3x=0的解为（ ）[来源:中.考.资.源.网]‎ ‎ A．x=0 B．x=‎3 C．x1=0，x2=-3 D．x1=0，x2=3‎ ‎【解析】利用因式分解法即可将原方程变为x(x-3)=0，即可得x=0或x-3=0，则求得原方程的根为x1=0，x2=3．‎ ‎【答案】D ‎ ‎【点评】此题考查了因式分解法解一元二次方程，利用因式分解把一个一元二次方程化为两个一元一次方程求解．题目比较简单，解题需细心．‎ ‎（2012湖北荆州，2，3分）用配方法解关于x的一元二次方程x2－2x－3＝0，配方后的方程可以是( )‎ A．(x－1)2＝4 B．(x＋1)2＝‎4 C．(x－1)2＝16 D．(x＋1)2＝16‎ ‎【解析】本题考察了一元二次方程的配方法，当二次项的系数为1时，两边同时加上一次项系数一半的平方即可完成配方。把x2－2x－3＝0移项得：，两边加上1得，即(x－1)2＝4，‎ ‎【答案】A.‎ ‎【点评】配方法解一元二次方程的常用方法，当二次项的系数为1时，两边同时加上一次项系数一半的平方即可完成配方，难度较小。‎ ‎（2012湖北武汉，5，3分）若x1，x2是一元二次方程x2－3x+2＝0的两根，则x1+x2的值是【 】‎ A．－2． B．2． C．3． D．1．‎ 解析：根据一元二次方程根与系数的关系，x1+x2=－=3，选C 答案：C．‎ 点评：本题在于考察一元二次方程根与系数的关系，即x1+x2=－，x1×x2=,难度低．‎ ‎(2012山东日照，9，3分)已知关于x的一元二次方程(k-2)2x2+(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）‎ A. k>且k≠2 B.k≥且k≠‎2 C.k >且k≠2 D.k≥且k≠2‎ 解析：由△=(2k+1)2-4(k-2)2×1=20k-16>0，得k >，又(k-2)2≠0，故k≠2，所以k >‎ 且k≠2.‎ 解答：选C．‎ 点评：本题主要考查一元二次方程的根的判别式及一元二次方程的概念，一元二次方程ax2+bx+c=0中，△=b2‎-4ac,当方程有两个不相等的实数根时，△>0；当方程有两个相等的实数根时，△=0；当方程没有实数根时，△<0.本题的易错点是忽略a≠0.‎ ‎（2012·湖南省张家界市·13题·3分）已知的两根，则 .‎ ‎【分析】利用根与系数的关系得出m+n及mn的值，再整体代入化简后的式子.‎ ‎【解答】因为m和n是方程2x2-5x-3=0得，m+n=，mn=-，所以==.‎ ‎【点评】本题综合考查了一元二次方程根与系数的关系及代数式求值，解题的关键是利用根与系数的关系整体代入化简后的待求式.‎ ‎（2012山东省青岛市，12，3）如图，在一块长为‎22米、宽为‎17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为‎300平方米.若设道路宽为x米，则根据题意可列方程为 .‎ ‎【解析】由题意得（22-x）(17-x)=300.‎ ‎【答案】（22-x）(17-x)=300 ‎ ‎【点评】本题主要考查列方程的能力.把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的种植园地是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．‎ ‎17．（2012山东省滨州中考，17,4分）方程x（x﹣2）=x的根是 ．‎ ‎【解析】原方程可化为x（x﹣2）﹣x=0，x（x﹣2﹣1）=0，x=0或x﹣3=0，解得：x1=0，x2=3．‎ ‎【答案】x1=0，x2=3．‎ ‎【点评】本题考查解一元二次方程的方法-因式分解法。用提公因式法分解因式是解方程比较简单的方法，属于简单题此题．‎ ‎0．（2012山东省滨州中考，7分）滨州市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空．‎ 解：设应邀请x支球队参赛，则每对共打 场比赛，比赛总场数用代数式表示为 ．根据题意，可列出方程 ．‎ 整理，得 ．‎ 解这个方程，得 ．‎ 合乎实际意义的解为 ．‎ 答：应邀请 支球队参赛．‎ ‎【解析】根据列方程解决实际问题的基本步骤，设x支球队参赛，则每对共打 （x﹣1）场比赛，也可以表示出比赛的总数，则可以解出x的值，即求出球队的支数。‎ 解：设应邀请x支球队参赛，则每对共打 （x﹣1）场比赛，比赛总场数用代数式表示为 x（x﹣1）．‎ 根据题意，可列出方程x（x﹣1）=28．‎ 整理，得x2﹣x=28，‎ 解这个方程，得 x1=8，x2=﹣7．‎ 合乎实际意义的解为 x=8．‎ 答：应邀请 8支球队参赛．‎ 故答案为：（x﹣1； x（x﹣1）；x（x﹣1）=28；x2﹣x=28；x1=8，x2=﹣7；x=8；8．‎ ‎【点评】本题考查一元二次方程的应用。设出未知数，表示出每对球队比赛的场数，进而表示出总场数。根据题意列出方程，便可解出未知数的值．列方程解应用题是中考中的常考问题．‎ ‎（2012山东省青岛市，12，3）如图，在一块长为‎22米、宽为‎17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为‎300平方米.若设道路宽为x米，则根据题意可列方程为 .‎ ‎【解析】由题意得（22-x）(17-x)=300.‎ ‎【答案】（22-x）(17-x)=300 ‎ ‎【点评】本题主要考查列方程的能力.把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的种植园地是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．‎ ‎（2012年吉林省，第9题、3分．）若方程，则=______. ‎ ‎【解析】本题可以根据因式分解法求出方程的两个根，再求出的差．‎ ‎【答案】‎ 所以，‎ ‎【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的式子的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．‎ ‎（2012山东省青岛市，13，3）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，将△ABC绕点C逆时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，连接BB′，则BB′的长度为 .‎ ‎【解析】易知∠A=60°，而AC=A′C，可得△AA′C是等边三角形，所以∠A′CA=60°，由旋转知∠A′CA=∠BCB′= 60°，BC=B′C，可得△BB′C是等边三角形， BB′=BC，由∠ABC=30°，AC=1，得BC=，即BB′=.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【点评】本题考查了旋转的性质，解题时要注意把旋转的性质和直角三角形、等边三角形的性质相结合起来分析．‎ ‎（2012呼和浩特，5，3分）‎ 已知：x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3,x1x2=1,则a、b的值分别是 A. a=–3,b=1 B. a=3,b=1‎ C. a= –,b=–1 D. a= –,b=1‎ ‎【解析】x1+x2= –‎2a=3,a= –; x1x2=b=1‎ ‎【答案】D ‎【点评】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系。‎ ‎（2012山西，17，3分）图1是边长为30的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是 cm3．‎ ‎【解析】解：长方体的高为xcm，然后表示出其宽为30﹣4x，‎ 根据题意得：30﹣4x=2x 解得：x=5‎ 故长方体的宽为‎10 cm，长为‎20cm 则长方体的体积为5×10×20=‎1000cm3．‎ 故答案为1000．‎ ‎【答案】1000．‎ ‎【点评】本题主要通过实际问题考查了初数中的一元一次方程 这一知识点，考生解决此题的主要难点是由实际情景列不出相应的一元一次方程，为此解决此种类型的问题要画出实际问题的图像及折叠后相应的立体图形，充分挖掘其中的等量关系解决问题．难度中等．‎ ‎（2012甘肃兰州，10，4分）兰州某广场准备修建一个面积为‎200平方米的矩形草坪，它的长比宽多‎10米，设草坪的宽为x米，则可列方程为（ ）‎ A. x(x-10)=200 B. 2x+2(x-10)=‎200 C. 2x+2(x+10)=200 D. x(x+10)=200‎ 解析：矩形草坪的长比宽多‎10米，设草坪的宽为x米，则长为（x+10）米，由矩形草坪的面积为‎200平方米，可列方程为x（x+10）=200．故选D．‎ 答案：D 点评：本题考查列一元二次方程；由实际问题转化成几何图形，再根据长方形的面积公式得到一元二次方程是解决本题的基本思路．难度较小。‎ ‎（2012河北省8,3分）8、用配方法解方程 ，配方后的方程是 （ ）‎ Ａ． Ｂ．‎ Ｃ． Ｄ．‎ ‎【解析】根据一次项系数为正数，因此B、C错误，再根据常数项断定，选A。‎ ‎【答案】A ‎【点评】配方法是解一元二次方程的主要、重要方法之一，主要是完全平方公式的灵活运用。属于中等题型。‎ ‎ ( 2012年四川省巴中市,22,5)解方程:2(x-3)=3x(x-3)‎ ‎【解析】移项,得2(x-3)-3x(x-3)=0,分解因式得(x-3)(2-3x)=0∴(x-3)= 0或(2-3x)=0,解得x1=3或x2=,也可以去括号、移项,化成一元二次方程求解.‎ ‎【答案】x1=3或x2=‎ ‎【点评】本题旨在通过分解因式降次解一元二次方程,考查学生的计算能力.‎ ‎（2012珠海，14，6分）已知关于的一元二次方程.‎ ‎（1）当m=3时，判断方程的根的情况；‎ ‎（2）当m=－3时，求方程的根.‎ ‎【解析】（1）把m=3代入方程,得,计算,判断方程的根的情况;（2）把m=－3代入方程,得,解得即可.‎ ‎【答案】解: （1）当m=3时，＝－4×1×3＝－8＜0.‎ ‎∴原方程没有实数根.‎ ‎（2）当m=－3时, ,(x+3)(x－1)＝0, ∴＝－3, ＝1.‎ ‎【点评】本题考查一元二次方程的判别和一元二次方程的解法.基础题 ‎（2012甘肃兰州，21，6分）已知x是一元二次方程的根，求代数式 的值。‎ 解析：解一元二次方程，求出x的值，再将分式化简，将x的值代入分式即可求解．‎ 解： ‎ 原式= ‎ ‎∴原式＝‎ ‎(注：直接将方程的根代入计算也可)‎ 点评：本题考查了分式的化简求值、一元二次方程的解，会解一元二次方程及能将分式的除法转化为分式的乘法是解题的关键．‎ ‎(2012山东日照，13，4分)已知x1、x2是方程2x2+14x－16=0的两实数根，那么的值为 . ‎ 解析：由根与系数的关系，得x1+x2=-7，x1x2=-8，所以=‎ ‎===-．‎ 解答：填-．‎ 点评：本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是运用乘法公式把所给式子变形用x1+x2，x1x2表示出来.‎ ‎（2012黑龙江省绥化市，21，5分）先化简，再求值：，其中m是方程的根．‎ ‎【解析】解：原式==‎ ‎===‎ ‎∵m是方程的根 ‎∴‎ ‎∴原式=‎ ‎【答案】原式=．‎ ‎【点评】本题主要考查了分式的化简求值、一元二次方程解的概念，解题的关键是通分、约分，以及分子分母的因式分解、整体代入思想．难度中等．‎ ‎ (2012广东汕头，18，7分)据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：‎ ‎（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；‎ ‎（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？‎ 分析：‎ ‎（1）设年平均增长率为x．根据题意2010年公民出境旅游总人数为 5000（1+x）万人次，2011年公民出境旅游总人数 5000（1+x）2 万人次．根据题意得方程求解；‎ ‎（2）2012年我国公民出境旅游总人数约7200（1+x）万人次．‎ 解答：‎ 解：（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x．根据题意得 ‎ 5000（1+x）2 =7200．‎ 解得 x1 =0.2=20%，x2 =﹣2.2 （不合题意，舍去）．‎ 答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%．‎ ‎（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，‎ 则2012年我国公民出境旅游总人数为 ‎ 7200（1+x）=7200×120%=8640万人次．‎ 答：预测2012年我国公民出境旅游总人数约8640万人次．‎ 点评：‎ 此题考查一元二次方程的应用，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大．‎ ‎（2012南京市，25，8）某汽车销售公司6月份销售某厂家汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系，若当月仅售出1辆汽车，则该汽车的近价为27万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内（含10辆），每辆返利0.5万元，销售量在10辆以上，每辆返利1万.‎ ‎（1）若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为 万元；‎ ‎（2）如果汽车的售价为28万元/辆，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利=销售利润+返利）‎ 解析：用销售数量表示出每辆的进价、返利等，再表示出盈利，列出方程，求解.‎ 答案：（1）27-（3-1）×0.1=26.8.‎ ‎ （2）设销售汽车x辆，则汽车的进价为27-（x-1）×0.1=27.1-0.1x万元，‎ ‎ 若x≤10,则（28-27.1+0.1x）x+0.5x=12‎ ‎ 解得x1=6,x2=-20(不合题意，舍去)‎ ‎ 若x>10,则（28-27.1+0.1x）x+x=12‎ ‎ 解得x3=5(与x>10舍去，舍去),x4=-24(不合题意，舍去)‎ ‎ 公司计划当月盈利12万元，需要售出6辆汽车.‎ 点评：解此题的关键是表示出进价以及每辆车的利润，而返利的多少与售出数量有一定关系，因而得讨论出售汽车的数量问题，这一点容易忽略.‎ ‎（2012，湖北孝感，24，12分）已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0．‎ ‎（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；‎ ‎（2）若x1，x2是原方程的两根，且，求m的值，并求出此时方程的两根．(8分)．‎ ‎【解析】（1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明判别式△=b2﹣‎4ac的值大于0即可；‎ ‎（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到两根的和是-(m+3)，两根的积是(m+1)，结合即可求出m的值，进而可求得方程的两个根．‎ ‎【答案】解：（1）证明：因为△=(m+3)2-4(m-1)=(m+1)2+4．‎ ‎ ∵无论m取何值时，(m+1)2+4的值恒大于0,‎ ‎ ∴原方程总有两个不相等的实数根．‎ ‎ （2）∵x1，x2是原方程的两根，‎ ‎ ∴x1+x2=-(m+3)，x1x2=m+1，∵；∴，‎ ‎ ∴(x1+x2)2-4x1x2=8，∴2-4(m+1)=8，∴m2+‎2m-3=0,‎ ‎ 解得：m1=-3，m2=1．‎ ‎ 当m=-3时，原方程化为：x2-2=0，解得：．‎ ‎ 当m=1时，原方程化为：x2+4x+2=0，解得：‎ ‎【点评】本题考查了一元二次方程根的判别、求根以及根与系数的关系、完全平方公式．解题的关键是先求出x1+x2和x1x2的值，利用两根的和与两根的积表示两根的平方和，把求未知系数的问题转化为解方程的问题．‎ 一、选择题 ‎1．(2012•兰州)某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多‎10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为(　　)‎ ‎　‎ A．‎ x(x－10)＝200‎ B．‎ ‎2x＋2(x－10)＝200‎ C．‎ x(x＋10)＝200‎ D．‎ ‎2x＋2(x＋10)＝200‎ 考点：‎ 由实际问题抽象出一元二次方程。‎ 专题：‎ 几何图形问题。‎ 分析：‎ 根据花圃的面积为200列出方程即可．‎ 解答：‎ 解：∵花圃的长比宽多‎10米，花圃的宽为x米，‎ ‎∴长为(x＋10)米，‎ ‎∵花圃的面积为200，‎ ‎∴可列方程为x(x＋10)＝200．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 考查列一元二次方程；根据长方形的面积公式得到方程是解决本题的基本思路．‎ ‎2. （2012广东湛江）湛江市2009年平均房价为每平方米4000元．连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米5500元，设这两年平均房价年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）‎ A．5500（1+x）2=4000　　B．5500（1﹣x）2=4000‎ C．4000（1﹣x）2=5500　　D．4000（1+x）2=5500‎ 解析设年平均增长率为x，‎ 那么2010年的房价为：4000（1+x），‎ ‎2011年的房价为：4000（1+x）2=5500．‎ 故选：D．‎ ‎3．（2012贵州安顺）已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（　　）‎ ‎　 A． 1 B． ﹣1 C． 0 D． 无法确定 考点：一元二次方程的解；一元二次方程的定义。‎ 解答：解：根据题意得：（m﹣1）+1+1=0，‎ 解得：m=﹣1．‎ 故选B．‎ ‎4. （2012湖北荆门）用配方法解关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0，配方后的方程可以是（　　）‎ A．（x﹣1）2=4　　B．（x+1）2=4‎ C．（x﹣1）2=16　　D．（x+1）2=16‎ 解析：把方程x2﹣2x﹣3=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=3，‎ 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=3+1，‎ 配方得（x﹣1）2=4．‎ 故选A．‎ ‎5．（2012武汉）若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x+2=0的两根，则x1+x2的值是（　　）‎ ‎　 A． ﹣2 B． 2 C． 3 D． 1‎ 考点：根与系数的关系。‎ 解答：解：由一元二次方程x2﹣3x+2=0，‎ ‎∴x1+x2=3，‎ 故选C．‎ ‎6、（2012常德）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是 （ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ 知识点考察：①一元二次方程判别式的运用。②一元一次不等式的解法。‎ ‎ 分析：一元二次方程有实数解，则△≥0，然后再解不等式。‎ ‎ 答案：B ‎ 点评：此题是一元二次方程判别式的逆用（即根据方程根的情况去列不等式解决方程 ‎ 中字母的取值范围）‎ ‎7．（2012南昌）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，则a的值是（　　）‎ ‎　 A． 1 B． ﹣1 C． D． ﹣‎ 考点：根的判别式。‎ 专题：探究型。‎ 分析：根据关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根可知△=0，求出a的取值即可．‎ 解答：解：∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣a=0有两个相等的实数根，‎ ‎∴△=22+‎4a=0，‎ 解得a=﹣1．‎ 故选B．‎ 点评：本题考查的是根的判别式，即一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣‎4ac有如下关系：‎ ‎①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；‎ ‎②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；‎ ‎③当△＜0时，方程无实数根．‎ ‎8．（2012成都）一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都 是 ，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）‎ ‎ A． B． ‎ ‎ C． D． ‎ 考点：由实际问题抽象出一元二次方程。‎ 解答：解：设平均每次提价的百分率为x，‎ 根据题意得：，‎ 故选C．‎ 二、填空题 ‎1．（2012•广州）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个相等的实数根，则k值为　3　．‎ 考点：‎ 根的判别式。‎ 分析：‎ 因为方程有两个相等的实数根，则△=（﹣2）2﹣4k=0，解关于k的方程即可．‎ 解答：‎ 解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个相等的实数根，‎ ‎∴△=（﹣2）2﹣4k=0，‎ ‎∴12﹣4k=0，‎ 解得k=3．‎ 故答案为：3．‎ 点评：‎ 本题考查了一元二次方程根的判别式，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．‎ ‎2．（2012铜仁）一元二次方程的解是 ．‎ 考点：解一元二次方程-因式分解法。‎ 解答：解：原方程可化为：（x﹣3）（x+1）=0，‎ ‎∴x1=3，x2=﹣1．‎ ‎3．（2012张家界）已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，则= ．‎ 考点：根与系数的关系。‎ 解答：解：∵m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，‎ ‎∴m+n=﹣=﹣=，m•n==﹣，‎ ‎∴+===﹣‎ 故答案为﹣．‎ ‎4．（2012滨州）方程x（x﹣2）=x的根是 ．‎ 考点：解一元二次方程-因式分解法。‎ 解答：解：原方程可化为x（x﹣2）﹣x=0，‎ x（x﹣2﹣1）=0，‎ x=0或x﹣3=0，‎ 解得：x1=0，x2=3．‎ ‎5‎ ‎．（2012滨州）滨州市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空．‎ 解：设应邀请x支球队参赛，则每对共打 场比赛，比赛总场数用代数式表示为 ．根据题意，可列出方程 ．‎ 整理，得 ．‎ 解这个方程，得 ．‎ 合乎实际意义的解为 ．‎ 答：应邀请 支球队参赛．‎ 考点：一元二次方程的应用。‎ 解答：解：设应邀请x支球队参赛，则每对共打 （x﹣1）场比赛，比赛总场数用代数式表示为 x（x﹣1）．‎ 根据题意，可列出方程x（x﹣1）=28．‎ 整理，得x2﹣x=28，‎ 解这个方程，得 x1=8，x2=﹣7．‎ 合乎实际意义的解为 x=8．‎ 答：应邀请 8支球队参赛．‎ 故答案为：（x﹣1； x（x﹣1）；x（x﹣1）=28；x2﹣x=28；x1=8，x2=﹣7；x=8；8．‎ ‎6．（2012•德州）若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，那么实数a的取值范围是　a≥﹣1　．‎ 考点：‎ 根的判别式；一元一次方程的定义；一元二次方程的定义。‎ 分析：‎ 当a=0时，方程是一元一次方程，方程的根可以求出，即可作出判断；‎ 当a≠0时，方程是一元二次方程，只要有实数根，则应满足：△≥0，建立关于a的不等式，求得a的取值范围即可．‎ 解答：‎ 解：当a=0时，方程是一元一次方程，有实数根，‎ 当a≠0时，方程是一元二次方程，‎ 若关于x的方程ax2+2（a+2）x+a=0有实数解，‎ 则△=2﹣‎4a•a≥0，‎ 解得：a≥﹣1．‎ 故答案为：a≥﹣1．‎ 点评：‎ 此题考查了根的判别式，注意本题分a=0与a≠0两种情况讨论是解决本题的关键．并且利用了一元二次方程若有实数根则应有△≥0．‎ ‎7．（2012上海）如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0（c是常数）没有实根，那么c的取值范围是 ．‎ 考点：根的判别式。‎ 解答：解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0（c是常数）没有实根，‎ ‎∴△=（﹣6）2﹣‎4c＜0，‎ 即36﹣‎4c＜0，‎ c＞9．‎ 故答案为c＞9．‎ 三、解答题 ‎1. （2012安徽，16，8分）解方程：‎ 解析：根据一元二次方程方程的几种解法，本题不能直接开平方，也不可用因式分解法.先将方程整理一下，可以考虑用配方法或公式法.‎ 解：原方程化为：x2－4x=1‎ 配方，得x2－4x+4=1+4‎ 整理，得（x－2）2=5‎ ‎∴x－2=,即，.‎ ‎2．(2012•兰州)已知x是一元二次方程x2－2x＋1＝0的根，求代数式的值．‎ 考点：‎ 分式的化简求值；一元二次方程的解。‎ 专题：‎ 计算题。‎ 分析：‎ 解一元二次方程，求出x的值，再将分式化简，将x的值代入分式即可求解．‎ 解答：‎ 解：∵x2－2x＋1＝0，‎ ‎∴x1＝x2＝1，‎ 原式＝÷＝•＝，‎ ‎∴当x＝1时，原式＝．‎ 点评：‎ 本题考查了分式的化简求值、一元二次方程的解，会解一元二次方程及能将分式的除法转化为分式的乘法是解题的关键．‎ ‎3、（2012广东）据媒体报道，我国2009年公民出境旅游总人数约5000万人次，2011年公民出境旅游总人数约7200万人次，若2010年、2011年公民出境旅游总人数逐年递增，请解答下列问题：‎ ‎（1）求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率；‎ ‎（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，请你预测2012年我国公民出境旅游总人数约多少万人次？‎ 考点：一元二次方程的应用。‎ 解答：解：（1）设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为x．根据题意得 ‎ 5000（1+x）2 =7200．‎ 解得 x1 =0.2=20%，x2 =﹣2.2 （不合题意，舍去）．‎ 答：这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为20%．‎ ‎（2）如果2012年仍保持相同的年平均增长率，‎ 则2012年我国公民出境旅游总人数为 7200（1+x）=7200×120%=8640万人次．‎ 答：预测2012年我国公民出境旅游总人数约8640万人次．‎ ‎4、 （2012珠海）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0．‎ ‎（1）当m=3时，判断方程的根的情况；‎ ‎（2）当m=﹣3时，求方程的根．‎ 解：（1）∵当m=3时，‎ ‎△=b2﹣‎4ac=22﹣4×3=﹣8＜0，‎ ‎∴原方程无实数根；‎ ‎（2）当m=﹣3时，原方程变为x2+2x﹣3=0，‎ ‎∵（x﹣1）（x+3）=0，∴x﹣1=0，x+3=0，‎ ‎∴x1=1，x2=﹣3．‎ ‎5．（2012•湘潭）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用‎25m），现在已备足可以砌‎50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为‎300m2‎．‎ 考点：‎ 一元二次方程的应用。‎ 分析：‎ 根据可以砌‎50m长的墙的材料，即总长度是‎50m，AB=xm，则BC=（50﹣2x）m，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可．‎ 解答：‎ 解：设AB=xm，则BC=（50﹣2x）m．‎ 根据题意可得，x（50﹣2x）=300，‎ 解得：x1=10，x2=15，‎ 当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，‎ 故x1=10（不合题意舍去），‎ 答：可以围成AB的长为‎15米，BC为‎20米的矩形．‎ 点评：‎ 本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙MN最长可利用‎25m，舍掉不符合题意的数据．‎ ‎6．（2012无锡）（1）解方程：x2﹣4x+2=0‎ 考点：解一元二次方程-公式法；‎ 分析：（1）首先找出方程中得a、b、c，再根据公式法求出b2﹣‎4ac的值，计算x=，即可得到答案；‎ 解答：解：（1）△=42﹣4×1×2=8，‎ ‎∴，‎ ‎∴，；‎ 点评：此题主要考查了解一元二次方程，关键是熟练掌握计算公式与计算方法．‎ ‎7．（2012山西）山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：‎ ‎（1）每千克核桃应降价多少元？‎ ‎（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？‎ 考点：一元二次方程的应用。‎ 解答：（1）解：设每千克核桃应降价x元． …1分 ‎ 根据题意，得 （60﹣x﹣40）（100+×20）=2240． …4分 ‎ 化简，得 x2﹣10x+24=0 解得x1=4，x2=6．…6分 答：每千克核桃应降价4元或6元． …7分 ‎（2）解：由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元．‎ ‎ 因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元． …8分 ‎ 此时，售价为：60﹣6=54（元），． …9分 答：该店应按原售价的九折出售． …10分