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  • 2021-05-10 发布

2013中考数学二轮复习讲义

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第 1 讲:整体思想 诠释定义: 整体思想,就是在研究和解决有关数学问题时,通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征, 从而对问题进行整体处理的解题方法.从整体上去认识问题、思考问题,常常能化繁为简、变难为易. 整体 思想的主要表现形式有:整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等.在初中数 学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面,整体思想都有很好的应用,因此,每年的 中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题,尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面 具有独特的作用. 考点透析: 考点一:数与式的运算中的整体思想 考点二:方程(组)或不等式(组)中的整体思想 分析:此题是灵活运用数学方法、解题技巧求值的问题,首先要观察条件和需要求解的代数式, 然后将已知条件变换成适合所求代数式的形式,运用整体代入法即可得解. 考点三:在函数中的应用 例 4:已知 y+m 和 x-n 成正比例,其中 m,n 是常数. (1)求证:y 是 x 的一次函数; (2)当 y=-15 时,x=-1;当 x=7 时,y=1.求这个函数的 分析:此题在解方程组时,单独解出 k,m,n 是不可能的,也涉及不必要的.故将 kn+m 看成一个整体求 解,从而求得函数解析式,这是求函数解析式的一个常用方法. 考点四:几何与图形中的整体思想 例 5:如图 Z1-1,⊙A,⊙B,⊙C 两两不相交,半径都是 0.5 cm,则图中阴影部分的面积是 ( ) 解析:由于不能求出各个扇形的面积,因此,要将三个阴影部分看作一个整体考虑,注意到三角形内角和为 180°,所以三个扇形的圆心角和为 180°,又因为各个扇形的半径相等,所以阴影部分的面积就是半径为 0.5 cm 的半圆的面积. 第 2 讲 分类讨论思想 诠释定义: 在数学中,我们常常需要根据研究对象性质的差异,分各种不同情况予以考察.这种分类思考的方法是一种 重要的数学思想方法,同时也是一种解题策略.引起分类讨论的因素较多,归纳起来主要有以下几个方面: (1)由数学概念、性质、定理、公式的限制条件引起的讨论;(2)由数学变形所需要的限制条件所引起的分类讨 论;(3)由于图形的不确定性引起的讨论;(4)由于题目含有字母而引起的讨论.分类的原则:①分类中的每一 部分是相互独立的;②一次分类按一个标准;③分类讨论应逐级进行. 考点透析 考点一:方程中的分类讨论 例 1:(2011 年湖北十堰)已知关于 x 的方程 mx2-(3m-1)x+2m-2=0, 求证:无论 m 取任何实数时,方程恒有实数根. 考点二:几何中的分类讨论 例 2:(2010 年广东佛山)一般来说,依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点,将数学对象分为不同种 类的数学思想叫做“分类”的思想;将事物进行分类,然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做“分 类讨论”的方法.请依据分类的思想和分类讨论的方法解决下列问题: 分析:等腰三角形的顶角、顶点不确定,相似三角形的对应关系不确定是中考的热点题型 例 1:先化简,再求值:    a+2 a2-2a- a-1 a2-4a+4 ÷a-4 a-2,其中 a 满足 a2-2a-1=0. 分析:对分式进行化简结果为 1 a2-2a,如果先把 a 的值求出 再代入计算,显得繁琐,但如果把 a2-2a 看成一个整体,则由 已知可得其值为 1. 例 2:(2010 年广西桂林)已知 x+1 x=3,则代数式 x2+1 x2的 值为________. 如图 Z2-1,在△ABC 中,∠ACB>∠ABC. (1)若∠BAC 是锐角,请探索在直线 AB 上有多少个点 D, 能保证△ACD∽△ABC(不包括全等)? (2)请对∠BAC 进行恰当的分类,直接写出每一类在直线 AB 上能保证△ACD∽△ABC(不包括全等)的点 D 的个数? 第 3 讲 数形结合的思想 诠释定义: 数形结合思想是数学中重要的思想方法.所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论 之间的内在联系,既分析其数量关系,又揭示其几何意义,使数量关系和几何图形巧妙地 结合起来,并充分地利用这种结合,探求解决问题的思路,使问题得以解决的思考方法.运 用这一数学思想解题,要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见图形中的代数特征. 考点一:实际问题的数形结合 例 1:(2012 年贵州遵义)为了促进节能减排,倡导节约用电,某市将实行居民生活用电阶梯电 价方案,图 Z3-1 中的折线反映了每户每月用电电费 y(单位:元)与用电量 x(单位:度)间的函 数关系式. (1)根据图象,阶梯电价方案分为三个档次,填写下表: 档 次 第 一档 第二档 第三档 每 月 用 电 量 x(度) 0 <x≤140 __________ __________ (2)小明家某月用电 120 度,需交电费________元 (3)求第二档每月电费 y(单位:元)与用电量 x(单位:度)之间的函数关系式 (4)在每月用电量超过 230 度时,每月多用 1 度电要比第二档多付电费 m 元,小刚家某月用电 290 度,交电费 153 元,求 m 的值. 考点二:几何问题的数形结合 例 2:(2012 年辽宁营口)如图 Z3-2,四边形 ABCD 是边长为 60 cm 的正方形硬纸片,剪掉 阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使 A,B,C,D 四个点重合于 点 P,正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒. (1)若折叠后长方体底面正方形的面积为 1 250 cm2,求长方体包装盒的高; (2)设剪掉的等腰直角三角形的直角边长为 x(单位:cm),长方体的侧面积为 S(单位:cm2),求 S 与 x 的函数关系式,并求 x 为何值时,S 的值最大. 第 4 讲 归纳与猜想 诠释定义: 规律题是指在一定条件下,探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的问题,它往往给出 了一组变化了的数字、式子、图形或条件,要求学生通过阅读、观察、分析、猜想来探索规律,总结数字、 式子、图形的变化规律,或分类归纳,或整体归纳,掌控一定的探索技巧.它体现了“从特殊到一般”的数学 思想方法,考查学生分析、理解问题的能力,观察、联想、归纳的能力以及探究和创新的能力.题型可涉及 填空、选择或解答. 考点一:数字或代数式的猜想 例 1:(2012 年广东珠海)观察下列等式 12×231=132×21, 13×341=143×31, 23×352=253×32, 34×473=374×43, 62×286=682×26 以上每个等式中两边数字是分别对称的,且每个等式中组成的两位数与三位数的数字之间具有相 同规律,我们称这类等式为“数字对称等式”. (1)根据上述各式反映的规律填空,使式子称为“数字对称等式”: ①52×______=______×25; ②______×396=693×______. (2)设这类等式左边两位数的十位数字为 a,个位数字为 b,且 2≤a+b≤9,写出表示“数字对称等 式”一般规律的式子(含 a,b),并证明. 规律方法:做这种数字猜想题最好在草稿纸上按顺序排好每个数字,然后写多几个,找到规律就 好办了. 考点二:几何图形中的猜想 例 2:(2012 年广东广州)如图 Z4-1,在标有刻度的直线 l 上,从点 A 开始,以 AB=1 为直径 画半圆,记为第 1 个半圆;以 BC=2 为直径画半圆,记为第 2 个半圆;以 CD=4 为直径画半 圆,记为第 3 个半圆;以 DE=8 为直径画半圆,记为第 4 个半圆……按此规律,继续画半圆, 则第 4 个半圆的面积是第 3 个半圆面积的________倍,第 n 个半圆的面积为__________(结果保 留π). 规律方法:对于图形找规律的题目,首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的. 第 5 讲 方案设计 诠释定义: 方案设计型试题是通过设置一个实际问题的情景,给出若干信息,提出解决问题的要求,运用数 学知识设计恰当的解决方案,以求得最好的实用效果或最大的经济效益的试题形式. 方案设计问题有以下几种情况:①利用方程(组)知识进行方案设 计;②利用不等式(组)知识进行方案设计;③利用函数知识进行 方案设计;④通过计算比较进行方案设计. 考点一:方案设计 例 1:(2012 年黑龙江牡丹江)某校为了更好地开展球类运动,体育组决定用 1 600 元购进足球 8 个和篮球 14 个,并且篮球的单价比足球的单价多 20 元,请解答下列问题: (1)求出足球和篮球的单价; (2)若学校欲用不超过 3 240 元,且不少于 3 200 元再次购进两种球 50 个,求出有哪几种购买 方案? (3)在(2)的条件下,若已知足球的进价为 50 元,篮球的进价为 65 元,则在第二次购买方案中, 哪种方案商家获利最多? 规律方法:解决此类问题,重在读懂题目,理解题意和弄清数量关系.通过阅读将实际问题分析、 抽象、转化为相关的代数式,进而列出方程或不等式,最终解答数学问题. 考点二:最值问题 例 2:(2012 年山东聊城)某电子厂商投产一种新型电子产品,每件制造成本为 18 元,试销过 程中发现,每月销售量 y(单位:万件)与销售单价 x(单位:元)之间的关系可以近似地看作一 次函数 y=-2x+100(利润=售价-制造成本). (1)写出每月的利润 z(单位:万元)与销售单价 x(单位:元) 之间的函数关系式; (2)当销售单价为多少元时,厂商每月能获得 350 万元的利润?当销售单价为多少元时,厂商每 月能获得最大利润?最大利润是多少? (3)根据相关部门规定,这种电子产品的销售单价不能高于 32 元,如果厂商要获得每月不低于 350 万元的利润,那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元? 第 6 讲阅读理解型问题 诠释定义; 阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”,应特别引起我们的重视.这类问题一般 文字叙述较长,信息量较大,各种关系错综复杂,考查的知识也灵活多样,既考查学生的阅读能 力,又考查学生的解题能力,属于新颖题. 解决这类问题的关键是要认真仔细地阅读所给的材料,弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结 论,或揭示了什么数学规律,或暗示了什么新的解题方法,然后展开联想,将获得的新信息、新 知识、新方法进行迁移,建模应用,解决题目中提出的问题. 考点一:阅读试题提供新定义、新定理,解决新问题 考点二:阅读试题信息,归纳总结提炼数学思想方法 例 2:阅读下面的例题: 解方程 x2-|x|-2=0. 解:(1)当 x≥0 时,原方程可化为 x2-x-2=0, 解得 x1=2,x2=-1(不合题意,舍去). (2)当 x<0 时,原方程可化为 x2+x-2=0, 解得 x1=1(不合题意,舍去),x2=-2. 所以原方程的根是 x1=2,x2=-2. 请参照上述例题解方程 x2-|x-1|-1=0,求方程的根。 阅读试题信息,借助已有方法或通过归纳探索解决新问题 提出新问题 若矩形的面积为 1,则该矩形的周长有无最大值或最小值?若有,最大(小)值是多少? 例 1:从 A,B,C 3 人中选取 2 人当代表,有 A 和 B,A 和 C,B 和 C 3 种不同的选法,抽象成数学模型是:从 3 个元素中 选取 2 个元素的组合,记作 C2 3=3×2 2×1=3.一般地,从 m 个元素 中选取 n 个元素的组合,记作 Cn m=m m-1  m-2 ·…· m-n+1 n n-1  n-2 ·…·2×1 . 根据以上分析,从 6 人中选取 4 人当代表的不同选法有 ______种. 例 3:(2012 年四川达州)问题背景 若矩形的周长为 1,则可求出该矩形面积的最大值.我们可 以设矩形的一边长为 x,面积为 s,则 s 与 x 的函数关系式为 s =-x2+1 2x(x>0),利用函数的图象或通过配方均可求得该函数的 最大值. 分析问题 若设该矩形的一边长为 x,周长为 y,则 y 与 x 的函数关系 式为 y=2      x+1 x (x>0),问题就转化为研究该函数的最大(小)值 了. 解决问题 借鉴我们已有的研究函数的经验,探索函数 y=2      x+1 x (x>0)的最 大(小)值. 第 7 讲 开放探究题 诠释定义; 开放探索性试题在中考中越来越受到重视,由于条件或结论的不确定性,使得解题的方法与答案呈多样性, 学生犹如八仙过海,各显神通. 探索性问题的特点是:问题一般没有明确的条件或结论,没有固定的形式和方法,需要自己通过观察、分析、 比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所求的结论、条件或方法,这类题主要考查学生分析问题和解决 问题的能力和创新意识.开放探究题常见的类型有:①条件开放型,即问题的条件不完备或满足结论的条件 不唯一;②结论开放型,即在给定的条件下,结论不唯一;③策略开放型,即思维策略与解题方法不唯一. 考点一条件开放与探索 (1)请用其中两个关系式作为条件,另一个关系式作为结论,写出你认为正确的所有命题(用序号写出命题书写 形式:“如果……那么……”);(2)选择(1)中你写出的一个命题,说明它正确的理由. 考点二 结论开放与探索 例 2:有一个二次函数的图象,三位学生分别说出它们的一些特点 甲:对称轴是 x=4; 乙:与 x 轴两个交点的横坐标都是整数; 丙:与 y 轴交点的纵坐标也是整数,且以三个交点为顶点 的三角形的面积为 3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数的解析式:----------------- 考点三:策略开放与探索 解:根据题意,可考虑圆心分别在顶点、直角边和斜边上,设计出符合题意的方案示意图.可以设计如图 Z7 -2 的四种方案. x … 1 4 1 3 1 2 1 2 3 4 … y … … (1)实践操作:填写上表,并用描点法在图 Z6-1 中画出函 数 y=2      x+1 x (x>0)的图象; (2)观察猜想:观察该函数的图象,猜想当x=________时, 函数 y=2       x+1 x (x>0)有最____值(填“大”或“小”),是 ________; (3)推理论证:在问题背景中提到,通过配方可求二次函数 s=-x2+1 2x(x>0)的最大值.请你尝试通过配方求函数y=2      x+1 x (x>0)的最大(小)值,以证明你的猜想[提示:当 x>0 时,x=( x)2]. 例 1:(2012 年四川广元)如图 Z7-1,在△AEC 和△DFB 中,∠E=∠F,点 A,B,C,D 在同一直线上,有如下三个关 系式:①AE∥DF;②AB=CD;③CE=BF. 例 3:在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布 料.现找出其中的一种,测得∠C=90°,AC=BC=4.今要从这 种三角形中剪出一种扇形,做成不同形状的玩具,使扇形的边 缘半径恰好都在△ABC 的边上,且扇形的弧与△ABC 的其他边 相切.请设计出所有符合题意的方案示意图,并求出扇形的半 径(只要求画出扇形,并直接写出扇形半径).