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  • 2021-05-10 发布

初中数学突破中考压轴题几何模型之圆的证明与计算常考模型

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圆的证明与计算综合复习提升 考题形式分析:‎ 主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线;第2问主要是与圆有关的计算:①求线段长(或面积);②求线段比;③求角度的三角函数值(实质还是求线段比)。‎ 解题秘笈:‎ ‎1、判定切线的方法:‎ ‎(1)若切点明确,则“连半径,证垂直”。‎ 常见手法有:全等转化;平行转化;直径转化;中线转化等;有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直;‎ ‎(2)若切点不明确,则“作垂直,证半径”。‎ 常见手法:角平分线定理;等腰三角形三线合一,隐藏角平分线;‎ 总而言之,要完成两个层次的证明:①直线所垂直的是圆的半径(过圆上一点);②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.‎ ‎2、与圆有关的计算:‎ 计算圆中的线段长或线段比,通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合,形式复杂,无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系,选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化,找出所求线段与已知线段的关系,从而化未知为已知,解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有:‎ ‎(1)构造思想:如:①构建矩形转化线段;②构建“射影定理”基本图研究线段(已知任意两条线段可求其它所有线段长);③构造垂径定理模型:弦长一半、弦心距、半径;④构造勾股定理模型;⑤构造三角函数.‎ ‎(2)方程思想:设出未知数表示关键线段,通过线段之间的关系,特别是发现其中的相等关系建立方程,解决问题。‎ ‎(3)建模思想:借助基本图形的结论发现问题中的线段关系,把问题分解为若干基本图形的问题,通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论,进而找出隐藏的线段之间的数量关系。‎ 四、结合图形讲解 3、 典型基本图型:‎ 图形1:‎ ‎ ‎ ‎ 如图1:AB是⊙O的直径,点E、C是⊙O上的两点,基本结论有:‎ (1) 在“AC平分∠BAE”;“AD⊥CD”;“DC是⊙O的切线”三个论断中,知二推一。‎ ‎(2)如图(4):若CK⊥AB于K,则:‎ ‎①CK=CD;BK=DE;CK=BE=DC;‎ ‎②⊿ADC∽⊿ACBAC2=AD•AB 例题讲解 如图1:AB是⊙O的直径,点E、C是⊙O上的两点,在“AC平分∠BAE”;“AD⊥CD”。‎ (1) 求证:DC是⊙O的切线 (2) 若CK⊥AB于K ‎①小明通过探究发现CK=BE,你认为是否正确,请说明原因。‎ ‎②请证明AC2=AD•AB ‎(4)在(1)中的条件①、②、③中任选两个条件,当BG⊥CD 于E时(如图5),则:‎ ‎①DE=GB;②DC=CG;③AD•BG==DC2 ‎ 图形2:如图:Rt⊿ABC中,∠ACB=90°。点O是AC上一点,以OC为半径作⊙O交AC于点E,基本结论有:‎ (1) 在“BO平分∠CBA”;“BO∥DE”;“AB是⊙O的切线”;“BD=BC”。四个论断中,知一推三。‎ ‎(2)①G是⊿BCD的内心;‎ ‎ ② ;‎ ‎ ③⊿BCO∽⊿CDEBO•DE=CO•CE=CE2;‎ 例题讲解 图形3:如图:Rt⊿ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC于D,基本结论有:‎ 如右图:(1)DE切⊙OE是BC的中点;‎ ‎ (2)若DE切⊙O,则:‎ ‎ ①DE=BE=CE; ‎ ‎②D、O、B、E四点共圆∠CED=2∠A=∠BOD ‎③CD·CA=4BE2‎ 图形特殊化:在(1)的条件下 如图1:DE∥AB⊿ABC、⊿CDE是等腰直角三角形;‎ 例题讲解 如图:Rt⊿ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC于D,E是BC的中点。‎ ‎(1)求证:DE切⊙O ‎(2)证明:CD·CA=4BE2‎ 图形4:如图,⊿ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O,交BC于点D,交AC于点F,‎ 基本结论有:‎ (1) DE⊥ACDE切⊙O;‎ ‎(2)在DE⊥AC或DE切⊙O下,有:①⊿DFC是等腰三角形;EF=EC;D是 的中点。‎ 例题讲解 ‎1、如图,等腰△ABC中,AB=AC,以AB为直径作⊙O交BC于点D,DE⊥AC于E.‎ ‎(1)求证:DE为⊙O的切线;‎ ‎(2)若BC=,AE=1,求的值. ‎ ‎2、直角梯形ABCD中,∠BCD=90°,AB=AD+BC,AB为直径的圆交BC于E,连OC、BD交于F.‎ ‎⑴求证:CD为⊙O的切线 ‎⑵若,求的值 ‎3、如图,AB为⊙O的直径,C、D为⊙O上的两点, ,过D作直线BC的垂线交直线AB于点E,F为垂足.‎ ‎(1)求证:EF为⊙O的切线;‎ ‎(2)若C为弧中点,AC=6,求AE