初中数学突破中考压轴题几何模型之圆的证明与计算常考模型 5页

圆的证明与计算综合复习提升 考题形式分析：‎ 主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长（或面积）；②求线段比；③求角度的三角函数值（实质还是求线段比）。‎ 解题秘笈：‎ ‎1、判定切线的方法：‎ ‎（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。‎ 常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；‎ ‎（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。‎ 常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；‎ 总而言之，要完成两个层次的证明：①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.‎ ‎2、与圆有关的计算：‎ 计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：‎ ‎（1）构造思想：如：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可求其它所有线段长）；③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型；⑤构造三角函数.‎ ‎（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。‎ ‎（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。‎ 四、结合图形讲解 3、 典型基本图型：‎ 图形1：‎ ‎ ‎ ‎ 如图1：AB是⊙O的直径，点E、C是⊙O上的两点，基本结论有：‎ （1） 在“AC平分∠BAE”；“AD⊥CD”；“DC是⊙O的切线”三个论断中，知二推一。‎ ‎（2）如图（4）：若CK⊥AB于K，则：‎ ‎①CK=CD；BK=DE；CK=BE=DC;‎ ‎②⊿ADC∽⊿ACBAC2=AD•AB 例题讲解 如图1：AB是⊙O的直径，点E、C是⊙O上的两点，在“AC平分∠BAE”；“AD⊥CD”。‎ （1） 求证：DC是⊙O的切线 （2） 若CK⊥AB于K ‎①小明通过探究发现CK=BE，你认为是否正确，请说明原因。‎ ‎②请证明AC2=AD•AB ‎（4）在(1)中的条件①、②、③中任选两个条件，当BG⊥CD 于E时（如图5），则：‎ ‎①DE=GB；②DC=CG；③AD•BG==DC2 ‎ 图形2：如图：Rt⊿ABC中，∠ACB=90°。点O是AC上一点，以OC为半径作⊙O交AC于点E，基本结论有：‎ （1） 在“BO平分∠CBA”;“BO∥DE”;“AB是⊙O的切线”;“BD=BC”。四个论断中，知一推三。‎ ‎（2）①G是⊿BCD的内心；‎ ‎ ② ；‎ ‎ ③⊿BCO∽⊿CDEBO•DE=CO•CE=CE2；‎ 例题讲解 图形3：如图：Rt⊿ABC中，∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC于D，基本结论有：‎ 如右图：（1）DE切⊙OE是BC的中点；‎ ‎ （2）若DE切⊙O，则：‎ ‎ ①DE=BE=CE； ‎ ‎②D、O、B、E四点共圆∠CED=2∠A=∠BOD ‎③CD·CA=4BE2‎ 图形特殊化：在（1）的条件下 如图1：DE∥AB⊿ABC、⊿CDE是等腰直角三角形；‎ 例题讲解 如图：Rt⊿ABC中，∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC于D，E是BC的中点。‎ ‎（1）求证：DE切⊙O ‎（2）证明：CD·CA=4BE2‎ 图形4：如图，⊿ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点F，‎ 基本结论有：‎ （1） DE⊥ACDE切⊙O；‎ ‎（2）在DE⊥AC或DE切⊙O下，有：①⊿DFC是等腰三角形；EF=EC；D是 的中点。‎ 例题讲解 ‎1、如图，等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，DE⊥AC于E.‎ ‎（1）求证：DE为⊙O的切线；‎ ‎（2）若BC=，AE=1，求的值. ‎ ‎2、直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AB=AD+BC，AB为直径的圆交BC于E，连OC、BD交于F.‎ ‎⑴求证：CD为⊙O的切线 ‎⑵若，求的值 ‎3、如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两点， ，过D作直线BC的垂线交直线AB于点E，F为垂足.‎ ‎（1）求证：EF为⊙O的切线；‎ ‎（2）若C为弧中点，AC=6，求AE