2019年广东省广州市中考数学试卷 27页

‎2019年广东省广州市中考数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎1．（3分）|﹣6|＝（　　）‎ A．﹣6 B．6 C．﹣ D．‎ ‎2．（3分）广州正稳步推进碧道建设，营造“水清岸绿、鱼翔浅底、水草丰美、白鹭成群”的生态廊道，使之成为老百姓美好生活的好去处．到今年底各区完成碧道试点建设的长度分别为（单位：千米）：5，5.2，5，5，5，6.4，6，5，6.68，48.4，6.3，这组数据的众数是（　　）‎ A．5 B．5.2 C．6 D．6.4‎ ‎3．（3分）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（　　）‎ A．75m B．50m C．30m D．12m ‎4．（3分）下列运算正确的是（　　）‎ A．﹣3﹣2＝﹣1 B．3×（﹣）2＝﹣ ‎ C．x3•x5＝x15 D．•＝a ‎5．（3分）平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（　　）‎ A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 ‎6．（3分）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（　　）‎ A．＝ B．＝ ‎ C．＝ D．＝‎ ‎7．（3分）如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（　　）‎ 第27页（共27页）‎ A．EH＝HG ‎ B．四边形EFGH是平行四边形 ‎ C．AC⊥BD ‎ D．△ABO的面积是△EFO的面积的2倍 ‎8．（3分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）‎ A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3‎ ‎9．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝3，AF＝5，则AC的长为（　　）‎ A．4 B．4 C．10 D．8‎ ‎10．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，则k的值（　　）‎ A．0或2 B．﹣2或2 C．﹣2 D．2‎ 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎11．（3分）如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA＝6cm，PB＝5cm，PC＝7cm，则点P到直线l的距离是　 　cm．‎ ‎12．（3分）代数式有意义时，x应满足的条件是　 　．‎ ‎13．（3分）分解因式：x2y+2xy+y＝　 　．‎ ‎14．（3分）一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°‎ 第27页（共27页）‎ ‎），使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为　 　．‎ ‎15．（3分）如图放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥侧面展开扇形的弧长为　 　．（结果保留π）‎ ‎16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG，则下列结论：‎ ‎①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值a2．‎ 其中正确的结论是　 　．（填写所有正确结论的序号）‎ 三、解答题（共9小题，满分102分）‎ ‎17．（9分）解方程组：．‎ ‎18．（9分）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：△ADE≌CFE．‎ 第27页（共27页）‎ ‎19．（10分）已知P＝﹣（a≠±b）‎ ‎（1）化简P；‎ ‎（2）若点（a，b）在一次函数y＝x﹣的图象上，求P的值．‎ ‎20．（10分）某中学抽取了40名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查，由调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图．‎ 频数分布表 组别 时间/小时 频数/人数 A组 ‎0≤t＜1‎ ‎2‎ B组 ‎1≤t＜2‎ m C组 ‎2≤t＜3‎ ‎10‎ D组 ‎3≤t＜4‎ ‎12‎ E组 ‎4≤t＜5‎ ‎7‎ F组 t≥5‎ ‎4‎ 请根据图表中的信息解答下列问题：‎ ‎（1）求频数分布表中m的值；‎ ‎（2）求B组，C组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角度数，并补全扇形统计图；‎ ‎（3）已知F组的学生中，只有1名男生，其余都是女生，用列举法求以下事件的概率：从F组中随机选取2名学生，恰好都是女生．‎ ‎21．（12分）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G 第27页（共27页）‎ 基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．‎ ‎（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？‎ ‎（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．‎ ‎22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（﹣1，2），AB⊥x轴于点E，正比例函数y＝mx的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，P两点．‎ ‎（1）求m，n的值与点A的坐标；‎ ‎（2）求证：△CPD∽△AEO；‎ ‎（3）求sin∠CDB的值．‎ ‎23．（12分）如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝8，连接BC．‎ ‎（1）尺规作图：作弦CD，使CD＝BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）‎ ‎（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长．‎ ‎24．（14分）如图，等边△ABC中，AB＝6，点D在BC上，BD＝4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE．‎ ‎（1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB；‎ ‎（2）设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S＝S1﹣S2，S 第27页（共27页）‎ 是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）当B，F，E三点共线时．求AE的长．‎ ‎25．（14分）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．‎ ‎（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；‎ ‎（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．‎ 第27页（共27页）‎ ‎2019年广东省广州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）‎ ‎1．（3分）|﹣6|＝（　　）‎ A．﹣6 B．6 C．﹣ D．‎ ‎【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数解答．‎ ‎【解答】解：﹣6的绝对值是|﹣6|＝6．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了绝对值的性质，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．‎ ‎2．（3分）广州正稳步推进碧道建设，营造“水清岸绿、鱼翔浅底、水草丰美、白鹭成群”的生态廊道，使之成为老百姓美好生活的好去处．到今年底各区完成碧道试点建设的长度分别为（单位：千米）：5，5.2，5，5，5，6.4，6，5，6.68，48.4，6.3，这组数据的众数是（　　）‎ A．5 B．5.2 C．6 D．6.4‎ ‎【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．‎ ‎【解答】解：5出现的次数最多，是5次，所以这组数据的众数为5‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查众数的定义，是需要熟练掌握的概念．‎ ‎3．（3分）如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30m，斜坡的倾斜角是∠BAC，若tan∠BAC＝，则此斜坡的水平距离AC为（　　）‎ A．75m B．50m C．30m D．12m ‎【分析】根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数即可求得AC的长，本题得以解决．‎ ‎【解答】解：∵∠BCA＝90°，tan∠BAC＝，BC＝30m，‎ 第27页（共27页）‎ ‎∴tan∠BAC＝，‎ 解得，AC＝75，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．‎ ‎4．（3分）下列运算正确的是（　　）‎ A．﹣3﹣2＝﹣1 B．3×（﹣）2＝﹣ ‎ C．x3•x5＝x15 D．•＝a ‎【分析】直接利用有理数混合运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．‎ ‎【解答】解：A、﹣3﹣2＝﹣5，故此选项错误；‎ B、3×（﹣）2＝，故此选项错误；‎ C、x3•x5＝x8，故此选项错误；‎ D、•＝a，正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题主要考查了有理数混合运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．‎ ‎5．（3分）平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（　　）‎ A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 ‎【分析】先确定点与圆的位置关系，再根据切线的定义即可直接得出答案．‎ ‎【解答】解：∵⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为2，‎ ‎∴d＞r，‎ ‎∴点P与⊙O的位置关系是：P在⊙O外，‎ ‎∵过圆外一点可以作圆的2条切线，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】此题主要考查了对点与圆的位置关系，切线的定义，切线就是与圆有且只有1个公共点的直线，理解定义是关键．‎ ‎6．（3分）甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（　　）‎ 第27页（共27页）‎ A．＝ B．＝ ‎ C．＝ D．＝‎ ‎【分析】设甲每小时做x个零件，根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等得出方程解答即可．‎ ‎【解答】解：设甲每小时做x个零件，可得：，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．‎ ‎7．（3分）如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝4，对角线AC，BD相交于点O，且E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，则下列说法正确的是（　　）‎ A．EH＝HG ‎ B．四边形EFGH是平行四边形 ‎ C．AC⊥BD ‎ D．△ABO的面积是△EFO的面积的2倍 ‎【分析】根据题意和图形，可以判断各个选项中的结论是否成立，本题得以解决．‎ ‎【解答】解：∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，在▱ABCD中，AB＝2，AD＝4，‎ ‎∴EH＝AD＝2，HG＝AB＝1，‎ ‎∴EH≠HG，故选项A错误；‎ ‎∵E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO的中点，‎ ‎∴EH＝，‎ ‎∴四边形EFGH是平行四边形，故选项B正确；‎ 由题目中的条件，无法判断AC和BD是否垂直，故选项C错误；‎ ‎∵点E、F分别为OA和OB的中点，‎ 第27页（共27页）‎ ‎∴EF＝，EF∥AB，‎ ‎∴△OEF∽△OAB，‎ ‎∴，‎ 即△ABO的面积是△EFO的面积的4倍，故选项D错误，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查平行四边形的面积、三角形的相似、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．‎ ‎8．（3分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）‎ A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3‎ ‎【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，‎ ‎∴y1＝＝﹣6，y2＝＝3，y3＝＝2，‎ 又∵﹣6＜2＜3，‎ ‎∴y1＜y3＜y2．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值是解题的关键．‎ ‎9．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝3，AF＝5，则AC的长为（　　）‎ A．4 B．4 C．10 D．8‎ ‎【分析】连接AE，由线段垂直平分线的性质得出OA＝OC，AE＝CE，证明△AOF≌△COE 第27页（共27页）‎ 得出AF＝CE＝5，得出AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝8，由勾股定理求出AB＝＝4，再由勾股定理求出AC即可．‎ ‎【解答】解：连接AE，如图：‎ ‎∵EF是AC的垂直平分线，‎ ‎∴OA＝OC，AE＝CE，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠B＝90°，AD∥BC，‎ ‎∴∠OAF＝∠OCE，‎ 在△AOF和△COE中，，‎ ‎∴△AOF≌△COE（ASA），‎ ‎∴AF＝CE＝5，‎ ‎∴AE＝CE＝5，BC＝BE+CE＝3+5＝8，‎ ‎∴AB＝＝＝4，‎ ‎∴AC＝＝＝4；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．‎ ‎10．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有两个实数根x1，x2，若（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，则k的值（　　）‎ A．0或2 B．﹣2或2 C．﹣2 D．2‎ ‎【分析】由根与系数的关系可得出x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2，结合（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3可求出k的值，根据方程的系数结合根的判别式△≥0可得出关于k的一元二次不等式，解之即可得出k的取值范围，进而可确定k的值，此题得解．‎ ‎【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0的两个实数根为x1，x2，‎ 第27页（共27页）‎ ‎∴x1+x2＝k﹣1，x1x2＝﹣k+2．‎ ‎∵（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，即（x1+x2）2﹣2x1x2﹣4＝﹣3，‎ ‎∴（k﹣1）2+2k﹣4﹣4＝﹣3，‎ 解得：k＝±2．‎ ‎∵关于x的一元二次方程x2﹣（k﹣1）x﹣k+2＝0有实数根，‎ ‎∴△＝[﹣（k﹣1）]2﹣4×1×（﹣k+2）≥0，‎ 解得：k≥2﹣1或k≤﹣2﹣1，‎ ‎∴k＝2．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合（x1﹣x2+2）（x1﹣x2﹣2）+2x1x2＝﹣3，求出k的值是解题的关键．‎ 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎11．（3分）如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA＝6cm，PB＝5cm，PC＝7cm，则点P到直线l的距离是　5　cm．‎ ‎【分析】根据点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度，可得答案．‎ ‎【解答】解：∵PB⊥l，PB＝5cm，‎ ‎∴P到l的距离是垂线段PB的长度5cm，‎ 故答案为：5．‎ ‎【点评】本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度．‎ ‎12．（3分）代数式有意义时，x应满足的条件是　x＞8　．‎ ‎【分析】直接利用分式、二次根式的定义求出x的取值范围．‎ ‎【解答】解：代数式有意义时，‎ x﹣8＞0，‎ 解得：x＞8．‎ 故答案为：x＞8．‎ 第27页（共27页）‎ ‎【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．‎ ‎13．（3分）分解因式：x2y+2xy+y＝　y（x+1）2　．‎ ‎【分析】首先提取公因式y，再利用完全平方进行二次分解即可．‎ ‎【解答】解：原式＝y（x2+2x+1）＝y（x+1）2，‎ 故答案为：y（x+1）2．‎ ‎【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．‎ ‎14．（3分）一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为　15°或45°　．‎ ‎【分析】分情况讨论：①DE⊥BC；②AD⊥BC．‎ ‎【解答】解：分情况讨论：‎ ‎①当DE⊥BC时，∠BAD＝75°，∴α＝90°﹣∠BAD＝15°；‎ ‎②当AD⊥BC时，∠BAD＝45°，即α＝45°．‎ 故答案为：15°或45°‎ ‎【点评】本题主要考查了垂直的定义，旋转的定义以及一副三角板的各个角的度数，理清定义是解答本题的关键．‎ ‎15．（3分）如图放置的一个圆锥，它的主视图是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥侧面展开扇形的弧长为　　．（结果保留π）‎ ‎【分析】根据圆锥侧面展开扇形的弧长＝底面圆的周长即可解决问题．‎ 第27页（共27页）‎ ‎【解答】解：∵某圆锥的主视图是一个腰长为2的等腰直角三角形，‎ ‎∴斜边长为2，‎ 则底面圆的周长为2π，‎ ‎∴该圆锥侧面展开扇形的弧长为2π，‎ 故答案为2π．‎ ‎【点评】本题考查三视图，圆锥等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．‎ ‎16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝BE，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG，则下列结论：‎ ‎①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值a2．‎ 其中正确的结论是　①④　．（填写所有正确结论的序号）‎ ‎【分析】①正确．如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．证明△FAE≌△EHC（SAS），即可解决问题．‎ ‎②③错误．如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），再证明△GCE≌△GCH（SAS），即可解决问题．‎ ‎④正确．设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝x，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题．‎ ‎【解答】解：如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH．‎ ‎∵BE＝BH，∠EBH＝90°，‎ ‎∴EH＝BE，∵AF＝BE，‎ ‎∴AF＝EH，‎ ‎∵∠DAM＝∠EHB＝45°，∠BAD＝90°，‎ 第27页（共27页）‎ ‎∴∠FAE＝∠EHC＝135°，‎ ‎∵BA＝BC，BE＝BH，‎ ‎∴AE＝HC，‎ ‎∴△FAE≌△EHC（SAS），‎ ‎∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECH，‎ ‎∵∠ECH+∠CEB＝90°，‎ ‎∴∠AEF+∠CEB＝90°，‎ ‎∴∠FEC＝90°，‎ ‎∴∠ECF＝∠EFC＝45°，故①正确，‎ 如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则△CBE≌△CDH（SAS），‎ ‎∴∠ECB＝∠DCH，‎ ‎∴∠ECH＝∠BCD＝90°，‎ ‎∴∠ECG＝∠GCH＝45°，‎ ‎∵CG＝CG，CE＝CH，‎ ‎∴△GCE≌△GCH（SAS），‎ ‎∴EG＝GH，‎ ‎∵GH＝DG+DH，DH＝BE，‎ ‎∴EG＝BE+DG，故③错误，‎ ‎∴△AEG的周长＝AE+EG+AG＝AG+GH＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故②错误，‎ 设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF＝x，‎ ‎∴S△AEF＝•（a﹣x）×x＝﹣x2+ax＝﹣（x2﹣ax+a2﹣a2）＝﹣（x﹣a）2+a2，‎ ‎∵﹣＜0，‎ ‎∴x＝a时，△AEF的面积的最大值为a2．故④正确，‎ 故答案为①④．‎ 第27页（共27页）‎ ‎【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．‎ 三、解答题（共9小题，满分102分）‎ ‎17．（9分）解方程组：．‎ ‎【分析】运用加减消元解答即可．‎ ‎【解答】解：，‎ ‎②﹣①得，4y＝2，解得y＝2，‎ 把y＝2代入①得，x﹣2＝1，解得x＝3，‎ 故原方程组的解为．‎ ‎【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．‎ ‎18．（9分）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：△ADE≌CFE．‎ 第27页（共27页）‎ ‎【分析】利用AAS证明：△ADE≌CFE．‎ ‎【解答】证明：∵FC∥AB，‎ ‎∴∠A＝∠FCE，∠ADE＝∠F，‎ 在△ADE与△CFE中：‎ ‎∵，‎ ‎∴△ADE≌△CFE（AAS）．‎ ‎【点评】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是关键，三角形全等的判定方法有：AAS，SSS，SAS．‎ ‎19．（10分）已知P＝﹣（a≠±b）‎ ‎（1）化简P；‎ ‎（2）若点（a，b）在一次函数y＝x﹣的图象上，求P的值．‎ ‎【分析】（1）P＝﹣＝＝＝；‎ ‎（2）将点（a，b）代入y＝x﹣得到a﹣b＝，再将a﹣b＝代入化简后的P，即可求解；‎ ‎【解答】解：（1）P＝﹣＝＝＝；‎ ‎（2）∵点（a，b）在一次函数y＝x﹣的图象上，‎ ‎∴b＝a﹣，‎ ‎∴a﹣b＝，‎ ‎∴P＝；‎ ‎【点评】本题考查分式的化简，一次函数图象上点的特征；熟练掌握分式的化简，理解点与函数解析式的关系是解题的关键．‎ ‎20．（10分）某中学抽取了40名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查，由调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和扇形统计图．‎ 第27页（共27页）‎ 频数分布表 组别 时间/小时 频数/人数 A组 ‎0≤t＜1‎ ‎2‎ B组 ‎1≤t＜2‎ m C组 ‎2≤t＜3‎ ‎10‎ D组 ‎3≤t＜4‎ ‎12‎ E组 ‎4≤t＜5‎ ‎7‎ F组 t≥5‎ ‎4‎ 请根据图表中的信息解答下列问题：‎ ‎（1）求频数分布表中m的值；‎ ‎（2）求B组，C组在扇形统计图中分别对应扇形的圆心角度数，并补全扇形统计图；‎ ‎（3）已知F组的学生中，只有1名男生，其余都是女生，用列举法求以下事件的概率：从F组中随机选取2名学生，恰好都是女生．‎ ‎【分析】（1）用抽取的40人减去其他5个组的人数即可得出m的值；‎ ‎（2）分别用360°乘以B组，C组的人数所占的比例即可；补全扇形统计图；‎ ‎（3）画出树状图，即可得出结果．‎ ‎【解答】解：（1）m＝40﹣2﹣10﹣12﹣7﹣4＝5；‎ ‎（2）B组的圆心角＝360°×＝45°，‎ C组的圆心角＝360°或＝90°．‎ 补全扇形统计图如图1所示：‎ ‎（3）画树状图如图2：‎ 第27页（共27页）‎ 共有12个等可能的结果，‎ 恰好都是女生的结果有6个，‎ ‎∴恰好都是女生的概率为＝．‎ ‎【点评】此题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、频数分布表的应用，要熟练掌握．‎ ‎21．（12分）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底，全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数量将达到17.34万座．‎ ‎（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？‎ ‎（2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率．‎ ‎【分析】（1）2020年全省5G基站的数量＝目前广东5G基站的数量×4，即可求出结论；‎ ‎（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，根据2020年底及2022年底全省5G基站数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）1.5×4＝6（万座）．‎ 答：计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座．‎ ‎（2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为x，‎ 依题意，得：6（1+x）2＝17.34，‎ 解得：x1＝0.7＝70%，x2＝﹣2.7（舍去）．‎ 答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%．‎ ‎【点评】‎ 第27页（共27页）‎ 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．‎ ‎22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（﹣1，2），AB⊥x轴于点E，正比例函数y＝mx的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，P两点．‎ ‎（1）求m，n的值与点A的坐标；‎ ‎（2）求证：△CPD∽△AEO；‎ ‎（3）求sin∠CDB的值．‎ ‎【分析】（1）根据点P的坐标，利用待定系数法可求出m，n的值，联立正、反比例函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点A的坐标（利用正、反比例函数图象的对称性结合点P的坐标找出点A的坐标亦可）；‎ ‎（2）由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB∥CD，利用平行线的性质可得出∠DCP＝∠OAE，结合AB⊥x轴可得出∠AEO＝∠CPD＝90°，进而即可证出△CPD∽△AEO；‎ ‎（3）由点A的坐标可得出AE，OE，AO的长，由相似三角形的性质可得出∠CDP＝∠AOE，再利用正弦的定义即可求出sin∠CDB的值．‎ ‎【解答】（1）解：将点P（﹣1，2）代入y＝mx，得：2＝﹣m，‎ 解得：m＝﹣2，‎ ‎∴正比例函数解析式为y＝﹣2x；‎ 将点P（﹣1，2）代入y＝，得：2＝﹣（n﹣3），‎ 解得：n＝1，‎ ‎∴反比例函数解析式为y＝﹣．‎ 第27页（共27页）‎ 联立正、反比例函数解析式成方程组，得：，‎ 解得：，，‎ ‎∴点A的坐标为（1，﹣2）．‎ ‎（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AC⊥BD，AB∥CD，‎ ‎∴∠DCP＝∠BAP，即∠DCP＝∠OAE．‎ ‎∵AB⊥x轴，‎ ‎∴∠AEO＝∠CPD＝90°，‎ ‎∴△CPD∽△AEO．‎ ‎（3）解：∵点A的坐标为（1，﹣2），‎ ‎∴AE＝2，OE＝1，AO＝＝．‎ ‎∵△CPD∽△AEO，‎ ‎∴∠CDP＝∠AOE，‎ ‎∴sin∠CDB＝sin∠AOE＝＝＝．‎ ‎【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、待定系数法反比例函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质、相似三角形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出m，n的值；（2）利用菱形的性质，找出∠DCP＝∠OAE，∠AEO＝∠CPD＝90°；（3）利用相似三角形的性质，找出∠CDP＝∠AOE．‎ ‎23．（12分）如图，⊙O的直径AB＝10，弦AC＝8，连接BC．‎ 第27页（共27页）‎ ‎（1）尺规作图：作弦CD，使CD＝BC（点D不与B重合），连接AD；（保留作图痕迹，不写作法）‎ ‎（2）在（1）所作的图中，求四边形ABCD的周长．‎ ‎【分析】（1）以C为圆心，CB为半径画弧，交⊙O于D，线段CD即为所求．‎ ‎（2）连接BD，OC交于点E，设OE＝x，构建方程求出x即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）如图，线段CD即为所求．‎ ‎（2）连接BD，OC交于点E，设OE＝x．‎ ‎∵AB是直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°，‎ ‎∴BC＝＝＝6，‎ ‎∵BC＝CD，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴OC⊥BD于E．‎ ‎∴BE＝DE，‎ ‎∵BE2＝BC2﹣EC2＝OB2﹣OE2，‎ ‎∴62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，‎ 解得x＝，‎ ‎∵BE＝DE，BO＝OA，‎ 第27页（共27页）‎ ‎∴AD＝2OE＝，‎ ‎∴四边形ABCD的周长＝6+6+10+＝．‎ ‎【点评】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．‎ ‎24．（14分）如图，等边△ABC中，AB＝6，点D在BC上，BD＝4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE．‎ ‎（1）当点F在AC上时，求证：DF∥AB；‎ ‎（2）设△ACD的面积为S1，△ABF的面积为S2，记S＝S1﹣S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）当B，F，E三点共线时．求AE的长．‎ ‎【分析】（1）由折叠的性质和等边三角形的性质可得∠DFC＝∠A，可证DF∥AB；‎ ‎（2）过点D作DM⊥AB交AB于点M，由题意可得点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，由△ACD的面积为S1的值是定值，则当点F在DM上时，S△ABF最小时，S最大；‎ ‎（3）过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，由勾股定理可求BG的长，通过证明△BGD∽△BHE，可求EC的长，即可求AE的长．‎ ‎【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形 ‎∴∠A＝∠B＝∠C＝60°‎ 由折叠可知：DF＝DC，且点F在AC上 ‎∴∠DFC＝∠C＝60°‎ ‎∴∠DFC＝∠A ‎∴DF∥AB；‎ ‎（2）存在，‎ 第27页（共27页）‎ 过点D作DM⊥AB交AB于点M，‎ ‎∵AB＝BC＝6，BD＝4，‎ ‎∴CD＝2‎ ‎∴DF＝2，‎ ‎∴点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，‎ ‎∴当点F在DM上时，S△ABF最小，‎ ‎∵BD＝4，DM⊥AB，∠ABC＝60°‎ ‎∴MD＝2‎ ‎∴S△ABF的最小值＝×6×（2﹣2）＝6﹣6‎ ‎∴S最大值＝﹣（6﹣6）＝3+6‎ ‎（3）如图，过点D作DG⊥EF于点G，过点E作EH⊥CD于点H，‎ ‎∵△CDE关于DE的轴对称图形为△FDE ‎∴DF＝DC＝2，∠EFD＝∠C＝60°‎ ‎∵GD⊥EF，∠EFD＝60°‎ ‎∴FG＝1，DG＝FG＝‎ ‎∵BD2＝BG2+DG2，‎ ‎∴16＝3+（BF+1）2，‎ ‎∴BF＝﹣1‎ ‎∴BG＝‎ ‎∵EH⊥BC，∠C＝60°‎ 第27页（共27页）‎ ‎∴CH＝，EH＝HC＝EC ‎∵∠GBD＝∠EBH，∠BGD＝∠BHE＝90°‎ ‎∴△BGD∽△BHE ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴EC＝﹣1‎ ‎∴AE＝AC﹣EC＝7﹣‎ ‎【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造相似三角形是本题的关键．‎ ‎25．（14分）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．‎ ‎（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；‎ ‎（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．‎ ‎【分析】（1）抛物线有最低点即开口向上，m＞0，用配方法或公式法求得对称轴和函数最小值．‎ ‎（2）写出抛物线G的顶点式，根据平移规律即得到抛物线G1的顶点式，进而得到抛物线G1顶点坐标（m+1，﹣m﹣3），即x＝m+1，y＝﹣m﹣3，x+y＝﹣2即消去m，得到y与x的函数关系式．再由m＞0，即求得x的取值范围．‎ ‎（3）法一：求出抛物线恒过点B（2，﹣4），函数H图象恒过点A（2，﹣3），由图象可知两图象交点P应在点A、B之间，即点P纵坐标在A、B纵坐标之间．‎ 法二：联立函数H解析式与抛物线解析式组成方程组，整理得到用x表示m的式子．由x与m的范围讨论x的具体范围，即求得函数H对应的交点P纵坐标的范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵y＝mx2﹣2mx﹣3＝m（x﹣1）2﹣m﹣3，抛物线有最低点 ‎∴二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值为﹣m﹣3‎ 第27页（共27页）‎ ‎（2）∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3‎ ‎∴平移后的抛物线G1：y＝m（x﹣1﹣m）2﹣m﹣3‎ ‎∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，﹣m﹣3）‎ ‎∴x＝m+1，y＝﹣m﹣3‎ ‎∴x+y＝m+1﹣m﹣3＝﹣2‎ 即x+y＝﹣2，变形得y＝﹣x﹣2‎ ‎∵m＞0，m＝x﹣1‎ ‎∴x﹣1＞0‎ ‎∴x＞1‎ ‎∴y与x的函数关系式为y＝﹣x﹣2（x＞1）‎ ‎（3）法一：如图，函数H：y＝﹣x﹣2（x＞1）图象为射线 x＝1时，y＝﹣1﹣2＝﹣3；x＝2时，y＝﹣2﹣2＝﹣4‎ ‎∴函数H的图象恒过点B（2，﹣4）‎ ‎∵抛物线G：y＝m（x﹣1）2﹣m﹣3‎ x＝1时，y＝﹣m﹣3；x＝2时，y＝m﹣m﹣3＝﹣3‎ ‎∴抛物线G恒过点A（2，﹣3）‎ 由图象可知，若抛物线与函数H的图象有交点P，则yB＜yP＜yA ‎∴点P纵坐标的取值范围为﹣4＜yP＜﹣3‎ 法二：‎ 整理的：m（x2﹣2x）＝1﹣x ‎∵x＞1，且x＝2时，方程为0＝﹣1不成立 ‎∴x≠2，即x2﹣2x＝x（x﹣2）≠0‎ ‎∴m＝＞0‎ ‎∵x＞1‎ ‎∴1﹣x＜0‎ ‎∴x（x﹣2）＜0‎ 第27页（共27页）‎ ‎∴x﹣2＜0‎ ‎∴x＜2即1＜x＜2‎ ‎∵yP＝﹣x﹣2‎ ‎∴﹣4＜yP＜﹣3‎ ‎【点评】本题考查了求二次函数的最值，二次函数的平移，二次函数与一次函数的关系．解题关键是在无图的情况下运用二次函数性质解题，第（3）题结合图象解题体现数形结合的运用．‎ 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/7/1 7:50:11；用户：柯瑞；邮箱：ainixiaoke00@163.com；学号：500557‎ 第27页（共27页）‎