中考压轴25题证明大全 6页

‎1、在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设锐角∠DOC=α，将△DOC按逆时针方向旋转得到△D′OC′（0°＜旋转角＜90°）连接AC′、BD′，AC′与BD′相交于点M．‎ ‎（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，请猜想AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并证明你的猜想；‎ ‎（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，已知AC=kBD，请猜想此时AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并证明你的猜想；‎ ‎（3）当四边形ABCD是等腰梯形时，如图3，AD∥BC，此时（1）AC′与BD′的数量关系是否成立？∠AMB与α的大小关系是否成立？不必证明，直接写出结论．‎ ‎ ‎ ‎2．如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PE＝PB，连接PD，O为AC中点．‎ ‎（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，不用说明理由；‎ ‎（2）如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；‎ ‎（3）如图3，当点P在AC的延长线上时，请你在图3中画出相应的图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法），并判断（1）中的猜想是否成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．‎ ‎3.已知：正方形ABCD.（1）如图1，点E、点F分别在边AB和AD上，且AE=AF.此时，线段BE、DF的数量关系和位置关系分别是什么？请直接写出结论.‎ ‎（2）如图2，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转，当时，连接BE、DF，此时（1）中结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.‎ ‎（3）如图3，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转，当时，连接BE、DF，猜想当AE与AD满足什么数量关系时，直线DF垂直平分BE.请直接写出结论.‎ ‎（4）如图4，等腰直角三角形FAE绕直角顶点A顺时针旋转，当时，连接BD、DE、EF、FB得到四边形BDEF，则顺次连接四边形BDEF各边中点所组成的四边形是什么特殊四边形？请直接写出结论.‎ ‎4. 如图(1)～(3)，已知∠AOB的平分线OM上有一点P，∠CPD的两边与射线OA、OB交于点C、D，连接CD交OP于点G，设∠AOB＝α(0°＜α＜180°)，∠CPD＝β.‎ ‎(1)如图(1)，当α＝β＝90°时，试猜想PC与PD，∠PDC与∠AOB的数量关系(不用说明理由)；‎ ‎(2)如图(2)，当α＝60°，β＝120°时，(1)中的两个猜想还成立吗？请说明理由．‎ A A A ‎(3)如图(3)，当α＋β＝180°时，①你认为(1)中的两个猜想是否仍然成立，若成立请直接写出结论；若不成立，请说明理由．②若＝2，求的值．‎ ‎5. 已知直角梯形ABCD，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝BC＝CD，E为CD的中点．‎ ‎(1)如图(1)当点M在线段DE上时，以AM为腰作等腰直角三角形AMN，判断NE与MB的位置关系和数量关系，请直接写出你的结论；‎ N B A ‎(2)如图(2)当点M在线段EC上时，其他条件不变，(1)中的结论是否成立？请说明理由．‎ ‎　 ‎ ‎6.如图所示，（1）正方形ABCD及等腰Rt△AEF有公共顶点A,∠EAF=90, 连接BE、DF.将Rt△AEF绕点A旋转,在旋转过程中，BE、DF具有怎样的数量关系和位置关系？结合图(1)给予证明；‎ ‎(2)将（1）中的正方形ABCD变为矩形ABCD，等腰Rt△AEF变为Rt△AEF，且AD=kAB,AF=kAE,其他条件不变.(1)中的结论是否发生变化？结合图(2)说明理由；‎ ‎(3)将（2）中的矩形ABCD变为平行四边形ABCD，将Rt△AEF变为△AEF，且∠BAD=∠EAF=，其他条件不变.(2)中的结论是否发生变化？结合图(3)，如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用k表示出线段BE、DF的数量关系，用表示出直线BE、DF形成的锐角.‎ ‎ ‎ ‎7．在中，，点是直线上一点（不与重合），以为一边在的右侧作，使，连接．‎ ‎（1）如图1，当点在线段上，如果，则 度；‎ ‎（2）设，．‎ ‎①如图2，当点在线段上移动，则之间有怎样的数量关系？请说明理由；‎ ‎②当点在直线上移动，则之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．‎ ‎8.如图1，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC＝PA，PD＝PB，∠APC＝∠BPD，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H．‎ ‎(1)猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；‎ ‎(2)当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，(1)中的结论还成立吗？说明理由；‎ ‎(3)如果(2)中，∠APC＝∠BPD＝90º，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．‎ ‎9.如图，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，P为对角线AC上一动点，过点P作PF⊥DC于点F。如图①，当点P与点O重合时，显然有DF=CF。‎ ‎（1）如图②，若点F在线段AO上（不与A、O重合），PE⊥PB且PE交CD于点E。‎ ①求证：DF=EF；‎ ②写出线段PC、PA、CE之间的一个等量关系式，并证明你的结论。‎ ①‎ ②‎ ③‎ ‎（2）若点P在线段OC上（不与点O、C重合），PE⊥PB且PE交直线CD于点E。请完成图③并判断（1）中的结论①、②是否成立？若不成立，写出相应的结论，不必证明。‎ ‎10．如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF．‎ ‎（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；‎ ‎（2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；‎ ‎（3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF=∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关系．并证明你的猜想．‎ 图3‎ ‎(4)如图3，点A坐标为（-2,0），点B坐为（3,0），点C在y轴上，且∠ACB=45°，求点C坐标。‎ ‎11.如图，正方形ABCD的边长是3，点P是直线BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF=BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF，CF．‎ ‎（1）如图，当点P在CB延长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形；‎ ‎（2）如图‚，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由；‎ ‎（3）在（2）的条件下，四边形PCFE的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大值及此时BP长；若没有，请说明理由．‎ ‎12.已知⊿ABC，D是射线BC上一动点（D与C不重合），以AD为一边向右侧作等边⊿ADE（C与E不重合），连接CE。⑴如图1，若⊿ABC为等边三角形，当点D在线段BC上时，直线BD与直线CE所夹锐角为 ；‎ ‎⑵如图2，若⊿ABC为等边三角形，当点D在线段BC的延长线上时，在⑴中得到的结论是否仍然成立？请说明理由；⑶如图3，若⊿ABC不是等边三角形，BC＞AC, ∠ACB=60°,试探究当点D在线段BC上时，你在⑴中得到的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。‎ ‎13.如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD．‎ ‎（1）①猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；‎ ‎②将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2、图3的情形．图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．‎ ‎（2）将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF改为矩形CDEF，如图4，且AC=4，BC=3，CD=，CF=1，BF交AC于点H，交AD于点O，连接BD、AF，求BD2+AF2的值．‎ ‎14．已知Rt△ABC，AB=AC，∠BAC＝90°，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作Rt△ADE（其中AD＝AE，∠DAE＝90°A、D、E按逆时针排列），连接CE．‎ ‎（1）如图1，当点D在边BC上时，‎ ‎①请写出BD和CE之间存在数量关系和位置关系，并说明理由；‎ ‎②的关系是否成立，并说明理由；‎ ‎（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中AC、CE、CD之间存在的数量关系是否成立？若不成立，请直接写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，不证明．‎ ‎（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹 ），并直接写出AC、CE、CD之间存在的数量关系，不证明．‎ ‎15.已知△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点P在BC边上（P不与B、C重合）或点P在△ABC内部，连接CP、BP，将CP绕点C逆时针旋转90°图a 图b A O O B C P D E A B C D P E ，得到线段CE；将BP绕点B顺时针旋转90°，得到线段BD，连接ED交AB于点O．‎ ‎（1）如图a，当点P在BC边上时，求证OA＝OB；‎ ‎（2）如图b，当点P在△ABC内部时，‎ ‎ ①OA＝OB是否成立？请说明理由；‎ ‎ ②直接写出∠BPC为多少度时，AB＝DE．‎ ‎16.在△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜45°，点O为AB中点，一个足够大的三角板的直角顶点与点O重合，一边OE经过点C，另一边OD与AC交于点M．‎ ‎（1）如图1，当∠A=30°时，求证：MC2=AM2+BC2；‎ ‎（2）如图2，当∠A≠30°时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请写出你认为正确的结论，并说明理由；‎ ‎（3）将三角形ODE绕点O旋转，若直线OD与直线AC相交于点M，直线OE与直线BC相交于点N，连接MN，则MN2=AM2+BN2成立吗？‎ 答：　 　（填“成立”或“不成立”）‎ ‎17.已知四边形ABCD是正方形。‎ （1） 如图1，点M在边BA的延长线上，点N在边BC上，且AM=CN，连接MN，DM，DN，直接判断△DMN的形状。‎ （2） 如图2，当点M在边AB上，点N在边BC的延长线上，AM=CN，连接MN，取线段MN的中点G，连接DG，DM，判断线段DG和线段MG 关系并说明理由。‎ （3） 如图3，当点M在边AB的延长线上，点N在边BC的延长线上，AM=CN，连接MN，DM，DN，点G是线段MN的中点，连图1‎ 图2‎ 图3‎ 接BG，DG。连接GC并延长交BD于点H，若∠AMN=75°，判断线段GH和线段BD的关系并说明理由。‎ ‎18.已知△ABC为等边三角形，D为AB边所在的直线上的动点，连接DC，以DC为边在DC的两侧作等边△DCE和等边△DCF（点E在DC的右侧或上侧，点F在DC的左侧或下侧），连接AE，BF。‎ （1） 如图1，若点D在AB边上，请你通过观察、测量、猜想线段AE，BF和AB有怎样的数量关系，并证明你的结论。‎ （2） 如图2，若点D在AB的延长线上其他条件不变，线段AE，BF和AB有怎样的数量关系？请直接写出结论。‎ （3） 若点D在AB的方向延长线上图3‎ 图1‎ 图2‎ ，其他条件不变，请在图3中画出图形，探究线段AE，BF和AB有怎样的数量关系，并直接写出结论。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19.已知RtABC中，∠ACB=90°，CA=CB,有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE,CF分别与直线AB交于点M、N。‎ ‎（1）当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图①，求证：MN2=AM2+BN2；‎ ‎（2）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由。‎ ①‎ ②‎ ‎（3）当扇形CEF绕点C在∠ACB的外部旋转时，猜想类似上面的结论是什么？写出这个结论，并画出相应的图形。‎ ‎20.（1）如图1，在△ABC中，BA=BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=∠ABC（0°＜∠CBE＜∠ABC）．以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针旋转∠ABC，得到△BE′A（点C与点A重合，点E到点E′处）连接DE′，求证：DE′=DE．‎ ‎（2）如图2，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=∠ABC（0°＜∠CBE＜45°）．‎ 求证：DE2=AD2+EC2．‎ ‎21.已知：四边形ABCD中，F为AD边上一点，E为DC边的中点，且∠1=∠2.‎ ‎(1)如图①，若四边形ABCD为正方形，请说明BC+DF=BF；‎ ‎(2)如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，（1）中的结论是否仍然成立？不必证明；‎ ①‎ ②‎ ③‎ ‎(3)如图③，在四边形ABCD中，AD∥BC，F点为AD延长线上一点，试说明线段BF、DF、BC的关系，并说明理由。‎ ‎22.已知点O 是ABC内任意一点，连接OA并延长到E，使得AE=OA，以OB、OC为邻边作□OBFC，其对角线OF与BC交于点H，连接EF。‎ （1） 如图1，若ABC为等边三角形，求证：①EF⊥BC；②EF=BC；‎ （2） 如图2，若ABC为等腰直角三角形（BC为斜边）,猜想（1）中的两个结论是否成立，若成立，直接写出结论；若不成立，请你直接写出你猜想的结论；‎ 图1‎ 图3‎ 图2‎ （3） 如图3，若ABC是等腰三角形，且AB=AC=kBC，请你直接写出EF与BC的数量关系。‎ ‎23.如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F，另一边交CB的延长线于点G。‎ （1） 求证：EF=EG；‎ （2） 如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；‎ 图1‎ 图3‎ 图2‎ （3） 如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a，BC=b，求的值。‎ ‎24.在⊿ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D是BC的中点，把一个三角板的直角顶点放在点D处，将三角板绕点D旋转且使俩条直角边分别交AB、AC于点E、F。‎ ‎⑴如图1，观察旋转过程，猜想线段AF与BE的数量关系，并说明理由；‎ ‎⑵如图2，若连接EF，请探索线段BE、EF、FC之间的关系；‎ ‎⑶如图3，若将“AB=AC,点D是BC的中点”改为“∠B=30°，AD⊥BC于点D,其余条件不变，探索⑴中结论是否成立，若不成立请探索AF与BE的比值。‎ ‎25.在ABC中，AB=AC，CD⊥BA交BA的延长线于点D。正方形EFGH的一条边EH与AC边在一条直线上，另一条边EF恰好经过点B。‎ （1） 在图1中，请你通过观察、测量BE与CD的长度，猜想并写出BE与CD满足的数量关系，然后证明你的猜想；‎ （2） 将正方形EFGH沿AC方向平移到图2所示的位置时，EH边仍与AC边在同一直线上，另一条边EF交BC边于点M，过点M作MN⊥BA于点N。此时请你通过观察、测量ME、MN与CD的长度，猜想并写出ME、MN与CD之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；‎ （3） 将正方形EFGH沿CA方向平移到图3所示的位置时，EH边仍与AC边在同一直线上，另一条边EF的延长线交CB边的延长线于点M，过点M作MN⊥AB交AB的延长线于点N。此时猜想并写出ME、MN与CD之间满足的数量关系，不需证明。‎ 图1‎ 图2‎ 图3‎ ‎26.在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G.‎ ‎（1）当点P与点C重合时（如图①），求证BOG≌POE；‎ ‎（2）当点P运动到图②所示位置时，求证：；‎ ‎（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图③），若∠ACB=30°，求的值。‎ ①‎ ③‎ ②‎ ‎27.如图①，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN 上，点E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG。‎ ‎（1）连接GD，求证：ADG≌ABE；‎ ‎（2）连接FC，求∠FCN的度数；‎ ‎(3)将图①中的正方形AEFG绕点A顺时针旋转，使点E落在CB的延长线上，连接FC，请在图②中画出正方形AEFG旋转后的图形，并直接写出∠FCN的度数；‎ ‎(4)如图③，将图①中正方形ABCD改为矩形ABCD，若AB=6，BC=8，点E在线段BC上，以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG使顶点G恰好落在射线CD上。连接FC，请直接写出tan∠FCN的值。‎ ①‎ ②‎ ③‎ ‎28.如图，⊿ABC和⊿ADE是等腰直角三角形，∠ADE=∠ACB=90°，连接BE，F为BE的中点，连接CF、DF。‎ ‎⑴如图1，当AD与AC重合时，猜想线段CF、DF的关系，并证明你的猜想；‎ ‎⑵如图2，当DA⊥AB时，⑴中猜想的结论是否成立?说明理由；‎ ‎⑶如图3，若⊿ABC不动，⊿ADE绕A点旋转任意一个角度，其他条件不变，⑴的结论成立吗？直接回答，不必说明理由。‎ ‎29.在正方形ABCD中，E，F分别是AB、BC边上的点，DE、AF相交于点G，过点F作FM∥ED与∠DCN的平分线交于点M。‎ ‎⑴如图1，若E、F分别是AB、BC的中点，连接EF，猜想AF、FM的位置关系与数量关系；直接写出结论，不必证明 ‎⑵如图2，若AE=BF，⑴中猜想的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出你猜想的结论，并说明理由。‎ ‎30.在四边形ABCD中，∠EAF的两边分别与边BC、DC交于点E、F，连接EF，‎ ‎⑴如图1，若四边形ABCD为正方形，且∠EAF=45°，猜想线段EF、BE和DF的数量关系；直接写结论，不必证明。‎ ‎⑵如图2，若四边形中AB=AD, ∠B+∠D=180°，∠EAF=∠BAD,试问⑴中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明，如果不成立，请说明理由；‎ ‎⑶如图3，若∠EAF的两边与边BC、CD的延长线交点E、F，⑵中的其他条件不变，⑴中结论是否仍然成立？若成立直接写出结论；若不成立，线段EF、BE、和DF又有怎样的数量关系，并说明理由。‎ ‎31.如图甲，在⊿ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若点B,P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM，PN.‎ ‎⑴延长MP交CN于点E（如图乙）。①求证：⊿BPM≌⊿CPE；②求证：PM=PN；‎ ‎⑵若直线a绕点A旋转到图丙的位置时，点B，P在直线a的同侧，其他条件不变，此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；‎ ‎⑶若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其他条件不变，请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM=PN还成立吗？不必说明理由。‎ ‎ ‎ ‎32.已知，如图，正方形ABCD中,E、F分别是BC,CD上的点，且∠EAF=450.‎ ‎(1)如图1，连接EF，求证：BE+DF=EF 图1‎ 图2‎ ‎(2)如图2，连接BD分别交AE、AF于点M、N,求证：BM2+DN2=MN2‎ ‎33.如图1，梯形ABCD中，AD∥BC, AB=AD=CD,∠BAD=120°，∠MAN=60°，将图1中的∠MAN绕点A按逆时针方向旋转角,且,边AM、AN分别交直线BC、CD于E、F两点。‎ （1） 当时，其他条件不变，如图2、如图3所示。‎ ‎①如图2，判断线段BE、DF、EF的数量关系，并直接写出结论。‎ ‎②如图3，①中的结论是否依然成立？若成立，请利用图3证明；若不成立，说明理由。‎ ‎（2）当时，其他条件不变，请在图4中画出一个符合条件的图形，直接写出所画图形中线段BE、DF、EF的数量关系。‎ ‎ ‎