山东枣庄中考数学试题解析版 17页

‎ 2018年枣庄市学业水平考试 ‎ ‎ 数学 注意事项：‎ ‎1.本试题分第I工卷和第Ⅱ卷两部分．第I卷为选择题，36分；第Ⅱ卷为非选择题，84分；全卷共6页，满分120分．考试时间为120分钟 ‎2．答卷时，考生务必将第工卷和第Ⅱ卷的答案填涂或书写在答题卡指定位置上，并在本页上方空自处写上姓名和准考证号．考试结束，将试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷（选择题共36分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分。‎ ‎1．‎-‎‎1‎‎2‎ 的倒数是（ ）‎ A.-2 B.‎ -‎‎1‎‎2‎ C.2 D.‎‎ ‎‎1‎‎2‎ ‎【考点】倒数．‎ ‎【分析】根据倒数的定义，直接解答即可．‎ ‎【解答】解：‎-‎‎1‎‎2‎ 的倒数是-2．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．‎ ‎2．下列计算，正确的是 A.a‎5‎‎+a‎5‎=‎a‎10‎ B.‎ a‎3‎÷a‎-1‎=‎a‎2‎ C.a∙2a‎2‎=2‎a‎4‎ D.‎‎-‎a‎2‎‎3‎‎=-‎a‎6‎ ‎【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．‎ ‎【分析】根据幂的乘方与积的乘方及合并同类项法则进行计算．‎ ‎【解答】解：A、a‎5‎‎+a‎5‎=‎‎2a‎5‎ ，故本选项错误； B、a‎3‎‎÷a‎-1‎=‎a‎4‎，故本选项错误； C、a∙2a‎2‎=2‎a‎3‎ ，故本选项错误； D、‎-‎a‎2‎‎3‎‎=-‎a‎6‎，故本选项正确． 故选：D ‎【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方及合并同类项，要熟悉计算法则．‎ ‎3．已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC=30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1=20°，则∠2的度数为（　　）‎ A．20° B．30° C．45° D．50°‎ ‎【考点】平行线的性质．‎ ‎【分析】根据平行线的性质即可得到结论．‎ ‎【解答】解：∵直线m∥n， ∴∠2=∠ABC+∠1=30°+20°=50°， 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．‎ ‎4. 实数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是（　　） ‎ A．|a|＞|b| B．|ac|=ac C．b＜d D．c+d＞0‎ ‎【考点】实数与数轴．数形结合．‎ ‎【分析】本题利用实数与数轴的对应关系结合实数的运算法则计算即可解答．‎ ‎【解答】解：从a、b、c、d在数轴上的位置可知：a＜b＜0，d＞c＞1； A、|a|＞|b|，故选项正确； B、a、c异号，则|ac|=-ac，故选项错误； C、b＜d，故选项正确； D、d＞c＞1，则a+d＞0，故选项正确． 故选：B．‎ ‎【点评】此题主要考查了数轴的知识：从原点向右为正数，向左为负数．右边的数大于左边的数．‎ ‎5．如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，若点A（3，m）在直线l上，则m的值是（　　）‎ A．-5 B．‎3‎‎2‎ C.‎5‎‎2‎ D.7‎ ‎【考点】一次函数图象上点的坐标．‎ ‎【分析】待定系数法求出直线解析式，再将点A代入求解可得．‎ ‎【解答】解：将（-2，0）、（0，1）代入，得：‎-2k+b=0‎b=1‎ 解得：‎k=‎‎1‎‎2‎b=1‎ ‎∴y=‎1‎‎2‎x+1，将点A（3，m）代入，得：‎1‎‎2‎+1=m，即m=‎‎5‎‎2‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查直线上点的坐标特点，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．‎ ‎6.如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形．若拿掉边长2b的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长为（　　）‎ A. 3a+2b B. 3a+4b C .6a+2b D .6a +4b ‎【考点】列代数式．‎ ‎【分析】观察图形可知，这块矩形较长的边长=边长为3a的正方形的边长-边长2b的小正方形的边长+边长2b的小正方形的边长的2倍，依此计算即可求解．‎ ‎【解答】解：依题意有 3a-2b+2b×2 =3a-2b+4b =3a+2b． 故这块矩形较长的边长为3a+2b． 故选：A．‎ ‎【点评】考查了列代数式，关键是得到这块矩形较长的边长与两个正方形边长的关系．‎ ‎7．在平面直角坐标系中，将点A（-1，-2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点B′的坐标为（　　）‎ A．（-3，-2） B．（2，2） C．（-2，2） D．（2，-2）‎ ‎【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标与图形变化-平移．‎ ‎【分析】首先根据横坐标右移加，左移减可得B点坐标，然后再根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标符号改变可得答案．‎ ‎【解答】解：点A（-1，-2）向右平移3个单位长度得到的B的坐标为（-1+3，-2），即（2，-2），则点B关于x轴的对称点B′的坐标是（2，2）， 故选：B．‎ ‎【点评】此题主要考查了坐标与图形变化-平移，以及关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标变化规律．‎ ‎8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（　　）‎ A.‎15‎ B.‎2‎‎5‎ C.‎2‎‎15‎ D.8‎ ‎【考点】垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．‎ ‎【分析】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6可计算出半径OA=4，则OP=OA-AP=2，接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH=‎1‎‎2‎OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH=‎15‎，所以CD=2CH=‎‎2‎‎5‎ ‎【解答】解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图， ∵OH⊥CD， ∴HC=HD， ∵AP=2，BP=6， ∴AB=8， ∴OA=4， ∴OP=OA-AP=2， 在Rt△OPH中，∵∠OPH=30°， ∴∠POH=60°， ∴OH=‎1‎‎2‎OP=1， 在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1， ∴CH=OC‎2‎‎-‎OH‎2‎‎=‎‎5‎ ∴‎ CD=2CH=‎2‎‎5‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性质 ‎9．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，且过点A（3，0），次函数图象的对称轴是直线x＝1．下列结论，正确的是（ ）‎ A .b2<4ac B.ac>0 C.2a-b=0 D.a-b+c=0‎ ‎【考点】二次函数图象与系数的关系．‎ ‎【分析】根据抛物线与x轴有两个交点有b2-4ac＞0可对A进行判断；由抛物线开口向上得a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得c＜0，则可对B进行判断；根据抛物线的对称性是x=1对C选项进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为（-1，0），所以a-b+c=0，则可对D选项进行判断．‎ ‎【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2-4ac＞0，即b2＞4ac，所以A选项错误； ‎ ‎∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴ac＜0，所以B选项错误； ‎ ‎∵二次函数图象的对称轴是直线x=1， ∴‎-‎b‎2a=1，∴2a+b=0，所以C选项错误； ‎ ‎∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x=1， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（-1，0）， ∴a-b+c=0，所以D选项正确；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=‎-‎b‎2a；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．‎ ‎10．如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA、PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是（　　）‎ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 ‎【考点】等腰直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质 ‎【分析】根据等腰直角三角形的判定即可得到结论．‎ ‎【解答】解：如图所示，使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是3， 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定，正确的找出符合条件的点P是解题的关键．‎ ‎11．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是（　　）‎ A．‎2‎‎4‎ B．‎1‎‎4‎ C．‎1‎‎3‎ D．‎2‎‎3‎ ‎ ‎【考点】矩形的性质；解直角三角形；矩形 ‎【分析】证明△BEF∽△DAF，得出EF=‎1‎‎2‎AF，EF=‎1‎‎3‎AE，由矩形的对称性得：AE=DE，得出EF=‎1‎‎3‎DE，设EF=x，则DE=3x，由勾股定理求出DF=DE‎2‎‎-‎EF‎2‎=‎2‎‎2‎x，再由三角函数定义即可得出答案．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∵点E是边BC的中点， ∴BE=‎1‎‎2‎BC=‎1‎‎2‎AD， ∴△BEF∽△DAF， ∴‎EFAF‎=BEAD=‎‎1‎‎2‎ ‎∴EF=‎1‎‎2‎AF， ∴EF=‎1‎‎3‎AE， ∵点E是边BC的中点， ∴由矩形的对称性得：AE=DE， ∴EF=‎1‎‎3‎DE，设EF=x，则DE=3x， ∴DF=DE‎2‎‎-‎EF‎2‎=‎2‎‎2‎x ‎∴tan∠BDE=‎EFDF‎=x‎2‎2‎x=‎‎2‎‎4‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．‎ ‎12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（　　）‎ A．‎3‎‎2‎ B．‎4‎‎3‎ C．‎5‎‎3‎ D．‎‎8‎‎5‎ ‎【考点】勾股定理；角平分线的性质．勾股定理 ‎【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．‎ ‎【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G， ∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠CDA=90°， ∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°， ∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF=∠FAD， ∴∠CFA=∠AED=∠CEF， ∴CE=CF， ∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°， ∴FC=FG， ∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°， ∴△BFG∽△BAC， ∴BFAB‎=‎FGAC， ∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°， ∴BC=4， ∴‎4-FC‎5‎‎=‎FG‎3‎， ∵FC=FG， ∴‎4-FC‎5‎‎=‎FC‎3‎， 解得：FC=‎3‎‎2‎， 即CE的长为‎3‎‎2‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE．‎ 第Ⅱ卷（非选择题题共84分）‎ 二、填空题：本大题共6小题，满分24分，只填写最后结果，每小题填对得4分 ‎13．若二元一次方程组x+y＝3‎‎3x-5y＝4‎的解为x＝ay＝b，则a-b=________‎ ‎【考点】二元一次方程组的解；二元一次方程与一次函数的关系 ‎【分析】将两式相加即可求出a-b的值．‎ ‎【解答】解：∵x+y=3，3x-5y=4， ∴两式相加可得：（x+y）+（3x-5y）=3+4， ∴4x-4y=7， ∴x-y=‎7‎‎4‎， ∵x=a，y=b， ∴a-b=x-y=‎‎7‎‎4‎ ‎【点评】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是观察两方程的系数，从而求出a-b的值，本题属于基础题型． ‎ ‎14． 如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求大厅两层之间的高度为_________米．（结果保留两个有效数字）‎ ‎【参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.601】 ‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．解直角三角形的应用：坡度 ‎【分析】过B作地平面的垂线段BC，垂足为C，构造直角三角形，利用正弦函数的定义，即可求出BC的长．‎ ‎【解答】解：过B作地平面的垂线段BC，垂足为C． 在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°， ∴BC=AB•sin∠BAC=12×0.515≈6.2（米）． 即大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．‎ ‎15．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式。即：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=‎‎1‎‎4‎a‎2‎b‎2‎‎-‎a‎2‎‎+b‎2‎-‎c‎2‎‎2‎‎2‎．现已知△ABC的三边长分别为‎5‎，2，1则△ABC的面积为____________．‎ ‎【考点】二次根式的应用．二次根式典型题 ‎【分析】根据题目中的面积公式可以求得△ABC的三边长分别为‎5‎，2，1的面积，从而可以解答本题．‎ ‎【解答】解：∵S=‎‎1‎‎4‎a‎2‎b‎2‎‎-‎a‎2‎‎+b‎2‎-‎c‎2‎‎2‎‎2‎， ∴△ABC的三边长分别为1，2，‎5‎，则△ABC的面积为：‎S=‎‎1‎‎4‎‎5‎‎2‎‎2‎‎2‎‎-‎‎5‎‎2‎‎+‎2‎‎2‎-‎‎1‎‎2‎‎2‎‎2‎ ‎=2 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的面积公式解答．‎ ‎16． 如图，在正方形ABCD中，AD=‎2‎‎3‎，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为________．‎ ‎【考点】旋转的性质；正方形的性质．图形的旋转 ‎【分析】根据旋转的思想得PB=BC=AB，∠PBC=30°，推出△ABP是等边三角形，得到∠BAP=60°，AP=AB=‎2‎‎3‎，解直角三角形得到CE=‎2‎‎3‎-2，PE=4-‎2‎‎3‎，过P作PF⊥CD于F，于是得到结论．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=90°， ∵把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP， ∴PB=BC=AB，∠PBC=30°， ∴∠ABP=60°， ∴△ABP是等边三角形， ∴∠BAP=60°，AP=AB=‎2‎‎3‎， ∵AD=‎2‎‎3‎， ∴AE=4，DE=2， ∴CE=‎2‎‎3‎-2，PE=4-‎2‎‎3‎， 过P作PF⊥CD于F， ∴PF=‎3‎‎2‎PE=‎2‎‎3‎-3， ∴三角形PCE的面积=‎1‎‎2‎CE•PF=‎1‎‎2‎×（‎2‎‎3‎-2）×（‎2‎‎3‎-3）=9-‎5‎‎3‎， 故答案为：9-‎5‎‎3‎．‎ ‎【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．‎ ‎17．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是_____________‎ ‎ ‎ ‎【考点】动点问题的函数图象．‎ ‎【分析】根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，而从C向A运动时，BP先变小后变大，从而可求出BC与AC的长度．‎ ‎【解答】解：根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大， 由图象可知：点P从B向C运动时，BP的最大值为5， 即BC=5， 由于M是曲线部分的最低点， ∴此时BP最小， 即BP⊥AC，BP=4， ∴由勾股定理可知：PC=3， 由于图象的曲线部分是轴对称图形， ∴PA=3， ∴AC=6， ∴△ABC的面积为：‎1‎‎2‎×4×6=12 故答案为：12‎ ‎【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出BC与AC的长度，本题属于中等题型．‎ ‎18．将从1开始的连续自然数按以下规律排列：‎ 第1行 ‎1‎ 第2行 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 第3行 ‎9‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎5‎ 第4行 ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ 第5行 ‎25‎ ‎24‎ ‎23‎ ‎22‎ ‎21‎ ‎20‎ ‎19‎ ‎18‎ ‎17‎ ‎… 则2018在第___________行。‎ ‎【考点】规律型：数字的变化类．‎ ‎【分析】通过观察可得第n行最大一个数为n2，由此估算2018所在的行数，进一步推算得出答案即可．‎ ‎【解答】解：∵442=1936，452=2025， ∴2018在第45行． 故答案为：45．‎ ‎【点评】本题考查了数字的变化规律，解题的关键是通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．‎ 三、解答题：本大題共7小题，满分60分．解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步聚 ‎19．（本题满分8分）‎ 计算：‎‎3‎‎-2‎‎+‎sin‎60‎‎0‎‎-‎27‎-‎-1‎‎1‎‎2‎‎2‎+‎‎2‎‎-2‎ ‎【考点】实数的运算；负指数幂；特殊角的三角函数值.‎ ‎【分析】按照实数的运算法则依次进行计算即可得解 ‎【解答】解：原式=‎‎2-‎7‎‎3‎‎2‎-2=-‎‎7‎‎3‎‎2‎ ‎【点评】本题考查了绝对值，特殊角的三角函数值，负指数幂，需要认真计算。‎ ‎20．（本题满分8分）‎ 如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．‎ ‎（1）在图1中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；‎ ‎（2）在图2中，画出与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形； （3）将图3中，的△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形． ‎ ‎【考点】作图-旋转变换；作图-轴对称变换．‎ ‎【专题】作图题．‎ ‎【分析】（1）根据成轴对称图形的概念，分别以边AC、BC所在的直线为对称轴作出图形即可； （2）根据网格结构找出点A、B绕着点C按顺时针方向旋转90°后的对应点的位置，再与点C顺次连接即可．‎ ‎【解答】解：如图所示．‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题考查了利用旋转变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．‎ ‎21．（本题满分8分）‎ 已知，如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=‎nx（n为常数且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=12． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积 ‎（3）直接写出不等式 kx+b≤‎nx 的解集．‎ ‎【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．‎ ‎【分析】（1）先求出A、B、C坐标，再利用待定系数法确定函数解析式． （2）两个函数的解析式作为方程组，解方程组即可求出点E，求三角形面积． （3）根据图象一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即可解决问题，注意等号．‎ ‎【解答】解：（1）∵OB=2OA=3OD=12， ∴OB=12，OA=6，OD=4， ∵CD⊥OA， ∴DC∥OB， ∴OBCD‎=‎OAAD， ∴‎12‎CD‎=‎‎6‎‎10‎， ∴CD=20， ∴点C坐标（-4，20），B（0，12），A（6，0）， ∴b＝12‎‎6k+b＝0‎ 解得b＝12‎k＝-2‎ ‎∴一次函数为y=-2x+12． ∵反比例函数y=‎nx 经过点C（-4，20），‎ ‎∴n=-80， ∴反比例函数解析式为y=-‎‎80‎x （2）由y=-2x+12‎y=-‎‎80‎x解得 ‎x＝10‎y＝-8‎‎ 或 ‎x＝-4‎y＝20‎ 故另一个交点E坐标为（10，-8）．‎ ‎ S△CDE=S△ACD+S△ADE = ‎1‎‎2‎×10×8 + ‎1‎‎2‎×10×20 = 40+100=140‎ ‎（3）由图象可知 kx+b≤‎nx 的解集：-4≤x＜0或x≥10．‎ ‎【点评】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是学会利用待定系数法确定函数解析式，知道两个函数图象的交点坐标可以利用解方程组解决，学会利用图象确定自变量取值范围，属于中考常考题型．‎ ‎22．（本题满分8分）‎ 现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机调查了我市50名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整）：‎ 步数 频数 频率 ‎0≤x＜4000‎ ‎8‎ a ‎4000≤x＜8000‎ ‎15‎ ‎0.3‎ ‎8000≤x＜12000‎ ‎12‎ b ‎12000≤x＜16000‎ c ‎0.2‎ ‎16000≤x＜20000‎ ‎3‎ ‎0.06‎ ‎20000≤x＜24000‎ d ‎0.04‎ 请根据以上信息，解答下列问题： （1）写出a，b，c，d的值并补全频数分布直方图； （2）本市约有37800名教师，用调查的样本数据估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有多少名？ （3）若在50名被调查的教师中，选取日行走步数超过16000步（包含16000步）的两名教师与大家分享心得，求被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率．‎ ‎【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图．‎ ‎【分析】（1）根据频率=频数÷总数可得答案； （2）用样本中超过12000步（包含12000步）的频率之和乘以总人数可得答案； （3）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得．‎ ‎【解答】解：（1）a=8÷50=0.16，b=12÷50=0.24，c=50×0.2=10，d=50×0.04=2， 补全频数分布直方图如下： ‎ ‎ （2）37800×（0.2+0.06+0.04）=11340， 答：估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有11340名； （3）设16000≤x＜20000的3名教师分别为A、B、C，‎ ‎20000≤x＜24000的2名教师分别为X、Y， 画树状图如下： 由树状图可知，被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率为‎2‎‎20‎‎=‎‎1‎‎10‎ ‎【点评】此题考查了频率分布直方图，用到的知识点是频率=频数÷总数，用样本估计整体让整体×样本的百分比，读懂统计表，运用数形结合思想来解决由统计图形式给出的数学实际问题是本题的关键．‎ ‎23．（本题满分8分）‎ 如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D． （1）求线段AD的长度； （2）点E是线段AC上的一点，试问当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切？请说明理由．‎ ‎【考点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质．‎ ‎【专题】综合题．‎ ‎【分析】（1）由勾股定理易求得AB的长；可连接CD，由圆周角定理知CD⊥AB，易知△ACD∽△ABC，可得关于AC、AD、AB的比例关系式，即可求出AD的长． （2）当ED与⊙O相切时，由切线长定理知EC=ED，则∠ECD=∠EDC，那么∠A和∠DEC就是等角的余角，由此可证得AE=DE，即E是AC的中点．在证明时，可连接OD，证OD⊥DE即可．‎ ‎【解答】解：（1）在Rt△ACB中，∵AC=3cm，BC=4cm，∠ACB=90°∴AB=5cm；‎ 连接CD，∵BC为直径， ∴∠ADC=∠BDC=90°； ∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB， ∴Rt△ADC∽Rt△ACB； ∴ACAB‎=‎ADAC，∴AD＝AC‎2‎AB‎=‎‎9‎‎5‎； （2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切； 证明：连接OD， ∵DE是Rt△ADC的中线； ∴ED=EC， ∴∠‎ EDC=∠ECD； ∵OC=OD， ∴∠ODC=∠OCD； ∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°； ∴ED⊥OD， ∴ED与⊙O相切．‎ ‎【点评】此题综合考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质、直角三角形的性质、切线的判定等知识．‎ ‎24．（本题满分10分）‎ 如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG． （1）求证：四边形EFDG是菱形； （2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由； （3）若AG=6，EG=‎2‎‎5‎，求BE的长．‎ ‎【考点】四边形综合题．‎ ‎【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF； （2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=‎1‎‎2‎GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系； （3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD-GH求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）证明：∵GE∥DF， ∴∠EGF=∠DFG． ∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF， ∴∠DGF=∠DFG． ∴GD=DF． ∴DG=GE=DF=EF． ∴四边形EFDG为菱形． （2）EG2=‎1‎‎2‎GF•AF． 理由：如图1所示：连接DE，交AF于点O． ‎ ‎ ∵四边形EFDG为菱形， ∴GF⊥DE，OG=OF=‎1‎‎2‎GF． ∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA， ∴△DOF∽△ADF． ∴DFAF‎=‎FODF，即DF2=FO•AF． ∵FO=‎1‎‎2‎GF，DF=EG， ∴EG2=‎1‎‎2‎GF•AF． （3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H． ∵EG2=‎1‎‎2‎GF•AF，AG=6，EG=‎2‎‎5‎， ∴20=‎1‎‎2‎FG（FG+6），整理得：FG2+6FG-40=0． 解得：FG=4，FG=-10（舍去）． ∵DF=GE=‎2‎‎5‎，AF=10， ∴AD=AF‎2‎‎-‎DF‎2‎‎=4‎‎5‎． ∵GH⊥DC，AD⊥DC， ∴GH∥AD． ∴△FGH∽△FAD． ∴GHAD‎=‎FGAF，即GH‎4‎‎5‎‎=‎‎4‎‎10‎． ∴GH=‎8‎‎5‎‎5‎． ∴BE=AD-GH=‎4‎5‎-‎8‎‎5‎‎5‎=‎‎12‎‎5‎‎5‎．‎ ‎【点评】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO•AF是解题答问题（2）的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题（3）的关键．‎ ‎25．（本题满分10分）‎ 如图，已知二次函数y=ax‎2‎+‎3‎‎2‎x+c ‎a≠0‎的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0），连接AB、AC． （1）请直接写出二次函数y=ax‎2‎+‎3‎‎2‎x+c ‎的表达式； （2）判断△ABC的形状，并说明理由； （3）若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标； （4）若点N在线段BC上运动（不与点B、C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，求此时点N的坐标．‎ ‎ ‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】（1）根据待定系数法即可求得； （2）根据抛物线的解析式求得B的坐标，然后根据勾股定理分别求得AB2=20，AC2=80，BC10，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△ABC是直角三角形． （3）分别以A、C两点为圆心，AC长为半径画弧，与x轴交于三个点，由AC的垂直平分线与x轴交于一个点，即可求得点N的坐标； （4）设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D，根据三角形相似对应边成比例求得MD=‎2‎‎5‎（n+2），然后根据S△AMN=S△ABN-S△BMN得出关于n的二次函数，根据函数解析式求得即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵二次函数y=ax‎2‎+‎3‎‎2‎x+c ‎的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B、C，点C坐标为（8，0）， ∴c＝4‎‎64a+12+c＝0‎ 解得a＝-‎‎1‎‎4‎c＝4‎ ‎∴抛物线表达式：‎y=-‎1‎‎4‎x‎2‎+‎3‎‎2‎x+4 ‎ ‎（2）△ABC是直角三角形． 令y=0，则‎-‎1‎‎4‎x‎2‎+‎3‎‎2‎x+4=0 ‎， 解得x1=8，x2=-2， ∴点B的坐标为（-2，0）， 由已知可得， 在Rt△ABO中AB2=BO2+AO2=22+42=20， 在Rt△AOC中AC2=AO2+CO2=42+82=80， 又∵BC=OB+OC=2+8=10， ∴在△ABC中AB2+AC2=20+80=102=BC2 ∴△ABC是直角三角形． （3）∵A（0，4），C（8，0）， ∴AC=‎4‎‎2‎‎+‎‎8‎‎2‎‎=4‎‎5‎， ①以A 为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（-8，0）， ②以C为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于N，此时N的坐标为（8-‎4‎‎5‎，0）或（8+‎4‎‎5‎，0） ③作AC的垂直平分线，交x轴于N，此时N的坐标为（3，0）， 综上，若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为（-8，0）、（8-‎4‎‎5‎，0）、（3，0）、（8+‎4‎‎5‎，0）． （4）设点N的坐标为（n，0），则BN=n+2，过M点作MD⊥x轴于点D， ∴MD∥OA， ∴△BMD∽△BAO， ∴BMBA‎=‎MDOA， ∵MN∥AC ∴BMBA‎=‎BNBC， ∴MDOA‎=‎BNBC， ∵OA=4，BC=10，BN=n+2 ∴MD=‎2‎‎5‎（n+2）， ∵S△AMN=S△ABN-S△BMN =‎1‎‎2‎BN•OA-‎1‎‎2‎BN•MD =‎1‎‎2‎（n+2）×4-‎1‎‎2‎×‎2‎‎5‎（n+2）2 =-‎1‎‎5‎（n-3）2+5， ∴当△AMN面积最大时，N点坐标为（3，0）．‎ ‎【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，勾股定理和逆定理，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质以及函数的最值等，熟练掌握性质定理是解题的关键．‎