2020年贵州省铜仁市中考数学试卷(含解析） 21页

‎2020年贵州省铜仁市中考数学试卷 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）本题每小题均有A、B、C、D四个备选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上 ‎1．（4分）﹣3的绝对值是（　　）‎ A．﹣3 B．3 C．‎1‎‎3‎ D．‎‎-‎‎1‎‎3‎ ‎2．（4分）我国高铁通车总里程居世界第一，预计到2020年底，高铁总里程大约39000千米，39000用科学记数法表示为（　　）‎ A．39×103 B．3.9×104 C．3.9×10﹣4 D．39×10﹣3‎ ‎3．（4分）如图，直线AB∥CD，∠3＝70°，则∠1＝（　　）‎ A．70° B．100° C．110° D．120°‎ ‎4．（4分）一组数据4，10，12，14，则这组数据的平均数是（　　）‎ A．9 B．10 C．11 D．12‎ ‎5．（4分）已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（　　）‎ A．3 B．2 C．4 D．5‎ ‎6．（4分）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）‎ A．a＞b B．﹣a＜b C．a＞﹣b D．﹣a＞b ‎7．（4分）已知等边三角形一边上的高为2‎3‎，则它的边长为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．4‎‎3‎ ‎8．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（　　）‎ 第21页（共21页）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎9．（4分）已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k的值等于（　　）‎ A．7 B．7或6 C．6或﹣7 D．6‎ ‎10．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE＝1，∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF‎=‎‎2‎，过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H，CF与AD相交于点G，连接EC、EG、EF．下列结论：①△ECF的面积为‎17‎‎2‎；②△AEG的周长为8；③EG2＝DG2+BE2；其中正确的是（　　）‎ A．①②③ B．①③ C．①② D．②③‎ 二、填空题：（本题共8个小题，每小题4分，共32分）‎ 第21页（共21页）‎ ‎11．（4分）因式分解：a2+ab﹣a＝　 　．‎ ‎12．（4分）方程2x+10＝0的解是　 　．‎ ‎13．（4分）已知点（2，﹣2）在反比例函数y‎=‎kx的图象上，则这个反比例函数的表达式是　 　．‎ ‎14．（4分）函数y‎=‎‎2x-4‎中，自变量x的取值范围是　 　．‎ ‎15．（4分）从﹣2，﹣1，2三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第三象限的概率等于　 　．‎ ‎16．（4分）设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，则AB与EF的距离等于　 　cm．‎ ‎17．（4分）系统找不到该试题 ‎18．（4分）观察下列等式：‎ ‎2+22＝23﹣2；‎ ‎2+22+23＝24﹣2；‎ ‎2+22+23+24＝25﹣2；‎ ‎2+22+23+24+25＝26﹣2；‎ ‎…‎ 已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220＝m，则220+221+222+223+224+…+238+239+240＝　 　（结果用含m的代数式表示）．‎ 三、解答题：（本题共4个小题，第19题每小题10分，第20，21，22题每小题10分，共40分，要有解题的主要过程）‎ ‎19．（10分）（1）计算：2‎÷‎1‎‎2‎-‎（﹣1）2020‎-‎4‎-‎（‎5‎‎-‎‎3‎）0．‎ ‎（2）先化简，再求值：（a‎+‎‎3-‎a‎2‎a-3‎）÷（a‎2‎‎-1‎a-3‎），自选一个a值代入求值．‎ ‎20．（10分）如图，∠B＝∠E，BF＝EC，AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF．‎ ‎21．（10分）某校计划组织学生参加学校书法、摄影、篮球、乒乓球四个课外兴趣小组，要求每人必须参加并且只能选择其中的一个小组，为了了解学生对四个课外小组的选择情 第21页（共21页）‎ 况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据给出的信息解答下列问题：‎ ‎（1）求该校参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）；‎ ‎（2）m＝　 　，n＝　 　；‎ ‎（3）若该校共有2000名学生，试估计该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有多少人？‎ ‎22．（10分）如图，一艘船由西向东航行，在A处测得北偏东60°方向上有一座灯塔C，再向东继续航行60km到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的周围47km内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？‎ 四、（本大题满分12分）‎ ‎23．（12分）某文体商店计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球，每一个排球的进价是每一个篮球的进价的90%，用3600元购买排球的个数要比用3600元购买篮球的个数多10个．‎ ‎（1）问每一个篮球、排球的进价各是多少元？‎ ‎（2）该文体商店计划购进篮球和排球共100个，且排球个数不低于篮球个数的3倍，篮球的售价定为每一个100元，排球的售价定为每一个90元．若该批篮球、排球都能卖完，问该文体商店应购进篮球、排球各多少个才能获得最大利润？最大利润是多少？‎ 第21页（共21页）‎ 五、（本大题满分12分）‎ ‎24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．‎ ‎（1）求证：CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AD＝8，BECE‎=‎‎1‎‎2‎，求CD的长．‎ 六、（本大题满分14分）‎ ‎25．（14分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；‎ ‎（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．‎ 第21页（共21页）‎ ‎2020年贵州省铜仁市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）本题每小题均有A、B、C、D四个备选答案，其中只有一个是正确的，请你将正确答案的序号填涂在相应的答题卡上 ‎1．（4分）﹣3的绝对值是（　　）‎ A．﹣3 B．3 C．‎1‎‎3‎ D．‎‎-‎‎1‎‎3‎ ‎【解答】解：﹣3的绝对值是：3．‎ 故选：B．‎ ‎2．（4分）我国高铁通车总里程居世界第一，预计到2020年底，高铁总里程大约39000千米，39000用科学记数法表示为（　　）‎ A．39×103 B．3.9×104 C．3.9×10﹣4 D．39×10﹣3‎ ‎【解答】解：39000＝3.9×104．‎ 故选：B．‎ ‎3．（4分）如图，直线AB∥CD，∠3＝70°，则∠1＝（　　）‎ A．70° B．100° C．110° D．120°‎ ‎【解答】解：∵直线AB∥CD，‎ ‎∴∠1＝∠2，‎ ‎∵∠3＝70°，‎ ‎∴∠1＝∠2＝180°﹣70°＝110°．‎ 故选：C．‎ ‎4．（4分）一组数据4，10，12，14，则这组数据的平均数是（　　）‎ A．9 B．10 C．11 D．12‎ ‎【解答】解：这组数据的平均数为‎1‎‎4‎‎×‎（4+10+12+14）＝10，‎ 故选：B．‎ ‎5．（4分）已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（　　）‎ 第21页（共21页）‎ A．3 B．2 C．4 D．5‎ ‎【解答】解：∵△FHB和△EAD的周长分别为30和15，‎ ‎∴△FHB和△EAD的周长比为2：1，‎ ‎∵△FHB∽△EAD，‎ ‎∴FHEA‎=‎2，即‎6‎EA‎=‎2，‎ 解得，EA＝3，‎ 故选：A．‎ ‎6．（4分）实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）‎ A．a＞b B．﹣a＜b C．a＞﹣b D．﹣a＞b ‎【解答】解：根据数轴可得：a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，‎ 则a＜b，﹣a＞b，a＜﹣b，﹣a＞b．‎ 故选：D．‎ ‎7．（4分）已知等边三角形一边上的高为2‎3‎，则它的边长为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．4‎‎3‎ ‎【解答】解：根据等边三角形：三线合一，‎ 设它的边长为x，可得：x‎2‎‎=(x‎2‎‎)‎‎2‎+(2‎‎3‎‎)‎‎2‎，‎ 解得：x＝4，x＝﹣4（舍去），‎ 故选：C．‎ ‎8．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（　　）‎ 第21页（共21页）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：由题意当0≤x≤4时，‎ y‎=‎1‎‎2‎×‎AD×AB‎=‎1‎‎2‎×‎3×4＝6，‎ 当4＜x＜7时，‎ y‎=‎1‎‎2‎×‎PD×AD‎=‎1‎‎2‎×‎（7﹣x）×4＝14﹣2x．‎ 故选：D．‎ ‎9．（4分）已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k的值等于（　　）‎ A．7 B．7或6 C．6或﹣7 D．6‎ ‎【解答】解：当m＝4或n＝4时，即x＝4，‎ ‎∴方程为42﹣6×4+k+2＝0，‎ 解得：k＝6，‎ 当m＝n时，即△＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0，‎ 解得：k＝7，‎ 综上所述，k的值等于6或7，‎ 故选：B．‎ ‎10．（4分）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE＝1，∠DAM＝45‎ 第21页（共21页）‎ ‎°，点F在射线AM上，且AF‎=‎‎2‎，过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H，CF与AD相交于点G，连接EC、EG、EF．下列结论：①△ECF的面积为‎17‎‎2‎；②△AEG的周长为8；③EG2＝DG2+BE2；其中正确的是（　　）‎ A．①②③ B．①③ C．①② D．②③‎ ‎【解答】解：如图，在正方形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD＝4，∠B＝∠BAD＝90°，‎ ‎∴∠HAD＝90°，‎ ‎∵HF∥AD，‎ ‎∴∠H＝90°，‎ ‎∵∠HAF＝90°﹣∠DAM＝45°，‎ ‎∴∠AFH＝∠HAF．‎ ‎∵AF‎=‎‎2‎，‎ ‎∴AH＝HF＝1＝BE．‎ ‎∴EH＝AE+AH＝AB﹣BE+AH＝4＝BC，‎ ‎∴△EHF≌△CBE（SAS），‎ ‎∴EF＝EC，∠HEF＝∠BCE，‎ ‎∵∠BCE+∠BEC＝90°，‎ ‎∴HEF+∠BEC＝90°，‎ ‎∴∠FEC＝90°，‎ ‎∴△CEF是等腰直角三角形，‎ 在Rt△CBE中，BE＝1，BC＝4，‎ ‎∴EC2＝BE2+BC2＝17，‎ 第21页（共21页）‎ ‎∴S△ECF‎=‎‎1‎‎2‎EF•EC‎=‎‎1‎‎2‎EC2‎=‎‎17‎‎2‎，故①正确；‎ 过点F作FQ⊥BC于Q，交AD于P，‎ ‎∴∠APF＝90°＝∠H＝∠HAD，‎ ‎∴四边形APFH是矩形，‎ ‎∵AH＝HF，‎ ‎∴矩形AHFP是正方形，‎ ‎∴AP＝PH＝AH＝1，‎ 同理：四边形ABQP是矩形，‎ ‎∴PQ＝AB＝4，BQ＝AP1，FQ＝FP+PQ＝5，CQ＝BC﹣BQ＝3，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴△FPG∽△FQC，‎ ‎∴FPFQ‎=‎PGCQ，‎ ‎∴‎1‎‎5‎‎=‎PG‎3‎，‎ ‎∴PG‎=‎‎3‎‎5‎，‎ ‎∴AG＝AP+PG‎=‎‎8‎‎5‎，‎ 在Rt△EAG中，根据勾股定理得，EG‎=AG‎2‎+AE‎2‎=‎‎17‎‎5‎，‎ ‎∴△AEG的周长为AG+EG+AE‎=‎8‎‎5‎+‎17‎‎5‎+‎3＝8，故②正确；‎ ‎∵AD＝4，‎ ‎∴DG＝AD﹣AG‎=‎‎12‎‎5‎，‎ ‎∴DG2+BE2‎=‎144‎‎25‎+‎1‎=‎‎169‎‎25‎，‎ ‎∵EG2＝（‎17‎‎5‎）2‎=‎289‎‎25‎≠‎‎169‎‎25‎，‎ ‎∴EG2≠DG2+BE2，故③错误，‎ ‎∴正确的有①②，‎ 故选：C．‎ 第21页（共21页）‎ 二、填空题：（本题共8个小题，每小题4分，共32分）‎ ‎11．（4分）因式分解：a2+ab﹣a＝　a（a+b﹣1）　．‎ ‎【解答】解：原式＝a（a+b﹣1）．‎ 故答案为：a（a+b﹣1）．‎ ‎12．（4分）方程2x+10＝0的解是　x＝﹣5　．‎ ‎【解答】解：方程2x+10＝0，‎ 移项得：2x＝﹣10，‎ 解得：x＝﹣5．‎ 故答案为：x＝﹣5．‎ ‎13．（4分）已知点（2，﹣2）在反比例函数y‎=‎kx的图象上，则这个反比例函数的表达式是　y‎=-‎‎4‎x　．‎ ‎【解答】解：∵反比例函数y‎=‎kx（k≠0）的图象上一点的坐标为（2，﹣2），‎ ‎∴k＝﹣2×2＝﹣4，‎ ‎∴反比例函数解析式为y‎=-‎‎4‎x，‎ 故答案为：y‎=-‎‎4‎x．‎ ‎14．（4分）函数y‎=‎‎2x-4‎中，自变量x的取值范围是　x≥2　．‎ ‎【解答】解：2x﹣4≥0‎ 解得x≥2．‎ ‎15．（4分）从﹣2，﹣1，2三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第三象限的概率等于　‎1‎‎3‎　．‎ ‎【解答】解：画树状图如下 第21页（共21页）‎ 共有6种等可能情况，该点在第三象限的情况数有（﹣2，﹣1）和（﹣1，﹣2）这2种结果，‎ ‎∴该点在第三象限的概率等于‎2‎‎6‎‎=‎‎1‎‎3‎，‎ 故答案为：‎1‎‎3‎．‎ ‎16．（4分）设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，则AB与EF的距离等于　7或17　cm．‎ ‎【解答】解：分两种情况：‎ ‎①当EF在AB，CD之间时，如图：‎ ‎∵AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，‎ ‎∴EF与AB的距离为12﹣5＝7（cm）．‎ ‎②当EF在AB，CD同侧时，如图：‎ ‎∵AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，‎ ‎∴EF与AB的距离为12+5＝17（cm）．‎ 综上所述，EF与AB的距离为7cm或17cm．‎ 故答案为：7或17．‎ ‎17．（4分）系统找不到该试题 ‎18．（4分）观察下列等式：‎ ‎2+22＝23﹣2；‎ 第21页（共21页）‎ ‎2+22+23＝24﹣2；‎ ‎2+22+23+24＝25﹣2；‎ ‎2+22+23+24+25＝26﹣2；‎ ‎…‎ 已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220＝m，则220+221+222+223+224+…+238+239+240＝　m（2m﹣1）　（结果用含m的代数式表示）．‎ ‎【解答】解：∵220＝m，‎ ‎∴220+221+222+223+224+…+238+239+240‎ ‎＝220（1+2+22+…+219+220）‎ ‎＝220（1+221﹣2）‎ ‎＝m（2m﹣1）．‎ 故答案为：m（2m﹣1）．‎ 三、解答题：（本题共4个小题，第19题每小题10分，第20，21，22题每小题10分，共40分，要有解题的主要过程）‎ ‎19．（10分）（1）计算：2‎÷‎1‎‎2‎-‎（﹣1）2020‎-‎4‎-‎（‎5‎‎-‎‎3‎）0．‎ ‎（2）先化简，再求值：（a‎+‎‎3-‎a‎2‎a-3‎）÷（a‎2‎‎-1‎a-3‎），自选一个a值代入求值．‎ ‎【解答】解：（1）原式＝2×2﹣1﹣2﹣1‎ ‎＝4﹣1﹣2﹣1‎ ‎＝0；‎ ‎（2）原式‎=‎a(a-3)+3-‎a‎2‎a-3‎•‎a-3‎‎(a+1)(a-1)‎ ‎=‎‎-3(a-1)‎a-3‎‎•a-3‎‎(a+1)(a-1)‎ ‎ ‎=-‎‎3‎a+1‎‎，‎ 当a＝0时，原式＝﹣3．‎ ‎20．（10分）如图，∠B＝∠E，BF＝EC，AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF．‎ 第21页（共21页）‎ ‎【解答】证明：∵AC∥DF，‎ ‎∴∠ACB＝∠DFE，‎ ‎∵BF＝CE，‎ ‎∴BC＝EF，‎ 在△ABC和△DEF中，‎∠B=∠EBC=EF‎∠ACB=∠DFE，‎ ‎∴△ABC≌△DEF（ASA）．‎ ‎21．（10分）某校计划组织学生参加学校书法、摄影、篮球、乒乓球四个课外兴趣小组，要求每人必须参加并且只能选择其中的一个小组，为了了解学生对四个课外小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据给出的信息解答下列问题：‎ ‎（1）求该校参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）；‎ ‎（2）m＝　36　，n＝　16　；‎ ‎（3）若该校共有2000名学生，试估计该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有多少人？‎ ‎【解答】解：（1）该校参加这次问卷调查的学生有：20÷20%＝100（人），‎ 选择篮球的学生有：100×28%＝28（人），‎ 补全的条形统计图如右图所示；‎ ‎（2）m%‎=‎36‎‎100‎×‎100%＝36%，‎ 第21页（共21页）‎ n%‎=‎16‎‎100‎×‎100%＝16%，‎ 故答案为：36，16；‎ ‎（3）2000×16%＝320（人），‎ 答：该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有320人．‎ ‎22．（10分）如图，一艘船由西向东航行，在A处测得北偏东60°方向上有一座灯塔C，再向东继续航行60km到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的周围47km内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？‎ ‎【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D．如图所示：‎ 根据题意可知∠BAC＝90°﹣30°＝30°，∠DBC＝90°﹣30°＝60°，‎ ‎∵∠DBC＝∠ACB+∠BAC，‎ ‎∴∠BAC＝30°＝∠ACB，‎ ‎∴BC＝AB＝60km，‎ 在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，∠BDC＝60°，sin∠BCD‎=‎ADAC，‎ ‎∴sin60°‎=‎CD‎60‎，‎ ‎∴CD＝60×sin60°＝60‎×‎3‎‎2‎=‎30‎3‎（km）＞47km，‎ ‎∴这艘船继续向东航行安全．‎ 第21页（共21页）‎ 四、（本大题满分12分）‎ ‎23．（12分）某文体商店计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球，每一个排球的进价是每一个篮球的进价的90%，用3600元购买排球的个数要比用3600元购买篮球的个数多10个．‎ ‎（1）问每一个篮球、排球的进价各是多少元？‎ ‎（2）该文体商店计划购进篮球和排球共100个，且排球个数不低于篮球个数的3倍，篮球的售价定为每一个100元，排球的售价定为每一个90元．若该批篮球、排球都能卖完，问该文体商店应购进篮球、排球各多少个才能获得最大利润？最大利润是多少？‎ ‎【解答】解：（1）设每一个篮球的进价是x元，则每一个排球的进价是90%x元，依题意有 ‎3600‎x‎+‎‎10‎=‎‎3600‎‎90%x，‎ 解得x＝40，‎ 经检验，x＝40是原方程的解，‎ ‎90%x＝90%×40＝36．‎ 故每一个篮球的进价是40元，每一个排球的进价是36元；‎ ‎（2）设文体商店计划购进篮球m个，总利润y元，则 y＝（100﹣40）m+（90﹣36）（100﹣m）＝6m+5400，‎ 依题意有‎0＜m＜100‎‎100-m≥3m，‎ 解得0＜m≤25且m为整数，‎ ‎∵m为整数，‎ ‎∴y随m的增大而增大，‎ ‎∴m＝25时，y最大，这时y＝6×25+5400＝5550，‎ ‎100﹣25＝75（个）．‎ 故该文体商店应购进篮球25个、排球75个才能获得最大利润，最大利润是5550元．‎ 第21页（共21页）‎ 五、（本大题满分12分）‎ ‎24．（12分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．‎ ‎（1）求证：CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）若AD＝8，BECE‎=‎‎1‎‎2‎，求CD的长．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OC，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ACB＝90°，‎ ‎∵CE⊥AB，‎ ‎∴∠CEB＝90°，‎ ‎∴∠ECB+∠ABC＝∠ABC+∠CAB＝90°，‎ ‎∴∠A＝∠ECB，‎ ‎∵∠BCE＝∠BCD，‎ ‎∴∠A＝∠BCD，‎ ‎∵OC＝OA，‎ ‎∴∠A＝∠ACO，‎ ‎∴∠ACO＝∠BCD，‎ ‎∴∠ACO+∠BCO＝∠BCO+∠BCD＝90°，‎ ‎∴∠DCO＝90°，‎ ‎∴CD是⊙O的切线；‎ ‎（2）解：∵∠A＝∠BCE，‎ ‎∴tanA‎=BCAC=‎tan∠BCE‎=BECE=‎‎1‎‎2‎，‎ 设BC＝k，AC＝2k，‎ ‎∵∠D＝∠D，∠A＝∠BCD，‎ 第21页（共21页）‎ ‎∴△ACD∽△CBD，‎ ‎∴BCAC‎=CDAD=‎‎1‎‎2‎，‎ ‎∵AD＝8，‎ ‎∴CD＝4．‎ 六、（本大题满分14分）‎ ‎25．（14分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；‎ ‎（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+6，‎ 得：a-b+6=0‎‎9a+3b+6=0‎，解得：a=-2‎b=4‎，‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6．‎ ‎（2）过点P作PF∥y轴，交BC于点F，如图1所示．‎ 第21页（共21页）‎ 当x＝0时，y＝﹣2x2+4x+6＝6，‎ ‎∴点C的坐标为（0，6）．‎ 设直线BC的解析式为y＝kx+c，‎ 将B（3，0）、C（0，6）代入y＝kx+c，得：‎ ‎3k+c=0‎c=6‎‎，解得：k=-2‎c=6‎，‎ ‎∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+6．‎ 设点P的坐标为（m，﹣2m2+4m+6），则点F的坐标为（m，﹣2m+6），‎ ‎∴PF＝﹣2m2+4m+6﹣（﹣2m+6）＝﹣2m2+6m，‎ ‎∴S△PBC‎=‎‎1‎‎2‎PF•OB＝﹣3m2+9m＝﹣3（m‎-‎‎3‎‎2‎）2‎+‎‎27‎‎4‎，‎ ‎∴当m‎=‎‎3‎‎2‎时，△PBC面积取最大值，最大值为‎27‎‎4‎．‎ ‎∵点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，‎ ‎∴0＜m＜3．‎ ‎（3）存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似．‎ 如图2，∠CMN＝90°，当点M位于点C上方，过点M作MD⊥y轴于点D，‎ 第21页（共21页）‎ ‎∵∠CDM＝∠CMN＝90°，∠DCM＝∠NCM，‎ ‎∴△MCD∽△NCM，‎ 若△CMN与△OBC相似，则△MCD与△NCM相似，‎ 设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），‎ ‎∴DC＝﹣2a2+4a，DM＝a，‎ 当DMCD‎=OBOC=‎3‎‎6‎=‎‎1‎‎2‎时，△COB∽△CDM∽△CMN，‎ ‎∴a‎-2a‎2‎+4a‎=‎‎1‎‎2‎，‎ 解得，a＝1，‎ ‎∴M（1，8），‎ 此时ND‎=‎‎1‎‎2‎DM‎=‎‎1‎‎2‎，‎ ‎∴N（0，‎17‎‎2‎），‎ 当CDDM‎=OBOC=‎‎1‎‎2‎时，△COB∽△MDC∽△NMC，‎ ‎∴‎-2a‎2‎+4aa‎=‎‎1‎‎2‎，‎ 解得a‎=‎‎7‎‎4‎，‎ ‎∴M（‎7‎‎4‎，‎55‎‎8‎），‎ 此时N（0，‎83‎‎8‎）．‎ 如图3，当点M位于点C的下方，‎ 第21页（共21页）‎ 过点M作ME⊥y轴于点E，‎ 设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），‎ ‎∴EC＝2a2﹣4a，EM＝a，‎ 同理可得：‎2a‎2‎-4aa‎=‎‎1‎‎2‎或‎2a‎2‎-4aa‎=‎2，△CMN与△OBC相似，‎ 解得a‎=‎‎9‎‎4‎或a＝3，‎ ‎∴M（‎9‎‎4‎，‎39‎‎8‎）或M（3，0），‎ 此时N点坐标为（0，‎3‎‎8‎）或（0，‎-‎‎3‎‎2‎）．‎ 综合以上得，M（1，8），N（0，‎17‎‎2‎）或M（‎7‎‎4‎，‎55‎‎8‎），N（0，‎83‎‎8‎）或M（‎9‎‎4‎，‎39‎‎8‎），N（0，‎3‎‎8‎）或M（3，0），N（0，‎-‎‎3‎‎2‎），使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似．‎ 第21页（共21页）‎