陕西六年中考数学第25题解析 11页

‎25题解析 一、例题赏析 ‎（2013）25.（本题满分12分）‎ 问题探究 （1） 请在图①中作出两条直线，使它们将圆面四等分；‎ （2） 如图②，M是正方形ABCD内一定点，请在图②中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M），使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由.‎ 问题解决 ‎（3）如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB+CD=BC，点P是AD的中点.如果AB=，CD=，且＞，那么在边BC上是否存在一点Q，使PQ所在直线将四边形ABCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由.‎ ‎①‎ ‎③‎ ‎②‎ ‎25．（2012陕西省12分）如图，正三角形ABC的边长为．‎ ‎（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上．在正三角形ABC及其内部，以A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形，且使正方形的面积最大（不要求写作法）；‎ ‎（2）求（1）中作出的正方形的边长；‎ ‎（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由．‎ ‎【答案】解：（1）如图①，正方形即为所求。‎ ‎ （2）设正方形的边长为x．‎ ‎ ∵△ABC为正三角形，∴。‎ ‎ ∴。∴，即。‎ ‎ （3）如图②，连接NE，EP，PN，则。‎ ‎ 设正方形DEMN和正方形EFPH的边长分别为m、n（m≥n），‎ ‎ 它们的面积和为S，则，。‎ ‎ ∴.‎ ‎ ∴。‎ ‎ 延长PH交ND于点G，则PG⊥ND。‎ ‎ 在中，。‎ ‎ ∵，即.‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴①当时，即时，S最小。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ②当最大时，S最大，即当m最大且n最小时，S最大。‎ ‎ ∵，由（2）知，。‎ ‎ ∴。‎ ‎ ∴ 。‎ ‎【考点】位似变换，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质。‎ ‎【分析】（1）利用位似图形的性质，作出正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，如答图①所示。‎ ‎（2）根据正三角形、正方形、直角三角形相关线段之间的关系，利用等式E′F′+AE′+BF′=AB，列方程求得正方形E′F′P′N′的边长 ‎ ‎（3）设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n（m≥n），求得面积和的表达式为：，可见S的大小只与m、n的差有关：①当m=n时，S取得最小值；②当m最大而n最小时，S取得最大值．m最大n最小的情形见第（1）（2）问。‎ ‎25、（2011•陕西）如图①，在矩形ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于F，然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的三角形△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”‎ ‎（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕△BEF”是一个　等腰　三角形 ‎（2）如图②、在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，，当它的“折痕△BEF”的顶点E位于AD的中点时，画出这个“折痕△BEF”，并求出点F的坐标；‎ ‎（3）如图③，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，该矩形是否存在面积最大的“折痕△BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标？若不存在，为什么？‎ 考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理；矩形的性质；正方形的性质。‎ 专题：数形结合；分类讨论。‎ 分析：（1）由图形结合线段垂直平分线的性质即可解答；‎ ‎（2）由折叠性质可知，折痕垂直平分BE，求出AB、AE的长，判断出四边形ABFE为正方形，求得F点坐标；‎ ‎（3）矩形ABCD存在面积最大的折痕三角形BEF，其面积为4，‎ ‎①当F在边CD上时，S△BEF≤S矩形ABCD，即当F与C重合时，面积最大为4；‎ ‎②当F在边CD上时，过F作FH∥BC交AB于点H，交BE于K，再根据三角形的面积公式即可求解；再根据此两种情况利用勾股定理即可求出AE的长，进而求出E点坐标．‎ 解答：解：（1）等腰．‎ ‎（2）如图①，连接BE，画BE的中垂线交BC与点F，连接EF，△BEF是矩形ABCD的一个折痕三角形．‎ ‎∵折痕垂直平分BE，AB=AE=2，‎ ‎∴点A在BE的中垂线上，即折痕经过点A．‎ ‎∴四边形ABFE为正方形．‎ ‎∴BF=AB=2，‎ ‎∴F（2，0）．‎ ‎（3）矩形ABCD存在面积最大的折痕三角形BEF，其面积为4，‎ 理由如下：①当F在边BC上时，如图②所示．‎ S△BEF≤S矩形ABCD，即当F与C重合时，面积最大为4．‎ ‎②当F在边CD上时，如图③所示，‎ 过F作FH∥BC交AB于点H，交BE于K．‎ ‎∵S△EKF=KF•AH≤HF•AH=S矩形AHFD，‎ S△BKF=KF•BH≤HF•BH=S矩形BCFH，‎ ‎∴S△BEF≤S矩形ABCD=4．‎ 即当F为CD中点时，△BEF面积最大为4．‎ 下面求面积最大时，点E的坐标．‎ ‎①当F与点C重合时，如图④所示．‎ 由折叠可知CE=CB=4，‎ 在Rt△CDE中，ED===2．‎ ‎∴AE=4﹣2． ∴E（4﹣2，2）．‎ ‎②当F在边DC的中点时，点E与点A重合，如图⑤所示．‎ 此时E（0，2）．‎ 综上所述，折痕△BEF的最大面积为4时，点E的坐标为E（0，2）或E（4﹣2，2）．‎ 点评：本题考查的是图形的翻折变换，涉及到矩形及正方形的性质，难度较大，在解答此题时要利用数形结合的思想进行分类讨论．‎ ‎25．（12分）（2010•陕西）问题探究：‎ ‎（1）请你在图①中做一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；‎ ‎（2）如图②点M是矩形ABCD内一点，请你在图②中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分．‎ 问题解决：‎ ‎（3）如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DC∥OB，OB=6，CD=BC=4开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4，2）处．为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的两部分，你认为直线l是否存在？若存在，求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由．‎ 考点：‎ 直角梯形；待定系数法求一次函数解析式；矩形的性质．2867872‎ 专题：‎ 综合题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）矩形的对角线把矩形分成面积相等的两部分．‎ ‎（2）连接AC，BD中心点位P，过P点的直线分矩形为相等的两部分．‎ ‎（3）假如存在，过点D的直线只要作DA⊥OB与点A，求出P点的坐标，设直线PH的表达式为y=kx+b，解出点H的坐标，求出斜率k和b．若k和b存在，直线就存在．‎ 解答：‎ 解：‎ ‎（1）如图①．‎ ‎（2）如图②连接AC、BD交于P则P为矩形对称中心．作直线MP，直线MP即为所求．‎ ‎（3）如图③存在直线l，‎ 过点D的直线作DA⊥OB于点A，‎ 则点P（4，2）为矩形ABCD的对称中心，‎ ‎∴过点P的直线只要平分△DOA的面积即可，‎ 易知，在OD边上必存在点H使得PH将△DOA面积平分．‎ 从而，直线PH平分梯形OBCD的面积，‎ 即直线PH为所求直线l 设直线PH的表达式为y=kx+b且点P（4，2），‎ ‎∴2=4k+b即b=2﹣4k，‎ ‎∴y=kx+2﹣4k，‎ ‎∵直线OD的表达式为y=2x，‎ ‎∴，解之．‎ ‎∴点H的坐标为（x=，y=）‎ 把x=2代入直线PH的解析式y=kx+2﹣4k，得y=2﹣2k，‎ ‎∴PH与线段AD的交点F（2，2﹣2k），‎ ‎∴0＜2﹣2k＜4，‎ ‎∴﹣1＜k＜1．‎ ‎∴S△DHF=（4﹣2+2k）•（2﹣）=××2×4，‎ ‎∴解之，得k=．（k=舍去）‎ ‎∴b=8﹣2，‎ ‎∴直线l的表达式为y=．‎ 点评：‎ 本题主要考查矩形的性质，前两问还是比较容易，但是最后一问比较麻烦，容易出错，‎ 做的时候要认真．‎ ‎　‎ ‎25、（2009•陕西）问题探究 ‎（1）在图①的半径为R的半圆O内（含弧），画出一边落在直径MN上的面积最大的正三角形，并求出这个正三角形的面积？‎ ‎（2）在图②的半径为R的半圆O内（含弧），画出一边落在直径MN上的面积最大的正方形，并求出这个正方形的面积？‎ 问题解决 ‎（3）如图③，现有一块半径R=6的半圆形钢板，是否可以裁出一边落在MN上的面积最大的矩形？若存在，请说明理由，并求出这个矩形的面积；若不存在，说明理由？‎ 分析：（1）如图①，△ACB为满足条件的面积最大的正三角形．连接OC，则OC⊥AB，根据垂径定理得到AB=2OB，然后利用含30°的直角三角形三边的关系求出OB，再利用三角形的面积公式计算即可；‎ ‎（2）如图②，正方形ABCD为满足条件的面积最大的正方形．连接OA．令OB=a，则AB=2a，利用勾股定理求出边长，再利用正方形的面积公式计算即可；‎ ‎（3）如图③，先作一边落在直径MN上的矩形ABCD，使点A、D在弧MN上，再作半圆O及矩形ABCD关于直径MN所在直线的对称图形，A、D的对称点分别是A′、D′．‎ 连接A′D、OD，则A′D为⊙O的直径．在Rt△AA′D中，当OA⊥A′D时，S△AA′D的面积最大．‎ 解答：解：（1）如图①，△ACB为满足条件的面积最大的正三角形．‎ 连接OC，则OC⊥AB．‎ ‎∵AB=2OB•tan30°=R，‎ ‎∴S△ACB=．‎ ‎（2）如图②，正方形ABCD为满足条件的面积最大的正方形．‎ 连接OA．令OB=a，则AB=2a．‎ 在Rt△ABO中，a2+（2a）2=R2．‎ 即．‎ S正方形ABCD=（2a）2=．‎ ‎（3）存在．‎ 如图③，先作一边落在直径MN上的矩形ABCD，使点A、D在弧MN上，再作半圆O及矩形ABCD关于直径MN所在直线的对称图形，A、D的对称点分别是A′、D′．‎ 连接A′D、OD，则A′D为⊙O的直径．‎ ‎∴S正方形ABCD=AB•AD==S△AA′D．‎ ‎∵在Rt△AA′D中，当OA⊥A′D时，S△AA′D的面积最大．‎ ‎∴S矩形ABCD最大=．‎ 点评：本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了等边三角形和正方形的性质以及勾股定理．‎ ‎25、（2008本题满分12分）‎ 某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处。‎ 如图，甲、乙两村坐落在夹角为30°的两条公路的AB段和CD段（村子和公路的宽均不计），点M表示这所中学。点B在点M的北偏西30°的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60°的km处。‎ 为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：‎ 方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；‎ 方案二：供水站建在乙村（线段CD某处），甲村要求管道铺设到A处，请你在图①中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；‎ 方案三：供水站建在甲村（线段AB某处），请你在图②中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值。‎ 综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？‎ 北 东 D ‎30°‎ A B C M O E F 图①‎ 乙村 D ‎30°‎ A B C M O E F 图②‎ 乙村 解：方案一：由题意可得：MB⊥OB，‎ ‎ ∴点M到甲村的最短距离为MB。…………………（1分）‎ ‎∵点M到乙村的最短距离为MD，‎ ‎∴将供水站建在点M处时，管道沿MD、MB线路铺设的长度之和最小，‎ 即最小值为MB+MD=3+ （km）…………………（3分）‎ ‎ 方案二：如图①，作点M关于射线OE的对称点M′，则MM′＝2ME，‎ 连接AM′交OE于点P，PE∥AM，PE＝。‎ ‎∵AM＝2BM＝6，∴PE＝3 …………………（4分）‎ 在Rt△DME中，‎ ‎∵DE＝DM·sin60°＝×＝3，ME＝＝×，‎ ‎∴PE＝DE，∴ P点与E点重合，即AM′过D点。…………（6分）‎ 在线段CD上任取一点P′，连接P′A，P′M，P′M′，‎ 则P′M＝P′M′。‎ ‎∵A P′＋P′M′＞AM′，‎ ‎∴把供水站建在乙村的D点处，管道沿DA、DM线路铺设的长度之和最小，‎ N′‎ D ‎30°‎ A B C M O E F 图②‎ 乙村 M′‎ N H G G′‎ 北 东 D ‎30°‎ A B C M O E F 图①‎ P′‎ M′‎ P 即最小值为AD＋DM＝AM′＝…………（7分）‎ 方案三：作点M关于射线OF的对称点M′，作M′N⊥OE于N点，交OF于点G，‎ 交AM于点H，连接GM，则GM＝GM′‎ ‎∴M′N为点M′到OE的最短距离，即M′N＝GM＋GN 在Rt△M′HM中，∠MM′N＝30°，MM′＝6，‎ ‎∴MH＝3，∴NE＝MH＝3‎ ‎∵DE＝3，∴N、D两点重合，即M′N过D点。‎ 在Rt△M′DM中，DM＝，∴M′D＝…………（10分）‎ 在线段AB上任取一点G′，过G′作G′N′⊥OE于N′点，‎ 连接G′M′，G′M，‎ 显然G′M＋G′N′＝G′M′＋G′N′＞M′D ‎∴把供水站建在甲村的G处，管道沿GM、GD 线路铺设的长度之和最小，即最小值为 GM＋GD＝M′D＝。 …………（11分）‎ 综上，∵3＋＜，‎ ‎∴供水站建在M处，所需铺设的管道长度最短。 …………（12分）‎