中考精品数学压轴题汇编含解题过程共67页 67页

冲刺中考数学压轴题汇编(含解题过程)‎ ‎（2009年重庆市）26．已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．‎ ‎（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；‎ ‎（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G．如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；‎ ‎（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎26题图 y x D B C A E E O ‎26．解：（1）由已知，得，，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎． （1分）‎ 设过点的抛物线的解析式为．‎ 将点的坐标代入，得．‎ 将和点的坐标分别代入，得 ‎ （2分）‎ 解这个方程组，得 故抛物线的解析式为． （3分）‎ ‎（2）成立． （4分）‎ 点在该抛物线上，且它的横坐标为，‎ y x D B C A E E O Ｍ F K G G 点的纵坐标为． （5分）‎ 设的解析式为，‎ 将点的坐标分别代入，得 ‎ 解得 的解析式为． （6分）‎ ‎，． （7分）‎ 过点作于点，‎ 则．‎ ‎，‎ ‎．‎ 又，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎． （8分）‎ ‎．‎ ‎（3）点在上，，，则设．‎ ‎，，．‎ ‎①若，则，‎ 解得．，此时点与点重合．‎ ‎． （9分）‎ ‎②若，则，‎ 解得 ，，此时轴．‎ 与该抛物线在第一象限内的交点的横坐标为1，‎ 点的纵坐标为．‎ ‎． （10分）‎ ‎③若，则，‎ 解得，，此时，是等腰直角三角形．‎ y x D B C A E E O Q P H G G ‎(P)‎ ‎(Q)‎ Q ‎(P)‎ 过点作轴于点，‎ 则，设，‎ ‎．‎ ‎．‎ 解得（舍去）．‎ ‎． （12分）‎ 综上所述，存在三个满足条件的点，‎ 即或或．‎ ‎（2009年重庆綦江县）26．（11分）如图，已知抛物线经过点，抛物线的顶点为，过作射线．过顶点平行于轴的直线交射线于点，在轴正半轴上，连结．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式；‎ ‎（2）若动点从点出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线运动，设点运动的时间为．问当为何值时，四边形分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？‎ x y M C D P Q O A B ‎（3）若，动点和动点分别从点和点同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿和运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为，连接，当为何值时，四边形的面积最小？并求出最小值及此时的长．‎ ‎*26．解：（1）抛物线经过点，‎ ‎ 1分 二次函数的解析式为： 3分 ‎（2）为抛物线的顶点过作于，则，‎ ‎ 4分 x y M C D P Q O A B N E H 当时，四边形是平行四边形 ‎ 5分 当时，四边形是直角梯形 过作于，则 ‎（如果没求出可由求）‎ ‎ 6分 当时，四边形是等腰梯形 综上所述：当、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形． 7分 ‎（3）由（2）及已知，是等边三角形 则 过作于，则 8分 ‎= 9分 当时，的面积最小值为 10分 此时 ‎ 11分 ‎（2009年河北省）26．（本小题满分12分）‎ A C B P Q E D 图16‎ 如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．‎ ‎（1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是 ；‎ ‎（2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S与 t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）‎ ‎（3）在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成 为直角梯形？若能，求t的值．若不能，请说明理由；‎ ‎（4）当DE经过点C 时，请直接写出t的值． ‎ A C ‎)‎ B P Q D 图3‎ E ‎)‎ F ‎26．解：（1）1，； ‎ ‎（2）作QF⊥AC于点F，如图3， AQ = CP= t，∴．‎ 由△AQF∽△ABC，， ‎ 得．∴． ‎ A C B P Q E D 图5‎ A C(E)‎ ‎)‎ B P Q D 图6‎ G A C(E)‎ ‎)‎ B P Q D 图7‎ G A C B P Q E D 图4‎ ‎∴，‎ 即．‎ ‎（3）能．‎ ‎ ①当DE∥QB时，如图4．‎ ‎ ∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．‎ ‎ 此时∠AQP=90°．‎ 由△APQ ∽△ABC，得，‎ 即． 解得． ‎ ‎②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．‎ 此时∠APQ =90°．‎ 由△AQP ∽△ABC，得 ，‎ 即． 解得． ‎ ‎（4）或．‎ ‎【注：①点P由C向A运动，DE经过点C．‎ 方法一、连接QC，作QG⊥BC于点G，如图6．‎ ‎，．‎ 由，得，解得．‎ 方法二、由，得，进而可得 ‎，得，∴．∴． ‎ ‎②点P由A向C运动，DE经过点C，如图7．‎ ‎，】‎ ‎（2009年河南省）23.（11分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. ‎ ‎(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；‎ ‎ (2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD 向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E ‎ ①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?‎ ‎②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?‎ 请直接写出相应的t值.‎ ‎ ‎ 解.(1)点A的坐标为（4，8） …………………1分 将A (4,8)、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx ‎ 8=‎16a+4b ‎ 得 ‎ ‎ 0=‎64a+8b ‎ 解 得a=-,b=4‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=-x2+4x …………………3分 ‎（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE==,即=‎ ‎∴PE=AP=t．PB=8-t．‎ ‎∴点Ｅ的坐标为（4+t，8-t）.‎ ‎∴点G的纵坐标为：-（4+t）2+4(4+t）=-t2+8. …………………5分 ‎∴EG=-t2+8-(8-t)‎ ‎ =-t2+t.‎ ‎∵-＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2. …………………7分 ‎②共有三个时刻. …………………8分 t1=， t2=，t3= ． …………………11分 ‎(2009年山西省)26．（本题14分）如图，已知直线与直线相交于点分别交轴于两点．矩形的顶点分别在直线上，顶点都在轴上，且点与点重合．‎ ‎ （1）求的面积；‎ ‎（2）求矩形的边与的长；‎ ‎（3）若矩形从原点出发，沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设 移动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求关 A D B E O C F x y y ‎（G）‎ ‎（第26题）‎ 的函数关系式，并写出相应的的取值范围．‎ ‎26．（1）解：由得点坐标为 由得点坐标为 ‎∴ （2分）‎ 由解得∴点的坐标为 （3分）‎ ‎∴ （4分）‎ ‎ （2）解：∵点在上且 ‎ ∴点坐标为 （5分）‎ 又∵点在上且 ‎∴点坐标为 （6分）‎ ‎∴ （7分）‎ ‎ （3）解法一：当时，如图1，矩形与重叠部分为五边形（时，为四边形）．过作于，则 A D B E O R F x y y M ‎（图3）‎ G C A D B E O C F x y y G ‎（图1）‎ R M A D B E O C F x y y G ‎（图2）‎ R M ‎∴即∴‎ ‎∴‎ 即 （10分）‎ ‎（2009年山西省太原市）29．（本小题满分12分）‎ 图（1）‎ A B C D E F M N 问题解决 如图（1），将正方形纸片折叠，使点落在边上一点 ‎（不与点，重合），压平后得到折痕．当时，求的值．‎ 方法指导：‎ 为了求得的值，可先求、的长，不妨设：=2‎ 类比归纳 在图（1）中，若则的值等于 ；若则的值等于 ；若（为整数），则的值等于 ．（用含的式子表示）‎ 联系拓广 ‎ 如图（2），将矩形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点重合），压平后得到折痕设则的值等于 ．（用含的式子表示）‎ 图（2）‎ N A B C D E F M ‎29．问题解决 解：方法一：如图（1-1），连接．‎ N 图（1-1）‎ A B C D E F M ‎ 由题设，得四边形和四边形关于直线对称．‎ ‎ ∴垂直平分．∴ 1分 ‎ ∵四边形是正方形，∴‎ ‎ ∵设则 ‎ 在中，．‎ ‎ ∴解得，即 3分 ‎ 在和在中，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎ 5分 ‎ 设则∴‎ ‎ 解得即 6分 ‎ ∴ 7分 ‎ 方法二：同方法一， 3分 ‎ 如图（1－2），过点做交于点，连接 ‎　　　‎ N 图（1-2）‎ A B C D E F M G ‎∵∴四边形是平行四边形．‎ ‎ ∴‎ ‎ 同理，四边形也是平行四边形．∴‎ ‎　　　∵‎ ‎　　　‎ ‎　　　在与中 ‎　　　∴ ５分 ‎∵ 6分 ‎∴ 7分 类比归纳 ‎（或）；； 10分 联系拓广 ‎ 12分 评分说明：1．如你的正确解法与上述提供的参考答案不同时，可参照评分说明进行估分．‎ ‎ 2．如解答题由多个问题组成，前一问题解答有误或未答，对后面问题的解答没有影响，可依据参考答案及评分说明进行估分．‎ ‎（2009年安徽省）23．已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示．‎ 金额w（元）‎ O 批发量m（kg）‎ ‎300‎ ‎200‎ ‎100‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．‎ ‎【解】‎ O ‎60‎ ‎20‎ ‎4‎ 批发单价（元）‎ ‎5‎ 批发量（kg）‎ ‎①‎ ‎②‎ 第23题图（1）‎ ‎（2）写出批发该种水果的资金金额w（元）与批发量m（kg）之间的 函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什 么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．‎ ‎【解】‎ ‎（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函 数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg以上该种水果，‎ 且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，‎ 使得当日获得的利润最大．‎ ‎【解】‎ O ‎6‎ ‎2‎ ‎40‎ 日 最高销量（kg）‎ ‎80‎ 零售价（元）‎ 第23题图（2）‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎（6，80）‎ ‎（7，40）‎ 金额w（元）‎ O 批发量m（kg）‎ ‎300‎ ‎200‎ ‎100‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎240‎ ‎23．（1）解：图①表示批发量不少于‎20kg且不多于‎60kg的该种水果，‎ 可按5元/kg批发；……3分 图②表示批发量高于60kg的该种水果，可按4元/kg批发．‎ ‎………………………………………………………………3分 ‎（2）解：由题意得：，函数图象如图所示．‎ ‎………………………………………………………………7分 由图可知资金金额满足240＜w≤300时，以同样的资金可 批发到较多数量的该种水果．……………………………8分 ‎（3）解法一：‎ 设当日零售价为x元，由图可得日最高销量 当m＞60时，x＜6.5‎ 由题意，销售利润为 ‎………………………………12分 当x＝6时，，此时m＝80‎ 即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg，‎ 当日可获得最大利润160元．……………………………………………14分 解法二：‎ 设日最高销售量为xkg（x＞60）‎ 则由图②日零售价p满足：，于是 销售利润………………………12分 当x＝80时，，此时p＝6‎ 即经销商应批发80kg该种水果，日零售价定为6元/kg，‎ 当日可获得最大利润160元．……………………………………………14分 ‎（2009年江西省）25．如图1，在等腰梯形中，，是的中点，过点作交于点．，.‎ ‎（1）求点到的距离；‎ ‎（2）点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折线于点，连结，设.‎ ‎①当点在线段上时（如图2），的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由；‎ ‎②当点在线段上时（如图3），是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.‎ A D E B F C 图4（备用）‎ A D E B F C 图5（备用）‎ A D E B F C 图1‎ 图2‎ A D E B F C P N M 图3‎ A D E B F C P N M ‎（第25题）‎ ‎25．（1）如图1，过点作于点 1分 图1‎ A D E B F C G ‎∵为的中点，‎ ‎∴‎ 在中，∴ 2分 ‎∴‎ 即点到的距离为 3分 ‎（2）①当点在线段上运动时，的形状不发生改变．‎ ‎∵∴‎ ‎∵∴，‎ 同理 4分 如图2，过点作于，∵‎ 图2‎ A D E B F C P N M G H ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 则 在中，‎ ‎∴的周长= 6分 ‎②当点在线段上运动时，的形状发生改变，但恒为等边三角形．‎ 当时，如图3，作于，则 类似①，‎ ‎∴ 7分 ‎∵是等边三角形，∴‎ 此时， 8分 图3‎ A D E B F C P N M 图4‎ A D E B F C P M N 图5‎ A D E B F（P）‎ C M N G G R G ‎ 当时，如图4，这时 此时，‎ 当时，如图5，‎ 则又 ‎∴‎ 因此点与重合，为直角三角形．‎ ‎∴‎ 此时，‎ 综上所述，当或4或时，为等腰三角形． 10分 ‎（2009年广东广州）25.（本小题满分14分）‎ 如图13，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），ΔABC的面积为。‎ ‎（1）求该二次函数的关系式；‎ ‎（2）过y轴上的一点M（0，m）作y轴的垂线，若该垂线与ΔABC的外接圆有公共点，求m的取值范围；‎ ‎（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使四边形ABCD为直角梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由。‎ ‎25.（本小题满分14分）‎ ‎ 解：（1）OC=1,所以,q=-1,又由面积知0.5OC×AB=,得AB=，‎ ‎ 设A（a,0）,B(b,0)AB=b-a==，解得p=,但p<0,所以p=。‎ ‎ 所以解析式为：‎ ‎ （2）令y=0，解方程得，得,所以A(,0),B(2,0),在直角三角形AOC ‎ 中可求得AC=,同样可求得BC=,，显然AC2+BC2=AB2,得三角形ABC是直角三角形。AB ‎ 为斜边，所以外接圆的直径为AB=,所以.‎ ‎ （3）存在，AC⊥BC,①若以AC为底边，则BD//AC,易求AC的解析式为y=-2x-1,可设BD的解析式 ‎ 为y=-2x+b，把B(2,0)代入得BD解析式为y=-2x+4，解方程组得D（,9）‎ ‎ ②若以BC为底边，则BC//AD,易求BC的解析式为y=0.5x-1,可设AD的解析式为y=0.5x+b，把 ‎ ‎ A(,0)代入得AD解析式为y=0.5x+0.25，解方程组 得D()‎ ‎ 综上，所以存在两点：（,9）或()。‎ ‎（2009年广东省中山市）22. （本题满分9分）正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直.‎ ‎（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；‎ ‎（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；‎ D B A M C N ‎（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x的值.‎ ‎（2009 年哈尔滨市）28．(本题10分）‎ ‎ 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），‎ 点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．‎ ‎ （1）求直线AC的解析式；‎ ‎ （2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；‎ ‎ （3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．‎ ‎ ‎ ‎(2009山东省泰安市)26（本小题满分10分）‎ 如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD。‎ （1） 求证：BE=AD；‎ （2） 求证：AC是线段ED的垂直平分线；‎ （3） ‎△DBC是等腰三角形吗？并说明理由。‎ ‎26、（本小题满分10分）‎ 证明：（1）∵∠ABC=90°，BD⊥EC，‎ ‎∴∠1与∠3互余，∠2与∠3互余，‎ ‎∴∠1=∠2…………………………………………………1分 ‎∵∠ABC=∠DAB=90°，AB=AC ‎∴△BAD≌△CBE…………………………………………2分 ‎∴AD=BE……………………………………………………3分 ‎（2）∵E是AB中点，‎ ‎∴EB=EA 由（1）AD=BE得：AE=AD……………………………5分 ‎∵AD∥BC ‎∴∠7=∠ACB=45°‎ ‎∵∠6=45°‎ ‎∴∠6=∠7‎ 由等腰三角形的性质，得：EM=MD，AM⊥DE。‎ 即，AC是线段ED的垂直平分线。……………………7分 ‎（3）△DBC是等腰三角（CD=BD）……………………8分 理由如下：‎ 由（2）得：CD=CE 由（1）得：CE=BD ‎∴CD=BD ‎∴△DBC是等腰三角形。……………………………10分 ‎（2009年威海市）25．（12分）‎ 一次函数的图象分别与轴、轴交于点，与反比例函数的图象相交于点．过点分别作轴，轴，垂足分别为；过点分别作轴，轴，垂足分别为与交于点，连接．‎ ‎（1）若点在反比例函数的图象的同一分支上，如图1，试证明：‎ ‎①；‎ ‎②．‎ ‎（2）若点分别在反比例函数的图象的不同分支上，如图2，则与还相等吗？试证明你的结论．‎ O C F M D E N K y x ‎（第25题图1）‎ O C D K F E N y x M ‎（第25题图2）‎ O C F M D E N K y x 图1‎ ‎25．（本小题满分12分）‎ 解：（1）①轴，轴，‎ 四边形为矩形．‎ 轴，轴，‎ 四边形为矩形．‎ 轴，轴，‎ 四边形均为矩形． 1分 ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎ ，‎ ‎． 2分 ‎②由（1）知．‎ ‎．‎ ‎． 4分 ‎，‎ ‎． 5分 ‎．‎ ‎． 6分 轴，‎ 四边形是平行四边形．‎ ‎． 7分 同理．‎ ‎． 8分 ‎（2）与仍然相等． 9分 ‎，‎ O C D K F E N y x M 图2‎ ‎，‎ 又，‎ ‎． 10分 ‎．‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎． 11分 轴，‎ 四边形是平行四边形．‎ ‎．‎ 同理．‎ ‎． 12分 ‎（2009年烟台市）26．(本题满分14分)‎ ‎ 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于C点，且经过点，对称轴是直线，顶点是．‎ （1） 求抛物线对应的函数表达式；‎ （2） 经过两点作直线与轴交于点，在抛物线上是否存在这样的点，使以点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由；‎ （3） 设直线与y轴的交点是，在线段上任取一点（不与重合），经过三点的圆交直线于点，试判断的形状，并说明理由；‎ O B x y A M C ‎1‎ ‎（第26题图）‎ （4） 当是直线上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）．‎ ‎26．（本题满分14分）‎ y x E D N O A C M P N ‎1‎ F ‎（第26题图）‎ 解：（1）根据题意，得 2分 解得 抛物线对应的函数表达式为． 3分 ‎（2）存在．‎ 在中，令，得．‎ 令，得，．‎ ‎，，．‎ 又，顶点． 5分 容易求得直线的表达式是．‎ 在中，令，得．‎ ‎，． 6分 在中，令，得．‎ ‎．‎ ‎，四边形为平行四边形，此时． 8分 ‎（3）是等腰直角三角形．‎ 理由：在中，令，得，令，得．‎ 直线与坐标轴的交点是，．‎ ‎，． 9分 又点，．． 10分 由图知，． 11分 ‎，且．是等腰直角三角形． 12分 ‎（4）当点是直线上任意一点时，（3）中的结论成立． 14分 ‎（2009年山东省日照）24． (本题满分10分) ‎ 已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．‎ ‎（1）求证：EG=CG；‎ ‎（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． ‎ ‎（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）‎ D F B A C E 第24题图③‎ F B A D C E G 第24题图②‎ F B A D C E G 第24题图①‎ ‎ ‎ ‎24．（本题满分10分）‎ 解：（1）证明：在Rt△FCD中， ‎ ‎∵G为DF的中点，‎ ‎∴ CG= FD．………………1分 同理，在Rt△DEF中， ‎ EG= FD． ………………2分 ‎∴ CG=EG．…………………3分 ‎（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．…………………………4分 证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．‎ 在△DAG与△DCG中，‎ ‎∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，‎ ‎∴ △DAG≌△DCG．‎ ‎∴ AG=CG．………………………5分 在△DMG与△FNG中，‎ ‎∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，‎ ‎∴ △DMG≌△FNG．‎ ‎∴ MG=NG ‎ 在矩形AENM中，AM=EN． ……………6分 在Rt△AMG 与Rt△ENG中，‎ ‎∵ AM=EN， MG=NG，‎ ‎∴ △AMG≌△ENG．‎ ‎∴ AG=EG．‎ ‎∴ EG=CG． ……………………………8分 证法二：延长CG至M,使MG=CG，‎ 连接MF，ME，EC， ……………………4分 在△DCG 与△FMG中，‎ ‎∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，‎ ‎∴△DCG ≌△FMG．‎ ‎∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG． ‎ ‎∴MF∥CD∥AB．………………………5分 ‎∴ ．‎ 在Rt△MFE 与Rt△CBE中，‎ ‎∵ MF=CB，EF=BE，‎ ‎∴△MFE ≌△CBE．‎ ‎∴ ．…………………………………………………6分 ‎∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°． …………7分 ‎∴ △MEC为直角三角形．‎ ‎∵ MG = CG，‎ ‎∴ EG= MC．‎ ‎∴ ．………………………………8分 ‎（3）（1）中的结论仍然成立，‎ 即EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG．……10分 ‎（2009年潍坊市）24．（本小题满分12分）‎ 如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆的圆心在坐标原点，且与两坐标轴分别交于四点．抛物线与轴交于点，与直线交于点，且分别与圆相切于点和点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）抛物线的对称轴交轴于点，连结，并延长交圆于，求的长．‎ ‎（3）过点作圆的切线交的延长线于点，判断点是否在抛物线上，说明理由．‎ O x y N C D E F B M A ‎24．（本小题满分12分）‎ 解：（1）圆心在坐标原点，圆的半径为1，‎ 点的坐标分别为 抛物线与直线交于点，且分别与圆相切于点和点，‎ ‎． 2分 点在抛物线上，将的坐标代入 ‎，得： 解之，得：‎ 抛物线的解析式为：． 4分 ‎（2）‎ 抛物线的对称轴为，‎ O x y N C D E F B M A P ‎． 6分 连结，‎ ‎，，‎ 又，‎ ‎，‎ ‎． 8分 ‎（3）点在抛物线上． 9分 设过点的直线为：，‎ 将点的坐标代入，得：，‎ 直线为：． 10分 过点作圆的切线与轴平行，点的纵坐标为，‎ 将代入，得：．‎ 点的坐标为， 11分 当时，，‎ 所以，点在抛物线上． 12分 说明：解答题各小题中只给出了1种解法，其它解法只要步骤合理、解答正确均应得到相应的分数．‎ ‎（2009年山东临沂市）26．（本小题满分13分）‎ 如图，抛物线经过三点．‎ ‎（1）求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）P是抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求出点D的坐标．‎ O x y A B C ‎4‎ ‎1‎ ‎（第26题图）‎ ‎26．解：（1）该抛物线过点，可设该抛物线的解析式为．‎ 将，代入，‎ 得解得 此抛物线的解析式为． （3分）‎ ‎（2）存在． （4分）‎ 如图，设点的横坐标为，‎ O x y A B C ‎4‎ ‎1‎ ‎（第26题图）‎ D P M E 则点的纵坐标为，‎ 当时，‎ ‎，．‎ 又，‎ ‎①当时，‎ ‎，‎ 即．‎ 解得（舍去），． （6分）‎ ‎②当时，，即．‎ 解得，（均不合题意，舍去）‎ 当时，． （7分）‎ 类似地可求出当时，． （8分）‎ 当时，．‎ 综上所述，符合条件的点为或或． （9分）‎ ‎（3）如图，设点的横坐标为，则点的纵坐标为．‎ 过作轴的平行线交于．‎ 由题意可求得直线的解析式为． （10分）‎ 点的坐标为．‎ ‎． （11分）‎ ‎．‎ 当时，面积最大．‎ ‎． （13分）‎ ‎(2009年山东省济宁市)26. （12分）‎ 在平面直角坐标中，边长为2的正方形的两顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点在原点.现将正方形绕点顺时针旋转，当点第一次落在直线上时停止旋转，旋转过程中，边交直线于点，边交轴于点（如图）.‎ ‎（1）求边在旋转过程中所扫过的面积；‎ ‎(第26题)‎ O A B C M N ‎（2）旋转过程中，当和平行时，求正方形 ‎ 旋转的度数；‎ ‎（3）设的周长为，在旋转正方形 的过程中，值是否有变化？请证明你的结论.‎ ‎26.（1）解：∵点第一次落在直线上时停止旋转，‎ ‎∴旋转了.‎ ‎∴在旋转过程中所扫过的面积为.……………4分 ‎（2）解：∵∥，‎ ‎∴,.‎ ‎∴.∴.‎ 又∵，∴.‎ 又∵,,∴.‎ ‎∴.∴.‎ ‎∴旋转过程中，当和平行时，正方形旋转的度数为 ‎.……………………………………………8分 ‎（3）答：值无变化.‎ ‎ 证明：延长交轴于点，则，‎ ‎，‎ ‎∴.‎ 又∵，.‎ ‎∴.‎ ‎∴. ‎ 又∵,,‎ ‎ ∴.∴.‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎（第26题）‎ O A B C M N ‎∴在旋转正方形的过程中，值无变化. ……………12分 ‎（2009年四川遂宁市）25.如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.‎ ‎⑴求二次函数的解析式；‎ ‎⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；‎ ‎⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎25.⑴设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2+k ‎∵顶点C的横坐标为4，且过点(0，)‎ ‎∴y=a(x-4)2+k ………………①‎ 又∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6‎ ‎∴A(1，0)，B(7，0)‎ ‎∴0=‎9a+k ………………②‎ 由①②解得a=，k=‎ ‎∴二次函数的解析式为：y=(x-4)2－‎ ‎⑵∵点A、B关于直线x=4对称 ‎∴PA=PB ‎∴PA+PD=PB+PD≥DB ‎∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值 ‎∴DB与对称轴的交点即为所求点P 设直线x=4与x轴交于点M ‎∵PM∥OD，∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=∠DBO ‎∴△BPM∽△BDO ‎∴ ∴‎ ‎∴点P的坐标为(4，)‎ ‎⑶由⑴知点C(4，)，‎ 又∵AM=3，∴在Rt△AMC中，cot∠ACM=，‎ ‎∴∠ACM=60o，∵AC=BC，∴∠ACB=120o ‎①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N 如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有 BQ=6，∠ABQ=120o，则∠QBN=60o ‎∴QN=3，BN=3，ON=10，‎ 此时点Q(10，)，‎ 如果AB=AQ，由对称性知Q(-2，)‎ ‎②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，‎ 此时点Q的坐标是(4，)，‎ 经检验，点(10，)与(-2，)都在抛物线上 综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC 点Q的坐标为(10，)或(-2，)或(4，)．‎ ‎（2009年四川南充市）21．如图9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点．‎ ‎（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；‎ ‎（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点，求的值和这个一次函数的解析式；‎ ‎（3）第（2）问中的一次函数的图象与轴、轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；‎ ‎（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积与四边形OABD的面积S满足：？若存在，求点E的坐标；‎ 若不存在，请说明理由．‎ y x O C D B A ‎3‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎21．解：（1）设正比例函数的解析式为，‎ 因为的图象过点，所以 ‎，解得．‎ 这个正比例函数的解析式为． （1分）‎ 设反比例函数的解析式为．‎ 因为的图象过点，所以 ‎，解得．‎ 这个反比例函数的解析式为． （2分）‎ ‎（2）因为点在的图象上，所以 ‎，则点． （3分）‎ 设一次函数解析式为．‎ 因为的图象是由平移得到的，‎ 所以，即．‎ 又因为的图象过点，所以 ‎，解得，‎ 一次函数的解析式为． （4分）‎ ‎（3）因为的图象交轴于点，所以的坐标为．‎ 设二次函数的解析式为．‎ 因为的图象过点、、和，‎ 所以 （5分） 解得 y x O C D B A ‎3‎ ‎3‎ ‎6‎ E 这个二次函数的解析式为． （6分）‎ ‎（4）交轴于点，点的坐标是，‎ 如图所示，‎ ‎．‎ 假设存在点，使．‎ 四边形的顶点只能在轴上方，，‎ ‎ ‎ ‎．‎ ‎，． （7分）‎ 在二次函数的图象上，‎ ‎．‎ 解得或．‎ 当时，点与点重合，这时不是四边形，故舍去，‎ 点的坐标为． （8分）‎ ‎（2009年四川凉山州）26．如图，已知抛物线经过，两点，顶点为．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）将绕点顺时针旋转90°后，点落到点的位置，将抛物线沿轴平移后经过点，求平移后所得图象的函数关系式；‎ y x B A O D ‎（第26题）‎ ‎（3）设（2）中平移后，所得抛物线与轴的交点为，顶点为，若点在平移后的抛物线上，且满足的面积是面积的2倍，求点的坐标．‎ ‎26．解：（1）已知抛物线经过，‎ ‎ 解得 所求抛物线的解析式为． 2分 ‎（2），，‎ 可得旋转后点的坐标为 3分 当时，由得，‎ 可知抛物线过点 将原抛物线沿轴向下平移1个单位后过点．‎ 平移后的抛物线解析式为：． 5分 ‎（3）点在上，可设点坐标为 y x C B A O N D B1‎ D1‎ 图①‎ 将配方得，其对称轴为． 6分 ‎①当时，如图①，‎ 此时 y x C B A O D B1‎ D1‎ 图②‎ N 点的坐标为． 8分 ‎②当时，如图②‎ 同理可得 此时 点的坐标为．‎ 综上，点的坐标为或． 10分 ‎（2009年武汉市）25．（本题满分12分）‎ 如图，抛物线经过、两点，与轴交于另一点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）已知点在第一象限的抛物线上，求点关于直线对称的点的坐标；‎ y x O A B C ‎（3）在（2）的条件下，连接，点为抛物线上一点，且，求点的坐标．‎ ‎25．解：（1）抛物线经过，两点，‎ 解得 抛物线的解析式为．‎ y x O A B C D E ‎（2）点在抛物线上，，‎ 即，或．‎ 点在第一象限，点的坐标为．‎ 由（1）知．‎ 设点关于直线的对称点为点．‎ ‎，，且，‎ ‎，‎ 点在轴上，且．‎ ‎，．‎ 即点关于直线对称的点的坐标为（0，1）．‎ ‎（3）方法一：作于，于．‎ y x O A B C D E P F 由（1）有：，‎ ‎．‎ ‎，且．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎，，，‎ ‎．‎ 设，则，，‎ ‎．‎ 点在抛物线上，‎ ‎，‎ ‎（舍去）或，．‎ y x O A B C D P Q G H 方法二：过点作的垂线交直线于点，过点作轴于．过点作于．‎ ‎．‎ ‎，‎ 又，．‎ ‎，，．‎ 由（2）知，．‎ ‎，直线的解析式为．‎ 解方程组得 点的坐标为．‎ ‎（2009年鄂州市）27．如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM＝｜CF—EO｜，再以CM、CO为边作矩形CMNO ‎(1)试比较EO、EC的大小，并说明理由 ‎(2)令，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由 ‎(3)在(2)的条件下，若CO＝1，CE＝，Q为AE上一点且QF＝，抛物线y＝mx2+bx+c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式.‎ ‎ (4)在(3)的条件下，若抛物线y＝mx2+bx+c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似?若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标?若不存在，请说明理由。‎ ‎27、（1）EO＞EC，理由如下：‎ 由折叠知，EO=EF，在Rt△EFC中，EF为斜边，∴EF＞EC， 故EO＞EC …2分 ‎（2）m为定值 ‎∵S四边形CFGH=CF2=EF2－EC2=EO2－EC2=(EO+EC)(EO―EC)=CO·(EO―EC)‎ S四边形CMNO=CM·CO=|CE―EO|·CO=(EO―EC) ·CO ‎∴ ……………………………………………………4分 ‎（3）∵CO=1， ∴EF=EO=‎ ‎∴cos∠FEC= ∴∠FEC=60°，‎ ‎∴‎ ‎∴△EFQ为等边三角形， …………………………………………5分 作QI⊥EO于I，EI=，IQ=‎ ‎∴IO= ∴Q点坐标为 ……………………………………6分 ‎∵抛物线y=mx2+bx+c过点C(0，1)， Q ，m=1‎ ‎∴可求得，c=1‎ ‎∴抛物线解析式为 ……………………………………7分 ‎（4）由（3），‎ 当时，＜AB ‎∴P点坐标为 …………………8分 ‎∴BP=AO 方法1：若△PBK与△AEF相似，而△AEF≌△AEO，则分情况如下：‎ ‎①时，∴K点坐标为或 ‎②时， ∴K点坐标为或…………10分 故直线KP与y轴交点T的坐标为 ‎ …………………………………………12分 方法2：若△BPK与△AEF相似，由（3）得：∠BPK=30°或60°，过P作PR⊥‎ y轴于R，则∠RTP=60°或30°‎ ‎①当∠RTP=30°时，‎ ‎②当∠RTP=60°时，‎ ‎∴ ……………………………12分 ‎（2009年湖北省黄石市）24、（本题满分9分）‎ 如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。‎ 解答下列问题：‎ ‎（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 。‎ ‎②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？‎ ‎（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动。‎ 试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由。（画图不写作法）‎ ‎（3）若AC=4，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值。‎ ‎24、解：（1）①CF⊥BD，CF=BD ‎ ‎②成立，理由如下：‎ ‎∵∠FAD=∠BAC=90° ∴∠BAD=∠CAF 又 BA=CA AD=AF ‎∴△BAD≌△CAF ‎∴CF=BD ∠ACF=∠ACB=45°‎ ‎∴∠BCF=90° ∴CF⊥BD ……（1分）‎ ‎（2）当∠ACB=45°时可得CF⊥BC，理由如下：‎ 如图：过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G 则∵∠ACB=45° ∴AG=AC ∠AGC=∠ACG=45°‎ ‎∵AG=AC AD=AF ………（1分）‎ ‎∴△GAD≌△CAF（SAS） ∴∠ACF=∠AGD=45°‎ ‎∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90° ∴CF⊥BC …………（2分）‎ ‎（3）如图：作AQBC于Q ‎∵∠ACB=45° AC=4 ∴CQ=AQ=4‎ ‎∵∠PCD=∠ADP=90°‎ ‎∴∠ADQ+∠CDP=∠CDP+∠CPD=90°‎ ‎∴△ADQ∽△DPC …（1分）‎ ‎∴=‎ 设CD为x（0＜x＜3）则DQ=CQ－CD=4－x 则= …………（1分）‎ ‎∴PC=(－x2+4x)=－(x－2)2+1≥1‎ 当x=2时，PC最长，此时PC=1 ………（1分）‎ ‎（2009年湖北省孝感市）25．（本题满分12分）‎ 如图，点P是双曲线上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线y= （0＜k2＜|k1|）于E、F两点．‎ ‎（1）图1中，四边形PEOF的面积S1= ▲ (用含k1、k2的式子表示)；（3分）‎ ‎（2）图2中，设P点坐标为（－4，3）．‎ ‎①判断EF与AB的位置关系，并证明你的结论；（4分）‎ ‎②记，S2是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由．（5分）‎ ‎25．解：（1）； … ………………………………3分 ‎（2）①EF∥AB． ……………………………………4分 证明：如图，由题意可得A（–4，0），B（0，3），， ．‎ ‎∴PA=3，PE=，PB=4，PF=．‎ ‎∴，‎ ‎∴． ………………………… 6分 ‎ 又∵∠APB=∠EPF．‎ ‎∴△APB ∽△EPF，∴∠PAB=∠PEF．‎ ‎∴EF∥AB． …………………………… 7分 ‎②S2没有最小值，理由如下：‎ 过E作EM⊥y轴于点M，过F作FN⊥x轴于点N，两线交于点Q．‎ 由上知M（0，），N（，0），Q（，）． ……………… 8分 而S△EFQ= S△PEF，‎ ‎∴S2＝S△PEF－S△OEF＝S△EFQ－S△OEF＝S△EOM＋S△FON＋S矩形OMQN ‎＝‎ ‎＝‎ ‎=． ………………………… 10分 当时，S2的值随k2的增大而增大，而0＜k2＜12． …………… 11分 ‎∴0＜S2＜24，s2没有最小值． …………………………… 12分 说明：1．证明AB∥EF时，还可利用以下三种方法．方法一：分别求出经过A、B两点和经过E、F两点的直线解析式，利用这两个解析式中x的系数相等来证明AB∥EF；方法二：利用＝来证明AB∥EF；方法三：连接AF、BE，利用S△AEF＝S△BFE得到点A、点B到直线EF的距离相等，再由A、B两点在直线EF同侧可得到AB∥EF．‎ ‎2．求S2的值时，还可进行如下变形：‎ S2＝ S△PEF－S△OEF＝S△PEF－（S四边形PEOF－S△PEF）＝2 S△PEF－S四边形PEOF，再利用第（1）题中的结论．‎ ‎（2009年湖北省荆门市）25．(本题满分12分)一开口向上的抛物线与x轴交于A(m－2，0)，B(m＋2，0)两点，记抛物线顶点为C，且AC⊥BC．‎ ‎(1)若m为常数，求抛物线的解析式；‎ ‎(2)若m为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？‎ ‎(3)设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得△BCD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．‎ 第25题图 ‎25．解：(1)设抛物线的解析式为：y＝a(x－m＋2)(x－m－2)＝a(x－m)2－‎4a．…………2分 ‎∵AC⊥BC，由抛物线的对称性可知：△ACB是等腰直角三角形，又AB＝4，‎ ‎∴C(m，－2)代入得a＝．∴解析式为：y＝(x－m)2－2．…………………………5分 ‎(亦可求C点，设顶点式)‎ ‎(2)∵m为小于零的常数，∴只需将抛物线向右平移－m个单位，再向上平移2个单位，可以使抛物线y＝(x－m)2－2顶点在坐标原点．………………………………………7分 ‎(3)由(1)得D(0，m2－2)，设存在实数m，使得△BOD为等腰三角形．‎ ‎∵△BOD为直角三角形，∴只能OD＝OB．……………………………………………9分 ‎∴m2－2＝|m＋2|，当m＋2＞0时，解得m＝4或m＝－2(舍)．‎ 当m＋2＜0时，解得m＝0(舍)或m＝－2(舍)；‎ 当m＋2＝0时，即m＝－2时，B、O、D三点重合(不合题意，舍)‎ 综上所述：存在实数m＝4，使得△BOD为等腰三角形．……………………………12分 ‎（2009年襄樊市）26．（本小题满分13分）‎ 如图13，在梯形中，点是的中点，是等边三角形．‎ ‎ （1）求证：梯形是等腰梯形；‎ ‎ （2）动点、分别在线段和上运动，且保持不变．设求与的函数关系式；‎ ‎ （3）在（2）中：①当动点、运动到何处时，以点、和点、、、中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；‎ ‎②当取最小值时，判断的形状，并说明理由．‎ A D C B P M Q ‎60°‎ 图13‎ A D C B P M Q ‎60°‎ ‎26．（1）证明：∵是等边三角形 ‎∴ 1分 ‎∵是中点 ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴ 2分 ‎∴‎ ‎∴梯形是等腰梯形． 3分 ‎（2）解：在等边中，‎ ‎∴‎ ‎∴ 4分 ‎∴ ∴ 5分 ‎∵ ∴ 6分 ‎∴ ∴ 7分 ‎（3）解：①当时，则有 则四边形和四边形均为平行四边形 ‎∴ 8分 当时，则有 则四边形和四边形均为平行四边形 ‎∴ 9分 ‎∴当或时，以P、M和A、B、C、 D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形．‎ 此时平行四边形有4个． 10分 ‎②为直角三角形 11分 ‎∵‎ ‎∴当取最小值时， 12分 ‎∴是的中点，而 ‎∴∴ 13分 ‎（2009年湖南省株洲市）23．（本题满分12分）如图，已知为直角三角形，，,点、在轴上，点坐标为（，）（），线段与轴相交于点，以（1，0）为顶点的抛物线过点、．‎ ‎（1）求点的坐标（用表示）；‎ ‎（2）求抛物线的解析式；‎ ‎（3）设点为抛物线上点至点之间的一动点，连结并延长交于点，连结 并延长交于点，试证明：为定值．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎23．（1）由可知，，又△ABC为等腰直角三角形，∴，，所以点A的坐标是（）. ………………… 3分 ‎（2）∵ ∴，则点的坐标是（）.‎ 又抛物线顶点为，且过点、，所以可设抛物线的解析式为：，得： ‎ ‎ 解得 ∴抛物线的解析式为 ………7分 ‎（3）过点作于点，过点作于点，设点的坐标是，则，.‎ ‎∵ ∴∽ ∴ 即，得 ‎∵ ∴∽ ∴ 即，得 又∵‎ ‎∴‎ 即为定值8. ……………………12分 本答案仅供参考，若有其他解法，请参照本评分标准评分.‎ ‎（2009年衡阳市）26、（本小题满分9分）‎ 如图12，直线与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D．‎ ‎ （1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由；‎ ‎ （2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？‎ ‎（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为，正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S．试求S与的函数关系式并画出该函数的图象．‎ B x y M C D O A 图12（1）‎ B x y O A 图12（2）‎ B x y O A 图12（3）‎ ‎ 解：（1）设点M的横坐标为x，则点M的纵坐标为－x+4（00，－x+4>0）；‎ ‎ 则：MC＝∣－x+4∣＝－x+4，MD＝∣x∣＝x；‎ ‎ ∴C四边形OCMD＝2（MC+MD）＝2（－x+4+x）＝8‎ ‎∴当点M在AB上运动时，四边形OCMD的周长不发生变化，总是等于8；‎ ‎（2）根据题意得：S四边形OCMD＝MC·MD＝（－x+4）· x＝－x2+4x＝－(x-2)2+4‎ ‎∴四边形OCMD的面积是关于点M的横坐标x（0PA，∴只存在点Q1,使Q1A=Q1P.‎ 如图2,过点Q1作Q1M⊥AP，垂足为点M，Q1M交AC于点F,则AM=.‎ 由△AMF∽△AOD∽△CQ1F,得 ‎, ∴,‎ ‎∴. ………………1分 ‎∴CQ1==.则,‎ ‎∴ .……………………………1分 第二种情况：当点Q在BA上时,存在两点Q2,Q3,‎ 分别使A P= A Q2,PA=PQ3.‎ ‎①若AP=AQ2，如图3,CB+BQ2=10-4=6.‎ 则,∴.……1分 ‎ ‎②若PA=PQ3，如图4,过点P作PN⊥AB，垂足为N，‎ 由△ANP∽△AEB,得. ‎ ‎∵AE= , ∴AN＝.‎ ‎∴AQ3=2AN=, ∴BC+BQ3=10-‎ 则.∴. ‎ ‎………………………1分 综上所述，当t= 4秒，以所得的等腰三角形APQ 沿底边翻折，翻折后得到菱形的k值为或或 ‎.‎ ‎(2009年浙江省嘉兴市)C A B N M ‎（第24题）‎ 24．如图，已知A、B是线段MN上的两点，，，．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N 两点重合成一点C，构成△ABC，设．‎ ‎（1）求x的取值范围；‎ ‎（2）若△ABC为直角三角形，求x的值；‎ ‎（3）探究：△ABC的最大面积？‎ ‎24．（1）在△ABC中，∵，，．‎ ‎∴，解得．　 4分 ‎（2）①若AC为斜边，则，即，无解．‎ ‎②若AB为斜边，则，解得，满足．‎ ‎③若BC为斜边，则，解得，满足．‎ C A B N M ‎（第24题-1）‎ D ‎∴或．　 9分 ‎（3）在△ABC中，作于D，‎ 设，△ABC的面积为S，则．‎ ‎①若点D在线段AB上，‎ 则．‎ ‎∴，即．‎ ‎∴，即．‎ ‎∴（）．　 11分 当时（满足），取最大值，从而S取最大值． 13分 C B A D M N ‎（第24题-2）‎ ‎②若点D在线段MA上，‎ 则．‎ 同理可得，‎ ‎（），‎ 易知此时．‎ 综合①②得，△ABC的最大面积为． 14分 ‎（2009年浙江省湖州市）‎ ‎24．（本小题12分）‎ 已知抛物线（）与轴相交于点，顶点为.直线分别与轴，轴相交于两点，并且与直线相交于点.‎ ‎(1)填空：试用含的代数式分别表示点与的坐标，则； ‎ ‎(2)如图，将沿轴翻折，若点的对应点′恰好落在抛物线上，′与轴交于点，连结，求的值和四边形的面积；‎ ‎(3)在抛物线（）上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由.‎ 第（2）题 x y B C O D A M N N′‎ x y B C O A M N 备用图 ‎（第24题）‎ 四、自选题：（本题5分）‎ A C B 第（25）题 请注意：本题为自选题，供考生选做，自选题得分将计入本学科总分，但考试总分最多为120分.‎ ‎25．若P为所在平面上一点，且，则点叫做的费马点.‎ ‎（1）若点为锐角的费马点，且，则的值为________；‎ ‎（2）如图，在锐角外侧作等边′连结′.‎ 求证：′过的费马点，且′=.‎ 第（2）题 x y B C O D A M N N′‎ x y B C O A M N P1‎ P2‎ 备用图 ‎24.（本小题12分）‎ ‎（1）.……………4分 ‎（2）由题意得点与点′关于轴对称，，‎ 将′的坐标代入得，‎ ‎（不合题意，舍去），.……………2分 ‎，点到轴的距离为3.‎ ‎， ，直线的解析式为，‎ 它与轴的交点为点到轴的距离为.‎ ‎.……………2分 ‎（3）当点在轴的左侧时，若是平行四边形，则平行且等于，‎ 把向上平移个单位得到，坐标为，代入抛物线的解析式，‎ 得：‎ ‎（不舍题意，舍去），，‎ ‎.……………2分 当点在轴的右侧时，若是平行四边形，则与互相平分，‎ ‎．‎ ‎ 与关于原点对称，，‎ 将点坐标代入抛物线解析式得：，‎ ‎（不合题意，舍去），，．……………2分 存在这样的点或，能使得以为顶点的四边形是平行四边形．‎ 四、自选题（本题5分）‎ ‎25．（1）2. ……………2分 ‎（2）证明：在上取点，使，‎ 连结，再在上截取，连结．‎ ‎，‎ 为正三角形，……………1分 A C B P E 第（25）题 ‎=，‎ 为正三角形，‎ ‎=，‎ ‎=，‎ ‎′，‎ ‎．‎ ‎，‎ ‎，‎ 为的费马点，‎ 过的费马点，且=+．……………2分 ‎(2009年甘肃省兰州市)29.（本题满分9分）如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4）， ‎ 点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动， ‎ 同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动， ‎ 设运动的时间为t秒．‎ ‎(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；‎ ‎(2)求正方形边长及顶点C的坐标；‎ ‎(3)在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；‎ ‎(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．‎ ‎29. （本题满分9分）‎ 解：（1）（1，0） 1分 ‎ 点P运动速度每秒钟1个单位长度． 2分 ‎（2） 过点作BF⊥y轴于点，⊥轴于点，则＝8，．‎ ‎ ∴．‎ ‎ 在Rt△AFB中， 3分 ‎ 过点作⊥轴于点，与的延长线交于点．‎ ‎∵ ∴△ABF≌△BCH． ‎ ‎ ∴． ‎ ‎∴．‎ ‎∴所求C点的坐标为（14，12）． 4分 ‎（3） 过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥轴于点N，‎ 则△APM∽△ABF．‎ ‎ ∴． ． ‎ ‎ ∴． ∴．‎ 设△OPQ的面积为（平方单位）‎ ‎∴（0≤≤10） 5分 说明:未注明自变量的取值范围不扣分．‎ ‎ ∵<0 ∴当时， △OPQ的面积最大． 6分 ‎ 此时P的坐标为（，） ． 7分 ‎（4） 当 或时， OP与PQ相等． 9分 ‎ 对一个加1分，不需写求解过程．‎