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- 2021-05-10 发布
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2016年湖北省襄阳市中考数学试卷
一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将其序号在答题卡上涂黑作答.
1.(3分)(2016•湖北襄阳)﹣3的相反数是( )
A.3 B.﹣3 C. D.﹣
2.(3分)(2016•湖北襄阳)如图,AD是∠EAC的平分线,AD∥BC,∠B=30°,则∠C的度数为( )
A.50° B.40° C.30° D.20°
3.(3分)(2016•湖北襄阳)﹣8的立方根是( )
A.2 B.﹣2 C.±2 D.﹣
4.(3分)(2016•湖北襄阳)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体是( )
A.球体 B.圆锥 C.棱柱 D.圆柱
5.(3分)(2016•湖北襄阳)不等式组的整数解的个数为( )
A.0个 B.2个 C.3个 D.无数个
6.(3分)(2016•湖北襄阳)一组数据2,x,4,3,3的平均数是3,则这组数据的中位数、众数、方差分别是( )
A.3,3,0.4 B.2,3,2 C.3,2,0.4 D.3,3,2
7.(3分)(2016•湖北襄阳)如图,在▱ABCD中,AB>AD,按以下步骤作图:以点A为圆心,小于AD的长为半径画弧,分别交AB、AD于点E、F;再分别以点E、F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧交于点G;作射线AG交CD于点H,则下列结论中不能由条件推理得出的是( )
A.AG平分∠DAB B.AD=DH C.DH=BC D.CH=DH
8.(3分)(2016•湖北襄阳)如图,I是△ABC的内心,AI的延长线和△ABC的外接圆相交于点D,连接BI、BD、DC.下列说法中错误的一项是( )
A.线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合
B.线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合
C.∠CAD绕点A顺时针旋转一定能与∠DAB重合
D.线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合
9.(3分)(2016•湖北襄阳)如图,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值为( )
A. B. C. D.
10.(3分)(2016•湖北襄阳)一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx+c的图象大致为( )
A. B. C. D.
二、填空题:本大题共6小题,每小题3分,共18分.把答案填在答题卡的相应位置上.
11.(3分)(2016•湖北襄阳)分解因式:2a2﹣2=______.
12.(3分)(2016•湖北襄阳)关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个相等的实数根,则m的值为______.
13.(3分)(2016•湖北襄阳)一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球.每次摇匀后随机摸出一个球,记下颜色后再放回袋中,通过大量重复摸球试验后,发现摸到红球的频率稳定于0.4,由此可估计袋中约有红球______个.
14.(3分)(2016•湖北襄阳)王经理到襄阳出差带回襄阳特产﹣﹣孔明菜若干袋,分给朋友们品尝,如果每人分5袋,还余3袋;如果每人分6袋,还差3袋,则王经理带回孔明菜______袋.
15.(3分)(2016•湖北襄阳)如图,AB是半圆O的直径,点C、D是半圆O的三等分点,若弦CD=2,则图中阴影部分的面积为______.
16.(3分)(2016•湖北襄阳)如图,正方形ABCD的边长为2,对角线AC、BD相交于点O,E是OC的中点,连接BE,过点A作AM⊥BE于点M,交BD于点F,则FM的长为______.
三、解答题:本大题共9小题,共72分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并且写在答题卡上每题对应的答题区域内.
17.(6分)(2016•湖北襄阳)先化简,再求值:(2x+1)(2x﹣1)﹣(x+1)(3x﹣2),其中x=.
18.(6分)(2016•湖北襄阳)襄阳市文化底蕴深厚,旅游资源丰富,古隆中、习家池、鹿门寺三个景区是人们节假日玩的热点景区,张老师对八(1)班学生“五•一”小长假随父母到这三个景区游玩的计划做了全面调查,调查分四个类别:A、游三个景区;B、游两个景区;C、游一个景区;D、不到这三个景区游玩.现根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图,请结合图中信息解答下列问题:
(1)八(1)班共有学生______人,在扇形统计图中,表示“B类别”的扇形的圆心角的度数为______;
(2)请将条形统计图补充完整;
(3)若张华、李刚两名同学,各自从三个景区中随机选一个作为5月1日游玩的景区,则他们同时选中古隆中的概率为______.
19.(6分)(2016•湖北襄阳)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,且BD=CD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.
(1)求证:AB=AC;
(2)若AD=2,∠DAC=30°,求AC的长.
20.(6分)(2016•湖北襄阳)如图,直线y=ax+b与反比例函数y=(x>0)的图象交于A(1,4),B(4,n)两点,与x轴、y轴分别交于C、D两点.
(1)m=______,n=______;若M(x1,y1),N(x2,y2)是反比例函数图象上两点,且0<x1<x2,则y1______y2(填“<”或“=”或“>”);
(2)若线段CD上的点P到x轴、y轴的距离相等,求点P的坐标.
21.(7分)(2016•湖北襄阳)“汉十”高速铁路襄阳段正在建设中,甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设,甲队单独施工30天完成该项工程的,这时乙队加入,两队还需同时施工15天,才能完成该项工程.
(1)若乙队单独施工,需要多少天才能完成该项工程?
(2)若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天,则乙队至少施工多少天才能完成该项工程?
22.(8分)(2016•湖北襄阳)如图,直线AB经过⊙O上的点C,直线AO与⊙O交于点E和点D,OB与⊙O交于点F,连接DF、DC.已知OA=OB,CA=CB,DE=10,DF=6.
(1)求证:①直线AB是⊙O的切线;②∠FDC=∠EDC;
(2)求CD的长.
23.(10分)(2016•湖北襄阳)襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召,研发了一种新产品.已知研发、生产这种产品的成本为30元/件,且年销售量y(万件)关于售价x(元/件)的函数解析式为:y=.
(1)若企业销售该产品获得的年利润为W(万元),请直接写出年利润W(万元)关于售价x(元/件)的函数解析式;
(2)当该产品的售价x(元/件)为多少时,企业销售该产品获得的年利润最大?最大年利润是多少?
(3)若企业销售该产品的年利润不少于750万元,试确定该产品的售价x(元/件)的取值范围.
24.(10分)(2016•湖北襄阳)如图,将矩形ABCD沿AF折叠,使点D落在BC边的点E处,过点E作EG∥CD交AF于点G,连接DG.
(1)求证:四边形EFDG是菱形;
(2)探究线段EG、GF、AF之间的数量关系,并说明理由;
(3)若AG=6,EG=2,求BE的长.
25.(13分)(2016•湖北襄阳)如图,已知点A的坐标为(﹣2,0),直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B和点C,连接AC,顶点为D的抛物线y=ax2+bx+c过A、B、C三点.
(1)请直接写出B、C两点的坐标,抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E,P是第一象限内抛物线上一点,过点P作x轴的垂线,交线段BC于点F,若四边形DEFP为平行四边形,求点P的坐标;
(3)设点M是线段BC上的一动点,过点M作MN∥AB,交AC于点N,点Q从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向点A运动,运动时间为t(秒),当t(秒)为何值时,存在△QMN为等腰直角三角形?
2016年湖北省襄阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共10小题,每小题3分,共30分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将其序号在答题卡上涂黑作答.
1.(3分)(2016•湖北襄阳)﹣3的相反数是( )
A.3 B.﹣3 C. D.﹣
【分析】根据相反数的概念解答即可.
【解答】解:﹣3的相反数是3,
故选:A.
2.(3分)(2016•湖北襄阳)如图,AD是∠EAC的平分线,AD∥BC,∠B=30°,则∠C的度数为( )
A.50° B.40° C.30° D.20°
【分析】由AD∥BC,∠B=30°利用平行线的性质即可得出∠EAD的度数,再根据角平分线的定义即可求出∠EAC的度数,最后由三角形的外角的性质即可得出∠EAC=∠B+∠C,代入数据即可得出结论.
【解答】解:∵AD∥BC,∠B=30°,
∴∠EAD=∠B=30°.
又∵AD是∠EAC的平分线,
∴∠EAC=2∠EAD=60°.
∵∠EAC=∠B+∠C,
∴∠C=∠EAC﹣∠B=30°.
故选C.
3.(3分)(2016•湖北襄阳)﹣8的立方根是( )
A.2 B.﹣2 C.±2 D.﹣
【分析】直接利用立方根的定义分析求出答案.
【解答】解:﹣8的立方根是:=﹣2.
故选:B.
4.(3分)(2016•湖北襄阳)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体是( )
A.球体 B.圆锥 C.棱柱 D.圆柱
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形.
【解答】解:由于主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体,
由俯视图为圆可得为圆柱体.
故选D.
5.(3分)(2016•湖北襄阳)不等式组的整数解的个数为( )
A.0个 B.2个 C.3个 D.无数个
【分析】先根据一元一次不等式组的解法求出x的取值范围,然后找出整数解的个数.
【解答】解:解不等式2x﹣1≤1得:x≤1,
解不等式﹣x<1得:x>﹣2,
则不等式组的解集为:﹣2<x≤1,
整数解为:﹣1,0,1,共3个.
故选C.
6.(3分)(2016•湖北襄阳)一组数据2,x,4,3,3的平均数是3,则这组数据的中位数、众数、方差分别是( )
A.3,3,0.4 B.2,3,2 C.3,2,0.4 D.3,3,2
【分析】先根据平均数的定义求出x的值,再根据众数、中位数的定义和方差公式分别进行解答即可.
【解答】解:根据题意,=3,解得:x=3,
∴这组数据从小到大排列为:2,3,3,3,4;
则这组数据的中位数为3,
这组数据3出现的次数最多,出现了3次,故众数为3;
其方差是:×[(2﹣3)2+3×(3﹣3)2+(4﹣3)2]=0.4,
故选A.
7.(3分)(2016•湖北襄阳)如图,在▱ABCD中,AB>AD,按以下步骤作图:以点A为圆心,小于AD的长为半径画弧,分别交AB、AD于点E、F;再分别以点E、F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧交于点G;作射线AG交CD于点H,则下列结论中不能由条件推理得出的是( )
A.AG平分∠DAB B.AD=DH C.DH=BC D.CH=DH
【分析】根据作图过程可得得AG平分∠DAB,再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠DAH=∠DHA,进而得到AD=DH,
【解答】解:根据作图的方法可得AG平分∠DAB,
∵AG平分∠DAB,
∴∠DAH=∠BAH,
∵CD∥AB,
∴∠DHA=∠BAH,
∴∠DAH=∠DHA,
∴AD=DH,
∴BC=DH,
故选D.
8.(3分)(2016•湖北襄阳)如图,I是△ABC的内心,AI的延长线和△ABC的外接圆相交于点D,连接BI、BD、DC.下列说法中错误的一项是( )
A.线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合
B.线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合
C.∠CAD绕点A顺时针旋转一定能与∠DAB重合
D.线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合
【分析】根据I是△ABC的内心,得到AI平分∠BAC,BI平分∠ABC,由角平分线的定义得到∠BAD=∠CAD,∠ABI=∠CBI根据三角形外角的性质得到∠BDI=∠DIB,根据等腰三角形的性质得到BD=DI.
【解答】解:∵I是△ABC的内心,
∴AI平分∠BAC,BI平分∠ABC,
∴∠BAD=∠CAD,故C正确,不符合题意;
∠ABI=∠CBI,∴=,
∴BD=CD,故A正确,不符合题意;
∵∠DAC=∠DBC,
∴∠BAD=∠DBC,
∵∠IBD=∠IBC+∠DBC,∠BID=∠ABI+∠BAD,
∴∠BDI=∠DIB,
∴BD=DI,故B正确,不符合题意;
故选D.
9.(3分)(2016•湖北襄阳)如图,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinA的值为( )
A. B. C. D.
【分析】直接根据题意构造直角三角形,进而利用勾股定理得出DC,AC的长,再利用锐角三角函数关系求出答案.
【解答】解:如图所示:连接DC,
由网格可得出∠CDA=90°,
则DC=,AC=,
故sinA===.
故选:B.
10.(3分)(2016•湖北襄阳)一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx+c的图象大致为( )
A. B. C. D.
【分析】根据一次函数的图象的性质先确定出a、b的取值范围,然后根据反比例函数的性质确定出c的取值范围,最后根据二次函数的性质即可做出判断.
【解答】解:∵一次函数y=ax+b经过一、二、四象限,
∴a<0,b>0,
∵反比例函数y=的图象在一、三象限,
∴c>0,
∵a<0,
∴二次函数y=ax2+bx+c的图象的开口向下,
∵b>0,
∴>0,
∵c>0,
∴与y轴的正半轴相交,
故选C.
二、填空题:本大题共6小题,每小题3分,共18分.把答案填在答题卡的相应位置上.
11.(3分)(2016•湖北襄阳)分解因式:2a2﹣2= 2(a+1)(a﹣1) .
【分析】先提取公因式2,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.
【解答】解:2a2﹣2,
=2(a2﹣1),
=2(a+1)(a﹣1).
12.(3分)(2016•湖北襄阳)关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个相等的实数根,则m的值为 2 .
【分析】由于关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个相等的实数根,可知其判别式为0,据此列出关于m的方程,解答即可.
【解答】解:∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个相等的实数根,
∴△=b2﹣4ac=0,
即:22﹣4(m﹣1)=0,
解得:m=2,
故答案为2.
13.(3分)(2016•湖北襄阳)一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球、4个白球和若干个红球.每次摇匀后随机摸出一个球,记下颜色后再放回袋中,通过大量重复摸球试验后,发现摸到红球的频率稳定于0.4,由此可估计袋中约有红球 8 个.
【分析】根据摸到红球的频率,可以得到摸到黑球和白球的概率之和,从而可以求得总的球数,从而可以得到红球的个数.
【解答】解:由题意可得,
摸到黑球和白球的频率之和为:1﹣0.4=0.6,
∴总的球数为:(8+4)÷0.6=20,
∴红球有:20﹣(8+4)=8(个),
故答案为:8.
14.(3分)(2016•湖北襄阳)王经理到襄阳出差带回襄阳特产﹣﹣孔明菜若干袋,分给朋友们品尝,如果每人分5袋,还余3袋;如果每人分6袋,还差3袋,则王经理带回孔明菜 33 袋.
【分析】可设有x个朋友,根据“如果每人分5袋,还余3袋;如果每人分6袋,还差3袋”可列出一元一次方程,求解即可.
【解答】解:设有x个朋友,则
5x+3=6x﹣3
解得x=6
∴5x+3=33(袋)
故答案为:33
15.(3分)(2016•湖北襄阳)如图,AB是半圆O的直径,点C、D是半圆O的三等分点,若弦CD=2,则图中阴影部分的面积为 π .
【分析】首先证明OC∥BD,得到S△BDC=S△BDO,所以S阴=S扇形OBD,由此即可计算.
【解答】解:如图连接OC、OD、BD.
∵点C、D是半圆O的三等分点,
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°,
∵OC=OD=OB,
∴△COD、△OBD是等边三角形,
∴∠COD=∠ODB=60°,OD=CD=2,
∴OC∥BD,
∴S△BDC=S△BDO,
∴S阴=S扇形OBD==.
16.(3分)(2016•湖北襄阳)如图,正方形ABCD的边长为2,对角线AC、BD相交于点O,E是OC的中点,连接BE,过点A作AM⊥BE于点M,交BD于点F,则FM的长为 .
【分析】先根据ASA判定△AFO≌△BEO,并根据勾股定理求得BE的长,再判定△BFM∽△BEO,最后根据对应边成比例,列出比例式求解即可.
【解答】解:∵正方形ABCD
∴AO=BO,∠AOF=∠BOE=90°
∵AM⊥BE,∠AFO=∠BFM
∴∠FAO=∠EBO
在△AFO和△BEO中
∴△AFO≌△BEO(ASA)
∴FO=EO
∵正方形ABCD的边长为2,E是OC的中点
∴FO=EO=1=BF,BO=2
∴直角三角形BOE中,BE==
由∠FBM=∠EBO,∠FMB=∠EOB,可得△BFM∽△BEO
∴,即
∴FM=
故答案为:
三、解答题:本大题共9小题,共72分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并且写在答题卡上每题对应的答题区域内.
17.(6分)(2016•湖北襄阳)先化简,再求值:(2x+1)(2x﹣1)﹣(x+1)(3x﹣2),其中x=.
【分析】首先利用整式乘法运算法则化简,进而去括号合并同类项,再将已知代入求出答案.
【解答】解:(2x+1)(2x﹣1)﹣(x+1)(3x﹣2),
=4x2﹣1﹣(3x2+3x﹣2x﹣2)
=4x2﹣1﹣3x2﹣x+2
=x2﹣x+1
把x=代入得:
原式=(﹣1)2﹣(﹣1)+1
=3﹣2﹣+2
=5﹣3.
18.(6分)(2016•湖北襄阳)襄阳市文化底蕴深厚,旅游资源丰富,古隆中、习家池、鹿门寺三个景区是人们节假日玩的热点景区,张老师对八(1)班学生“五•一”小长假随父母到这三个景区游玩的计划做了全面调查,调查分四个类别:A、游三个景区;B、游两个景区;C、游一个景区;D、不到这三个景区游玩.现根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图,请结合图中信息解答下列问题:
(1)八(1)班共有学生 50 人,在扇形统计图中,表示“B类别”的扇形的圆心角的度数为 72° ;
(2)请将条形统计图补充完整;
(3)若张华、李刚两名同学,各自从三个景区中随机选一个作为5月1日游玩的景区,则他们同时选中古隆中的概率为 .
【分析】(1)由A类5人,占10%,可求得总人数,继而求得B类别占的百分数,则可求得“B类别”的扇形的圆心角的度数;
(2)首先求得D类别的人数,则可将条形统计图补充完整;
(3)首先根据题意画出树状图,然后由树状图求得所有等可能的结果与他们同时选中古隆中的情况,再利用概率公式求解即可求得答案.
【解答】解:(1)∵A类5人,占10%,
∴八(1)班共有学生有:5÷10%=50(人);
∴在扇形统计图中,表示“B类别”的扇形的圆心角的度数为:×360°=72°;
故答案为:50,72°;
(2)D类:50﹣5﹣10﹣15=20(人),如图:
(3)分别用1,2,3表示古隆中、习家池、鹿门寺,画树状图得:
∵共有9种等可能的结果,他们同时选中古隆中的只有1种情况,
∴他们同时选中古隆中的概率为:.
故答案为:.
19.(6分)(2016•湖北襄阳)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,且BD=CD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.
(1)求证:AB=AC;
(2)若AD=2,∠DAC=30°,求AC的长.
【分析】(1)先证明△DEB≌△DFC得∠B=∠C由此即可证明.
(2)先证明AD⊥BC,再在RT△ADC中,利用30°角性质设CD=a,AC=2a,根据勾股定理列出方程即可解决问题.
【解答】(1)证明:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,
∴DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°,
在RT△DEB和RT△DFC中,
,
∴△DEB≌△DFC,
∴∠B=∠C,
∴AB=AC.
(2)∵AB=AC,BD=DC,
∴AD⊥BC,
在RT△ADC中,∵∠ADC=90°,AD=2,∠DAC=30°,
∴AC=2CD,设CD=a,则AC=2a,
∵AC2=AD2+CD2,
∴4a2=a2+(2)2,
∵a>0,
∴a=2,
∴AC=2a=4.
20.(6分)(2016•湖北襄阳)如图,直线y=ax+b与反比例函数y=(x>0)的图象交于A(1,4),B(4,n)两点,与x轴、y轴分别交于C、D两点.
(1)m= 4 ,n= 1 ;若M(x1,y1),N(x2,y2)是反比例函数图象上两点,且0<x1<x2,则y1 > y2(填“<”或“=”或“>”);
(2)若线段CD上的点P到x轴、y轴的距离相等,求点P的坐标.
【分析】(1)由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出m的值,再由点B也在反比例函数图象上即可得出n的值,由反比例函数系数m的值结合反比例函数的性质即可得出反比例函数的增减性,由此即可得出结论;
(2)设过C、D点的直线解析式为y=kx+b,由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线CD的解析式,设出点P的坐标为(t,﹣t+5),由点P到x轴、y轴的距离相等即可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程,解方程即可得出t的值,从而得出点P的坐标.
【解答】解:(1)∵反比例函数y=(x>0)的图象过点A(1,4),
∴m=1×4=4.
∵点B(4,n)在反比例函数y=的图象上,
∴m=4n=4,解得:n=1.
∵在反比例函数y=(x>0)中,m=4>0,
∴反比例函数y=的图象单调递减,
∵0<x1<x2,
∴y1>y2.
故答案为:4;1;>.
(2)设过C、D点的直线解析式为y=kx+b,
∵直线CD过点A(1,4)、B(4,1)两点,
∴,解得:,
∴直线CD的解析式为y=﹣x+5.
设点P的坐标为(t,﹣t+5),
∴|t|=|﹣t+5|,
解得:t=.
∴点P的坐标为(,).
21.(7分)(2016•湖北襄阳)“汉十”高速铁路襄阳段正在建设中,甲、乙两个工程队计划参与一项工程建设,甲队单独施工30天完成该项工程的,这时乙队加入,两队还需同时施工15天,才能完成该项工程.
(1)若乙队单独施工,需要多少天才能完成该项工程?
(2)若甲队参与该项工程施工的时间不超过36天,则乙队至少施工多少天才能完成该项工程?
【分析】(1)直接利用队单独施工30天完成该项工程的,这时乙队加入,两队还需同时施工15天,进而利用总工作量为1得出等式求出答案;
(2)直接利用甲队参与该项工程施工的时间不超过36天,得出不等式求出答案.
【解答】解:(1)设乙队单独施工,需要x天才能完成该项工程,
∵甲队单独施工30天完成该项工程的,
∴甲队单独施工90天完成该项工程,
根据题意可得:
+15(+)=1,
解得:x=30,
检验得:x=30是原方程的根,
答:乙队单独施工,需要30天才能完成该项工程;
(2)设乙队参与施工y天才能完成该项工程,根据题意可得:
×36+y×≥1,
解得:y≥18,
答:乙队至少施工18天才能完成该项工程.
22.(8分)(2016•湖北襄阳)如图,直线AB经过⊙O上的点C,直线AO与⊙O交于点E和点D,OB与⊙O交于点F,连接DF、DC.已知OA=OB,CA=CB,DE=10,DF=6.
(1)求证:①直线AB是⊙O的切线;②∠FDC=∠EDC;
(2)求CD的长.
【分析】(1)①欲证明直线AB是⊙O的切线,只要证明OC⊥AB即可.
②首先证明OC∥DF,再证明∠FDC=∠OCD,∠EDC=∠OCD即可.
(2)作ON⊥DF于N,延长DF交AB于M,在RT△CDM中,求出DM、CM即可解决问题.
【解答】(1)①证明:连接OC.
∵OA=OB,AC=CB,
∴OC⊥AB,
∵点C在⊙O上,
∴AB是⊙O切线.
②证明:∵OA=OB,AC=CB,
∴∠AOC=∠BOC,
∵OD=OF,
∴∠ODF=∠OFD,
∵∠AOB=∠ODF+∠OFD=∠AOC+∠BOC,
∴∠BOC=∠OFD,
∴OC∥DF,
∴∠CDF=∠OCD,
∵OD=OC,
∴∠ODC=∠OCD,
∴∠ADC=∠CDF.
(2)作ON⊥DF于N,延长DF交AB于M.
∵ON⊥DF,
∴DN=NF=3,
在RT△ODN中,∵∠OND=90°,OD=5,DN=3,
∴ON==4,
∵∠OCM+∠CMN=180°,∠OCM=90°,
∴∠OCM=∠CMN=∠MNO=90°,
∴四边形OCMN是矩形,
∴ON=CM=4,MN=OC=5,
在RT△CDM中,∵∠DMC=90°,CM=4,DM=DN+MN=8,
∴CD===4.
23.(10分)(2016•湖北襄阳)襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召,研发了一种新产品.已知研发、生产这种产品的成本为30元/件,且年销售量y(万件)关于售价x(元/件)的函数解析式为:y=.
(1)若企业销售该产品获得的年利润为W(万元),请直接写出年利润W(万元)关于售价x(元/件)的函数解析式;
(2)当该产品的售价x(元/件)为多少时,企业销售该产品获得的年利润最大?最大年利润是多少?
(3)若企业销售该产品的年利润不少于750万元,试确定该产品的售价x(元/件)的取值范围.
【分析】(1)根据:年利润=(售价﹣成本)×年销售量,结合x的取值范围可列函数关系式;
(2)将(1)中两个二次函数配方后依据二次函数的性质可得其最值情况,比较后可得答案;
(3)根据题意知W≥750,可列关于x的不等式,求解可得x的范围.
【解答】解:(1)当40≤x<60时,W=(x﹣30)(﹣2x+140)=﹣2x2+200x﹣4200,
当60≤x≤70时,W=(x﹣30)(﹣x+80)=﹣x2+110x﹣2400;
(2)当40≤x<60时,W=﹣2x2+200x﹣4200=﹣2(x﹣50)2+800,
∴当x=50时,W取得最大值,最大值为800万元;
当60≤x≤70时,W=﹣x2+110x﹣2400=﹣(x﹣55)2+625,
∴当x>55时,W随x的增大而减小,
∴当x=60时,W取得最大值,最大值为:﹣(60﹣55)2+625=600,
∵800>600,
∴当x=50时,W取得最大值800,
答:该产品的售价x为50元/件时,企业销售该产品获得的年利润最大,最大年利润是800万元;
(3)当40≤x<60时,由W≥750得:﹣2(x﹣50)2+800≥750,
解得:45≤x≤55,
当60≤x≤70时,W的最大值为600<750,
∴要使企业销售该产品的年利润不少于750万元,该产品的售价x(元/件)的取值范围为45≤x≤55.
24.(10分)(2016•湖北襄阳)如图,将矩形ABCD沿AF折叠,使点D落在BC边的点E处,过点E作EG∥CD交AF于点G,连接DG.
(1)求证:四边形EFDG是菱形;
(2)探究线段EG、GF、AF之间的数量关系,并说明理由;
(3)若AG=6,EG=2,求BE的长.
【分析】(1)先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG,从而得到GD=DF,接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF;
(2)连接DE,交AF于点O.由菱形的性质可知GF⊥DE,OG=OF=GF,接下来,证明△DOF∽△ADF,由相似三角形的性质可证明DF2=FO•AF,于是可得到GE、AF、FG的数量关系;
(3)过点G作GH⊥DC,垂足为H.利用(2)的结论可求得FG=4,然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长,然后再证明△FGH∽△FAD,利用相似三角形的性质可求得GH的长,最后依据BE=AD﹣GH求解即可.
【解答】解:(1)证明:∵GE∥DF,
∴∠EGF=∠DFG.
∵由翻折的性质可知:GD=GE,DF=EF,∠DGF=∠EGF,
∴∠DGF=∠DFG.
∴GD=DF.
∴DG=GE=DF=EF.
∴四边形EFDG为菱形.
(2)EG2=GF•AF.
理由:如图1所示:连接DE,交AF于点O.
∵四边形EFDG为菱形,
∴GF⊥DE,OG=OF=GF.
∵∠DOF=∠ADF=90°,∠OFD=∠DFA,
∴△DOF∽△ADF.
∴,即DF2=FO•AF.
∵FO=GF,DF=EG,
∴EG2=GF•AF.
(3)如图2所示:过点G作GH⊥DC,垂足为H.
∵EG2=GF•AF,AG=6,EG=2,
∴20=FG(FG+6),整理得:FG2+6FG﹣40=0.
解得:FG=4,FG=﹣10(舍去).
∵DF=GE=2,AF=10,
∴AD==4.
∵GH⊥DC,AD⊥DC,
∴GH∥AD.
∴△FGH∽△FAD.
∴,即=.
∴GH=.
∴BE=AD﹣GH=4﹣=.
25.(13分)(2016•湖北襄阳)如图,已知点A的坐标为(﹣2,0),直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B和点C,连接AC,顶点为D的抛物线y=ax2+bx+c过A、B、C三点.
(1)请直接写出B、C两点的坐标,抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E,P是第一象限内抛物线上一点,过点P作x轴的垂线,交线段BC于点F,若四边形DEFP为平行四边形,求点P的坐标;
(3)设点M是线段BC上的一动点,过点M作MN∥AB,交AC于点N,点Q从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向点A运动,运动时间为t(秒),当t(秒)为何值时,存在△QMN为等腰直角三角形?
【分析】(1)分别令y=0和x=0代入y=﹣x+3即可求出B和C的坐标,然后设抛物线的交点式为y=a(x+2)(x﹣4),最后把C的坐标代入抛物线解析式即可求出a的值和顶点D的坐标;
(2)若四边形DEFP为平行四边形时,则DP∥BC,设直线DP的解析式为y=mx+n,则m=﹣,求出直线DP的解析式后,联立抛物线解析式和直线DP的解析式即可求出P的坐标;
(3)由题意可知,0≤t≤6,若△QMN为等腰直角三角形,则共有三种情况,①∠NMQ=90°;②∠MNQ=90°;③∠NQM=90°.
【解答】解:(1)令x=0代入y=﹣x+3
∴y=3,
∴C(0,3),
令y=0代入y=﹣x+3
∴x=4,
∴B(4,0),
设抛物线的解析式为:y=a(x+2)(x﹣4),
把C(0,3)代入y=a(x+2)(x﹣4),
∴a=﹣,
∴抛物线的解析式为:y=(x+2)(x﹣4)=﹣x2+x+3,
∴顶点D的坐标为(1,);
(2)当DP∥BC时,
此时四边形DEFP是平行四边形,
设直线DP的解析式为y=mx+n,
∵直线BC的解析式为:y=﹣x+3,
∴m=﹣,
∴y=﹣x+n,
把D(1,)代入y=﹣x+n,
∴n=,
∴直线DP的解析式为y=﹣x+,
∴联立,
解得:x=3或x=1(舍去),
∴把x=3代入y=﹣x+,
y=,
∴P的坐标为(3,);
(3)由题意可知:0≤t≤6,
设直线AC的解析式为:y=m1x+n1,
把A(﹣2,0)和C(0,3)代入y=m1x+n1,
得:,
∴解得,
∴直线AC的解析式为:y=x+3,
由题意知:QB=t,
如图1,当∠NMQ=90°,
∴OQ=4﹣t,
令x=4﹣t代入y=﹣x+3,
∴y=t,
∴M(4﹣t,t),
∵MN∥x轴,
∴N的纵坐标为t,
把y=t代入y=x+3,
∴x=t﹣2,
∴N(t﹣2,t),
∴MN=(4﹣t)﹣(﹣2)=6﹣t,
∵MQ∥OC,
∴△BQM∽△BOC,
∴,
∴MQ=t,
当MN=MQ时,
∴6﹣t=t,
∴t=,
此时QB=,符合题意,
如图2,当∠QNM=90°时,
∵QB=t,
∴点Q的坐标为(4﹣t,0)
∴令x=4﹣t代入y=x+3,
∴y=9﹣t,
∴N(4﹣t,9﹣t),
∵MN∥x轴,
∴点M的纵坐标为9﹣t,
∴令y=9﹣t代入y=﹣x+3,
∴x=2t﹣8,
∴M(2t﹣8,9﹣t),
∴MN=(2t﹣8)﹣(4﹣t)=3t﹣12,
∵NQ∥OC,
∴△AQN∽△AOC,
∴=,
∴NQ=9﹣t,
当NQ=MN时,
∴9﹣t=3t﹣12,
∴t=,
∴此时QB=,符合题意
如图3,当∠NQM=90°,
过点Q作QE⊥MN于点E,
过点M作MF⊥x轴于点F,
设QE=a,
令y=a代入y=﹣x+3,
∴x=4﹣,
∴M(4﹣a,a),
令y=a代入y=x+3,
∴x=﹣2,
∴N(﹣2,0),
∴MN=(4﹣a)﹣(a﹣2)=6﹣2a,
当MN=2QE时,
∴6﹣2a=2a,
∴a=,
∴MF=QE=,
∵MF∥OC,
∴△BMF∽△BCO,
∴=,
∴BF=2,
∴QB=QF+BF=+2=,
∴t=,此情况符合题意,
综上所述,当△QMN为等腰直角三角形时,此时t=或或.
参与本试卷答题和审题的老师有:zhangCF;曹先生;gbl210;HJJ;caicl;三界无我;王学峰;fangcao;HLing;lanchong;733599;zgm666;szl;弯弯的小河;sd2011;zcx;梁宝华;神龙杉(排名不分先后)
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2016年9月19日