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- 2021-05-10 发布
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2017中考一元二次方程专题复习
【知识回顾】
1.一元二次方程的概念:形如:
2.一元二次方程的解法:
(1)直接开平方法:(2)配方法:(3)因式分解法:
(4)公式法:求根公式:
3.一元二次方程的根的判别式:
(1)当 时,方程有两个不相等的实数根;
(2)当 时,方程有两个相等的实数根;
(3)当 时,方程没有实数根。
4.根与系数的关系(韦达定理)的应用:
韦达定理:如一元二次方程的两根为,则
,
(注意在使用根系关系式求待定的系数时必须满足Δ≥0这个条件,否则解题就会出错。)
注意:(注意在使用根系关系式求待定的系数时必须满足Δ≥0这个条件,否则解题就会出错。)注意:
① ②
③ ④
⑤ ⑥
⑦
5.用方程解决实际问题:略
【典型例题】
例1、(用两种方法)(16枣庄)已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2,则另一个根为( )
A.5 B.﹣1 C.2 D.﹣5
练:1(16雅安)已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个实数根为2,则另一实数根及m的值分别为( )
A.4,﹣2 B.﹣4,﹣2 C.4,2 D.﹣4,2
2、(16大庆)若x0是方程ax2+2x+c=0(a≠0)的一个根,设M=1﹣ac,N=(ax0+1)2,则M与N的大小关系正确的为( )
A.M>N B.M=N C.M<N D.不确定
例2 、解方程(熟练、准确、快速)用三种方法解方程:
例3、(2016·湖北鄂州)关于x的方程(k-1)x2+2kx+2=0
(1)求证:无论k为何值,方程总有实数根。
(2)设x1,x2是方程(k-1)x2+2kx+2=0的两个根,记S=++ x1+x2,S的值能为2吗?若能,求出此时k的值。若不能,请说明理由。
练习:1、(16玉林)关于x的一元二次方程:x2﹣4x﹣m2=0有两个实数根x1、x2,则m2()=( ) A. B. C.4 D.﹣4
2、(2016·四川达州)设m,n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根,则m2+3m+n= .
3.(16孝感)已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1,x2.
(1)求m的取值范围;
(2)当x12+x22=6x1x2时,求m的值.
例4(16·广西贺州)某地区2014年投入教育经费2900万元,2016年投入教育经费3509万元.
(1)求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率;
(2)按照义务教育法规定,教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四,结合该地区国民生产总值的增长情况,该地区到2018年需投入教育经费4250万元,如果按(1)中教育经费投入的增长率,到2018年该地区投入的教育经费是否能达到4250万元?请说明理由.
(参考数据: =1.1, =1.2, =1.3, =1.4)
练习1(2016·青海西宁·10分)青海新闻网讯:2016年2月21日,西宁市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用.市政府今年投资了112万元,建成40个公共自行车站点、配置720辆公共自行车.今后将逐年增加投资,用于建设新站点、配置公共自行车.预计2018年将投资340.5万元,新建120个公共自行车站点、配置2205辆公共自行车.
(1)请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元?
(2)请你求出2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率.
例5、(2016·内蒙古包头)一幅长20cm、宽12cm的图案,如图,其中有一横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为3:2.设竖彩条的宽度为xcm,图案中三条彩条所占面积为ycm2.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)若图案中三条彩条所占面积是图案面积的,求横、竖彩条的宽度.
练习1:如图,某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种花草。要使每一块花草的面积都为78m2,那么通道的宽应设计成多少m?设通道的宽为m,由题意列得方程
练:2(2015广元)李明准备进行如下操作实验:把一根长40cm的铗丝剪成两段,并把每段首尾相连各围成一个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于58,李明应该怎么剪这根铁丝?
(2)李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48.你认为他的说法正确吗?请说明理由.
例6、(2015淮安)水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤,然后以每斤4元的价格出售,每天可售出100斤,通过调查发现,这种水果每斤的售价每降低0.1元,每天可多售出20斤,为保证每天至少售出260斤,张阿姨决定降价销售.
(1)若将这种水果每斤的售价降低x元,则每天的销售量是 斤(用含x的代数式表示);
(2)销售这种水果要想每天盈利300元,张阿姨需将每斤的售价降低多少元?
例7、(16湖北宜昌)某蛋糕产销公司A品牌产销线,2015年的销售量为9.5万份,平均每份获利1.9元,预计以后四年每年销售量按5000份递减,平均每份获利按一定百分数逐年递减;受供给侧改革的启发,公司早在2104年底就投入资金10.89万元,新增一条B品牌产销线,以满足市场对蛋糕的多元需求,B
品牌产销线2015年的销售量为1.8万份,平均每份获利3元,预计以后四年销售量按相同的份数递增,且平均每份获利按上述递减百分数的2倍逐年递增;这样,2016年,A、B两品牌产销线销售量总和将达到11.4万份,B品牌产销线2017年销售获利恰好等于当初的投入资金数.
(1)求A品牌产销线2018年的销售量;
(2)求B品牌产销线2016年平均每份获利增长的百分数.
例8(15孝感市)某服装公司招工广告承诺:熟练工人每月工资至少3000元.每天工作8小时,一个月工作25天.月工资底薪800元,另加计件工资.加工1件型服装计酬16元,加工1件型服装计酬12元.在工作中发现一名熟练工加工1件型服装和2件型服装需4小时,加工3件型服装和1件型服装需7小时.(工人月工资=底薪+计件工资)
(1) 一名熟练工加工1件型服装和1件型服装各需要多少小时?(4分)
(2)一段时间后,公司规定:“每名工人每月必须加工,两种型号的服装,且加工型服装数量不少于型服装的一半”.设一名熟练工人每月加工型服装件,工资总额为元.请你运用所学知识判断该公司在执行规定后是否违背了广告承诺?(5分)
例9(2015遂宁)阅读下列材料,并用相关的思想方法解决问题.
计算:.
解:令,则原式===
问题:(1)计算
;
(2)解方程.
练习:(2015届山东省聊城市中考模拟)对于实数a,b,定义运算“﹡”:a﹡b=.例如 4﹡2,因为4>2,所以4﹡2=42-4×2=8.若x1,x2是一元二次方程x2-5x+6=0的两个根,则x1 ﹡x2= .
【分类练习】
一元二次方程的定义:
1. (2015•本溪)关于x的一元二次方程(k﹣1)x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是_____________.
2. 若x=2是关于x的方程x2﹣x﹣+5=0的一个根,则a的值为 _______.
3.已知关于x的一元二次方程x2+x+m2﹣2m=0有一个实数根为﹣1,求m的值及方程的另一实根.
4.(2016·四川攀枝花)若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2=0的一个根,则a的值为( )
A.﹣1或4 B.﹣1或﹣4 C.1或﹣4 D.1或4
5.(2016•枣庄)已知关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣2,则另一个根为( )
A.5 B.﹣1 C.2 D.﹣5
二、解一元二次方程
1、(2015·湖北省随州市)用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0,下列变形正确的是( )
A.
(x﹣6)2=﹣4+36
B.
(x﹣6)2=4+36
C.
(x﹣3)2=﹣4+9
D.
(x﹣3)2=4+9
2、(2012年吉林省)若方程,则=______.
3、(2015•通辽)菱形ABCD的一条对角线长为6,边AB的长为方程y2﹣7y+10=0的一个根,则菱形ABCD的周长为( )
A. 8 B. 20 C. 8或20 D. 10
4.(2015•山东泰安)方程:(2x+1)(x﹣1)=8(9﹣x)﹣1的根为___________
5. (2011·济宁)已知关于x的方程x2+bx+a=0的一个根是-a(a≠0),则a-b值为______.
A.-1 B.0 C.1 D.2
6、用合适的方法解方程:
x(x-2)+x-2=0
三、根与系数之间的关系
1.(2016•雅安) 已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣8=0的一个实数根为2,则另一实数根及m的值分别为( )
A.4,﹣2 B.﹣4,﹣2 C.4,2 D.﹣4,2
2.(2015•怀化)设x1,x2是方程x2+5x﹣3=0的两个根,则x12+x22的值是( )
A. 19 B. 25 C. 31 D. 30
3、(2016•烟台)若x1,x2是一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的两个根,则x12﹣x1+x2的值为( )
A.﹣1 B.0 C.2 D.3
4、(2015•枣庄)已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2,x2=4,则m+n的值是( )
A.
﹣10
B.
10
C.
﹣6
D.
2
5、(2012黑龙江)设,是方程的两个不相等的实数根,的值________
6、(2012山东日照)已知x1、x2是方程2x2+14x-16=0的两实数根,那么的值为__________
7.(2015•曲靖)一元二次方程x2﹣5x+c=0有两个不相等的实数根且两根之积为正数,若c是整数,则c=__________(只需填一个).
8.(2015•鄂州)关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等实根x1,x2.
(1)求实数k的取值范围.
(2)若方程两实根x1,x2满足|x1|+|x2|=x1•x2,求k的值.
四、 根的判别式
1. (2016泰安)一元二次方程(x+1)2﹣2(x﹣1)2=7的根的情况是( )
A.无实数根 B.有一正根一负根 C.有两个正根 D.有两个负根
2. (2016福州)下列选项中,能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c=0一定有实数根的是( )
A.a>0 B.a=0 C.c>0 D.c=0
3.(2015•温州)若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根,则c的值是( )
A.﹣1 B. 1 C. ﹣4 D. 4
4.(2015•四川凉山州)关于x的一元二次方程(m﹣2)x2+2x+1=0有实数根,则m的取值范围是( )
A.m≤3 B. m<3 C. m<3且m≠2 D. m≤3且m≠2
5、(2015江苏连云港)已知关于x的方程x2-2x+3k=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( )
A.k< B.k>- C.k<且k≠0 D.k>-且k≠0
7.(2015•青海西宁)若矩形的长和宽是方程程2x2﹣16x+m=0(0<m≤32)的两根,则矩形的周长为 __________
8.(2015•甘肃庆阳)已知关于x的一元二次方程mx2+mx+m﹣1=0有两个相等的实数根.
(1)求m的值;
(2)解原方程.
9. (2015•江苏泰州)已知:关于x的方程x2+2mx+m2﹣1=0
(1)不解方程,判别方程根的情况;
(2)若方程有一个根为3,求m的值.
五、一元二次方程的应用
1.(2015•衡阳)绿苑小区在规划设计时,准备在两幢楼房之间,设置一块面积为900平方米的矩形绿地,并且长比宽多10米.设绿地的宽为x米,根据题意,可列方程为( )
A. x(x﹣10)=900 B. x(x+10)=900 C. 10(x+10)=900 D. 2[x+(x+10)]=900
2、(2012甘肃兰州)兰州某广场准备修建一个面积为200平方米的矩形草坪,它的长比宽多10米,设草坪的宽为x米,则可列方程为( )
A. x(x-10)=200 B. 2x+2(x-10)=200 C. 2x+2(x+10)=200 D. x(x+10)=200
3.(2016•台州)有x支球队参加篮球比赛,共比赛了45场,每两队之间都比赛一场,则下列方程中符合题意的是( )
A. x(x﹣1)=45 B. x(x+1)=45 C.x(x﹣1)=45 D.x(x+1)=45
4.(2015•宁夏)如图,某小区有一块长为18米,宽为6米的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为60米2,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道.若设人行道的宽度为x米,则可以列出关于x的方程是( )
A. x2+9x﹣8=0 B. x2﹣9x﹣8=0 C. x2﹣9x+8=0 D. 2x2﹣9x+8=0
4、如图4所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动,点Q从C点出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动.
(1)如果P、Q同时出发,几秒钟后,可使△PCQ的面积为8平方厘米?
(2)点P、Q在移动过程中,是否存在某一时刻,使得△PCQ的面积等于△ABC的面积的一半.若存在,求出运动的时间;若不存在,说明理由.
5.(2015•长沙)现代互联网技术的广泛应用,催生了快递行业的高度发展,据调查,长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司,今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件,现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同.
(1)求该快递公司投递总件数的月平均增长率;
(2)如果平均每人每月最多可投递0.6万件,那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务?如果不能,请问至少需要增加几名业务员?
6.(2014•重庆A)为丰富居民业余生活,某居民区组建筹委会,该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室.经预算,一共需要筹资30000元,其中一部分用于购买书桌、书架等设施,另一部分用于购买书刊.
(1)筹委会计划,购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍,问最多用多少资金购买书桌、书架等设施?
(2)经初步统计,有200户居民自愿参与集资,那么平均每户需集资150元.镇政府了解情况后,赠送了一批阅览室设施和书籍,这样,只需参与户共集资20000元.经筹委会进一步宣传,自愿参与的户数在200户的基础上增加了a%(其中a>0).则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了a%,求a的值.
参考答案:
例3解:⑴①当k-1=0即k=1时,方程为一元一次方程2x=1,
x=1/2有一个解; (2分)
②当k-1≠0即k≠1时,方程为一元二次方程,
△=(2k)²-4×2(k-1)=4k²-8k+8=4(k-1) ² +4>0
方程有两不等根
综合①②得不论k为何值,方程总有实根 (4分)
⑵∵x ₁+x ₂=-2k/ k-1 ,x ₁ x ₂=2 /k-1, (1分)
∴s= (x ₁ ²+ x ₂ ²)/x ₁ x ₂+(x ₁+x ₂ )
=[ ( x ₁+x ₂) ²-2 x ₁ x ₂ ]/ x ₁ x ₂+(x ₁+x ₂)
=(4k²-8k+4)/2(k-1)=2 (2分)
k²-3k+2=0
k ₁=1 k ₂=2 (3分)
∵方程为一元二次方程,k-1≠0
∴k ₁=1 应 舍去
∴当k=2时,S的值为2
∴S的值能为2,此时k的值为2.
例4解:(1)设增长率为x,根据题意2015年为2900(1+x)万元,2016年为2900(1+x)2万元.
则2900(1+x)2=3509,
解得x=0.1=10%,或x=﹣2.1(不合题意舍去).
答:这两年投入教育经费的平均增长率为10%.
(2)2018年该地区投入的教育经费是3509×(1+10%)2=4245.89(万元).
4245.89<4250,
答:按(1)中教育经费投入的增长率,到2018年该地区投入的教育经费不能达到4250万元.
练习解:(1)设每个站点造价x万元,自行车单价为y万元.根据题意可得:
解得:
答:每个站点造价为1万元,自行车单价为0.1万元.
(2)设2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为a.
根据题意可得:720(1+a)2=2205
解此方程:(1+a)2=,
即:,(不符合题意,舍去)
答:2016年到2018年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为75%.
例5解:(1)根据题意可知,横彩条的宽度为xcm,
∴y=20×x+2×12•x﹣2×x•x=﹣3x2+54x,
即y与x之间的函数关系式为y=﹣3x2+54x;
(2)根据题意,得:﹣3x2+54x=×20×12,
整理,得:x2﹣18x+32=0,
解得:x1=2,x2=16(舍),
∴x=3,
答:横彩条的宽度为3cm,竖彩条的宽度为2cm.
例6解:(1)9.5﹣(2018﹣2015)×0.5=8(万份);
答:品牌产销线2018年的销售量为8万份;
(2)设A品牌产销线平均每份获利的年递减百分数为x,B品牌产销线的年销售量递增相同的份数为k万份;
根据题意得:,
解得:,或(不合题意,舍去),
∴,
∴2x=10%;
答:B品牌产销线2016年平均每份获利增长的百分数为10%.
例7解:(1)设熟练工加工1件A型服装需要x小时,加工1件B型服装需要y小时.
由题意得:,
解得:…(3分)
答:熟练工加工1件A型服装需要2小时,加工1件B型服装需要1小时.
(2)当一名熟练工一个月加工A型服装a件时,则还可以加工B型服装(25×8﹣2a)件.
∴W=16a+12(25×8﹣2a)+800,
∴W=﹣8a+3200,
又∵a≥,
解得:a≥50,
∵﹣8<0,
∴W随着a的增大则减小,
∴当a=50时,W有最大值2800.
∵2800<3000,
∴该服装公司执行规定后违背了广告承诺.
6解:(1)设用于购买书桌、书架等设施的为x元,则购买书籍的有(30000﹣x)元,
根据题意得:30000﹣x≥3x,
解得:x≤7500.
答:最多用7500元购买书桌、书架等设施;
(2)根据题意得:200(1+a%)×150(1﹣a%)=20000
整理得:a2+10a﹣3000=0,
解得:a=50或a=﹣60(舍去),
所以a的值是50.