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  • 2021-05-10 发布

全国各地中考数学压轴题专集答案平行四边形矩形菱形正方形梯形

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2012 年全国各地中考数学压轴题专集答案 七、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形 1.(天津)已知一个矩形纸片 OACB,将该纸片放置在平面直角坐标系中,点 A(11,0),点 B(0,6), 点 P 为 BC 边上的动点(点 P 不与点 B、C 重合),经过点 O、P 折叠该纸片,得点 B′ 和折痕 OP.设 BP =t. (Ⅰ)如图①,当∠BOP=30°时,求点 P 的坐标; (Ⅱ)如图②,经过点 P 再次折叠纸片,使点 C 落在直线 PB′ 上,得点 C′ 和折痕 PQ,若 AQ=m,试用 含有 t 的式子表示 m; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,当点 C′ 恰好落在边 OA 上时,求点 P 的坐标(直接写出结果即可). 解:(Ⅰ)根据题意,∠OBP=90°,OB=6 在 Rt△OBP 中,由∠BOP=30°,BP=t,得 OP=2t 根据勾股定理,OP 2=OB 2+BP 2 即(2t)2=6 2+t 2,解得 t=2 3(t=-2 3舍去). ∴点 P 的坐标为(2 3,6) (Ⅱ)∵△OB′P、△QC′P 分别是由△OBP、△QCP 折叠得到的 ∴△OB′P≌△OBP,△QC′P≌△QCP ∴∠OPB′=∠OPB,∠QPC′=∠QPC ∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°,∴∠OPB+∠QPC=90° ∵∠BOP+∠OPB=90°,∴∠BOP=∠CPQ 又∠OBP=∠C=90°,∴△OBP∽△PCQ,∴ OB PC = BP CQ 由题设 BP=t,AQ=m,BC=11,AC=6,则 PC=11-t,CQ=6-m ∴ 6 11-t = t 6-m ,∴m= 1 6 t2-11 6 t+6(0<t<11) (Ⅲ)点 P 的坐标为(11- 13 3 ,6)或(11+ 13 3 ,6) 提示:过点 P 作 PH⊥OA 于 H 易证△PC′H∽△C′QA,∴ PH AC′ = PC′ C′Q ∵PC′=PC=11-t,PH=OB=6,AQ=m,C′Q=CQ=6-m ∴AC′= C′Q 2-AQ 2 = 36-12m ∴ 6 36-12m = 11-t 6-m ∵ 6 11-t = t 6-m ,即 6 t = 11-t 6-m A B xO y CP B′ 图② C′ Q A B xO y CP B′ 图① A B xO y CP B′ C′ Q A B xO y CP QB H C ∴ 6 36-12m = 6 t ,∴36-12m=t2,即 12m=36-t2 又 m= 1 6 t2-11 6 t+6,即 12m=2t2-22t+72 ∴2t2-22t+72=36-t2,即 3t2-22t+36=0 解得:t=11± 13 3 ∴点 P 的坐标为(11- 13 3 ,6)或(11+ 13 3 ,6) 2.(天津模拟)如图,在梯形 ABCO 中,A(0,2),B(4,2),点 C 为 x 轴正半轴上一动点,M 为线段 BC 中点. (1)设 C(x,0),S△AOM =y,求 y 与 x 的函数关系式; (2)如果以线段 AO 为直径的⊙D 和以 BC 为直径的⊙M 外切,求点 C 的坐标; (2)连接 OB 交线段 AM 于 N,如果以 A、N、B 为顶点的三角形与△OMC 相似,求直线 CN 的解析式. 解:(1)取 OA 中点 D,连接 DM 则 DM= 1 2 (AB+OC)= 1 2 (4+x)= 1 2 x+2 ∴y= 1 2 OA·DM= 1 2 ×2×( 1 2 x+2)= 1 2 x+2 即 y= 1 2 x+2 (2)设⊙M 的半径为 r,⊙M 与 AB 交于点 E,连接 CE 则∠BEC=90°,OC=AE=x,BE=4-x,CE=2 在 Rt△BCE 中,(4-x)2+22=(2r)2 ① 又 DM=1+r=x+4 2 ② 由①、②解得 x= 4 3 ∴点 C 的坐标为(4 3 ,0) (3)延长 AM 交 x 轴于点 F 则△CMF≌△BMA,∴CF=AB=4,OF=x+4 ∵AB∥OF,△ANB∽△FNO,∴ AN NF = AB OF = 4 x+4 ∴AN= 4 x+8 AF= 4 x+8 22+(x+4)2 = 4 x+8 x2+8x+20 ∵DM⊥OA,AD=OD,∴AM=OM ∴∠DAM=∠DOM,∴∠BAN=∠MOC C A B O M x D y C A B O M x D y E N ①若 AB AN = OM OC ,则△ABN∽△OMC 于是 4 4 x+8 x2+8x+20 = (x+4 2 )2+12 x 整理得:x2+8x-20=0,解得:x1=-10(舍去),x2=2 ∴C(2,0),F(6,0) 可得直线 AF 的解析式为 y=- 1 3 x+2,直线 OB 的解析式为 y= 1 2 x 由 y=- 1 3 x+2 y= 1 2 x 解得 x=12 5 y= 6 5 ∴N(12 5 ,6 5 ) 设直线 CN 的解析式为 y=kx+b,则: 12 5 k+b= 6 5 2k+b=0 解得 k=3 b=-6 ∴直线 CN 的解析式为 y=3x-6 ②若 AB AN = OC OM ,则△ABN∽△OCM 于是 4 4 x+8 x2+8x+20 = x (x+4 2 )2+12 整理得:x+8=2x,解得:x=8 ∴C(8,0),F(12,0) 可得直线 AF 的解析式为 y=- 1 6 x+2,直线 OB 的解析式为 y= 1 2 x 由 y=- 1 6 x+2 y= 1 2 x 解得 x=3 y= 3 2 ∴N(3,3 2 ) 设直线 CN 的解析式为 y=k′x+b′,则: 3k′+b′= 3 2 8k′+b′=0 解得 k′=- 3 10 b′=12 5 ∴直线 CN 的解析式为 y=- 3 10 x+12 5 3.(上海模拟)在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=3,E 是 AB 边上一点(与 A、B 不重合),EF⊥CE 交 AD 于点 F,过点 E 作∠AEH=∠BEC,交射线 FD 于点 H,交射线 CD 于点 N. (1)如图 1,当点 H 与点 F 重合时,求 BE 的长; (2)如图 2,当点 H 在线段 FD 上时,设 BE=x,DN=y,求 y 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; (3)连接 AC,当△FHE 与△AEC 相似时,求线段 DN 的长. C A B O M x D y N F C A B O M x D y N F A E B F(H) A BE F H A E B F 解:(1)∵EF⊥EC,∴∠AEF+∠BEC=90° ∵∠AEH=∠BEC,∴∠BEC=45° ∵∠B=90°,∴BE=BC ∵BC=3,∴BE=3 (2)过点 E 作 EG⊥CN,垂足为点 G ∴BE=CG ∵AB∥CN,∴∠AEH=∠N,∠BEC=∠ECN ∵∠AEH=∠BEC,∴∠N=∠ECN,∴EN=EC ∴CN=2CG=2BE ∵BE=x,DN=y,CD=AB=4 ∴y=2x-4(2≤x≤3) (3)∵∠A=90°,∴∠AFE+∠AEF=90° ∵EF⊥EC,∴∠AEF+∠BEC=90° ∴∠AFE=∠BEC,∴∠HFE=∠AEC 当△FHE 与△AEC 相似时 ①若∠FHE=∠EAC ∵∠BAD=∠B,∠AEH=∠BEC ∴∠FHE=∠ECB,∴∠EAC=∠ECB ∴tan∠EAC=tan∠ECB,∴ BC AB = BE BC ∴ 3 4 = BE 3 ,∴BE= 9 4 ,∴DN= 1 2 ②若∠FHE=∠ECA,作 EG⊥CN 于 G,交 AC 于 O ∵EN=EC,EG⊥CN,∴∠1=∠2 ∵AH∥EG,∴∠FHE=∠1,∴∠FHE=∠2 ∴∠2=∠ECA,∴OE=OC 设 OE=OC=3k,则 AE=4k,AO=5k ∴AO+OC=8k=5,∴k= 5 8 ∴AE= 5 2 ,BE= 3 2 ,∴CN=3,∴DN=1 综上所述:线段 DN 的长为 1 2 或 1 4.(上海模拟)已知在梯形 ABCD 中,AB∥DC,AD=2DE,CE=2BE,∠ADE=∠ECD,DE=CE=4. (1)如图 1,求证:DE∥CB; (2)如图 2,点 F 是线段 EB 上一动点(不与 E 重合),连接 CF 并延长交 DE 的延长线于点 G,设 EF=x, DG=y,求 y 与 x 的函数关系式; A B H N CD F E CC 1 2 A B H CD F E N G O A BE N D C F H G (3)点 P 是线段 AE 上一动点(不与 E 重合),连接 CP 交 DE 于点 Q,当△PQE 是等腰三角形时,求 AP 的长. (1)证明:∵AB∥DC,∴∠CEB=∠ECD ∵∠ADE=∠ECD,∴∠ADE=∠CEB ∵AD=2DE,CE=2BE,∴ AD DE = CE BE ∴△ADE∽△CEB,∴∠AED=∠B ∴DE∥CB (2)解:∵AB∥DC,DE∥CB ∴四边形 DEBC 是平行四边形,∴DE=BC ∵DE=CE=4,∴BC=4 ∵CE=2BE,∴BE=2 ∵DG∥CB,∴ EG BC = EF BF 即 y-4 4 = x 2-x ∴y= 8 2-x (0<x<2) (3)解:①当 PE=QE 时 ∵PE∥DC,∴ DC EP = DQ EQ ∴DC=DQ ∵四边形 DEBC 是平行四边形,∴DC=BE=2 ∴DQ=2 ∵△ADE∽△CEB,DE=CE=CB=4,BE=2 ∴AE=AD=8 ∴PE=QE=DE-DQ=4-2=2 ∴AP=8-2=6 ②当 PE=PQ 时 则∠PQE=∠PEQ C A D E B 图 2 F G C A D E B 图 1 C A D E B 备用图 C A D E B Q P C A D E B Q P ∵AE=AD,∴∠ADE=∠PEQ ∴∠PQE=∠ADE,∴AD∥PC ∴四边形 APCD 是平行四边形 ∴AP=DC=2 ③当 PQ=EQ 时 则∠QPE=∠QEP=∠CBE=∠CEB 此时点 P 与点 E 重合,△PQE 不存在 综上所述,当△PQE 是等腰三角形时,AP 的长为 6 或 2 5.(上海模拟)如图,在梯形 ABCD 中,AB∥DC,∠D=90°,AB=3,DC=6,BC=5.点 E 是边 DC 上 任意一点,点 F 在边 AB 的延长线上,且 AE=AF,连接 EF,与边 BC 相交于点 G. (1)设 BF=x,DE=y,求 y 关于 x 的函数关系式,并确定自变量 x 的取值范围; (2)当四边形 BECF 是平行四边形时,求 BF 的长; (3)当点 E 在边 DC 上移动时,△BFG 能否成为等腰三角形?如果能,求 BF 的长;如果不能,请说明 理由. 解:(1)∵AB∥DC,∠D=90°,AB=3,DC=6,BC=5 ∴AD=4 在 Rt△ADE 中,AD 2+DE 2=AE 2 ∵BF=x,∴AF=AB+BF=3+x ∵AE=AF=3+x,DE=y,∴42+y2=(3+x)2 ∴y= x2+6x-7 当 E 与 D 重合时,y=0,则 x=AD-AB=1 当 E 与 C 重合时,AC= AD 2+DC 2 =2 13 ,x=2 13 -3 ∴1≤x≤2 13 -3 (2)∵BF∥EC,∴若四边形 BECF 是平行四边形,只需 BF=EC ∴x=6- x2+6x-7,解得 x= 43 18 即 BF 的长为 43 18 (3)①若 BF=BG,则∠BGF=∠BFG=∠AEF ∴BG∥AE,∴ BF AB = FG EG ∵AB∥CD,∴ BF EC = FG EG ∴ BF AB = BF EC ,∴EC=AB=3,DE=DC-EC=3 ∵AD=4,∴AE=AF=5,∴BF=AF-AB=2 ②若 BG=FG,过 G 作 AD 的平行线,分别交 BF、EC 于点 M、N 则 MN⊥AB,四边形 ADNM 是矩形 A B D C 备用图 A B D CE F G ∴AM=DN,BM= 1 2 BF= 1 2 x ∵BG=FG,AB∥DC,∴EG=CG ∴EN= 1 2 EC= 1 2 (DC-DE)= 1 2 (6-y)=3- 1 2 y ∴3+ 1 2 x=y+3- 1 2 y,∴x=y ∴x= x2+6x-7,解得 x= 7 6 ,即 BF= 7 6 ③若 BF=FG,过 F 作 FH⊥BG 于 H,过 E 作 EK⊥GC 于 K 则 BG=2BH=2BF·cos∠FBG=2BF·cos∠C=2x· 3 5 = 6 5 x ∴GC=5- 6 5 x ∵BF=FG,∴∠FBG=∠FGB=∠EGC ∵AB∥DC,∴∠FBG=∠C ∴∠EGC=∠C,∴EC=EG ∴KC= 1 2 GC= 5 2 - 3 5 x ∵cos∠C= KC EC = 3 5 ,∴KC= 3 5 EC ∴ 5 2 - 3 5 x= 3 5 (6- x2+6x-7),解得 x=373 84 当 x=373 84 时, 5 2 - 3 5 x= 5 2 - 3 5 ×373 84 =- 23 140 <0 ∴x=373 84 不合题意,应舍去 综上所述,△BFG 能成为等腰三角形,BF 的长为 2 或 7 6 6.(上海模拟)有一张矩形纸片 ABCD,已知 AB=2,AD=5,把这张纸片折叠,使点 A 落在边 BC 上的 点 E 处,折痕为 MN(MN 交 AB 于 M,交 AD 于 N). (1)如图 1,当 BE= 2 时,求 AM 的长; (2)当点 E 在 BC 上运动时,设 BE=x,AN=y,求 y 关于 x 的函数关系式,并确定函数的定义域; (4)连接 DE,是否存在这样的点 E,使△AME 与△DNE 相似?若存在,求出此时 BE 的长,若不存在, 请说明理由. 解:(1)设 BM=a,∵AB=2,∴ME=AM=2-a 在 Rt△BME 中,BM 2+BE 2=ME 2 ∴a2+2=(2-a)2,∴a= 1 2 A B D CE F G H K A B D CE F G M N A B D C 备用图 A B D C N E M 图 1 A B D C 备用图 ∴AM= 3 2 (2)设 BM=a,∵BE=x,∴a2+x2=(2-a)2 ∴a=4-x2 4 ,∴AM=2- 4-x2 4 =4+x2 4 延长 NM 交 CB 延长线于点 F ∵∠F=∠ANM=∠ENM,∴EF=EN=AN=y ∴BF=y-x ∵△BFM∽△ANM,∴ BF AN = BM AM ∴ y-x y = 4-x2 4 4+x2 4 ,∴y=4+x2 2x 由 0<x≤2 0< 4+x2 2x ≤5 解得 5- 21≤x≤2 ∴函数的定义域为 5- 21≤x≤2 (3)存在 ∵y=4+x2 2x ≥2 4 2x · x 2 =2≥x,即 AN ≥BE ∴∠DNE≥90° 又∵∠AME≥90°,AM=ME ∴若△AME∽△DNE,则 DN=EN ∴∠NDE=∠NED ∵AM=ME,∴∠MAE=∠MEA ∵AD∥BC,∴∠NDE=∠DEC ∴∠BAE=∠DEC,∴△ABE∽△ECD ∴ AB EC = BE CD ,∴ 2 5-x = x 2 解得 x1=4(舍去),x2=1 ∴BE=1 ∴存在点 E,使△AME 与△DNE 相似,此时 BE 的长为 1 7.(上海模拟)如图,在边长为 6 的正方形 ABCD 的两侧作正方形 BEFG 和正方形 DMNK,恰好使得 N、 A、F 三点在一直线上,连接 MF 交线段 AD 于点 P,连接 NP,设正方形 BEFG 的边长为 x,正方形 DMNK 的边长为 y. (1)求 y 关于 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围; (2)当△NPF 的面积为 32 时,求 x 的值; (3)以 P 为圆心,AP 为半径的圆能否与以 G 为圆心,GF 为 半径的圆相切?如果能,请求出 x 的值,如果不能,请说明理 由. 解:(1)∵正方形 BEFG、正方形 DMNK、正方形 ABCD ∴∠E=∠F=90O ,AE∥MC,MC∥NK ∴AE∥NK,∴∠KNA=∠EAF N K G C E D F A B P M A B D C N E M F A B D C N E M ∴△KNA∽△EAF,∴ NK EA = KA EF ,即 y x+6 = y-6 x ∴y=x+6(0<x ≤6) (2)由(1)知 NK=AE,∴AN=AF ∵正方形 DMNK,∴AP∥NM,∴ FP PM = AF AN =1 ∴FP=PM,∴S△MNP =S△NPF =32 ∴S 正方形 DMNK =2S△MNP =64 ∴y=8,∴x=2 (3)连接 PG,延长 FG 交 AD 于点 H,则 GH⊥AD 易知:AP= y 2 ,AH=x,PH= y 2 -x,HG=6;PG=AP+GF= y 2 +x ①当两圆外切时 在 Rt△GHP 中,PH 2+HG 2=PG 2,即( y 2 -x)2+62=( y 2 +x)2 解得:x=-3-3 3(舍去)或 x=-3+3 3 ②当两圆内切时 在 Rt△GHP 中,PH 2+HG 2=PG 2,即( y 2 -x)2+62=( y 2 -x)2 方程无解 所以,当 x=3 3-3 时,两圆相切 8.(上海模拟)已知:正方形 ABCD 的边长为 1,射线 AE 与射线 BC 交于点 E,射线 AF 与射线 CD 交于 点 F,∠EAF=45°,连接 EF. (1)如图 1,当点 E 在线段 BC 上时,试猜想线段 EF、BE、DF 有怎样的数量关系?并证明 你的猜想; (2)设 BE=x,DF=y,当点 E 在线段 BC 上运动时(不包括点 B、C),求 y 关于 x 的函数解析式,并指 出 x 的取值范围; (3)当点 E 在射线 BC 上运动时(不含端点 B),点 F 在射线 CD 上运动.试判断以 E 为圆心,以 BE 为 半径的⊙E 和以 F 为圆心,以 FD 为半径的⊙F 之间的位置关系; (4)如图 2,当点 E 在 BC 的延长线上时,设 AE 与 CD 交于点 G.问:△EGF 与△EFA 能否相似?若能 相似,求出 BE 的长,若不可能相似,请说明理由. (1)猜想:EF=BE+DF 证明:将△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°,得△ABF′,易知点 F′、B、E 在同一直线上(如.图 1) ∵AF′=AF A B D CE F 图 1 A B D C E F G 图 2 A D F 1 2 ∠F′AE=∠1+∠3=∠2+∠3=90°-45°=45°=∠EAF 又 AE=AE,∴△AF′E≌△AFE ∴EF=F′E=BE+BF=BE+DF (2)在 Rt△EFC 中,EC 2+FC 2=EF 2 ∵EC=1-x,FC=1-y,EF=x+y ∴(1-x)2+(1-y)2=(x+y)2 ∴y= 1-x 1+x (0<x <1) (3)①当点 E 在点 B、C 之间时,由(1)知 EF=BE+DF,故此时⊙E 与⊙F 外切; ②当点 E 在点 C 时,DF=0,⊙F 不存在. ③当点 E 在 BC 延长线上时,将△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°,得△ABF′(如图 2) 则 AF′=AF,∠1=∠2,BF′=DF,∠F′AF=90° ∴∠F′AE=∠EAF=45° 又 AE=AE,∴△AF′E≌△AFE ∴EF=EF′=BE-BF′=BE-DF ∴此时⊙E 与⊙F 内切 综上所述,当点 E 在线段 BC 上时,⊙E 与⊙F 外切;当点 E 在 BC 延长线上时,⊙E 与⊙F 内切 (4)△EGF 与△EFA 能够相似,只要当∠EFG=∠EAF=45°即可 此时 CE=CF 设 BE=x,DF=y,由(3)知 EF=x-y 在 Rt△CFE 中,CE 2+CF 2=EF 2 ∴(x-1)2+(1+y)2=(x-y)2 ∴y= x-1 x+1 (x >1) 由 CE=CF,得 x-1=1+y,即 x-1=1+ x-1 x+1 化简得 x2-2x-1=0,解得 x1=1- 2(舍去),x2=1+ 2 ∴△EGF 与△EFA 能够相似,此时 BE 的长为 1+ 2 9.(上海模拟)如图,在等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=CD=2,AD=1,连接 BD,作∠EBC=∠ABD, 交边 CD 于 E. (1)设 BC=x,CE=y,求 y 关于 x 的函数关系式,并写出函数的定义域; (2)当 BE⊥CD 时,求 BC 的长; (3)当△BDE 是等腰三角形时,求 BC 的长. 解:(1)延长 AD、BE 交于点 F ∵DF∥BC,∴∠F=∠EBC,∠EDF=∠ECB ∴△DEF∽△CEB,∴ DF BC = DE CE 即 DF x = 2-y y ,∴DF= x(2-y) y ∵∠F=∠EBC,∠EBC=∠ABD,∴∠F=∠ABD A B D C E F G 图 2 F′ 1 2 D B A C E D B A C E F 又∠A=∠A,∴△ABF∽△ADB ∴ AF AB = AB AD ,即 AF 2 = 2 1 ,∴AF=4 ∵AD+DF=AF,∴1+ x(2-y) y =4 ∴y= 2x x+3 (0<x<5 且 x≠1) (2)当 BE⊥CD 时,过 D 作 DG⊥BC 于 G 则△DGC∽△BEC,∴ DC GC = BC CE 即 2 1 2 (x-1) = x 2x x+3 ,解得 x=2 3-1(舍去负值) ∴此时 BC 的长为 2 3-1 (3)∵∠DBE<∠ABC=∠C<∠DEB,∴DB>DE ①当 BD=BE 时 ∵△ABF∽△ADB,∴ BF BD = AB AD = 2 1 ∴BF=2BD=2BE,∴BE=EF ∴△DEF∽△CEB,∴CE=DE= 1 2 CD=1 即 2x x+3 =1,解得 x=3 ②当 BE=DE 时,则∠BDE=∠DBE ∴∠BEC=2∠DBE 过 D 作 DH⊥BC 于 H 则∠C=∠ABC=∠ABD+∠DBE+∠EBC=2∠EBC+∠DBE 在△BEC 中,∠BEC+∠EBC+∠C=180° ∴2∠DBE+∠EBC+2∠EBC+∠DBE=180° ∴DBE+∠EBC=60°,即∠DBC=60° ∵HC= 1 2 (x-1),∴BH=x- 1 2 (x-1)= 1 2 (x+1) ∴DH= 3BH= 3 2 (x+1) 在 Rt△DHC 中,DH 2+HC 2=DC 2 ∴ 3 4 (x+1)2+ 1 4 (x-1)2=4,解得 x= 13-1 2 ∴当△BDE 是等腰三角形时,BC 的长为 3 或 13-1 2 10.(重庆)已知:如图,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠B=90°,AD=2,BC=6,AB=3.E 为 BC 边上一点,以 BE 为边作正方形 BEFG,使正方形 BEFG 和梯形 ABCD 在 BC 的同侧. (1)当正方形的顶点 F 恰好落在对角线 AC 上时,求 BE 的长; (2)将(1)问中的正方形 BEFG 沿 BC 向右平移,记平移中的正方形 BEFG 为正方形 B′EFG,当点 E 与 点 C 重合时停止平移.设平移的距离为 t,正方形 B′EFG 的边 EF 与 AC 交于点 M,连接 B′D,B′M,DM.是 否存在这样的 t,使△B′DM 是直角三角形?若存在,求出 t 的值;若不存在,请说明理由; D B A C E G D B A C E F D B A C E H (3)在(2)问的平移过程中,设正方形 B′EFG 与△ADC 重叠部分的面积为 S,请直接写出 S 与 t 之间的 函数关系式以及自变量 t 的取值范围. 解:(1)如图①,设正方形 BEFG 的边长为 x 则 BE=FG=BG=x ∵AB=3,BC=6,∴AG=AB-BG=3-x ∵GF∥BE,∴△AGF∽△ABC ∴ AG AB = GF BC ,即 3-x 3 = x 6 解得 x=2,即 BE=2 (2)存在满足条件的 t,理由如下: 如图②,过 D 作 DH⊥BC 于点 H 则 BH=AD=2,DH=AB=3 由题意得:BB′=HE=t,HB′=|t-2|,EC=4-t 在 Rt△B′ME 中,B′M 2=B′E 2+ME 2=22+(2- 1 2 t)2= 1 4 t 2-2t+8 ∵EF∥AB,∴△MEC∽△ABC ∴ ME AB = EC BC ,即 ME 3 = 4-t 6 ,∴ME=2- 1 2 t 在 Rt△DHB′ 中,B′D 2=DH 2+B′H 2=32+(t-2)2=t 2-4t+13 过 M 作 MN⊥DH 于点 N 则 MN=HE=t,NH=ME=2- 1 2 t ∴DN=DH-NH=3-(2- 1 2 t)= 1 2 t+1 在 Rt△DMN 中,DM 2=DN 2+MN 2= 5 4 t 2+t+1 (ⅰ)若∠DB′M=90°,则 DM 2=B′M 2+B′D 2 即 5 4 t 2+t+1=( 1 4 t 2-2t+8)+(t 2-4t+13),解得 t=20 7 (ⅱ)若∠B′MD=90°,则 B′D 2=B′M 2+DM 2 即 t 2-4t+13=( 1 4 t 2-2t+8)+( 5 4 t 2+t+1),解得 t1=-3+ 17,t2=-3- 17 ∵0≤t≤4,∴t=-3+ 17 (ⅲ)若∠B′DM=90°,则 B′M 2=B′D 2+DM 2 即 1 4 t 2-2t+8=(t 2-4t+13)+( 5 4 t 2+t+1),此方程无解 B A C D B A C D 备用图 B A C D 图① E FG B A C D 图② E FG H B′ M N 综上所述,当 t=20 7 或-3+ 17 时,△B′DM 是直角三角形 (3)当 0≤t≤ 4 3 时,S= 1 4 t 2 当 4 3 ≤t≤2 时,S=- 1 8 t 2+t- 2 3 当 2≤t≤10 3 时,S=- 3 8 t 2+2t- 5 3 当 10 3 ≤t≤4 时,S=- 1 2 t+ 5 2 提示: 当点 F 落在 CD 上时,如图③ FE=2,EC=4-t,DH=3,HC=4 由△FEC∽△DHC,得 FE EC = DH HC 即 2 4-t = 3 4 ,∴t= 4 3 当点 G 落在 AC 上时,点 G 也在 DH 上(即 DH 与 AC 的交点) t=2 当点 G 落在 CD 上时,如图④ GB′=2,B′C=6-t 由△GB′C∽△DHC,得 G′B B′C = DH HC 即 2 6-t = 3 4 ,∴t=10 3 当点 E 与点 C 重合时,t=4 ①当 0≤t≤ 4 3 时,如图⑤ ∵MF=t,FN= 1 2 t ∴S=S△FMN = 1 2 ·t· 1 2 t= 1 4 t 2 ②当 4 3 ≤t≤2 时,如图⑥ ∵PF=t- 4 3 ,FQ= 3 4 PF= 3 4 t-1 ∴S△FPQ = 1 2 ( t- 4 3 )( 3 4 t-1)= 3 8 t 2-t+ 2 3 ∴S=S△FMN -S△FPQ = 1 4 t 2-( 3 8 t 2-t+ 2 3 )=- 1 8 t 2+t- 2 3 ③当 2≤t≤10 3 时,如图⑦ ∵B′M= 1 2 B′C= 1 2 ( 6-t)=3- 1 2 t ∴GM=2-( 3- 1 2 t)= 1 2 t-1 B A C D 图⑤ E FG B′ M N B A C D 图⑥ E FG B′ M N P Q B A C D 图⑦ E FG B′ P QM N B A C D 图③ E FG B′ H B A C D 图④ E FG B′H ∴S 梯形 GMNF = 1 2 ( 1 2 t-1+ 1 2 t)×2=t-1 ∴S=S 梯形 GMNF -S△FPQ =( t-1)-( 3 8 t 2-t+ 2 3 )=- 3 8 t 2+2t- 5 3 ④当 10 3 ≤t≤4 时,如图⑧ ∵PB′= 3 4 B′C= 3 4 ( 6-t)= 9 2 - 3 4 t ∴GP=2-( 9 2 - 3 4 t)= 3 4 t- 5 2 ∴S 梯形 GPQF = 1 2 ( 3 4 t- 5 2 + 3 4 t-1)×2= 3 2 t- 7 2 ∴S=S 梯形 GMNF -S 梯形 GPQF =( t-1)-( 3 2 t- 7 2 )=- 1 2 t+ 5 2 11.(浙江金华、丽水)如图,在直角梯形 ABCD 中,∠A=90°,∠B=120°,AD= 3,AB=6.在底边 AB 上取点 E,在射线 DC 上取点 F,使得∠DEF=120°. (1)当点 E 是 AB 的中点时,求线段 DF 的长; (2)若射线 EF 经过点 C,求 AE 的长; (3)设 AE=x,CF=y,求 y 关于 x 的函数关系式,并写 出自变量 x 的取值范围. 解:(1)过 E 作 EG⊥DF 于 H,则 EG=A D= 3 ∵E 是 AB 的中点,AB=6,∴DG=3, ∴∠DEG=60° ∵∠DEF=120°,∴∠FEG=∠DEG=60° ∴GF=3,∴DF=6 (2)过 B 作 BG⊥DC 于 G,则四边形 ABGD 是矩形 ∴BG=AD= 3 ∵AB∥DC,∠ABC=120°,∴∠BCD=60° ∴BC= BG cos60° =2 在 AB 上截取 AH=1,连接 DH 则 DH=2,∠AHD=60°,∴∠DHE=120° ∴∠1+∠2=60° ∵∠DEC=120°,∴∠2+∠3=60° ∴∠1=∠3 又∠DHE=∠EBC=120°,∴△DHE∽△EBC,∴ HE BC = DH EB 设 AE=x,则 HE=x-1,EB=6-x ∴ x-1 2 = 2 6-x ,解得 x1=2,x2=5 ∴若射线 EF 经过点 C,则 AE 的长是 2 或 5 (3)①当点 F 在线段 DC 上时 过 F 作 FG∥BC 交 AB 于 G,在 AB 上截取 AH=1,连接 DH 则 DH=2,∠AHD=60°,∠DHE=120°,BG=CF=y,EG=6-x-y,GF=BC=2 D A C BE F D A C BE (F) H D A C BE (F)G H 1 2 3 D A C BE FG D A C BE F GH B A C D 图⑧ E FG B′ P Q N M 由(2)知△DHE∽△EGF,∴ HE GF = DH EG ,即 x-1 2 = 2 6-x-y ∴y= (x-2)(x-5) 1-x (2≤x ≤5) ②当点 F 在 DC 的延长线上时 过 F 作 FG∥BC 交 AB 的延长线于 G,在 AB 上截取 AH=1,连接 DH 由△DHE∽△EGF,得 x-1 2 = 2 6-x+y ∴y= (x-2)(x-5) x-1 (1<x <2 或 5<x <6) 12.(浙江嘉兴、舟山)将△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转θ度,并使各边长变为原来的 n 倍,得△AB′C′, 即如图①,∠BAB′=θ, AB′ AB = B′C′ BC = AC′ AC =n,我们将这种变换记为[θ,n]. (1)如图①,对△ABC 作变换[60°, 3]得△AB′C′,则 S△AB′C′ :S△ABC =_________;直线 BC 与直线 B′C′ 所夹的锐角为_________度; (2)如图②,△ABC 中,∠BAC=30°,∠ACB=90°,对△ABC 作变换[θ,n]得△AB′C′,使点 B、C、C′ 在同一直线上,且四边形 ABB′C′ 为矩形,求θ和 n 的值; (3)如图③,△ABC 中,AB=AC,∠BAC=36°,BC=1,对△ABC 作变换[θ,n]得△AB′C′,使点 B、C、 B′ 在同一直线上,且四边形 ABB′C′ 为平行四边形,求θ和 n 的值. 解:(1)3;60 (2)∵四边形 ABB′C′ 是矩形,∴∠BAC′=90° ∴θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC=90°-30°=60° 在 Rt△ABB′ 是中,∠ABB′=90°,∠BAB′=60° ∴n= AB′ AB =2 (3)∵四边形 ABB′C′ 是平行四边形,∴AC′∥BB′ 又∵∠BAC=36°,∴θ=∠CAC′=∠ACB=72° ∴∠C′AB′=∠AB′B=∠BAC=36°,而∠B=∠B ∴△ABC∽△B′BA,∴AB 2=1·( 1+AB) ∴AB=1± 5 2 ∵AB>0,n= B′C′ BC =1+ 5 2 13.(浙江某校自主招生)如图,矩形 ABOD 中,AB=6,AD=8,M 是边 AD 上的点,且 AM :MD=1 :3.点 B A C B′ (图①) C′ B A C B′ (图②) C′ B A C B′ (图③) C′ D A C BE F GH D A C BE F GH E 从点 A 出发,沿 AB 运动到点 B 停止.连接 EM 并延长交射线 OD 于点 F,过 M 作 EF 的垂线交射线 BO 于点 G,连接 EG、FG. (1)设 AE=t 时,△EFG 的面积为 S,求 S 关于 t 的函数关系式,并写出自变量 t 的取值范围; (2)若 P 是 MG 的中点,在 E 点运动的整个过程中,点 P 到 x 轴的距离是否为定值?请说明理由; (3)请直接写出 E 点运动的整个过程中点 P 的运动路线的长. 解:(1)当点 E 与点 A 重合时,t=0 S=S△ABD = 1 2 ×8×6=24 当点 E 与点 A 重合时,0<t≤6 在矩形 ABOD 中,∠A=∠ADO=90° ∴∠MDF=90°,∴∠A=∠MDF ∵∠AME=∠DMF,∴△AME∽△DMF ∴ AM MD = ME MF = 1 3 ∵AD=8,∴AM=2 在 Rt△AME 中,AE=t,AM=2,∴ME= 4+t 2 ∴EF=4ME=4 4+t 2 过 M 作 MN⊥BO 于 N,则∠MNG=90°,∠AMN=90° MN=AB=6=3AM,∴∠AME+∠EMN=90° ∵∠EMG=90°,∴∠NMG+∠EMN=90° ∴∠AME=NMG,∴△AME∽△NMG ∴ ME MG = AM MN = 1 3 ,∴MG=3ME=3 4+t 2 ∴S= 1 2 EF·MG= 1 2 ×4 4+t 2 ×3 4+t 2 =24+6t 2 (2)过 P 作 PH⊥BO 于 H,则 PH∥MN ∵P 是 MG 的中点,∴PH= 1 2 MN=3 ∴点 P 到 x 轴的距离是定值 3 (3)点 P 的运动路线的长为 9 提示:由(2)知,在 E 点运动的整个过程中,点 P 到 x 轴的距离是定值 3 所以点 P 的运动路线是一条平行于 BG 的线段 分别作出 E 与 A 重合、E 与 B 重合时 P 点的位置 P1、P2,则 P1P2 即为 P 点运动路线的长 在 Rt△BMG2 中,∵MG1⊥BG2,∴∠G1MG2=∠MBG1 ∴tan∠G1MG2=tan∠MBG1=3,∴G1G2=3MG1=18 O x y B G A P F E M D O x y B G A P F E M D HN O x y B G2 A M D G1 P1 P2 ∵P1P2 是△MG1G2 的中位线,∴P1P2= 1 2 G1G2=9 即点 P 的运动路线的长为 9 14.(浙江模拟)如图 1,在平面直角坐标系中,矩形 OABC 的顶点 A、C 的坐标分别为 A(5,0),C(0, 3).射线 y=kx 交折线 A-B-C 于点 P,点 A 关于 OP 的对称点为 A′. (1)当点 A′ 恰好在 CB 边上时,求 CA′ 的长及 k 的值; (2)若经过 O、A、A′ 三点的抛物线恰好以 A′ 为顶点,求 k 的值及该抛物线的解析式; (3)如图 2,当点 P 在 AB 边上,点 A′ 在 CB 上方时,连接 A′O、A′P 分别交 CB 边于点 E、F.是否存在 实数 k 使△A′EF≌△BPF?若存在,求出 k 值;若不存在,说明理由; (4)以 OP 为直径作⊙M,则⊙M 与矩形 OABC 最多有_________个公共点,直接写出公共点个数最多时 k 的取值范围. 12.解:(1)当点 A′ 恰好在 CB 边上时,连接 A′O、A′P,如图 1 ∵OA′=OA=5,OC=3 ∴CA′= OA′ 2-OC 2 = 52-32 =4 ∴A′B=CB-CA′=5-4=1 设 PA=x,则 A′P=PA=x,BP=3-x 在 Rt△A′PB 中,A′B 2+BP 2=A′P 2 ∴12+(3-x)2=x 2,解得 x= 5 3 ,∴P(5,5 3 ) ∴k= yP xP = 1 3 (2)连接 A′O、A′P、A′A,设 A′A 交射线 OP 于点 D,如图 2 则 OP 垂直平分 A′A ∵经过 O、A、A′ 三点的抛物线恰好以 A′ 为顶点 ∴由抛物线的对称性可知 A′O=A′A=2A′D ∴∠A′OD=30°,∴∠AOD=∠A′OD=30° ∴PA= 3 3 OA=5 3 3 ,∴P(5,5 3 3 ) ∴k= yP xP = 3 3 可得∠A′OA=60°,∴△A′OA 是等边三角形 ∴点 A′ 的坐标为( 5 2 ,5 3 2 ) 设抛物线的解析式为为 y=a(x- 5 2 )2+ 5 3 2 B A C xO y P A′ 图 1 B A C xO y P A′ 图 2 E F B A C xO y 备用图 B A C xO y P A′ 图 1 B A C xO y P A′ 图 2 D 把 O(0,0)代入上式,得 0=a(0- 5 2 )2+ 5 3 2 解得 a=2 3 5 ∴抛物线的解析式为为 y=-2 3 5 (x- 5 2 )2+5 3 2 (3)假设存在实数 k,使△A′EF≌△BPF,如图 3 ∵∠A′=∠B=90°,∠A′FE=∠BFP ∴A′E=BP,A′F=BF 设 A′E=BP=a,A′F=BF=b 则 A′P=PA=3-a,EF=PF=3-a-b,OE=5-a CE=5-(3-a-b)-b=2+a 在 Rt△OCE 中,OC 2+CE 2=OE 2 ∴3 2+(2+a)2=(5-a)2,解得 a= 6 7 ∴PA=3- 6 7 =15 7 ,∴P(5,15 7 ) ∴k= yP xP = 3 7 (4)以 OP 为直径的⊙M 与矩形 OABC 最多有 6 个公共点 提示:∵∠OAP=90° ∴当点 P 在 AB 边上时,⊙M 经过 O、A、P 三点,如图 4 ∵∠COP<90°,∴⊙M 必与 OC 边交于另一点 又∵⊙M 与 BC 边最多有 2 个公共点 ∴⊙M 与矩形 OABC 最多有 6 个公共点 当点 P 在 BC 边上时,情况亦然 ①当⊙M 与 BC 边相切于点 D 时,连接 DM 并延长交 OA 于 E,如图 5 则 MD⊥BC,∴DE∥AB∥OC,∴DE=OC=3 ∵M 是 OP 的中点,∴E 是 OA 的中点 ∴ME= 1 2 PA 设 PA=x,则 ME= 1 2 x,DM= 1 2 OP= 1 2 x2+52 ∵DM+ME=DE,∴ 1 2 x2+52 + 1 2 x=3 解得 x= 11 12 ,∴P(5,11 12 ) ∴k= yP xP = 11 60 ②当⊙M 与 AB 边相切于点 E 时,连接 EM 并延长交 OC 于 D,如图 6 设 CP=x,则 DM= 1 2 x,ME= 1 2 OP= 1 2 x2+32 ∵DM+ME=DE,∴ 1 2 x+ 1 2 x2+32 =5 解得 x= 91 20 ,∴P( 91 20 ,3) B A C xO y P A′ 图 3 E F B A C xO y P 图 4 M B A C xO y P 图 5 D M E B A C xO y E 图 6 D P M ∴k= yP xP = 60 91 又∵当点 P 与点 B 重合时,⊙M 经过 O、A、B、C 四点,此时 k= 3 5 ∴当⊙M 与矩形 OABC 有 6 个公共点时,k 的取值范围是: 11 60 <k< 60 91 且 k≠ 3 5 15.(浙江模拟)如图,点 A 的坐标为(0,-4),点 B 为 x 轴上一动点,以线段 AB 为边作正方形 ABCD (按逆时针方向标记),正方形 ABCD 随着点 B 的运动而相应变动.点 E 为 y 轴的正半轴与正方形 ABCD 某一边的交点,设点 B 的坐标为(t,0),线段 OE 的长度 为 m. (1)当 t=3 时,求点 C 的坐标; (2)当 t>0 时,求 m 与 t 之间的函数关系式; (3)是否存在 t,使点 M(-2,2)落在正方形 ABCD 的 边上?若存在,请求出所有符合条件的 t 的值;若不存在, 请说明理由. 解:(1)过点 C 作 CF⊥x 轴于 F 则△CFB≌△BOA,得 CF=BO=3,FB=OA=4 ∴点 C 的坐标为(-1,3) (2)当 0<t≤4 时,点 E 为 y 轴的正半轴与 BC 边的交点,如图 1 易证△BOE∽△AOB,得 OE OB = OB OA 即 m t = t 4 ,∴m= 1 4 t2 当 t>4 时,点 E 为 y 轴的正半轴与 CD 边的交点,如图 2 易证△EDA∽△AOB,得 DA OB = EA AB 而 DA=AB,∴AB 2=OB·EA 即 42+t 2=t(m+4),∴m=t+ 16 t -4 (3)存在 当 t≤0 时 ∵正方形 ABCD 位于 x 轴的下方(含 x 轴),∴此时不存在 当 0<t≤4 时 ①若点 M 在 BC 边上,有 t 2 = 4 t+2 解得 t=2 或 t=-4(舍去) ②若点 M 在 CD 边上,有 t-2 4 = 2-(4-t) t 解得 t=2 或 t=4 当 t>4 时 A B D y C O E x A B D y C O E x 图 1 A BD y C O E x 图 2 ①若点 M 在 CD 边上,有 t+ 16 t -4-2 4 = 2 t 解得 t=2(舍去)或 t=4(舍去) ②若点 M 在 AD 边上,有 2- 16 t 4 = 2 t 解得 t=12 综上所述:存在,符合条件的 t 的值为 2、4、12 16.(浙江模拟)如图,直角梯形 OABC 的直角顶点 C 在 x 轴上,C(8 2,0),∠AOC=45°,AB=5 2, 点 D 是 AB 边上的一点,且 AD :BD=2 :3.有一 45°角的顶点 E 在 x 轴上运动,角的一边过点 D,角的另 一边与直线 OA 交于点 F,连接 DF. (1)求点 D 的坐标; (2)若点 E 在 x 轴正半轴上运动,设 CE=x,OF=y,求 y 与 x 的函数关系式; (3)在点 E 的运动过程中,是否存在某一时刻,使得△DEF 成为等腰三角形?若存在,请求出所有符合 条件的点 F 的坐标;若不存在,请说明理由. 解:(1)作 AG⊥OC 于 G,DH⊥OC 于 H,如图 1 ∵∠AOC=45°,∴AG=OG=OC-AB=8 2-5 2=3 2 ∵AB=5 2,AD :BD=2 :3,∴AD=2 2 ∴OH=3 2+2 2=5 2 ∴D(5 2,3 2) (2)①当点 E 在线段 OC 上时,如图 1 连接 DC,则 HC=OC-OH=8 2-5 2=3 2 ∴HC=DH=3 2,∴CD=6,∠DCH=45° ∴∠EDC+∠DEC=135° ∵∠DEF=45°,∴∠FEO+∠DEC=135° ∴∠FEO=∠EDC,又∠EOF=∠DCE=45° ∴△OEF∽△CDE,∴ OF OE = CE CD ,即 y 8 2-x = x 6 ∴y=- 1 6 x2+4 2 3 x ②当点 E 在 OC 延长线上时,如图 2 ∵∠AOC=∠DCO=45°,∴∠EOF=∠DCE ∠CDE+∠CED=45° ∵∠DEF=45°,∴∠CED+∠OEF=45° B E xO y A D F C 图 2 B E xO y A D F C B xO y A D 备用图 C B E xO y A D F C 图 1 G H ∴∠OEF=∠CDE,∴△OEF∽△CDE ∴ OF OE = CE CD ,即 y 8 2+x = x 6 ∴y= 1 6 x2+4 2 3 x (3)①当点 E 在线段 OC 上时 i)若 EF=ED,如图 3,则△OEF≌△CDE ∴OE=CD=6,CE=8 2-6,∴OF=CE=8 2-6 ∴F(8-3 2,8-3 2) ii)若 DF=DE,如图 4,则∠EDF=90° 作 FM⊥AB 于 M,EN⊥AB 于 N 则△DFM≌△EDN,∴DM=EN=3 2,∴M(2 2,3 2) ∴F(2 2,2 2) iii)若 DF=EF,如图 5,则∠DFE=90° 作 FN⊥OC 于 N,交直线 AB 于 M,则△FNE≌△DMF ∴FN=DM 设 ON=x,则 FN=x,MF=3 2-x,DM=5 2-x ∴x=5 2-x,∴x= 5 2 2 ∴F(5 2 2 ,5 2 2 ) ②当点 E 在 OC 延长线上时,如图 2 ∵∠DEF=45°,∠DFE<45°,∠EDF>90° ∴△DEF 不可能是等腰三角形 ③当点 E 在 CO 延长线上时,如图 6 ∵∠DEF=135°,∴只能 EF=ED,此时△OEF≌△CDE ∴OE=CD=6,CE=8 2+6,∴OF=CE=8 2+6 ∴F(-8-3 2,-8-3 2) 综上所述,存在 4 个时刻使得△DEF 成为等腰三角形,点 F 的坐标为: F1(8-3 2,8-3 2),F2(2 2,2 2),F3(5 2 2 ,5 2 2 ),F4(-8-3 2,-8-3 2) 17.(浙江模拟)如图,在平面直角坐标系中,直角梯形 OABC 的顶点 A、B 的坐标分别是(5,0),(3, 2),点 D 在线段 OA 上,BD=BA,点 Q 是线段 BD 上一个动点,点 P 的坐标是(0,3),设直线 PQ 的解 析式为 y=kx+b. (1)求 k 的取值范围; B xO y A D F C 图 3 E B E xO y A D F C 图 4 M N B xO y A D F C 图 5 E M N A B C xO y 图 6 E F D (2)当 k 是取值范围内的最大整数时,若抛物线 y=ax2-5ax 的顶点在直线 PQ、OA、AB、BC 围成的四 边形内部,求 a 的取值范围. 解:(1)∵直线 y=kx+b 经过 P(0,3),∴b=3 ∴直线 PQ 的解析式为 y=kx+3 ∵A(5,0),B(3,2),BD=BA,∴D(1,0) 设线段 BD 的解析式为 y=mx+n(1≤x ≤3) ∴ 3m+n=2 m+n=0 解得 m=1 n=-1 ∴线段 BD 的解析式为 y=x-1(1≤x ≤3) 依题意,得 m=1 y=kx+3 解得 x= 4 1-k ∵1≤x ≤3,∴1≤ 4 1-k ≤3 解得-3≤k ≤- 1 3 (2)∵-3≤k ≤- 1 3 ,且 k 为最大整数,∴k=-1 则直线 PQ 的解析式为 y=-x+3 ∵抛物线 y=ax2-5ax 的顶点坐标是( 5 2 ,-25 4 a),对称轴为 x= 5 2 解方程组 y=-x+3 x= 5 2 得 x= 5 2 y= 1 2 即直线 PQ 与抛物线对称轴的交点坐标为( 5 2 ,1 2 ) ∴ 1 2 <-25 4 a <2,解得- 8 25 <a <- 2 25 18.(浙江模拟)如图,矩形 ABCD 中,AB=1,BC= 3,将矩形 ABCD 绕中心 O 顺时针旋转 90°得到矩 形 A′B′C′D′ (1)求点 A 在旋转过程中所走过的路径的长; (2)求矩形 ABCD 在旋转过程中所扫过的面积; (3)若点 P 为线段 BC 上一点,且使得∠APA′=60°,则满足条件的 点 P 有几个?请你选择一个点 P 求△APA′ 的面积. 解:(1)易知点 A 的路径是以 O 为圆心、以 OA 长为半径、圆心角为 90°的一段圆弧 ∵AB=1,BC= 3,∴AC=2,OA=1 y D A C xO B Q P D B A C O A′B′ C′ D′ ∴点 A 在旋转过程中所走过的路径的长为:π×1×90 180 = π 2 (2)如图,将矩形 ABCD 绕它的对称中心 O 旋转 90°,扫过的面积是图中阴影部分的面积 ∵AB=1,A′D′=BC= 3,∴A′G=DG=BE=C′E= 3-1 2 ∵AB=1,AD= 3 ∴∠ADB=∠DBC=30°,∠OFC=∠A′C′D′=∠BDC=60° ∴∠A′OD=∠BOC′=30° ∴S 阴影=S⊙O -2(S 扇形 BOD -2S△BOE )=S⊙O -2S 扇形 BOD +4S△BOE ) =π×1 2-2×π×1 2×30 360 +4× 1 2 × 3-1 2 × 1 2 = 5 6 π+ 3-1 2 (cm2) (3)满足条件的点 P 有 2 个 提示:在 BC 上取点 P1,使 BP1= 3 3 则∠AP1B=60°,P1H= 3- 3 3 - 3-1 2 = 3 6 + 1 2 A′H= 3- 3-1 2 = 3+1 2 ∴tan∠A′P1H= A′H P1H = 3,∴∠A′P1H=60° ∴∠AP1A′=60° 在 BC 上取点 P2,使 P2H=A′G= 3-1 2 则△A′P2H≌△AA′G,∴A′P2=A′A= A′H 2+P2H 2 = 2 BP2= 3+1 2 - 3-1 2 =1=AB,∴AP2= 2 ∴AP2=A′P2=A′A,∴△AP2A′ 是等边三角形 ∴∠AP2A′=60° 又∵△AP2A′ 的外接圆与 BC 最多有 2 个交点 ∴满足条件的点 P 有 2 个 若求△AP1A′ 的面积 ∵S 梯形 ABHA′ = 1 2 ×(1+ 3+1 2 )× 3+1 2 = 3 2 + 3 4 ,S△ABP1 = 1 2 ×1× 3 3 = 3 6 S△A′P1H = 1 2 ×( 3 6 + 1 2 )× 3+1 2 = 3 6 + 1 4 ∴S△AP1A′ =S 梯形 ABHA′ -S△ABP1 -S△A′P1H = 3 6 + 1 2 若求△AP2A′ 的面积 则 S△AP2A′ = 1 2 × 2× 3 2 × 2= 3 2 19.(江苏连云港)已知梯形 ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,AD=1,AB=2,BC=3. 问题 1:如图 1,P 为 AB 边上一点,以 PD,PC 为边作平行四边形 PCQD.请问对角线 PQ,DC 的长能否 D B A O C C′ D′ A′B′ E F O G D B A C C′ D′ A′B′ E P1 P2 H G 相等,为什么? 问题 2:如图 2,若 P 为 AB 边上任意一点,以 PD,PC 为边作平行四边形 PCQD.请问对角线 PQ 的长是 否存在最小值?如果存在,请求出最小值;如果不存在,请说明理由. 问题 3:若 P 为 AB 边上任意一点,延长 PD 到 E,使 DE=PD,再以 PE,PC 为边作平行四边形 PCQE.请 探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值?如果存在,请求出最小值;如果不存在,请说明理由. 问题 4:如图 3,若 P 为 DC 边上任意一点,延长 PA 到 E,使 AE=nPA(n 为常数),以 PE,PB 为边作平 行四边形 PBQE.请探究对角线 PQ 的长是否也存在最小值?如果存在,请直接写...出.最小值;如果不存在, 请说明理由. 解:问题 1:如图 1,∵四边形 PCQD 是平行四边形 若对角线 PQ、DC 相等,则四边形 PCQD 是矩形,∴∠DPC=90° ∵AD=1,AB=2,BC=3,∴DC=2 2 设 PB=x,则 AP=2-x 在 Rt△DPC 中,PD 2+PC 2=DC 2,即 x 2+32+(2-x)2+1=8 化简得 x 2-2x+3=0,∵△=(-2)2-4×1×3=-8<0,∴方程无解 ∴对角线 PQ 与 DC 不可能相等 问题 2:如图 2,在平行四边形 PCQD 中,设对角线 PQ 与 DC 相交于点 G 则 G 是 DC 的中点 过点 Q 作 QH⊥BC,交 BC 的延长线于 H ∵AD∥BC,∴∠ADC=∠DCH 即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+∠QCH ∵PD∥CQ,∴∠PDC=∠DCQ,∴∠ADP=∠QCH 又∵PD=CQ,∴Rt△ADP≌Rt△HCQ,∴AD=HC ∵AD=1,BC=3,∴BH=4 ∴当 PQ⊥AB 时,PQ 的长最小,即为 4 问题 3:如图 3,设 PQ 与 DC 相交于点 G ∵PE∥CQ,PD=DE,∴DG GC = PD CQ = 1 2 ∴G 是 DC 上一定点 作 QH⊥BC,交 BC 的延长线于 H 同理可证∠ADP=∠QCH,∴Rt△ADP∽Rt△HCQ ∴ AD CH = PD CQ = 1 2 ,∴CH=2,∴BH=BC+CH=3+2=5 ∴当 PQ⊥AB 时,PQ 的长最小,即为 5 问题 4:存在最小值,最小值为 2 2 (n+4) 提示:如图 4,设 PQ 与 AB 相交于点 G ∵PE∥BQ,AE=nPA,∴AG BG = PA BQ = 1 n+1 ∴G 是 AB 上一定点 B P A D C Q 图(2) B P A D C Q 图(1) B P A D C Q 图(3) E B P A D C Q 图(1) B P A D C Q 图(2) G H B P A D C Q 图(3) G H E 作 QH∥DC,交 CB 的延长线于 H,作 CK⊥CD,交 QH 的延长线于 K ∵AD∥BC,AB⊥BC,∴∠ADP=∠BHQ ∠PAD+∠PAG=∠QBH+∠QBG=90°,∠PAG=∠QBG ∴∠PAD=∠QBH,∴△ADP∽△BHQ,∴ AD BH = PA BQ = 1 n+1 ∴BH=n+1,∴CH=BC+BH=3+n+1=n+4 过点 D 作 DM⊥BC 于 M,则四边形 ABMD 是矩形 ∴BM=AD=1,DM=AB=2 ∴MC=BC-BM=3-1=2=DM ∴∠DCM=45°,∴∠HCK=45° ∴CK=CH·cos45°= 2 2 (n+4) ∴当 PQ⊥CD 时,PQ 的长最小,最小值为 2 2 (n+4) 20.(江苏常州)已知,在矩形 ABCD 中,AB=4,BC=2,点 M 为边 BC 的中点,点 P 为边 CD 上的动 点(点 P 异于 C,D 两点).连接 PM,过点 P 作 PM 的垂线与射线 DA 相交于点 E(如图).设 CP=x, DE=y. (1)写出 y 与 x 之间的关系式________________; (2)若点 E 与点 A 重合,则 x 的值为________________; (3)是否存在点 P,使得点 D 关于直线 PE 的对称点 D′ 落在边 AB 上?若存在,求 x 的值;若不存在,请 说明理由. 解:(1)y=-x2+4x(0<x <4) (2)x=2± 2 (3)经探究得:当 0<x≤2- 2 或 2+ 2≤x <4 时,点 E 在边 AD 上 当 2- 2<x <2+ 2 时,点 E 在 DA 的延长线上 ①当 0<x≤2- 2 或 2+ 2≤x <4 时 假设存在点 P,使得点 D 关于直线 PE 的对称点 D′ 落在边 AB 上 设直线 DD′ 交直线 PE 于点 H,连接 PD′、D′M,延长 PM 交 AB 的延长线于点 F ∵D 与 D′ 关于直线 PE 对称,∴PE⊥DD′,PD=PD′ ∵PF⊥PE,∴DD′∥PF 又∵AB∥CD,∴四边形 DD′FP 为平行四边形 ∴PD=PD′=D′F=4-x. ∵M 为边 BC 的中点,∴D′M⊥PF ∴∠CBA=90°,∴△D′MB∽△MBF,∴ BM D′B = BF BM 易得 BF=PC,∴(4-2x)x=1,解得 x=2± 2 2 ∵0<x≤2- 2 或 2+ 2≤x <4,∴x=2- 2 2 ②当 2- 2<x <2+ 2 时 同①理,得 x=2± 2 2 . B P A D C E M (备用图) B P A D C E M B P A D C Q 图(4) E G MH K B P A D C E M D′ F H B P A D C E M D′ F H ∵2- 2<x <2+ 2,∴x=2+ 2 2 综上所述,存在点 D 关于直线 PE 的对称点 D′ 落在边 AB 上,此时 x 的值为 2- 2 2 或 2+ 2 2 . 21.(江苏淮安)如图,矩形 OABC 在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点 A(0,4),C(2,0).将矩 形 OABC 绕点 O 按顺时针方向旋转 135°,得到矩形 EFGH(点 E 与 O 重合). (1)若 GH 交 y 轴于点 M,则∠FOM=__________°,OM=__________; (2)将矩形 EFGH 沿 y 轴向上平移 t 个单位. ①直线 GH 与 x 轴交于点 D,若 AD∥BO,求 t 的值; ②若矩形 EFHG 与矩形 OABC 重叠部分的面积为 S 个平方单位,试求当 0<t≤4 2-2 时,S 与 t 之间的函 数关系式. 解:(1)45,2 2 (2)①当 AD∥BO 时,如图 1 ∵C(2,0),∴AB=OC=2 ∵AB∥DO,AD∥BO,∴四边形 ABOD 是平行四边形 ∴DO=AB=2 由平移知 EM=2 2,∠FEM=45° ∴∠OMD=∠ODM=45°,∴OM=OD=2 ∴t=OE=2 2-2 ②当 EF 经过点 C 时,如图 2,易知 t=2 当 GH 经过点 O 时,如图 3,t=OE=2 2 当 FG 经过点 C 时,如图 4 ∵OE=t,ME=2 2,∴OM=ON=t-2 2 ∴MN= 2t-4,NG= 2 2 [2-(t-2 2)]= 2+2- 2 2 t ∵HM=HE=2,HG=4,∴MG=2 ∴ 2t-4+ 2+2- 2 2 t=2,∴t=4 2-2 A O C F B x y (E) G H F G C xOH D E M A B y 图 1 F G C xO H A B y E M NF G C xO H E M A B y F G C xO H E A B y i)当 0<t≤2 时,如图 5 S=S△OEN = 1 2 t2 ii)当 2<t≤2 2 时,如图 6 S=S 梯形 OENC = 1 2 [(t-2)+t]×2=2t-2 iii)当 2 2<t≤4 2-2 时,如图 7 S=S 梯形 OEPC - S△OMN =(2t-2)- 1 2 (t-2 2)2 =- 1 2 t2+(2 2+2)t-6 综上所述,当 0<t≤4 2-2 时,S 与 t 之间的函数关系式为 S= 1 2 t2(0<t≤2) 2t-2(2<t≤2 2) 1 2 t2+(2 2+2)t-6(2 2<t≤4 2-2) 22.(江苏模拟)如图,点 P 是正方形 ABCD 边 AB 上一动点(不与点 A、B 重合),连接 PD 并将线段 PD 绕点 P 顺时针方向旋转 90°得到线段 PE,PE 交边 BC 于点 F,连接 BE、DF. (1)求证:∠ADP=∠EPB; (2)若正方形 ABCD 边长为 4,点 F 能否为边 BC 的中点?如果能,请你求出 AP 的长;如果不能,请说 明理由. (3)当 AP AB 的值等于多少时,△PFD∽△BFP?并说明理由. A P C F B E D F G C xOH E M A B y 图 5 N F G C xO H E M A B y 图 6 N F G C xO H A B y 图 7 E M N P (1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形,∴∠A=90° ∴∠ADP+∠APD=90° ∵∠DPE=90°,∴∠APD+∠EPB=90° ∴∠ADP=∠EPB (2)不能 设 AP=x(0<x <4) ∵∠A=∠PBF=90°,∠ADP=∠FPB ∴△ADP∽△BPF,∴ AD AP = BP BF ,∴ 4 x = 4-x BF ∴BF=- 1 4 x2+x=- 1 4 (x-2)2+1 ∴当 x=2(即 P 为 AB 中点)时,BF 有最大值 1 ∴点 F 不能为边 BC 的中点 (3)假设△PFD∽△BFP,则 PD PF = PB BF ∵△ADP∽△BPF,∴ PD PF = AP BF ∴ PB BF = AP BF ,∴PB=AP ∴当 AP AB = 1 2 时,△PFD∽△BFP 23.(江苏模拟)如图 1,正方形 ABCD 和正方形 AEFG,边 AE 在边 AB 上,AB=2AE=4.将正方形 AEFG 绕点 A 按逆时针方向旋转α(0°≤α≤60°). (1)如图 2,当∠BEA=120°时,求 DG 的长; (2)设 BE 的延长线交直线 DG 于点 P,将正方形 AEFG 绕点 A 逆时针旋转 60°,求旋转过程中点 P 运动 的路线长; (3)在旋转的过程中,是否存在某时刻使得 BF=BC,若存在,试求出 DP 的长;若不存在,请说明理由. 解:(1)∵正方形 ABCD 和正方形 AEFG ∴AD=AB,AG=AE,∠EAG=∠BAD=90° ∴∠DAG=∠BAE=90°-∠EAD ∴△DAG≌△BAE,∴∠DGA=∠BEA=120° C B A E GD F 图 1 C B A E G D F 图 2 C B AD 备用图 C B A E G D F H 过点 A 作 AH⊥DG,交 DG 延长线于 H,如图 2 则∠AGH=60°,∴∠GAH=30° ∴GH= 1 2 AG=1,AH= 3 2 AG= 3 在 Rt△ADH 中,AH 2+DH 2=AD 2 ∴( 3)2+(DG+1)2=42 解得 DG= 13-1(舍去负值) (2)由(1)知△DAG≌△BAE,∴∠ADG=∠ABE 如图 3,∵∠1=∠2,∴∠BPD=∠BAD=90° 连接 BD,则△BPD 是以 BD 为斜边的直角三角形 设 BD 的中点为 O,连接 OP,则 OP= 1 2 BD= 2 2 AB=2 2 ∴旋转过程中,点 P 运动的路线是以 O 为圆心,以 OP 为半径的一段圆弧 如图 4,当边 AE 在边 AB 上时,P 与 A 重合 当∠BAE=60°时,设 AB 的中点为 M,连接 ME 则 AE=AM=BM= 1 2 AB,∴△AEM 是等边三角形 ∴∠EMA=60°,∴∠MBE=∠MEB=30° ∴∠BEA=90°,∴B、E、F 三点共线 ∴P 与 F 重合 连接 AF,易知△OFA 是等边三角形,∠AOF=60° ∴点 P 运动的路线长为:2 2× 60 180 π=2 2 3 π (3)假设存在某时刻使得 BF=BC,则 BF=BA 又 EF=EA,则 BE=BE,∴△BEF≌△BEA ∴∠BEF=∠BEA,∴∠FEP=∠AEP=45° ∴P 与 G 重合 过点 A 作 AH⊥DG,交 DG 延长线于 H,如图 5 则∠AGH=45°,AH=GH= 2 2 AG= 2 在 Rt△ADH 中,AH 2+DH 2=AD 2 ∴( 2)2+(DG+ 2)2=42 解得 DG= 14- 2(舍去负值) 即 DP 的长为 14- 2 24.(江苏模拟)如图,梯形的纸片 ABCD 中,AD∥BC,AD=4cm,BC=8cm,高为 8cm.点 E 是腰 AB 上的一个动点,过点 E 作 EF∥BC,交 DC 于点 F,设 EF=x cm. (1)若梯形 AEFD 的高为 h1,梯形 EBCF 的高为 h2,则 h1 h2 =___________(用含 x 的式子表示); (2)将梯形 AEFD 沿 EF 折叠,点 A 落在 A1 处,点 D 落在 D1 处,设梯形 A1D1FE 与梯形 BCFE 的重叠面 积为 S. ①求 S 与 x 的关系式,并写出 x 的取值范围; ②当 x 为何值时,S 最大,最大值是多少? C B A E G O (P) D F 图 4 M C B A E G O D F 图 3 P 1 2 C B A E G D F 图 5 (P) H CB A D E F 解:(1) x-4 8-x (2)①(ⅰ)当 4<x≤6 时,折叠后如图 1 所示 由 h1 h2 = x-4 8-x ,即 h1 8-h1 = x-4 8-x ,得 h1=2x-8 ∴S= 1 2 (4+x)(2x-8) 即 S=x2-16 (ⅱ)当 6<x <8 时,折叠后如图 2 所示 设 EH、FG 分别交 BC 于 P、Q,连接 AH 分别交 EF、BC 于 M、N,连接 FH 交 BC 于 R ∵AM=h1=2x-8,∴MN=h2=8-(2x-8)=16-2x ∴NH=h1-h2=(2x-8)-(16-2x)=4x-24 ∵PR∥EF,∴△HPR∽△HEF ∴ PR EF = NH MH ,即 PR x = 4x-24 2x-8 ,∴PR= 2x2-12x x-4 同理可求:RQ= 32-4x x-4 ∴PQ= 2x2-12x+32-4x x-4 =2x-8 ∴S= 1 2 (2x-8+x)(16-2x) 即 S=-3x2+32x-64 综合(ⅰ)(ⅱ)得:S= x2-16(4<x≤6) -3x2+32x-64(6<x <8) ②对于函数 S=x2-16(4<x≤6),当 x=6 时,S 有最大值 20 对于函数 S=-3x2+32x-64(6<x <8) 当 x >- 32 2×(-3) =16 3 时,S 随 x 的增大而减小,当 x=6 时,S 有最大值 20 综上得:当 x=6 时,S 有最大值 20 25.(江苏模拟)如图,菱形 ABCD 的边长为 12cm,∠B=30°,E 为 AB 上一点,且 AE=4cm.动点 P 从 B 点出发,以 1cm/s 的速度沿 BC 边向点 C 运动,PE 交射线 DA 于点 M,设运动时间为 t(s). (1)当 t 为何值时,△MAE 的面积为 3cm2 ? (2)在点 P 出发的同时,动点 Q 从点 D 出发,以 1cm/s 的速度沿 DC 边向点 C 运动,连接 MQ、PQ,试 求△MPQ 的面积 S(cm2)与 t(s)之间的函数关系式,并求出当 t 为何值时,△MPQ 的面积最大,最大 值为多少? (3)连接 EQ,则在运动中,是否存在这样的 t,使得△PQE 的外心恰好在它的一边上?若存在,请直接 写出满足条件的 t 的个数,并选择其一求出相应的 t 的值;若不存在,请说明理由. CB A D E F GH 图 1 A B D Q CP E M A B D C E 备用图 CB A D E F GH 图 2 P R Q M N 解:(1)∵四边形 ABCD 为菱形,∴AD∥BC,∴△EAM∽△EBP. ∵AE=4cm,BE=8cm,BP=t cm,∴AM= 1 2 t cm 由 S△EAM =3cm2、∠MAE=30°、AE=4cm,得 1 2 × 1 2 t×2=3,解得 t=6 ∴当 t 为 6s 时,△MAE 的面积为 3cm2 (2)∵AD∥BC,∴S 梯形 PCDM = 1 2 (12-t+12+ 1 2 t)×6=72- 3 2 t ∵S△MQD = 1 2 (12+ 1 2 t)× 1 2 t= 1 8 t2+3t,S△PCQ = 1 2 (12-t)(12-t)× 1 2 =t2-24t+144 4 ∴S=S 梯形 PCDM - S△MQD - S△PCQ =- 3 8 t2+ 3 2 t+36 ∵S=- 3 8 t2+ 3 2 t+36=- 3 8 (t-2)2+ 75 2 ∴当 t=2 时,△MPQ 的面积最大,最大值为 75 2 (3)存在,t 的值有两个 ∵△PQE 的外心恰好在它的一边上,∴△PQE 为直角三角形 ∵∠PQE<∠CQE<90°,∴只能∠EPQ=90°或∠PEQ=90° 选择求∠EPQ=90°时的 t 值(若求∠PEQ=90°时的 t 值,则计算相当复杂) ∵BP=DQ,BC=DC,∴PQ∥BD ∴PE⊥BD ∵AC⊥BD,∴PE∥AC 又∵BA=BC,∴BP=BP=8cm ∴当 t=8s 时,∠EPQ=90° 26.(江苏模拟)如图,Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC<BC.分别以 AC、BC、AB 为边在 AB 的同侧作 正方形 ACDE、正方形 BCFG 和正方形 ABHK,设 AK 与 CD 交于点 M,KH 与 CF 交于点 N. (1)求证:点 H 在线段 FG 上; (2)若四边形 AMDE 的面积为 15,△FNH 的面积为 1,求正方形 ABHK 的面积. (1)证明:∵HB=AB,∠1=∠2=90°-∠CBH,BG=BC ∴△HBG≌△ABC,∴HG=AC,∠BGH=∠BCA=90° ∵FG=BC,AC<BC,∴HG<FG A B D Q CP E M G E K F C A B D H M N 又∵∠BGF=90°,∴点 H 在线段 FG 上 (2)解:∵∠ACM=∠ACB=90° ∴M、C、B 三点在一条直线上 ∵∠3=∠2=90°-∠AMC,∴Rt△MAC∽Rt△ABC ∴ MC AC = AC BC 设 BC=a,AC=b,得 MC= b2 a ∴S 四边形 AMDE =S 正方形 ACDE - S△ACM =b2- 1 2 b· b2 a =15 即 b2(2a-b) 2a =15 ① ∵∠KHB=90°,∴∠3=∠1=90°-∠BHG ∴Rt△FNH∽Rt△GHB,∴ FN GH = FH GB ∵GH=AC=b,∴FH=a-b 得 FN= b(a-b) a ∴S△FNH = 1 2 (a-b) b(a-b) a =b(a-b)2 2a =1 即b(a-b)2 2a =1 ② ①÷②,得 b(2a-b) (a-b)2 =15,即 15a2-32ab+16b2=0 ∴(3a-4b)(5a-4b)=0,∴a= 4 3 b 或 a= 4 5 b ∵b<a,∴a= 4 3 b,代入②,得 b2=24 ∴a2=16 9 b2=16 9 ×24=128 3 ∴S 正方形 ABHK =AB 2=a2+b2=128 3 +24=200 3 27.(江苏模拟)如图,点 E、F 分别是正方形 ABCD 的边 BC、CD 上的点,且∠EAF=45°,AE、AF 分 别交 BD 于 M、N,连接 EF、EN. (1)求证:EN⊥AF; (2)若 AB=10,EF=8,求四边形 MEFN 的面积. (1)证明:∵∠EAF=∠DBC=45°,∠AMN=∠BME ∴△AMN∽△BME,∴ AM NM = BM EM 又∵∠AMB=∠NME,∴△ABM∽△NEM G E K F C A B D H M N 1 2 4 3 B C A F D E N M ∴∠NEM=∠ABM=45° 又∵∠EAF=45°,∴∠ANE=90° ∴EN⊥AF (2)解:延长线 CB 至 G,使 GB=DF ∵AB=AD,∠ABG=∠ADF=90°,BG=DF ∴△ABG≌△ADF ∴AG=AF,∠BAG=∠DAF ∵∠EAF=45°,∴∠BAE+∠DAF=90°-45°=45° ∴∠EAG=∠BAE+∠BAG=45°,∴∠EAG=∠EAF 在△AEG 和△AEF 中 AG=AF,∠ABG=∠EAF,AE=AE ∴△AEG≌△AEF,∴EG=EF=8 ∴S△AEF =S△AEG = 1 2 EG·AB= 1 2 ×8×10=40 ∵∠ANE=90°,∠EAN=∠AEN=45° ∴AE= 2AN 同理 AF= 2AM ∴ AM AF = AN AE = 2 2 又∵∠MAN=∠FAE,∴△AMN∽△AFE S△AMN S△AFE = AM 2 AF 2 = 1 2 ,∴S△AMN = 1 2 S△AFE ∴S 四边形 MEFN = 1 2 S△AFE =20 28.(江苏模拟)如图,直角梯形纸片 ABCD 中,AD⊥AB,AB=8,AD=CD=4,点 E 在线段 AB 上,点 F 在射线 AD 上.将△AEF 沿 EF 翻折,点 A 的落点记为 P,若点 P 始终落在直角梯形 ABCD 内部或边上, 求动线段 AE 长度的最大值. 解:当 F 点是 BC 延长线与射线 AD 的交点时,AE 长取得最大值 ∵AD⊥AB,AB=8,AD=CD=4 ∴BC=CF=4 2,AD=DF=4 ∴AB=AF=8,BF=8 2, B C A F D E N M G D BA C P F E D BA C P F E ∵S△ABF = 1 2 AB·AF= 1 2 AE·AF+ 1 2 AE·BF ∴AE= AB·AF AB+AF = 8×8 8+8 2 =8 2-8 即动线段 AE 长度的最大值是 8 2-8 29.(江苏模拟)如图,已知正方形纸片 ABCD 的边长为 4,⊙O 的半径为 1,圆心在正方形的中心上.将 纸片按图示方式折叠,使 EA1 恰好与⊙O 相切于点 A1,延长 FA1 交 CD 边于点 G. (1)求 A1G 的长; (2)求 tan∠A1EF 的值. 解:(1)过点 O 作 OH⊥AB 于点 H,设⊙O 与 FG 交于另一点 P ∵EA1 与⊙O 相切于点 A1,∴∠OA1E=90° 又∵∠EA1F=∠EAF=90°,∴∠OA1E+∠EA1F=180° 即点 F、A1、O、G 在同一直线上 ∵圆心 O 是正方形 ABCD 的中心,∴AF=CG 设 AF=x,则 A1F=x,PG=x ∴FO=x+1,FH=2-x 在 Rt△FOH 中,FO 2=FH 2+OH 2 ∴(x+1)2=(2-x)2+2 2,解得 x= 7 6 ∴A1G=2+x=19 6 (2)过点 A1 作 A1K⊥AB 于点 K 则△FA1K∽△FOH,∴ FK FH = A1K OH = FA1 FO 由(1)得 FH= 5 6 ,FA1= 7 6 ,FO=13 6 ,代入上式,得 FK= 35 78 ,A1K= 14 13 , ∴AK= 7 6 + 35 78 = 21 13 连接 AA1,则 AA1⊥EF,∴∠A1AK+∠AFE=90° ∵∠AEF+∠AFE=90°,∠A1EF=∠AEF,∴∠A1EF=∠A1AK ∴tan∠A1EF=tan∠A1AK= A1K AK = 14 13 21 13 = 2 3 30.(山东烟台) (1)问题探究 如图 1,分别以△ABC 的边 AC 与边 BC 为边,向△ABC 外作正方形 ACD1E1 和正方形 BCD2E2,过点 C 作 直线 KH 交直线 AB 于点 H,使∠AHK=∠ACD1,作 D1M⊥KH,D2N⊥KH,垂足分别为点 M,N.试探究 C A D B E F O A1 C A D B E F O A1 G H K P 线段 D1M 与线段 D2N 的数量关系,并加以证明. (2)拓展延伸 ①如图 2,若将“问题探究”中的正方形改为正三角形,过点 C 作直线 K1H1,K2H2,分别交直线 AB 于点 H1,H2,使∠AH1K1=∠BH2K2=∠ACD1.作 D1M⊥K1H1,D2N⊥K2H2,垂足分别为点 M,N.D1M=D2N 是否仍成立?若成立,给出证明;若不成立,说明理由. ②如图 3,若将①中的“正三角形”改为“正五边形”,其他条件不变.D1M=D2N 是否仍成立?(要求: 在图 3 中补全图形,注明字母,直接写出结论,不需证明) (1)D1M=D2N 证明:∵∠ACD1=90°,∴∠ACH+∠D1CK=90° ∵∠AHK+∠ACD1=90°,∴∠ACH+∠HAC=90° ∴∠D1CK=∠HAC ∵AC=CD1,∴△ACH≌△CD1M ∴D1M=CH 同理可证 D2N=CH ∴D1M=D2N (2)①D1M=D2N 仍成立 证明:过点 C 作 CG⊥AB,垂足为点 G ∵∠H1AC+∠ACH1+∠AH1C=180° ∠D1CM+∠ACH1+∠ACD1=180°,∠AH1C=∠ACD1 ∴∠H1AC=∠D1CM ∵AC=CD1,∠AGC=∠CMD1=90°,∴△ACG≌△CD1M ∴CG=D1M 同理可证 CG=D2N ∴D1M=D2N ②如图(作图正确) D1M=D2N 仍成立 31.(山东德州)如图所示,现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD,点 P 为正方形 AD 边上的一点(不与 点 A、点 D 重合)将正方形纸片折叠,使点 B 落在 P 处,点 C 落在 G 处,PG 交 DC 于 H,折痕为 EF, 连接 BP、BH. (1)求证:∠APB=∠BPH; A B D2N C H K E1 D1 M E2 图 1 A B D2 N C H2 K1 D1 M 图 2 K2 H1 A B D2 C D1 图 3 E2 F2 E1 F1 A B D2N C H K E1 D1 M E2 图 1 A B D2 N C H2 K1 D1 M 图 2 K2 H1G A B D2 C D1 图 3 E2 F2 E1 F1 H1 H2 M K1K2 N (2)当点 P 在边 AD 上移动时,△PDH 的周长是否发生变化?证明你的结论; (3)设 AP 的长为 x,四边形 EFGP 的面积为 S,求出 S 与 x 的函数关系式,试问 S 是否存在最小值?若 存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由. (1)证明:∵PE=BE,∴∠EBP=∠EPB 又∵∠EPH=∠EBC=90° ∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP 即∠PBC=∠BPH 又∵AD∥BC,∴∠APB=∠PBC ∴∠APB=∠BPH (2)△PDH 的周长不变,为定值 8 证明:过 B 作 BQ⊥PH,垂足为 Q 由(1)知∠APB=∠BPH 又∵∠A=∠BQP=90°,BP=BP ∴△ABP≌△QBP,∴AP=QP,AB=BQ ∵AB=BC,∴BC=BQ 又∵∠C=∠BQH=90°,BH=BH ∴△BCH≌△BQH,∴CH=QH ∴△PDH 的周长为:PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8 (3)过 F 作 FM⊥AB,垂足为 M,则 FM=BC=AB ∵EF 为折痕,∴EF⊥BP ∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90° ∴∠EFM=∠ABP 又∵∠EMF=∠A=90°,∴△EMF≌△PAB ∴EM=AP=x ∴在 Rt△APE 中,(4-BE)2+x 2=BE 2 解得,BE=2+ x2 8 ∴CF=BE-EM=2+x2 8 -x 又四边形 PEFG 与四边形 BEFC 全等 ∴S= 1 2 (BE+CF)·BC= 1 2 (4+x2 4 -x)×4 即 S= 1 2 x 2-2x+8 配方得,即 S= 1 2 (x-2)2+6 A B C G F H DP E A B C G F H DP E (备用图) A B C G F H DP E A B C G F H DP E Q A B C G F H DP E M ∴当 x=2 时,S 有最小值 6 32.(山东滨州)如图 1,l1,l2,l3,l4 是一组平行线,相邻 2 条平行线间的距离都是 1 个单位长度,正方 形 ABCD 的 4 个顶点 A,B,C,D 都在这些平行线上.过点 A 作 AF⊥l3 于点 F,交 l2 于点 H,过点 C 作 CE⊥l2 于点 E,交 l3 于点 G. (1)求证:△ADF≌△CBE; (2)求正方形 ABCD 的面积; (3)如图 2,如果四条平行线不等距,相邻的两条平行线间的距离依次为 h1,h2,h3,试用 h1,h2,h3 表 示正方形 ABCD 的面积 S. (1)证明:在 Rt△AFD 和 Rt△CEB 中 ∵AD=BC,AF=CE,∴Rt△AFD≌Rt△CEB (2)解:∵∠ABH+∠CBE=90°,∠ABH+∠BAH=90° ∴∠CBE=∠BAH 又∵AB=BC,∠AHB=∠CEB=90° ∴△ABH≌△BCE 不难得出,△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF ∴S 正方形 ABCD =4S△ABH +S 正方形 EGFH =4× 1 2 ×2×1+1×1=5 (3)由(1)知,△AFD≌△CEB,∴h1=h3 由(2)知,△ABH≌△BCE≌△CDG≌△DAF ∴S 正方形 ABCD =4S△ABH +S 正方形 EGFH=4× 1 2 (h1+h2 )·h1+h2 2=2h1 2+2h1h2+h2 2 33.(山东临沂)已知,在矩形 ABCD 中,AB=a,BC=b,动点 M 从点 A 出发沿边 AD 向点 D 运动. (1)如图 1,当 b=2a,点 M 运动到边 AD 的中点时,请证明∠BMC=90°; (2)如图 2,当 b>2a 时,点 M 在运动的过程中,是否存在∠BMC=90°,若存在,请给与证明;若不存 在,请说明理由; (3)如图 3,当 b<2a 时,(2)中的结论是否仍然成立?请说明理由. (1)证明:∵b=2a,点 M 是 AD 的中点,∴AB=AM=MD=DC 又∵在矩形 ABCD 中,∠A=∠D=90°,∴∠AMB=∠DMC=45° ∴∠BMC=90° (2)存在 A B C D E G F H l1 l2 l3 l4 图 2 h1 h2 h3 A B C D E G F H l1 l2 l3 l4 图 1 图 2 A B C DM 图 1 A B C DM 图 3 A B C DM 理由:若∠BMC=90°,则∠AMB+∠DMC=90° 又∵∠AMB+∠ABM=90°,∴∠ABM=∠DMC 又∵∠A=∠D=90°,∴△ABM∽△DMC ∴ AM CD = AB DM 设 AM=x,则 x a = a b-x ,整理得:x2-bx+a2=0 ∵b>2a,a>0,b>0,∴△=b2-4a2>0 ∴方程有两个不相等的实数根,且两根均大于零,符合题意 ∴当 b>2a 时,存在∠BMC=90° (3)不成立 理由:若∠BMC=90°,由(2)可知 x2-bx+a2=0 ∵b<2a,a>0,b>0,∴△=b2-4a2<0 ∴方程没有实数根 ∴当 b<2a 时,不存在∠BMC=90°,即(2)中的结论不成立 34.(山东潍坊)如图,已知平行四边形 ABCD,过 A 作 AM⊥BC 于 M,交 BD 于 E,过 C 作 CN⊥AD 于 N,交 BD 于 F,连接 AF、CE. (1)求证:四边形 AECF 为平行四边形; (2)当 AECF 为菱形,M 点为 BC 的中点时,求 AB :AE 的值. (1)证明:∵AM⊥BC,∴∠AMB=90° ∵CN⊥AD,∴∠CNA=90° 又∵BC∥AD,∴∠BCN=90° ∴AE∥CF 又由平行得∠ADE=∠CBD,又 AD=BC ∴△ADE≌△BCF ∴AE=CF ∴四边形 AECF 为平行四边形 (2)当 AECF 为菱形时,连接 AC 交 BF 于点 O 则 AC 与 EF 互相垂直平分 ∵BO=OD,∴AC 与 BD 互相垂直平分 ∴四边形 ABCD 是菱形 ∴AB=BC ∵M 是 BC 的中点,AM⊥BC,∴△ABM≌△CAM ∴AB=AC,∴△ABC 为等边三角形 ∴∠ABC=60°,∠CBD=30° 在 Rt△BCF 中,CF :BC=tan∠CBF= 3 3 又 AE=CF,AB=BC,∴AB :AE= 3 A D B C E N F M A D B C E N F M O 35.(山东威海) 探索发现 已知:在梯形 ABCD 中,CD∥AB,AD,BC 的延长线相交于点 E.AC,BD 相交于点 O,连接 EO 并延长 交 AB 于点 M,交 CD 于点 N. (1)如图①,如果 AD=BC,求证:直线 EM 是线段 AB 的垂直平分线; (2)如图②,如果 AD≠BC,那么线段 AM 与 BM 是否相等?请说明理由. 学以致用 仅用直尺(没有刻度),试作出图③中的矩形 ABCD 的一条对称轴.(写出作图步骤,保留作图痕迹) (1)证明:∵AD=BC,CD∥AB,∴AC=BD,∠DAB=∠CBA ∴AE=BE ∴点 E 在线段 AB 的垂直平分线上 在△ABD 和△BAC 中,∵AB=BA,AD=BC,BD=AC ∴△ABD≌△BAC,∴∠DBA=∠CAB,∴OA=OB ∴点 O 在线段 AB 的垂直平分线上 ∴直线 EM 是线段 AB 的垂直平分线 (2)相等 理由:∵CD∥AB,∴△DEN∽△AEM,∴ DN AM = DE AE 同理 DE AE = DC AB ,∴ DN AM = DC AB ∵CD∥AB,∴△OND∽△OMB,∴ DN BM = OD OB 同理 OD OB = DC AB ,∴ DN BM = DC AB ∴ DN BM = DN AM ,∴AM=BM (3)作法:如图③ ①连接 AC,BD,两线相交于点 O1 ②在梯形 ABCD 外任取一点 E,连接 EA,EB,分别交 DC 于点 G, H ③连接 BG,AH,两线相交于点 O2 ④作直线 EO2,交 AB 于点 M ⑤作直线 MO1 则直线 MO1 就是矩形 ABCD 的一条对称轴 图 ① A D B C E N O M 图 ② A D B C E N O M 图 ③A D B C A B D G C E F 图③ A D B C E G H M O1 O2 36.(山东淄博)在矩形 ABCD 中,BC=4,BG 与对角线 AC 垂直且分别交 AC,AD 及射线 CD 于点 E,F, G,设 AB=x. (1)当点 G 与点 D 重合时,求 x 的值; (2)当点 F 为 AD 中点时,求 x 的值及∠ECF 的正弦值. (3)是否存在 x 的值,使以点 D 为圆心的圆与 BC、BG 都相切?若存在,求出 x 的值;若不存在,请说 明理由. 解:(1)当点 G 与点 D 重合时,BD⊥AC 此时矩形 ABCD 为正方形,∴x=4 (2)当点 F 为 AD 中点时,AF=2 由△ABF∽△ABC,得 AB AF = BC AB ∴AB 2=AF·BC=2×4=8 ∴x=AB=2 2 ∴AC= AB 2+BC 2 = 8+16 =2 6 ∴FC= CD 2+DF 2 = 8+4 =2 3 ∵S△ACF = 1 2 AC·EF= 1 2 AF·CD ∴EF=AF·CD AC =2×2 2 2 6 =2 3 3 ∴sin∠ECF= EF FC = 1 3 (3)假设存在 过 D 作 DH⊥BG 于 H,则 DH=DC=AB=x 可证△ABF≌△HDF,得 BF=DF 设 AF=y,则 BF=DF=4-y 在 Rt△ABF 中,由勾股定理得 x2+y 2=(4-y)2 整理得 y=2- x2 8 ① 由△ABF∽△BCA,得 x y = 4 x 即 y= x2 4 ② 由①、②得 2- x2 8 = x2 4 ,解得 x=4 3 3 所以,当 x=4 3 3 时,以点 D 为圆心,DC 为半径的圆与 BC、BG 都相切 37.(山西模拟)如图 1,正方形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 E,以点 E 为顶点作正方形 EFGH,使 点 A、D 分别在 EH 和 EF 上,连接 BH、AF. (1)判断 BH 和 AF 的数量关系并说明理由; A B D G C E F H A B D G C E F (2)将正方形 EFGH 绕点 E 顺时针方向旋转角θ(0°≤θ<360°),设 AB=a,EH=b,且 a<2b. ①如图 2,连接 AG,设 AG=x,请直接写出 x 的取值范围;当 x 取最大值时,直接写出θ的值; ②若四边形 ABDH 是平行四边形,请在备用图中补全图形,并求 a 与 b 的数量关系. 解:(1)BH=AF 理由:∵四边形 ABCD 和四边形 EFGH 都是正方形 ∴BE=AE,∠BEH=∠AEF=90°,EH=EF ∴△BEH≌△AEF,∴BH=AF (2) 2b- 2 2 a ≤x ≤ 2b+ 2 2 a θ=135° (3)如图 在正方形 ABCD 中,AB=a ∴AE= 2 2 a,BD= 2a,∠AED=90° 若四边形 ABDH 是平行四边形,则 AH=BD= 2a,AH∥BD ∴∠EAH=90° 在 Rt△AEH 中,AE 2+AH 2=EH 2 即( 2 2 a)2+( 2a)2=b2,∴2b2=5a2 ∵a>0,b>0,∴b= 10 2 a(或 a= 10 5 b) 38.(陕西某校自主招生)已知矩形纸片 ABCD 中,AB=2,AD=4.将矩形纸片的右下角折起,使得该角 的顶点 B 落在矩形的左边 AD 上,且折痕 EF 的两端点 E、F 分别位于边 AB、BC 上. (1)求点 E 在边 AB 上可移动的最大距离; (2)设∠EFB=θ,求θ的取值范围. 解:(1)当 F 与 C 重合时(如图 1),AE 最大 此时 B′C=BC=4,CD=2 ∴∠DB′C=30°,B′D=2 3 H G F E A B C D 图 1 H G F E A B C D 图 2 E A B C D 备用图 H G F E A B C D A B D C F E θ ∴AB′=4-2 3,∠AEB′=30° ∴AE= 3AB′=4 3-6 当 E 与 A 重合时(如图 2),AE 最小,AE=0 ∴点 E 在边 AB 上可移动的最大距离为 4 3-6 (2)当 F 与 C 重合时(如图 1),θ最小 2θ=∠DB′C=30°,∴θ=15° 当 E 与 A 重合时(如图 2),θ最大,θ=45° ∴θ的取值范围为 15°≤θ≤45° 39.(陕西模拟)如图,在平面直角坐标系中,四边形 OABC 的四个顶点坐标分别为 O(0,0),A(5,0), B(3,2),C(1,2). (1)求证:四边形 OABC 是梯形 (2)若经过 AB 的中点 D 的直线恰好平分四边形 OABC 的面积,求这条直线的解析式,并用尺规作图法 画出这条直线(不写作法,保留作图痕迹) (3)是否在边 AB 和 BC(含端点)上分别存在点 M 和点 N,使得△MON 的面积最大时,它的周长还最 短?若存在,求出此时点 M、N 的坐标;若不存在,说明理由. (1)证明:∵O(0,0),A(5,0),B(3,2),C(1,2) ∴CB∥OA,OA=5,CB=2,∴CB≠OA ∴四边形 OABC 是梯形 (2)如图 1,设直线与梯形 OABC 的另一个交点为 P S 梯形 OABC = 1 2 ×(2+5)×2=7 ∵D 是 AB 的中点。∴D(4,1) ∴S△BCD = 1 2 ×2×1=1< 7 2 ,S△DOA = 1 2 ×5×1= 5 2 < 7 2 ∴P 点不可能在边 BC 和 OA 上,只能在边 OC 上 过 P、D 分别作 x 轴的垂线,垂足为 E、F 易知直线 OC 的解析式为 y=2x,设 P(m,2m) 则 S 四边形 OADP =S△POE + S 梯形 EFDP + S△DFA = 1 2 ×m×2m+ 1 2 ×(2m+1)(4-m)+ 1 2 ×1×1 = 7 2 m+ 5 2 = 7 2 BC O A D1 1 x y BC O A 1 1 x y 备用图 BC O A D1 1 x y P E F 图 1 A B D C B′ E θ 图 1 θ (F) A B D C B′ Fθ 图 2 θ (E) ∴m= 2 7 ,∴P( 2 7 ,4 7 ) 设直线 DP 的解析式为 y=kx+b,把 D、P 的坐标代入,得: 4k+b=1 2 7 k+b= 4 7 解得:k= 3 26 ,b= 7 13 ∴直线 DP 的解析式为 y= 3 26 x+ 7 13 如图 2 所示(连接 CD、OD,作 BE∥CD 交 OC 的延长线于 E,作 AF∥OD 交 CO 的延长线于 F,作 EF 的垂直平分线交 EF 于点 P,连接 DP,则直线 DP 即为所求作的直线) (3)如图 3,过 M 作 ME∥OA,交 ON 于点 E 则 S△MON = 1 2 ×2×ME=ME ∴当 ME 最大时,△MON 的面积最大 如图 4,当 M 与 A 重合时,E 与 O 重合,ME 最大,ME=OA 作点 O 关于 BC 的对称点 O′,连接 O′A 交 BC 于点 N 则△MON 的周长最小 易知 O′(0,4),可得直线 O′A 的解析式为 y=- 4 5 x+4 把 y=2 代入 y=- 4 5 x+4,得 x= 5 2 ∴点 N 的坐标为(5 2 ,2) ∴存在点 M(5,0)和点 N( 5 2 ,2),使得△MON 的面积最大且周长最短 40.(宁夏)在矩形 ABCD 中,AB=2,AD=3,P 是 BC 边上的任意一点(P 与 B、C 不重合),过点 P 作 PE⊥AP,垂足为 P,PE 交 CD 于点 E. (1)连接 AE,当△APE 与△ADE 全等时,求 BP 的长; (2)若设 BP 为 x,CE 为 y,试确定 y 与 x 的函数关系式..当 x 取何值时,y 的值最大?最大值是多少? (3)若 PE∥BD,试求出此时 BP 的长. 解:(1)∵△APE≌△ADE,∴AP=AD=3 在 Rt△ABP 中,BP= AP 2-AB 2 = 32-22 = 5 (2)∵AP⊥PE,∴Rt△ABP∽Rt△PCE ∴ AB PC = BP CE ,即 2 3-x = x y A D B CP E B O A1 x y E F D1 P C 图 2 BC O A M 1 1 x y 图 3 E N BC O A 1 1 x y 图 4 (M) O′ N ∴y=- 1 2 x2+ 3 2 x ∵y=- 1 2 x2+ 3 2 x=- 1 2 (x- 3 2 )2+ 9 8 ∴当 x= 3 2 时,y 有最大值,最大值是 9 8 (3)设 BP=x,则 CE=- 1 2 x2+ 3 2 x ∵PE∥BD,∴△CPE∽△CBD ∴ CP CB = CE CD ,即 3-x 3 = - 1 2 x2+ 3 2 x 2 化简得 3x2-13x+12=0,解得 x1= 4 3 ,x2=3(不合题意,舍去) ∴当 BP= 4 3 时,PE∥BD 41.(甘肃庆阳)如图,O 是正方形 ABCD 的中心,BE 平分∠DBC 交 DC 于点 E,延长 BC 到点 F,使 CF =CE,连接 DF 交 BE 的延长线于点 G,连接 OG. (1)求证:△BCE≌△DCF; (2)OG 与 BF 有什么数量关系?证明你的结论; (3)若 GE·GB=4-2 2,求正方形 ABCD 的面积. (1)证明:∵正方形 ABCD,∴BC=DC,∠BCE=90° ∴∠DCF=90°,∴∠BCE=∠DCF 又∵CE=CF,∴△BCE≌△DCF (2)OG= 1 2 BF 证明:∵△BCE≌△DCF,∴∠BEC=∠F ∵∠BEC=∠DEG,∴∠F=∠DEG ∵∠F+∠EDG=90°,∴∠DEG+∠EDG=90° ∴BG⊥DF,∴∠BGD=∠BGF 又∵BG=BG,∠DBG=∠FBG ∴△BDG≌△BFG,∴DG=FG ∵O 是正方形 ABCD 的中心,∴OD=OB ∴OG 是△BDF 的中位线,∴OG= 1 2 BF (3)设 BC=x,则 DC=x,BD= 2x 由(2)知△BDG≌△BFG,∴∠F=∠BDG,BF=BD= 2x ∴∠BDG=∠DEG,CF=( 2-1)x 又∵∠BGD=∠DGE,∴△BDG∽△DEG ∴ DG BG = EG DG ,即 DG 2=BG·EG=4-2 2 ∵DC 2+CF 2=DF 2=4DG 2 A B D FC O E G A D B CP E ∴x 2+( 2-1)2x 2=4(4-2 2) 即(4-2 2)x 2=4(4-2 2),∴x2=4 ∴正方形 ABCD 的面积为 4 个平方单位 42.(黑龙江牡丹江)如图,OA、OB 的长分别是关于 x 的方程 x2-12x+32=0 的两根,且 OA>OB.请解 答下列问题: (1)求直线 AB 的解析式; (2)若 P 为 AB 上一点,且 AP PB = 1 3 ,求过点 P 的反比例函数的解析式; (3)在坐标平面内是否存在点 Q,使得以 A、P、O、Q 为顶点的四边形是等腰梯形?若存在,请直接写 出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 解:(1)解方程 x2-12x+32=0,得 x1=4,x2=8 ∵OA、OB 的长分别是关于 x 的方程 x2-12x+32=0 的两根,且 OA>OB ∴OA=8,OB=4。∴A(-8,0),B(0,4) 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b,则 -8k+b=0 b=4 解得 k= 1 2 b=4 ∴直线 AB 的解析式为 y= 1 2 x+4 (2)过点 P 作 PH⊥x 轴于点 H 设 P(x,y),则 AH=x+8 ∵ AP PB = 1 3 ,∴ AH HO = 1 3 即 x+8 -x = 1 3 ,解得 x=-6 ∵点 P 在 y= 1 2 x+4 上,∴y= 1 2 ×(-6)+4=1 ∴P(-6,1) 设过点 P 的反比例函数的解析式为 y= k x 则 1= k -6 ,∴k=-6 ∴过点 P 的反比例函数的解析式为 y=- 6 x (x<0) (3)存在.点 Q 的坐标为(-2,1)或( 58 37 ,- 59 37 )或(- 54 5 ,- 27 5 ) A B P O x y A B P O x y H A B P O x y Q1 Q2 Q3 A G B CO F E (D) x y 43.(黑龙江绥化)如图,四边形 ABCD 为矩形,C 点在 x 轴上,A 点在 y 轴上,D 点坐标是(0,0),B 点坐标是(3,4),矩形 ABCD 沿直线 EF 折叠,点 A 落在 BC 边上的 G 处,E、F 分别在 AD 和 AB 上, 且 F 点的坐标是(2,4). (1)求 G 点坐标; (2)求直线 EF 的解析式; (3)点 N 在 x 轴上,直线 EF 上是否存在点 M,使以 M、 N、F、G 为顶点的四边形是平行四边形,若存在,请直接 写出 M 点坐标;若不存在,请说明理由. 解:(1)由已知得,FG=AF=2,FB=1 ∵四边形 ABCD 为矩形,∴∠B=90° BG= FG 2-FB 2 = 22-12 = 3 ∴G 点坐标为(3,4- 3) (2)设直线 EF 的解析式是 y=kx+b 在 Rt△BFG 中,cos∠BFG= FB FG = 1 2 ∴∠BFG=60° ∴∠AFE=∠EFG=60° ∴AE=AF·tan∠AFE=2×tan60°=2 3 ∴E 点坐标是(0,4-2 3) 又 F 点的坐标是(2,4) ∴ b=4-2 3 2k+b=4 解得 k= 3,b=4-2 3 ∴直线 EF 的解析式是 y= 3x+4-2 3 注:求 E 点坐标方法二: 过点 E 作 EP⊥BC 于点 P,利用△BFG∽△PGE 得到 OE=4-2 3 ∴E(0,4-2 3) 求 E 点坐标方法三: 在 Rt△GEP 中,由勾股定理得 BG 2=GP 2+EP 2,得到 OE=4-2 3 ∴E(0,4-2 3) 求 E 点坐标方法四: 连接 AG,证△AEG 是等边三角形,得到 OE=4-2 3 ∴E(0,4-2 3) (3)存在.M1(3- 4 3 3, 3),M2(1- 4 3 3,- 3),M3(1+ 4 3 3,8- 3) 提示:如图,分别考虑 FG 为平行四边形的一边和对角线的情形 44.(黑龙江龙东地区)如图,在平面直角坐标系中,直角梯形 OABC 的边 OC、OA 分别与 x 轴、y 轴重 合,AB∥OC,∠AOC=90°,∠BCO=45°,BC=12 2,点 C 的坐标为(-18,0). (1)求点 B 的坐标; (2)若直线 DE 交梯形对角线 BO 于点 D,交 y 轴于点 E,且 OE=4,OD=2BD,求直线 DE 的解析式; (3)若点 P 是(2)中直线 DE 上的一个动点,在坐标平面内是否存在点 Q,使以 O、E、P、Q 为顶点的 A G B CO F E (D) x y M3 M1 M2 N1(N3) N2 四边形是菱形?若存在,请直接写出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 解:(1)过点 B 作 BF⊥x 轴于 F 在 Rt△BCF 中,∵∠BCO=45°,BC=12 2 ∴CF=BF=12 ∵C 的坐标为(-18,0),∴AB=OF=6 ∴点 B 的坐标为(-6,12) (2)过点 D 作 DG⊥y 轴于点 G ∵AB∥DG,∴△ODG∽△OBA ∵ DG AB = OD OB = OG OA = 2 3 ,AB=6,OA=12 ∴DG=4,OG=8 ∴D(-4,8),E(0,4), 设直线 DE 解析式为 y=kx+b(k≠0) ∴ -4k+b=8 b=4 ∴ k=-1 b=4 ∴直线 DE 解析式为 y=-x+4 (3)存在.Q1(-2,2)、Q2(4,4)、Q3(2 2,-2 2)、Q4(-2 2,2 2) 45.(辽宁大连)如图 1,梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=2∠BCD=2α,点 E 在 AD 上,点 F 在 DC 上, 且∠BEF=∠A. (1)∠BEF=____________(用含α的代数式表示); (2)当 AB=AD 时,猜想线段 EB、EF 的数量关系,并证明你的猜想; (3)当 AB≠AD 时,将“点 E 在 AD 上”改为“点 E 在 AD 的延长线上,且 AE>AB,AB=mDE,AD= nDE”,其他条件不变(如图 2),求 EB EF 的值(用含 m、n 的代数式表示). 解:(1)180°-2α (2)猜想:EB=EF 证明:如图 1,在 AB 上取一点 G,使 AG=AE,连接 GE ∵AB=AD,∴BG=ED AB C O D E x y F G AB C O D E x y A D B C F E 图 2 A D B C F E 图 1 AB C O D E x y Q1 Q2 Q3 Q4 A D B C F E 图 1 G ∵AD∥BC,∴∠A=180°-∠ABC=180°-2α ∠D=180°-∠C=180°-α ∵AG=AE,∴∠AGE=∠AEG= 180°-∠A 2 =α ∴∠BGE=180°-α=∠D ∵∠ABE=180°-∠A-∠AEB,∠DEF=180°-∠BEF-∠AEB,∠A=∠BEF ∴∠ABE=∠DEF,∴△GBE≌△DEF ∴EB=EF (3)如图 2,在 AB 的延长线上取一点 G,使 AG=AE,连接 GE 由(2)知∠AGE=α ∵AD∥BC,∴∠EDC=∠C=α=∠AGE ∵∠GBE=∠A+∠AEB,∠DEF=∠BEF+∠AEB,∠A=∠BEF ∴∠GBE=∠DEF,∴△GBE∽△DEF ∴ EB EF = BG DE ∵BG=AG-AB=AE-AB=AD+DE-AB=(n+1-m)DE ∴ EB EF = (n+1-m)DE DE =n+1-m 46.(辽宁鞍山)如图,正方形 ABCO 的边 OA、OC 在坐标轴上,点 B 坐标为(3,3).将正方形 ABCO 绕点 A 顺时针旋转角度α(0º<α<90º),得到正方形 ADEF,ED 交线段 OC 于点 G,ED 的延长线交线段 BC 于点 P,连 AP、AG. (1)求证:△AOG≌△ADG; (2)求∠PAG 的度数;并判断线段 OG、PG、BP 之间的数量关系,说明理由; (3)当∠1=∠2 时,求直线 PE 的解析式. (1)证明:∵四边形 ADEF 为正方形,∴∠ADG=90° ∴∠ADG=∠AOG 又∵AD=AO,AG=AG,∴Rt△AOG≌Rt△ADG (2)PG=OG+BP 由(1)Rt△AOG≌Rt△ADG 知∠1=∠DAG,OG=DG ∵∠ADP=∠B=90°,AB=AD,AP=AP ∴Rt△ABP≌Rt△ADP,∴∠BAP=∠DAP,BP=DP ∴PG=DG+DP=OG+BP ∵∠BAO=90° ∴∠PAG=∠DAG+∠DAP=∠1+∠BAP=45° (3)方法一:延长 PE 交 y 轴于点 M ∵∠1=∠2,∴∠AGO=∠PGC ∵Rt△AOG≌Rt△ADG,∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=60° ∴∠OGM=∠AGO=60° ∵OG=OG,∠AOG=∠MOG=90° B D A C P E x OF 1 2 y G B D A C P E x OF 1 2 y G A D B C F E 图 2G ∴Rt△AOG≌Rt△MOG,∴OM=OA=3,∴OG= 3 ∴M(0,-3),G( 3,0) 设直线 PE 的解析式为 y=kx+b ∴ 3k+b=0 b=-3 解得 k= 3 b=-3 ∴直线 PE 的解析式为 y= 3x-3 方法二:∵∠1=∠2,∴∠AGO=∠PGC ∵Rt△AOG≌Rt△ADG,∴∠AGO=∠AGD=∠PGC ∴∠PGC=60°,∠1=∠2=30° 在 Rt△AOG 中,OA=3,∴OG= 3 ∴G( 3,0),∴GC=3- 3 在 Rt△PGC 中,PC=3 3-3 ∴P(3,3 3-3) 设直线 PE 的解析式为 y=kx+b ∴ 3k+b=0 3k+b=3 3-3 解得 k= 3 b=-3 ∴直线 PE 的解析式为 y= 3x-3 47.(辽宁锦州)已知:在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,点 D 为直线 BC 上一动点(点 D 不与 B、C 重合).以 AD 为边作正方形 ADEF,连接 CF. (1)如图 1,当点 D 在线段 BC 上时,求证:①BD⊥CF.②CF=BC-CD. (2)如图 2,当点 D 在线段 BC 的延长线上时,其它条件不变,请直接写出 CF、BC、CD 三条线段之间 的关系; (3)如图 3,当点 D 在线段 BC 的反向延长线上时,且点 A、F 分别在直线 BC 的两侧,其它条件不变: ①请直接写出 CF、BC、CD 三条线段之间的关系;②若连接正方形对角线 AE、DF,交点为 O,连接 OC, 探究△AOC 的形状,并说明理由. (1)①∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=45° ∵四边形 ADEF 是正方形,∴AD=AF,∠DAF=90° ∵∠BAD=∠BAC-∠DAC,∠CAF=∠DAF-∠DAC ∴∠BAD=∠CAF,∴△BAD≌△CAF ∴∠ACF=∠ABD=45°,∴∠ACF+∠ACB=90° ∴BD⊥CF ②由①△BAD≌△CAF 可得 BD=CF ∵BD=BC-CD,∴CF=BC-CD (2)CF=BC+CD A B D C E F 图 1 图 2 图 3 B DC A E F B D C A E FO (3)①CF=CD-BC ②∵∠BAC=90°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=45° 则∠ABD=180°-45°=135° ∵四边形 ADEF 是正方形,∴AD=AF,∠DAF=90° ∵∠BAD=∠DAF-∠BAF,∠CAF=∠BAC-∠BAF ∴∠BAD=∠CAF,∴△BAD≌△CAF ∴∠ACF=∠ABD=180°-45°=135° ∴∠FCD=∠ACF-∠ACB=90° 则△FCD 为直角三角形 ∵正方形 ADEF 中,O 为 DF 中点,∴OC= 1 2 DF ∵在正方形 ADEF 中,OA= 1 2 AE,AE=DF,∴OC=OA ∴△AOC 是等腰三角形 48.(辽宁盘锦)如图 1,正方形 ABCD 中,点 E、F 分别在边 DC、AD 上,且 AE⊥BF 于点 G. (1)求证:BF=AE; (2)如图 2,当点 E 在 DC 延长线上,点 F 在 AD 延长线上时,(1)中结论是否成立?请说明理由; (3)在图 2 中,若点 M、N、P、Q 分别为四边形 AFEB 四条边 AF、EF、EB、AB 的中点,且 AF :AD=4 : 3,求 S 四边形 MNPQ : S 正方形 ABCD. (1)证明:∵正方形 ABCD,∴AB=AD,BAF=∠D=90° ∴∠ABF+∠AFG=90° ∵AE⊥BF,∴∠DAE+∠AFG=90° ∴∠ABF=∠DAE ∴△ABF≌△DAE,∴BF=AE (2)成立 理由:∵正方形 ABCD,∴AB=AD,BAF=∠ADE=90° ∴∠ABF+∠AFG=90° ∵AE⊥BF,∴∠DAE+∠AFG=90° ∴∠ABF=∠DAE ∴△ABF≌△DAE,∴BF=AE (3)由题意,MN∥AE,MN= 1 2 AE,PQ∥AE,PQ= 1 2 AE ∴MN∥PQ∥AE,MN=PQ= 1 2 AE ∴四边形 MNPQ 是平行四边形 D A C G B E F 图 1 D A C G B E F 图 2 M Q P N 同理 NP∥MQ∥BF,NP=MQ= 1 2 BF ∵AE⊥BF,BF=AE,∴MN⊥NP,MN=NP ∴四边形 MNPQ 是正方形 ∵AF :AD=4 :3,设 AD=3k,则 AB=3k,AF=4k 在 Rt△ABF 中,BF= AB 2+AF 2 =5k,∴MN= 5 2 k ∴S 四边形 MNPQ : S 正方形 ABCD =( 5 2 k)2 :(3k)2=25 :36 49.(辽宁营口)如图,在矩形 ABCD 中,AD=4,M 是 AD 的中点,点 E 是线段 AB 上一动点,连接 EM 并延长交线段 CD 的延长线于点 F. (1)如图 1,求证:AE=DF (2)如图 2,若 AB=2,过点 M 作 MG⊥EF 交线段 BC 的延长线于点 G,判断△GEF 的的行状,并说明 理由; (3)如图 3,若 AB=2 3,过点 M 作 MG⊥EF 交线段 BC 的延长线于点 G. ①直接写出线段 AE 长度的取值范围; ②判断△GEF 的形状,并说明理由. (1)证明:在矩形 ABCD 中,∵∠A=∠FDM=90°,∠AME=∠DMF,AM=DM ∴△AEM≌△DFM,∴AE=DF (2)△GEF 是等腰直角三角形 理由:方法一:过点 G 作 GH⊥AD 于 H 则四边形 ABGH 是矩形,∴GH=AB=2 ∵MG⊥EF,∴∠GME=90°.∴∠AME+∠GMH=90° ∵∠AME+∠AEM=90°,∴∠AEM=∠GMH ∴△AEM≌△HMG.∴ME=MG ∴∠EGM=45° 由(1)得△AEM≌△DFM,∴ME=MF 又∵MG⊥EF,∴GE=GF,∴∠EGF=2∠EGM=90° ∴△GEF 是等腰直角三角形 方法二:过点 M 作 MH⊥BC 于 H,得到△AEM≌△HGM 具体步骤同方法(一) 方法三:过点 G 作 GH⊥AD 于 H,证出△MGH≌△FMD 证出 CF=BG,CG=BE 证出△BEG≌△CGF △GEF 是等腰直角三角形 (若 E 与 B 重合时,则 G 与 C 重合,△GEF 就是△CBF,易知△CBF 是等腰直角三角形) A B DM C E F 图 1 A B DM C E F 图 2 G A B DM C E F 图 3 G A B DM C E F 图 2 G H (3)① 2 3 3 <AE≤2 3 ②△GEF 是等边三角形 理由:过点 G 作 GH⊥AD 交 AD 延长线于点 H 则四边形 ABGH 是矩形,∴GH=AB=2 3 ∵MG⊥EF,∴∠GME=90°.∴∠AME+∠GMH=90° ∵∠AME+∠AEM=90°,∴∠AEM=∠GMH 又∵∠A=∠GHM=90°,∴△AEM∽△HMG ∴ MG EM = GH AM = 2 3 2 = 3 在 Rt△GME 中,∴tan∠MEG= MG EM = 3 ∴∠MEG=60° 由(1)得△AEM≌△DFM.∴ME=MF 又∵MG⊥EF,∴GE=GF.∴△GEF 是等边三角形 50.(辽宁模拟)在直角梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠A=90°,CD=3,AD=4,tanB=2.过点 C 作 CH⊥ AB 于 H,点 P 为线段 AD 上一动点,PM∥AB 分别交 BC、CH 于点 M、Q.以 PM 为斜边向下作等腰 Rt △PMN,直线 PN 交直线 AB 于点 E,直线 MN 交直线 AB 于点 F.设 PD 的长为 x,EF 的长为 y. (1)求 PM 的长(用 x 表示); (2)求 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围; (3)当点 F 在线段 AH 上时,求 x 的取值范围. 解:(1)∵矩形 AHCD,PM∥AB,∴四边形 PQCD 是矩形 ∴PQ=CD=3,CQ=PD=x ∵PM∥AB,∴∠CMP=∠B ∴tan∠CMP= CQ QM =2,∴QM= x 2 ∴PM=3+ x 2 (2)当点 N 在矩形 AHCD 内部时,如图 1 过点 N 作 NG⊥PM 于 G,GN 的延长线交 AB 于点 K ∵等腰 Rt△PMN,∴NG= 1 2 PM= 3 2 + x 4 ∴NK=PA-NG=(4-x)-( 3 2 + x 4 )= 5 2 - 5 4 x ∴y=2NK=5- 5 2 x BA CD P M N HE F Q BA CD H 备用图 BA CD H 备用图 BA CD P M K HF E Q N G 图 1 CD P M F Q K A B DM C E F 图 3 G H ∵PD+NG≤AD,∴x+ 3 2 + x 4 ≤4 ∴0≤x≤2 当点 N 在矩形 AHCD 外部时,如图 2 由题意得 AH=CD=3,QH=PA=4-x QK=QM= x 2 ,∠FKH=∠KFH=45° ∴FH=KH=QH-QK=4-x- x 2 =4- 3 2 x 同理,AE=PA=4-x ∴y=AH-AE-FH=3-(4-x)-(4- 3 2 x) 即 y= 5 2 x-5 (3)当点 F 与点 A 重合时,如图 3 则 AH=GH=3,QG=QM= x 2 ,∴GH=4-x- x 2 =4- 3 2 x 当点 F 从点 A 移动到点 H 时,点 G 与点 H 重合 ∴0≤GH≤3,∴0≤4- 3 2 x≤3 解得 2 3 ≤x≤ 8 3 即当点 F 在线段 AH 上时,x 的取值范围是 2 3 ≤x≤ 8 3 51.(贵州贵阳)如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分,我们把这条直线称为这个平面 图形的一条面积等分线. (1)三角形有_________条面积等分线,平行四边形有_________条面积等分线; (2)如图①所示,在矩形中剪去一个小正方形,请画出这个图形的一条面积等分线; (3)如图②,四边形 ABCD 中,AB 与 CD 不平行,AB≠CD,且 S△ABC <S△ACD ,过点 A 画出四边形 ABCD 的面积等分线,并写出理由. 解:(1)无 数,无 数 (2)如图①所示(画出其中一种即可) (3)如图②所示,作出图形 过 B 作 BE∥AC 交 DC 的延长线于 E,连接 AE 则 S△ABC =S△AEC ,∴S 四边形 ABCD =S△AEC 图① 图② A C B D BA CD P M N H E Q 图 3 G (F) 图① 图② A C B DFE 作 S△AED 的中线所在的直线 AF ∴AF 是四边形 ABCD 的面积等分线 52.(成都某校自主招生)如图,矩形 OABC 的顶点 O 在坐标原点,A(2 3,0),C(0,2),点 M 是折 线 A-B-C 上的一个动点(点 M 与点 C 不重合),点 N 是点 C 关于 OM 的对称点.当△ONA 为等腰三角 形时,符合条件的点 M 有几个?分别求出此时点 M 和点 N 的坐标. 解:符合条件的点 M 有 4 个 ①若 OA 为底,符合条件的点 N 有 2 个(以 O 为圆心 OC 为半径的圆与 OA 的垂直平分线的交点) 则符合条件的点 M 有 2 个 设 OA 的垂直平分线与 OA 交于点 D,则 OD=AD= 3 ∵AN=ON=OC=2,∴ND=1 ∴N1( 3,1),N2( 3,-1) ∠NOD=30°,∴∠M1OC=∠M1ON1=30° ∴M1C=OC·tan30°=2 3 3 ∴M1(2 3 3 ,4) ∠N2OD=90°+30°=120°,∴∠M2OC=60° ∵tan∠BOC= BC OC = 2 3 2 = 3,∴∠BOC=60° ∴M2 与 B 重合,M2(2 3,2) ②若 ON 为底,符合条件的点 N 有 2 个(以 O 为圆心 OC 为半径的圆与以 A 为圆心 AO 为半径的圆的交点) 则符合条件的点 M 有 2 个 过 A 作 AF⊥ON 于 F,过 N 作 NG⊥OA 于 G 则 OF= 1 2 ON=1,AF= OA 2-OF 2 = 11 ∵S△ONA = 1 2 OA·NG= 1 2 ON·AF ∴NG=ON·AF OA = 33 3 ,OG= ON 2-NG 2 = 3 3 N3( 3 3 ,33 3 ),N4( 3 3 ,- 33 3 ) 延长 ON 交 BC 于 K,则△KOC∽△ONG 得 OK=ON·OC NG =4 33 11 ,CK= OK 2-OC 2 =2 11 11 ∵∠MOC=∠MOK O x y A C B N M O x y A C B N1 M1 N2 (M2) D O x y A C B N3 M3 N4 M4F G K P ∴S△ONA = 1 2 OC·MC+ 1 2 OK·MC= 1 2 OC·CK ∴MC= OC·CK OC+OK =4 3-2 11 ∴M3(4 3-2 11,2) ∵∠M4ON4=∠M4OA+∠AON4 ∠M4ON4=∠M4OC= 1 2 ∠N4OC= 1 2 (∠AON3+∠AON4+∠N3OC) = 1 2 (2∠AON4+2∠M3OC)=∠M3OC+∠AON4 ∴∠M4OA=∠M3OC,tan∠M4OA=tan∠M3OC 即 M4A OA = M3C OC ,∴M4A= M3C·OA OC =12-2 33 ∴M4(2 3,12-2 33) ③若 AN 为底,∵ON=OC≠OA,∴△OAN 不存在 53.(成都某校自主招生)如图,在矩形 ABCD 中,AB=3,AD=4,E 是边 AD 上一点(点 E 不与点 A、 D 重合).将△ABE 沿直线 BE 折叠,点 A 落在点 A1 处,连接 A1C、A1D. (1)当点 A1 落在对角线 BD 上时,求 AE 的长; (2)当△A1CD 是等腰三角形时,求 AE 的长. 解:(1)在 Rt△ABD 中,AB=3,AD=4 ∴BD=5 当点 A1 落在对角线 BD 上时 ∵A1B=AB=3,∴A1D=2 由 Rt△A1ED∽Rt△ABD,得 A1E AB = A1D AD 即 A1E 3 = 2 4 ,∴A1E= 3 2 即 AE 的长为 3 2 (2)①若 A1D=A1C 过 A1 作 FG∥AB,分别交 AD、BC 于 F、G,作 A1H⊥CD 于 H 则 A1G=HC= 1 2 DC= 1 2 AB= 1 2 A1B ∴∠A1BG=30°,∴∠ABE=∠A1BE=30° ∴AE= 3 3 AB= 3 ②若 A1C=DC 则 A1C=AB=A1B=3 过 A1 作 FG∥AB,分别交 AD、BC 于 F、G C A B D A1 E C A B D A1 E F G H C A B D A1 E F G C A B D A1 E C A B D 备用图 则 BG= 1 2 BC=2,A1G= A1B 2-BG 2 = 5,A1F=3- 5 设 AE=x,则 A1E=x,EF=2-x 在 Rt△A1EF 中,A1F 2+EF 2=A1E 2 ∴(3- 5)2+(2-x)2=x 2,解得 x=9-3 5 2 即 AE=9-3 5 2 ③若 A1D=CD 过 A1 作 FG∥AB,分别交 AD、BC 于 F、G 设 AF=BG=x,A1G=y,则 DF=4-x,A1F=3-y 由 BG 2+A1G 2=A1B 2,DF 2+A1F 2=A1D 2,得: x2+y2=9 (4-x)2+(3-y)2=9 解得 x1=20+3 11 10 y1=15-4 11 10 x2=20-3 11 10 y2=15+4 11 10 当 x=20+3 11 10 ,y=15-4 11 10 时,A1F=3-y=15+4 11 10 由 Rt△EA1F∽Rt△A1BG,得 A1E A1B = A1F BG ∴A1E= A1F BG ·A1B=504+105 11 301 即 AE=504+105 11 301 当 x=20-3 11 10 ,y=15+4 11 10 时 同理可得 AE=504-105 11 301 综上:当△A1CD 是等腰三角形时,AE 的长为 3 或 9-3 5 2 或 504+105 11 301 或 504-105 11 301 54.(四川巴中)如图,在平面直角坐标系中,点 A,C 分别在 x 轴、y 轴上,四边形 ABCO 为矩形,AB =16,点 D 与点 A 关于 y 轴对称,tan∠ACB= 4 3 .点 E,F 分别是线段 AD、AC 上的动点(点 E 不与点 A、 D 重合),且∠CEF=∠ACB. (1)求 AC 的长和点 D 的坐标; (2)说明△AEF 与△DCE 相似; (3)当△EFC 为等腰三角形时,求点 E 的坐标. 解:(1)∵四边形 ABCO 为矩形,∴∠B=90° 在 Rt△ABC 中,tan∠ACB= AB BC = 4 3 A CB DO x y E F C A B D A1 E F G C A B D A1 E F G ∴BC= 3 4 AB= 3 4 ×16=12 ∴A(-12,0),AC= AB 2+BC 2 = 162+122 =20 ∵点 D 与点 A 关于 y 轴对称,∴D(12,0) (2)∵矩形 ABCD,∴∠1=∠ACB ∵点 D 与点 A 关于 y 轴对称,∴CA=CD ∴∠1=∠2 ∵∠CEF=∠ACB,∴∠CEF=∠2 ∴∠AEC=∠3+∠CEF=∠2+∠4,∴∠3=∠4 ∴△AEF∽△DCE (3)①当 EC=EF 时,△AEF≌△DCE ∴AE=DC=AC=20,∴OE=AE-AO=20-12=8 ∴E(8,0) ②当 CF=EF 时,则∠FCE=∠CEF=∠1 又∵∠1=∠2,∴△AEC∽△ACD ∴ AE AC = AC AD ,∴ AE 20 = 20 24 ∴AE= 50 3 ,∴OE=AE-AO= 50 3 -12= 14 3 ∴E( 14 3 ,0) ③当 CE=CF 时,则∠CFE=∠CEF=∠1 此时点 F 与点 A 重合,故点 E 与点 D 也重合,不合题意,舍去 综上,当△EFC 为等腰三角形时,点 E 的坐标为(8,0)或( 14 3 ,0) 55.(四川乐山)如图 1,△ABC 是等腰直角三角形,四边形 ADEF 是正方形,D、F 分别在 AB、AC 边上, 此时 BD=CF,BD⊥CF 成立. (1)当正方形 ADEF 绕点 A 逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时,如图 2,BD=CF 成立吗?若成立,请证明; 若不成立,请说明理由. (2)当正方形 ADEF 绕点 A 逆时针旋转 45°时,如图 3,延长 BD 交 CF 于点 G. ①求证:BD⊥CF; ②当 AB=4,AD= 2 时,求线段 BG 的长. 解:(1)BD=CF 成立 理由:∵△ABC 是等腰直角三角形,四边形 ADEF 是正方形 ∴AB=AC,AD=AF,∠BAC=∠DAF=90° A C B DF E A AB B E E CC D D FF G 图 1 图 2 图 3 θ 45° E C DF θ A CB DO x y E F 1 2 4 3 ∵∠BAD=∠BAC-∠DAC,∠CAF=∠DAF-∠DAC ∴∠BAD=∠CAF,∴△BAD≌△CAF ∴BD=CF (2)①证明:设 BG 交 AC 于点 M ∵△BAD≌△CAF,∴∠ABM=∠GCM ∵∠BMA=∠CMG,∴△BMA∽△CMG ∴∠BGC=∠BAC=90°,∴BD⊥CF ②过点 F 作 FN⊥AC 于点 N ∵在正方形 ADEF 中,AD= 2,∴AN=FN= 1 2 AE=1 ∵在等腰 Rt△ABC 中,AB=4 ∴CN=AC-AN=3,BC= AB 2+AC 2 =4 2 ∴在 Rt△FCN 中,tan∠FCN= FN CN = 1 3 ∴在 Rt△ABM 中,tan∠ABM= AM AB =tan∠FCN= 1 3 ∴AM= 1 3 AB= 4 3 ∴CM=AC-AM=4- 4 3 = 8 3 ,BM= AB 2+AM 2 = 4 10 3 ∵△BMA∽△CMG,∴ AM BM = GM CM ∴ 4 3 4 10 3 = GM 8 3 ,∴GM= 4 10 15 ∴BG=BM+GM= 4 10 3 + 4 10 15 = 8 10 5 56.(四川绵阳)如图,正方形 ABCD 中,E、F 分别是边 AD、CD 上的点,DE=CF,AF 与 BE 相交于 O, DG⊥AF,垂足为 G. (1)求证:AF⊥BE; (2)试探究线段 AO、BO、GO 的长度之间的数量关系; (3)若 GO :CF=4 :5,试确定 E 点的位置. (1)证明:∵四边形 ABCD 为正方形,且 DE=CF ∴AB=AD,AE=DF,∠BAE=∠ADF=90°, ∴△ABE≌△DAF,∴∠ABE=∠DAF 又∵∠ABE+∠AEB=90°,∴∠DAF+∠AEB=90° ∴∠AOE=90°,即 AF⊥BE (2)AO=BO-OG 理由:∵∠ABE=∠DAF,∠AOB=∠DGA=90°,AB=AD ∴△ABO≌△DAG,∴BO=AG A F B C E D G O C DF A B E G 图 3 45° M N A F E D G O H ∴AO=AG-OG=BO-OG (3)过点 E 作 EH⊥DG,垂足为 H 则四边形 OEHG 是矩形,∴OE∥DG,EH=OG ∵DE=CF,GO :CF=4 :5,∴EH :ED=4 :5 ∵OE∥DG,∴∠AEB=∠EDH ∴Rt△ABE∽Rt△HED,AB :BE=EH :ED=4 :5 ∴在 Rt△ABE 中,AE :AB=3 :4 ∴AE :AD=3 :4,即 AE= 3 4 AD 57.(四川资阳)(1)如图(1),正方形 AEGH 的顶点 E、H 在正方形 ABCD 的边上,直接写出 HD :GC : EB 的结果(不必写计算过程); (2)将图(1)中的正方形 AEGH 绕点 A 旋转一定角度,如图(2),求 HD :GC :EB; (3)把图(2)中的正方形都换成矩形,如图(3),且已知 DA :AB=HA :AE=m :n,此时 HD :GC :EB 的值与(2)小题的结果相比有变化吗?如果有变化,求出变化后的结果;如果没有变化,请说明理由. (1)HD :GC :EB=1 : 2 :1 (2)连接 AC、AG,则△ADC 和△AHG 都是等腰直角三角形 ∴AD :AC=AH :AG=1 : 2,∠DAC=∠HAG=45° ∴∠DAH=∠CAG,∴△DAH∽△CAG ∴HD :GC=AD :AC=1 : 2 ∵∠DAB=∠HAE=90°,∴∠DAH=∠BAE 又∵AD=AB,AH=AE,∴△DAH≌△BAE ∴HD=EB ∴HD :GC :EB=1 : 2:1 (3)有变化,HD :GC :EB=m : m2+n2 :n 理由:连接 AC、AG ∵DA :AB=HA :AE=m :n ∴DA :AC=HA :AG=m : m2+n2 ,∠DAC=∠HAG ∴∠DAH=∠CAG,∴△DAH∽△CAG ∴HD :GC=DA :AC=m : m2+n2 ∵∠DAB=∠HAE=90°,∴∠DAH=∠BAE 又∵DA :AB=HA :AE=m :n,∴△DAH∽△BAE ∴HD :EB=DA :AB=m :n ∴HD :GC :EB=m : m2+n2 :n 58.(四川自贡)如图所示,在菱形 ABCD 中,AB=4,∠BAD=120°,△AEF 为正三角形,点 E、F 分别 在菱形的边 BC、CD 上滑动,且 E、F 不与 B、C、D 重合. D A BE C GH (1) (3) D A B E C G H D A B E C G H (2) D A B E C G H D A B E C G H (1)证明不论 E、F 在 BC、CD 上如何滑动,总有 BE=CF; (2)当点 E、F 在 BC、CD 上滑动时,分别探讨四边形 AECF 和△CEF 的面积是否发生变化?如果不变, 求出这个定值;如果变化,求出最大(或最小)值. (1)证明:连接 AC ∵菱形 ABCD 中,∠BAD=120° ∴∠BAC=60°,∠B=60° ∴△ABC 是正三角形,∴AB=AC 又△AEF 为正三角形,∴∠EAF=60°,AE=AF 而∠BAC=60°,∴∠BAE=∠CAF ∴△ABE≌△ACF,∴BE=CF (2)当 E、F 在 BC、CD 上滑动时,四边形 AECF 的面积不发生变化,其值为 4 3 由(1)知,S△ABE =S△ACF ∴S 四边形 AECF =S△ABC = 3 4 ×42=4 3 而△CEF 的面积发生变化,其最大值为 3 ∵S△CEF =S 四边形 AECF -S△AEF =4 3- 3 4 AE 2 当 AE⊥BC 时,AE 的长最小,最小值为 AB·sin60°,即 AE=4× 3 2 =2 3 ∴S△CEF 的最大值为 4 3- 3 4 (2 3)2= 3 59.(湖南怀化)如图 1,四边形 ABCD 是边长为 3 2的正方形,长方形 AEFG 的宽 AE= 7 2 ,长 EF= 7 2 3.将 长方形 AEFG 绕点 A 顺时针旋转 15°得到长方形 AMNH(如图 2),这时 BD 与 MN 相交于点 O. (1)求∠DOM 的度数; (2)在图 2 中,求 D、N 两点间的距离; (3)若把长方形 AMNH 绕点 A 再顺时针旋 转 15°得到长方形 ARTZ,请问此时点 B 在矩 形 ARTZ 的内部、外部、还是边上?并说明 理由. 解:(1)设 MN 与 AB 的交点为 Q ∵∠MAQ=15°,∠AMQ=90°,∴∠AQM=∠OQB=75° 又∠OBQ=45°,∴∠DOM=∠OQB+∠OBQ=75°+45°=120° (2)∵正方形 ABCD 的边长为 3 2,∴DB=6 D A BE C G 图 1 F D A B M C H 图 2 N O A C B F E D A C B F E D D A B C H N OK Q 连接 DN、AN,设 AN 与 BD 的交点为 K ∵长方形 AMNH 宽 AM= 7 2 ,长 MN= 7 2 3 ∴AN=7,∴∠ANM=30° ∵∠DOM=120°,∴KON=60° ∴OKN=90°,AN⊥DB ∴AK 是等腰直角三角形 ABD 斜边 DB 上的中线 ∴AK=DK= 1 2 DB=3,∴AN=4 在 Rt△DNK 中,DN= DK 2+KN 2 = 32+42 =5 故 D、N 两点间的距离为 5 (3)点 B 在矩形 ARTZ 的外部 理由如下: 由题意知 AR= 7 2 ,设 AB 与 RT 的交点为 P,则∠PAR=30° 在 Rt△ARP 中,cos∠PAR= AR AP ,∴AP= 7 2 cos30° ,= 49 3 ∵AB=3 2= 18> 49 3 ,即 AB>AP, ∴点 B 在矩形 ARTZ 的外部 60.(湖南益阳)已知:如图 1,在面积为 3 的正方形 ABCD 中,E、F 分别是 BC 和 CD 边上的两点,AE⊥BF 于点 G,且 BE=1. (1)求证:△ABE≌△BCF; (2)求出△ABE 和△BCF 重叠部分(即△BEG)的面积; (3)现将△ABE 绕点 A 逆时针方向旋转到△AB′E′(如图 2),使点 E 落在 CD 边上的点 E′ 处,问△ABE 在旋转前后与△BCF 重叠部分的面积是否发生了变化?请说明理由. (1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形 ∴∠ABE=∠BCF=90°,AB=BC,∴∠ABF+∠CBF=90° ∵AE⊥BF,∴∠ABF+∠BAE=90° ∴∠BAE=∠CBF,∴△ABE≌△BCF (2)解:∵正方形 ABCD 的面积为 3,∴AB= 3 在△BGE 与△ABE 中 ∵∠GBE=∠BAE,∠EGB=∠EBA=90° ∴△BGE∽△ABE,∴ S△BGE S△ABE =( BE AE )2 D A B R C Z T P D C BA G E F 图 1 D C BA F 图 2 B′ E′ D C BA G E F 图 1 又∵BE=1,∴AE 2=AB 2+BE 2=3+1=4 S△BGE = BE 2 AE 2 ·S△ABE = 1 4 × 3 2 = 3 8 (3)没有变化 理由:∵AB= 3,BE=1 ∴tan∠BAE= 1 3 = 3 3 ,∴∠BAE=30° ∵AB′=AD,∠AB′E′=∠ADE′=90°,AE′ 公共 ∴Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′ ∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30° ∴AB′ 与 AE 在同一直线上,即 BF 与 AB′ 的交点是 G 设 BF 与 AE′ 的交点为 H,则∠BAG=∠HAG=30° 又∠AGB=∠AGH=90°,AG 公共,∴△BAG≌△HAG ∴S 四边形 GHE′B′ =S△AB′E′ -S△AGH=S△ABE -S△ABG=S△BGE ∴△ABE 在旋转前后与△BCF 重叠部分的面积没有变化 61.(湖北咸宁)如图 1,矩形 MNPQ 中,点 E,F,G,H 分别在 NP,PQ,QM,MN 上,若∠1=∠2=∠ 3=∠4,则称四边形 EFGH 为矩形 MNPQ 的反射四边形.图 2,图 3,图 4 中,四边形 ABCD 为矩形,且 AB=4,BC=8. 理解与作图: (1)在图 2,图 3 中,点 E,F 分别在 BC,CD 边上,试利用正方形网格在图上作出矩形 ABCD 的反射四 边形 EFGH. 计算与猜想: (2)求图 2,图 3 中反射四边形 EFGH 的周长,并猜想矩形 ABCD 的反射四边形的周长是否为定值? 启发与证明: (3)如图 4,为了证明上述猜想,小华同学尝试延长 GF 交 BC 的延长线于 M,试利用小华同学给我们的 启发证明(2)中的猜想. (1)作图如下: D C BA F 图 2 B′ E′ G H E 图 2 A B C D E F A B C DG H E F1 23 4 M A B C D E F M N P QG H E F 1 23 4 图 1 图 3 图 4 图 2 A B C D E F G H A B C D E F 图 3 G H (2)解:在图 2 中,EF=FG=GH=HE= 22+42 =2 5 ∴四边形 EFGH 的周长为 8 5 在图 3 中,EF=GH= 22+12 = 5,FG=HE= 32+62 =3 5 ∴四边形 EFGH 的周长为 2× 5+2×3 5=8 5 猜想:矩形 ABCD 的反射四边形的周长为定值 (3)证法一:延长 GH 交 CB 的延长线于点 N ∵∠1=∠2,∠1=∠5,∴∠2=∠5 又 FC=FC,∴Rt△FCE≌Rt△FCM ∴EF=MF,EC=MC 同理:NH=EH,NB=EB ∴MN=2BC=16 ∵∠M=90°-∠5=90°-∠1,∠N=90°-∠3 ∴∠M=∠N,∴GM=GN 过点 G 作 GK⊥BC 于 K,则 KM= 1 2 MN=8 ∴GM= GK 2+KM 2 = 42+82 =4 5 ∴四边形 EFGH 的周长为 2GM=8 5 证法二:∵∠1=∠2,∠1=∠5,∴∠2=∠5 又 FC=FC,∴Rt△FCE≌Rt△FCM ∴EF=MF,EC=MC ∵∠M=90°-∠5=90°-∠1,∠HEB=90°-∠4 而∠1=∠4,∴∠M=∠HEB ∴HE∥GF,同理:GH∥EF ∴四边形 EFGH 是平行四边形 ∴FG=HE,而∠1=∠4 ∴Rt△FDG≌Rt△HBE,∴DG=BE 过点 G 作 GK⊥BC 于 K,则 KM=KC+CM=GD+CM=BE+EC=8 ∴GM= GK 2+KM 2 = 42+82 =4 5 ∴四边形 EFGH 的周长为 2GM=8 5 62.(湖北宜昌)如图,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°.点 E 为底 AD 上一点,将△ABE 沿直线 BE 折叠,点 A 落在梯形对角线 BD 上的 G 处,EG 的延长线交直线 BC 于点 F. (1)点 E 可以是 AD 的中点吗?为什么? (2)求证:△ABG∽△BFE; (3)设 AD=a,AB=b,BC=c. ①当四边形 EFCD 为平行四边形时,求 a,b,c 应满足的关系; ②在①的条件下,当 b.2 时,a 的值是唯一的,求∠C 的度数. 解:(1)不是 据题意:AE=GE,∠EGB=∠EAB=90° ∴Rt△EGD 中,GE<ED,∴AE<ED ∴点 E 不可以是 AD 的中点 (注:大致说出意思即可;反证法叙述也可) (2)方法一: 证明:∵AD∥BC,∴∠AEB=∠EBF ∵△EAB≌△EGB,∴∠AEB=∠BEG ∴∠EBF=∠BEF,∴FE=FB CB A G E F D A B C DG H E F 1 23 4 M 图 4 N K 5 即△FEB 为等腰三角形 ∵∠ABG+∠GBF=90°,∠GBF+∠EFB=90°,∴∠ABG=∠EFB 在等腰△ABG 和△FEB 中,∠BAG=(180°-∠ABG)÷2 ∠FBE=(180°-∠EFB)÷2,∴∠BAG=∠FBE ∴△ABG∽△BFE 方法二:∠ABG=∠EFB(见方法一) 证得两边对应成比例: AB BF = GB EF 由此可得出结论 (3)①方法一:∵四边形 EFCD 为平行四边形,∴EF∥DC 证明两个角相等,得△ABD∽△DCB ∴ AD DB = DB CB ,即 a a2+b2 = a2+b2 c ∴a2+b2=ac 方法二:过 D 点作 DH⊥BC 于 H ∵四边形 EFCD 为平行四边形 ∴EF∥DC,∴∠C=∠EFB ∵△ABG∽△BFE,∴∠EFB=∠GBA,∴∠C=∠ABG ∵∠DAB=∠DHC=90°,∴△ABD∽△HCD ∴ AD DH = AB HC ,∴ a b = b c-a ,∴a2+b2=ac (注:或利用 tan∠C=tan∠ABD) 方法三:证明△ABD∽△GFB,则有 BF DB = BG AD ∴ BF a2+b2 = b a ,∴BF= b a2+b2 a ∵四边形 EFCD 为平行四边形,∴FC=ED=c- b a2+b2 a ∵ED∥BC,∴△EDG∽△FBG,∴ ED BF = DG BG ∴ c- b a2+b2 a b a2+b2 a = a2+b2 -b b ,∴a2+b2=ac ②方法一:解关于 a 的一元二次方程 a 2-ac+22=0,得: a1=c+ c 2-16 2 >0,a2=c- c 2-16 2 >0 由题意,△=0,即 c2-16=0,∵c>0,∴c=4,∴a=2 ∴H 为 BC 中点,且 ABHD 为正方形,DH=HC,∠C=45° 方法二:设关于 a 的一元二次方程 a2-ac+22=0 两根为 a1,a2 则 a1+a2=c>0,a1·a2=4>0,∴a1>0,a2>0 由题意,△=0,即 c2-16=0,∵c>0,∴c=4,∴a=2 ∴H 为 BC 中点,且 ABHD 为正方形,DH=HC,∠C=45° CB A G E F D H 63.(湖北某校自主招生)如图,矩形 ABCD 是一个长为 1000 米、宽为 600 米的货场,A、D 是入口.现 拟在货场内建一个收费站 P,在铁路线 BC 段上建一个发货站台 Q,求铺设公路 AP、DP 以及 PQ 的长度 之和的最小值为多少米? 解:作 BC 的平行线 EF,分别交 AB、DC 于 E、F, 作点 D 关于直线 EF 的对称点 D′,连接 AD′ 交 EF 于点 P, 则 AP+DP 的长最小 此时 PF= 1 2 AD,故点 P 在 AD 的垂直平分线上 要使 PH 的长最小,则 PH⊥BC,故点 H 也在 AD 的垂直平分线上 ∴AH=DH,△AHD 是等腰三角形 连接 AQ,将△APQ 绕点 A 顺时针旋转 60°到△AMN,连接 MP、NQ 则 AM=AP,AN=AQ,MN=PQ 又∠MAP=60°,∴△AMP 是等边三角形 ∴AP=MP,∴AP+DP+PQ=MP+DP+MN 当 N、M、P、D 共线时,AP+DP+PQ 的长最小 此时∠APD=120°,∴∠PAD=∠PDA=30° 延长 QP 交 AD 于 E,则 AE=DE= 1 2 AD=500 ∴AP=DP= AE cos30° =1000 3 3 ,EP= 1 2 AP=500 3 3 ∴PQ=600 -500 3 3 ∴AP+DP+PQ=2× 1000 3 3 +600 -500 3 3 =600+500 3 故铺设公路 AP、DP 以及 PQ 的长度之和的最小值为(600+500 3) 米 64.(广东)如图,在矩形纸片 ABCD 中,AB=6,BC=8.把△BCD 沿对角线 BD 折叠,使点 C 落在 C′ 处, BC′ 交 AD 于点 G;E、F 分别是 C′D 和 BD 上的点,线段 EF 交 AD 于点 H,把△FDE 沿 EF 折叠,使点 D 落在 D′ 处,点 D′ 恰好与点 A 重合. (1)求证:△ABG≌△C′DG; (2)求 tan∠ABG 的值; (3)求 EF 的长. (1)证明:∵四边形 ABCD 为矩形 ∴∠C=∠BAD=90°,AB=CD 由图形的折叠性质,得 CD=C′D,∠C=∠C′=90° ∴∠BAD=∠C′,AB=C′D 又∵∠AGB=∠C′GD,∴△ABG≌△C′DG (2)解:设 AG 为 x ∵△ABG≌△C′DG,AD=8,AG=x A B D C P 1000m 600m A M D C P Q B N E A D C P QB E F D′ A B DG C′ C E F H (D′) A B DG C′ C E F H (D′) ∴BG=DG=AD-AG=8-x 在 Rt△ABG 中,有 BG 2=AG 2+AB 2 ∵AB=6,∴(8-x)2=x 2+6 2,解得 x= 7 4 ∴tan∠ABG= AG AB = 7 24 (3)解法一:由图形的折叠性质,得∠EHD=90°,DH=AH=4 ∴AB∥EF,∴△DHF∽△DAB ∴HF AB = DH AD ,即 HF 6 = 1 2 ,∴HF=3 又△ABG≌△C′DG,∴∠ABG=∠HDE ∴tan∠ABG=tan∠HDE= EH HD ,即 7 24 =EH 4 ,∴EH= 7 6 ∴EF=EH+HF= 7 6 +3=25 6 解法二:由图形的折叠性质,得∠DHF=90°,DH=AH=4 ∠AFE=∠DFE,AF=DF,∠BDC=∠BDC′=∠EAF ∵在 Rt△ABD 中,∠BAD=90°,AD=4,AB=6 ∴BD= AB 2+AD 2 =10 又∵∠BAD=∠DHF=90°,∴AB∥EF ∴△DHF∽△DAB,∴DF DB = DH DA ∴DF= 1 2 DB=5,∴AF=5 ∵AB∥EF,∴∠FAB=∠EFA ∵在矩形 ABCD 中,AB∥CD,∴∠DBA=∠BDC ∴∠FBA=∠EAF,∴△FAB∽△EFA ∴ FA EF = AB FA ,∴EF=FA 2 AB =25 6 65.(广东广州)如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=5,BC=10,F 为 AD 的中点,CE⊥AB 于点 E,设 ∠ABC=α(60°≤α <90°). (1)当α=60°时,求 CE 的长; (2)当 60°<α <90°时, ① 是否存在正整数 k,使得∠EFD=k∠AEF?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由. ② 连接 CF,当 CE 2-CF 2 取最大值时,求 tan∠DCF 的值. 解:(1)在 Rt△BEC 中,BC=10,∠EBC=60° ∴CE=BC·sin60°=10× 3 2 =5 3 (2)①连接 CF 并延长交 BA 的延长线于点 G ∵F 为 AD 的中点,∴AF=DF ∵AB∥CD,∴∠G=∠DCF 又∵∠G=∠DCF,∴△AFG≌△DFC ∴GF=CF,AG=DC A B D C F E A B D C F E G ∵CE⊥AB,∴EF 是 Rt△EGC 斜边 GC 上的中线 ∴EF=GF,∴∠G=∠AEF ∴∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF ∵AB=5,BC=10,F 为 AD 的中点 ∴AF=AG=5,∴∠AFG=∠G ∵∠DFC=∠AFG,∴∠DFC=∠AEF ∴∠EFD=∠EFC+∠ DFC=3∠AEF ∴存在正整数 k=3,使得∠EFD=3∠AEF ②设 BE=x,∵AG=CD=AB=5 ∴EG=AE+AG=5-x+5=10-x 在 Rt△BEC 中,CE 2=BC 2+BE 2=100-x 2 在 Rt△EGC 中,CG 2=EG 2+CE 2=(10-x)2+100-x 2=200-20x ∴CF 2=( 1 2 CG)2= 1 4 CG 2=50-5x ∴CE 2-CF 2=-x 2+5x+50=-(x- 5 2 )2+225 4 ∴当 x= 5 2 ,即点 E 是 AB 的中点时,CE 2-CF 2 取最大值 此时,EG=10-x=15 2 ,CE= 100-x 2 =5 15 2 ∴tan∠DCF=tan∠G= CE EG = 5 15 2 15 2 = 15 3 66.(广东梅州、河源)如图,矩形 OABC 中,A(6,0),C(0,2 3),射线 l 过点 D(0,3 3)且与 x 轴平行,点 P、Q 分别是 l 和 x 轴的正半轴上的动点,满足∠PQO=60°. (1)①点 B 的坐标是___________;②∠CAO=___________度;③当点 Q 与点 A 重合时,点 P 的坐标为 ___________;(直接写出答案) (2)设 OA 的中点为 N,PQ 与线段 AC 相交于点 M,是否存在点 P,,使△AMN 为等腰三角形或直角三 角形?若存在,请直接写出点 P 的横坐标 m,若不存在,请说明理由; (3)设点 P 的横坐标为 x,△OPQ 与矩形 OABC 的重叠部分的面积为 S,试求 S 与 x 的函数关系式和相 应的自变量 x 的取值范围. 解:(1)①(6,2 3);②30;③(3,3 3) (2)存在.等腰三角形时:x1=0,x2=3- 3,x3=2 直角三角形时:x1=1,x2= 3 2 提示:∵∠PQO=60°,∠CAO=30°,∴∠AMQ=30° A C B O x y D l 备用图 A C B QO x y D P l M N A C B O x y D l M N(Q) (P) ∴∠AMQ=∠MAQ,∴MQ=AQ 等腰三角形时分三种情况讨论: ①若 MN=AN,则点 Q 与点 N 重合 ∴点 P 与点 D 重合,∴x1=0 ②若 AM=AN 分别过点 P、M 作 x 轴的垂线,垂足分别为 E、F ∵∠PQO=60°,∠CAO=30°,∴∠AMQ=30° ∴∠AMQ=∠MAQ,∴MQ=QA ∴MF= 3 2 MQ= 3 2 QA= 3 2 (OA-OE-EQ)= 3 2 (6-x-3)= 3 2 (3-x) ∴AM=2MF= 3(3-x),AF= 3MF= 3 2 (3-x) ∴ 3(3-x)=3,∴x2=3- 3 ③若 AM=MN,则 AF= 1 2 AN= 3 2 ∴ 3 2 (3-x)= 3 2 ,∴x3=2 直角三角形时分两种情况讨论: ①若∠ANM=90°,则 AF=AN=3 ∴ 3 2 (3-x)=3,x1=1 ②若∠AMN=90°,则 AM= 3 2 AN ∴ 3(3-x)=3 3 2 ,∴x2= 3 2 (3)当 0≤x≤3 时,重叠部分为梯形 GHQO ∵OE=x,EQ=3,∴OQ=x+3 ∵BC∥OA,∴ GH OQ = 3 3-2 3 3 3 = 1 3 ∴GH= 1 3 OQ= 1 3 (x+3) S=S 梯形 GHQO = 1 2 (GH+OQ)·OC =4 3 3 (x+3)=4 3 3 x+4 3 当 3<x≤5 时,重叠部分为五边形 GHKAO S=S 梯形 GHQO - S△KAQ =S 梯形 GHQO - 1 2 AQ·AK =4 3 3 x+4 3- 3 2 (x+3-6)2=- 3 2 x2+13 3 3 x- 3 2 当 5<x≤9 时,重叠部分为梯形 GBAO 由△OCG∽△ODP,得 CG= 2 3 x,∴BG=6- 2 3 x S=S 梯形 GBAO = 1 2 (BG+OA)·OC A C B QO x y D P l M NE F A C B QO x y D P l M N F A C B QO x y D P l M G E H A C B QO x y D P l K G E H A C B QO x y D P l G E = 3(6- 2 3 x+6)=-2 3 3 x+12 3 当 x>9 时,重叠部分为△OLA 由△OLA∽△ODP,得 AL=18 3 x S=S△OLA = 1 2 OA·AL= 1 2 ·6·18 3 x =54 3 x 综上所述,S 与 x 的函数关系式为: S= 4 3 3 x+4 3(0≤x≤3) - 3 2 x2+13 3 3 x- 3 2 (3<x≤5) -2 3 3 x+12 3(5<x≤9) 54 3 x (x>9) 67.(广西南宁)如图,已知矩形纸片 ABCD,AD=2,AB=4.将纸片折叠,使顶点 A 与边 CD 上的点 E 重合,折痕 FG 分别与 AB,CD 交于点 G,F,AE 与 FG 交于点O. (1)如图 1,求证:A,G,E,F 四点围成的四边形是菱形; (2)如图 2,当△AED 的外接圆与 BC 相切于点 N 时,求证:点 N 是线段 BC 的中点; (3)如图 2,在(2)的条件下,求折痕 FG 的长. (1)证明:连接 AF 根据轴对称的性质,得∠AGF=∠EGF,AF=EF,AG=EG ∵DC∥AB,∴∠EFG=∠AGF ∴∠EFG=∠EGF,∴EF=EG ∴EF=AF=EG=AG ∴A,G,E,F 四点围成的四边形是平行四边形 (2)证明:连接 ON,根据轴对称的性质,得 AO=EO ∵矩形 ABCD 中,∠C=∠D=90° ∴AE 为△AED 的外接圆的直径,O 为圆心 ∵△AED 的外接圆与 BC 相切于点 N,∴ON⊥BC ∴ON 是梯形 ABCE 的中位线 ∴点 N 是线段 BC 的中点 (3)解:延长 NO 交 AD 于 M,则 MO= 1 2 DE FD C A BG E D′ O 图 1 FD C A BG E D′ O 图 2 N A C B QO x y D P l L FD CE D′ NM FD C A BG E D′ O 图 1 M 设 DE=x,则 MO= 1 2 x ∵MN⊥BC,∴四边形 MNCD 是矩形 ∴MN=CD=AB=4,∴ON=MN-MO=4- 1 2 x ∵△AED 的外接圆与 BC 相切于点 N ∴ON 是△AED 的外接圆的半径 ∴OE=ON=4- 1 2 x,AE=2ON=8-x 在 Rt△AED 中,AD 2+DE 2=AE 2 ∴22+x 2=(8-x)2,解得 x=15 4 ∴DE=15 4 ,OE=ON=4- 1 2 x=17 8 根据轴对称的性质,得 AE⊥FG,∴∠FOE=∠D=90° 又∵∠FEO=∠AED,∴△FEO∽△AED ∴ FO AD = OE DE ,∴FO= OE DE ·AD= 17 8 15 4 ×2= 17 15 ∵A,G,E,F 四点围成的四边形是菱形 ∴FO=GO,∴FG=2FO= 34 15 ∴折痕 FG 的长是 34 15 68.(福建厦门)已知□ABCD,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,点 P 在边 AD 上,过点 P 分别作 PE⊥AC、 PF⊥BD,垂足分别为 E、F,PE=PF. (1)如图,若 PE= 3,EO=1,求∠EPF 的度数; (2)若点 P 是 AD 的中点,点 F 是 DO 的中点,BF=BC+3 2-4,求 BC 的长. 解:(1)方法一:连接 PO ∵PE=PF,PO=PO,PE⊥AC、PF⊥BD ∴Rt△PEO≌Rt△PFO,∴∠EPO=∠FPO 在 Rt△PEO 中,tan∠EPO= EO PE = 3 3 ∴∠EPO=30°,∴∠EPF=60° 方法二:连接 PO 在 Rt△PEO 中,PO= 3+1=2 ∴sin∠EPO= EO PO = 1 2 ,∴∠EPO=30° B PA D F C E O B PA D F C E O 在 Rt△PFO 中,cos∠FPO= PF PO = 3 2 ,∴∠FPO=30° ∴∠EPF=60° 方法三:连接 PO ∵PE=PF,PE⊥AC、PF⊥BD,∴OP 是∠EOF 的平分线 ∴∠EOP=∠FOP 在 Rt△PEO 中,tan∠EOP= PE EO = 3 ∴∠EOP=60°,∴∠EOF=120° 又∵∠PEO=∠PFO=90°,∠EPF=60° (2)方法一:∵点 P 是 AD 的中点,∴AP=DP 又∵PE=PF,∴Rt△PEA≌Rt△PFD ∴∠OAD=∠ODA,∴OA=OD ∴AC=2OA=2OD=BD,∴□ABCD 是矩形 ∵点 P 是 AD 的中点,点 F 是 DO 的中点,∴AO∥PF ∵PF⊥BD,∴AC⊥BD,∴□ABCD 是菱形 ∴□ABCD 是正方形,∴BD= 2BC ∵BF= 3 4 BD,∴BC+3 2-4=3 2 4 BC,解得 BC=4 方法二:∵点 P 是 AD 的中点,点 F 是 DO 的中点 ∴AO∥PF ∵PF⊥BD,∴AC⊥BD,∴□ABCD 是菱形 ∵PE⊥AC,∴PE∥OD,∴△AEP∽△AOD ∴ EP OD = AP AD = 1 2 ,∴DO=2PE ∵PF 是△DAO 的中位线,∴AO=2PF ∵PF=PE,∴AO=OD,∴AC=2OA=2OD=BD ∴□ABCD 是矩形,∴□ABCD 是正方形,∴BD= 2BC ∵BF= 3 4 BD,∴BC+3 2-4=3 2 4 BC,解得 BC=4 方法三:∵点 P 是 AD 的中点,∴AP=DP 又∵PE=PF,∴Rt△PEA≌Rt△PFD ∴∠OAD=∠ODA,∴OA=OD ∴AC=2OA=2OD=BD,∴□ABCD 是矩形 ∵点 P 是 AD 的中点,点 O 是 BD 的中点,连接 PO ∴PO 是△ABD 的中位线,∴AB=2PO ∵PF⊥OD,点 F 是 OD 的中点,∴PO=PD ∴AD=2PO,∴AB=AD ∴□ABCD 是正方形,∴BD= 2BC ∵BF= 3 4 BD,∴BC+3 2-4=3 2 4 BC,解得 BC=4 方法四:∵点 P 是 AD 的中点,∴AP=DP 又∵PE=PF,∴Rt△PEA≌Rt△PFD ∴∠OAD=∠ODA,∴OA=OD ∴AC=2OA=2OD=BD,∴□ABCD 是矩形 ∵PF⊥OD,点 F 是 OD 的中点,连接 PO B PA D F C E O ∴PF 是线段 OD 的中垂线 又∵点 P 是 AD 的中点,∴PO=PD= 1 2 BD ∴△AOD 是直角三角形,∠AOD=90° ∴□ABCD 是正方形.,∴BD= 2BC ∵BF= 3 4 BD,∴BC+3 2-4=3 2 4 BC,解得 BC=4 69.(福建龙岩)矩形 ABCD 中,AD=5,AB=3,将矩形 ABCD 沿某直线折叠,使点 A 的对应点 A′ 落在 线段 BC 上,再打开得到折痕 EF. (1)当 A′ 与 B 重合时(如图 1),EF=_________;当折痕 EF 过点 D 时(如图 2),求线段 EF 的长; (2)观察图 3 和图 4,设 BA′=x, ①当 x 的取值范围是_______________时,四边形 AEA′F 是菱形; ②在①的条件下,利用图 4 证明四边形 AEA′F 是菱形. 解:(1)5 方法一:由折叠(轴对称)性质知 A′D=AD=5,∠A=∠EA′D=90° 在 Rt△A′DC 中,DC=AB=3,∴A′C= 52-32 =4 ∴A′B=BC-A′C=5-4=1 ∵∠EA′B+∠BEA′=∠EA′B+∠FA′C=90°,∴∠BEA′=∠FA′C 又∵∠B=∠C=90°,∴Rt△EBA′∽Rt△A′CF ∴ A′E A′F = A′B FC ,∴A′E= A′B FC ·A′F= 5 3 在 Rt△A′EF 中,EF= A′E 2+A′D 2 =5 10 3 方法二:同方法一 1 得 A′B=1 设 A′E=AE=x,则 BE=3-x 在 Rt△EBA′ 中,A′E 2=BE 2+A′B 2 ∴x 2=(3-x)2+1,∴x= 5 3 在 Rt△A′EF 中,EF= A′E 2+A′D 2 =5 10 3 方法三:同方法一得 Rt△EBA′∽Rt△A′CF ∵S△A′FC = 1 2 ×3×4=6,∴S△A′BE =( A′B FC )2·S△A′FC = 1 9 ×6= 2 3 ∴S 四边形 AEA′F =S 矩形 ABCD - S△△A′FC - S△A′BE=15-6- 2 3 =25 3 连接 AA′,则 AA′⊥EF,∴AA′= AB 2+A′B 2 = 10 ∵S 四边形 AEA′F = 1 2 AA′·EF,∴ 1 2 10·EF=5 10 3 B A D C D (A′) B C C C E F E A′ A A AF D DF BB(E) (F) A′ E A′ B′图 1 图 4图 2 图 3 C A DF B E A′ B′ (2)①3≤x≤5 ②证明:方法一:由折叠(轴对称)性质知∠AEF=∠FEA′ AE=A′E,AF=A′F 又∵AD∥BC,∴∠AFE=∠FEA′ ∴∠AEF=∠AFE,∴AE=A′E=A′F=AF ∴四边形 AEA′F 是菱形 方法二:由折叠(轴对称)性质知 AE=A′E,AF=A′F,AB=A′B 过 A′ 作 A′G⊥BC,交 AD 于 G 证明△A′GF≌A′B′E,得 A′F=A′E ∴AE=A′E=A′F=AF, ∴四边形 AEA′F 是菱形 70.(福建莆田)如图,在平面直角坐标系中,矩形 OABC 四个顶点的坐标分别为 O(0,0),A(0,3), B(6,3),C(6,0),抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)过点 A. (1)求 c 的值; (2)若 a=-1,且抛物线与矩形有且只有三个交点 A、D、E,求△ADE 的面积 S 的最大值; (3)若抛物线与矩形有且只有三个交点 A、M、N,线段 MN 的垂直平分线 l 过点 O,交线段 BC 于点 F. 当 BF=1 时,求抛物线的解析式. 解:(1)∵抛物线 y=ax2+bx+c 过点 A(0,3) ∴c=3 (2)∵a=-1,∴y=-x2+bx+3 如图①,当抛物线与矩形的两个交点 D、E 分别在 AB、OC 边上时 抛物线与直线 x=6 的交点应落在 C 点或 C 点下方 ∴当 x=6 时,y ≤0,∴-62+6b+3≤0,即 b ≤11 2 又∵对称轴在 y 轴右侧,∴b >0,∴0<b ≤ 11 2 由抛物线的对称性可知:AD=2×( - b 2a )=2×[- b 2×(-1) ]=b 又∵△ADE 的高=BC=3,∴S= 1 2 ×b×3= 3 2 b ∵ 3 2 >0,∴S 随 b 的增大而增大 ∴当 b = 11 2 时,S 的最大值= 3 2 ×11 2 =33 4 如图②,当抛物线与矩形的两个交点 D、E 分别在 AB、BC 边上时 抛物线与直线 x=6 的交点应落在线段 BC 上且不与点 B 重合,即 0≤yE <3 ∴当 x=6 时,y =-62+6b+3=6b-33 ∴0≤6b-33<3,∴11 2 ≤b<6 ∴BE=3-(6b-33)=36-6b B x A CO y F lB x A CO y B x A CO y 备用图 C A DF B E A′ B′ G B x A CO y E D ① B x A O y E D ② C S= 1 2 AD·BE= 1 2 ·b·(36-6b)=-3b2+18b ∵对称轴在 b=3< 11 2 ,∴S 随 b 的增大而减小 ∴当 b = 11 2 时,S 的最大值=33 4 综上所述:S 的最大值为 33 4 (3)当 a>0 时,符合题意要求的抛物线不存在 当 a<0 时,符合题意要求的抛物线有两种情况 ①当点 M、N 分别在 AB、OC 边上时 方法一:如图③,过 M 点作 MG⊥OC 于点 G,连接 OM ∴MG=OA=3,∠2+∠MNO=90° ∵OF 垂直平分 MN,∴OM=ON,∠1+∠MNO=90° ∴∠1=∠2 ∵BF=1,∴CF=3-1=2 ∴tan∠1= FC OC = 2 6 = 1 3 ,tan∠2= GN MG =tan∠1= 1 3 ∴GN= 1 3 MG=1 设 N(n,0),则 G(n-1,0),∴M(n-1,3) ∴AM=n-1,ON=n=OM 在 Rt△AOM 中,OM 2=OA 2+AM 2 ∴n 2=32+(n-1)2,解得 n=5,∴M(4,3),N(5,0) 把 M(4,3),N(5,0)分别代入 y=-x2+bx+3 得 3=16a+4b+3 0=25a+5b+3 解得 a=- 3 5 b= 12 5 ∴抛物线的解析式为 y=- 3 5 x2+ 12 5 x+3 方法二:如图④,延长 AB 交 l 于点 G,连接 OM ∵OC=6,BC=3,BF=1,∴FC=2 ∵BG∥OC,∴ BG OC = BF FC = 1 2 ∴BG=3,∴AG=6+3=9 ∵OF 垂直平分 MN,∴OM=ON,∴∠1=∠2 又 MG∥OC,∴∠1=∠G,∴MO=MG 设 M(m,3),则 MG=9-m=OM 在 Rt△OAM 中,∵OM 2=OA 2+AM 2,∴(9-m)2=32+m 2 解得 m=4,∴9-m=5,∴M(4,3),ON=5,∴N(5,0) 以下同方法一 方法三:如图⑤,过 M 点作 MH⊥OC 于点 H,设 OF 与 MN 交于点 G 过点 G 作 GK⊥ON 于点 K 同方法一可求得:MH=3,HN=1,设 M(m,3) ∵GM=GN,GK∥MH ∴HK=KN= 1 2 HN= 1 2 , GK MH = GN MN = 1 2 ∴GK= 3 2 ,∴OK=OH+HK=m+ 1 2 ,∴G(m+ 1 2 ,3 2 ) 设直线 OF 的解析式为 y=kx,把 F(6,2)代入 得 2=6k,∴k= 1 3 ,∴y= 1 3 x B x A O y F M ③ CNG 1 2 l B x A O y F M ④ CN 12 G B x A O y F M ⑤ CNH l K G B x A O y F M ⑥ C N 1 2 l 把 G(m+ 1 2 ,3 2 )代入 y= 1 3 x,得 3 2 = 1 3 (m+ 1 2 ) ∴m=4,∴ON=5,∴M(4,3),N(5,0) 以下同方法一 ②当点 M、N 分别在 AB、BC 边上时 方法一:如图⑥,连接 MF ∵OF 垂直平分 MN,∴∠1+∠NFO=90°,MF=FN 又∵∠OCB=90°,∴∠2+∠NFO=90°,∴∠1=∠2 ∵BF=1,∴FC=2,∴tan∠1=tan∠2= FC OC = 2 6 = 1 3 在 Rt△MBN 中,tan∠1= MB BN = 1 3 ,∴BN=3MB 设 N(6,n),则 FN=2-n,BN=3-n ∴MF=2-n,MB= 3-n 3 =1- 1 3 n 在 Rt△MBF 中,∵MF 2=MB 2+FB 2,∴(2-n)2=(1- 1 3 n)2+12 解得 n1= 3 4 ,n2=3(不合题意,舍去),∴BM= 3 4 ∴AM=6- 3 4 = 21 4 ,∴M( 21 4 ,3),N(6,3 4 ) 把 M(21 4 ,3),N(6,3 4 )分别代入 y=-x2+bx+3 得 3=( 21 4 )2a+ 21 4 b+3 3 4 =36a+6b+3 解得 a=- 1 2 b= 21 8 ∴抛物线的解析式为 y=- 1 2 x2+ 21 8 x+3 综上所述:抛物线的解析式为 y=- 3 5 x2+ 12 5 x+3 或 y=- 1 2 x2+ 21 8 x+3 方法二:如图⑦,设 OF 交 MN 于点 G 过点 G 作 GH⊥BC 于点 H,则 GH∥AB ∵OF 垂直平分 MN,∴GM=GN ∴HN=HB= 1 2 BN,GH= 1 2 BM 设 N(6,n),由方法一可知 BM= 3-n 3 ∴GH= 1 2 BM= 3-n 6 ,HF=HB-FB= 3-n 2 -1= 1-n 2 ∵GH∥OC,∴△FGH∽△FOC,∴ GH OC = FH FC 即 3-n 6 6 = 1-n 2 2 ,解得 n= 3 4 ,∴N(6,3 4 ) ∴AM=6- 3 4 = 21 4 ,∴M( 21 4 ,3) 以下同方法一 方法三:如图⑧,设 OF 交 MN 于点 G 易证△BMN∽△CFO,∴ BM CF = BN CO ∴ BM 2 = BN 6 ,∴BN=3BM 设 BM=x,则 BN=3x,FN=BN-BF=3x-1 B x A O y F M ⑧ C N l G B x A O y F M ⑦ C N l G H ∴MN= BM 2+BN 2 = 10x ∵OF 垂直平分 MN,∴GN= 1 2 MN= 10 2 x,∠FGN=90° ∵∠GNF=∠BNM,∠B=∠FGN=90°,∴△FGN∽△MBN ∴ GN BN = FN MN ,∴ 10 2 x 3x = 3x-1 10x ,∴x= 3 4 ∴BM= 3 4 ,BN= 9 4 ,∴CN=BC-BN=3- 9 4 = 3 4 AM=AB-BM=6- 3 4 = 21 4 ,∴M( 21 4 ,3),N(6,3 4 ) 以下同方法一 71.(福建三明)在正方形 ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,点 P 在线段 BC 上(不含点 B),∠BPE = 1 2 ∠ACB,PE 交 BO 于点 E,过点 B 作 BF⊥PE,垂足为 F,交 AC 于点 G. (1)当点 P 与点 C 重合时(如图①).求证:△BOG≌△POE; (2)通过观察、测量、猜想: BF PE =________,并结合图②证明你的猜想; (3)把正方形 ABCD 改为菱形,其他条件不变(如图③),若∠ACB=α,求 BF PE 的值.(用含α的式子表 示) (1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形,P 与 C 重合 ∴OB=OP,∠BOC=∠BOG=90° ∵PF⊥BG,∴∠PFB=90° ∴∠GBO=90°-∠BGO,∠EPO=90°-∠BGO ∴∠GBO=∠EPO,∴△BOG≌△POE (2) BF PE = 1 2 证明:如图②,过 P 作 PM∥AC 交 BG 于 M,交 BO 于 N ∴∠PNE=∠BOC=90°,∠BPN=∠OCB ∵∠OBC=∠OCB=45°,∴∠NBP=∠NPB,∴NB=NP ∵∠MBN=90°-∠BMN,∠NPE=90°-∠BMN ∴∠MBN=∠NPE,∴△BMN≌△PEN,∴BM=PE ∵∠BPE= 1 2 ∠ACB,∠BPN=∠ACB,∴∠BPF=∠MPF ∵PF⊥BM,∴∠BFP=∠MFP=90° 又 PF=PF,∴△BPF≌△MPF ∴BF=MF,∴BF= 1 2 BM O G E F CB (P) DA (图①) O G E F CB DA (图②) P OG E F CB DA (图③) P O G E F CB DA (图②) P N M ∴BF= 1 2 PE,即 BF PE = 1 2 (3)方法一:如图③,过 P 作 PM∥AC 交 BG 于点 M,交 BO 于点 N ∴∠BPN=∠ACB=α,∠PNE=∠BOC=90° 由(2)同理可得 BF= 1 2 BM,∠MBN=∠EPN ∵∠BNM=∠PNE=90°,∴△BMN∽△PEN,∴ BM PE = BN PN 在 Rt△BNP 中,tanα= BN PN ∴ BM PE =tanα,即 2BF PE =tanα ∴ BF PE = 1 2 tanα 方法二:如图③,过 P 作 PM∥AC 交 BG 于点 M,交 BO 于点 N ∴BO⊥PM,∠BPN=∠ACB=α ∵∠BPE= 1 2 ∠ACB= 1 2 α,PF⊥BM ∴∠EPN= 1 2 α,∠MBN=∠EPN=∠BPE= 1 2 α 设 BF=x,PE=y,EF=m 在 Rt△PFB 中,tan α 2 = BF PF ∵PF=PE+EF=y+m,∴x=(y+m)tan α 2 在 Rt△BFE 中,tan α 2 = EF BF = m x ,∴m=x·tan α 2 ∴x=(y+x·tan α 2 )tan α 2 ,∴ x y = tan α 2 1-tan 2 α 2 即 BF PE = tan α 2 1-tan 2 α 2 方法三:如图③,过 P 作 PM∥AC 交 BG 于点 M,交 BO 于点 N ∴∠BNP=∠BOC=90°,∴∠EPN+∠NEP=90° 又∵BF⊥PE,∴∠FBE+∠BEF=90° ∵∠BEF=∠NEP,∴∠FBE=∠EPN ∵PN/∥AC,∴∠BPN=∠BCA=α 又∵∠BPE= 1 2 ∠ACB= 1 2 α,∴∠NPE=∠BPE= 1 2 α ∴∠FBE=∠BPE=∠EPN= 1 2 α OG E F CB DA (图③) P N M ∵sin∠FPB= BF BP ,∴BP= BF sin α 2 ∵cos∠EPN= PN PE ,∴PN=PE·cos α 2 ∵cos∠NPB= PN BP ,∴PN=BP·cosα ∴PE·cos α 2 =BP·cosα,∴PE·cos α 2 = BF sin α 2 ·cosα ∴ BF PE = sin α 2 ·cos α 2 cosα 72.(福建某校自主招生)如图,矩形铁片 ABCD 的长为 2a,宽为 a,为了能让铁片能穿过直径为 2 2 3 a 的 圆孔,需对铁片进行处理规定铁片与圆孔有接触时铁片不能穿过圆孔),过它的中心作一条直线分别交边 BC、AD 于点 E、F(不与端点重合),沿着这条直线将矩形铁片切割成两个全等的直角梯形铁片. (1)当 BE=DF= 1 5 a 时,判断直角梯形铁片 ABEF 能否穿过圆孔,并说明理由; (2)为了能使直角梯形铁片 ABEF 顺利穿过圆孔,求线段 BE 长度的取值范围. 解:(1)作 EG⊥AD 于 G,AH⊥EF 于 H 显然 AB=a>2 2 3 a 故沿着与 AB 垂直的方向无法穿过圆孔 ∵AD=2a,BE=AG=DF= 1 5 a,∴AF=2a- 1 5 a= 9 5 a,GF=2a- 2 5 a= 8 5 a ∴EF= a2+( 8 5 a)2 = 89 5 a ∵∠AHF=∠EGF=90°,∠AFH=∠EFG,∴△AHF∽△EGF ∴ AH EG = AF EF ,可得 AH= 9 89 a= 27 3 89 a= 729 3 89 a 而 2 2 3 a= 8× 89 3 89 a= 712 3 89 a,∴AH>2 2 3 a ∴直角梯形铁片 ABEF 不能穿过圆孔 (2)显然,只要 AH< 2 2 3 a,直角梯形铁片就能穿过圆孔 设 BE=AG=DF=x,则 AF=2a-x,GF=2a-2x ∴EF= EG 2+GF 2 = a2+(2a-2x)2 A B C D E F A B C D E FG H 由 AH EG = AF EF ,得 AH a = 2a-x a2+(2a-2x)2 ,∴AH= 2a2-ax a2+(2a-2x)2 由 AH< 2 2 3 a,得 2a2-ax a2+(2a-2x)2 < 2 2 3 a 整理得:23x2-28ax+4a2>0,解得:x<14-2 26 23 a 或 x>14+2 26 23 a 所以线段 BE 的长度的取值范围是:0<BE<14-2 26 23 a 或14+2 26 23 a<BE<2a 73.(福建模拟)如图,平行四边形 ABCD 中,AB=8,BC=10,∠B 为锐角,tan∠B= 4 3 .E 为线段 AB 上的一个动点(不含端点),EF⊥AB,交射线 BC 于点 G,交射线 DC 于点 F. (1)若点 G 在线段 BC 上,求△BEG 与△CFG 的周长之和; (2)判断在点 E 的运动过程中,△AED 与△CGD 是否会相似?如果相似,请求出 BE 的长;如果不相似, 请说明理由. 解:(1)方法一:过点 C 作 CH⊥AB 于 H ∵△BEG 的周长=BE+EG+BG,△CFG 的周长=CF+FG+CG ∴△BEG 与△CFG 的周长之和=BE+CF+BC+EF 在平行四边形 ABCD 中,AB∥CD,EF⊥AB ∴∠EFC=∠BEF=90° 又 CH⊥AB,∴四边形 EFCH 为矩形 ∴CF=EH,EF=CH 在 Rt△BHC 中,BC=10,tan∠B= CH BH = 4 3 设 BH=3k,则 CH=4k,∴BC= BH 2+CH 2 =5k ∴5k=10,∴k=2,∴BH=6,CH=8 ∴EF=CH=8,BE+CF=BH=6 ∴△BEG 与△CFG 的周长之和=6+10+8=24 方法二:在 Rt△BEG 中,tan∠B= EG BE = 4 3 设 BE=3k,则 EG=4k,BG= BE 2+EG 2 =5k 在平行四边形 ABCD 中,AB∥CD,EF⊥AB ∴∠BCF=∠B,CG=BC-BG=10-5k,∠EFC=∠BEF=90° ∴在 Rt△CFG 中,CF=6-3k,FG=8-4k ∴△BEG 与△CFG 的周长之和=(BE+EG+BG)+(CF+FG+CG) =(3k+4k+5k)+(6-3k+8-4k+10-5k)=24 (2)①当 0<BE<6 时,设 BE=3k A D B C E G F A D B C E G F H ∵tan∠B= EG BE = 4 3 ,∴EG=4k,BG=5k,CG=10-5k,CD=AB=8 ∵∠A=∠DCG,∴要使△AED 与△CGD 相似,需满足 AE CG = AD CD 或 AE CD = AD CG 当 AE CG = AD CD 时, 8-3k 10-5k = 10 8 ,∴k= 18 13 此时 BE=3k= 54 13 ,满足 0<BE<6 当 AE CD = AD CG 时, 8-3k 8 = 10 10-5k ,∴k= 0 或 k= 14 3 此时,BE=0 或 14,不满足 0<BE<6 ∴当 BE= 54 13 时,△AED 与△CGD 相似 ②当 BE=6 时,点 G 与点 C 重合,不存在△CGD 与△AED 相似 ③当 6<BE<8 时 ∵AB∥CD,AD∥BC,∠B 是锐角,∴∠A 是钝角 又∵∠DCG=∠B,∴∠DCG 也是锐角,∴∠A≠∠DCG ∵∠DCB>∠CDG,∠DCB>∠DGC,∠A=∠DCB ∴∠A≠∠CDG,∠A≠∠DGC ∴当 6<BE<8 时,不存在△CGD 与△AED 相似 综上所述,当 BE= 54 13 时,△AED 与△CGD 相似 74.(福建模拟)已知菱形 ABCD 的边长为 10,对角线 BD=16,过线段 BD 上的一个动点 P(不与 B、D 重合)分别向直线 AB、AD 作垂线,垂足分别为 E、F. (1)如图 1,求证:△PBE∽△PDF; (2)连接 PC,当 PE+PF+PC 的值最小时,求 PB 的长; (3)如图 2,对角线 AC、BD 交于点 O,以 PO 为半径的⊙P 与以 DF 为半径的⊙D 相切时,求 PB 的长. (1)证明:∵四边形 ABCD 是菱形,∴AD=AB ∴∠ABD=∠ADB 又∵PE⊥AB,PF⊥AD,∴∠PEB=∠PFD=90° ∴△PBE∽△PDF (2)解:如图 1,连接 AC 交 BD 于 O,则 AC⊥BD 延长 FP 交 BC 于 M,则 FM⊥BC ∵BD 平分∠ABC,PE⊥AB,PM=PE ∴PE+PF=PM+PF=FM C P A F B D E 图 1 C P A F B DO E 图 2 C A B DO 备用图 A D B C E G F C P A F B DO E 图 1 M 在 Rt△AOB 中,BO= 1 2 BD=8,∴AO= AB 2-BO 2 = 102-82 =6 ∴AC=2AO=12 又∵S 菱形 ABCD = 1 2 AC·BD=BC·FM ∴ 1 2 ×12×16=10·FM,即 FM=48 5 (说明 PE+PF 的值不变即可得分,不必求出 FM 的值) 因此,要使 PE+PF+PC 的值最小,只要 PC 取最小值 所以当 CP⊥BD,即点 P 与点 O 重合时,PE+PF+PC 的值最小 此时 PB=BO= 1 2 BD=8 (3)设 PB=x,则 PD=BD-PB=16-x ∵PF⊥AD,∴在 Rt△PFD 中,DF=DP·cos∠ADB= 4 5 (16-x) ①当⊙P 与⊙D 外切时 情形一:如图 2,当 P 点在点 O 左侧时,PO=OB-PB=8-x 此时 PO+DF=PD,∴(8-x)+ 4 5 (16-x)=16-x 解得 x=6,即 PB=6 情形二:如图 3,当 P 点在点 O 右侧时,PO=PB-OB=x-8 此时 PO+DF=PD,∴(x-8)+ 4 5 (16-x)=16-x 解得 x=28 3 ,即 PB=28 3 ②如图 4,当⊙P 与⊙D 内切时,PO=PB-OB=x-8 ∵PD>DF,∴PO-DF=PD ∴(x-8)- 4 5 (16-x)=16-x,解得,x=92 7 ,即 PB=92 7 综上所述,以 PO 为半径的⊙P 与以 DF 为半径的⊙D 相切时,PB 的长为 6 或 28 3 或 92 7 75.(福建模拟)已知等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD=3,BC=5,高为 2.E、F 分别是线段 AD、BC 上的动点,且 AE=CF.设 AE=x,AE+EF=y. (1)当 x 为何值时,四边形 ABFE:①是等腰梯形;②是直角梯形; (2)求 y 关于 x 的函数关系式; (3)当△BEF 是等腰三角形时,求 x 的值; (4)y 是否存在最大值或最小值?若存在,求出 y 的最大值或最小值;若不存在,说明理由. 解:(1)①当四边形 ABFE 是等腰梯形时,则∠B=∠BFE ∵等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,∴∠B=∠C ∴∠BFE=∠C,∴EF∥DC ∴四边形 EFCD 是平行四边形,∴DE=CF A B C DE FA B G C DE F C P A F B DO E 图 2 C O A F B DP E 图 3 C O A F B DP E 图 4 ∵AE=CF=x,∴x=AE=DE= 1 2 AD= 3 2 ②当四边形 ABFE 是等腰梯形时,则 EF⊥BC 过点 A 作 AG⊥BC 于 G,则四边形 AGFE 是矩形 ∴GF=AE=x ∵等腰梯形 ABCD,∴BG= 1 2 (BC-AD)= 1 2 (5-3)=1 ∴1+2x=5,∴x=2 (2)过点 A、E 分别作 BC 的垂线,垂足为 G、H 当 0≤x<2 时 BF=5-x,BH=1+x,HF=5-x-(1+x)=4-2x 在 Rt△EHF 中,EH=2,HF=4-2x ∴EF= HF 2+EH 2 = (4-2x)2+4 ∴y=AE+EF=x+ (4-2x)2+4 当 2≤x≤3 时 BF=5-x,BH=1+x,FH=1+x-(5-x)=2x-4 在 Rt△EFH 中,EH=2,FH=2x-4 ∴EF= FH 2+EH 2 = (2x-4)2+4 ∴y=AE+EF=x+ (2x-4)2+4 综合得 y=x+ (2x-4)2+4 (0≤x≤3) (3)在 Rt△BEH 中,EH=2,BH=1+x ∴BE= BH 2+EH 2 = (1+x)2+4 若 BE=EF,则 BF=2BH ∴5-x=2(1+x),∴x=1 若 BE=BF,则 (1+x)2+4 =5-x 解得 x= 5 3 若 BF=EF,则 5-x= (2x-4)2+4 解得 x=1+ 2 3 6 或 x=1- 2 3 6(舍去) 当△BEF 是等腰三角形时,x=1 或 x= 5 3 或 x=1+ 2 3 6 (4)∵y=x+ (2x-4)2+4 ,∴(y-x)2=(2x-4)2+4 整理得:3x 2+(2y-16)x+(20-y 2)=0 ∵x 为实数,∴△=(2y-16)2-4×3(20-y 2)≥0 化简得:y 2-4y+1≥0,解得:y≤2- 3(舍去)或 y≥2+ 3 ∴y 存在最小值,为 2+ 3 令 z=(2x-4)2+4=4(x-2)2+4 当 x>2 时,z 随 x 的增大而增大 ∴函数 y=x+ (2x-4)2+4 当 x>2 时,y 随 x 的增大而增大 ∵0≤x≤3,∴当 x=3 时,y 有最大值 y 最大=3+ (2×3-4)2+4 =3+2 2 76.(海南)如图(1),在矩形 ABCD 中,把∠B、∠D 分别翻折,使点 B、D 恰好落在对角线 AC 上的点 E、F 处,折痕分别为 CM、AN. A B G C DE FH A B G C DE F H (1)求证:△ADN≌△CBM; (2)请连接 MF、NE,证明四边形 MFNE 是平行四边形,四边形 MFNE 是菱形吗?请说明理由; (3)P、Q 是矩形的边 CD、AB 上的两点,连接 PQ、CQ、MN,如图(2)所示,若 PQ=CQ,PQ∥MN, 且 AB=4cm,BC=3cm,求 PC 的长度. 解:(1)∵四边形 ABCD 是矩形 ∴AD=BC,∠D=∠B=90°,∴AD∥BC ∴∠DAC=∠BCA ∵把∠B、∠D 翻折,折痕分别为 CM、AN ∴∠DAN= 1 2 ∠DAC,∠BCM= 1 2 ∠BCA ∴∠DAN=∠BCM,∴△AND≌△CBM (2)如图(1),连接 MF、NE, ∵△AFN 由△ADN 翻折形成 ∴△AFN≌△ADN,同理△CEM≌△CBM 由(1)知△AND≌△CBM ∴△AFN≌△CEM ∴∠AFN=∠CEM=∠D=90°,FN=EM,∴FN∥EM ∴四边形 MFNE 是平行四边形 四边形 MFNE 不是菱形 ∵∠AFN=90°,NF 是 AC 的垂线,∴NE >NF ∴四边形 MFNE 不可能是菱形 (3)设如图(2),BM=x,则 EM=BM=x,AM=4-x ∵AC= 42+32 =5cm,∴AE=5-3=2cm ∵∠CEM=∠B=90°,∴∠AEM=90° ∴△AEM 是直角三角形 ∴22+x2=(4-x)2,解得 x=1.5cm ∴DN=BM=1.5cm 过点 N 作 NH⊥AB 于点 H 则 AH=DN=BM=1.5cm,∴MH=1cm ∵PQ∥MN,CD∥AB,∴四边形 MNPQ 是平行四边形 ∴MN=PQ 作 QG⊥CD 于点 G,∴NH=GQ ∴△MNH≌△PQG,∴PG=MH=1cm ∵PQ=CQ,∴PC=2PG=2cm 77.(海南模拟)在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=20,BC=15,CD 为斜边 AB 上的高.矩形 EFGH 的 边 EF 与 CD 重合,A、D、B、G 在同一直线上(如图 1).将矩形 EFGH 向左平移,EF 交 AC 于 M(M 不 与 A 重合,如图 2),连接 BM 交 CD 于 N,连接 NF. N MA F B D E CP Q 图(2) N MA F B D E C 图(1) N MA F B D E C 图(1) N MA F B D E CP Q 图(2) G H (1)直接写出图 2 中所有与△CDB 相似的三角形; (2)设 CE=x,△MNF 的面积为 y,求 y 与 x 的函数关系式,写出自变量 x 的取值范围;并求△MNF 的 最大面积; (3)矩形 EFGH 在平移过程中是否存在四边形 MFNC 为平行四边形的情形?若存在,求出 x 的值;若不 存在,说明理由. 解:(1)图 2 中与△CDB 相似的三角形有:△CEM,△AFM,△ADC,△ACB (2)在 Rt△ABC 中,∵∠ACB=90°,AC=20,BC=15 ∴AB= AC 2+BC 2 = 202+152 =25 ∴tanA= BC AC = 15 20 = 3 4 ∵CD 为斜边 AB 上的高,∴AB·CD=AC·BC ∴CD= AC·BC AB = 20×15 25 =12,∴EF=CD=12 ∵四边形 EFGH 为矩形,∴∠E=90°,EH∥FG ∴∠1=∠A,∴tan∠1=tanA= 3 4 在 Rt△CEM 中,EM=CE·tan∠1= 3 4 x ∴MF=EF-ME=12- 3 4 x ∵CD∥EF, ∴S△MNF = 1 2 MF·CE= 1 2 (12- 3 4 x)x=- 3 8 x2+6x ∴y 与 x 的函数关系式为 y=- 3 8 x2+6x(0<x<16) ∵y=- 3 8 x2+6x=- 3 8 (x-8)2+24 ∴当 x=8 时,y 有最大值 24 ∴△MNF 的最大面积的为 24 (3)在平移过程中存在四边形 MFNC 为平行四边形的情形 ∵CD∥EF,∴当 CN=MF=12- 3 4 x 时,四边形 MFNC 为平行四边形 此时 DN=CD-CN=12-(12- 3 4 x)= 3 4 x 在 Rt△CDB 中,BD= BC 2-CD 2 = 152-122 =9 ∴BF=BD+DF=x+9 ∵CD∥EF,∴△BND∽△BMF A BD G C H(E) (F) 图 1 A BD G C H 图 2 E M N F A BD G C HE M N F 1 ∴ DN FM = BD BF ,∴ 3 4 x 12- 3 4 x = 9 x+9 解得 x1=6,x2=-24(不合题意,舍去) ∴x=6 78.(湖北模拟)已知:在正方形 ABCD 中,点 E 是边 CD 上的动点(不与端点 C、D 重合),CD=mDE.AE 的垂直平分线分别交 AD、AE、BC 于点 F、H、G,交 AB 的延长线于点 P. (1)如图 1,当 m=2 时, FH AH = ________, FH PH = ________; (2)如图 2,当 m=3 时,求证:FH+PG=HG; (3)当 m 为何值时,G 是 HP 的中点. 解:(1) 1 2 1 4 提示:易知△AFH∽△AED,得 FH AH = DE AD = 1 2 由△PAH∽△AFH,得 AH PH = FH AH = 1 2 ∴PH=2AH=4FH,∴FH PH = 1 4 (2)∵△AFH∽△PAH∽△AED,∴ FH AH = AH PH = DE AD = 1 3 设 FH=a,则 AH=3a,PH=9a,PF=10a 过 B 作 BM∥FG 交 AD 于 M,则可证△BAM≌△ADE 得 BM=AE,∴FG=BM=AE=AE=2AH=6a ∴HG=FG-FH=5a,PG=PH-HG=4a ∴FH+PG=HG (3)设 FH=a,则由△AFH∽△AED∽△PAH 得 AH=ma,PH=m2a ∴FG=AE=2AH=2ma,∴HG=FG-FH=2ma-a ∵G 是 HP 的中点,∴HP=2HG ∴m2a=2(2ma-a),解得 m=2± 2 显然 m>1,∴m=2+ 2 79.(浙江模拟)如图,将边长为 6 的正方形 OABC 放置在直角坐标系中,使点 A 在 x 轴负半轴上,点 C 在 y 轴正半轴上.点 M(t,0)在 x 轴上运动,过 A 作直线 MC 的垂线交 y 轴于点 N. (1)设△AMN 的面积为 S,求 S 关于 t 的函数关系式,并写出相应 t 的取值范围; (2)若 D(3,8),则在点 M 运动过程中,当以 M、N、C、D 为顶点的四边形是梯形时,求点 M 的坐标; D A C G B H E F P 图 2 D A C G B H E F P 图 1 (3)若点 P 在直线 x=2 上运动,是否存在以 M、N、C、P 为顶点的四边形是直角梯形?若存在,直接写 出所有符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 解:(1)∵四边形 OABC 是正方形,∴OA=OC,∠AON=∠COM=90° ∵AN⊥MC,∴∠NAO+∠CMO=90° ∵∠NAO+∠ANO=90°,∴∠ANO=∠CMO ∴Rt△AON≌Rt△COM,∴ON=OM=|t| ①当 t>0 时,AM=6+t,ON=t ∴S= 1 2 t(6+t)= 1 2 t2+3t(t>0) ②当-6<t<0 时,AM=6+t,ON=-t ∴S=- 1 2 t2-3t(-6<t <0) ③当 t <-6 时,AM=-6-t,ON=-t ∴S= 1 2 t2+3t(t <-6) 综上所述,S 关于 t 的函数关系式如下: S= 1 2 t2+3t(t>0 或 t <-6) - 1 2 t2-3t(-6<t<0) (2)①当 DM∥CN 时,如图 1 ∵D(3,8),∴M(3,0) ∴ON=OM=3,∴N(0,3) 此时 MN 与 CD 不平行,四边形 MNCD 是梯形 ②当 CM∥ND 时,如图 2、图 3 则∠DNE=∠MCO,ON=OM=|t| 过 D 作 DE⊥y 轴于 E,则 tan∠DNE=tan∠MCO 即 DE NE = OM OC ,∴ 3 |t-8| = |t| 6 解得 t=4+ 34 或 t=4- 34 ∴M(4+ 34,0),N(0,4+ 34) 此时 DM 与 NC 不平行,四边形 NCMD 是梯形(图 2) 或 M(4- 34,0),N(0,4- 34) 此时 MN 与 CD 不平行,四边形 MNDC 是梯形(图 3) 综上所述,点 M 的坐标为(3,0)、(4+ 34,0)、(4- 34,0) (3)存在 P1(2,6)、P2(2,4)、P3(2,-4) 提示:①当点 M 在 x 轴正半轴上时,点 N 在 y 轴正半轴上 A B O C x y 备用图 A B D O C M N x y A B D O C M N x y 图 1 A B D O C M N x y 图 2 E A B D O C M N x y 图 3 E C N xOA M B y P ∴ON=OM,∠ONM=∠OMN=45° ∴∠CNM=135° 若∠NCP=∠CPM=90°,则 P(2,6) 若∠NMP=∠CPM=90°,这种情况不存在 ②当点 M 在 x 轴负半轴上时,点 N 在 y 轴负半轴上 ON=OM,∠ONM=∠OMN=45° 若∠PCM=∠CMN=90°,则∠OCM=∠OMC=45° ∴∠PCN=45°,∴P(2,4) 若∠CMN=∠MNP=90°,则∠OCM=∠OMC=45° ∴ON=OM=OC=6,∴N(0,-6) ∵∠ONM=∠OMN=45°,∴∠CNP=45° ∴P(2,-4) 80.(浙江模拟)边长为 2 的正方形 OABC 在直角坐标系中的位置如图所示,O 是坐标原点,点 M(t,0) 是 x 轴上的一个动点,连接 BM,以 BM 为一边作正方形 BMNP(点 B、M、N、P 按逆时针方向排列). (1)当 t=4 时,求点 P 的坐标; (2)连接 PC,求△PCB 的面积为 S 与 t 的函数关系式; (3)直线 y=2x+b 分别交 x 轴、y 轴于点 D、E,是否存在点 P,使△PDE 为等腰直角三角形?若存在, 求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 解:(1)如图 1,当 t=4 时,OM=4 ∵OA=AB=2,∴AB=AM=2,∴∠AMB=45° 连接 PM,则∠BMP=45°,∴∠AMP=90° ∴PM⊥x 轴 PM= 2BM=2AB=4 ∴P(4,4) (2)如图 2,当 t<2 时 作 NF⊥x 轴于 F,PG⊥DN 于 G 易知△BMA≌△MNF≌△NPG 得 GN=FM=AB=2,GP=FN=AM=2-t ∴S= 1 2 ×2×(2-t)=2-t,即 S=2-t 当 t≥2 时,同理可得 S=t-2 O x y D C E B MA N P C N xOA B y P (M)C N xOA B y P (M) O x y C B MA N P 图 1 O x y C B M A N P 图 2 F G O x y C B M A N P 图 3 E DF G H (3)假设存在点 P,使△PDE 为等腰直角三角形 ∵直线 y=2x+b 分别交 x 轴、y 轴于点 D、E ∴OD=|b| 2 ,OE=|b| ①若 D 是直角顶点 i)当 D 在 x 轴正半轴上时,E 在 y 轴负半轴上,M 在 x 轴负半轴上,b<0,t<0,如图 3 作 NF⊥x 轴于 F,PH⊥x 轴于 H,PG⊥DN 于 G 则△HPD≌△ODE,得 HP=OD=- b 2 ,DH=OE=-b ∴OH=OD+DH=- b 2 -b=- 3 2 b 由(2)知,GN=FM=AB=2,FH=GP=FN=AM=2-t ∴OF=2+t,∴OH=OF+FH=2+t+2-t=4 ∴- 3 2 b=4,∴b=- 8 3 ,∴HP=- b 2 = 4 3 ∴P1(4,- 4 3 ) ii)当 D 在 x 轴负半轴上时,E 在 y 轴正半轴上,M 在 x 轴负半轴上,b>0,t<0,如图 4 同理可得,DH=OE=b,HP=OD=2-t-2=-t OH=DH-OD=b+t FH=2-t,OF=-2-t,OH=FH-OF=4 ∴b+t=4 ∵OE=2OD,∴b=-2t ∴-2t+t=4,∴t=-4,∴HP=-t=4 ∴P2(4,-4) ②若 E 是直角顶点,如图 5、图 6 同理可得,P3(4,-6),P4(4,2) ③若 P 是直角顶点,如图 7、图 8 同理可得,P5(4,-4),P6(4,4) 综上所述,存在 5 个满足条件的点 P 坐标分别为:P1(4,- 4 3 ), P2(4,-4),P3(4,-6), P4(4,2),P5(4,4) 81.(浙江模拟)已知在直角坐标系中,A(0,2)、F(-3,0),D(t,0)为 x 轴上一动点,过点 F 作直 线 AD 的垂线 FB,交 y 轴于 B. (1)设△BOF 的面积为 S,求 S 关于 t 的函数关系式; (2)有定点 C(2,5 2 ),在点 D 运动的过程中,如果以 A、B、C、 D 为顶点的四边形是梯形,求点 D 的坐标. O x y F D A B C O x y C B M A N P 图 5 E (D) O y C B M A N P 图 4 E (D) x G F H O x y C B MA N P 图 8 D E O x y C B D A N P 图 6 E (M) O x y C B M A N P 图 7 E D 解:(1)①当 t<0 时,如图 1 易证△BOF∽△DOA,得 OB OF = OD OA ∴ OB 3 = -t 2 ,∴OB=- 3 2 t ∴S= 1 2 OF·OB= 1 2 ×3×(- 3 2 t)=- 9 4 t ②当 t>0 时,如图 2 易证△BOF∽△DOA,得 OB OF = OD OA ∴ OB 3 = t 2 ,∴OB= 3 2 t ∴S= 1 2 OF·OB= 1 2 ×3× 3 2 t= 9 4 t (2)①若 CD 为底,如图 3 则 CD∥AB,∴D(2,0) ②若 CD 为腰,如图 4、图 5 则 BC∥AD 设 D(m,0),则 OD=|m| 易证△BOF∽△DOA,∴ OB OD = OF OA 即 OB |m| = 3 2 ,∴OB= 3 2 |m| 当 m>0 时,则 3 2 m- 5 2 2 = 2 m 解得 m= 8 3 ,∴D( 8 3 ,0) 当 m<0 时,则 - 3 2 m+ 5 2 2 = 2 -m 解得 m=-1,∴D(-1,0) 82.(浙江模拟)在平面直角坐标系中,四边形 OABC 为正方形,点 B 坐标为(4,4),点 P 坐标为(3,3).将 三角板的直角顶点与 P 重合,一条直角边与 x 轴交于点 E,另一条直角边与 y 轴交于点 F,将三角板绕点 P 旋转. (1)如图 1,当△POE 为等腰三角形时,求点 F 的坐标; (2)如图 2,设 E(t,0),PF、PE 与正方形 OABC 所夹面积(阴影面积)为 S,直接写出 S 关于 t 的函 数关系式及自变量 t 的取值范围. B P C F y B P C F y O x y F D A B图 1 O x y F D A B 图 2 O x y F D A B C 图 5 O x y F D A B C 图 4 O x y F D A B C 图 3 解:(1)①若 OE=OP,如图 1-1 过点 P 分别作 PM⊥x 轴于 M,PN⊥y 轴于 N 易证△PFN≌△PEM,∴FN=EM=3+3 2 ∴F(0,6+3 2) ②若 OE=PE,如图 1-2 易知四边形 OEPF 为正方形 ∴F(0,3) ③若 OP=OE,如图 1-3 过点 P 分别作 PM⊥x 轴于 M,PN⊥y 轴于 N 易证△PFN≌△PEM,∴FN=EM=3 2-3 ∴FO=3-(3 2-3)=6-3 2 ∴F(0,6-3 2) ④若 PO=PE,如图 1-4 易知△POE 为等腰直角三角形,∠OPE=90° 此时点 F 与原点 O 重合 ∴F(0,0) (2) S= 21-3t 3-t (t<0) 3t2+6t-42 2t-6 (0≤t<2) 9(2≤t≤4) 3t2-42t+102 6-2t (4<t ≤6) 3t+3 t-3 (t>6) AO B P C F E x y 图 1-1 M N AO B P C F E x y 图 2-1 B P C y AO B P C F E x y 图 2-2 AO B P C F E x y 图 1-2 AO B P C F E x y 图 1-4 (F)AO B P C F E x y 图 1-3 M N 83.(安徽某校自主招生)已知射线 AM、BN 都垂直于线段 AB,C 是射线 BN 上的一个动点. (1)如图 1,过点 B 作 BF⊥AC,垂足为 F,交射线 AM 于 E,过点 C 作 CD⊥AM,垂足为 D,连接 DF.若 △CDF 是以 CD 为腰的等腰三角形,求 AE AD 求值; (2)如图 2,过点 C 作 CD⊥AC 且 CD= 1 2 AC(点 A、C、D 按逆时针方向排列),作 CE⊥BN 交 AD 于 E.若 AB=3,是否存在点 C,使△ACE 为等腰三角形?若存在,请求出此时 BC 的长度;若不存在,请说明理 由. 解:(1)①若 DC=DF,过点 D 作 DG⊥AC 于 G,则 CG=FG ∵AM⊥AB,BN⊥AB,∴AM∥BN ∵CD⊥AM,∴AB∥CD ∴∠ABF=∠CDG 易知四边形 ABCD 是矩形,AB=CD 又∠AFB=∠CGD=90°,∴△ABF≌△CDG ∴AF=CG,∴AF=FG ∵BF⊥AC,DG⊥AC,∴EF∥DG ∴AE=ED,∴ AE AD = 1 2 ②若 CD=CF,设 AF=a,CF=b ∵AM∥BN,∴△AEF∽△CBF ∴ AE BC = AF CF = a b 在 Rt△ABC 中,BF⊥AC,∴△ABF∽△ACB ∴ AB AF = AC AB ,∴AB 2=AF·AC=a(a+b) 又 AB=CD=CF=b ∴b2=a(a+b),即 a2+ab-b2=0,∴( a b )2+( a b )-1=0 解得 a b = 5-1 2 (负值舍去) AO B P C F E x y 图 2-4 AO B P C F E x y 图 2-3 A B C M N F M 图 1 E M D M A B C D M E M M N 图 2 A B C D M E M M N F M G M A B C M N F M E M D M ∴ AE AD = a b = 5-1 2 (2)设 BC=t ①当 AE=EC 时,则∠CAE=∠ACE ∵EC∥AB,∴∠BAC=∠ACE,∴∠BAC=∠CAE 又∵∠ABC=∠ACD=90°,∴△ABC∽△ACD ∴ BC AB = CD AC = 1 2 ,∴t=BC= 1 2 AB= 3 2 ②当 AE=AC 时,设 EC 交 AM 于 G,过 D 作 DF⊥BN 于 F,交 AM 于 H 由△ABC∽△CFD,得 CF= 1 2 AB= 3 2 ,DF= 1 2 BC= 1 2 t AH=t+ 3 2 ,DH= 1 2 t-3 ∵AE=AC,AG⊥EC,∴EG=CG=3 易得△AEG∽△ADH,∴ EG DH = AG AH ∴ 3 1 2 t-3 = t t+ 3 2 ,解得 t=6+3 5(舍去负值) ③当 DF=AB,即 1 2 t=3,t=6 时,AD∥BN,∠AEC 是直角 当 0≤t<6 时,∠AEC 是钝角,△ACE 是钝角三角形,故 EC≠AC 当 t≥6 时,EC≤DF<DC<AC ∴不存在 EC=AC 的情况 综上所述,当 t= 3 2 或 6+3 5 时,△ACE 为等腰三角形 84.(陕西某校自主招生)如图,正方形 ABCD 的边长为 4,扇形 AEF 的半径为 3,矩形 PQCR 的顶点 P 在弧 EF 上,相邻两边 CQ、CR 在正方形的 BC、CD 边上,若矩形 PQCR 的面积为 S,求 S 的取值范围. 解:设 PQ=a,PR=b,则 S=ab ∵(4-a)2+(4-b)2=32,∴a2+b2-8(a+b)+23=0 ∴(a+b)2-2ab-8(a+b)+23=0 ∴S=ab= 1 2 [(a+b)2-8(a+b)+23]= 1 2 [(a+b)-4]2+ 7 2 当 a+b=4 时,S 取得最小值 7 2 ∵a+b≥2 ab,∴ab≤1 4 (a+b)2,当且仅当 a=b 时等号成立 此时点 P 在对角线 AC 上,a=b= 2 2 (4 2-3) A B C D M E M M N A B C D M E M M NF M G M H M DA B C E F P Q R DA B C E F P Q R ∴S=ab≤ 1 4 [ 2(4 2-3)]2=41 2 -12 2,即 S 的最大值为 41 2 -12 2 ∴ 7 2 ≤S≤41 2 -12 2 85.(黑龙江绥化)已知,点 E 是矩形 ABCD 的对角线 BD 上一点,且 BE=BC,AB=3,BC=4,点 P 为 EC 上的一动点,且 PQ⊥BC 于点 Q,PR⊥BC 于点 R. (1)如图(甲),当点 P 为线段 EC 中点时,易证:PR+PQ=12 5 ; (2)如图(乙),当点 P 为线段 EC 上任意一点(不与点 E、点 C 重合)时,其它条件不变,则(1)中 的结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由; (3)如图(丙),当点 P 为线段 EC 延长线上的任意一点时,其它条件不变,则 PR 与 PQ 之间又具有怎 样的数量关系?请直接写出你的猜想. 解:(2)(1)中的结论仍然成立 证明:如图(乙),连接 BP,过 C 点作 CK⊥BD 于点 K ∵四边形 ABCD 为矩形,∴∠BCD=90°,∴BD=5 ∵S△BCD = 1 2 BC·CD= 1 2 BD·CK ∴3×4=5CK,∴CK=12 5 方法一:∵S△BCE =S△BEP + S△BCP ∴ 1 2 BE·CK= 1 2 PR·BE+ 1 2 PQ·BC 又∵BE=BC,∴ 1 2 CK= 1 2 PR+ 1 2 PQ,∴CK=PR+PQ 又∵CK=12 5 ,∴PR+PQ=12 5 方法二:如图(甲),过 P 点作 PM⊥CK 于 M ∴四边形 PRKM 为矩形,∴PR=KM,PM∥RK ∴∠BEC=∠MPC ∵BE=BC,∴∠BEC=∠ECB=∠MPC 又∵∠PMC=∠CQP=90°,PC=PC ∴△PMC≌△PQC,∴MC=PQ ∴CK=KM+MC=PR+PQ=12 5 (3)PR-PQ=12 5 A B D R C E P Q 图(乙) A B D R C E P Q 图(甲) A B D R C E P Q 图(丙) A B D R C E P Q 图(甲) M K A B D R C E P Q 图(乙) K 86.(四川某校自主招生)如图,分别以△ABC 的边 AB、AC 为直角边,向外作等腰 Rt△ABD 和等腰 Rt △ACE,以 BC 为边向外作正方形 BCFG,BH 平分∠ABD 交 AD 于 H,CI 平分∠ACE 交 AE 于 I,连接 HF、 IG 交于 K. 求证:(1)HF=IG;(2)∠HKI=45°. 证明:(1)作正方形 BCFG 的外接圆,取劣弧 FG 的中点 M,连接 AM、BM、CM、BF、CG 则∠BMF=90°,∠MBF= 1 2 ∠GBF= 1 2 ×45°=22.5° 又∠ABH=22.5°,∴∠ABH=∠MBF ∴Rt△ABH∽Rt△MBF,∴ BA BH = BM BF ∵∠MBF=∠ABH,∴∠ABM=∠HBF ∴△ABM∽△HBF,∴AM HF = BA BH =cos22.5° 同理可证△ACM∽△ICG,∴ AM IG = CA CI =cos22.5° ∴ AM HF = AM IG ,∴HF=IG (2)由(1)知,△ABM∽△HBF,△ACM∽△ICG ∴∠AMB=∠HFB,∠AMC=∠IGC ∵∠AMB+∠AMC=∠BMC,∴∠HFB+∠IGC=∠BMC ∴点 K 在圆上,∴∠FKG=∠FBG=45° ∴∠HKI=45° 87.(重庆)已知:如图,在菱形 ABCD 中,F 为边 BC 的中点,DF 与对角线 AC 交于点 M,过 M 作 ME⊥CD 于点 E,∠1=∠2. (1)若 CE=1,求 BC 的长; (2)求证:AM=DF+ME. (1)解:∵四边形 ABCD 是菱形 ∴BC=CD,∴∠1=∠DAC=∠DCA=∠ACB ∵∠1=∠2,∴∠2=∠DCA ∴DM=CM 1 2 B E A C D MF A B G C K E F D H I A B G C K E F D H I M 又∵ME⊥CD,CE=1,∴CD=2CE=2 ∴BC=CD=2 (2)证明:延长 AB 和 DF 相交于点 G, ∵F 为 BC 的中点,∴BC=2CF=2BF ∵CD=2CE,BC=CD,∴CE=CF 在菱形 ABCD 中,AC 平分∠BCD, 又∵∠ECM=∠FCM,CM=CM,∴△CEM≌△CFM ∴ME=MF ∵四边形 ABCD 是菱形,∴AB∥CD,∴∠2=∠G 又∵∠DFC=∠GFB,CF=BF,∴△DCF≌△GBF ∴DF=GF ∵∠2=∠G,∠1=∠2,∴∠1=∠G ∴AM=GM ∵MG=GF+MF,DF=GF,ME=MF ∴AM=DF+ME 88.(江苏模拟) 问题背景 某课外兴趣小组在一次折纸活动中,折叠一张带有条格的长方形纸片 ABCD(如图 1),将点 B 分别与点 A, A1,A2,…,D 重合,然后用笔分别描出每条折痕与对应条格所在直线的交点,用平滑的曲线顺次连接各 交点,得到一条曲线. 探索 如图 2,在平面直角坐标系中,矩形纸片 ABCD 的顶点 B 与原点 O 重合,BC 边在 x 轴的正半轴上,AB= m,AD=n(m ≤n).将纸片折叠,使点 B 落在 AD 边上点 E 处,折痕为 MN,过点 E 作 EG⊥BC,垂足为 G,交直线 MN 于点 F,连接 OF. (1)求证:四边形 OMEF 是菱形; (2)设点 F 坐标为(x,y),求 y 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围.(用含 m、n 的式 子表示) 运用 (3)矩形纸片 ABCD 如图 3 所示放置,AB=8,AD=12,将纸片折叠,当点 B 与点 D 重合时,折痕与 DC 的延长线交于点 F.试问在这条折叠曲线上是否存在点 P,使△PCF 的面积是△POC 面积的 5 3 ?若存 在,求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. (1)证明:∵AB∥EG,∴∠OMF=∠EFM 由折叠的对称性知∠OMF=∠EMF,∴∠EFM=∠EMF ∴EM=EF 1 2 B E A C D MF G A y D O C E x FM (B) 图 2 NG A y D O C x(B) 图 3 A D B C A1 图 1 A2 B1B2…… …… 由折叠的对称性知 OM=EM,∴OM=EF ∵OM∥EF,∴四边形 OMEF 是平行四边形 ∵EM=EF,∴四边形 OMEF 是菱形 (2)解:∵AB=m,点 F 坐标为(x,y) ∴点 E 坐标为(x,m) ∵四边形 OMEF 是菱形,∴OF=EF=m-y ∴(m-y)2=x 2+y 2 ∴y=- 1 2m x2+ m 2 (0≤x≤n) (3)∵AB=m=8,∴y=- 1 16 x2+4 当 x=12 时,y=- 1 16 ×122+4=-5 ∴F(12,-5),∴CF=5 设 EC=x,则 DE=BE=12-x 在 Rt△DEC 中,EC 2+DC 2=DE 2 ∴x2+82=(12-x)2,解得 x=10 3 ∵△PCF 的面积是△POC 面积的 5 3 ∴ 1 2 ·10 3 ·[(- 1 16 x2+4)+5]= 5 3 ·1 2 ·12·(- 1 16 x2+4) 解得 x=±4 3,∵x≤0,∴x=4 3 ∴P(4 3,1) ∴在这条折叠曲线上存在点 P(4 3,1),使△PCF 的面积是△POC 面积的 5 3 89.(江苏模拟)在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD=1.5,DC=6,点 E 是腰 AB 上一点,且 AE= 1 3 AB, ∠EDC=90°.把△DEC 沿 EC 折叠,点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 处. (1)求证:∠ECF=30° (2)求 tan∠ABC 的值. (1)证明:延长 DE 交 CB 延长线于点 G ∵AD∥BC,∴△AED∽△BEG ∵AE= 1 3 AB,∴ DE EG = AE BE = AD BG = 1 2 ∴DE= 1 2 EG,BG=2AD=3 ∵把△DEC 沿 EC 折叠,点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 处 ∴EF=DE= 1 2 EG,∠EFC=∠EDC=90° ∴∠G=30°,∴∠GEF=60° ∴∠FEG=∠DEG=60°,∴∠ECF=30° A y D O C x(B) F M N P B A C D F E B A C D FG E (2)解:∵∠G=∠ECF=30°,∴EG=EC ∵EF⊥GC,∴GF=FC=DC=6 ∴BF=GF-BG=3,EF=GF·tan30°=2 3 ∴tan∠ABC= EF BF =2 3 3 90.(江苏模拟)如图,在等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,BC=4AD=4 2,∠B=45°.直角三角板含 45° 角的顶点 E 在边 BC 上移动(不与点 C 重合),一直角边始终经过点 A,斜边与 CD 交于点 F. (1)当△ABE 为等腰三角形时,求 CF 的长; (2)在点 E 移动过程中,求△ADF 外接圆半径的最小值. 解:(1)∵BC=4AD=4 2,∴AD= 2 ∵等腰梯形 ABCD,∠B=45°,∴AB= 2× 1 2 (BC-AD)= 2 × 1 2 (4 2- 2)=3 ∵∠B=45°,∴∠BAE+∠AEB=135° ∵∠AEF=45°,∴∠CEF+∠AEB=135° ∴∠BAE=∠CEF,又∠B=∠C ∴△BAE∽△CEF,∴ BE CF = AB EC ∴CF= EC AB ·BE= BC-BE AB ·BE= 4 2-BE 3 ·BE (1) 若 AE=BE,则∠AEB=90°,BE= 2 2 AB=3 2 2 ,代入(1)得 CF= 5 2 若 AB=AE,则∠BAE=90°,BE= 2AB=3 2,代入(1)得 CF=2 若 AB=BE,则 BE=3,代入(1)得 CF=4 2-3 (2)设△ADF 外接圆的圆心为 O ∵∠ADF=135°,∴∠AOF=90°,∴AF= 2r 当 AF 最小时,r 也最小;又当 CF 最大时,AF 最小 由(1)知 CF= 4 2-BE 3 ·BE=- 1 3 BE 2+ 4 2 3 BE=- 1 3 (BE-2 2)2+ 8 3 当 BE=2 2 即 E 为 BC 中点时,CF 最大,为 8 3 此时 DF=3- 8 3 = 1 3 作 FG⊥AD 于 G,则 FG=DG= 2 6 ,AG=AD+DG= 7 2 6 ∴AF 长的最小值为: AG 2+FG 2 = 5 3 ∴△ADF 外接圆半径的最小值为 2 2 AF= 5 2 6 B C A E F D B C A E F D B C A E F D G O 91.(江苏模拟)如图,在平面直角坐标系中,A(1,0)、B(5,0)、C(6,3)、D(0,3),点 P 为线段 CD 上一点,且∠APB=45°,求点 P 的坐标. 解:延长 CD 至 E,使 ED=2,作 AF⊥CD 于 F ∵C(6,3),D(0,3),∴CD∥AB,∴∠EPA=∠PAB ∵A(1,0),∴AF=EF=3 ∴△AEF 是等腰直角三角形,∴∠E=45°=∠APB ∴△EPA∽△PAB,∴ EP PA = PA AB ,即 PA 2=AB·EP ∵A(1,0),B(5,0),∴AB=4 设 DP=x,则 EP=2+x,PA 2=(x-1)2+32 ∴(x-1)2+32=4(2+x),解得 x1=3- 7,x2=3+ 7 ∴P1(3- 7,3),P2(3+ 7,3) 92.(北京模拟)已知点 P 是正方形 ABCD 边 BC 上的动点,E 是边 AB 上一点,F 是边 CD 上一点,沿 PE 翻折△EBP 得到△EB′P,沿 PF 翻折△FCP 得到△FC′P,取 EF 的中点 O,连接 OB、OC′. (1)如图 1,若点 C′ 恰好落在射线 PB′ 上,取 EF 的中点 O,连接 OB′、OC′.请你探索线段 OB′ 和线段 OC′ 的大小关系,并说明理由; (2)如图 2,若∠BPE=∠CPF,取 EF 的中点 O,连接 OB′、OC′.试问(1)中的结论还成立吗?请说 明理由; (3)如图 3,若正方形 ABCD 的边长为 4,∠BPE=60°,当点 C′ 落在射线 PB′ 上时,连接 C′E、B′F.设 BP=x,四边形 B′FC′E 的面积为 y,求 y 与 x 的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围. 解:(1)OB′=OC′ 理由如下: 如图 1,延长 C′O 交 B′E 于点 G ∵∠PB′E=∠B=90°,∠PC′F=∠C=90° ∴∠EB′C′=90°,∴∠PC′F=∠EB′C′ ∴C′F∥B′E,∴∠GEO=∠C′FO ∵O 为 EF 的中点,∴OE=OF 又∵∠EOG=∠FOC′,∴△EOG≌△FOC′ ∴OG=OC′,即 O 是 Rt△B′C′G 斜边 C′G 的中点 ∴OB′=OC′ (2)(1)中的结论仍然成立 理由如下: A C xO D B P y A C xO D B P y E F A B D CP F C′E B′ 图 1 O A B D CP F C′E B′ 图 1 O G A D F C′ E B′ O N A B D CP F C′ E B′ 图 2 O A B D CP F C′E B′ 图 3 如图 2,取 PE 的中点 M,PF 的中点 N,连接 B′M、C′N、OM、ON ∵∠PB′E=90°,M 为 PE 的中点 ∴B′M=PM= 1 2 PE,∴∠B′PE=∠PB′M ∴∠B′ME=2∠B′PE=2∠BPE ∵M 为 PE 的中点,O 为 EF 的中点 ∴OM∥PF,OM= 1 2 PF ∵N 为 PF 的中点,∴PN= 1 2 PF ∴OM=PN,∴四边形 OMPN 为平行四边形 ∴ON=PM=B′M,∠OMP=∠ONP 同理可得 C′N=PN= 1 2 PF,∠C′NF=2∠C′PF=2∠CPF ∴OM=C′N ∵∠BPE=∠CPF,∴∠B′ME=∠C′NF ∴∠B′MO=∠ONC′ 在△B′MO 和△ONC′ 中 B′M=ON,∠B′MO=∠ONC′,OM=C′N ∴△B′MO≌ONC′,∴OB′=OC′ (3)①当 0<m <2 时,如图 3 ∵BC=4,BP=m,∴B′P=BP=m,C′P=CP=4-m ∴B′C′=4-m-m=4-2m ∵∠EPB=60°,∴∠EPB′=60° ∴∠FPC=∠FPC′=30° ∴B′E=BE= 3m,C′F=CF= 3 3 (4-m) S 四边形 EB′FC′ =S△EB′C′ + S△FB′C′ = 1 2 B′C′·B′E+ 1 2 B′C′·C′F = 1 2 ×(4-2m)× 3m+ 1 2 ×(4-2m)× 3 3 (4-m) =-2 3 3 m2+ 8 3 3 ②当 2<m < 4 3 3 时,如图 4 同理可得 B′C′=m-(4-m)=2m-4,B′E= 3m,C′F= 3 3 (4-m) S 四边形 EB′FC′ =S△EB′C′ + S△FB′C′ = 1 2 B′C′·B′E+ 1 2 B′C′·C′F = 1 2 ×(2m-4)× 3m+ 1 2 ×(4-2m)× 3 3 (2m-4) =2 3 3 m2- 8 3 3 93.(上海模拟)如图,在边长为 2 的正方形 ABCD 中,P 是 BC 边上的动点,过点 P 作 PE⊥AC 于点 E, 连接 DE 并延长,交 BC 边于点 F,连接 AP. A B D CP F C′E B′ 图 3 A B D CP FC′ E B′ 图 4 E A D (1)判断∠PAC 与∠CDF 的大小,并证明你的结论; (2)设 BP=x,PF=y,求 y 关于 x 的函数关系式,并写出函数的定义域; (3)求线段 PF 长的最大值; (4)当△CEF 为等腰三角形时,求 BP 的长. 解:(1)∵PE⊥AC,∠ACB=45° ∴△PEC 是等腰直角三角形,∴PC= 2EC ∵AC= 2DC,∴ AC DC = PC EC = 2 又∵∠ACP=∠DCE=45°,∴△ACP∽△DCE ∴∠PAC=∠CDF (2)∵BP=x,BC=2,PF=y ∴PC=2-x,PE=EC= 2 2 (2-x),AE=2 2- 2 2 (2-x)= 2+ 2 2 x ∵∠PAC=∠CDF,∠AEP=∠DCF=90° ∴△AEP∽△DCF,∴ AE DC = PE FC ,即 2+ 2 2 x 2 = 2 2 (2-x) 2-x-y 整理得:x2+(y-2)x+2y=0 ∴y=2x-x2 x+2 (3)由 x2+(y-2)x+2y=0,∵x 为实数,∴△=(y-2)2-8y≥0 解得 0<y≤6-4 2 即线段 PF 长的最大值为 6-4 2 (4)∵∠CEF=∠CDF+∠ACD=∠CDF+45°,∠ECF=45° ∴∠CEF>∠ECF,∴FC>FE (i)若 EF=EC,则∠EFC=∠ECF=45° 此时 B、P、F 三点重合,BP=0 (ii)若 CE=CF,则 2 2 (2-x)=2-x-y 即 2 2 (2-x)=2-x-2x-x2 x+2 ,解得 x=2 2-2 即 BP=4-2 2 综上所述,当△CEF 为等腰三角形时,BP 的长为 0 或 2 2-2 94.(上海模拟)如图,矩形 ABCD 中,AB= 2,点 E 是 BC 边上的一个动点,连接 AE,过点 D 作 DF⊥ AE,垂足为点 F. (1)设 BE=x,∠ADF 的余切值为 y,求 y 关于 x 的函数关系式; (2)若存在点 E,使得△ABE、△ADF 与四边形 CDFE 的面积比是 3 :4 :5,试求矩形 ABCD 的面积; (3)在(2)的条件下,连接 CF,当 BE 的长为多少时,△CDF 是等腰三角形? A B E C F D A B C D 备用图 解:(1)∵DF⊥AE,∴∠DFA=90°=∠B ∵AD∥BC,∴∠DAF=∠AEB ∴△DAF∽△AEB,∴∠ADF=∠EAB ∴y=cot∠ADF=cot∠EAB= AB BE = 2 x 即 y= 2 x (2)∵S△ABE :S△ADF :S 四边形 CDFE =3 :4 :5,∴S△ABE = 1 4 S 矩形 ABCD ∴BE= 1 2 BC 设 BE=x,则 BC=2x ∵△ABE∽△DFA,且 S△ABE :S△ADF =3 :4 ∴ AD 2 AE 2 = 4 3 ,∴ 4x 2 x 2+2 = 4 3 解得 x=1,∴BC=2 ∴S 矩形 ABCD=2 2 (3)①若 CF=CD,过 C 作 CM⊥DF 于 M,延长 CM 交 AD 于点 G 则 CM∥AE,DM=MF ∴AG=GD=1 ∴CE=1,∴BE=1 ②若 DF=DC,则 DF=DC= 2 ∵DF⊥AE,AD=2,∴∠DAE=45° ∴BE= 2 ③若 FD=FC,则 F 为 AE 中点 ∵△ADF∽△EAB,∴ AD AE = AF BE ∴ 2 x2+2 = 1 2 x2+2 x ,解得 x1=2+ 2(舍去),x2=2- 2 ∴当 BE=1 或 2或 2- 2时,△CDF 是等腰三角形 95.(上海模拟)已知在梯形 ABCD 中,AB∥DC,且 AB=4,AD=BC=2,∠ABC=120°.P、Q 分别为 射线 BC 和线段 CD 上的动点,且 CQ=2BP. (1)如图 1,当点 P 为 BC 的中点时,求证:△CPQ∽△DAQ; (2)如图 2,当点 P 在 BC 的延长线上时,设 BP=x,△APQ 的面积为 y,求 y 关于 x 的函数关系式,并 写出函数的定义域; (3)以点 A 为圆心,AQ 为半径作⊙A,以点 B 为圆心,BP 为半径作⊙B,当⊙A 与⊙B 相切时,求 BP 的长. A D C B Q P 图 2 A D C B Q P 图 1 A D C B 备用图 A B E C F D M G A B E C F D A B E C F D (1)证明:作 AM⊥CD 于 M,作 BN⊥CD 于 N 由题意得∠D=∠DCB=60°,AM=BN,AB=MN=4,DM=CN ∵BC=2,∴CN=1,BN= 3 ∴DM=1,AM= 3,∴CD=6 ∵点 P 为 BC 的中点,且 CQ=2BP ∴BP=CP=1,CQ=2,DA=2,DQ=4,∴ CP DA = CQ DQ 又∵∠QCP=∠D=60°,∴△CPQ∽△DAQ (2)∵AB∥DC,∴ PC PB = EC AB ∴ x-2 x = EC 4 ,∴EC= 4x-8 x ∴QE=2x- 4x-8 x = 2x2-4x+8 x 设 PA 与 DC 相交于 E,作 PH⊥CD 交 DC 的延长线于 H 在 Rt△PCH 中,∴∠PCH=60°,PC=x-2,PH= 3 2 (x-2) ∵S△APQ =S△PQE + S△AQE ∴y= 1 2 × 3 2 (x-2)× 2x2-4x+8 x + 1 2 × 3× 2x2-4x+8 x ∴y= 3 2 (x2-2x+4)(2<x≤3) (3)∵DM=1,DQ=6-2x,∴QM=|5-2x| ∴AQ= (5-2x)2+3 当⊙A 与⊙B 外切时,AQ+BP=AB ∴ (5-2x)2+3 +x=4,解得 x1=x2=2 当⊙A 与⊙B 内切时,|AQ-BP|=AB ∴ (5-2x)2+3 -x=4 解得 x1=14-4 10 3 ,x2=14+4 10 3 (舍去) ∴当 BP=2 时,⊙A 与⊙B 外切; 当 BP=14-4 10 3 时,⊙A 与⊙B 内切 96.(上海模拟)如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=CD=BC=6,AD=3.点 M 为边 BC 的中点, 以 M 为顶点作∠EMF=∠B,射线 ME 交腰 AB 于点 E,射线 MF 交腰 CD 于点 F,连接 EF. (1)求证:△MEF∽△BEM; (2)若△BEM 是等腰三角形,求 EF 的长; (3)若 EF⊥CD,求 BE 的长. A D C B Q P 图 1 M N A D C B Q P 图 2 HE A D C B Q 图 3 (P)M A D C B Q P 图 4 M A B D C E F M (1)证明:在梯形 ABCD 中,∵AD∥BC,AB=CD,∴∠B=∠C ∵∠BMF=∠EMB+∠EMF=∠C+∠MFC 又∠EMF=∠B,∴∠EMB=∠MFC ∴△EMB∽△MFC,∴ EM MF = EB MC ∵BM=MC,∴ EM MF = EB BM 又∠EMF=∠B,∴△MEF∽△BEM (2)解:分三种情况: ①若 EB=EM,则∠EMB=∠B ∵∠B=∠C,∴∠EMB=∠C,∴EM∥DC 延长 BA 和 CD 相交于点 G ∵点 M 为 BC 的中点,∴EM 是△GBC 的中位线 ∴EM= 1 2 GC ∵AD∥BC,∴△GAD∽△GBC ∴ GA GB = GD GC = AD BC = 3 6 = 1 2 ∴GB=2GA,GC=2GD,∴GA=AB=6,GD=DC=6 ∴GB=GC=12,∴EM=6 由△MEF∽△BEM,得 EF=EM=6 ②若 BM=EM,则由由△MEF∽△BEM,得 EF=MF 由(1)△EMB∽△MFC,得 BM EM = CF MF =1 ∴MF=CF,∴∠FMC=∠C ∵∠B=∠C,∴∠FMC=∠B,∴MF∥AB 延长 BA 和 CD 相交于点 G ∵点 M 为 BC 的中点,∴MF 是△GBC 的中位线 ∴MF= 1 2 GB=6,∴EF=6 ③若 BM=BE=3,则点 E 是 AB 的中点 由(1)△EMB∽△MFC,∴ BM BE = CF CM =1 ∴CF=CM=3,∴EF 是梯形 ABCD 的中位线 ∴EF = 1 2 (AD+BC)= 1 2 (3+6)= 9 2 (3)∵△BEM∽△CMF,△MEF∽△BEM ∴△MEF∽△CMF∽△BEM ∵EF⊥CD,∴∠MFE=∠MFC=∠BME 分别过点 E、A 作 BC 的垂线,垂直为 G、H 则 BH= 1 2 (BC-AD)= 1 2 (6-3)= 3 2 cosB= BG BE = BH AB = 3 2 6 = 1 4 A B D C F M (E) G A B D C E M (F) G A B D C E M F A B D C E M F G H 设 BE=x,则 BG= 1 4 x,EG=MG= BE 2-BG 2 = 15 4 x ∵BG+MG=BM,∴ 1 4 x+ 15 4 x=3 解得 x= 6 7 ( 15-1),即 BE 的长为 6 7 ( 15-1) 97.(上海模拟)已知菱形 ABCD 中,BD 为对角线,P、Q 两点分别在 AB、BD 上,且满足∠PCQ=∠ABD. (1)如图 1,当∠BAD=90° 时,求证: 2DQ+BP=CD; (2)如图 2,当∠BAD=120° 时,试探究线段 DQ、BP、CD 之间的数量关系,并证明你的结论; (3)如图 3,在(2)的条件下,延长 CQ 交 AD 边于点 E,交 BA 延长线于点 M,作∠DCE 的平分线交 AD 边于点 F.若 CQ PM = 5 7 ,EF= 35 24 ,求线段 BP 的长. (1)证明:连接 AC 在菱形 ABCD 中,∵∠BAD=90° ∴四边形 ABCD 为正方形,∴∠PAC=∠QDC=45° ∵∠PCQ=∠ABD,∴∠PCQ=45° ∴∠ACP=45°-∠ACQ,又∠DCQ=45°-∠ACQ ∴∠ACP=∠DCQ,∴△APC∽△DQC ∴ AP DQ = AC DC = 2,∴AP= 2DQ ∵AP+BP=AB=CD,∴ 2DQ+BP=CD (2) 3DQ+BP=2CD 证明:连接 AC,在 DQ 上取一点 M,连接 CM,使∠MCD=∠MDC=30° 则∠QMC=∠PAC=60° 过点 M 作 MG⊥CD 于 G,则 CG= 1 2 CD,CG= 3 2 CM ∴CD= 3CM= 3DM ∵∠ACP=∠ACB-∠BCP=60°-∠BCP ∠MCQ=∠MCB-∠PCQ-∠BCP=60°-∠BCP ∴∠ACP=∠MCQ,∴△APC∽△MQC ∴ AP MQ = AC MC = CD MC = 3,∴MQ= 3 3 AP ∵MQ=DQ-DM=DQ- 3 3 CD,AP=CD-BP ∴ 3 3 (CD-BP)=DQ- 3 3 CD A B C D P Q 图 1 B P Q A D C 图 2 A B C D P Q E F M 图 3 A B C D P Q A B C D P Q M G ∴ 3DQ+BP=2CD (3)解:在菱形 ABCD 中,∠ABD=∠BDC=30° ∵∠PCQ=∠ABD=30°,∴∠PCQ=∠QDC ∵BM∥CD,∴∠PMC=∠QCD ∴△CQD ∽△MPC,∴ CQ MP = CD MC = 5 7 ,∴ BC MC = 5 7 设 BC=5k,则 MC=7k,过点 C 作 CH⊥AB 于 H 则 BH= 1 2 BC= 5 2 k,CH= 3 2 BC= 5 2 3k,MH= MC 2-CH 2 =11 2 k ∴BM=BH+MH=8k,∴AM=BM-AB=3k ∵AM∥CD,∴ AM CD = AE DE = AE AD-AE ∴ 3k 5k = AE 5k-AE ,∴AE=15 8 k 延长 CF、BM 交于点 G,则∠DCF=∠G ∵FC 平分∠ECD,∴∠MCG=∠DCF ∴∠MCG=∠G,∴MG=MC=7k,∴AG=AM+MG=10k ∵AG∥CD,∴ AG CD = AF DF = AF AD-AF ∴ 10k 5k = AF 5k-AF ,∴AF=10 3 k ∴EF=AF-AE= 35 24 k= 35 24 ,∴k=1,∴CD=5 过点 C 作 CN⊥BD 于 N,则 DN= 3 2 CD= 5 2 3 ∴BD=2DN=5 3 ∵DE∥BC,∴ DE BC = DQ BQ = DQ BD-DQ ∴ 5- 15 8 5 = DQ 5 3-DQ ,∴DQ= 25 13 3 ∴BP=2CD- 3DQ= 55 13 98.(上海模拟)在□ABCD 中,AB=15,AC=20,AB⊥AC.点 P 是射线 BC 上的一个动点,过点 P 作 MP⊥AP,使点 M 与点 B 在直线 AP 的两侧,且∠PAM=∠CAD,连接 MD. (1)当点 M 在□ABCD 内时,如图 1,设 BP=x,AP=y,求 y 与 x 的函数关系式,并写出函数的定义域; (2)请在图 2 中画出符合题意的示意图,并探究:图中是否存在与△AMD 相似的三角形,若存在,请写 出并证明;若不存在,请说明理由; (3)当△AMD 为等腰三角形时,求 BP 的长. A B D CP M 图 1 A B D CP 图 2 A B C D P Q E F M H G N 解:(1)如图 1,作 AH⊥BC 于 H ∵AB=15,AC=20,AB⊥AC,∴BC= 152+202 =25 ∵cosB= BH AB = AB BC ,∴ BH 15 = 15 25 ∴BH=9,∴AH= 152-92 =12 ∵∠PAM=∠CAD,点 M 在□ABCD 内 ∴点 M 在线段 BC 上 BP=x,∴HP=x-9 在 Rt△AHP 中,AP= 122+(x-9)2 = x2-18x+225 y= x2-18x+225 (9<x <25) (2)如图 2 图 2 中存在与△AMD 相似的三角形,△APC∽△AMD- 证明:∵□ABCD,∴AB∥CD ∵AC⊥AB,∴AC⊥CD ∵AP⊥PM,∴∠APM=∠ACD=90° 又∠PAM=∠CAD,∴△APM∽△ACD,∴ AP AC = AM AD ∵∠PAM=∠CAD,∴∠PAC=∠MAD ∴△APC∽△AMD (3)∵△APC∽△AMD,∴当△AMD 为等腰三角形时,△APC 也为等腰三角形 情形 1:若 AP=PC,则∠PAC=∠ACP ∵AC⊥AB,∴∠BAP=∠B ∴AP=BP,即点 P 为 BC 中点,∴BP= 25 2 情形 2,若 PC=AC=20,则点 P 或在线段 BC 上或在 BC 的延长线上 ①当点 P 在线段 BC 上时,BP=BC-PC=25-20=5 ②当点 P 在 BC 的延长线上时,BP=BC+PC=25+20=45 情形 3,若 AP=AC,则点 P 在 CB 的延长线上,不符合题意 综上,当△AMD 为等腰三角形时,BP 的长为 25 2 或 5 或 45 99.(上海模拟)如图,两块完全重合的正方形纸片,如果上面的一块绕正方形的中心 O 顺时针旋转α角(0 ≤α≤90),那么旋转时露出的△ABC 的面积(S)随着 AB 的长(x)的变化而变化. (1)下列图象中,能够正确反映 S 与 x 函数关系的图象大致是________; A B C O O x A S O x B S O x C S O x D S A B D CP M H 图 1 A B D CP 图 2 M (2)设正方形的边长为 a,试求 S 关于 x 的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; (3)试确定 S 的变化范围. 解:(1)C (2)如图,连接 OA、OC、OD ∵两块完全重合的正方形纸片,O 是正方形的中心 ∴∠OAC=∠ODC=45°,OA=OD ∴∠OAD=∠ODA,∴∠CAD=∠CDA ∴AC=CD 同理可证 AB=BE 设 AC=y,∵AB=x,∴BC 2=x 2+y 2 又∵BC=a-x-y,∴x 2+y 2=(a-x-y)2 整理得 y=a 2-2ax 2a-2x ,∴S= 1 2 xy=a 2x-2ax2 4a-4x 即 S=a 2x-2ax2 4a-4x (0≤x≤ a 2 ) (3)方法一:∵S=a 2x-2ax2 4a-4x ,∴2ax2-(a 2+4S)x+4aS=0 ∵x 为实数,∴△=(a 2+4S)2-4·2a·4aS≥0 即 16S 2-24a 2S+a 4 ≥0,解得 S≥3+2 2 4 a 2(舍去)或 S≤3-2 2 4 a 2 ∴S 最大值为 3-2 2 4 a 2 ∴S 的变化范围是:0≤S≤3-2 2 4 a 2 方法二:设 a-x=t,则 x=a-t,a-2x=a-2(a-t)=2t-a ∴S=a 2x-2ax2 4a-4x = a 4 · a-2x a-x ·x= a 4 · (2t-a)(a-t) t = a 4 · -2t 2+3at-a 2 t = a 4 (-2t- a 2 t +3a)≤ a 4 (3a-2 2a)=3-2 2 4 a 2 ∴S 最大值为 3-2 2 4 a 2 ∴S 的变化范围是:0≤S≤3-2 2 4 a 2 100.(上海模拟)已知矩形 ABCD 中,E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA 上的点,EG 与 FH 的夹 角为α(0°<α ≤90°). (1)如图 1,若 AB=2,BC=3,α=90°,试探究 EG 与 FH 之间的数量关系,并证明你的结论; (2)如图 2,若 AB=BC=2,FH= 5,α=45°,求 EG 的长; (3)如图 3,若 AB=2,BC=3,FH= 5,α=45°,求 EG 的长. (3)如图 4,若 AB=BC=2,FH= 5,α=60°,直接写出 EG 的长. A B C O DE A B D G C E F H 图 2 A B D G C E F H 图 1 A B D G C E F H 图 3 A B D G C E F H 图 4 (1) EG FH = 3 2 证明:过 A 作 AM∥HF 交 BC 于 M,过 B 作 BN∥EG 交 CD 于 N 则 AM=HF,BN=EG ∵α=90°,∴EG⊥FH,∴AM⊥BN 可证△ABM∽△BCN,∴ AM BN = AB BC ∴ HF EG = AB BC = 2 3 ,∴ EG FH = 3 2 (2)过 A 作 AM∥HF 交 BC 于 M,AN∥EG 交 CD 于 N 则 AM=HF= 5,AN=EG ∵AB=2,∴BM= AM 2-AB 2 =1,∴MC=1 将△ADN 绕点 A 顺时针旋转 90°,得到△ABP ∵α=45°,∴∠MAN=45° ∴∠BAM+∠DAN=45°,∴∠BAM+∠BAP=45° 即∠PAM=45°,∴∠PAM=∠MAN 从而△APM≌△ANM,∴PM=NM 设 DN=x,则 NC=2-x,MN=PM=x+1 在 Rt△MNC 中,12+(2-x)2=(x+1)2 解得 x= 2 3 ,∴EG=AN= 22+x2 = 2 3 10 (3)过 A 作 AM∥HF 交 BC 于 M,AN∥EG 交 CD 于 N 则 AM=HF= 5,AN=EG ∵AB=2,∴BM= AM 2-AB 2 =1 ∵α=45°,∴∠MAN=45°,∴∠BAM+∠DAN=45° 在 BC 上取点 P,使 BP=AB=2,过 M 作 MK⊥AP 于 K 则 MP=1,△ABP 和△KMP 都是等腰直角三角形 ∴AP=2 2,KP= 2 2 ,AK=2 2- 2 2 =3 2 2 ,∠BAM+∠KAM=45° ∴∠DAN=∠KAM,又∵∠ADN=∠AKM=90° ∴△ADN∽△AKM,∴AD AN = AK AM ∴AN= AD·AM AK = 3× 5 3 2 2 = 10,∴EG=AN= 10 (4)EG= 1 11 (8 15-4 5) 提示:过 A 作 AM∥HF 交 BC 于 M,AN∥EG 交 CD 于 N 则 AM=HF= 5,AN=EG ∵AB=2,∴BM= AM 2-AB 2 =1 ∵α=60°,∴∠MAN=60°,∴∠BAM+∠DAN=30° 在 BC 上取点 P,使∠BAP=30°,过 M 作 MK⊥AP 于 K A B D G C E F H 图 1 M N A B D G C E F H 图 3 M N K P A B D G C E F H 图 2 P M N A B D G C E F H 图 4 N M P K 则 BP=AB·tan30°=2 3 3 ,AP=2BP=4 3 3 ∴MP=BP-BM=2 3 3 -1,KP=MP·cos60°= 1 2 (2 3 3 -1)= 3 3 - 1 2 ∴AK=AP-KP=4 3 3 -( 3 3 - 1 2 )= 3+ 1 2 ∵∠BAM+∠DAN=30°,∠BAM+∠KAM=30° ∴∠DAN=∠KAM,又∵∠ADN=∠AKM=90° ∴△ADN∽△AKM,∴AD AN = AK AM ∴AN= AD·AM AK = 2× 5 3+ 1 2 = 1 11 (8 15-4 5),∴EG=AN= 1 11 (8 15-4 5) 101.(上海模拟)如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=DC=10,AD=7,sinB= 4 5 ,点 E 是 AB 边上 一点,BE=6.点 P 是 BC 边上的一动点,连接 EP,作∠EPF=∠B,射线 PF 交 AD 边于点 F,交 CD 延 长线交于点 G. (1)求 BC 的长; (2)设 BP=x,DF=y,试求 y 关于 x 的函数关系式,并写出定义域; (3)连接 EF,当△PEF 是等腰三角形时,求 BP 的长. 解:(1)过 A 作 AH⊥BC 于 H 则 AH=AB·sinB=10× 4 5 =8,∴BH= AB 2-AH 2 =6 ∵AB=DC,∴梯形 ABCD 是等腰梯形 ∴BC=2×6+7=19 (2)∵∠EPF=∠B,∴∠EPB+∠CPG=∠EPB+∠BEP ∴∠BEP=∠CPG ∵等腰梯形梯形 ABCD,∴∠B=∠C ∴△BEP∽CPG,∴ BE CP = BP CG ∴ 6 19-x = x CG ,∴CG= 1 6 x(19-x) ∵AD∥BC,∴△GDF∽GCP,∴ DF CP = GD GC ∴ y 19-x = 1 6 x(19-x)-10 1 6 x(19-x) A B D C E F G P A B D C E 备用图 A B D C E F G PH ∴y=19-x- 60 x 当 D、F、G 三点重合时,y=0 有 19-x- 60 x =0,即 x2-19x+60=0 解得 x1=4,x2=15 ∵点 G 在 CD 延长线上,∴4<x<15 (3)①若 FE=FP 作 FM⊥EP 于 M,则 EP=2MP ∵∠EPF=∠B,∴ MP FP =cos∠EPF=cosB= BH AB = 3 5 ∴ EP FP = 6 5 ,∴FP= 5 6 EP ∵△GDF∽GCP,∴ GF GP = DF CP ∴ GP-FP GP = y 19-x ,∴GP= FP(19-x) 19-x-y = 5 6 · EP(19-x) 19-x-y ∵△BEP∽CPG,∴ EP GP = BE CP ,∴ EP 5 6 · EP(19-x) 19-x-y = 6 19-x 整理得 x+y=14,∴x+19-x- 60 x =14 解得 x=12 ②若 PE=PF 由①知,GP= FP(19-x) 19-x-y = EP(19-x) 19-x-y ∵ EP GP = BE CP ,∴ EP EP(19-x) 19-x-y = 6 19-x 整理得 x+y=13,∴x+19-x- 60 x =13 解得 x=10 ③若 EP=EF 作 EN⊥PF 于 N,则 PN= 3 5 EP,PF= 6 5 EP GP= FP(19-x) 19-x-y = 6 5 · EP(19-x) 19-x-y ∵ EP GP = BE CP ,∴ EP 6 5 · EP(19-x) 19-x-y = 6 19-x 整理得 x+y= 59 5 ,∴x+19-x- 60 x = 59 5 解得 x= 25 3 102.(北京模拟)已知△PAB 中,PA=4,PB= 2,以 AB 为边向外作正方形 ABCD,连接 PD. (1)当∠APB=45°时,求 AB 及 PD 的长; (2)当∠APB 变化,其它条件不变时,求 PD 长度的最大值及此时 cos∠PAB 的值. A B D C E F G P M A B D C E F G P A B D C E F G P N A D 解:(1)过点 A 作 AE⊥PB 于 E ∵Rt△APE 中,∠APE=45°,PA=4 ∴AE=PE= 2 2 PA=2 2 ∵PB= 2,∴BE=PE-PB= 2 在 Rt△ABE 中,由勾股定理得: AB= AE 2+BE 2 = (2 2)2+( 2)2 = 10 将△PAD 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△P'AB,连接 P'P 则 PD=P'B,PA=P'A,∠PAD=∠P'AB ∴∠P'AP=∠P'AB-∠PAB=∠PAD-∠PAB=∠BAD=90° ∴∠P'PA=45°,P'P= 2PA=4 2 ∴∠P'PB=90° ∴PD=P′B= P'P 2+PB 2 = (4 2)2+( 2)2 = 34 (2)将△PAD 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△P'AB,PD 的最大值即为 P'B 的最大值 ∵△P'PB 中,P'B<P'P+PB,P'P= 2AP=4 2,PB= 2 ∴当 P'、P、B 三点共线时,P'B 取得最大值 此时 P′B=P'P+PB=5 2,即 P'B 的最大值为 5 2 ∴PD 长度的最大值为 5 2 ∵∠P'AP=90°,AP=AP',∴∠APP'=45° 过点 B 作 BF⊥AP 于 F,则△PBF 是等腰直角三角形 ∴BF=PF= 2 2 PB=1,∴AF=5 AB= AF 2+BF 2 = 5 2+1 2 = 26 ∴cos∠PAB= AF AB = 5 26 =5 26 26 103.(北京模拟)如图 1,四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于 O,AD=AO=2,BC=BO=3,∠OAD =∠OBC=α,点 E、F、G 分别是 AB、OC、OD 的中点. A BP D C P' F A B C D P P' A B C D P E P' (1)求 CD AB 的值(用含α的式子表示); (2)将△BOC 绕点 O 旋转(如图 2),试说明在旋转过程中△EFG 始终与△AOD 相似; (3)在(2)的条件下,求 EF 长度的最大值. (1)解:连接 AG、BF ∵AD=AO,BC=BO,∠OAD=∠OBC=α F、G 分别是 OC、OD 的中点 ∴AG⊥OD,BF⊥OC,∠AOD=∠BOC=90°- α 2 ∴∠AGB=∠AFB=90° ∵E 为 AB 的中点,∴EF=EG= 1 2 AB ∴A、B、F、G 四点在以点 E 为圆心,AB 为直径的圆上 ∴∠FEG=2∠FAG=∠OAD=α ∴△EFG∽△AOD,∴FG EG = OD AD ∵F、G 分别是 OC、OD 的中点,∴FG= 1 2 CD 又 EG= 1 2 AB,∴ CD AB = FG EG = OD AD 在 Rt△AGD 中, DG AD =sin α 2 ∵DO=2DG,∴ OD AD =2sin α 2 ∴ CD AB =2sin α 2 (2)证明:设 M、N 分别是 OA、OB 的中点,连接 EM、MG、EN、NF 则 EM= 1 2 BO,NF= 1 2 BC,MG= 1 2 AD,EN= 1 2 AO EM∥BO,EN∥AO,MG∥AD,NF∥BC ∴∠EMO+∠MON=180°,∠ENO+∠MON=180° ∠OMG=∠OAD,∠ONF=∠OBC ∴∠EMO=∠ENO ∵∠OAD=∠OBC,∴∠OMG=∠ONF ∴∠EMG=∠FNE ∵AD=AO,BC=BO,∴EM=FN,MG=NE DA C E B G F O 图 1 DA C E B G F O 图 2 DA C E B G F O DA C E B G F O M N ∴△EMG≌△FNE,∴EF=EG ∵∠EMG=∠EMO+∠OMG=180°-∠AOB+∠OAD =180°-∠AOB+180°-2∠AOD =360°-∠AOB-2∠AOD ∠COD=360°-∠AOB-∠AOD-∠BOC =360°-∠AOB-2∠AOD ∴∠EMG=∠COD ∵ME= 1 2 OB,MG= 1 2 AD,OC=2OB·sin α 2 ,OD=2AD·sin α 2 ∴ ME OC = MG OD = 1 4sin α 2 ∴△EMG∽△COD,∴ EG CD = ME OC = 1 4sin α 2 ∵FG= 1 2 CD,∴ EG FG = 2EG CD = 1 2sin α 2 = 1 2DG AD = AD OD 又 EF=EG,AD=AO,∴△EFG∽△AOD ∴在旋转过程中△EFG 始终与△AOD 相似 (3)解:由(2)知, EF FG = EG FG = 1 2sin α 2 ∴EF= FG 2sin α 2 = 1 2 CD 2sin α 2 = CD 4sin α 2 ∵α为定值,∴当 CD 最大时,EF 最大 显然,当 C、O、D 三点共线时,CD 最大 此时 F、G 在 CD 上,∠AOD=∠EFG=∠C ∴AO∥EF∥BC,∴EF 是梯形 ABCO 的中位线 ∴EF= 1 2 (AO+BC)= 1 2 (2+3)= 5 2 即 EF 长度的最大值为 5 2 E A D G O F C B