全国中考数学分类汇编多边形与平行四边形分析 43页

多边形与平行四边形 ‎ ‎ ‎ 一.选择题 ‎ ‎1．（2015·湖北省孝感市，第2题3分）已知一个正多边形的每个外角等于，则这个正多边形是 ‎ A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 ‎ 考点：多边形内角与外角．. ‎ 分析：多边形的外角和等于360°，因为所给多边形的每个外角均相等，故又可表示成60°n，列方程可求解． ‎ 解答：解：设所求正n边形边数为n， ‎ 则60°•n=360°， ‎ 解得n=6． ‎ 故正多边形的边数是6． ‎ 故选B． ‎ 点评：本题考查根据多边形的外角和求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理． ‎ ‎2．(2015•江苏南昌,第5题3分)如图，小贤同学为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD,B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是( ). ‎ A．四边形ABCD由矩形变为平行四边形 ‎ B．BD的长度变大 ‎ C．四边形ABCD的面积不变 ‎ D．四边形ABCD的周长不变 ‎ ‎ ‎ 答案：解析：选C. ∵向右扭动框架, 矩形变为平行四边形 ,底长不变，高变小，所以面积变小. ∴选C. ‎ ‎3．(2015•江苏无锡,第8题2分)八边形的内角和为（　　） ‎ ‎　 A． 180° B． 360° C． 1080° D． 1440°‎ ‎ ‎ 考点： 多边形内角与外角．‎ 分析： 根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°进行计算即可得解．‎ 解答： 解：（8﹣2）•180°=6×180°=1080°．‎ 故选：C．‎ 点评： 本题考查了多边形的内角和，熟记内角和公式是解题的关键．‎ ‎　 ‎ ‎4．（2015•广东广州,第8题3分）下列命题中，真命题的个数有（ ） ‎ ‎①对角线互相平分的四边形是平行四边形； ‎ ‎②两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ‎ ‎③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形． ‎ ‎　 A． 3个 B． 2个 C． 1个 D． 0个 ‎ ‎ 考点： 命题与定理；平行四边形的判定．‎ 分析： 分别利用平行四边形的判定方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形，进而得出即可．‎ 解答： 解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，符合题意；‎ ‎②两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确，符合题意；‎ ‎③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，说法错误，例如等腰梯形，也符合一组对边平行，另一组对边相等．‎ 故选：B．‎ 点评： 此题主要考查了命题与定理，正确把握相关定理是解题关键．‎ ‎5. （2015•浙江衢州,第4题3分）如图，在ABCD中，已知平分交于点，则的长等于【 】 ‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C． ‎ ‎【考点】平行线分线段成比例的性质． ‎ ‎【分析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴.∴. ‎ 又∵平分，∴. ‎ ‎∴. ∴. ‎ ‎∵，∴.∴. ‎ 故选C. ‎ ‎ ‎ ‎6. （2015•浙江丽水，第5题3分）一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是【 】 ‎ A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 ‎ ‎【答案】C. ‎ ‎【考点】多边形的外角性质． ‎ ‎【分析】∵多边形的每个内角均为120°，∴外角的度数是：180°﹣120°=60°． ‎ ‎∵多边形的外角和是360°，∴这个多边形的边数是：360÷60=6． ‎ 故选C． ‎ ‎ ‎ ‎7. （2015•浙江宁波，第7题4分）如图，□ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为【 】 ‎ ‎ ‎ A. BE=DF B. BF=DE C. AE=CF D. ∠1=∠2 ‎ ‎【答案】C. ‎ ‎【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定. ‎ ‎【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定对各选项进行分析，作出判断： ‎ ‎∵四边形是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD.∴∠ABE=∠CDF. ‎ 若添加BE=DF，则根据SAS可判定△ABE≌△CDF； ‎ 若添加BF=DE，由等量减等量差相等得BE=DF，则根据SAS可判定△ABE≌△CDF； ‎ 若添加AE=CF，是AAS不可判定△ABE≌△CDF； ‎ 若添加∠1=∠2，则根据ASA可判定△ABE≌△CDF. ‎ 故选C. ‎ ‎ ‎ ‎8. （2015•绵阳第7题，3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形ABCD的面积为（　　） ‎ ‎ ‎ ‎　 A． 6 B． 12 C． 20 D． 24‎ ‎ ‎ 考点： 平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．.‎ 分析： 根据勾股定理，可得EC的长，根据平行四边形的判定，可得四边形ABCD的形状，根据平行四边形的面积公式，可得答案．‎ 解答： 解：在Rt△BCE中，由勾股定理，得 CE===5．‎ ‎∵BE=DE=3，AE=CE=5，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形．‎ 四边形ABCD的面积为BC•BD=4×（3+3）=24，‎ 故选：D．‎ 点评： 本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了勾股定理得出CE的长，又利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，最后利用了平行四边形的面积公式．‎ ‎9. （2015•四川凉山州,第17题4分）在▱ABCD中，M，N是AD边上的三等分点，连接BD，MC相交于O点，则S△MOD：S△COB= ． ‎ ‎【答案】或． ‎ 考点：1．相似三角形的判定与性质；2．平行四边形的性质． ‎ ‎ ‎ ‎10．(2015·南宁，第9题3分)一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（ ）. ‎ ‎ （A）60° （B）72° （C）90° （D）108° ‎ 考点：多边形内角与外角．. ‎ 分析：首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）=540，即可求得n=5，再再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案． ‎ 解答：解：设此多边形为n边形， ‎ 根据题意得：180（n﹣2）=540， ‎ 解得：n=5， ‎ ‎∴这个正多边形的每一个外角等于：=72°． ‎ 故选B． ‎ 点评：此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180°，外角和等于360°． ‎ ‎ ‎ ‎11． (2015·河南，第7题3分)如图，在□ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为（ ） ‎ ‎ A. 4 　B. ‎6 　‎　　 C. 8 　　　 D. 10 ‎ E F C D B G A 第7图 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ C【解析】本题考查平行四边形的性质和角平分线的性质，以及基本的尺规作图. 设AE与BF交于点O，∵AF=AB，∠BAE= ∠FAE ，∴AE⊥BF，OB=BF=3在Rt△AOB中，AO=，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC∴∠FAE= ∠BEA， ‎ ‎∴∠BAE=∠BEA ，∴AB=BE，∴AE=2AO=8. ‎ ‎ ‎ ‎12．(2015·黑龙江绥化，第10题 分)如图□ABCD的对角线ACBD交于点O ,平分∠BAD交BC于点E ,且∠ADC=600，AB=BC ,连接OE ．下列 结论：①∠CAD=300 ② ‎ S□ABCD=AB•AC ③ OB=AB ④ OE=BC 成立的个数有（ ） ‎ ‎ ‎ A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个 ‎ 考点：平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．． ‎ 分析：由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据AE平分∠BAD，得到∠BAE=∠EAD=60°推出△ABE是等边三角形，由于AB=BC，得到AE=BC，得到△ABC是直角三角形，于是得到∠CAD=30°，故①正确；由于AC⊥AB，得到S▱ABCD=AB•AC，故②正确，根据AB=BC，OB=BD，且BD＞BC，得到AB≠OB，故③错误；根据三角形的中位线定理得到OE=AB，于是得到OE=BC，故④正确． ‎ 解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形， ‎ ‎∴∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°， ‎ ‎∵AE平分∠BAD， ‎ ‎∴∠BAE=∠EAD=60° ‎ ‎∴△ABE是等边三角形， ‎ ‎∴AE=AB=BE， ‎ ‎∵AB=BC， ‎ ‎∴AE=BC， ‎ ‎∴∠BAC=90°， ‎ ‎∴∠CAD=30°，故①正确； ‎ ‎∵AC⊥AB， ‎ ‎∴S▱ABCD=AB•AC，故②正确， ‎ ‎∵AB=BC，OB=BD， ‎ ‎∵BD＞BC， ‎ ‎∴AB≠OB，故③错误； ‎ ‎∵CE=BE，CO=OA， ‎ ‎∴OE=AB， ‎ ‎∴OE=BC，故④正确． ‎ 故选C． ‎ 点评：本题考查了平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行四边形的面积公式，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键． ‎ ‎13、（2015•山东临沂,第17题3分）如图，在ABCD中，连接BD，, , ，则ABCD的面积是________. ‎ ‎ ‎ ‎【答案】 ‎ 考点：勾股定理，平行四边形的面积 ‎ ‎ ‎ ‎14．（2015•安徽省,第8题，4分）在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，点E在边AB上，∠AED＝60°，则一定有（ ） ‎ A．∠ADE＝20° B．∠ADE＝30° ‎ C．∠ADE＝∠ADC D．∠ADE＝∠ADC ‎ 考点：多边形内角与外角；三角形内角和定理 ‎ 分析：利用三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°，分别表示出∠A，∠B，∠C，根据∠A=∠B=∠C，得到∠ADE=∠EDC，因为∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠EDC=∠EDC，所以∠ADC=∠ADC，即可解答． ‎ 解答：解：如图， ‎ ‎ ‎ 在△AED中，∠AED=60°， ‎ ‎∴∠A=180°﹣∠AED﹣∠ADE=120°﹣∠ADE， ‎ 在四边形DEBC中，∠DEB=180°﹣∠AED=180°﹣60°=120°， ‎ ‎∴∠B=∠C=（360°﹣∠DEB﹣∠EDC）÷2=120°﹣∠EDC， ‎ ‎∵∠A=∠B=∠C， ‎ ‎∴120°﹣∠ADE=120°﹣∠EDC， ‎ ‎∴∠ADE=∠EDC， ‎ ‎∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠EDC=∠EDC， ‎ ‎∴∠ADE=∠ADC， ‎ 故选：D． ‎ 点评：本题考查了多边形的内角和，解决本题的关键是根据利用三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°，分别表示出∠A，∠B，∠C． ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二.填空题 ‎ ‎1．（2015•广东梅州,第15题5分）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则▱ABCD的周长等于 20 ． ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 考点： 平行四边形的性质．‎ 分析： 根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，然后根据已知可求得结果．‎ 解答： 解：∵四边形ABCD为平行四边形，‎ ‎∴AE∥BC，AD=BC，AD=BC，‎ ‎∴∠AEB=∠EBC，‎ ‎∵BE平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABE=∠EBC，‎ ‎∴∠ABE=∠AEB，‎ ‎∴AB=AE，‎ ‎∴AE+DE=AD=BC=6，‎ ‎∴AE+2=6，‎ ‎∴AE=4，‎ ‎∴AB=CD=4，‎ ‎∴▱ABCD的周长=4+4+6+6=20，‎ 故答案为：20．‎ 点评： 本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出∠ABE=∠AEB．‎ ‎ ‎ ‎2.（2015湖南岳阳第15题4分）一个n边形的内角和是180°，则n=　3　． ‎ ‎ ‎ 考点： 多边形内角与外角．.‎ 分析： 根据多边形内角和定理即可列方程求解．‎ 解答： 解：根据题意得180（n﹣2）=180，‎ 解得：n=3．‎ 故答案是：3．‎ 点评： 本题考查了多边形的内角和定理，题目较简单，只要结合多边形的内角关系来寻求等量关系，构建方程即可求解．‎ ‎3，（2015湖南邵阳第12题3分）如图，在▱ABCD中，E、F为对角线AC上两点，且BE∥DF，请从图中找出一对全等三角形：　△ADF≌△BEC　． ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 考点： 全等三角形的判定；平行四边形的性质．.‎ 专题： 开放型．‎ 分析： 由平行四边形的性质，可得到等边或等角，从而判定全等的三角形．‎ 解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD=BC，∠DAC=∠BCA，‎ ‎∵BE∥DF，‎ ‎∴∠DFC=∠BEA，‎ ‎∴∠AFD=∠BEC，‎ 在△ADF与△CEB中，‎ ‎，‎ ‎∴△ADF≌△BEC（AAS），‎ 故答案为：△ADF≌△BEC．‎ 点评： 本题考查了三角形全等的判定，平行四边形的性质，平行线的性质，根据平行四边形的性质对边平行和角相等从而得到三角形全等的条件是解题的关键．‎ ‎　 ‎ ‎4.（2015湖南邵阳第15题3分）某正n边形的一个内角为108°，则n=　5　． ‎ ‎ ‎ 考点： 多边形内角与外角．.‎ 分析： 易得正n边形的一个外角的度数，正n边形有n个外角，外角和为360°，那么，边数n=360°÷一个外角的度数．‎ 解答： 解：∵正n边形的一个内角为108°，‎ ‎∴正n边形的一个外角为180°﹣108°=72°，‎ ‎∴n=360°÷72°=5．‎ 故答案为：5．‎ 点评： 考查了多边形内角与外角，用到的知识点为：多边形一个顶点处的内角与外角的和为180°；正多边形的边数等于360÷正多边形的一个外角度数．‎ ‎5. （2015•四川省内江市，第24题，6分）如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接OH，FH，EG与FH交于点M，对于下面四个结论：①CH⊥BE；②HOBG；③S正方形ABCD：S正方形ECGF=1：；④EM：MG=1：（1+），其中正确结论的序号为　②　． ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 考点： 四边形综合题．.‎ 分析： 证明△BCE≌△DCG，即可证得∠BEC=∠DGC，然后根据三角形的内角和定理证得∠EHG=90°，则HG⊥BE，然后证明△BGH≌△EGH，则H是BE的中点，则OH是△BGE的中位线，根据三角形的中位线定理即可判断②．根据△DHN∽△DGC求得两个三角形的边长的比，则③④即可判断．‎ 解答： 解：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴BC=DC，∠BCE=90°，‎ 同理可得CE=CG，∠DCG=90°，‎ 在△BCE和△DCG中，‎ ‎，‎ ‎∴△BCE≌△DCG，‎ ‎∴∠BEC=∠DGC，‎ ‎∵∠EDH=∠CDG，∠DGC+∠CDG=90°，‎ ‎∴∠EDH+∠BEC=90°，‎ ‎∴∠EHD=90°，‎ ‎∴HG⊥BE，则CH⊥BE错误，‎ 则故①错误；‎ ‎∵在△BGH和△EGH中，，‎ ‎∴△BGH≌△EGH，‎ ‎∴BH=EH，‎ 又∵O是EG的中点，‎ ‎∴HOBG，‎ 故②正确；‎ 设EC和OH相交于点N．‎ 设HN=a，则BC=‎2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC=b，CD=‎2a，‎ ‎∵OH∥BC，‎ ‎∴△DHN∽△DGC，‎ ‎∴，即，即a2+2ab﹣b2=0，‎ 解得：a=或a=（舍去），‎ 则，‎ 则S正方形ABCD：S正方形ECGF=（）2=，故③错误；‎ ‎∵EF∥OH，‎ ‎∴△EFM∽△OMH，‎ ‎∴=，‎ ‎∴，‎ ‎∴===．故④错误．‎ 故正确的是②．‎ 故答案是：②．‎ 点评： 本题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确求得两个三角形的边长的比是解决本题的关键．‎ ‎　 ‎ ‎ ‎ ‎6.（2015•江苏徐州,第12题3分）若正多边形的一个内角等于140°，则这个正多边形的边数是　9　． ‎ ‎ ‎ 考点： 多边形内角与外角．.‎ 分析： 首先根据求出外角度数，再利用外角和定理求出边数．‎ 解答： 解：∵正多边形的一个内角是140°，‎ ‎∴它的外角是：180°﹣140°=40°，‎ ‎360°÷40°=9．‎ 故答案为：9．‎ 点评： 此题主要考查了多边形的外角与内角，做此类题目，首先求出正多边形的外角度数，再利用外角和定理求出求边数．‎ ‎ ‎ ‎7. （2015•四川成都,第14题4分）如图，在平行四边形中，，，将平行四边形沿翻折后，点恰好与点重合，则折痕的长为__________. ‎ ‎ ‎ ‎【答案】：3 ‎ ‎【解析】：点恰好与点重合，且四边形是平行四边形， ‎ ‎ 根据翻折的性质， 则，， ‎ 在中，由勾股定理得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎8. （2015•四川眉山，第18题3分）如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC，∠BAC=120°时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是　①②　．（请写出正确结论的番号）． ‎ ‎ ‎ 考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的判定；正方形的判定．.‎ 专题： 计算题．‎ 分析： 由三角形ABE与三角形BCF都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，∠ABE=∠CBF=60°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形EBF与三角形DFC全等，利用全等三角形对应边相等得到EF=AC，再由三角形ADC为等边三角形得到三边相等，等量代换得到EF=AD，AE=DF，利用对边相等的四边形为平行四边形得到AEFD为平行四边形，若AB=AC，∠BAC=120°，只能得到AEFD为菱形，不能为正方形，即可得到正确的选项．‎ 解答： 解：∵△ABE、△BCF为等边三角形，‎ ‎∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°，‎ ‎∴∠ABE﹣∠ABF=∠FBC﹣∠ABF，即∠CBA=∠FBE，‎ 在△ABC和△EBF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABC≌△EBF（SAS），选项①正确；‎ ‎∴EF=AC，‎ 又∵△ADC为等边三角形，‎ ‎∴CD=AD=AC，‎ ‎∴EF=AD，‎ 同理可得AE=DF，‎ ‎∴四边形AEFD是平行四边形，选项②正确；‎ 若AB=AC，∠BAC=120°，则有AE=AD，∠EAD=120°，此时AEFD为菱形，选项③错误，‎ 故答案为：①②．‎ 点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定，以及正方形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．‎ ‎ ‎ ‎9．（2015•广东省,第11题，4分）正五边形的外角和等于 ▲ （度）. ‎ ‎【答案】360. ‎ ‎【考点】多边形外角性质. ‎ ‎【分析】根据“n边形的外角和都等于360度”的性质，正五边形的外角和等于360度. ‎ ‎ ‎ ‎10．（2015•北京市,第12题，3分）右图是由射线AB，BC，CD，DE，组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=_____． ‎ ‎ ‎ ‎【考点】多边形 ‎ ‎【难度】容易 ‎ ‎【答案】360° ‎ ‎【点评】本题考查多边形的基本概念。 ‎ ‎ ‎ ‎11．（2015•广东梅州,第13题，3分）如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE ‎=2，则□ABCD的周长等于　 　． ‎ 考点：平行四边形的性质．. ‎ 分析：根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，然后根据已知可求得结果． ‎ 解答：解：∵四边形ABCD为平行四边形， ‎ ‎∴AE∥BC，AD=BC，AD=BC， ‎ ‎∴∠AEB=∠EBC， ‎ ‎∵BE平分∠ABC， ‎ ‎∴∠ABE=∠EBC， ‎ ‎∴∠ABE=∠AEB， ‎ ‎∴AB=AE， ‎ ‎∴AE+DE=AD=BC=6， ‎ ‎∴AE+2=6， ‎ ‎∴AE=4， ‎ ‎∴AB=CD=4， ‎ ‎∴▱ABCD的周长=4+4+6+6=20， ‎ 故答案为：20． ‎ 点评：本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出∠ABE=∠AEB． ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎12．（2015•四川资阳,第12题3分）一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是_______． ‎ 考点：多边形内角与外角．. ‎ 分析：任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数． ‎ 解答：解：设多边形的边数为n，根据题意，得 ‎ ‎（n﹣2）•180=3×360， ‎ 解得n=8． ‎ 则这个多边形的边数是8． ‎ 点评：已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．考查了相似形综合题，涉及的知识点有：等腰直角三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度． ‎ ‎ ‎ ‎13. （2015辽宁大连，14，3分）在□ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，AC垂直于BC，且AB=‎10cm，AD=‎8cm，则OB=___________cm． ‎ ‎ ‎ ‎（第14题） ‎ ‎ ‎ ‎【答案】cm. ‎ ‎【解析】解：因为AC垂直于BC,AB=‎10cm，BC=AD=‎8cm， ‎ 所以AC=,所以OC=AC=‎3cm. ‎ 所以OB=cm.故答案为cm. ‎ ‎（2015·山东潍坊第14 题3分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=50，AB=20，∠B=60°，则AD=　30　． ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 考点： 等腰梯形的性质．.‎ 分析： 首先作辅助线：过点A作AE∥CD交BC于点E，根据等腰梯形的性质，易得四边形AECD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，即可得AE=CD=AB=20，AD=EC，易得△ABE是等边三角形，即可求得AD的长．‎ 解答： 解：过点A作AE∥CD交BC于点E，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴四边形AECD是平行四边形，‎ ‎∴AE=CD=AB=20，AD=EC，‎ ‎∵∠B=60°，‎ ‎∴BE=AB=AE=20，‎ ‎∴AD=BC﹣CE=50﹣20=30．‎ 故答案为：30‎ 点评： 此题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及等边三角形的性质．解题的关键是注意平移梯形的一腰是梯形题目中常见的辅助线．‎ ‎ ‎ ‎14．（2015·山东威海，第18 题3分）如图①，②，③，用一种大小相等的正多边形密铺成一个“环”，我们称之为环形密铺．但图④，⑤不是我们所说的环形密铺．请你再写出一种可以进行环形密铺的正多边形：　正十二边形　． ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 考点： 平面镶嵌（密铺）．.‎ 分析： 根据环形密铺的定义，所用多边形的外角的2倍是正多边形的内角即可．‎ 解答： 解：正十二边形的外角是360°÷12=30°，‎ ‎∵30°×2=60°是正三角形，‎ ‎∴正十二边形可以进行环形密铺．‎ 故答案为：正十二边形．‎ 点评： 本题考查了平面密铺，观察图形判断出中间空白正多边形的内角是所用正多边形的外角的2倍是解题的关键．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三.解答题 ‎ ‎1.（2015•江苏徐州,第23题8分）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC． ‎ ‎（1）求证：四边形BFCE是平行四边形； ‎ ‎（2）若AD=10，DC=3，∠EBD=60°，则BE=　4　 时，四边形BFCE是菱形． ‎ ‎ ‎ 考点： 平行四边形的判定；菱形的判定．.‎ 分析： （1）由AE=DF，∠A=∠D，AB=DC，易证得△AEC≌△DFB，即可得BF=EC，∠ACE=∠DBF，且EC∥BF，即可判定四边形BFCE是平行四边形；‎ ‎（2）当四边形BFCE是菱形时，BE=CE，根据菱形的性质即可得到结果．‎ 解答： （1）证明：∵AB=DC，‎ ‎∴AC=DF，‎ 在△AEC和△DFB中 ‎，‎ ‎∴△AEC≌△DFB（SAS），‎ ‎∴BF=EC，∠ACE=∠DBF ‎∴EC∥BF，‎ ‎∴四边形BFCE是平行四边形；‎ ‎（2）当四边形BFCE是菱形时，BE=CE，‎ ‎∵AD=10，DC=3，AB=CD=3，‎ ‎∴BC=10﹣3﹣3=4，‎ ‎∵∠EBD=60°，‎ ‎∴BE=BC=4，‎ ‎∴当BE=4 时，四边形BFCE是菱形，‎ 故答案为：4．‎ 点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．‎ ‎　 ‎ ‎ ‎ ‎2．（2015•四川广安，第19题6分）在平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD翻折，使点C落在点E处，BE和AD相交于点O，求证：OA=OE． ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 考点： 全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）．.‎ 专题： 证明题．‎ 分析： 由在平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD对折，使点C落在E处，即可求得∠DBE=∠ADB，得出OB=OD，再由∠A=∠C，证明三角形全等，利用全等三角形的性质证明即可．‎ 解答： 证明：平行四边形ABCD中，将△BCD沿BD对折，使点C落在E处，‎ 可得∠DBE=∠ADB，∠A=∠C，‎ ‎∴OB=OD，‎ 在△AOB和△EOD中，‎ ‎，‎ ‎∴△AOB≌△EOD（AAS），‎ ‎∴OA=OE．‎ 点评： 此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及折叠的性质．此题难度不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．‎ ‎ ‎ ‎3．（2015•北京市,第22题，5分）在平行四边形ABCD中，过点D作于点E，点F在边CD上，，连接AF，BF ‎。 ‎ ‎(1)求证：四边形BFDE是矩形； ‎ ‎(2)若，，，求证：AF平分。 ‎ A B C D E F ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【考点】平行四边形的性质 ‎ ‎【难度】中等 ‎ ‎【答案】 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【点评】本题考查了平行四边形的性质与矩形的判定． ‎ ‎ ‎ ‎4．(2015·贵州六盘水，第20题8分)如图11，已知， l1∥l2，C1在l1上，并且C‎1A⊥l2，A 为垂足，C2，C3是l1上任意两点，点B在l2上，设△ABC1的面积为S1，△ABC2的面积为S2，△ABC3的面积为S3，小颖认为S1＝S2＝S3，请帮小颖说明理由． ‎ ‎ ‎ 考点：平行线之间的距离；三角形的面积．. ‎ 分析：根据两平行线间的距离相等，即可解答． ‎ 解答：解：∵直线l1∥l2， ‎ ‎∴△ABC1，△ABC2，△ABC3的底边AB上的高相等， ‎ ‎∴△ABC1，△ABC2，△ABC3这3个三角形同底，等高， ‎ ‎∴△ABC1，△ABC2，△ABC3这些三角形的面积相等． ‎ 即S1=S2=S3． ‎ 点评：本题考查了平行线之间的距离，解集本题本题的关键是明确两平行线间的距离相等． ‎ ‎ ‎ ‎5.（2015辽宁大连，19，9分）在□ABCD中，点E、F在AC上，且∠ABE=∠CDF， ‎ 求证：BE=DF. ‎ ‎ ‎ ‎（第19题） ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【答案】证明△ABE≌△CDF。 ‎ ‎【解析】证明：因为四边形ABCD是平行四边形 ‎ 所以AB∥CD，AB=CD，因为AB∥CD，所以∠BAE=∠DCF ‎ 所以在△ABE和△CDF中，所以△ABE≌△CDF，所以BE=DF. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎6. （2015呼和浩特，18，6分）.(6分)如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE=CF. ‎ ‎(1)求证：△BOE ≌△DOF ; ‎ ‎(2)若BD=EF，连接DE、BF，判断四边形EBFD的形状，无需说明理由. ‎ 考点分析：全等 平行四边形性质 特殊四边形判定 推理能力 ‎ 解析： ‎ 在考前所写的《考点重点突破》中讲到：现在要证的全等基本上没有直接具备条件的，目前呼市的难度是二次全等，或者通过加减等线段（共线段）或加减等角（同角）来证全等，且今年的必考特殊四边形判定。 ‎ 喜欢做几何题，因为好的几何题是靠逻辑推理来进行证算的，学习数学的一大目的是培养人的逻辑推理能力，所以认为在几何知识考查方面应该更重视逻辑推理能力的考查。 ‎ 证三角形全等，首先至少一组对应边相等，所以在证明三角形全等时先找一组对应边。如右图所示，一般先把题问在图上标出来，即两个红色三角形。 ‎ 首先看看BE和FD是否相等？△AEB≌△CFD(SAS)，你能找到为什么吗？[ ‎ 其次看看BO和DO是否相等？可以相等，为什么，平行四边形性质：对角线互相平分。那么AO也就是等于CO，又从已知可知，AE=CF，所以EO=FO，这就是说的等长减去等长。 ‎ 轻松通过一个平行四边形的性质找到两组对应边相等，之后我们看他们的夹角，是对顶角，所以SAS。 ‎ 第二问更简单，你已经可以看出貌似是个矩形，因为本问不要求过程，所以只要在草稿划拉出来就可以直接写你判定的结论。证明过程也很简单，一起给出过程。 ‎ 证明： （1）∵四边形ABCD为平行四边形 ‎ ‎∴BO=DO，AO=OC ‎ ‎∵AE=CF ‎ ‎∴AO－AE=OC－CF ‎ 即OE=OF ‎ 在△BOE和△DOF中， ‎ ‎ ‎ ‎∴△BOE≌△DOF（SAS） ‎ ‎ ‎ ‎（2）∵△BOE≌△DOF ‎ ‎ ∴BE=FD，∠OFD=∠OEB ‎ ‎ ∵∠OFD=∠OEB ‎ ‎ ∴BE∥FD ‎ ‎ ∴四边形BEDF为平行四边形 ‎ 又∵BD=EF ‎ ‎ ∴四边形BEDF为矩形 ‎ ‎7. （2015•四川泸州,第24题12分）如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，BD为⊙O的弦，且AB∥CD，过点A作⊙O的切线AE与DC的延长线交于点E，AD与BC交于点F。 ‎ ‎（1）求证：四边形ABCE是平行四边形； ‎ ‎（2）若AE=6，CD=5，求OF的长。 ‎ ‎ ‎ 考点：切线的性质；平行四边形的判定．. ‎ 分析：（1）根据切线的性质证明∠EAC=∠ABC，根据等腰三角形等边对等角的性质和等量代得到∠EAC=∠ACB，从而根据内错角相等两直线平行的判定得到AE∥BC，结合已知AB∥CD即可判定四边形ABCD是平行四边形； ‎ ‎（2）作辅助线，连接AO，交BC于点H，双向延长OF分别交AB，CD于点N，M，根据切割线定理求得EC=4，证明四边形ABDC是等腰梯形，根据对称性、圆周角定理和垂径定理的综合应用证明△OFH∽△DMF∽△BFN，并由勾股定理列式求解即可． ‎ 解答：（1）证明：∵AE与⊙O相切于点A， ‎ ‎∴∠EAC=∠ABC， ‎ ‎∵AB=AC ‎ ‎∴∠ABC=∠ACB， ‎ ‎∴∠EAC=∠ACB， ‎ ‎∴AE∥BC， ‎ ‎∵AB∥CD， ‎ ‎∴四边形ABCE是平行四边形； ‎ ‎ ‎ ‎（2）解：如图，连接AO，交BC于点H，双向延长OF分别交AB，CD与点N，M， ‎ ‎∵AE是⊙O的切线， ‎ 由切割线定理得，AE2=EC•DE， ‎ ‎∵AE=6，CD=5， ‎ ‎∴62=CE（CE+5），解得：CE=4，（已舍去负数）， ‎ 由圆的对称性，知四边形ABDC是等腰梯形，且AB=AC=BD=CE=4， ‎ 又根据对称性和垂径定理，得AO垂直平分BC，MN垂直平分AB，DC， ‎ 设OF=x，OH=Y，FH=z， ‎ ‎∵AB=4，BC=6，CD=5， ‎ ‎∴BF=BC﹣FH=3﹣z，DF=CF=BC+FH=3+z， ‎ 易得△OFH∽△DMF∽△BFN， ‎ ‎∴，‎ ‎， ‎ 即，① ‎ ‎ ②， ‎ ‎①+②得：， ‎ ‎①÷②得：， ‎ 解得， ‎ ‎∵x2=y2+z2， ‎ ‎∴， ‎ ‎∴x=， ‎ ‎∴OF=． ‎ ‎ ‎ 点评：本题考查了切线的性质，圆周勾股定理，等腰三角形的性质，平行的判定，平行四边形的判定和性质，等腰梯形的判定和性质，垂径定理，相似判定和性质，勾股定理，正确得作出辅助线是解题的关键． ‎ ‎ ‎ ‎8. （2015•四川凉山州,第24题8分）阅读理解材料一：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形，其中平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的腰，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线．梯形的中位线具有以下性质：梯形的中位线平行于两底和，并且等于两底和的一半． ‎ 如图（1）：在梯形ABCD中：AD∥BC， ‎ ‎∵E、F是AB、CD的中点，∴EF∥AD∥BC，EF=（AD+BC） ‎ ‎ ‎ 材料二：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边 ‎ 如图（2）：在△ABC中：∵E是AB的中点，EF∥BC ‎ ‎∴F是AC的中点 ‎ ‎ ‎ 请你运用所学知识，结合上述材料，解答下列问题． ‎ 如图（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，E、F分别为AB、CD的中点，∠DBC=30°． ‎ ‎（1）求证：EF=AC； ‎ ‎（2）若OD=，OC=5，求MN的长． ‎ ‎ ‎ ‎【答案】（1）证明见试题解析；（2）2． ‎ ‎【解析】 ‎ 考点：四边形综合题． ‎ ‎9.（2015湖南邵阳第21题8分）如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF． ‎ ‎（1）求证：DE=CF； ‎ ‎（2）求EF 的长． ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 考点： 三角形中位线定理；等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质．.‎ 分析： （1）直接利用三角形中位线定理得出DEBC，进而得出DE=FC；‎ ‎（2）利用平行四边形的判定与性质得出DC=EF，进而利用等边三角形的性质以及勾股定理得出EF的长．‎ 解答： （1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，‎ ‎∴DEBC，‎ ‎∵延长BC至点F，使CF=BC，‎ ‎∴DEFC，‎ 即DE=CF；‎ ‎（2）解：∵DEFC，‎ ‎∴四边形DEFC是平行四边形，‎ ‎∴DC=EF，‎ ‎∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，‎ ‎∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2，‎ ‎∴DC=EF=．‎ 点评： 此题主要考查了等边三角形的性质以及平行四边形的判定与性质和三角形中位线定理等知识，得出DEBC是解题关键．‎ ‎10.（2015湖南邵阳第25题8分）已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，现按如下步骤作图： ‎ ‎①分别以A，C为圆心，a为半径（a＞AC）作弧，两弧分别交于M，N两点； ‎ ‎②过M，N两点作直线MN交AB于点D，交AC于点E； ‎ ‎③将△ADE绕点E顺时针旋转180°，设点D的像为点F． ‎ ‎（1）请在图中直线标出点F并连接CF； ‎ ‎（2）求证：四边形BCFD是平行四边形； ‎ ‎（3）当∠B为多少度时，四边形BCFD是菱形． ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 考点： 菱形的判定；平行四边形的判定；作图－旋转变换．.‎ 分析： （1）根据题意作出图形即可；‎ ‎（2）首先根据作图得到MN是AC的垂直平分线，然后得到DE等于BC的一半，从而得到DE=EF，即DF=BC，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可；‎ ‎（3）得到BD=CB后利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判定即可．‎ 解答： 解：（1）如图所示：‎ ‎（2）∵根据作图可知：MN垂直平分线段AC，‎ ‎∴D、E为线段AB和AC的中点，‎ ‎∴DE是△ABC的中位线，‎ ‎∴DE=BC，‎ ‎∵将△ADE绕点E顺时针旋转180°，点D的像为点F，‎ ‎∴EF=ED，‎ ‎∴DF=BC，‎ ‎∵DE∥BC，‎ ‎∴四边形BCFD是平行四边形；‎ ‎（3）当∠B=60°时，四边形BCFD是菱形；‎ ‎∵∠B=60°，‎ ‎∴BC=AB，‎ ‎∵DB=AB，‎ ‎∴DB=CB，‎ ‎∵四边形BCFD是平行四边形，‎ ‎∴四边形BCFD是菱形．‎ 点评： 本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定及基本作图的知识，解题的关键是能够了解各种特殊四边形的判定定理，难度不大．‎ ‎ ‎ ‎11. （2015•浙江省绍兴市，第24题，14分） ‎ 在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC的顶点A在轴的正半轴上，OA=4，‎ OC=2，点P，点Q分别是边BC，边AB上的点，连结AC，PQ，点B1是点B关于PQ的对称点。 ‎ ‎（1）若四边形OABC为矩形，如图1， ‎ ‎①求点B的坐标； ‎ ‎②若BQ:BP=1:2，且点B1落在OA上，求点B1的坐标； ‎ ‎（2）若四边形OABC为平行四边形，如图2，且OC⊥AC，过点B1作B‎1F∥轴，与对角线AC、边OC分别交于点E、点F。若B1E: B‎1F=1:3，点B1的横坐标为，求点B1的纵坐标，并直接写出的取值范围。 ‎ ‎ ‎ 考点：四边形综合题．. ‎ 分析：（1）①根据OA=4，OC=2，可得点B的坐标；②利用相似三角形的判定和性质得出点的坐标； ‎ ‎（2）根据平行四边形的性质，且分点在线段EF的延长线和线段上两种情况进行分析解答． ‎ 解答：解：（1）∵OA=4，OC=2， ‎ ‎∴点B的坐标为（4，2）； ‎ ‎②如图1，过点P作PD⊥OA，垂足为点D， ‎ ‎ ‎ ‎∵BQ：BP=1：2，点B关于PQ的对称点为B1， ‎ ‎∴B1Q：B1P=1：2， ‎ ‎∵∠PDB1=∠PB1Q=∠B1AQ=90°， ‎ ‎∴∠PB1D=∠B1QA， ‎ ‎∴△PB1D∽△B1QA， ‎ ‎∴， ‎ ‎∴B‎1A=1， ‎ ‎∴OB1=3，即点B1（3，0）； ‎ ‎（2）∵四边形OABC为平行四边形，OA=4，OC=2，且OC⊥AC， ‎ ‎∴∠OAC=30°， ‎ ‎∴点C（1，）， ‎ ‎∵B1E：B‎1F=1：3， ‎ ‎∴点B1不与点E，F重合，也不在线段EF的延长线上， ‎ ① 当点B1在线段FE的延长线上时，如图2，延长B‎1F与y轴交于点G，点B1的横坐标为m，B‎1F∥x轴， ‎ ‎ ‎ B1E：B‎1F=1：3， ‎ ‎∴B‎1G=m， ‎ 设OG=a， ‎ 则GF=，OF=， ‎ ‎∴CF=， ‎ ‎∴EF=，B1E=， ‎ ‎∴B‎1G=B1E+EF+FG=， ‎ ‎∴a=，即B1的纵坐标为， ‎ m的取值范围是； ‎ ‎②当点B1在线段EF（除点E，F）上时，如图3，延长B‎1F与y轴交于点G，点B1的横坐标为m，F∥x ‎ 轴， ‎ ‎ ‎ B1E：B‎1F=1：3， ‎ ‎∴B‎1G=m， ‎ 设OG=a， ‎ 则GF=，OF=， ‎ ‎∴CF=， ‎ ‎∴FE=，B‎1F=， ‎ ‎∴B‎1G=B‎1F﹣FG=， ‎ ‎∴a=，即点B1的纵坐标为， ‎ 故m的取值范围是． ‎ 点评：此题考查四边形的综合题，关键是利用平行四边形的性质，分点在线段EF的延长线和线段上两种情况进行分析． ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎12，（2015上海,第23题12分） ‎ 已知：如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE＝OB，联结DE． ‎ ‎(1)求证：DE⊥BE； (2)如果OE⊥CD，求证：BD·CE＝CD·DE． ‎ ‎ ‎ ‎【解析】 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎13. （2015•浙江省台州市，第23题）如图，在多边形ABCDE中，∠A=∠AED=∠D=90°，AB=5，AE=2，ED=3，过点E作EF∥CB交AB于点F，FB=1，过AE上的点P作PQ∥AB交线段EF于点O，交折线BCD于点Q，设AP=x，PO.OQ=y ‎ ‎（1）①延长BC交ED于点M，则MD= ，DC= ‎ ‎②求y关于x的函数解析式； ‎ ‎（2）当时，，求a，b的值； ‎ ‎（3）当时，请直接写出x的取值范围 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎14．（2015•四川自贡,第17题8分）在□中，的平分线与的延长线相交于点 ,于点. ‎ 求证: ‎ ‎ ‎ 考点：平行四边形的性质、等腰三角形的性质和判定、角平分线的定义等. ‎ 分析：平行线和角平分线结合往往会构建出等腰三角形.本题由平行四边形可得，结合的平分线与的延长线相交于点可证得；在△中求证的又与相连，这通过等腰三角形的“三线合一”可证出. ‎ 证明： ‎ ‎∵在中 ‎ ‎∴ ‎ ‎∵平分 ‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ∴ 又∵ ∴(三线合一) ‎