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  • 2021-05-10 发布

2018中考数学试题分类汇编考点15反比例函数含解析_450

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2018 中考数学试题分类汇编:考点 15 反比例函数 一.选择题(共 21 小题) 1.(2018•玉林)等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是(  ) A.正比例函数 B.一次函数 C.反比例函数 D.二次函数 【分析】根据一次函数的定义,可得答案. 【解答】解:设等腰三角形的底角为 y,顶角为 x,由题意,得 y=﹣ x+90°, 故选:B.   2.(2018•怀化)函数 y=kx﹣3 与 y= (k≠0)在同一坐标系内的图象可能是(  ) A. B. C. D. 【分析】根据当 k>0、当 k<0 时,y=kx﹣3 和 y= (k≠0)经过的象限,二者一致的即为 正确答案. 【解答】解:∵当 k>0 时,y=kx﹣3 过一、三、四象限,反比例函数 y= 过一、三象限, 当 k<0 时,y=kx﹣3 过二、三、四象限,反比例函数 y= 过二、四象限, ∴B 正确; 故选:B.   3.(2018•永州)在同一平面直角坐标系中,反比例函数 y= (b≠0)与二次函数 y=ax2+bx (a≠0)的图象大致是(  ) A. B. C. D. 【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出 a,b 的值取值范围,进而利用反比例函数 的性质得出答案. 【解答】解:A、抛物线 y=ax2+bx 开口方向向上,则 a>0,对称轴位于 y 轴的右侧,则 a、b 异号,即 b<0.所以反比例函数 y= 的图象位于第二、四象限,故本选项错误; B、抛物线 y=ax2+bx 开口方向向上,则 a>0,对称轴位于 y 轴的左侧,则 a、b 同号,即 b> 0.所以反比例函数 y= 的图象位于第一、三象限,故本选项错误; C、抛物线 y=ax2+bx 开口方向向下,则 a<0,对称轴位于 y 轴的右侧,则 a、b 异号,即 b> 0.所以反比例函数 y= 的图象位于第一、三象限,故本选项错误; D、抛物线 y=ax2+bx 开口方向向下,则 a<0,对称轴位于 y 轴的右侧,则 a、b 异号,即 b> 0.所以反比例函数 y= 的图象位于第一、三象限,故本选项正确; 故选:D.   4.(2018•菏泽)已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示,则一次函数 y=bx+a 与反比例 函数 y= 在同一平面直角坐标系中的图象大致是(  ) A. B. C. D. 【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出 a,b,c 的取值范围,进而利用一次函数与 反比例函数的性质得出答案. 【解答】解:∵二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口向上, ∴a>0, ∵该抛物线对称轴位于 y 轴的右侧, ∴a、b 异号,即 b<0. ∵当 x=1 时,y<0, ∴a+b+c<0. ∴一次函数 y=bx+a 的图象经过第一、二、四象限, 反比例函数 y= 的图象分布在第二、四象限, 故选:B.   5.(2018•大庆)在同一直角坐标系中,函数 y= 和 y=kx﹣3 的图象大致是(  ) A. B. C. D. 【分析】根据一次函数和反比例函数的特点,k≠0,所以分 k>0 和 k<0 两种情况讨论.当 两函数系数 k 取相同符号值,两函数图象共存于同一坐标系内的即为正确答案. 【解答】解:分两种情况讨论: ①当 k>0 时,y=kx﹣3 与 y 轴的交点在负半轴,过一、三、四象限,反比例函数的图象在 第一、三象限; ②当 k<0 时,y=kx﹣3 与 y 轴的交点在负半轴,过二、三、四象限,反比例函数的图象在 第二、四象限. 故选:B.   6.(2018•香坊区)对于反比例函数 y= ,下列说法不正确的是(  ) A.点(﹣2,﹣1)在它的图象上 B.它的图象在第一、三象限 C.当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大 D.当 x<0 时,y 随 x 的增大而减小 【分析】根据反比例函数的性质用排除法解答. 【解答】解:A、把点(﹣2,﹣1)代入反比例函数 y= 得﹣1=﹣1,故 A 选项正确; B、∵k=2>0,∴图象在第一、三象限,故 B 选项正确; C、当 x>0 时,y 随 x 的增大而减小,故 C 选项错误; D、当 x<0 时,y 随 x 的增大而减小,故 D 选项正确. 故选:C.   7.(2018•衡阳)对于反比例函数 y=﹣ ,下列说法不正确的是(  ) A.图象分布在第二、四象限 B.当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大 C.图象经过点(1,﹣2) D.若点 A(x1,y1),B(x2,y2)都在图象上,且 x1<x2,则 y1<y2 【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解. 【解答】解:A、k=﹣2<0,∴它的图象在第二、四象限,故本选项正确; B、k=﹣2<0,当 x>0 时,y 随 x 的增大而增大,故本选项正确; C、∵﹣ =﹣2,∴点(1,﹣2)在它的图象上,故本选项正确; D、点 A(x1,y1)、B(x2、y2)都在反比例函数 y=﹣ 的图象上,若 x1<x2<0,则 y1< y2,故本选项错误. 故选:D.   8.(2018•柳州)已知反比例函数的解析式为 y= ,则 a 的取值范围是(  ) A.a≠2 B.a≠﹣2 C.a≠±2 D.a=±2 【分析】根据反比例函数解析式中 k 是常数,不能等于 0 解答即可. 【解答】解:由题意可得:|a|﹣2≠0, 解得:a≠±2, 故选:C.   9.(2018•德州)给出下列函数:①y=﹣3x+2;②y= ;③y=2x2;④y=3x,上述函数中符 合条作“当 x>1 时,函数值 y 随自变量 x 增大而增大“的是(  ) A.①③ B.③④ C.②④ D.②③ 【分析】分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的增减性分析得出答 案. 【解答】解:①y=﹣3x+2,当 x>1 时,函数值 y 随自变量 x 增大而减小,故此选项错误; ②y= ,当 x>1 时,函数值 y 随自变量 x 增大而减小,故此选项错误; ③y=2x2,当 x>1 时,函数值 y 随自变量 x 增大而减小,故此选项正确; ④y=3x,当 x>1 时,函数值 y 随自变量 x 增大而减小,故此选项正确; 故选:B.   10.(2018•嘉兴)如图,点 C 在反比例函数 y= (x>0)的图象上,过点 C 的直线与 x 轴, y 轴分别交于点 A,B,且 AB=BC,△AOB 的面积为 1,则 k 的值为(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 【分析】根据题意可以设出点 A 的坐标,从而以得到点 C 和点 B 的坐标,再根据△AOB 的面 积为 1,即可求得 k 的值. 【解答】解:设点 A 的坐标为(a,0), ∵过点 C 的直线与 x 轴,y 轴分别交于点 A,B,且 AB=BC,△AOB 的面积为 1, ∴点 C(﹣a, ), ∴点 B 的坐标为(0, ), ∴ =1, 解得,k=4, 故选:D.   11.(2018•温州)如图,点 A,B 在反比例函数 y= (x>0)的图象上,点 C,D 在反比例 函数 y= (k>0)的图象上,AC∥BD∥y 轴,已知点 A,B 的横坐标分别为 1,2,△OAC 与△ ABD 的面积之和为 ,则 k 的值为(  ) A.4 B.3 C.2 D. 【分析】先求出点 A,B 的坐标,再根据 AC∥BD∥y 轴,确定点 C,点 D 的坐标,求出 AC, BD,最后根据,△OAC 与△ABD 的面积之和为 ,即可解答. 【解答】解:∵点 A,B 在反比例函数 y= (x>0)的图象上,点 A,B 的横坐标分别为 1, 2, ∴点 A 的坐标为(1,1),点 B 的坐标为(2, ), ∵AC∥BD∥y 轴, ∴点 C,D 的横坐标分别为 1,2, ∵点 C,D 在反比例函数 y= (k>0)的图象上, ∴点 C 的坐标为(1,k),点 D 的坐标为(2, ), ∴AC=k﹣1,BD= , ∴S△OAC= (k﹣1)×1= ,S△ABD= • ×(2﹣1)= , ∵△OAC 与△ABD 的面积之和为 , ∴ , 解得:k=3. 故选:B.   12.(2018•宁波)如图,平行于 x 轴的直线与函数 y= (k1>0,x>0),y= (k2>0, x>0)的图象分别相交于 A,B 两点,点 A 在点 B 的右侧,C 为 x 轴上的一个动点,若△ABC 的面积为 4,则 k1﹣k2 的值为(  ) A.8 B.﹣8 C.4 D.﹣4 【分析】设 A(a,h),B(b,h),根据反比例函数图象上点的坐标特征得出 ah=k 1, bh=k2.根据三角形的面积公式得到 S△ABC= AB•yA= (a﹣b)h= (ah﹣bh)= (k1﹣k2) =4,求出 k1﹣k2=8. 【解答】解:∵AB∥x 轴, ∴A,B 两点纵坐标相同. 设 A(a,h),B(b,h),则 ah=k1,bh=k2. ∵S△ABC= AB•yA= (a﹣b)h= (ah﹣bh)= (k1﹣k2)=4, ∴k1﹣k2=8. 故选:A.   13.(2018•郴州)如图,A,B 是反比例函数 y= 在第一象限内的图象上的两点,且 A,B 两点的横坐标分别是 2 和 4,则△OAB 的面积是(  ) A.4 B.3 C.2 D.1 【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及 A,B 两点的横坐标,求出 A(2,2),B (4,1).再过 A,B 两点分别作 AC⊥x 轴于 C,BD⊥x 轴于 D,根据反比例函数系数 k 的几 何意义得出 S△AOC=S△BOD= ×4=2.根据 S 四边形 AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S 梯形 ABDC,得出 S△AOB=S 梯形 ABDC,利用梯形面积公式求出 S 梯形 ABDC= (BD+AC)•CD= (1+2)×2=3,从而得出 S△AOB=3. 【解答】解:∵A,B 是反比例函数 y= 在第一象限内的图象上的两点,且 A,B 两点的横坐 标分别是 2 和 4, ∴当 x=2 时,y=2,即 A(2,2), 当 x=4 时,y=1,即 B(4,1). 如图,过 A,B 两点分别作 AC⊥x 轴于 C,BD⊥x 轴于 D,则 S△AOC=S△BOD= ×4=2. ∵S 四边形 AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S 梯形 ABDC, ∴S△AOB=S 梯形 ABDC, ∵S 梯形 ABDC= (BD+AC)•CD= (1+2)×2=3, ∴S△AOB=3. 故选:B.   14.(2018•无锡)已知点 P(a,m),Q(b,n)都在反比例函数 y= 的图象上,且 a<0 <b,则下列结论一定正确的是(  ) A.m+n<0 B.m+n>0 C.m<n D.m>n 【分析】根据反比例函数的性质,可得答案. 【解答】解:y= 的 k=﹣2<0,图象位于二四象限, ∵a<0, ∴P(a,m)在第二象限, ∴m>0; ∵b>0, ∴Q(b,n)在第四象限, ∴n<0. ∴n<0<m, 即 m>n, 故 D 正确; 故选:D.   15.(2018•淮安)若点 A(﹣2,3)在反比例函数 y= 的图象上,则 k 的值是(  ) A.﹣6 B.﹣2 C.2 D.6 【分析】根据待定系数法,可得答案. 【解答】解:将 A(﹣2,3)代入反比例函数 y= ,得 k=﹣2×3=﹣6, 故选:A.   16.(2018•岳阳)在同一直角坐标系中,二次函数 y=x2 与反比例函数 y= (x>0)的图象 如图所示,若两个函数图象上有三个不同的点 A(x1,m),B(x2,m),C(x3,m),其中 m 为常数,令 ω=x1+x2+x3,则 ω 的值为(  ) A.1 B.m C.m2 D. 【分析】三个点的纵坐标相同,由图象可知 y=x2 图象上点横坐标互为相反数,则 x1+x2+x3=x3, 再由反比例函数性质可求 x3. 【解答】解:设点 A、B 在二次函数 y=x2 图象上,点 C 在反比例函数 y= (x>0)的图象 上.因为 AB 两点纵坐标相同,则 A、B 关于 y 轴对称,则 x1+x2=0,因为点 C(x3,m)在反 比例函数图象上,则 x3= ∴ω=x1+x2+x3=x3= 故选:D.   17.(2018•遵义)如图,直角三角形的直角顶点在坐标原点,∠OAB=30°,若点 A 在反比 例函数 y= (x>0)的图象上,则经过点 B 的反比例函数解析式为(  ) A.y=﹣ B.y=﹣ C.y=﹣ D.y= 【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出 = ,进而得出 S△AOD=2,即可得出 答案. 【解答】解:过点 B 作 BC⊥x 轴于点 C,过点 A 作 AD⊥x 轴于点 D, ∵∠BOA=90°, ∴∠BOC+∠AOD=90°, ∵∠AOD+∠OAD=90°, ∴∠BOC=∠OAD, 又∵∠BCO=∠ADO=90°, ∴△BCO∽△ODA, ∴ =tan30°= , ∴ = , ∵ ×AD×DO= xy=3, ∴S△BCO= ×BC×CO= S△AOD=1, ∴S△AOD=2, ∵经过点 B 的反比例函数图象在第二象限, 故反比例函数解析式为:y=﹣ . 故选:C.   18.(2018•湖州)如图,已知直线 y=k1x(k1≠0)与反比例函数 y= (k2≠0)的图象交 于 M,N 两点.若点 M 的坐标是(1,2),则点 N 的坐标是(  ) A.(﹣1,﹣2) B.(﹣1,2) C.(1,﹣2) D.(﹣2,﹣1) 【分析】直接利用正比例函数的性质得出 M,N 两点关于原点对称,进而得出答案. 【解答】解:∵直线 y=k1x(k1≠0)与反比例函数 y= (k2≠0)的图象交于 M,N 两点, ∴M,N 两点关于原点对称, ∵点 M 的坐标是(1,2), ∴点 N 的坐标是(﹣1,﹣2). 故选:A.   19.(2018•江西)在平面直角坐标系中,分别过点 A(m,0),B(m+2,0)作 x 轴的垂线 l1 和 l2,探究直线 l1,直线 l2 与双曲线 y= 的关系,下列结论错误的是(  ) A.两直线中总有一条与双曲线相交 B.当 m=1 时,两直线与双曲线的交点到原点的距离相等 C.当﹣2<m<0 时,两直线与双曲线的交点在 y 轴两侧 D.当两直线与双曲线都有交点时,这两交点的最短距离是 2 【分析】A、由 m、m+2 不同时为零,可得出:两直线中总有一条与双曲线相交; B、找出当 m=1 时两直线与双曲线的交点坐标,利用两点间的距离公式可得出:当 m=1 时, 两直线与双曲线的交点到原点的距离相等; C、当﹣2<m<0 时,0<m+2<2,可得出:当﹣2<m<0 时,两直线与双曲线的交点在 y 轴 两侧; D、由 y 与 x 之间一一对应结合两交点横坐标之差为 2,可得出:当两直线与双曲线都有交 点时,这两交点的距离大于 2.此题得解. 【解答】解:A、∵m、m+2 不同时为零, ∴两直线中总有一条与双曲线相交; B、当 m=1 时,点 A 的坐标为(1,0),点 B 的坐标为(3,0), 当 x=1 时,y= =3, ∴直线 l1 与双曲线的交点坐标为(1,3); 当 x=3 时,y= =1, ∴直线 l2 与双曲线的交点坐标为(3,1). ∵ = , ∴当 m=1 时,两直线与双曲线的交点到原点的距离相等; C、当﹣2<m<0 时,0<m+2<2, ∴当﹣2<m<0 时,两直线与双曲线的交点在 y 轴两侧; D、∵m+2﹣m=2,且 y 与 x 之间一一对应, ∴当两直线与双曲线都有交点时,这两交点的距离大于 2. 故选:D.   20.(2018•铜仁市)如图,已知一次函数 y=ax+b 和反比例函数 y= 的图象相交于 A(﹣2, y1)、B(1,y2)两点,则不等式 ax+b< 的解集为(  ) A.x<﹣2 或 0<x<1 B.x<﹣2 C.0<x<1 D.﹣2<x<0 或 x>1 【分析】根据一次函数图象与反比例函数图象的上下位置关系结合交点坐标,即可得出不等 式的解集. 【解答】解:观察函数图象,发现:当﹣2<x<0 或 x>1 时,一次函数图象在反比例函数 图象的下方, ∴不等式 ax+b< 的解集是﹣2<x<0 或 x>1. 故选:D.   21.(2018•聊城)春季是传染病多发的季节,积极预防传染病是学校高度重视的一项工作, 为此,某校对学生宿舍采取喷洒药物进行消毒.在对某宿舍进行消毒的过程中,先经过 5min 的集中药物喷洒,再封闭宿舍 10min,然后打开门窗进行通风,室内每立方米空气中含药量 y(mg/m3)与药物在空气中的持续时间 x(min)之间的函数关系,在打开门窗通风前分别 满足两个一次函数,在通风后又成反比例,如图所示.下面四个选项中错误的是(  ) A.经过 5min 集中喷洒药物,室内空气中的含药量最高达到 10mg/m3 B.室内空气中的含药量不低于 8mg/m3 的持续时间达到了 11min C.当室内空气中的含药量不低于 5mg/m3 且持续时间不低于 35 分钟,才能有效杀灭某种传 染病毒.此次消毒完全有效 D.当室内空气中的含药量低于 2mg/m3 时,对人体才是安全的,所以从室内空气中的含药量 达到 2mg/m3 开始,需经过 59min 后,学生才能进入室内 【分析】利用图中信息一一判断即可; 【解答】解:A、正确.不符合题意. B、由题意 x=4 时,y=8,∴室内空气中的含药量不低于 8mg/m3 的持续时间达到了 11min,正 确,不符合题意; C、y=5 时,x=2.5 或 24,24﹣2.5=21.5<35,故本选项错误,符合题意; D、正确.不符合题意, 故选:C.   二.填空题(共 9 小题) 22.(2018•上海)已知反比例函数 y= (k 是常数,k≠1)的图象有一支在第二象限, 那么 k 的取值范围是 k<1 . 【分析】由于在反比例函数 y= 的图象有一支在第二象限,故 k﹣1<0,求出 k 的取值 范围即可. 【解答】解:∵反比例函数 y= 的图象有一支在第二象限, ∴k﹣1<0, 解得 k<1. 故答案为:k<1.   23.(2018•齐齐哈尔)已知反比例函数 y= 的图象在第一、三象限内,则 k 的值可以是  1 .(写出满足条件的一个 k 的值即可) 【分析】根据反比例函数的性质:反比例函数 y= 的图象在第一、三象限内,则可知 2﹣k >0,解得 k 的取值范围,写出一个符合题意的 k 即可. 【解答】解:由题意得,反比例函数 y= 的图象在第一、三象限内, 则 2﹣k>0, 故 k<2,满足条件的 k 可以为 1, 故答案为:1.   24.(2018•连云港)已知 A(﹣4,y1),B(﹣1,y2)是反比例函数 y=﹣ 图象上的两个 点,则 y1 与 y2 的大小关系为 y1<y2 . 【分析】根据反比例函数的性质和题目中的函数解析式可以判断 y1 与 y2 的大小,从而可以 解答本题. 【解答】解:∵反比例函数 y=﹣ ,﹣4<0, ∴在每个象限内,y 随 x 的增大而增大, ∵A(﹣4,y1),B(﹣1,y2)是反比例函数 y=﹣ 图象上的两个点,﹣4<﹣1, ∴y1<y2, 故答案为:y1<y2.   25.(2018•南京)已知反比例函数 y= 的图象经过点(﹣3,﹣1),则 k= 3 . 【分析】根据反比例函数 y= 的图象经过点(﹣3,﹣1),可以求得 k 的值. 【解答】解:∵反比例函数 y= 的图象经过点(﹣3,﹣1), ∴﹣1= , 解得,k=3, 故答案为:3.   26.(2018•陕西)若一个反比例函数的图象经过点 A(m,m)和 B(2m,﹣1),则这个反 比例函数的表达式为   . 【分析】设反比例函数的表达式为 y= ,依据反比例函数的图象经过点 A(m,m)和 B (2m,﹣1),即可得到 k 的值,进而得出反比例函数的表达式为 . 【解答】解:设反比例函数的表达式为 y= , ∵反比例函数的图象经过点 A(m,m)和 B(2m,﹣1), ∴k=m2=﹣2m, 解得 m1=﹣2,m2=0(舍去), ∴k=4, ∴反比例函数的表达式为 . 故答案为: .   27.(2018•东营)如图,B(3,﹣3),C(5,0),以 OC,CB 为边作平行四边形 OABC, 则经过点 A 的反比例函数的解析式为 y=  . 【分析】设 A 坐标为(x,y),根据四边形 OABC 为平行四边形,利用平移性质确定出 A 的 坐标,利用待定系数法确定出解析式即可. 【解答】解:设 A 坐标为(x,y), ∵B(3,﹣3),C(5,0),以 OC,CB 为边作平行四边形 OABC, ∴x+5=0+3,y+0=0﹣3, 解得:x=﹣2,y=﹣3,即 A(﹣2,﹣3), 设过点 A 的反比例解析式为 y= , 把 A(﹣2,﹣3)代入得:k=6, 则过点 A 的反比例解析式为 y= , 故答案为:y=   28.(2018•成都)设双曲线 y= (k>0)与直线 y=x 交于 A,B 两点(点 A 在第三象限), 将双曲线在第一象限的一支沿射线 BA 的方向平移,使其经过点 A,将双曲线在第三象限的 一支沿射线 AB 的方向平移,使其经过点 B,平移后的两条曲线相交于 P,Q 两点,此时我们 称平移后的两条曲线所围部分(如图中阴影部分)为双曲线的“眸”,PQ 为双曲线的“眸 径“,当双曲线 y= (k>0)的眸径为 6 时,k 的值为   . 【分析】以 PQ 为边,作矩形 PQQ′P′交双曲线于点 P′、Q′,联立直线 AB 及双曲线解析 式成方程组,通过解方程组可求出点 A、B 的坐标,由 PQ 的长度可得出点 P 的坐标(点 P 在 直线 y=﹣x 上找出点 P 的坐标),由图形的对称性结合点 A、B 和 P 的坐标可得出点 P′的 坐标,再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于 k 的一元一次方程,解之即可得 出结论. 【解答】解:以 PQ 为边,作矩形 PQQ′P′交双曲线于点 P′、Q′,如图所示. 联立直线 AB 及双曲线解析式成方程组, , 解得: , , ∴点 A 的坐标为(﹣ ,﹣ ),点 B 的坐标为( , ). ∵PQ=6, ∴OP=3,点 P 的坐标为(﹣ , ). 根据图形的对称性可知:AB=OO′=PP′, ∴点 P′的坐标为(﹣ +2 , +2 ). 又∵点 P′在双曲线 y= 上, ∴(﹣ +2 )•( +2 )=k, 解得:k= . 故答案为: .   29.(2018•安顺)如图,已知直线 y=k1x+b 与 x 轴、y 轴相交于 P、Q 两点,与 y= 的图 象相交于 A(﹣2,m)、B(1,n)两点,连接 OA、OB,给出下列结论:①k1k2<0;②m+ n=0;③S△AOP=S△BOQ;④不等式 k1x+b 的解集是 x<﹣2 或 0<x<1,其中正确的结论的 序号是 ②③④ . 【分析】根据一次函数和反比例函数的性质得到 k1k2>0,故①错误;把 A(﹣2,m)、B (1,n)代入 y= 中得到﹣2m=n 故②正确;把 A(﹣2,m)、B(1,n)代入 y=k 1x+b 得 到 y=﹣mx﹣m,求得 P(﹣1,0),Q(0,﹣m),根据三角形的面积公式即可得到 S△AOP=S△ BOQ;故③正确;根据图象得到不等式 k1x+b 的解集是 x<﹣2 或 0<x<1,故④正 确. 【解答】解:由图象知,k1<0,k2<0, ∴k1k2>0,故①错误; 把 A(﹣2,m)、B(1,n)代入 y= 中得﹣2m=n, ∴m+ n=0,故②正确; 把 A(﹣2,m)、B(1,n)代入 y=k1x+b 得 , ∴ , ∵﹣2m=n, ∴y=﹣mx﹣m, ∵已知直线 y=k1x+b 与 x 轴、y 轴相交于 P、Q 两点, ∴P(﹣1,0),Q(0,﹣m), ∴OP=1,OQ=m, ∴S△AOP= m,S△BOQ= m, ∴S△AOP=S△BOQ;故③正确; 由图象知不等式 k1x+b 的解集是 x<﹣2 或 0<x<1,故④正确; 故答案为:②③④.   30.(2018•安徽)如图,正比例函数 y=kx 与反比例函数 y= 的图象有一个交点 A(2, m),AB⊥x 轴于点 B.平移直线 y=kx,使其经过点 B,得到直线 l,则直线 l 对应的函数表 达式是 y= x﹣3 . 【分析】首先利用图象上点的坐标特征得出 A 点坐标,进而得出正比例函数解析式,再利用 平移的性质得出答案. 【解答】解:∵正比例函数 y=kx 与反比例函数 y= 的图象有一个交点 A(2,m), ∴2m=6, 解得:m=3, 故 A(2,3), 则 3=2k, 解得:k= , 故正比例函数解析式为:y= x, ∵AB⊥x 轴于点 B,平移直线 y=kx,使其经过点 B, ∴B(2,0), ∴设平移后的解析式为:y= x+b, 则 0=3+b, 解得:b=﹣3, 故直线 l 对应的函数表达式是:y= x﹣3. 故答案为:y= x﹣3.   三.解答题(共 20 小题) 31.(2018•贵港)如图,已知反比例函数 y= (x>0)的图象与一次函数 y=﹣ x+4 的图 象交于 A 和 B(6,n)两点. (1)求 k 和 n 的值; (2)若点 C(x,y)也在反比例函数 y= (x>0)的图象上,求当 2≤x≤6 时,函数值 y 的取值范围. 【分析】(1)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出 n 值,进而可得出点 B 的坐标,再 利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出 k 值; (2)由 k=6>0 结合反比例函数的性质,即可求出:当 2≤x≤6 时,1≤y≤3. 【解答】解:(1)当 x=6 时,n=﹣ ×6+4=1, ∴点 B 的坐标为(6,1). ∵反比例函数 y= 过点 B(6,1), ∴k=6×1=6. (2)∵k=6>0, ∴当 x>0 时,y 随 x 值增大而减小, ∴当 2≤x≤6 时,1≤y≤3.   32.(2018•泰安)如图,矩形 ABCD 的两边 AD、AB 的长分别为 3、8,E 是 DC 的中点,反比 例函数 y= 的图象经过点 E,与 AB 交于点 F. (1)若点 B 坐标为(﹣6,0),求 m 的值及图象经过 A、E 两点的一次函数的表达式; (2)若 AF﹣AE=2,求反比例函数的表达式. 【分析】(1)根据矩形的性质,可得 A,E 点坐标,根据待定系数法,可得答案; (2)根据勾股定理,可得 AE 的长,根据线段的和差,可得 FB,可得 F 点坐标,根据待定 系数法,可得 m 的值,可得答案. 【解答】解:(1)点 B 坐标为(﹣6,0),AD=3,AB=8,E 为 CD 的中点, ∴点 A(﹣6,8),E(﹣3,4), 函数图象经过 E 点, ∴m=﹣3×4=﹣12, 设 AE 的解析式为 y=kx+b, , 解得 , 一次函数的解析是为 y=﹣ x; (2)AD=3,DE=4, ∴AE= =5, ∵AF﹣AE=2, ∴AF=7, BF=1, 设 E 点坐标为(a,4),则 F 点坐标为(a﹣3,1), ∵E,F 两点在函数 y= 图象上, ∴4a=a﹣3,解得 a=﹣1, ∴E(﹣1,4), ∴m=﹣1×4=﹣4, ∴y=﹣ .   33.(2018•岳阳)如图,某反比例函数图象的一支经过点 A(2,3)和点 B(点 B 在点 A 的 右侧),作 BC⊥y 轴,垂足为点 C,连结 AB,AC. (1)求该反比例函数的解析式; (2)若△ABC 的面积为 6,求直线 AB 的表达式. 【分析】(1)把 A 的坐标代入反比例函数的解析式即可求得; (2)作 AD⊥BC 于 D,则 D(2,b),即可利用 a 表示出 AD 的长,然后利用三角形的面积公 式即可得到一个关于 b 的方程求得 b 的值,进而求得 a 的值,根据待定系数法,可得答 案. 【解答】解:(1)由题意得,k=xy=2×3=6 ∴反比例函数的解析式为 y= . (2)设 B 点坐标为(a,b),如图 , 作 AD⊥BC 于 D,则 D(2,b) ∵反比例函数 y= 的图象经过点 B(a,b) ∴b= ∴AD=3﹣ . ∴S△ABC= BC•AD = a(3﹣ )=6 解得 a=6 ∴b= =1 ∴B(6,1). 设 AB 的解析式为 y=kx+b, 将 A(2,3),B(6,1)代入函数解析式,得 , 解得 , 直线 AB 的解析式为 y=﹣ x+4.   34.(2018•柳州)如图,一次函数 y=mx+b 的图象与反比例函数 y= 的图象交于 A(3, 1),B(﹣ ,n)两点. (1)求该反比例函数的解析式; (2)求 n 的值及该一次函数的解析式. 【分析】(1)根据反比例函数 y= 的图象经过 A(3,1),即可得到反比例函数的解析式 为 y= ; (2)把 B(﹣ ,n)代入反比例函数解析式,可得 n=﹣6,把 A(3,1),B(﹣ ,﹣6) 代入一次函数 y=mx+b,可得一次函数的解析式为 y=2x﹣5. 【解答】解:(1)∵反比例函数 y= 的图象经过 A(3,1), ∴k=3×1=3, ∴反比例函数的解析式为 y= ; (2)把 B(﹣ ,n)代入反比例函数解析式,可得 ﹣ n=3, 解得 n=﹣6, ∴B(﹣ ,﹣6), 把 A(3,1),B(﹣ ,﹣6)代入一次函数 y=mx+b,可得 , 解得 , ∴一次函数的解析式为 y=2x﹣5.   35.(2018•白银)如图,一次函数 y=x+4 的图象与反比例函数 y= (k 为常数且 k≠0)的 图象交于 A(﹣1,a),B 两点,与 x 轴交于点 C. (1)求此反比例函数的表达式; (2)若点 P 在 x 轴上,且 S△ACP= S△BOC,求点 P 的坐标. 【分析】(1)利用点 A 在 y=﹣x+4 上求 a,进而代入反比例函数 y= 求 k. (2)联立方程求出交点,设出点 P 坐标表示三角形面积,求出 P 点坐标. 【解答】解:(1)把点 A(﹣1,a)代入 y=x+4,得 a=3, ∴A(﹣1,3) 把 A(﹣1,3)代入反比例函数 y= ∴k=﹣3, ∴反比例函数的表达式为 y=﹣ (2)联立两个函数的表达式得 解得 或 ∴点 B 的坐标为 B(﹣3,1) 当 y=x+4=0 时,得 x=﹣4 ∴点 C(﹣4,0) 设点 P 的坐标为(x,0) ∵S△ACP= S△BOC ∴ 解得 x1=﹣6,x2=﹣2 ∴点 P(﹣6,0)或(﹣2,0)   36.(2018•菏泽)如图,已知点 D 在反比例函数 y= 的图象上,过点 D 作 DB⊥y 轴,垂足 为 B(0,3),直线 y=kx+b 经过点 A(5,0),与 y 轴交于点 C,且 BD=OC,OC:OA=2: 5. (1)求反比例函数 y= 和一次函数 y=kx+b 的表达式; (2)直接写出关于 x 的不等式 >kx+b 的解集. 【分析】(1)由 OC、OA、BD 之间的关系结合点 A、B 的坐标可得出点 C、D 的坐标,由点 D 的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出 a 值,进而可得出反比例函数的表达式, 再由点 A、C 的坐标利用待定系数法,即可求出一次函数的表达式; (2)将一次函数表达式代入反比例函数表达式中,利用根的判别式△<0 可得出两函数图 象无交点,再观察图形,利用两函数图象的上下位置关系即可找出不等式 >kx+b 的解 集. 【解答】解:(1)∵BD=OC,OC:OA=2:5,点 A(5,0),点 B(0,3), ∴OA=5,OC=BD=2,OB=3, 又∵点 C 在 y 轴负半轴,点 D 在第二象限, ∴点 C 的坐标为(0,﹣2),点 D 的坐标为(﹣2,3). ∵点 D(﹣2,3)在反比例函数 y= 的图象上, ∴a=﹣2×3=﹣6, ∴反比例函数的表达式为 y=﹣ . 将 A(5,0)、B(0,﹣2)代入 y=kx+b, ,解得: , ∴一次函数的表达式为 y= x﹣2. (2)将 y= x﹣2 代入 y=﹣ ,整理得: x2﹣2x+6=0, ∵△=(﹣2)2﹣4× ×6=﹣ <0, ∴一次函数图象与反比例函数图象无交点. 观察图形,可知:当 x<0 时,反比例函数图象在一次函数图象上方, ∴不等式 >kx+b 的解集为 x<0.   37.(2018•湘西州)反比例函数 y= (k 为常数,且 k≠0)的图象经过点 A(1,3)、B (3,m). (1)求反比例函数的解析式及 B 点的坐标; (2)在 x 轴上找一点 P,使 PA+PB 的值最小,求满足条件的点 P 的坐标. 【分析】(1)先把 A 点坐标代入 y= 求出 k 得到反比例函数解析式;然后把 B(3,m)代 入反比例函数解析式求出 m 得到 B 点坐标; (2)作 A 点关于 x 轴的对称点 A′,连接 BA′交 x 轴于 P 点,则 A′(1,﹣3),利用两 点之间线段最短可判断此时此时 PA+PB 的值最小,再利用待定系数法求出直线 BA′的解析 式,然后求出直线与 x 轴的交点坐标即可得到 P 点坐标. 【解答】解:(1)把 A(1,3)代入 y= 得 k=1×3=3, ∴反比例函数解析式为 y= ; 把 B(3,m)代入 y= 得 3m=3,解得 m=1, ∴B 点坐标为(3,1); (2)作 A 点关于 x 轴的对称点 A′,连接 BA′交 x 轴于 P 点,则 A′(1,﹣3), ∵PA+PB=PA′+PB=BA′, ∴此时此时 PA+PB 的值最小, 设直线 BA′的解析式为 y=mx+n, 把 A′(1,﹣3),B(3,1)代入得 ,解得 , ∴直线 BA′的解析式为 y=2x﹣5, 当 y=0 时,2x﹣5=0,解得 x= , ∴P 点坐标为( ,0).   38.(2018•大庆)如图,A(4,3)是反比例函数 y= 在第一象限图象上一点,连接 OA, 过 A 作 AB∥x 轴,截取 AB=OA(B 在 A 右侧),连接 OB,交反比例函数 y= 的图象于点 P. (1)求反比例函数 y= 的表达式; (2)求点 B 的坐标; (3)求△OAP 的面积. 【分析】(1)将点 A 的坐标代入解析式求解可得; (2)利用勾股定理求得 AB=OA=5,由 AB∥x 轴即可得点 B 的坐标; (3)先根据点 B 坐标得出 OB 所在直线解析式,从而求得直线与双曲线交点 P 的坐标,再利 用割补法求解可得. 【解答】解:(1)将点 A(4,3)代入 y= ,得:k=12, 则反比例函数解析式为 y= ; (2)如图,过点 A 作 AC⊥x 轴于点 C, 则 OC=4、AC=3, ∴OA= =5, ∵AB∥x 轴,且 AB=OA=5, ∴点 B 的坐标为(9,3); (3)∵点 B 坐标为(9,3), ∴OB 所在直线解析式为 y= x, 由 可得点 P 坐标为(6,2), 过点 P 作 PD⊥x 轴,延长 DP 交 AB 于点 E, 则点 E 坐标为(6,3), ∴AE=2、PE=1、PD=2, 则△OAP 的面积= ×(2+6)×3﹣ ×6×2﹣ ×2×1=5.   39.(2018•枣庄)如图,一次函数 y=kx+b(k、b 为常数,k≠0)的图象与 x 轴、y 轴分别 交于 A、B 两点,且与反比例函数 y= (n 为常数,且 n≠0)的图象在第二象限交于点 C.CD ⊥x 轴,垂足为 D,若 OB=2OA=3OD=12. (1)求一次函数与反比例函数的解析式; (2)记两函数图象的另一个交点为 E,求△CDE 的面积; (3)直接写出不等式 kx+b≤ 的解集. 【分析】(1)根据三角形相似,可求出点 C 坐标,可得一次函数和反比例函数解析式; (2)联立解析式,可求交点坐标; (3)根据数形结合,将不等式转化为一次函数和反比例函数图象关系. 【解答】解:(1)由已知,OA=6,OB=12,OD=4 ∵CD⊥x 轴 ∴OB∥CD ∴△ABO∽△ACD ∴ ∴ ∴CD=20 ∴点 C 坐标为(﹣4,20) ∴n=xy=﹣80 ∴反比例函数解析式为:y=﹣ 把点 A(6,0),B(0,12)代入 y=kx+b 得: 解得: ∴一次函数解析式为:y=﹣2x+12 (2)当﹣ =﹣2x+12 时,解得 x1=10,x2=﹣4 当 x=10 时,y=﹣8 ∴点 E 坐标为(10,﹣8) ∴S△CDE=S△CDA+S△EDA= (3)不等式 kx+b≤ ,从函数图象上看,表示一次函数图象不低于反比例函数图象 ∴由图象得,x≥10,或﹣4≤x<0   40.(2018•杭州)设一次函数 y=kx+b(k,b 是常数,k≠0)的图象过 A(1,3),B (﹣1,﹣1)两点. (1)求该一次函数的表达式; (2)若点(2a+2,a2)在该一次函数图象上,求 a 的值. (3)已知点 C(x 1 ,y 1 )和点 D(x 2 ,y 2 )在该一次函数图象上,设 m=(x 1﹣x2 ) (y1﹣y2),判断反比例函数 y= 的图象所在的象限,说明理由. 【分析】(1)根据一次函数 y=kx+b(k,b 是常数,k≠0)的图象过 A(1,3),B(﹣1, ﹣1)两点,可以求得该函数的表达式; (2)根据(1)中的解析式可以求得 a 的值; (3)根据题意可以判断 m 的正负,从而可以解答本题. 【解答】解:(1)∵一次函数 y=kx+b(k,b 是常数,k≠0)的图象过 A(1,3),B (﹣1,﹣1)两点, ∴ ,得 , 即该一次函数的表达式是 y=2x+1; (2)点(2a+2,a2)在该一次函数 y=2x+1 的图象上, ∴a2=2(2a+2)+1, 解得,a=﹣1 或 a=5, 即 a 的值是﹣1 或 5; (3)反比例函数 y= 的图象在第一、三象限, 理由:∵点 C(x1,y1)和点 D(x2,y2)在该一次函数 y=2x+1 的图象上,m=(x 1﹣x2) (y1﹣y2), 假设 x1<x2,则 y1<y1,此时 m=(x1﹣x2)(y1﹣y2)>0, 假设 x1>x2,则 y1>y1,此时 m=(x1﹣x2)(y1﹣y2)>0, 由上可得,m>0, ∴m+1>0, ∴反比例函数 y= 的图象在第一、三象限.   41.(2018•杭州)已知一艘轮船上装有 100 吨货物,轮船到达目的地后开始卸货.设平均 卸货速度为 v(单位:吨/小时),卸完这批货物所需的时间为 t(单位:小时). (1)求 v 关于 t 的函数表达式. (2)若要求不超过 5 小时卸完船上的这批货物,那么平均每小时至少要卸货多少吨? 【分析】(1)直接利用 vt=100 进而得出答案; (2)直接利用要求不超过 5 小时卸完船上的这批货物,进而得出答案. 【解答】解:(1)由题意可得:100=vt, 则 v= ; (2)∵不超过 5 小时卸完船上的这批货物, ∴t≤5, 则 v≥ =20, 答:平均每小时至少要卸货 20 吨.   42.(2018•河北)如图是轮滑场地的截面示意图,平台 AB 距 x 轴(水平)18 米,与 y 轴 交于点 B,与滑道 y= (x≥1)交于点 A,且 AB=1 米.运动员(看成点)在 BA 方向获得速 度 v 米/秒后,从 A 处向右下飞向滑道,点 M 是下落路线的某位置.忽略空气阻力,实验表 明:M,A 的竖直距离 h(米)与飞出时间 t(秒)的平方成正比,且 t=1 时 h=5,M,A 的水 平距离是 vt 米. (1)求 k,并用 t 表示 h; (2)设 v=5.用 t 表示点 M 的横坐标 x 和纵坐标 y,并求 y 与 x 的关系式(不写 x 的取值范 围),及 y=13 时运动员与正下方滑道的竖直距离; (3)若运动员甲、乙同时从 A 处飞出,速度分别是 5 米/秒、v乙米/秒.当甲距 x 轴 1.8 米, 且乙位于甲右侧超过 4.5 米的位置时,直接写出 t 的值及 v 乙的范围. 【分析】(1)用待定系数法解题即可; (2)根据题意,分别用 t 表示 x、y,再用代入消元法得出 y 与 x 之间的关系式; (3)求出甲距 x 轴 1.8 米时的横坐标,根据题意求出乙位于甲右侧超过 4.5 米的 v 乙. 【解答】解:(1)由题意,点 A(1,18)带入 y= 得:18= ∴k=18 设 h=at2,把 t=1,h=5 代入 ∴a=5 ∴h=5t2 (2)∵v=5,AB=1 ∴x=5t+1 ∵h=5t2,OB=18 ∴y=﹣5t2+18 由 x=5t+1 则 t= ∴y=﹣ 当 y=13 时,13=﹣ 解得 x=6 或﹣4 ∵x≥1 ∴x=6 把 x=6 代入 y= y=3 ∴运动员在与正下方滑道的竖直距离是 13﹣3=10(米) (3)把 y=1.8 代入 y=﹣5t2+18 得 t2= 解得 t=1.8 或﹣1.8(负值舍去) ∴x=10 ∴甲坐标为(10,1.8)恰号落在滑道 y= 上 此时,乙的坐标为(1+1.8v 乙,1.8) 由题意:1+1.8v 乙﹣(1+5×1.8)>4.5 ∴v 乙>7.5   43.(2018•黄冈)如图,反比例函数 y= (x>0)过点 A(3,4),直线 AC 与 x 轴交于点 C(6,0),过点 C 作 x 轴的垂线 BC 交反比例函数图象于点 B. (1)求 k 的值与 B 点的坐标; (2)在平面内有点 D,使得以 A,B,C,D 四点为顶点的四边形为平行四边形,试写出符合 条件的所有 D 点的坐标. 【分析】(1)将 A 点的坐标代入反比例函数 y= 求得 k 的值,然后将 x=6 代入反比例函数 解析式求得相应的 y 的值,即得点 B 的坐标; (2)使得以 A、B、C、D 为顶点的四边形为平行四边形,如图所示,找出满足题意 D 的坐标 即可. 【解答】解:(1)把点 A(3,4)代入 y= (x>0),得 k=xy=3×4=12, 故该反比例函数解析式为:y= . ∵点 C(6,0),BC⊥x 轴, ∴把 x=6 代入反比例函数 y= ,得 y= =6. 则 B(6,2). 综上所述,k 的值是 12,B 点的坐标是(6,2). (2)①如图,当四边形 ABCD 为平行四边形时,AD∥BC 且 AD=BC. ∵A(3,4)、B(6,2)、C(6,0), ∴点 D 的横坐标为 3,yA﹣yD=yB﹣yC 即 4﹣yD=2﹣0,故 yD=2. 所以 D(3,2). ②如图,当四边形 ACBD′为平行四边形时,AD′∥CB 且 AD′=CB. ∵A(3,4)、B(6,2)、C(6,0), ∴点 D 的横坐标为 3,yD′﹣yA=yB﹣yC 即 yD﹣4=2﹣0,故 yD′=6. 所以 D′(3,6). ③如图,当四边形 ACD″B 为平行四边形时,AC=BD″且 AC=BD″. ∵A(3,4)、B(6,2)、C(6,0), ∴xD″﹣xB=xC﹣xA 即 xD″﹣6=6﹣3,故 xD″=9. yD″﹣yB=yC﹣yA 即 yD″﹣2=0﹣4,故 yD″=﹣2. 所以 D″(9,﹣2). 综上所述,符合条件的点 D 的坐标是:(3,2)或(3,6)或(9,﹣2).   44.(2018•黔南州)如图 1,已知矩形 AOCB,AB=6cm,BC=16cm,动点 P 从点 A 出发,以 3cm/s 的速度向点 O 运动,直到点 O 为止;动点 Q 同时从点 C 出发,以 2cm/s 的速度向点 B 运动, 与点 P 同时结束运动. (1)点 P 到达终点 O 的运动时间是   s,此时点 Q 的运动距离是   cm; (2)当运动时间为 2s 时,P、Q 两点的距离为 6  cm; (3)请你计算出发多久时,点 P 和点 Q 之间的距离是 10cm; (4)如图 2,以点 O 为坐标原点,OC 所在直线为 x 轴,OA 所在直线为 y 轴,1cm 长为单位 长度建立平面直角坐标系,连结 AC,与 PQ 相交于点 D,若双曲线 y= 过点 D,问 k 的值是 否会变化?若会变化,说明理由;若不会变化,请求出 k 的值. 【分析】(1)先求出 OA,进而求出时间,即可得出结论; (2)构造出直角三角形,再求出 PE,QE,利用勾股定理即可得出结论; (3)同(2)的方法利用勾股定理建立方程求解即可得出结论; (4)先求出直线 AC 解析式,再求出点 P,Q 坐标,进而求出直线 PQ 解析式,联立两解析式 即可得出结论. 【解答】解:(1)∵四边形 AOCB 是矩形, ∴OA=BC=16, ∵动点 P 从点 A 出发,以 3cm/s 的速度向点 O 运动, ∴t= ,此时,点 Q 的运动距离是 ×2= cm, 故答案为 , ; (2)如图 1,由运动知,AP=3×2=6cm,CQ=2×2=4cm, 过点 P 作 PE⊥BC 于 E,过点 Q 作 QF⊥OA 于 F, ∴四边形 APEB 是矩形, ∴PE=AB=6,BE=6, ∴EQ=BC﹣BE﹣CQ=16﹣6﹣4=6, 根据勾股定理得,PQ=6 , 故答案为 6 ; (3)设运动时间为 t 秒时, 由运动知,AP=3t,CQ=2t, 同(2)的方法得,PE=6,EQ=16﹣3t﹣2t=16﹣5t, ∵点 P 和点 Q 之间的距离是 10cm, ∴62+(16﹣5t)2=100, ∴t= 或 t= ; (4)k 的值是不会变化, 理由:∵四边形 AOCB 是矩形, ∴OC=AB=6,OA=16, ∴C(6,0),A(0,16), ∴直线 AC 的解析式为 y=﹣ x+16①, 设运动时间为 t, ∴AP=3t,CQ=2t, ∴OP=16﹣3t, ∴P(0,16﹣3t),Q(6,2t), ∴PQ 解析式为 y= x+16﹣3t②, 联立①②解得,x= ,y= , ∴D( , ), ∴k= × = 是定值.   45.(2018•达州)矩形 AOBC 中,OB=4,OA=3.分别以 OB,OA 所在直线为 x 轴,y 轴,建 立如图 1 所示的平面直角坐标系.F 是 BC 边上一个动点(不与 B,C 重合),过点 F 的反比 例函数 y= (k>0)的图象与边 AC 交于点 E. (1)当点 F 运动到边 BC 的中点时,求点 E 的坐标; (2)连接 EF,求∠EFC 的正切值; (3)如图 2,将△CEF 沿 EF 折叠,点 C 恰好落在边 OB 上的点 G 处,求此时反比例函数的解 析式. 【分析】(1)先确定出点 C 坐标,进而得出点 F 坐标,即可得出结论; (2)先确定出点 F 的横坐标,进而表示出点 F 的坐标,得出 CF,同理表示出 CF,即可得出 结论; (3)先判断出△EHG∽△GBF,即可求出 BG,最后用勾股定理求出 k,即可得出结论. 【解答】解:(1)∵OA=3,OB=4, ∴B(4,0),C(4,3), ∵F 是 BC 的中点, ∴F(4, ), ∵F 在反比例 y= 函数图象上, ∴k=4× =6, ∴反比例函数的解析式为 y= , ∵E 点的坐标为 3, ∴E(2,3); (2)∵F 点的横坐标为 4, ∴F(4, ), ∴CF=BC﹣BF=3﹣ = ∵E 的纵坐标为 3, ∴E( ,3), ∴CE=AC﹣AE=4﹣ = , 在 Rt△CEF 中,tan∠EFC= = , (3)如图,由(2)知,CF= ,CE= , , 过点 E 作 EH⊥OB 于 H, ∴EH=OA=3,∠EHG=∠GBF=90°, ∴∠EGH+∠HEG=90°, 由折叠知,EG=CE,FG=CF,∠EGF=∠C=90°, ∴∠EGH+∠BGF=90°, ∴∠HEG=∠BGF, ∵∠EHG=∠GBF=90°, ∴△EHG∽△GBF, ∴ = , ∴ , ∴BG= , 在 Rt△FBG 中,FG2﹣BF2=BG2, ∴( )2﹣( )2= , ∴k= , ∴反比例函数解析式为 y= .   46.(2018•泰州)平面直角坐标系 xOy 中,横坐标为 a 的点 A 在反比例函数 y1═ (x>0) 的图象上,点 A′与点 A 关于点 O 对称,一次函数 y2=mx+n 的图象经过点 A′. (1)设 a=2,点 B(4,2)在函数 y1、y2 的图象上. ①分别求函数 y1、y2 的表达式; ②直接写出使 y1>y2>0 成立的 x 的范围; (2)如图①,设函数 y1、y2 的图象相交于点 B,点 B 的横坐标为 3a,△AA'B 的面积为 16, 求 k 的值; (3)设 m= ,如图②,过点 A 作 AD⊥x 轴,与函数 y2 的图象相交于点 D,以 AD 为一边向 右侧作正方形 ADEF,试说明函数 y2 的图象与线段 EF 的交点 P 一定在函数 y1 的图象上. 【分析】(1)由已知代入点坐标即可; (2)面积问题可以转化为△AOB 面积,用 a、k 表示面积问题可解; (3)设出点 A、A′坐标,依次表示 AD、AF 及点 P 坐标. 【解答】解:(1)①由已知,点 B(4,2)在 y1═ (x>0)的图象上 ∴k=8 ∴y1= ∵a=2 ∴点 A 坐标为(2,4),A′坐标为(﹣2,﹣4) 把 B(4,2),A(﹣2,﹣4)代入 y2=mx+n 解得 ∴y2=x﹣2 ②当 y1>y2>0 时,y1= 图象在 y2=x﹣2 图象上方,且两函数图象在 x 轴上方 ∴由图象得:2<x<4 (2)分别过点 A、B 作 AC⊥x 轴于点 C,BD⊥x 轴于点 D,连 BO ∵O 为 AA′中点 S△AOB= S△AOA′=8 ∵点 A、B 在双曲线上 ∴S△AOC=S△BOD ∴S△AOB=S 四边形 ACDB=8 由已知点 A、B 坐标都表示为(a, )(3a, ) ∴ 解得 k=6 (3)由已知 A(a, ),则 A′为(﹣a,﹣ ) 把 A′代入到 y= ﹣ ∴n= ∴A′B 解析式为 y=﹣ 当 x=a 时,点 D 纵坐标为 ∴AD= ∵AD=AF, ∴点 F 和点 P 横坐标为 ∴点 P 纵坐标为 ∴点 P 在 y1═ (x>0)的图象上   47.(2018•湖州)如图 1,在平面直角坐标系 xOy 中,已知△ABC,∠ABC=90°,顶点 A 在 第一象限,B,C 在 x 轴的正半轴上(C 在 B 的右侧),BC=2,AB=2 ,△ADC 与△ABC 关于 AC 所在的直线对称. (1)当 OB=2 时,求点 D 的坐标; (2)若点 A 和点 D 在同一个反比例函数的图象上,求 OB 的长; (3)如图 2,将第(2)题中的四边形 ABCD 向右平移,记平移后的四边形为 A1B1C1D1,过点 D1 的反比例函数 y= (k≠0)的图象与 BA 的延长线交于点 P.问:在平移过程中,是否存在 这样的 k,使得以点 P,A1,D 为顶点的三角形是直角三角形?若存在,请直接写出所有符 合题意的 k 的值;若不存在,请说明理由. 【分析】(1)如图 1 中,作 DE⊥x 轴于 E,解直角三角形清楚 DE,CE 即可解决问题; (2)设 OB=a,则点 A 的坐标(a,2 ),由题意 CE=1.DE= ,可得 D(3+a, ), 点 A、D 在同一反比例函数图象上,可得 2 a= (3+a),清楚 a 即可; (3)分两种情形:①如图 2 中,当∠PA1D=90°时.②如图 3 中,当∠PDA1=90°时.分别 构建方程解决问题即可; 【解答】解:(1)如图 1 中,作 DE⊥x 轴于 E. ∵∠ABC=90°, ∴tan∠ACB= = , ∴∠ACB=60°, 根据对称性可知:DC=BC=2,∠ACD=∠ACB=60°, ∴∠DCE=60°, ∴∠CDE=90°﹣60°=30°, ∴CE=1,DE= , ∴OE=OB+BC+CE=5, ∴点 D 坐标为(5, ). (2)设 OB=a,则点 A 的坐标(a,2 ), 由题意 CE=1.DE= ,可得 D(3+a, ), ∵点 A、D 在同一反比例函数图象上, ∴2 a= (3+a), ∴a=3, ∴OB=3. (3)存在.理由如下: ①如图 2 中,当∠PA1D=90°时. ∵AD∥PA1, ∴∠ADA1=180°﹣∠PA1D=90°, 在 Rt△ADA1 中,∵∠DAA1=30°,AD=2 , ∴AA1= =4, 在 Rt△APA1 中,∵∠APA1=60°, ∴PA= , ∴PB= , 设 P(m, ),则 D1(m+7, ), ∵P、A1 在同一反比例函数图象上, ∴ m= (m+7), 解得 m=3, ∴P(3, ), ∴k=10 . ②如图 3 中,当∠PDA1=90°时. ∵∠PAK=∠KDA1=90°,∠AKP=∠DKA1, ∴△AKP∽△DKA1, ∴ = . ∴ = ,∵∠AKD=∠PKA1, ∴△KAD∽△KPA1, ∴∠KPA1=∠KAD=30°,∠ADK=∠KA1P=30°, ∴∠APD=∠ADP=30°, ∴AP=AD=2 ,AA1=6, 设 P(m,4 ),则 D1(m+9, ), ∵P、A1 在同一反比例函数图象上, ∴4 m= (m+9), 解得 m=3, ∴P(3,4 ), ∴k=12 .   48.(2018•金华)如图,四边形 ABCD 的四个顶点分别在反比例函数 y= 与 y= (x>0,0< m<n)的图象上,对角线 BD∥y 轴,且 BD⊥AC 于点 P.已知点 B 的横坐标为 4. (1)当 m=4,n=20 时. ①若点 P 的纵坐标为 2,求直线 AB 的函数表达式. ②若点 P 是 BD 的中点,试判断四边形 ABCD 的形状,并说明理由. (2)四边形 ABCD 能否成为正方形?若能,求此时 m,n 之间的数量关系;若不能,试说明 理由. 【分析】(1)①先确定出点 A,B 坐标,再利用待定系数法即可得出结论; ②先确定出点 D 坐标,进而确定出点 P 坐标,进而求出 PA,PC,即可得出结论; (2)先确定出 B(4, ),进而得出 A(4﹣t, +t),即:(4﹣t)( +t)=m,即可 得出点 D(4,8﹣ ),即可得出结论. 【解答】解:(1)①如图 1,∵m=4, ∴反比例函数为 y= , 当 x=4 时,y=1, ∴B(4,1), 当 y=2 时, ∴2= , ∴x=2, ∴A(2,2), 设直线 AB 的解析式为 y=kx+b, ∴ , ∴ , ∴直线 AB 的解析式为 y=﹣ x+3; ②四边形 ABCD 是菱形, 理由如下:如图 2,由①知,B(4,1), ∵BD∥y 轴, ∴D(4,5), ∵点 P 是线段 BD 的中点, ∴P(4,3), 当 y=3 时,由 y= 得,x= , 由 y= 得,x= , ∴PA=4﹣ = ,PC= ﹣4= , ∴PA=PC, ∵PB=PD, ∴四边形 ABCD 为平行四边形, ∵BD⊥AC, ∴四边形 ABCD 是菱形; (2)四边形 ABCD 能是正方形, 理由:当四边形 ABCD 是正方形,记 AC,BD 的交点为 P, ∴PA=PB=PC=PD,(设为 t,t≠0), 当 x=4 时,y= = , ∴B(4, ), ∴A(4﹣t, +t),C(4+t, +t), ∴(4﹣t)( +t)=m, ∴t=4﹣ , ∴C(8﹣ ,4), ∴(8﹣ )×4=n, ∴m+n=32, ∵点 D 的纵坐标为 +2t= +2(4﹣ )=8﹣ , ∴D(4,8﹣ ), ∴4(8﹣ )=n, ∴m+n=32.   49.(2018•武汉)已知点 A(a,m)在双曲线 y= 上且 m<0,过点 A 作 x 轴的垂线,垂足 为 B. (1)如图 1,当 a=﹣2 时,P(t,0)是 x 轴上的动点,将点 B 绕点 P 顺时针旋转 90°至点 C, ①若 t=1,直接写出点 C 的坐标; ②若双曲线 y= 经过点 C,求 t 的值. (2)如图 2,将图 1 中的双曲线 y= (x>0)沿 y 轴折叠得到双曲线 y=﹣ (x<0),将 线段 OA 绕点 O 旋转,点 A 刚好落在双曲线 y=﹣ (x<0)上的点 D(d,n)处,求 m 和 n 的数量关系. 【分析】(1)①如图 1﹣1 中,求出 PB、PC 的长即可解决问题; ②图 1﹣2 中,由题意 C(t,t+2),理由待定系数法,把问题转化为方程解决即可; (2)分两种情形①当点 A 与点 D 关于 x 轴对称时,A(a,m),D(d,n),可得 m+n=0. ②当点 A 绕点 O 旋转 90°时,得到 D′,D′在 y=﹣ 上,作 D′H⊥y 轴,则△ABO≌△ D′HO,推出 OB=OH,AB=D′H,由 A(a,m),推出 D′(m,﹣a),即 D′(m,n),由 D′ 在 y=﹣ 上,可得 mn=﹣8; 【解答】解:(1)①如图 1﹣1 中, 由题意:B(﹣2,0),P(1,0),PB=PC=3, ∴C(1,3). ②图 1﹣2 中,由题意 C(t,t+2), ∵点 C 在 y= 上, ∴t(t+2)=8, ∴t=﹣4 或 2, (2)如图 2 中, ①当点 A 与点 D 关于 x 轴对称时,A(a,m),D(d,n), ∴m+n=0. ②当点 A 绕点 O 旋转 90°时,得到 D′,D′在 y=﹣ 上, 作 D′H⊥y 轴,则△ABO≌△D′HO, ∴OB=OH,AB=D′H, ∵A(a,m), ∴D′(m,﹣a),即 D′(m,n), ∵D′在 y=﹣ 上, ∴mn=﹣8, 综上所述,满足条件的 m、n 的关系是 m+n=0 或 mn=﹣8.   50.(2018•长沙)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,函数 y= (m 为常数,m>1,x>0) 的图象经过点 P(m,1)和 Q(1,m),直线 PQ 与 x 轴,y 轴分别交于 C,D 两点,点 M(x, y)是该函数图象上的一个动点,过点 M 分别作 x 轴和 y 轴的垂线,垂足分别为 A,B. (1)求∠OCD 的度数; (2)当 m=3,1<x<3 时,存在点 M 使得△OPM∽△OCP,求此时点 M 的坐标; (3)当 m=5 时,矩形 OAMB 与△OPQ 的重叠部分的面积能否等于 4.1?请说明你的理由. 【分析】(1)想办法证明 OC=OD 即可解决问题; (2)设 M(a, ),由△OPM∽△OCP,推出 = = ,由此构建方程求出 a,再分类求 解即可解决问题; (3)不存在分三种情形说明:①当 1<x<5 时,如图 1 中;②当 x≤1 时,如图 2 中;③ 当 x≥5 时,如图 3 中; 【解答】解:(1)设直线 PQ 的解析式为 y=kx+b,则有 , 解得 , ∴y=﹣x+m+!, 令 x=0,得到 y=m+1,∴D(0,m+1), 令 y+0,得到 x=m+1,∴C(m+1,0), ∴OC=OD, ∵∠COD=90°, ∴∠OCD=45°. (2)设 M(a, ), ∵△OPM∽△OCP, ∴ = = , ∴OP2=OC•OM, 当 m=3 时,P(3,1),C(4,0), OP2=32+12=10,OC=4,OM= , ∴ = , ∴10=4 , ∴4a4﹣25a2+36=0, (4a2﹣9)(a2﹣4)=0, ∴a=± ,a=±2, ∵1<a<3, ∴a= 或 2, 当 a= 时,M( ,2), PM= ,CP= , ≠ (舍弃), 当 a=2 时,M(2, ),PM= ,CP= , ∴ = = ,成立, ∴M(2, ). (3)不存在.理由如下: 当 m=5 时,P(5,1),Q(1,5),设 M(x, ), OP 的解析式为:y= x,OQ 的解析式为 y=5x, ①当 1<x<5 时,如图 1 中, ∴E( , ),F(x, x), S=S 矩形 OAMB﹣S△OAF﹣S△OBE =5﹣ •x• x﹣ • • =4.1, 化简得到:x4﹣9x2+25=0, △<O, ∴没有实数根. ②当 x≤1 时,如图 2 中, S=S△OGH<S△OAM=2.5, ∴不存在, ③当 x≥5 时,如图 3 中, S=S△OTS<S△OBM=2.5, ∴不存在, 综上所述,不存在.