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- 2021-05-10 发布
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动点与抛物线专题复习
一、平行四边形与抛物线
1、(2012•钦州)如图甲,在平面直角坐标系中,A、B的坐标分别为(4,0)、(0,3),抛物线y=x2+bx+c经过点B,且对称轴是直线x=﹣.
(1)求抛物线对应的函数解析式;
(2)将图甲中△ABO沿x轴向左平移到△DCE(如图乙),当四边形ABCD是菱形时,请说明点C和点D都在该抛物线上;
(3)在(2)中,若点M是抛物线上的一个动点(点M不与点C、D重合),经过点M作MN∥y轴交直线CD于N,设点M的横坐标为t,MN的长度为l,求l与t之间的函数解析式,并求当t为何值时,以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形.(参考公式:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(﹣,),对称轴是直线x=﹣.)
2、(2012•鸡西)如图,在平面直角坐标系中,已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上,并且OA、OB的长分别是方程x2﹣7x+12=0的两根(OA<OB),动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点0运动;同时,动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动,设点P、Q运动的时间为t秒.
(1)求A、B两点的坐标.
(2)求当t为何值时,△APQ与△AOB相似,并直接写出此时点Q的坐标.
(3)当t=2时,在坐标平面内,是否存在点M,使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出M点的坐标;若不存在,请说明理由.
3.(2012•恩施州)如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(﹣1,0),C(2,3)两点,与y轴交于点N.其顶点为D.
(1)抛物线及直线AC的函数关系式;
(2)设点M(3,m),求使MN+MD的值最小时m的值;
(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点,过点E作EF∥BD交抛物线于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点E的坐标;若不能,请说明理由;
(4)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值.
二、 梯形与抛物线
1、已知,在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2.若以O为坐标原点,OA所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,点B在第一象限内.将Rt△OAB沿OB折叠后,点A落在第一象限内的点C处.
(1)求点C的坐标;
(2)若抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过C、A两点,求此抛物线的解析式;
(3)若上述抛物线的对称轴与OB交于点D,点P为线段DB上一动点,过P作y轴的平行线,交抛物线于点M,问:是否存在这样的点P,使得四边形CDPM为等腰梯形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
2、(2012•泉州)如图,O为坐标原点,直线l绕着点A(0,2)旋转,与经过点C(0,1)的二次函数y=x2+h的图象交于不同的两点P、Q.
(1)求h的值;
(2)通过操作、观察,算出△POQ的面积的最小值(不必说理);
(3)过点P、C作直线,与x轴交于点B,试问:在直线l的旋转过程中,四边形AOBQ是否为梯形?若是,请说明理由;若不是,请指出四边形的形状.
3.(2012•玉林)如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形AOCD的顶点A的坐标是(0,4),现有两动点P,Q,点P从点O出发沿线段OC(不包括端点O,C)以每秒2个单位长度的速度匀速向点C运动,点Q从点C出发沿线段CD(不包括端点C,D)以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动.点P,Q同时出发,同时停止,设运动时间为t(秒),当t=2(秒)时,PQ=2.
(1)求点D的坐标,并直接写出t的取值范围.
(2)连接AQ并延长交x轴于点E,把AE沿AD翻折交CD延长线于点F,连接EF,则△AEF的面积S是否随t的变化而变化?若变化,求出S与t的函数关系式;若不变化,求出S的值.
(3)在(2)的条件下,t为何值时,四边形APQF是梯形?
二、 等腰三角形、菱形与抛物线
1、(2012•龙岩)在平面直角坐标系xOy中,一块含60°角的三角板作如图摆放,斜边AB在x轴上,直角顶点C在y轴正半轴上,已知点A(﹣1,0).
(1)请直接写出点B、C的坐标:B 、C ;并求经过A、B、C三点的抛物线解析式;
(2)现有与上述三角板完全一样的三角板DEF(其中∠EDF=90°,∠DEF=60°),把顶点E放在线段AB上(点E是不与A、B两点重合的动点),并使ED所在直线经过点C.此时,EF所在直线与(1)中的抛物线交于点M.
①设AE=x,当x为何值时,△OCE∽△OBC;
②在①的条件下探究:抛物线的对称轴上是否存在点P使△PEM是等腰三角形?若存在,请写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
3、(2012•湛江)如图,在平面直角坐标系中,直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐标轴上.O为原点,点A的坐标为(6,0),点B的坐标为(0,8).动点M从点O出发.沿OA向终点A以每秒1个单位的速度运动,同时动点N从点A出发,沿AB向终点B以每秒个单位的速度运动.当一个动点到达终点时,另一个动点也随之停止运动,设动点M、N运动的时间为t秒(t>0).
(1)当t=3秒时.直接写出点N的坐标,并求出经过O、A、N三点的抛物线的解析式;
(2)在此运动的过程中,△MNA的面积是否存在最大值?若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由;
(3)当t为何值时,△MNA是一个等腰三角形?
4、如图,直线l1经过点A(﹣1,0),直线l2经过点B(3,0),l1、l2均为与y轴交于点C(0,),抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A、B、C三点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)抛物线的对称轴依次与x轴交于点D、与l2交于点E、与抛物线交于点F、与l1交于点G.求证:DE=EF=FG;
(3)若l1⊥l2于y轴上的C点处,点P为抛物线上一动点,要使△PCG为等腰三角形,请写出符合条件的点P的坐标,并简述理由.
5、如图,在平面直角坐标系中,直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合,AB∥OC,∠AOC=90°,∠BCO=45°,BC=12,点C的坐标为(﹣18,0).
(1)求点B的坐标;
(2)若直线DE交梯形对角线BO于点D,交y轴于点E,且OE=4,OD=2BD,求直线DE的解析式;
(3)若点P是(2)中直线DE上的一个动点,在坐标平面内是否存在点Q,使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
6、(2012•铁岭)如图,已知抛物线经过原点O和x轴上一点A(4,0),抛物线顶点为E,它的对称轴与x轴交于点D.直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B(﹣2,m)且与y轴交于点C,与抛物线的对称轴交于点F.
(1)求m的值及该抛物线对应的解析式;
(2)P(x,y)是抛物线上的一点,若S△ADP=S△ADC,求出所有符合条件的点P的坐标;
(3)点Q是平面内任意一点,点M从点F出发,沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动,设点M的运动时间为t秒,是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形?若能,请直接写出点M的运动时间t的值;若不能,请说明理由.
二、 直角三角形与抛物线
1、(2012•广州)如图,抛物线y=与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)求点A、B的坐标;
(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求点D的坐标;
(3)若直线l过点E(4,0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线l的解析式.
2、(2012•河池)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系,抛物线y=﹣x2+x+4经过A、B两点.
(1)写出点A、点B的坐标;
(2)若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移,分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P,连接PA、PB.设直线l移动的时间为t(0<t<4)秒,求四边形PBCA的面积S(面积单位)与t(秒)的函数关系式,并求出四边形PBCA的最大面积;
(3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在一点P,使得△PAM是直角三角形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
3.(2012•海南)如图,顶点为P(4,﹣4)的二次函数图象经过原点(0,0),点A在该图象上,OA交其对称轴l于点M,点M、N关于点P对称,连接AN、ON,
(1)求该二次函数的关系式;
(2)若点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时,请解答下面问题:
①证明:∠ANM=∠ONM;
②△ANO能否为直角三角形?如果能,请求出所有符合条件的点A的坐标;如果不能,请说明理由.
4、(2012•云南)如图,在平面直角坐标系中,直线y=x+2交x轴于点P,交y轴于点A.抛物线y=x2+bx+c的图象过点E(﹣1,0),并与直线相交于A、B两点.
(1)求抛物线的解析式(关系式);
(2)过点A作AC⊥AB交x轴于点C,求点C的坐标;
(3)除点C外,在坐标轴上是否存在点M,使得△MAB是直角三角形?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
二、 相似三角形与抛物线
1、(2012•福州)如图1,已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过A(3,0)、B(4,4)两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)将直线OB向下平移m个单位长度后,得到的直线与抛物线只有一个公共点D,求m的值及点D的坐标;
(3)如图2,若点N在抛物线上,且∠NBO=∠ABO,则在(2)的条件下,求出所有满足△POD∽△NOB的点P坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应).
3、(2012•遵义)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点O,交x轴于点A,其顶点B的坐标为(3,﹣).
(1)求抛物线的函数解析式及点A的坐标;
(2)在抛物线上求点P,使S△POA=2S△AOB;
(3)在抛物线上是否存在点Q,使△AQO与△AOB相似?如果存在,请求出Q点的坐标;如果不存在,请说明理由.
4.(2012•黄冈)如图,已知抛物线的方程C1:y=﹣(x+2)(x﹣m)(m>0)与x轴相交于点B、C,与y轴相交于点E,且点B在点C的左侧.
(1)若抛物线C1过点M(2,2),求实数m的值;
(2)在(1)的条件下,求△BCE的面积;
(3)在(1)条件下,在抛物线的对称轴上找一点H,使BH+EH最小,并求出点H的坐标;
(4)在第四象限内,抛物线C1上是否存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.
5、(2012•常德)如图,已知二次函数的图象过点A(﹣4,3),B(4,4).
(1)求二次函数的解析式:
(2)求证:△ACB是直角三角形;
(3)若点P在第二象限,且是抛物线上的一动点,过点P作PH垂直x轴于点H,是否存在以P、H、D为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
6(2012•鞍山)如图,直线AB交x轴于点B(4,0),交y轴于点A(0,4),直线DM⊥x轴正半轴于点M,交线段AB于点C,DM=6,连接DA,∠DAC=90°.
(1)直接写出直线AB的解析式;
(2)求点D的坐标;
(3)若点P是线段MB上的动点,过点P作x轴的垂线,交AB于点F,交过O、D、B三点的抛物线于点E,连接CE.是否存在点P,使△BPF与△FCE相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
7.(2012•阜新)在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A(﹣3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求这个二次函数的关系解析式;
(2)点P是直线AC上方的抛物线上一动点,是否存在点P,使△ACP的面积最大?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由;
考生注意:下面的(3)、(4)、(5)题为三选一的选做题,即只能选做其中一个题目,多答时只按作答的首题评分,切记啊!
(3)在平面直角坐标系中,是否存在点Q,使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由;
(4)点Q是直线AC上方的抛物线上一动点,过点Q作QE垂直于x轴,垂足为E.是否存在点Q,使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由;
(5)点M为抛物线上一动点,在x轴上是否存在点Q,使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,说明理由.
六、抛物线中的翻折问题
1、(2012•天门)如图,抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A(﹣1,0),B(4,0)两点,交y轴于点C,与过点C且平行于x轴的直线交于另一点D,点P是抛物线上一动点.
(1)求抛物线解析式及点D坐标;
(2)点E在x轴上,若以A,E,D,P为顶点的四边形是平行四边形,求此时点P的坐标;
(3)过点P作直线CD的垂线,垂足为Q,若将△CPQ沿CP翻折,点Q的对应点为Q′.是否存在点P,使Q′恰好落在x轴上?若存在,求出此时点P的坐标;若不存在,说明理由.
2、(2010•恩施州)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,﹣3)点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)连接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POP′C,那么是否存在点P,使四边形POP′C为菱形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
动点与抛物线专题复习答案
一、平行四边形与抛物线
1、解:(1)由于抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点B(0,4),则 c=4;
∵抛物线的对称轴 x=﹣=﹣,
∴b=5a=;
即抛物线的解析式:y=x2+x+4.
(2)∵A(4,0)、B(3,0)
∴OA=4,OB=3,AB==5;
若四边形ABCD是菱形,则 BC=AD=AB=5,
∴C(﹣5,3)、D(﹣1,0).
将C(﹣5,3)代入y=x2+x+4中,得:×(﹣5)2+×(﹣5)+4=3,所以点C在抛物线上;
同理可证:点D也在抛物线上.
(3)设直线CD的解析式为:y=kx+b,依题意,有:
,解得
∴直线CD:y=﹣x﹣.
由于MN∥y轴,设 M(t,t2+t+4),则 N(t,﹣t﹣);
①t<﹣5或t>﹣1时,l=MN=(t2+t+4)﹣(﹣t﹣)=t2+t+;
②﹣5<t<﹣1时,l=MN=(﹣t﹣)﹣(t2+t+4)=﹣t2﹣t﹣;
若以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形,由于MN∥CE,则MN=CE=3,则有:
t2+t+=3,解得:t=﹣3±2;
﹣t2﹣t﹣=3,解得:t=﹣3;
综上,l=
且当t=﹣3±2或﹣3时,以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形.
2、解:(1)解方程x2﹣7x+12=0,得x1=3,x2=4,
∵OA<OB,∴OA=3,OB=4.
∴A(0,3),B(4,0).
(2)在Rt△AOB中,OA=3,OB=4,∴AB=5,∴AP=t,QB=2t,AQ=5﹣2t.
△APQ与△AOB相似,可能有两种情况:
(I)△APQ∽△AOB,如图(2)a所示.
则有,即,解得t=.
此时OP=OA﹣AP=,PQ=AP•tanA=,∴Q(,);
(II)△APQ∽△ABO,如图(2)b所示.
则有,即,解得t=.
此时AQ=,AH=AQ•cosA=,HQ=AQ•sinA=,OH=OA﹣AH=,∴Q(,).
综上所述,当t=秒或t=秒时,△APQ与△AOB相似,所对应的Q点坐标分别为(,)或(,).
(3)结论:存在.如图(3)所示.
∵t=2,∴AP=2,AQ=1,OP=1.
过Q点作QE⊥y轴于点E,则QE=AQ•sin∠QAP=,AE=AQ•cos∠QAP=,
∴OE=OA﹣AE=,∴Q(,).
∵▱APQM1,∴QM1⊥x轴,且QM1=AP=2,∴M1(,);
∵▱APQM2,∴QM2⊥x轴,且QM2=AP=2,∴M2(,);
如图(3),过M3点作M3F⊥y轴于点F,
∵▱AQPM3,∴M3P=AQ,∠QAE=∠M3PF,∴∠PM3F=∠AQE;
在△M3PF与△QAE中,∵∠QAE=∠M3PF,M3P=AQ,∠PM3F=∠AQE,
∴△M3PF≌△QAE,
∴M3F=QE=,PF=AE=,∴OF=OP+PF=,∴M3(﹣,).
∴当t=2时,在坐标平面内,存在点M,使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形.
点M的坐标为:M1(,),M2(,),M3(﹣,).
3.解:(1)由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A(﹣1,0)及C(2,3)得,
,
解得,
故抛物线为y=﹣x2+2x+3
又设直线为y=kx+n过点A(﹣1,0)及C(2,3)得
,
解得
故直线AC为y=x+1;
(2)作N点关于直线x=3的对称点N′,则N′(6,3),由(1)得D(1,4),
故直线DN′的函数关系式为y=﹣x+,
当M(3,m)在直线DN′上时,MN+MD的值最小,
则m=﹣×=;
(3)由(1)、(2)得D(1,4),B(1,2)
∵点E在直线AC上,
设E(x,x+1),
①当点E在线段AC上时,点F在点E上方,
则F(x,x+3),
∵F在抛物线上,
∴x+3=﹣x2+2x+3,
解得,x=0或x=1(舍去)
∴E(0,1);
②当点E在线段AC(或CA)延长线上时,点F在点E下方,
则F(x,x﹣1)
由F在抛物线上
∴x﹣1=﹣x2+2x+3
解得x=或x=
∴E(,)或(,)
综上,满足条件的点E为E(0,1)、(,)或(,);
(4)过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q,交x轴于点H;过点C作CG⊥x轴于点G,如图2,
设Q(x,x+1),则P(x,﹣x2+2x+3)
又∵S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC﹣S△AGC=(x+1)(﹣x2+2x+3)+(﹣x2+2x+3+3)(2﹣x)﹣×3×3
=﹣x2+x+3
=﹣(x﹣)2+
∴△APC的面积的最大值为.
二、 梯形与抛物线
1、解:(1)过点C作CH⊥x轴,垂足为H;
∵在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2,
∴OB=4,OA=2;
由折叠的性质知:∠COB=30°,OC=AO=2,
∴∠COH=60°,OH=,CH=3;
∴C点坐标为(,3).
(2)∵抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过C(,3)、A(2,0)两点,
∴,
解得;
∴此抛物线的函数关系式为:y=﹣x2+2x.
(3)存在.
因为y=﹣x2+2x的顶点坐标为(,3),
即为点C,MP⊥x轴,垂足为N,设PN=t;
因为∠BOA=30°,
所以ON=t,
∴P(t,t);
作PQ⊥CD,垂足为Q,ME⊥CD,垂足为E;
把x=t代入y=﹣x2+2x,
得y=﹣3t2+6t,
∴M(t,﹣3t2+6t),E(,﹣3t2+6t),
同理:Q(,t),D(,1);
要使四边形CDPM为等腰梯形,只需CE=QD,
即3﹣(﹣3t2+6t)=t﹣1,
解得t=,t=1(舍),
∴P点坐标为(,),
∴存在满足条件的P点,使得四边形CDPM为等腰梯形,此时P点坐标为(,).
2、解:(1)∵抛物线y=x2+h经过点C(0,1),
∴+h=1,
解得h=1.
(2)依题意,设抛物线y=x2+1上的点,P(a,a2+1)、Q(b,b2+1)(a<0<b)
过点A的直线l:y=kx+2经过点P、Q,
∴a2+1=ak+2…①
b2+1=bk+2…②
①×b﹣②×a得:(a2b﹣b2a)+b﹣a=2(b﹣a),
化简得:b=﹣;
∴S△POQ=OA•|xQ﹣xP|=•OA•|﹣﹣a|=(﹣)+(﹣a)≥2•=4
由上式知:当﹣=﹣a,即|a|=|b|(P、Q关于y轴对称)时,△POQ的面积最小;
即PQ∥x轴时,△POQ的面积最小,且POQ的面积最小为4.
(3)连接BQ,若l与x轴不平行(如图),即PQ与x轴不平行,
依题意,设抛物线y=x2+1上的点,P(a,a2+1)、Q(b,b2+1)(a<0<b)
直线BC:y=k1x+1过点P,
∴a2+1=ak1+1,得k1=﹣a,
即y=ax+1.
令y=0得:xB=﹣,
同理,由(2)得:b=﹣
∴点B与Q的横坐标相同,
∴BQ∥y轴,即BQ∥OA,
又∵AQ与OB不平行,
∴四边形AOBQ是梯形,
据抛物线的对称性可得(a>0>b)结论相同.
故在直线l旋转的过程中:当l与x轴不平行时,四边形AOBQ是梯形;当l与x轴平行时,四边形AOBQ是正方形.
3.解:(1)由题意可知,当t=2(秒)时,OP=4,CQ=2,
在Rt△PCQ中,由勾股定理得:PC===4,
∴OC=OP+PC=4+4=8,
又∵矩形AOCD,A(0,4),∴D(8,4).
点P到达终点所需时间为=4秒,点Q到达终点所需时间为=4秒,由题意可知,t的取值范围为:0<t<4.
(2)结论:△AEF的面积S不变化.
∵AOCD是矩形,∴AD∥OE,∴△AQD∽△EQC,
∴,即,解得CE=.
由翻折变换的性质可知:DF=DQ=4﹣t,则CF=CD+DF=8﹣t.
S=S梯形AOCF+S△FCE﹣S△AOE
=(OA+CF)•OC+CF•CE﹣OA•OE
=[4+(8﹣t)]×8+(8﹣t)•﹣×4×(8+)
化简得:S=32为定值.
所以△AEF的面积S不变化,S=32.
(3)若四边形APQF是梯形,因为AP与CF不平行,所以只有PQ∥AF.
由PQ∥AF可得:△CPQ∽△DAF,
∴,即,化简得t2﹣12t+16=0,
解得:t1=6+2,t2=6﹣2,
由(1)可知,0<t<4,∴t1=6+2不符合题意,舍去.
∴当t=(6﹣2)秒时,四边形APQF是梯形.
三、等腰三角形、菱形与抛物线
1、解:(1)∵点A(﹣1,0),
∴OA=1,
由图可知,∠BAC是三角板的60°角,∠ABC是30°角,
所以,OC=OA•tan60°=1×=,
OB=OC•cot30°=×=3,
所以,点B(3,0),C(0,),
设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,
则,
解得,
所以,抛物线的解析式为y=﹣x2+x+;
(2)①∵△OCE∽△OBC,
∴=,
即=,
解得OE=1,
所以,AE=OA+OE=1+1=2,
即x=2时,△OCE∽△OBC;
②存在.理由如下:
抛物线的对称轴为x=﹣=﹣=1,
所以,点E为抛物线的对称轴与x轴的交点,
∵OA=OE,OC⊥x轴,∠BAC=60°,
∴△ACE是等边三角形,
∴∠AEC=60°,
又∠DEF=60°,
∴∠FEB=60°,
∴∠BAC=∠FEB,
∴EF∥AC,
由A(﹣1,0),C(0,)可得直线AC的解析式为y=x+,
∵点E(1,0),
∴直线EF的解析式为y=x﹣,
联立,
解得,(舍去),
∴点M的坐标为(2,),
EM==2,
分三种情况讨论△PEM是等腰三角形,
当PE=EM时,PE=2,
所以,点P的坐标为(1,2)或(1,﹣2),
当PE=PM时,∵∠FEB=60°,
∴∠PEF=90°﹣60°=30°,
PE=EM÷cos30°=×2÷=,
所以,点P的坐标为(1,),
当PM=EM时,PE=2EM•cos30°=2×2×=2,
所以,点P的坐标为(1,2),
综上所述,抛物线对称轴上存在点P(1,2)或(1,﹣2)或(1,)或(1,2),使△PEM是等腰三角形.
3、解:(1)由题意,A(6,0)、B(0,8),则OA=6,OB=8,AB=10;
当t=3时,AN=t=5=AB,即N是线段AB的中点;
∴N(3,4).
设抛物线的解析式为:y=ax(x﹣6),则:
4=3a(3﹣6),a=﹣;
∴抛物线的解析式:y=﹣x(x﹣6)=﹣x2+x.
(2)过点N作NC⊥OA于C;
由题意,AN=t,AM=OA﹣OM=6﹣t,NC=NA•sin∠BAO=t•=t;
则:S△MNA=AM•NC=×(6﹣t)×t=﹣(t﹣3)2+6.
∴△MNA的面积有最大值,且最大值为6.
(3)Rt△NCA中,AN=t,NC=AN•sin∠BAO=t,AC=AN•cos∠BAO=t;
∴OC=OA﹣AC=6﹣t,∴N(6﹣t,t).
∴NM==;
又:AM=6﹣t,AN=t(0<t<6);
①当MN=AN时,=t,即:t2﹣8t+12=0,t1=2,t2=6(舍去);
②当MN=MA时,=6﹣t,即:t2﹣12t=0,t1=0(舍去),t2=;
③当AM=AN时,6﹣t=t,即t=;
综上,当t的值取 2或或 时,△MAN是等腰三角形.
4、解:(1)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(﹣1,0),B(3,0),C(0,)三点,
∴,解得a=,b=,c=,
∴抛物线的解析式为:y=x2x.
(2)设直线l1的解析式为y=kx+b,由题意可知,直线l1经过A(﹣1,0),C(0,)两点,
∴,解得k=,b=,∴直线l1的解析式为:y=x;
直线l2经过B(3,0),C(0,)两点,同理可求得直线l2解析式为:y=x.
∵抛物线y=x2x=(x﹣1)2,
∴对称轴为x=1,D(1,0),顶点坐标为F(1,);
点E为x=1与直线l2:y=x的交点,令x=1,得y=,∴E(1,);
点G为x=1与直线l1:y=x的交点,令x=1,得y=,∴G(1,).
∴各点坐标为:D(1,0),E(1,),F(1,),G(1,),它们均位于对称轴x=1上,
∴DE=EF=FG=.
(3)如右图,过C点作C关于对称轴x=1的对称点P1,CP1交对称轴于H点,连接CF.
△PCG为等腰三角形,有三种情况:
①当CG=PG时,如右图,由抛物线的对称性可知,此时P1满足P1G=CG.
∵C(0,),对称轴x=1,∴P1(2,).
②当CG=PC时,此时P点在抛物线上,且CP的长度等于CG.
如右图,C(1,),H点在x=1上,∴H(1,),
在Rt△CHG中,CH=1,HG=|yG﹣yH|=|﹣()|=,
∴由勾股定理得:CG==2.
∴PC=2.
如右图,CP1=2,此时与①中情形重合;
又Rt△OAC中,AC==2,∴点A满足PC=2的条件,但点A、C、G在同一条直线上,所以不能构成等腰三角形.
③当PC=PG时,此时P点位于线段CG的垂直平分线上.
∵l1⊥l2,∴△ECG为直角三角形,
由(2)可知,EF=FG,即F为斜边EG的中点,
∴CF=FG,∴F为满足条件的P点,∴P2(1,);
又cos∠CGE==,∴∠CGE=30°,∴∠HCG=60°,
又P1C=CG,∴△P1CG为等边三角形,
∴P1点也在CG的垂直平分线上,此种情形与①重合.
综上所述,P点的坐标为P1(2,)或P2(1,).
5、解:(1)过点B作BF⊥x轴于F
在Rt△BCF中
∵∠BCO=45°,BC=6
∴CF=BF=12
∵C 的坐标为(﹣18,0)
∴AB=OF=6
∴点B的坐标为(﹣6,12).
(2)过点D作DG⊥y轴于点G
∵AB∥DG
∴△ODG∽△OBA
∵===,AB=6,OA=12
∴DG=4,OG=8
∴D(﹣4,8),E(0,4)
设直线DE解析式为y=kx+b(k≠0)
∴
∴
∴直线DE解析式为y=﹣x+4.
(3)结论:存在.
设直线y=﹣x+4分别与x轴、y轴交于点E、点F,则E(0,4),F(4,0),OE=OF=4,EF=4.
如答图2所示,有四个菱形满足题意.
①菱形OEP1Q1,此时OE为菱形一边.
则有P1E=P1Q1=OE=4,P1F=EF﹣P1E=4﹣4.
易知△P1NF为等腰直角三角形,∴P1N=NF=P1F=4﹣2;
设P1Q1交x轴于点N,则NQ1=P1Q1﹣P1N=4﹣(4﹣2)=2,
又ON=OF﹣NF=2,∴Q1(2,﹣2);
②菱形OEP2Q2,此时OE为菱形一边.
此时Q2与Q1关于原点对称,∴Q2(﹣2,2);
③菱形OEQ3P3,此时OE为菱形一边.
此时P3与点F重合,菱形OEQ3P3为正方形,∴Q3(4,4);
④菱形OP4EQ4,此时OE为菱形对角线.
由菱形性质可知,P4Q4为OE的垂直平分线,
由OE=4,得P4纵坐标为2,代入直线解析式y=﹣x+4得横坐标为2,则P4(2,2),
由菱形性质可知,P4、Q4关于OE或x轴对称,∴Q4(﹣2,2).
综上所述,存在点Q,使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形;
点Q的坐标为:Q1(2,﹣2),Q2(﹣2,2),Q3(4,4),Q4(﹣2,2).
6、解:(1)∵点B(﹣2,m)在直线y=﹣2x﹣1上
∴m=3 即B(﹣2,3)
又∵抛物线经过原点O
∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx
∵点B(﹣2,3),A(4,0)在抛物线上
∴,
解得:.
∴设抛物线的解析式为.
(2)∵P(x,y)是抛物线上的一点,
∴,
若S△ADP=S△ADC,
∵,,
又∵点C是直线y=﹣2x﹣1与y轴交点,
∴C(0,1),
∴OC=1,
∴,即或,
解得:.
∴点P的坐标为 .
(3)结论:存在.
∵抛物线的解析式为,
∴顶点E(2,﹣1),对称轴为x=2;
点F是直线y=﹣2x﹣1与对称轴x=2的交点,∴F(2,﹣5),DF=5.
又∵A(4,0),
∴AE=.
如右图所示,在点M的运动过程中,依次出现四个菱形:
①菱形AEM1Q1.
∵此时DM1=AE=,
∴M1F=DF﹣DE﹣DM1=4﹣,
∴t1=4﹣;
②菱形AEOM2.
∵此时DM2=DE=1,
∴M2F=DF+DM2=6,
∴t2=6;
③菱形AEM3Q3.
∵此时EM3=AE=,
∴DM3=EM3﹣DE=﹣1,
∴M3F=DM3+DF=(﹣1)+5=4+,
∴t3=4+;
④菱形AM4EQ4.
此时AE为菱形的对角线,设对角线AE与M4Q4交于点H,则AE⊥M4Q4,
∵易知△AED∽△M4EH,
∴,即,得M4E=,
∴DM4=M4E﹣DE=﹣1=,
∴M4F=DM4+DF=+5=,∴t4=.
综上所述,存在点M、点Q,使得以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形;时间t的值为:t1=4﹣,t2=6,t3=4+,t4=.
四、直角三角形与抛物线
1、解:(1)令y=0,即=0,
解得x1=﹣4,x2=2,
∴A、B点的坐标为A(﹣4,0)、B(2,0).
(2)S△ACB=AB•OC=9,
在Rt△AOC中,AC===5,
设△ACD中AC边上的高为h,则有AC•h=9,解得h=.
如答图1,在坐标平面内作直线平行于AC,且到AC的距离=h=,这样的直线有2条,分别是l1和l2,则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D.
设l1交y轴于E,过C作CF⊥l1于F,则CF=h=,
∴CE==.
设直线AC的解析式为y=kx+b,将A(﹣4,0),B(0,3)坐标代入,
得到,解得,∴直线AC解析式为y=x+3.
直线l1可以看做直线AC向下平移CE长度单位(个长度单位)而形成的,
∴直线l1的解析式为y=x+3﹣=x﹣.
则D1的纵坐标为×(﹣1)﹣=,∴D1(﹣4,).
同理,直线AC向上平移个长度单位得到l2,可求得D2(﹣1,)
综上所述,D点坐标为:D1(﹣4,),D2(﹣1,).
(3)如答图2,以AB为直径作⊙F,圆心为F.过E点作⊙F的切线,这样的切线有2条.
连接FM,过M作MN⊥x轴于点N.
∵A(﹣4,0),B(2,0),∴F(﹣1,0),⊙F半径FM=FB=3.
又FE=5,则在Rt△MEF中,
ME==4,sin∠MFE=,cos∠MFE=.
在Rt△FMN中,MN=MN•sin∠MFE=3×=,
FN=MN•cos∠MFE=3×=,则ON=,
∴M点坐标为(,)
直线l过M(,),E(4,0),
设直线l的解析式为y=kx+b,则有
,解得,
所以直线l的解析式为y=x+3.
同理,可以求得另一条切线的解析式为y=x﹣3.
综上所述,直线l的解析式为y=x+3或y=x﹣3.
2、解:(1)抛物线y=﹣x2+x+4中:
令x=0,y=4,则 B(0,4);
令y=0,0=﹣x2+x+4,解得 x1=﹣1、x2=8,则 A(8,0);
∴A(8,0)、B(0,4).
(2)△ABC中,AB=AC,AO⊥BC,则OB=OC=4,∴C(0,﹣4).
由A(8,0)、B(0,4),得:直线AC:y=﹣x+4;
依题意,知:OE=2t,即 E(2t,0);
∴P(2t,﹣2t2+7t+4)、Q(2t,﹣t+4),PQ=(﹣2t2+7t+4)﹣(﹣t+4)=﹣2t2+8t;
S=S△ABC+S△PAB=×8×8+×(﹣2t2+8t)×8=﹣8t2+32t+32=﹣8(t﹣2)2+64;
∴当t=2时,S有最大值,且最大值为64.
(3)∵PM∥y轴,∴∠AMP=∠ACO<90°;
而∠APM是锐角,所以△PAM若是直角三角形,只能是∠PAM=90°;
由A(8,0)、C(0,﹣4),得:直线AC:y=x﹣4;
所以,直线AP可设为:y=﹣2x+h,代入A(8,0),得:
﹣16+h=0,h=16
∴直线AP:y=﹣2x+16,联立抛物线的解析式,得:
,解得 、
∴存在符合条件的点P,且坐标为(3,10).
3.解:(1)∵二次函数的顶点坐标为(4,﹣4),
∴设二次函数的解析式为y=a(x﹣4)2﹣4,
又二次函数过(0,0),
∴0=a(0﹣4)2﹣4,解得:a=,
∴二次函数解析式为y=(x﹣4)2﹣4=x2﹣2x;
(2)①证明:过A作AH⊥l于H,l与x轴交于点D,如图所示:
设A(m,m2﹣2m),又O(0,0),
∴直线AO的解析式为y=x=(m﹣2)x,
则M(4,m﹣8),N(4,﹣m),H(4,m2﹣2m),
∴OD=4,ND=m,HA=m﹣4,NH=ND﹣HD=m2﹣m,
在Rt△OND中,tan∠ONM==,
在Rt△ANH中,tan∠ANM====,
∴tan∠ONM=tan∠ANM,
则∠ANM=∠ONM;
②△ANO不能为直角三角形,理由如下:
分三种情况考虑:
(i)若∠ONA为直角,由①得:∠ANM=∠ONM=45°,
∴△AHN为等腰直角三角形,
∴HA=NH,即m﹣4=m2﹣m,
整理得:m2﹣8m+16=0,即(m﹣4)2=0,
解得:m=4,
此时点A与点P重合,故不存在A点使△ONA为直角三角形;
(ii)若∠AON为直角,根据勾股定理得:OA2+ON2=AN2,
∵OA2=m2+(m2﹣2m)2,ON2=42+m2,AN2=(m﹣4)2+(m2﹣2m+m)2,
∴m2+(m2﹣2m)2+42+m2=(m﹣4)2+(m2﹣2m+m)2,
整理得:m(m﹣4)2=0,
解得:m=0或m=4,
此时A点与P点重合或与原点重合,故∠AON不能为直角;
(iii)若∠NAO为直角,可得∠NAM=∠ODM=90°,且∠AMN=∠DMO,
∴△AMN∽△DMO,
又∠MAN=∠ODN=90°,且∠ANM=∠OND,
∴△AMN∽△DON,
∴△AMN∽△DMO∽△DON,
∴=,即=,
整理得:(m﹣4)2=0,
解得:m=4,
此时A与P重合,故∠NAO不能为直角,
综上,点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时,△ANO不能为直角三角形
4、
解:(1)直线解析式为y=x+2,令x=0,则y=2,
∴A(0,2),
∵抛物线y=x2+bx+c的图象过点A(0,2),E(﹣1,0),
∴,
解得.
∴抛物线的解析式为:y=x2+x+2.
(2)∵直线y=x+2分别交x轴、y轴于点P、点A,
∴P(6,0),A(0,2),
∴OP=6,OA=2.
∵AC⊥AB,OA⊥OP,
∴Rt△OCA∽Rt△OPA,∴,
∴OC=,
又C点在x轴负半轴上,
∴点C的坐标为C(,0).
(3)抛物线y=x2+x+2与直线y=x+2交于A、B两点,
令x2+x+2=x+2,
解得x1=0,x2=,
∴B(,).
如答图①所示,过点B作BD⊥x轴于点D,
则D(,0),BD=,DP=6﹣=.
点M在坐标轴上,且△MAB是直角三角形,有以下几种情况:
①当点M在x轴上,且BM⊥AB,如答图①所示.
设M(m,0),则MD=﹣m.
∵BM⊥AB,BD⊥x轴,∴,
即,
解得m=,
∴此时M点坐标为(,0);
②当点M在x轴上,且BM⊥AM,如答图①所示.
设M(m,0),则MD=﹣m.
∵BM⊥AM,易知Rt△AOM∽Rt△MDB,
∴,即,
化简得:m2﹣m+=0,
解得:x1=,x2=,
∴此时M点坐标为(,0),(,0);
(说明:此时的M点相当于以AB为直径的圆与x轴的两个交点)
③当点M在y轴上,且BM⊥AM,如答图②所示.
此时M点坐标为(0,);
④当点M在y轴上,且BM′⊥AB,如答图②所示.
设M′(0,m),则AM=2﹣=,BM=,MM′=﹣m.
易知Rt△ABM∽Rt△MBM′,
∴,即,
解得m=,
∴此时M点坐标为(0,).
综上所述,除点C外,在坐标轴上存在点M,使得△MAB是直角三角形.
符合条件的点M有5个,其坐标分别为:(,0)、(,0)、(,0)、(0,)或(0,).
五、相似三角形与抛物线
1、解:(1)∵抛物线y=y=ax2+bx(a≠0)经过A(3,0)、B(4,4)
∴,解得:
∴抛物线的解析式是y=x2﹣3x.
(2)设直线OB的解析式为y=k1x,由点B(4,4),
得:4=4k1,解得:k1=1
∴直线OB的解析式为y=x,
∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为:y=x﹣m,
∵点D在抛物线y=x2﹣3x上,
∴可设D(x,x2﹣3x),
又点D在直线y=x﹣m上,
∴x2﹣3x=x﹣m,即x2﹣4x+m=0,
∵抛物线与直线只有一个公共点,
∴△=16﹣4m=0,
解得:m=4,
此时x1=x2=2,y=x2﹣3x=﹣2,
∴D点的坐标为(2,﹣2).
(3)∵直线OB的解析式为y=x,且A(3,0),
∴点A关于直线OB的对称点A′的坐标是(0,3),
设直线A′B的解析式为y=k2x+3,过点(4,4),
∴4k2+3=4,解得:k2=,
∴直线A′B的解析式是y=,
∵∠NBO=∠ABO,
∴点N在直线A′B上,
∴设点N(n,),又点N在抛物线y=x2﹣3x上,
∴=n2﹣3n,
解得:n1=﹣,n2=4(不合题意,舍去)
∴N点的坐标为(﹣,).
方法一:
如图1,将△NOB沿x轴翻折,得到△N1OB1,
则N1(,),B1(4,﹣4),
∴O、D、B1都在直线y=﹣x上.
∵△P1OD∽△NOB,
∴△P1OD∽△N1OB1,
∴,
∴点P1的坐标为(,).
将△OP1D沿直线y=﹣x翻折,可得另一个满足条件的点P2(,),
综上所述,点P的坐标是(,)或(,).
2、解:(1)设函数解析式为:y=ax2+bx+c,
由函数经过点A(﹣4,0)、B(1,0)、C(﹣2,6),
可得,
解得:,
故经过A、B、C三点的抛物线解析式为:y=﹣x2﹣3x+4;
(2)设直线BC的函数解析式为y=kx+b,
由题意得:,
解得:,
即直线BC的解析式为y=﹣2x+2.
故可得点E的坐标为(0,2),
从而可得:AE==2,CE==2,
故可得出AE=CE;
(3)相似.理由如下:
设直线AD的解析式为y=kx+b,
则,
解得:,
即直线AD的解析式为y=x+4.
联立直线AD与直线BC的函数解析式可得:,
解得:,
即点F的坐标为(﹣,),
则BF==,AF==,
又∵AB=5,BC==3,
∴=,=,
∴=,
又∵∠ABF=∠CBA,
∴△ABF∽△CBA.
故以A、B、F为顶点的三角形与△ABC相似.
3、解:(1)由函数图象经过原点得,函数解析式为y=ax2+bx(a≠0),
又∵函数的顶点坐标为(3,﹣),
∴,
解得:,
故函数解析式为:y=x2﹣x,
由二次函数图象的对称性可得点A的坐标为(6,0);
(2)∵S△POA=2S△AOB,
∴点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍,即点P的纵坐标为2,
代入函数解析式得:2=x2﹣x,
解得:x1=3+,x2=3﹣,
即可得满足条件的有两个,P1(3+,2),P2(3﹣,2).
(3)存在.
过点B作BP⊥OA,则tan∠BAP==,
故可得∠BOA=60°,
设Q1坐标为(x,x2﹣x),过点Q1作Q1F⊥x轴,
∵△OAB∽△OQ1A,
∴∠Q1OA=30°,
故可得OF=Q1F,即x=(x2﹣x),
解得:x=9或x=0(舍去),
即可得Q1坐标为(9,3),
根据函数的对称性可得Q2坐标为(﹣3,3).
4.解:(1)依题意,将M(2,2)代入抛物线解析式得:
2=﹣(2+2)(2﹣m),解得m=4.
(2)令y=0,即(x+2)(x﹣4)=0,解得x1=﹣2,x2=4,
∴B(﹣2,0),C(4,0)
在C1中,令x=0,得y=2,∴E(0,2).
∴S△BCE=BC•OE=6.
(3)当m=4时,易得对称轴为x=1,又点B、C关于x=1对称.
如答图1,连接BC,交x=1于H点,此时BH+CH最小(最小值为线段CE的长度).
设直线EC:y=kx+b,将E(0,2)、C(4,0)代入得:y=x+2,
当x=1时,y=,∴H(1,).
(4)分两种情形讨论:
①当△BEC∽△BCF时,如答图2所示.
则,∴BC2=BE•BF.
由(2)知B(﹣2,0),E(0,2),即OB=OB,∴∠EBC=45°,∴∠CBF=45°,
作FT⊥x轴于点F,则BT=TF.
∴可令F(x,﹣x﹣2)(x>0),又点F在抛物线上,
∴﹣x﹣2=﹣(x+2)(x﹣m),∵x+2>0(∵x>0),
∴x=2m,F(2m,﹣2m﹣2).
此时BF==(m+1),BE=,BC=m+2,
又BC2=BE•BF,∴(m+1)2=•(m+1),
∴m=2±,
∵m>0,∴m=+2.
②当△BEC∽△FCB时,如答图3所示.
则,∴BC2=EC•BF.
同①,∵∠EBC=∠CFB,△BTF∽△COE,,
∴可令F(x,(x+2))(x>0)
又点F在抛物线上,∴(x+2)=﹣(x+2)(x﹣m),
∵x+2>0(∵x>0),
∴x=m+2,∴F(m+2,(m+2)),EC=,BC=m+2,
又BC2=EC•BF,∴(m+2)2=•
整理得:0=16,显然不成立.
综合①②得,在第四象限内,抛物线上存在点F,使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似,m=+2.
5、解:(1)由题意得,函数图象经过点A(﹣4,3),B(4,4),
故可得:,
解得:,
故二次函数关系式为:y=(x+2)(13x﹣20).
(2)由(1)所求函数关系式可得点C坐标为(﹣2,0),点D坐标为(,0),
又∵点A(﹣4,3),B(4,4),
∴AB==,AC==,BC==,
∵满足AB2=AC2+BC2,
∴△ACB是直角三角形.
(3)存在点P的坐标,点P的坐标为(﹣,)或(﹣,).
设点P坐标为(x,(x+2)(13x﹣20)),则PH=(x+2)(13x﹣20),HD=﹣x+,
①若△DHP∽△BCA,则=,即=,
解得:x=﹣或x=(因为点P在第二象限,故舍去);
代入可得PH=,即P1坐标为(﹣,);
②若△PHD∽△BCA,则=,即=,
解得:x=﹣或x=(因为点P在第二象限,故舍去).
代入可得PH=,即P2坐标为:(﹣,).
综上所述,满足条件的点P有两个,即P1(﹣,)、P2(﹣,).
6、解:(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,将A(0,4),B(4,0)两点坐标代入,
得,解得,所以,直线AB的解析式为y=﹣x+4;
(2)过D点作DG⊥y轴,垂足为G,
∵OA=OB=4,∴△OAB为等腰直角三角形,
又∵AD⊥AB,∴∠DAG=90°﹣∠OAB=45°,即△ADG为等腰直角三角形,
∴DG=AG=OG﹣OA=DM﹣OA=5﹣4=2,∴D(2,6);
(3)存在.
由抛物线过O(0,0),B(4,0)两点,设抛物线解析式为y=ax(x﹣4),
将D(2,6)代入,得a=﹣,所以,抛物线解析式为y=﹣x(x﹣4),
由(2)可知,∠B=45°,则∠CFE=∠BFP=45°,C(2,2),
设P(x,0),则MP=x﹣2,PB=4﹣x,
①当∠ECF=∠BPF=90°时(如图1),△BPF与△FCE相似,
过C点作CH⊥EF,此时,△CHE、△CHF、△PBF为等腰直角三角形,
则PE=PF+FH+EH=PB+2MP=4﹣x+2(x﹣2)=x,
将E(x,x)代入抛物线y=﹣x(x﹣4)中,得x=﹣x(x﹣4),解得x=0或,即P(,0),
②当∠CEF=∠BPF=90°时(如图2),此时,△CEF、△BPF为等腰直角三角形,
则PE=MC=2,将E(x,2)代入抛物线y=﹣x(x﹣4)中,得2=﹣x(x﹣4),
解得x=或,即P(,0),
所以,P(,0)或(,0).
7.解:(1)由抛物线y=ax2+bx+2过点A(﹣3,0),B(1,0),则
解这个方程组,得a=﹣,b=﹣.
∴二次函数的关系解析式为y=﹣x2﹣x+2.
(2)设点P坐标为(m,n),则n=﹣m2﹣m+2.
连接PO,作PM⊥x轴于M,PN⊥y轴于N.
PM=﹣m2﹣m+2,PN=﹣m,AO=3.
当x=0时,y=﹣×0﹣×0+2=2,所以OC=2
S△PAC=S△PAO+S△PCO﹣S△ACO=AO•PM+CO•PN﹣AO•CO
=×3•(﹣m2﹣m+2)+×2•(﹣m)﹣×3×2
=﹣m2﹣3m
∵a=﹣1<0
∴函数S△PAC=﹣m2﹣3m有最大值
当m=﹣=﹣时,S△PAC有最大值.
此时n=﹣m2﹣m+2=﹣﹣+2=
∴存在点P(﹣,),使△PAC的面积最大.
(3)如图(3)所示,以BC为边在两侧作正方形BCQ1Q2、正方形BCQ4Q3,则点Q1,Q2,Q3,Q4为符合题意要求的点.
过Q1点作Q1D⊥y轴于点D,易证△Q1CD≌△CBO,
∴Q1D=OC=2,CD=OB=1,∴OD=OC+CD=3,∴Q1(2,3);
同理求得Q2(3,1),Q3(﹣1,﹣1),Q4(﹣2,1).
∴存在点Q,使△BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形.Q点坐标为:Q1(2,3),Q2(3,1),Q3(﹣1,﹣1),Q4(﹣2,1).
(4)如图(4)所示,设E(n,0),则BE=1﹣n,QE=﹣n2﹣n+2.
假设以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似,则有两种情况:
①若△AOC∽△BEQ,则有:,
即,化简得:n2+n﹣2=0,
解得n1=﹣2,n2=1(与B重合,舍去),∴n=﹣2,QE=﹣n2﹣n+2=2.
∴Q(﹣2,2);
②若△AOC∽△BQE,则有:,
即,化简得:4n2﹣n﹣3=0,
解得n1=﹣,n2=1(与B重合,舍去),∴n=﹣,QE=﹣n2﹣n+2=.
∴Q(﹣,).
综上所述,存在点Q,使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似.
Q点坐标为(﹣2,2)或(﹣,).
(5)假设存在点Q,使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形.
①若CM平行于x轴,如图(5)a所示,有符合要求的两个点Q1,Q2,此时Q1A=Q2A=CM.
∵CM∥x轴,∴点M、点C(0,2)关于对称轴x=﹣1对称,
∴M(﹣2,2),∴CM=2.
由Q1A=Q2A=CM=2,得到Q1(﹣5,0),Q2(﹣1,0);
②若CM不平行于x轴,如图(5)b所示.过点M作MG⊥x轴于G,
易证△MGQ≌△COA,得QG=OA=3,MG=OC=2,即yM=﹣2.
设M(x,﹣2),则有﹣x2﹣x+2=﹣2,解得x=﹣1±.
又QG=3,∴xQ=xG+3=2±,
∴Q3(2+,0),Q4(2﹣,0).
综上所述,存在点Q,使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形.Q点坐标为:Q1(﹣5,0),Q2(﹣1,0),Q3(2+,0),Q4(2﹣,0).
六、抛物线中的翻折问题
1、解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+2经过A(﹣1,0),B(4,0)两点,
∴,
解得:
∴y=﹣x2+x+2;
当y=2时,﹣x2+x+2=2,解得:x1=3,x2=0(舍),
即:点D坐标为(3,2).
(2)A,E两点都在x轴上,AE有两种可能:
①当AE为一边时,AE∥PD,
∴P1(0,2),
②当AE为对角线时,根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等,
可知P点、D点到直线AE(即x轴)的距离相等,
∴P点的纵坐标为﹣2,
代入抛物线的解析式:﹣x2+x+2=﹣2
解得:x1=,x2=,
∴P点的坐标为(,﹣2),(,﹣2)
综上所述:p1(0,2);p2(,﹣2);p3(,﹣2).
(3)存在满足条件的点P,显然点P在直线CD下方,设直线PQ交x轴于F,点P的坐标为(a,﹣a2+a+2),
①当P点在y轴右侧时(如图1),CQ=a,
PQ=2﹣(﹣a2+a+2)=a2﹣a,
又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°,∠COQ′=∠Q′FP=90°,
∴∠FQ′P=∠OCQ′,
∴△COQ′~△Q′FP,,,
∴Q′F=a﹣3,
∴OQ′=OF﹣Q′F=a﹣(a﹣3)=3,CQ=CQ′==,
此时a=,点P的坐标为(,),
②当P点在y轴左侧时(如图2)此时a<0,,﹣a2+a+2<0,CQ=﹣a,
PQ=2﹣(﹣a2+a+2)=a2﹣a,
又∵∠CQ′O+∠FQ′P=90°,∠CQ′O+∠OCQ′=90°,
∴∠FQ′P=∠OCQ′,∠COQ′=∠Q′FP=90°,
∴△COQ′~△Q′FP,,,Q′F=3﹣a,
∴OQ′=3,
CQ=CQ′=,
此时a=﹣,点P的坐标为(﹣,).
综上所述,满足条件的点P坐标为(,),(﹣,).
2、解:(1)将B、C两点的坐标代入得(2分)
解得:;
所以二次函数的表达式为:
y=x2﹣2x﹣3(3分)
(2)存在点P,使四边形POPC为菱形;
设P点坐标为(x,x2﹣2x﹣3),PP′交CO于E
若四边形POP′C是菱形,则有PC=PO;
连接PP′,则PE⊥CO于E,
∴OE=EC=
∴y=;(6分)
∴x2﹣2x﹣3=
解得x1=,x2=(不合题意,舍去)
∴P点的坐标为(,)(8分)
(3)过点P作y轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点F,设P(x,x2﹣2x﹣3),
易得,直线BC的解析式为y=x﹣3
则Q点的坐标为(x,x﹣3);
S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ
=AB•OC+QP•OF+QP•BF
=
=(10分)
当时,四边形ABPC的面积最大
此时P点的坐标为,四边形ABPC的面积的最大值为.(12分)